Física General (Libro Completo)

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F´ısica General
Ignacio Mart´ın Bragado
imartin@ele.uva.es
12 de febrero de 2003
2 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
I´ndice general
I´ndice General 3
I´ndice de Figuras 11
I Sobre este libro 13
1. Distribucio´n de este documento 15
II Teor´ıa, esquemas para la resolucio´n de problemas y
ejercicios resueltos 17
2. Introduccio´n 19
2.1. Signos empleados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Esquema 21
4. Introduccio´n al ca´lculo vectorial 23
4.1. Magnitudes escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1. Representacio´n matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2. Operaciones vectoriales unarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.1. Operaciones unarias diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3. Operaciones vectoriales binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.1. Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.2. Suma y resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.5. Producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Cinema´tica 29
5.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3. Aceleracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4. Componentes intr´ınsecas de la aceleracio´n . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.5. Clasificacio´n de movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.6. Composicio´n de movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.6.1. Translacio´n pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.6.2. Rotacio´n pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.7. Resolucio´n de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.7.1. Tiro parabo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.7.2. Componentes intr´ınsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.7.3. Ca´lculo de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
I´NDICE GENERAL
6. Dina´mica 35
6.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2.1. Ley de la inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2.2. Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2.3. Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3. Fuerzas especiales que aparecen en problemas . . . . . . . . . . . . . 36
6.3.1. Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3.2. Rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4. El momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4.1. Conservacio´n del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.5. Conservacio´n de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6. Resolucio´n de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6.1. Planos inclinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6.2. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.6.3. Casos l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7. Consideraciones energe´ticas 45
7.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2.1. Trabajo conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.3. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.4. Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.5. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.5.1. Energ´ıa cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.5.2. Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.6. Conservacio´n de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.6.1. Rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.7. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.8. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8. Dina´mica de un sistema de part´ıculas 55
8.1. Conceptos y definiciones primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2. Centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2.1. Teorema de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.3. Dina´mica del centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.3.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.3.2. Aceleracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.3.3. Momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.3.4. Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.4.1. Sistema de referencia del centro de masas . . . . . . . . . . . 57
8.4.2. Problemas de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.4.3. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9. Dina´mica de la rotacio´n 59
9.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.1.1. So´lido r´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.1.2. Analog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.2. Momento de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.3. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.4. Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.4.1. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos . . . . . . . . . . . 61
9.4.2. Teorema de las figuras planas o de los ejes perpendiculares. . 62
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I´NDICE GENERAL
9.4.3. Relacio´n del momento de inercia respecto a un punto con los
tres ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.5. Ecuacio´n de la dina´mica de rotacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.5.1. Conservacio´n del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.6. Energ´ıa de rotacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.7. Algunos problemas t´ıpicos de rotacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.7.1. Cuerpos rodantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.7.2. Poleas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.7.3. Esta´tica y equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.7.4. Ca´lculo de la aceleracio´n angular de un cuerpo . . . . . . . . 65
9.7.5. Ca´lculo de momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.7.6. Variacio´n de la forma del cuerpo que gira . . . . . . . . . . . 65
9.7.7. Conservacio´n de la energ´ıa para cuerpos rodantes . . . . . . . 66
10.Conceptos generales de campos 67
10.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.2. Definicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3. Formalismo matema´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.4. Flujo de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.5. Gradiente de un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.6. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.7. Circulacio´n . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.8. Representacio´n gra´fica de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.8.1. Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.8.2. Campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11.Gravitacio´n y campo gravitatorio 71
11.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.2. Ley de la gravitacio´n universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.2.1. Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.2.2. Las leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11.2.3. Principio de superposicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11.3. Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11.3.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11.3.2. Entidad matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.4. Energ´ıa potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.5. Problemas concretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.5.1. Ca´lculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un sistema de
part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.5.2. Ca´lculo de la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo continuo 75
11.5.3. Problemas de sate´lites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.5.4. Velocidad de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.5.5. Medida de la gravedad en la superficie de un planeta . . . . . 76
11.5.6. Ca´lculo de la atraccio´n gravitatoria de algunos so´lidos simples 76
12.Campo y potencial ele´ctrico 79
12.1. Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.2.1. Principio de superposicio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.3. Campo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.4. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.5. Potencial y energ´ıa ele´ctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12.5.1. Algunos casos particulares de potencial ele´ctrico . . . . . . . 81
12.6. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
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I´NDICE GENERAL
12.6.1. Asociacio´n de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
13.Movimiento armo´nico simple 83
13.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
13.2. Dina´mica del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
13.2.1. Ecuacio´n del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
13.2.2. Periodicidad de la ecuacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
13.2.3. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
13.2.4. Aceleracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13.3. Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13.3.1. Energ´ıa cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13.3.2. Energ´ıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13.3.3. Energ´ıa meca´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
13.4. El pe´ndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
14.Ondas 89
14.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
14.1.1. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
14.2. Ecuacio´n general de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
14.3. Ecuacio´n de una onda armo´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
14.3.1. Periodo y frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
14.3.2. Longitud de onda y nu´mero de ondas . . . . . . . . . . . . . 91
14.4. Consideraciones energe´ticas de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.4.1. Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.4.2. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14.4.3. Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
15.Feno´menos ondulatorios 95
15.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
15.2. Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
15.3. Interferencia entre ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
15.3.1. Ondas coherentes: Interferencias constructivas y destructivas 96
15.3.2. Ondas estacionarias: Propagacio´n en direcciones opuestas . . 99
15.4. Otras propiedades de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.4.1. Difraccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.4.2. Polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15.4.3. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.5. Reflexio´n y refraccio´n de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.5.1. Reflexio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
15.5.2. Refraccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15.5.3. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
16.Electromagnetismo 107
16.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
16.2. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
16.2.1. Fuerza sobre una corriente ele´ctrica . . . . . . . . . . . . . . 108
16.3. Campo magne´tico debido a una carga en movimiento . . . . . . . . . 108
16.3.1. Campo magne´tico producido por una corriente ele´ctrica . . . 109
16.4. Ley de Ampe`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
16.5. Resolucio´n de problemas t´ıpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
16.5.1. Part´ıcula sometida a un campo magne´tico constante y uniforme110
16.5.2. Fuerza magne´tica experimentada por un conductor recto y
perpendicular al campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . 110
16.5.3. Campo magne´tico creado por un conductor recto e infinito . 110
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I´NDICE GENERAL
16.5.4. Campo producido por una espira en su eje . . . . . . . . . . . 111
16.5.5. Campo magne´tico en el interior de un solenoide infinito . . . 112
16.5.6. Fuerzas entre corrientes paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . 113
17.Induccio´n electromagne´tica 115
17.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
17.2. Ley de Faraday-Henry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
17.2.1. Ley de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
17.3. Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
17.4. Autoinduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
17.4.1. Induccio´n mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
17.5. Energ´ıa magne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
17.6. Problemas y aplicaciones de induccio´n electromagne´tica . . . . . . . 118
17.6.1. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
17.6.2. Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
17.6.3. Autoinduccio´n de un solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
18.La naturaleza de la luz. Dualidad onda corpu´sculo de la materia 121
18.1. Introduccio´n histo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
18.2. El cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
18.3. El efecto fotoele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
18.3.1. Descripcio´n del problema . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 123
18.3.2. Solucio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
18.4. Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
18.5. Naturaleza ondulatoria de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
18.6. Resumen: Dualidad onda-corpu´sculo de la luz y la materia . . . . . . 126
19.Fundamentos de F´ısica Nuclear 129
19.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
19.2. El nu´cleo ato´mico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
19.2.1. Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
19.2.2. Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
19.3. Radiactividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
19.3.1. Radiactividad α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
19.3.2. Radiactividad β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
19.3.3. Radiactividad γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
19.4. Caracter´ısticas de los procesos radiactivos . . . . . . . . . . . . . . . 132
19.4.1. Cine´tica de las reacciones nucleares: Ley de desintegracio´n . . 132
19.4.2. Las series radiactivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
19.5. Reacciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
19.5.1. Fisio´n nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
19.5.2. Fusio´n nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
III Pra´cticas de laboratorio 137
20.Cambios de fase y descenso ebullosco´pico 139
20.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
20.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
20.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
20.3.1. Parte 1: Cambios de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
20.3.2. Parte 2: Descenso ebullosco´pico . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
20.4. Precauciones a tener con la pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
F´ısica General. http://www.ele.uva.es/˜imartin/libro/index.html 7
I´NDICE GENERAL
21.Carga y descarga de un condensador. 143
21.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
21.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
21.3. Realizacio´n de la pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
21.4. Ape´ndice: Resolucio´n de la ecuacio´n diferencial . . . . . . . . . . . . 145
22.Principio de Arqu´ımedes: Determinacio´n de la densidad 147
22.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
22.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
22.2.1. Medicio´n de la densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
22.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
23.Experiencia de Faraday. Induccio´n. 149
23.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
23.2. Introduccio´n histo´rica y teo´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
23.3. Realizacio´n pra´ctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
24.Iniciacio´n a la hidra´ulica: Diversas experiencias. 151
24.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
24.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
24.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
24.4. Objetivo de la pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
25.Comprobacio´n de la ley de Ohm. 155
25.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
25.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
25.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
25.4. Precauciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
26.Solucio´n al problema planteado en el me´todo cient´ıfico 157
26.1. Advertencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
26.2. Solucio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
27.El me´todo cient´ıfico 159
27.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
27.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
27.3. Realizacio´n pra´ctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
28.Estudio de un muelle. 161
28.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
28.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
28.3. Realizacio´n pra´ctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
29.Experiencia de Oersted. 165
29.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
29.2. Introduccio´n histo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
29.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
30.Comprobacio´n de la ley de Ohm 167
30.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
30.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
30.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
I´NDICE GENERAL
31.Uso elemental de un osciloscopio 169
31.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
31.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
31.2.1. El osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
31.2.2. El generador de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
31.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
31.4. Precauciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
32.Estudio de un pe´ndulo. 173
32.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
32.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
32.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
33.Ca´lculo de la aceleracio´n de un sistema mediante dina´mica y cin-
ema´tica 175
33.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
33.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
33.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
34.Medicio´n de la humedad mediante un psicro´metro 177
34.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
34.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
34.3. Realizacio´n pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
35.Resistencias en serie y en paralelo. 179
35.1. Material experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
35.2. Introduccio´n teo´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
35.2.1. Acople en serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
35.2.2. Acople en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
35.3. Realizacio´n de la pra´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
IV Ape´ndices 183
A. Esquemas y formulario 185
A.1. Ca´lculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A.2. Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A.2.1. Movimiento circular . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.3. Dina´mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.3.1. Translacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.3.2. Rotacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A.4. Trabajo y Energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A.5. Movimiento armo´nico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
A.6. Campo y potencial ele´ctrico y gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . 188
A.7. Circuitos de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.8. Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
B. Movimiento de un cuerpo en el campo gravitatorio bajo el roza-
miento con el aire 191
B.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B.2. Planteamiento de la ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B.3. Interpretacio´n de la ecuacio´n de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B.4. Conclusio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
F´ısica General. http://www.ele.uva.es/˜imartin/libro/index.html 9
I´NDICE GENERAL
C. Tablas y fo´rmulas u´tiles 193
C.1. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
C.2. Ca´lculo complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
C.3. Ca´lculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
C.4. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
C.4.1. Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
C.4.2. Logar´ıtmicas y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
C.5. Derivacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
C.5.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
C.5.2. Tabla de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
C.6. Integracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
C.6.1. Definicio´n y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
C.6.2. Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
D. Agradecimientos 197
Bibliograf´ıa 198
10 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
I´ndice de figuras
4.1. El a´ngulo entre dos vectores y sus proyecciones. . . . . . . . . . . . . 27
5.1. Relacio´n vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor vera´ la
piedra que cae como ~rcp = ~rc − ~rp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1. Descomposicio´n de las fuerzas en un plano inclinado. . . . . . . . . . 39
6.2. ¿Cua´l sera´ la aceleracio´n de este sistema? . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3. Distintas situaciones ante una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4. ¿Desde que´ altura podra´ una masa realizar un bucle?. . . . . . . . . 43
7.1. ¿A que´ velocidad llegara´ al final?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
11.1. Campo ~g generado por una varilla delgada. . . . . . . . . . . . . . . 76
12.1. Asociacio´n de condensadores en serie y en paralelo. . . . . . . . . . . 81
13.1. Descomposicio´n de las fuerzas en un pe´ndulo. . . . . . . . . . . . . . 87
14.1. Periodo de una onda armo´nica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
14.2. Longitud de onda de una onda armo´nica. . . . . . . . . . . . . . . . 93
15.1. Esquema de un feno´meno de interferencias. . . . . . . . . . . . . . . 96
15.2. Representacio´n de una interferencia (casi) constructiva. . . . . . . . 97
15.3. Representacio´n de una interferencia destructiva. . . . . . . . . . . . . 98
15.4. Experiencia de Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
15.5. Reflexio´n de una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15.6. Explicacio´n segu´n el principio de Huygens de la reflexio´n. . . . . . . 103
15.7. Refraccio´n de una onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.8. Explicacio´n segu´n el principio de Huygens de la refraccio´n. . . . . . 104
16.1. Geometr´ıa para calcular el campo magne´tico en el eje de una espira. 111
16.2. Trayectoria para un solenoide infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
17.1. Circuito con una resistencia y una autoinduccio´n. . . . . . . . . . . . 117
17.2. Corriente alterna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
17.3. Esquema simplificado de un transformador. . . . . . . . . . . . . . . 120
18.1. Dibujo de un “cuerpo negro”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
18.2. Distribucio´n espectral de la radiacio´n emitida por un cuerpo negro a
distintas temperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
18.3. Dispositivo simplificado para la medicio´n del efecto fotoele´ctrico. . . 124
11
I´NDICE DE FIGURAS
19.1. Serie radiactiva del uranio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
21.1. Circuito con condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
21.2. Carga de un condensador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
24.1. Frasco de Mariotte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
25.1. Circuito a realizar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
28.1. Medida de la elongacio´n del muelle al poner el peso. . . . . . . . . . 162
30.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
31.1. Mandos fundamentales de un osciloscopio. . . . . . . . . . . . . . . . 170
33.1. Sistema de poleas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
35.1. Resistencias en serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
35.2. Resistencias en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
Parte I
Sobre este libro
13
Cap´ıtulo 1
Distribucio´n de este
documento
Este libro ha sido escrito ı´ntegramente por Ignacio Mart´ın Bragado y todo su
material es original, incluyendo los gra´ficos que contiene, excepto los iconos de am-
pliacio´n, recuerda, nota, problema y resolucio´n que han sido tomados del proyecto
GNOME (distribuido con licencia GPL) y modificados. Ha sido compuesto utilizan-
do LATEXsobre un ordenador AMD K6 utilizando un sistema operativo GNU/Linux.
Se permite la reproduccio´n de los contenidos de este libro siempre y cuando
quede absolutamente expl´ıcita la procedencia de este documento y su autor y se
conserve esta leyenda.
No se permite la modificacio´n de ningu´n to´pico de este libro. Si desea re-
alizar alguna correccio´n ha´galo ponie´ndose en contacto con el autor en la direccio´n
imartin@ele.uva.es
La direccio´n web original de este material es:
http://www.ele.uva.es/~imartin/libro/index.html
15
CAPI´TULO 1. DISTRIBUCIO´N DE ESTE DOCUMENTO
16 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
Parte II
Teor´ıa, esquemas para la
resolucio´n de problemas y
ejercicios resueltos
17
Cap´ıtulo 2
Introduccio´n
Este esquema pretende ser una pequen˜a gu´ıa para resolver los problemas de
f´ısica evitando las confusiones ma´s usuales. No obstante no existe un sistema que
resuelva los problemas de f´ısica, sino que, cada uno, presenta una faceta que hemos
de descubrir haciendo uso de nuestra razo´n.
Este esquema no pretende ser un chuletario de los distintos tipos de problemas y
como solucionarlos, sino so´lo una iniciacio´n ba´sica en el “arte de resolver” problemas
de f´ısica.
El planteamiento de las ecuaciones que intervienen en los procesos f´ısicos es, a
nivel general, algo complicado, puesto que son muchos los feno´menos que pueden
presentarse. En esta gu´ıa iremos desgajando los distintos procesos que puedendarse
y las ecuaciones involucradas.
La creacio´n de este esquema ha sido un proceso complicado. Inicialmente con-
stituyo´ unos breves apuntes que se impart´ıan para un curso del (extinto o en v´ıas
de extincio´n) COU, pero se fueron an˜adiendo cosas y mezclando parte de los con-
tenidos ba´sicos de dicho curso con algunas consideraciones de ı´ndole ma´s pra´ctica
fruto de la experiencia en el aula.
Actualmente el nivel de este libro hace que pueda ser utilizado para la asignatu-
ra de F´ısica de 1o de las carreras de ciencias. Para 2o de Bachillerato quiza´s su
nivel exceda un poco en algunos temas y no contenga otros. En cualquier caso la
concepcio´n final de este libro es como C¸urso de f´ısica general 2no como un libro de
texto de ningu´n curso espec´ıfico de Facultad ni Instituto.
2.1. Signos empleados
¦ Cuando aparezca algu´n comentario de intere´s, si bien no sea importante Nota
para el desarrollo del tema, se tratara´ de esta manera.
◦ Las partes del desarrollo que excedan un poco los objetivos de este libro,
Ampliacio´npero no por ello dejen de ser interesantes o importantes aparecera´n de esta
manera.
. Aquellos pa´rrafos que sean muy importantes o que sea conveniente
Recuerda
recordar, ya que pueden constituir algu´n dato esencial o un resumen de
todo lo dicho se indicara´n de esta forma.
P El enunciado de algunos problemas que sean posteriormente re- Problema
sueltos.
19
CAPI´TULO 2. INTRODUCCIO´N
R La resolucio´n del problema con los ca´lculos y explicaciones perti-
Resolucio´nnentes.
20 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
Cap´ıtulo 3
Esquema
Para plantear un problema de f´ısica se pueden seguir los siguientes pasos:
Hacer un dibujo explicativo. Esto supone haber le´ıdo antes bien el enunciado
comprendiendo exactamente que´ datos se ofrecen y que´ resultados se piden.
Elegir un sistema de coordenadas adecuado, que sera´ aquel que nos facilite
la posterior resolucio´n del problema. Hay que ser coherente con el sistema de
coordenadas que se elija, refiriendo posteriormente a e´l todas las cantidades
con sus correspondientes signos.
La eleccio´n de un sistema de coordenadas no siempre es u´nica, pero en cualquier
caso hay que hacer una que otorgue sencillez al problema, por coincidir, gen-
eralmente, con algu´n punto particular que pueda dar posteriormente ma´s sim-
plicidad al planteamiento o a los ca´lculos.
Comprobar las fuerzas que intervienen en el problema. Suelen ser siempre
menos de las que parecen. Sobre todo no hay que olvidar la fuerza de gravedad,
de rozamiento, posibles tensiones, fuerzas ela´sticas1 as´ı como sus reacciones.
Considerar las proyecciones sobre los ejes. Una vez comprobadas las fuerzas
que intervienen en el problema habra´ que proyectarlas sobre los ejes del sis-
tema de coordenadas, para poder as´ı darlas un tratamiento vectorial. Esta
proyeccio´n es ma´s sencilla de lo que suele parecer. Basta recordar las rela-
ciones sinα y cosα.
Plantear las ecuaciones para cada eje. Pueden ser ecuaciones dina´micas del
tipo
∑
F = ma o cinema´ticas. Hay que ser conscientes de que la “u´nica
fo´rmula” que se suele emplear es
∑ ~F = m~a, pero que, como e´sta es una
ecuacio´n vectorial, se descompone en tantas ecuaciones como dimensiones ten-
ga el movimiento, o lo que es lo mismo, en tantas proyecciones como ejes tenga
nuestro sistema de coordenadas elegido.
Como en pasos anteriores ya hemos considerado las fuerzas que intervienen
y sus proyecciones este paso no debe ser sino un recuento cuidadoso de las
fuerzas que aparecen en un determinado eje o direccio´n liga´ndolas con la
ecuacio´n correspondiente.
Este paso es estudiado ma´s ampliamente en los cap´ıtulos siguientes.
Relacionar las ecuaciones planteadas con los datos que tenemos y los que quer-
emos saber. Es decir, encontrar el sistema matema´tico que nos lograra´ encon-
trar la solucio´n.
1Cuando hay muelles.
21
CAPI´TULO 3. ESQUEMA
Resolver los sistemas matema´ticos involucrados. E´ste es un mero ejercicio
matema´tico en el cual buscaremos la solucio´n al problema.
Interpretar la solucio´n. La interpretacio´n de la solucio´n consiste en mostrarse
cr´ıticos hacia los resultados logrados, plantea´ndose si estos son coherentes con
la intuicio´n, con lo que espera´bamos que saliera, si responden bien al criterio
de signos y sistema de coordenadas elegido, si tienen un orden de magnitud2
apropiado y esta´n en las unidades oportunas, as´ı como todo lo que nos parezca
oportuno indagar en nuestra propia solucio´n.
En caso de que el resultado “parezca correcto” lo cual, lamentablemente, no
quiere decir que lo sea, podremos dar por concluido el problema. En caso
contrario es conveniente volver a repasar todo el ejercicio, o la parte de la cual
nos mostremos insegura, para ver si detectamos alguna inconsistencia.
2Es decir, si no son demasiado grandes o pequen˜os.
22 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
Cap´ıtulo 4
Introduccio´n al ca´lculo
vectorial
4.1. Magnitudes escalares y vectoriales
Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede
expresarse simplemente con un u´nico nu´mero. Por ejemplo, el peso o la altura de
una persona es una magnitud escalar.
Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual nece-
sitamos dar “algo ma´s que un so´lo nu´mero”. Por ejemplo, para saber la velocidad
del viento adema´s de su intensidad, es decir, tantos kilo´metros por hora, se requiere
conocer su direccio´n y sentido, y as´ı saber si viene del norte hacia el sur, etc. . . Este
tipo de magnitudes se denominan vectores.
4.1.1. Representacio´n matema´tica
Matema´ticamente un escalar se representa con un u´nico nu´mero1 y un vector
con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que
se representa.
As´ı un vector ~v se representa como
~v = (vx, vy, vz) = vx ıˆ+ vy ˆ+ vz kˆ,
siendo vx, vy y vz las componentes del vector, es decir, sus proyecciones sobre los
ejes x,y y z. A su vez ıˆ, ˆ y kˆ son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes
x,y y z respectivamente.
4.2. Operaciones vectoriales unarias
Se llama mo´dulo de un vector a lo que e´ste “mide”. Se calcula como
|~v| = v =
√
v2x + v
2
y + v
2
z . (4.1)
Proyeccio´n de un vector sobre un eje es “la sombra” de dicho vector sobre el eje
si la “luz que proyecta dicha sombra” cayera justo perpendicularmente. As´ı las
proyecciones de un vector ~v sobre los ejes x,y y z sera´n vx, vy y vz respectivamente.
1Que normalmente pertenece al cuerpo de los nu´meros reales
23
CAPI´TULO 4. INTRODUCCIO´N AL CA´LCULO VECTORIAL
El inverso de un vector es dicho vector con sus proyecciones cambiadas de signo. La
suma de un vector y su inverso da siempre el vector nulo.
−~v = (−vx,−vy,−vz).
Vector nulo es aquel vector cuyo mo´dulo es cero. Este vector es especial, pues carece
de direccio´n y sentido.
~0 = (0, 0, 0).
Vector unitario de otro dado ~v es aque´l que, teniendo la misma direccio´n y sentido
que el que se da, presenta un mo´dulo igual a 1, se representa como vˆ. As´ı
vˆ =
~v
|~v| .
4.2.1. Operaciones unarias diferenciales
Para derivar un vector ~v respecto a un para´metro t se deriva componente a
componente.
d
dt
~v = (
d
dt
vx,
d
dt
vy,
d
dt
vz).
Para integrar un vector ~v respecto a un para´metro t se integra componente a
componente. ∫
~v dt = (
∫
vx dt,
∫
vy dt,
∫
vz dt).
4.3. Operaciones vectoriales binarias
Las operaciones binarias necesitan dos vectores para poder operar sobre ellos.
Las ma´s conocidas son:
4.3.1. Equivalencia
Dos vectores son iguales si sus coordenadas son iguales. Es decir
~a = ~b⇒ ax = bx, ay = by, az = bz.
4.3.2. Suma y resta
La suma de varios vectores tambie´n se denomina resultante de dichos vectores.
Para sumarun vector ~a a otro ~b se suma componente a componente, es decir
~a+~b = (ax + bx, ay + by, az + bz).
Para restar un vector ~a de otro ~b se suma el inverso del vector ~b, es decir:
~a−~b = (ax − bx, ay − by, az − bz).
La resta de dos vectores iguales son es el vector cero.
~a− ~a = ~0.
24 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
CAPI´TULO 4. INTRODUCCIO´N AL CA´LCULO VECTORIAL
4.3.3. Producto escalar
El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar, como indica
su nombre. Para multiplicar as´ı escalarmente un vector ~a por otro ~b se opera
~a ·~b = |~a||~b| cos(θ). (4.2)
Siendo θ el a´ngulo que forman los vectores ~a y ~b entre ellos.
El producto escalar de dos vectores, dadas sus componentes, se puede realizar
tambie´n sabiendo que
~a ·~b = axbx + ayby + azbz. (4.3)
Observando las relaciones que marcan (4.2) y (4.3) y teniendo presenta adema´s
la relacio´n del mo´dulo de un vector expuesta en (4.1) se pueden deducir las siguientes
propiedades del producto escalar:
Es nulo si alguno de los dos vectores es el vector nulo.
Es nulo si los dos vectores son perpendiculares.
Para proyectar un vector ~a sobre un eje marcado por un vector ~b basta con
realizar la operacio´n
proy~b(~a) =
~a ·~b
|~a| .
Dados dos vectores se puede calcular el a´ngulo que forma entre ellos usando
la relacio´n
cos(θ) =
~a ·~b
|~a||~b|
=
axbx + ayby + azbz√
a2x + a
2
y + a
2
z
√
b2x + b
2
y + b
2
z
.
4.3.4. Producto vectorial
Introduccio´n
El producto vectorial, representado como ~a × ~b o bien como ~a ∧ ~b, tiene las
siguientes propiedades:
Es perpendicular tanto a ~a como a ~b. Es decir,
(
~a ∧~b
)
⊥~a y
(
~a ∧~b
)
⊥~b.
Su mo´dulo es ab sinα, siendo α el a´ngulo que forman entre ellos. Tambie´n,∣∣∣~a ∧~b∣∣∣ = ab sinα.
Su sentido esta´ dado por la regla del sacacorchos, entendiendo que hay que
“mover el sacacorchos” desde el primer vector al segundo.
Ca´lculo de las componentes de ~a ∧~b
Demostraremos en 4.3.4, quiza´s no muy rigurosamente, pero si ganando a cambio
mucho en simplicidad, como se puede llegar a este resultado. En cualquier caso, para
hallar cuales son las componentes del vector producto vectorial basta con saber que
si ~a = ax ıˆ+ ay ˆ+ az kˆ y ~b = bx ıˆ+ by ˆ+ bz kˆ, entonces:
~a ∧~b =
∣∣∣∣∣∣
ıˆ ˆ kˆ
ax ay az
bx by bz
∣∣∣∣∣∣ = (aybz − azby )ˆı+
(azbx − axbz)ˆ+
(axby − aybx)kˆ
(4.4)
F´ısica General. http://www.ele.uva.es/˜imartin/libro/index.html 25
CAPI´TULO 4. INTRODUCCIO´N AL CA´LCULO VECTORIAL
Expresio´n anal´ıtica del producto vectorial
◦ Tomando ~a∧~b = ~c henos exigido que tanto ~a⊥~c como que ~b⊥~c. Es decirAmpliacio´n
axcx + aycy + azcz = 0
bxcx + bycy + bzcz = 0
. (4.5)
Adema´s parece lo´gico suponer que este nuevo vector debera´ ser “indepen-
diente” del sistema de coordenadas que elijamos, con lo cual vamos a tomar
uno en el que el vector ~a coincida con el eje y y el ~b se encuentre contenido en
el plano xy, formando entre ellos un a´ngulo θ.
Despejando cx en una de las ecuaciones (4.5) tenemos que
cx =
−aycy − azcz
ax
(4.6)
y, sustituyendo en la otra se consigue que
cy =
−bzczax + bxaycy + bxazcz
byax
. (4.7)
Operando un poco en la expresio´n (4.7) de tal forma que podamos expresar
cz en funcio´n de cy tendremos que
cz =
cy (byax − bxay)
bxaz − bzax
(4.8)
y ahora no queda ma´s que ver el significado de esta expresio´n para lograr el
resultado final.
De las relaciones (4.5) tenemos que ~c debe ser perpendicular tanto a ~a
como a ~b y, por tanto, en el caso concreto que hemos elegido, ~c debe estar
en el eje z, es decir, ~c = λkˆ. Ahora bien, precisamente por esta misma razo´n
cy = 0 y, segu´n la relacio´n (4.8) cz deber´ıa ser tambie´n cero, cosa que no tiene
sentido. Una posible solucio´n ser´ıa hacer ver que la relacio´n no es va´lida porque
estamos dividiendo por cero, y, ya que cy tambie´n es cero, igualar ambos
te´rminos. As´ı tendr´ıamos cy = bxaz − bzax y podr´ıamos simplificar cy con el
denominador2. Una vez extra´ıdo cy se tendr´ıa tambie´n que cz = byax − bxay,
y so´lo quedar´ıa hallar cx usando nuevamente las ecuaciones (4.5). Quedar´ıa,
no en s´ı demostrado, pero si razonado, el por que´ de expresar el producto
vectorial de la manera resen˜ada en (4.4).
Ca´lculo de a´reas con el producto vectorial
Antes de nada: ¿co´mo es posible que´ el producto vectorial, que da como resultado
un vector, sea reutilizable para calcular un a´rea?. Responder a esta pregunta es
sencillo si, para ello, tenemos en cuenta el mo´dulo del producto vectorial, que sera´ un
escalar.
Sabemos ya que |~a ∧ ~b| = ab sinφ donde φ representa el a´ngulo formado por
ambos vectores. Esto puede verse en la figura 4.1. Tambie´n nos damos cuenta que
b sinφ puede interpretarse como la “altura” del tria´ngulo formado por ~a, ~b y la
unio´n de sus dos extremos. Con lo que resulta que |~a ∧~b| resulta ser la base a por
la altura b sinφ, y por tanto
|~a ∧~b|
2
= Atria
donde Atria es el a´rea del tria´ngulo anteriormente dicho.
2Teniendo presente que esta simplificacio´n esta´ muy tomada por los pelos... ya que se trata de
0
0
.
26 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
CAPI´TULO 4. INTRODUCCIO´N AL CA´LCULO VECTORIAL
a
b
b sin
b cos
φ
φ
φ
Figura 4.1: El a´ngulo entre dos vectores y sus proyecciones.
4.3.5. Producto mixto
A veces se define el producto mixto entre tres vectores ~a, ~b y ~c como
~a · (~b ∧ ~c). (4.9)
Este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un escalar, se puede calcular
tambie´n como el determinante de la matriz 3 ∗ 3 que se forma con las componentes
de los vectores, es decir
∣∣∣∣∣∣
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣ = axbxcx + cxaybz + azbxcy − azbycx − aybxcz − axbzcy.
Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un paralelep´ıpe-
do formado con las aristas de los vectores ~a, ~b y ~c, ya que si manejamos un poco
(4.9) tenemos que:
~a · (~b ∧ ~c) =
= a|~b ∧ ~c| cosφ
= abc sinψ cosφ.
donde bc sinψ no es sino el a´rea de la base del paralelogramo (ver seccio´n 4.3.4) y
a cosφ resulta ser la altura de dicho paralelep´ıpedo. El a´rea de la base por la altura
nos da el volumen de este tipo de cuerpos geome´tricos.
◦ Ser´ıa un buen ejercicio para el lector intentar demostrar ma´s rigurosa- Ampliacio´n
mente estas u´ltimas afirmaciones
F´ısica General. http://www.ele.uva.es/˜imartin/libro/index.html 27
CAPI´TULO 4. INTRODUCCIO´N AL CA´LCULO VECTORIAL
28 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
Cap´ıtulo 5
Cinema´tica
5.1. Introduccio´n
Cinema´tica es la parte de la f´ısica que estudia el movimiento de los cuerpos,
aunque sin interesarse por las causas que originan dicho movimiento. Un estudio de
las causas que lo originan es lo que se conoce como dina´mica.
Las magnitudes que define la cinema´tica son principalmente tres, la posicio´n, la
velocidad y la aceleracio´n.
Posicio´n es el lugar en que se encuentra el mo´vil en un cierto instante de tiempo t.
Suele representarse con el vector de posicio´n ~r. Dada la dependencia de este
vector con el tiempo, es decir, si nos dan ~r(t), tenemos toda la informacio´n
necesaria para los ca´lculos cinema´ticos.
Velocidad es la variacio´n de la posicio´n con el tiempo. Nos indica si el mo´vil se
mueve, es decir, si var´ıa su posicio´n a medida que var´ıa el tiempo. La velocidad
en f´ısica se corresponde al concepto intuitivo y cotidiano de velocidad.
Aceleracio´n indica cua´nto var´ıa la velocidad al ir pasando el tiempo. El concepto
de aceleracio´n no es tan claro como el de velocidad, ya que la intervencio´n
de un criterio de signos puede hacer que interpretemos erro´neamente cua´ndo
un cuerpo se acelera (a > 0) o cua´ndo se “decelera” (a < 0). Por ejemplo,
cuando lanzamos una piedra al aire y e´sta cae es fa´cilver que, segu´n sube
la piedra, su aceleracio´n es negativa, pero no es tan sencillo constatar que
cuando cae su aceleracio´n sigue siendo negativa porque realmente su veloci-
dad esta´ disminuyendo, ya que hemos de considerar tambie´n el signo de esta
velocidad.
5.2. Velocidad
Se define velocidad media como
~vm =
∆~r
∆t
tomando los incrementos entre los instantes inicial y final que se precisen.
No obstante, aunque la velocidad media es una magnitud u´til, hay que destacar
que en su ca´lculo se deja mucha informacio´n sin precisar. As´ı, aunque sepamos que
la velocidad media de un mo´vil desde un instante 1 a otro 2 ha sido “tantos” metros
por segundo, no sabremos si los ha hecho de forma constante, o si ha ido muy lento
al principio y ra´pido al final o si. . . por eso se define una magnitud que exprese
29
CAPI´TULO 5. CINEMA´TICA
la velocidad instanta´nea, es decir, la velocidad en cierto y determinado instante
y que pueda calcularse como una velocidad media donde los intervalos sean tan
pequen˜os que pueda decirse exactamente a que´ velocidad se desplazaba el mo´vil en
cada instante. Es fa´cil darse cuenta de que esta definicio´n se logra tomando como
velocidad instanta´nea:
~v = l´ım
∆t→0
∆~r
∆t
y por tanto, coincide con la definicio´n de derivada respecto al tiempo. As´ı pues se
define finalmente
~v =
d
dt
~r.
De esta definicio´n se obtienen algunas consecuencias:
La direccio´n de ~v va a ser siempre tangente a la trayectoria.
El mo´dulo de ~v puede calcularse, adema´s de operando sobre el vector ~v, sabi-
endo que
|~v| = d
dt
s(t)
siendo s(t) la distancia que el mo´vil ha recorrido sobre la trayectoria1.
5.3. Aceleracio´n
Aceleracio´n es la variacio´n de la velocidad en la unidad de tiempo. Se puede
definir una aceleracio´n media entre dos instantes, inicial y final, como
~am =
~vf − ~vi
tf − ti
y, de manera ana´loga a la velocidad, puede definirse una aceleracio´n instanta´nea
llevando estos instantes inicial y final muy cerca uno del otro, hasta tener as´ı que
la aceleracio´n instanta´nea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo
~a =
d
dt
~v(t).
5.4. Componentes intr´ınsecas de la aceleracio´n
Tomando el vector velocidad como un mo´dulo por un vector unitarios, es decir,
como
~v = |~v|vˆ
y derivando se tiene que, utilizando la regla del producto para las derivadas (ape´ndice
C),
~a = (
d
dt
|~v|)vˆ︸ ︷︷ ︸
tangencial
+ |~v| d
dt
vˆ︸ ︷︷ ︸
normal
.
De estas dos componentes la primera se denomina aceleracio´n tangencial porque,
como se desprende de su propia definicio´n, su direccio´n es la del vector unitario vˆ y
es por tanto, tangente a la trayectoria. La otra componente es la aceleracio´n normal.
1Intuitivamente, para un automo´vil ~r ser´ıan las coordenadas del coche vistas desde un sistema
de referencia elegido, y s(t) ser´ıa la distancia recorrida por el automo´vil que va marcando el
cuentakilo´metros.
30 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
CAPI´TULO 5. CINEMA´TICA
De la aceleracio´n tangencial diremos que su mo´dulo es
|~at| = d
dt
|~v| (5.1)
y su direccio´n
vˆ =
~v
|~v| .
Esta ~at se encarga de “medir” la variacio´n de la velocidad sin importarle su direccio´n
ni sentido, sino solo su mo´dulo, es decir, su “intensidad”.
En cuanto a la aceleracio´n normal, se puede demostrar que su mo´dulo es
|~an| = |~v|
2
R
, (5.2)
siendo R el radio de curvatura de la trayectoria, y que su direccio´n es siempre
perpendicular a la trayectoria y hacia el interior de la “curva”.
5.5. Clasificacio´n de movimientos
Los movimientos se pueden clasificar segu´n las componentes intr´ınsecas de su
aceleracio´n.
1. at = 0
a) an = 0. Movimiento rectil´ıneo a velocidad constante.
b) an = cte. Movimiento circular uniforme.
c) an 6= cte. Movimiento circular acelerado.
2. an = 0
a) at = 0. Movimiento rectil´ıneo a velocidad constante.
b) at = cte. Movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado.
c) at 6= cte. Movimiento rectil´ıneo acelerado.
3. an 6= 0 y at 6= 0. Movimiento curvil´ıneo.
5.6. Composicio´n de movimientos
Los problemas de composicio´n de movimientos tienen la dificultad de saber re-
specto a que sistema estamos resolviendo y por tanto determinar siempre las magni-
tudes respecto al sistema apropiado, bien el especificado por el problema, bien uno
elegido adecuadamente. Es comu´n en este tipo de problemas la presencia de ma´s de
un mo´vil y hay que ser muy cuidadoso para identificar correctamente que mo´viles
se mueven y respecto a que´.
5.6.1. Translacio´n pura
Sus relaciones, que pueden deducirse fa´cilmente de la suma vectorial y posterior
derivacio´n respecto al tiempo, son:
~r = ~r′ + ~r0
~v = ~v′ + ~v0
~a = ~a′ + ~a0
(5.3)
F´ısica General. http://www.ele.uva.es/˜imartin/libro/index.html 31
CAPI´TULO 5. CINEMA´TICA
Piedra
que cae.
Coche que
avanza
r
r
r
c
p
cp
Figura 5.1: Relacio´n vectorial entre unos y otros sistemas. El conductor vera´ la
piedra que cae como ~rcp = ~rc − ~rp.
En donde intervienen el sistema “quieto” y el que se “mueve”, que es el “pri-
mado”. Las magnitudes con el sub´ındice 0 son las relativas entre los sistemas de
referencia.
Una estrategia que suele resultar bastante inteligible de plantear es la siguiente:
1. Plantear un sistema fijo, respecto al cual conocemos, al menos, co´mo es el
movimiento de uno de los otros sistemas.
2. Dibujar entonces el vector de posicio´n que buscamos (generalmente el de un
sistema respecto al otro).
3. Relacionar estos vectores entre s´ı como sumas unos de los otros.
Se ha dibujado esto en la figura 5.1.
Una vez que conocemos el vector de posicio´n se puede extraer el resto de infor-
macio´n derivando o realizando la operacio´n matema´tica necesaria.
5.6.2. Rotacio´n pura
En este caso suponemos que un sistema gira respecto al otro con una velocidad
angular constante ω, pero manteniendo el origen en comu´n.
La fo´rmula interesante es la que relaciona sus velocidades
~v = ~v′ + ~ω × ~r (5.4)
que presenta una dificultad un poco mayor de deduccio´n, y por eso no se expresa
aqu´ı.
Las magnitudes que aparecen en esta fo´rmula son ~v, que es la velocidad que el
mo´vil presenta respeto al sistema “fijo”. ~v′, la velocidad del mo´vil vista desde el
sistema que rota, y ω que es la velocidad angular con la cual el sistema mo´vil rota
respecto al “fijo”, aunque siempre manteniendo en comu´n su origen de coordenadas.
Por ejemplo, si hubiera una mosca posada en el eje de un tocadiscos y girando
con e´l a una cierta velocidad angular ω, que observara a un mosquito avanzar
por el disco con una velocidad ~v′, vista desde el punto de vista de la mosca, que
esta´ rotando, en este caso:
~v Ser´ıa la velocidad del mosquito vista desde el eje del tocadiscos, pero el
observador fijo, es decir, sin girar.
~v′ es la velocidad con la cual la mosca, que gira, ve al mosquito desplazarse
por el disco.
32 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
CAPI´TULO 5. CINEMA´TICA
ω es la velocidad angular del disco.
~r es el vector de posicio´n del mosquito, en el sistema fijo.
5.7. Resolucio´n de problemas
5.7.1. Tiro parabo´lico
Se denomina tiro parabo´lico, en general, a aquellos movimientos que suceden de
forma bidimensional sobre la superficie de la tierra.
Para este tipo de mo´viles el movimiento se descompone en sus componentes2 x
e y. El movimiento en x no sufre aceleracio´n, y por tanto sus ecuaciones sera´n
Eje x
{
x = x0 + v0xt
vx = v0x
(5.5)
pero en cambio en el eje y se deja sentir la fuerza de la gravedad, supuesta constante3
y por tanto sus ecuaciones sera´n
Eje y
{
y = y0 + v0yt− 12gt2
vy = v0y − gt . (5.6)
Algunas preguntas t´ıpicas del tiro parabo´lico son calcular el alcance y altura
ma´xima. Estas preguntas se pueden contestarsabiendo que la altura ma´xima se
alcanzara´ cuando vy = 0. De esta condicio´n se extrae el tiempo que tarda en alcanzar
la altura ma´xima y sustituyendo en la ecuacio´n de las y se obtiene la altura ma´xima.
El alcance ma´ximo se puede calcular razonando que, para cuando esto suceda, el
mo´vil volvera´ estar al nivel del suelo y por tanto y = 0, sustituyendo se obtiene t
y, sustituyendo e´ste en las x el resultado. Otras cantidades se pueden conseguir de
manera similar.
¦ x0 e y0 sera´n las coordenadas donde el mo´vil se encuentra en el instante Nota
t = 0, inicio del movimiento, y vx0 y vy0 la velocidad con la que se mueve
en ese instante. Si nos han indicado que el mo´vil se mov´ıa con una velocidad
v formando un a´ngulo α con la horizontal se puede ver muy fa´cilmente que,
entonces, vx0 = v cosα y vy0 = v sinα.
A su vez el significado de las variables x e y es el siguiente: e´stas nos
indican a que distancia horizontal (x) y altura (y) se encuentra el mo´vil en cada
instante de tiempo t, considerando que estamos tomando como origen para
medir estas distancias horizontales y alturas desde el sistema de coordenadas
respecto al cual estemos tomando todos los dema´s datos.
◦ Se podr´ıa hacer un estudio ma´s complejo incluyendo el rozamiento del Ampliacio´n
aire. Para esto habra´ que modificar las ecuaciones x e y a las nuevas ecuaciones
deducidas en el ape´ndice B.
5.7.2. Componentes intr´ınsecas
P Sea un mo´vil cuyo vector de posicio´n es Problema
~r = (7− 3t)ˆı+ (5t− 5t2)ˆ+ 8kˆ (m).
Calcular su velocidad, aceleracio´n y componentes intr´ınsecas de e´sta,
as´ı como el radio de la trayectoria para t = 0,5s.
F´ısica General. http://www.ele.uva.es/˜imartin/libro/index.html 33
CAPI´TULO 5. CINEMA´TICA
R Derivo para encontrar ~v y ~a. Una primera vez Resolucio´n
~v =
d
dt
~r = −3ıˆ+ (5− 10t)ˆm
s
y una segunda vez
~a =
d
dt
~v = −10ˆm
s2
.
Ahora calculo el mo´dulo de la velocidad:
|~v| =
√
9 + (5− 10t)2 =
√
34− 100t+ 100t2m
s
que, derivado respecto al tiempo nos dara´ el mo´dulo de ~at.
|~at| = d
dt
√
34− 100t+ 100t2 = 100t− 50√
34− 100t+ 100t2
m
s2
y multiplicando por el unitario de ~v, que es
vˆ =
−3ıˆ+ (5− 10t)ˆ√
34− 100t+ 100t2
nos da el vector ~at
~at =
100t− 50
34− 100t+ 100t2 (−3ıˆ+ (5− 10t)ˆ).
m
s2
Por u´ltimo podemos calcular ~an como ~a − ~at. Haciendo las oportunas
sustituciones tendremos que para t = 0,5s, ~v = −3ıˆm
s
, ~a = −10ˆm
s2
,
~at = ~0
m
s2
con lo cual ~an = −3ˆms2 y de esta forma, podremos despejar el
radio de la trayectoria, que sera´
R =
v2
an
= 3m.
5.7.3. Ca´lculo de trayectorias
P Dado el vector de posicio´n de un mo´vilProblema
~r = 15tˆı+ (200− 5t2)ˆ,
calcule la ecuacio´n de su trayectoria.
R Este tipo de problemas se resuelve en general despejando t en unaResolucio´n
de las ecuaciones de x o de y y sustituyendo en la otra, encontrando
as´ı x en funcio´n de y o al reve´s. En este caso tenemos que
x = 15t⇒ t = x
15
y sustituyendo en
y = 200− 5t2
tendremos
y = 200− 5
( x
15
)2
⇒ y = 200− 1
45
x2.
2Vectores ıˆ y ˆ.
3Aproximacio´n va´lida siempre que el tiro discurra en la superficie terrestre o “apreciablemente”
en la superficie terrestre.
34 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
Cap´ıtulo 6
Dina´mica
6.1. Introduccio´n
As´ı como la cinema´tica se encarga de la descripcio´n del movimiento de los cuer-
pos, aunque sin entrar en detalles de la causa que hace mover a e´stos, la dina´mica
estudia precisamente por que´ se mueven los cuerpos, es decir, cua´les son las causas
que crean la variacio´n de su estado de movimiento.
6.2. Leyes de Newton
6.2.1. Ley de la inercia
La ley de la inercia se podr´ıa enunciar como
. Todo cuerpo permanece en su estado actual de movimiento con Recuerda
velocidad uniforme o de reposo a menos que sobre e´l actu´e una fuerza
externa neta o no equilibrada.
donde la fuerza neta de la que hablamos antes ser´ıa la suma vectorial de todas las
fuerzas que puedan actuar separadamente sobre el cuerpo.
¦ E´sta es la razo´n por la cual es tan peligroso para los astronautas en Nota
el espacio separarse de la nave sin un cordo´n que los una a ella, ya que si
chocan con algo y salen impulsados, como no actu´a ninguna fuerza sobre
ellos, seguira´n desplaza´ndose uniformemente y separa´ndose de la nave sin
posibilidad de volver a ella (a no ser que tengan un pequen˜o impulsor).
6.2.2. Segunda ley de Newton
Esta ley es la ma´s importante en cuanto nos permite establecer una relacio´n
nume´rica entre las magnitudes “fuerza” y “aceleracio´n”. Se podr´ıa enunciar como
. La aceleracio´n que toma un cuerpo es proporcional a la fuerza neta Recuerda
externa que se le aplica.
La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, con lo que nume´ricamente
esta expresio´n se denota como
~F = m~a (6.1)
o, en componentes
Fi = mai, i = 1, 2, 3 (6.2)
35
CAPI´TULO 6. DINA´MICA
donde ~F representa la resultante de todas las fuerzas externas al cuerpo, es decir,
la suma de dichas fuerzas. ~F =
∑ ~Fj , j = 1, ...
Esta expresio´n nos relaciona ~F , m y ~a de una forma un´ıvoca. Ba´sicamente nos
dice que el resultado que producen una serie de fuerzas sobre un cuerpo es que dicho
cuerpo se acelere en la misma direccio´n y sentido que la suma de las fuerzas que le
son aplicadas y con una intensidad o mo´dulo que sera´ la misma que la resultante
de las fuerzas dividida entre la masa del cuerpo.
¦ As´ı pues un cuerpo experimenta una aceleracio´n mientras esta´ sien-Nota
do sometido a una fuerza resultante no nula. Si dicha fuerza cesa el cuerpo
adquirir´ıa un movimiento rectil´ıneo uniforme o se quedar´ıa quieto, segu´n el
caso.
6.2.3. Tercera ley de Newton
La tercera ley de Newton expresa una interesante propiedad de las fuerzas: e´stas
siempre se van a presentar en parejas. Se puede enunciar como
. Si un cuerpo A ejerce, por la causa que sea, una fuerza F sobreRecuerda
otro B, este otro cuerpo B ejercera´ sobre A una fuerza igual en mo´dulo
y direccio´n, pero de sentido contrario.
Gracias a esta ley1 se pueden entender feno´menos como que, para saltar hacia
arriba ¡empujamos la Tierra con todas nuestras fuerzas hacia abajo!. Al hacer esto
la Tierra tambie´n ejerce esta misma fuerza con nosotros, pero con sentido contrario
(es decir, hacia arriba) y como la masa de la Tierra es enorme en comparacio´n
con la nuestra, el resultado es que nosotros salimos despedidos hacia arriba pero
la Tierra no se mueve apreciablemente. As´ı tambie´n si empujamos una superficie
puntiaguda con mucha fuerza, podemos clava´rnosla, porque dicha superficie tambie´n
estara´ empujando nuestro dedo con la misma fuerza que nosotros a ella, y como la
superficie de la aguja es much´ısimo menor la presio´n que esta hace sobre nuestro
dedo es muy grande.
¦ Entonces, si a toda fuerza que se ejerce se opone otra de sentido contrarioNota
¿no deber´ıan anularse las fuerzas y nada se podr´ıa mover?. No, porque las
fuerzas se ejercen en cuerpos diferentes. As´ı en el ejemplo del salto, nosotros
empujamos a la Tierra y la Tierra a nosotros, pero estas fuerzas no se anulan
porque, como es evidente, nosotros y la Tierra somos cuerpos distintos.
6.3. Fuerzas especiales que aparecen en problemas
6.3.1. Normal
Por normal se entiende la fuerza con la que una superficie se opone a un cuerpo
que se le situ´a encima. Si no existiera esta fuerza el cuerpo se “hundir´ıa” en la
superficie. E´sta es, por tanto, la fuerza de reaccio´n que, obediente al tercer principio
de Newton, la superficie opone al empuje que el cuerpo, por encontrarse encima,
hace sobre ella.
Esta fuerza es siempre normal a la superficie, es decir, perpendicular a e´sta. Para
calcular su valor hay que ser bastante cuidadoso y hacer un balance de las fuerzas
en los ejes que tomemos, utilizando lanormal para compensar las otras fuerzas de
la forma en que sea necesario.
P Calcule la normal que una mesa ejerce sobre un cuerpo de 10kg siProblema
el cuerpo esta´ en reposo.
1Tambie´n llamada ley de accio´n y reaccio´n
36 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
CAPI´TULO 6. DINA´MICA
R Si el cuerpo esta´ en reposo significa que su aceleracio´n total es Resolucio´n
nula. Entonces aplicando la segunda ley de Newton a un eje vertical
tendremos que
0 = N − P
donde hemos supuesto que la mesa esta´ perfectamente horizontal y por
tanto la normal tendra´ so´lo una componente en el eje y. As´ı tendremos
que N = P y por tanto en este caso N = mg.
El ca´lculo de la normal en un caso donde haya un cuerpo desliza´ndose por una
rampa puede encontrarse en la seccio´n 6.6.
6.3.2. Rozamiento
Entre dos superficies
El rozamiento entre superficies se expresa como
Fr = µN,
siendo siempre de sentido opuesto al del movimiento. Este resultado no se puede
“demostrar” porque se trata de un resultado emp´ırico, es decir, fruto de la experi-
mentacio´n.
El coeficiente de rozamiento µ es adimensional y expresa as´ı la relacio´n entre
la normal que el cuerpo ejerce, es decir, la fuerza con la que el cuerpo empuja la
superficie debajo de la cual se encuentra, y el rozamiento que va a sufrir por causa
de este empuje. Puede haber dos tipos de coeficiente de rozamiento. Un µ esta´tico,
que se aplica cuando el cuerpo esta´ quieto y que as´ı, utilizado en Fr = µN nos va a
ofrecer la fuerza ma´xima con la que el rozamiento se va a resistir a que se mueva un
cuerpo que esta´ quieto, y un µ dina´mico que, aplicado en la fo´rmula de rozamiento,
nos dice la fuerza que el rozamiento esta´ realizando contra un movimiento.
P Un cuerpo de 4kg esta´ deslizando por una superficie lisa con coefi- Problema
ciente de rozamiento (dina´mico) µ = 0,25. Si sobre este cuerpo no actu´an
ma´s fuerzas que el peso y dicha fuerza de rozamiento ¿con que´ acel-
eracio´n se mueve el cuerpo?.
R Aplicando la ecuacio´n de Newton al eje y del movimiento obten- Resolucio´n
emos que, en este eje, las fuerzas que aparecen son el peso y la normal
y, por tanto,
N − P = may.
Como ay = 0 (un cuerpo sobre una superficie no va “botando” sobre
ella, su altura, medida sobre la superficie, es siempre 0.) tendremos que
N = mg. Aplicando ahora Fx = max tenemos que la u´nica fuerza en el
eje x es la de rozamiento, y por tanto
Fx = −Fr = −µN = max ⇒ ax = −µg
de donde ax = −2,45ms2 . El signo ‘-’ se debe a que, como estamos
suponiendo impl´ıcitamente que el cuerpo avanza hacia el signo posi-
tivo de las x, el rozamiento se opondra´ al avance y tendra´, por tanto,
signo negativo.
F´ısica General. http://www.ele.uva.es/˜imartin/libro/index.html 37
CAPI´TULO 6. DINA´MICA
Con un fluido
◦ Rozamiento con un fluido2 se expresa con Ampliacio´n
~Fr = −K~v
o bien
Fr = −Kv
2
u otras potencias de v. Una aplicacio´n algo compleja sobre la forma de uti-
lizar esta fuerza de rozamiento puede verse en el ape´ndice B. No es sencillo
demostrar por que´ esta contribucio´n nos aporta el rozamiento contra un fluido
y, en algunos casos, es por medio de la experimentacio´n como se encuentra
una fo´rmula emp´ırica ma´s precisa.
Tensio´n
En problemas que intervienen cuerdas o poleas tensio´n es la fuerza que liga unos
cuerpos y otros a trave´s de la cuerda. La tensio´n en cada extremo de una misma
cuerda es siempre igual pero de sentido contrario. Si esta tensio´n supera un cierto
valor cr´ıtico la cuerda se romper´ıa.
6.4. El momento lineal
La ley de Newton, expresada como ~F = m~a puede ser utilizada tambie´n para
demostrar otras relaciones interesantes, siempre que se manipule adecuadamente.
Por ejemplo, si definimos una cantidad ~p a la que llamaremos cantidad de
movimiento, podemos decir que una fuerza es la encargada de variar la cantidad de
movimiento sobre un cuerpo. De esta forma definamos ~p tal que
~F =
d
dt
~p.
La pregunta sera´ ahora ¿tendra´ ~p alguna expresio´n conocida?. Supongamos que
un cuerpo con masa constante va a cierta velocidad ~v. Una fuerza sobre e´l de-
bera´ producirle una aceleracio´n y, por tanto variar su velocidad y su momento
lineal. As´ı pues velocidad y momento lineal deben de ir relacionados de alguna for-
ma. Efectivamente tomando ~p = m~v nos damos cuenta de que d
dt
m~v cuando m es
constate es m d
dt
~v = m~a = ~F .
Por tanto hemos descubierto una nueva magnitud ~p que nos sera´ de gran utilidad
para desarrollos sucesivos.
¦ Una forma intuitiva de comprender el momento lineal es como una formaNota
de medir la dificultad de llevar una part´ıcula hasta el reposo. As´ı es claro
que, cuanto ma´s masivo sea un cuerpo y ma´s velocidad tenga, tanto ma´s nos
costara´ “parar” el movimiento de dicho cuerpo.
6.4.1. Conservacio´n del momento lineal
Cuando la resultante de las fuerzas externas sobre un sistema es nula, ¿que´ sucede
con ~p?. Como la fuerza es la derivada del momento lineal respecto al tiempo, obten-
emos que, cuando la fuerza total es cero, esta cantidad que se deriva debe ser
constante y, por tanto, si ~F = ~0 esto supone ~p = cte. Hemos obtenido as´ı que esta
magnitud tan interesante, el momento lineal, se conserva, es decir, no var´ıa, cuando
no aparecen fuerzas externas sobre un objeto. Por tanto podemos decir que
~pi = ~pf .
2Aire, agua, aceite...
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CAPI´TULO 6. DINA´MICA
mg sen α
mg cos α
x
y
α
N
mg
α
Figura 6.1: Descomposicio´n de las fuerzas en un plano inclinado.
La importancia de esta igualdad se podra´ ver mejor cuando hablemos de los
sistemas de part´ıculas, concretamente en la seccio´n 8.3.3.
6.5. Conservacio´n de la energ´ıa
Cuando en un problema intervienen sobre el sistema u´nicamente fuerzas con-
servativas3 se pude aplicar el teorema de conservacio´n de la energ´ıa. Esto supone
que
Ei = Ef ,
siendo Ei y Ef las sumas de las energ´ıas potenciales ma´s la energ´ıa cine´tica en los
momentos i y f4.
La explicacio´n de esta igualdad tan interesante no se expresa aqu´ı porque se
vera´ ma´s concretamente en el cap´ıtulo 7.4.
6.6. Resolucio´n de problemas
6.6.1. Planos inclinados
Es comu´n en los problemas la presencia de planos inclinados. En estos casos
habra´ que tener en cuenta que, as´ı como la gravedad siempre se presenta vertical, la
normal sera´ perpendicular al plano inclinado, por lo que ningu´n sistema de coorde-
nadas ortogonal tendra´ exactamente comprendidas las fuerzas en accio´n en sus ejes.
Esta pequen˜a dificultad se soslaya de una manera simple, se proyectan las fuerzas
sobre los ejes que estemos utilizando.
Una buena eleccio´n suele ser tomar el eje y en la normal al plano inclinado, y el
eje x acorde con su superficie de deslizamiento. De esta forma la normal estara´ to-
talmente comprendida en el eje y, y so´lo habra´ que considerar las proyecciones de
g usuales; g cosα para la normal y g sinα la componente de la gravedad que hace
desplazarse el veh´ıculo hacia abajo en el plano inclinado. Todo esto se puede ver en
la figura 6.1.
P Un cuerpo desliza por una rampa inclinada 30o y con un coeficiente Problema
3Ba´sicamente, siempre que no hay rozamiento.
4Llamados as´ı por inicial y final.
F´ısica General. http://www.ele.uva.es/˜imartin/libro/index.html 39
CAPI´TULO 6. DINA´MICA
α β
1
2
µ µ1 2
m
m
Figura 6.2: ¿Cua´l sera´ la aceleracio´n de este sistema?
de rozamiento µ = 0,2. Calcular la aceleracio´n con la que desciende
suponiendo que g = 9,8m
s2
.
R Tomemos para enfocar este problema el gra´fico representado en laResolucio´n
figura 6.1. Habremos de aplicar la ecuacio´n de Newton
~F = m~a
para un sistema adecuado de ejes. Se van a tomar como ejes unos tales
que el eje x presente la misma inclinacio´n que la rampa. De esta forma
planteando la ecuacio´n primeropara el eje y:
Fy = may
y como las fuerzas en el eje y son la normal (componente positiva) y la
proyeccio´n sobre este eje y del peso (componente negativa) tendremos
que
N −mg cos 30 = ma.
Ahora hay que darse cuenta que, en el eje y el cuerpo no se acelera
porque, como en ningu´n momento se despega de la superficie, siempre
su y = y, por tanto, ay = 0. As´ı que tenemos que N −mg cos 30 = 0⇒
N = mg cos 30.
Para el eje x tenemos dos fuerzas, la proyeccio´n sobre nuestro eje x
del peso y la fuerza de rozamiento. As´ı pues
Fx = max ⇒ mg sin 30− µN = max
y haciendo las oportunas sustituciones podemos despejar ax, que es la
aceleracio´n del sistema.
ax = g sin 30− µg cos 30 ≈ 3,2m
s2
.
Cuando aparecen varios cuerpos unidos por cuerdas hay que hacer este mismo
ana´lisis para cada cuerpo, incorporando como fuerza la tensio´n que ejercen las cuer-
das y da´ndose cuenta de que ax sera´ la misma para todos los cuerpos, puesto que
si se encuentran unidos por cuerdas su movimiento sera´ solidario.
P Encontrar la aceleracio´n del sistema dibujado en la figura 6.2.Problema
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CAPI´TULO 6. DINA´MICA
R Tomemos primero el cuerpo 1 y analicemos las fuerzas que apare-
Resolucio´n
cen sobre e´l. Podemos, aprovechando el ana´lisis del problema anterior,
darnos cuenta de que un estudio de las fuerzas perpendiculares a la su-
perficie va a darnos so´lo como resultado que N1 = m1g cosα. As´ı que
las fuerzas horizontales sera´n, tomando como sentido positivo hacia la
derecha:
1. La tensio´n, positiva.
2. La componente x del peso, de valor −m1g sinα.
3. El rozamiento, que sera´ −µ1N1 = −µ1m1g cosα.
Para el cuerpo 2 se tendra´n las fuerzas:
1. Tensio´n, negativa para este cuerpo. −T
2. Componente x del peso: m2g sinβ.
3. Rozamiento, −µ2N2 = −µ2m2g cosβ.
Queda ahora plantear el sistema de ecuaciones que resolvera´ este prob-
lema. Antes hay que darse cuenta que la componente x de la aceleracio´n
debe ser la misma para ambos cuerpos, ya que van solidarios gracias a
la cuerda. Llamaremos a esta componente de la aceleracio´n simplemente
a.
T −m1g sinα− µ1m1g cosα = m1a
−T +m2g sinβ − µ2m2g cosβ = m2a
}
.
Resolviendo este sistema (por ejemplo sumando las ecuaciones miembro
a miembro) se obtiene fa´cilmente que
a =
m2 sinβ − µ2m2 cosβ −m1 sinα− µ1m1 cosα
m1 +m2
g.
6.6.2. Curvas
Cuando aparecen problemas de estabilidad en las curvas pueden ser de los tipos
explicados a continuacio´n y cuya representacio´n se ha pretendido en la figura 6.3.
Curvas sin peraltar
En estos casos la fuerza de rozamiento es la que nos proporciona toda la com-
ponente normal que servira´ para tomar la curva. Siempre que tengamos que e´sta
es mayor que la aceleracio´n normal el automo´vil sera´ capaz de tomar la curva, es
decir, el caso l´ımite se alcanza cuando
Fr = man = m
v2
R
.
Curvas peraltadas sin rozamiento
En estos casos se toma la proyeccio´n de la normal sobre la horizontal como
causante de la fuerza centr´ıpeta. Este caso se puede ver en la figura 6.3b y se tiene,
simplemente, que:
tanα =
m v
2
R
mg
=
v2
Rg
.
F´ısica General. http://www.ele.uva.es/˜imartin/libro/index.html 41
CAPI´TULO 6. DINA´MICA
mg
a)
F r
mg
b)
FI - 1313 - J
mg
F n
Ángulo
máximo
c)
N
α
Figura 6.3: Distintas situaciones ante una curva.
Curvas peraltadas con rozamiento
Este es un caso bastante ma´s complejo de analizar. Podr´ıa ser un buen ejercicio
para el lector intentar demostrar que, en este caso, la velocidad l´ımite para tomar
la curva siendo g la aceleracio´n de la gravedad, µ el coeficiente de rozamiento, α el
a´ngulo de inclinacio´n de la curva y R el radio de la misma, es
v =
√
Rg
µ+ tanα
1− µ tanα.
Vuelcos
En otras situaciones se pide que analicemos si vuelca o no un automo´vil. Se
considera que vuelca cuando la fuerza sobre el centro de masas supera el a´ngulo que
forma el centro de masas con alguno de los extremos donde se apoya el veh´ıculo.
Un dibujo puede verse en la figura 6.3. (Este apartado necesita actualizacio´n).
6.6.3. Casos l´ımite
Es comu´n la existencia de problemas en los que se nos pregunta por un caso
l´ımite, relacionado con cuando un mo´vil se saldra´ de un determinado recorrido,
o podra´ dar una vuelta completa en un bucle, o similar. En estos casos hay que
tener en cuenta, simplemente, que un cuerpo permanecera´ adherido a una superficie
mientras exista una cierta reaccio´n de la superficie al cuerpo, es decir, mientras la
normal no sea nula. Cuando la normal es nula estamos ante el caso l´ımite.
Tambie´n es muy conveniente recordar que, en la mayor´ıa de estos casos, los
cuerpos siguen una trayectoria circular. Pues bien, habra´ que recordar que este
recorrido circular so´lo es posible si existe una aceleracio´n centr´ıpeta del mo´dulo
adecuado a la velocidad y radio de la trayectoria, (ver (5.1) y (5.2)) con lo que
habra´ que realizar la descomposicio´n oportuna de fuerzas para ver que´ parte es la
que suministra esta componente y, cuando las fuerzas exteriores no sean capaces de
suministrar esta aceleracio´n normal, nos hallaremos con el caso l´ımite y el cuerpo
se saldr´ıa de su trayectoria circular o, en definitiva, dejar´ıa de hacerla.
P Calcular la altura mı´nima desde la que hay que dejar caer unProblema
objeto para que logre dar la vuelta a un bucle entero, como el dibujado
en la figura 6.4. Se desprecian todos los rozamientos que pudiere haber.
42 (C) Ignacio Mart´ın Bragado. imartin@ele.uva.es
CAPI´TULO 6. DINA´MICA
h
R
A
B
Figura 6.4: ¿Desde que´ altura podra´ una masa realizar un bucle?.
R Analizando las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo cuando e´steResolucio´n
se encuentre en el punto B de la trayectoria, tenemos que, tomando
como sentido positivo hacia arriba, el peso sera´ −mg, la normal en
este caso es hacia abajo porque la fuerza que realiza la superficie sobre
el cuerpo es siempre evitando que este “atraviese” la superficie, y en
este caso “atravesar” la superficie supondr´ıa empujarla en exceso hacia
arriba, con lo cual, tomando N como el mo´dulo de la normal, la normal
sera´ −N . Por u´ltimo el efecto de estas dos fuerzas sera´ producir una
aceleracio´n pero, como en este caso el objeto esta´ rotando, no sera´ una
aceleracio´n cualquiera sino una aceleracio´n puramente normal y, por
tanto, de mo´dulo
a =
v2
R
y sentido tambie´n hacia abajo (hacia el centro de la curva). De esta
manera tendremos que el ana´lisis de fuerzas en la parte ma´s alta del
bucle (punto B) es
−mg −N = −mv
2
R
.
¿Que´ significa esta fo´rmula?. Lo que significa es que son el peso y la
normal, los que “empujan” al cuerpo hacia abajo obliga´ndole a girar y
realizar una trayectoria circular. Ahora bien, si “mentalmente” vamos
disminuyendo v en la fo´rmula, nos damos cuenta de que el te´rmino de
la aceleracio´n normal va siendo ma´s pequen˜o, y por tanto la fuerza
centr´ıpeta tambie´n. ¿Co´mo se logra esto?. Como el peso es constante
so´lo se puede lograr disminuyendo la fuerza que ejerce la normal. Cuando
la fuerza centr´ıpeta sea igual que el peso del cuerpo tendremos que en
este instante la normal es cero. ¿Y si es menor la fuerza centr´ıpeta que
el peso?. Entonces deber´ıamos tener una normal positiva, es decir, que
“empujara” hacia arriba. Pero esto es imposible, porque claramente se ve
que las superficies no “absorben” los cuerpos, que es lo que supondr´ıa que
la normal tuviera signo contrario. Por lo tanto sim v
2
R
< mg el cuerpo no
puede rotar correctamente y caer´ıa salie´ndose del bucle. Intuitivamente
sucede que, como la fuerza centr´ıpeta no necesita tanto peso, “sobra
componente vertical” y, por tanto, el cuerpo cae.
As´ı pues deducimos que la velocidad l´ımite con la que debe llegar el
cuerpo arriba es tal que m v
2
R
= mg ⇒ v = √gR.