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55 66 77 88
Boletín Virtual: Geometría
. . .
Geometría
2
Definiciones primitivas, segmentos y ángulos
NIVEL BÁSICO
1. Sobre una línea recta se ubican los puntos 
consecutivos A, B, C y D. B es punto medio de 
AC y CD=2BC. Si AD=40, calcule AB.
A) 20 B) 10 C) 5
D) 30 E) 25
2. Sobre una línea recta se ubican los puntos 
consecutivos A, B, C y D además B es punto 
medio de AD. Si AD=30 y CD=12, calcule BC.
A) 1 B) 3 C) 4
D) 5 E) 2
3. De una línea recta se toman los puntos con-
secutivos A, B, C y D, de modo que AD=30, 
AC=14 y BD=20. Calcule BC.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4. Sobre una línea recta se ubican los puntos con-
secutivos A, B, C, D y E. Si DE=2(AB), BC=CD y 
AC=13, calcule BE.
A) 12 B) 26 C) 18
D) 20 E) 24
5. Si Sa=3Ca, donde S y C representan el suple-
mento y complemento de la medida de un án-
gulo, respectivamente, calcule a.
A) 35º
B) 45º
C) 40º
D) 30º
E) 12º
6. Según el gráfico
 
m m m  AOB BOC COA
5 6 7
= =
 Calcule m AOB.
 
A
B
C
O
A) 20º B) 40º C) 100º
D) 140º E) 50º
7. De acuerdo con el gráfico, OM
� ��
 y ON
� ��
 son las 
bisectrices de los ángulos AOB y COD, respec-
tivamente. Calcule la m AOB si
 
m m m  AOB BOC COD
2 4 6
= =
 
A
M B C
N
D
O
64º
A) 30º B) 32º C) 24º
D) 16º E) 40º
8. En una línea recta se ubican los puntos conse-
cutivos A, B, C, D y E.
 Si AB
BC CD DE= = =
2 3 4
 y AC=9, halle AE.
A) 20 B) 30 C) 40
D) 27 E) 21
. . .
Geometría
3
NIVEL INTERMEDIO
9. Sobre una recta se tienen los puntos consecu-
tivos A, B, C, D y E, de modo que AE=4BD y 
AD+BE=80. Halle AB+DE.
A) 80 B) 16 C) 48
D) 64 E) 32
10. En una recta se ubican los puntos consecuti-
vos M, N, P, Q y R. F y Q son los puntos me-
dios de MN y PR, respectivamente, NP=4 y 
2PF+PR=18. Calcule FN+QR.
A) 4 B) 9 C) 8
D) 5 E) 10
11. En el gráfico, m BOD=90º y 
 m AOD – m AOB=20º. Halle m COD.
 
O
D
B
CA
A) 55º B) 35º C) 25º
D) 40º E) 30º
12. Se trazan n ángulos consecutivos alrededor de 
un punto. Si la suma de medidas de sus com-
plementos es 810º, halle n.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 13
NIVEL AVANZADO
13. De una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C y D, de modo que AC=12. Si M y N son los 
puntos medios de AB y CD, respectivamente, 
además MN=16, calcule BD.
A) 16 B) 12 C) 18
D) 15 E) 20
14. Calcule la medida de un ángulo si se sabe que 
los tres cuartos del suplemento de su comple-
mento es 90º.
A) 15º B) 30º C) 45º
D) 60º E) 75º
15. Si α αα α+ = −C S
4 2 10
, donde S y C representan 
el suplemento y complemento de un ángulo, 
respectivamente, calcule S2a.
A) 50º B) 100º C) 80º
D) 160º E) 130º
. . .
Geometría
4
Ángulos entre rectas paralelas
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, si L L
�� ��
1 2// , calcule a+b+q+w.
 
α
ω
θ
β
L 2
L 1
A) 180º B) 36º0 C) 540º
D) 270º E) 450º
2. Si L L
�� ��
1 2// y L L
�� ��
3 4// , calcule x+y+z.
 
L 1
L 3
L 2
L 4
30º
y
y
x
z
130º
A) 160º B) 80º C) 150º
D) 50º E) 40º
3. Si L L
�� ��
1 2// , calcule x.
 
4θ
4α
α
x
θ
L 2L 1
A) 90º B) 135º C) 120º
D) 144º E) 108º
4. Según el gráfico, si L L
�� ��
1 2// , calcule a+b.
 
α
α
α
αβ
β
β
2βα L 1
L 2
A) 36º
B) 95º
C) 60º
D) 72º
E) 80º
5. Si L L L
�� �� ��
1 2 3// // , calcule x.
 
L 1
L 2
L 3
x+50º
150º
x+30º
140º
x
2x
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 35º
E) 15º
. . .
Geometría
5
6. A partir del gráfico, calcule x si a+b=140º y 
L L
�� ��
1 2// .
 
L 1
L 2
m
m
n
βα
x
n
A) 50º B) 110º C) 80º
D) 160º E) 130º
7. En el gráfico mostrado, L L
�� ��
1 2// ,
 calcule x si q – b=40º.
 
θ
β
L 1
L 2
x
A) 40º B) 20º C) 30º
D) 50º E) 60º
8. Si L L
�� ��
1 2// , calcule x.
 
L 2
L 1
x
x
120º
A) 45º B) 20º C) 30º
D) 37º E) 60º
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, calcule x.
 
θ
θ
x 4x
A) 50º B) 20º C) 30º
D) 18º E) 36º
10. En el gráfico, si L L
�� ��
1 2// , calcule x.
 
L 2
L 1
30º
40º
2x
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 35º E) 15º
11. Si L L
�� ��
1 2// , calcule x.
 
L 2
L 1
120º
x
140º
A) 60º B) 120º C) 80º
D) 110º E) 100º
. . .
Geometría
6
12. Si L L
�� ��
1 2// y a+b+q=135º, calcule x+y.
 
θ
βα
L 1
L 2
x y
76º
50º
A) 109º B) 93º C) 97º
D) 114º E) 100º
NIVEL AVANZADO
13. Si L L
�� ��
1 2// , calcule w+q.
 
θ
ω
L 2
L 1
20º
80º
A) 60º B) 120º C) 80º
D) 140º E) 100º
14. Si L L
�� ��
1 2// , calcule x.
 
L 2
L 1
m+n n
4x
x
a
a
m
A) 30º B) 18º C) 24º
D) 36º E) 37º
15. Según el gráfico, L L
�� ��
1 2// , BP
���
 es bisectriz del 
ángulo ABC, m+a=70º y n – a=100º. 
 Calcule x.
 
L 1
L 2
m
x
aA
B
C
n
P
A) 60º B) 50º C) 30º
D) 70º E) 80º
. . .
Geometría
7
Triángulo
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, calcule x.
 
20º
65º 110º 30º
50º
x
A) 45º B) 60º C) 90º
D) 100º E) 120º
2. A partir del gráfico, calcule b+d – a – c.
 
50º 60º
a
d
b
c
A) 10º B) 55º C) 110º
D) 80º E) 85º
3. Del gráfico, mostrado, calcule x.
A) 40º 
B) 50º 
α
α
x
60º
a
40º
C) 60º
D) 70º 
E) 80º
4. Del gráfico mostrado, calcule x.
 
α
x
α
β
β
100º
3x
A) 50º B) 75º C) 25º
D) 20º E) 30º
5. A partir del gráfico, calcule x.
 
α
θ
2θ
2α
2x
3x
5x
A) 18º B) 20º C) 36º
D) 27º E) 30º
6. Del gráfico, calcule x.
 
θ+α
α
θ
θ
4x
3x
2x
A) 20º B) 14º C) 18º
D) 16º E) 15º
. . .
Geometría
8
7. En el siguiente gráfico, ¿cuál es la suma de me-
didas señaladas?
 
α
θ
β ω
γ
Φ
A) 405º B) 180º C) 390º
D) 450º E) 360º
UNMSM 2000
8. A partir del gráfico, calcule x+y+z.
 
40º
y
x
z
A) 360º B) 420º C) 320º
D) 400º E) 280º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, calcule x.
 θ
2θ
108ºx
2α
α
A) 72º B) 36º C) 24º
D) 54º E) 27º
10. Calcule x+y.
 
ω
3ω α 3α
x
y
30º
65º
A) 95º B) 105º C) 115º
D) 120º E) 150º
11. Del gráfico, calcule a+b+q+w+f.
 α
β
θ
ω
Φ
A) 180º B) 270º C) 360º
D) 150º E) 240º
12. A partir del gráfico, calcule el valor de x.
 
β
β
130º
x
30º
A) 30º B) 25º C) 50º
D) 20º E) 15º
. . .
Geometría
9
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, q+b=180º. Calcule x.
 
θ
β
80º
50º
30º
x
A) 110º
B) 160º
C) 130º
D) 145º
E) 100º
14. En el gráfico, si m+n=30º, calcule x.
A) 20º 
θ
θ
m
ω
ω
x
n
100º
B) 25º
C) 30º
D) 35º
E) 15º
15. En el gráfico, calcule x si a+b=160º.
 
m
m
x x
b
a
n
n
A) 100º B) 130º C) 140º
D) 160º E) 80º
. . .
Geometría
10
Clasificación de triángulos
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, si AB=CD, calcule x.
 
β
β
x
x 40º
A D C
B
A) 50º B) 60º C) 80º
D) 70º E) 55º
2. En el gráfico, AB=BP y AC=QC. Calcule b.
 
3β2β
Q
P
A
B
C
β
A) 10º B) 15º C) 20º
D) 12º E) 18º
3. En un triángulo ABC, se ubica P en el lado BC, de tal 
manera que AP=PC y AB=AP. Si m BAP=40º, 
calcule m BCA.
A) 20º
B) 35º
C) 40º
D) 80º
E) 75º
4. Del gráfico, AQ=QM y QN=QC.
 Calcule x.
 A Q C
NM
x
B
70º
A) 70º B) 110º C) 55º
D) 140º E) 40º
5. En el gráfico, AB=AD=CD.
 Calcule x.
 
70º
60º x
A D
C
B
A) 60º B) 70º C) 80º
D) 130º E) 65º
6. En el gráfico, AB=BC y AC=CD.
 Si m ABC=2(m ADC), calcule x.
 
B
A C
D
x
A) 45º B) 60º C) 70º
D) 90º E) 30º
. . .
Geometría
11
7. En el gráfico, AB=AC=CD=CE.
 Calcule x.
 
80º
60º
x
A C
E
D
B
A) 30º B) 35º C) 40º
D) 10º E) 20º
8. En el gráfico, AB=BD=BC, AC=21 y CE=20.
 Calcule AE.
 
60º
60º
D
A
B
C
E
A) 27º B) 29º C) 20º
D) 21º E) 22º
NIVEL INTERMEDIO
9. En la región exterior relativa al lado AC de un 
triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubi-
ca D, de modo que AD=17, AB=15, BC=8 y 
m ADC=50º. Calcule m DAC.
A) 50º B) 65º C) 80º
D) 70º E) 55º
10. A partir del gráfico, AC=CD=DE=EF=FB y 
AB=BC. Calcule x.
 A D F B
E
C
x
A) 60º
B) 80º
C) 90º
D) 100º
E) 120º
11. En la región exterior relativa al lado BC de un 
triángulo isósceles de base AC, se ubica el punto 
P, de modo que el triángulo BPC es equilátero y 
m CAP=3(m APC). Calcule m APB.
A) 45º B) 50º C) 37º
D) 55º E) 48º
12. En un triángulo ABC, AB=2 y BC=12. Calcule el 
máximo valor entero de AC.
A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15
NIVEL AVANZADO
13. En un triángulo ABC, en AB y BC se ubican 
los puntos P y Q, respectivamente, tal que 
AP=QC=PQ y m QAC+m PCA=70º. 
 Calcule m ABC.
A) 40º B) 50º C) 35º
D) 45º E) 20º
. . .
Geometría
12
14. En un triángulo ABC, en el lado AC y en la 
región exterior relativa a BC, se ubican los 
puntos P y Q, respectivamente, de modo que 
PQ y BC se intersecan en F. Si AB=BP=PQ, 
PF=FC y m ABC=80º, calcule m PBQ. Calcu-
le m PBQ.
A) 80º
B) 100º
C) 40º
D) 50º
E) 60º
15. En el gráfico, AB=QC. Calcule x.
 
2x 2x
7x
Q
A C
B
x
A) 10º B) 20º C) 15º
D) 14º E) 12º
. . .
Geometría
13
Líneas notables asociadas al triángulo
NIVEL BÁSICO
1. Del gráfico, calcule x+y.
A) 45º 
B) 55º 
β
x
y
β
θ
θ
70º
C) 65º
D) 70º 
E) 75º
2. En el gráfico, calcule x.
A) 20º 
θ
θ
β
β
5x 5x
2x
B) 25º
C) 15º
D) 30º
E) 12º
3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se 
traza la altura BH y la bisectriz interior BF del 
ángulo HBC. Si AB=20 y BC=21, calcule FC.
A) 2 B) 3 C) 8
D) 9 E) 14,5
4. Del gráfico, calcule x.
 
αθ θ
2x+21º
2x+7º
x
α
A) 15º B) 20º C) 21º
D) 14º E) 7º
5. En el gráfico, calcule x.
 
2θ 2β
β
β
θθ
40º
x
A) 80º B) 100º C) 115º
D) 120º E) 125º
6. En un triángulo ABC, se trazan la altura BH y la bi-
sectriz BD del ángulo ABC, tal que D está en HC. 
Si m DBH=40º, calcule m BAC – m BCA.
A) 40º B) 80º C) 120º
D) 50º E) 100º
7. Del gráfico, calcule x+y.
 
β
β
θ
θ
50º50º
x
y
A) 115º
B) 120º
C) 130º
D) 240º
E) 245º
. . .
Geometría
14
8. En el gráfico, calcule x.
A) 10º 
β β θ
8x
x
θ
120º
B) 5º
C) 20º
D) 15
E) 14º
NIVEL INTERMEDIO
9. En un triángulo ABC se trazan las cevianas inte-
riores AP y CQ, que intersecan en M, de modo 
que AC=QC=AP. Calcule 
m
m


PMC
ABC
.
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) 3 E) 1/3
10. Del gráfico, calcule x.
A) 100º 
β
βθ
θ
x
50º
B) 110º
C) 115º
D) 120º
E) 140º
11. Del gráfico, calcule x.
 
α
α
θ β βθ
2x
A) 20º B) 36º C) 30º
D) 15º E) 22,5
12. Del gráfico, calcule el valor de x.
 
θ
β
β
θ50º
x
A) 50º B) 25º C) 65º
D) 60º E) 45º
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene un triángulo ABC, en el que
 m ABC – m CAB=50º; además se traza la 
bisectriz interior CD y en AC se ubica el punto E, 
de modo que m EDC=80º. Calcule m ADE.
A) 20º B) 15º C) 25º
D) 30º E) 35º
14. En un triángulo ABC se tiene que m ABC=70º; 
además se traza la altura BH. Calcule la medida 
del ángulo que determinan las bisectrices de 
los ángulos BAC y HBC.
A) 95º B) 100º C) 85º
D) 105º E) 90º
15. Se tiene un triángulo ABC, tal que m ABC=100º. 
Se traza la ceviana interior BM y la bisectriz 
interior CQ, las cuales se intersecan en P. 
Si AB=AM, calcule m QPB.
A) 40º B) 50º C) 65º
D) 80º E) 45º
Geometría
2
Congruencia de triángulos
NIVEL BÁSICO
1. En la figura, calcule x si AB=BC=CD=DE.
 A
2x
x
θB
C
D
E
θ
A) 18º B) 36º C) 72º
D) 30º E) 15º
2. Según el gráfico AB=BC. Calcule x.
 A
B
θθ
θ θ
C
20ºx
A) 19º B) 28º C) 22º
D) 25º E) 20º
3. En el gráfico, calcule x si AC=CD.
 
3x
12
A C
D
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4. Si AB=12 y CD=16, calcule AD. Considere que 
BE=EC.
 EA
B
C
D
A) 22 
B) 24 
C) 26
D) 28 
E) 30
5. En la figura, AM=MC y 3(BC)=AB+8. Calcule 
BC.
 
B
A CM
A) 3 B) 4 C) 6
D) 7 E) 8
6. Según la figura, PQ=AC, AB=6 y CQ=10. Cal-
cule BP.
 
B
θ α
θ
α
P
CA
Q
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
Geometría
3
7. En la figura, AD=4. Calcule BE.
 
B E
A
D
β
θθ
β
C
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 3 E) 4
8. En la figura, AB=BD. Si a+b=60º, calcule x.
 A
B
C
x
D
α
β
α
A) 60º B) 100º C) 120º
D) 140º E) 110º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, ABC y CDE son triángulos equilá-
teros. Calcule x.
 A C
E
B
D
x
100º
A) 30º B) 40º C) 45º
D) 50º E) 60º
10. Según el gráfico, las regiones sombreadas son 
congruentes y BC=DE. Calcule x.
 
P
A B
x
β
β20º
DC
E
A) 60º B) 65º C) 45º
D) 55º E) 50º
11. En el gráfico, BD=AB+AC. Calcule x/y.
 
Y
A C
D
B
θ
θ
x
A) 1/2 B) 1/3 C) 1
D) 2 E) 3
12. Del gráfico, AM=MC y AN=BC. Calcule m MBC.
 
B
x
CMA
N
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 37º
E) 53º
Geometría
4
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, AE=DC, BC=AD y AM=MC. 
Calcule x.
 
40º
A M C
D
x
B
E
A) 10º B) 20º C) 25º
D) 30º E) 35º
14. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior 
AD. Luego se ubica E en AD, tal que AB=EC y 
CD=AE. Si m BAE=m ECD, calcule m BDE.
A) 30º 
B) 40º 
C) 50º
D) 80º 
E) 60º
15. En un triángulo ABC (AB=BC), se traza la ce-
viana interior BP y en BC se ubica el punto M, 
tal que AP=MC, m BAP=40º y m PBC=70º. 
Calcule m MPC.
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 45º E) 60º
Geometría
5
Aplicaciones de la congruencia
NIVEL BÁSICO
1. Según la figura, AC=12 y AB=9. Calcule FC.
 
θ
A B
C
F
θθ
A) 7 B) 6 C) 3
D) 4 E) 5
2. Del gráfico, calcule x si BD=DE.
 
B D
48º
E
x
A) 48º B) 42º C) 24º
D) 21º E) 14º
3. En el gráfico, BH=a – 1 y HC=2a – 7. Calcule a.
 
β
βA
B
C
H
A) 6 B) 7 C) 8
D) 4 E) 5
4. Según el gráfico, PQ=5 y QC=3. Calcule BP.
 
α
α
A
B
P
CQ
A) 4 B) 5 C) 3
D) 34 E) 29
5. En el gráfico, AM=MC, calcule x.
A) 30º
B) 31º 
31º
A
B
x
CM
C) 15,5º
D) 45º
E) 59º
6. En el gráfico, AM=MB y MN+AC=21. Calcule 
(MN)(AC).
 
θ
θ
A
B
C
M N
A) 42 B) 84 C) 98
D) 49 E) 63
7. Según el gráfico, BC=18 y AM=2x. Calcule x.
 
θ
θ
C
A
BM
A) 9 B) 18 C) 4,5
D) 5 E) 6
Geometría
6
8. En el gráfico, AP=PC y BM=MD. Si AC=16, 
calcule MN.
 
θ
θ
A
B
CP
N
M D
A) 8 B) 4 C) 12
D) 2 E) 6
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, L
��
 es mediatriz de AC y AB=PC. 
Calcule x.
A) 10º
B) 30º 80º
L
A
B
C
x
P
C) 50º
D) 40º
E)
20º
10. Del gráfico, CD=2(AB). Calcule x.
 A
B
CD
x
21º
A) 15º B) 16º C) 27º
D) 21º E) 14º
11. En el gráfico, AM=MC y BC=2(BM), calcule x.
A) 40º
B) 50º 70º
A
B
C
x
M
C) 55º
D) 70º
E) 35º
12. Según el gráfico, AB=BC y AC=2(BE). Calcule x.
 
30º
A
B
C
E
x
A) 30º B) 40º C) 50º
D) 10º E) 20º
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en 
B. Exterior y relativo a AC se ubica P, tal que 
AC=2(BP). Si m ABP=10º y m ACB=20º, 
calcule m ACP.
A) 5º B) 8º C) 10º
D) 12º E) 20º
14. En un triángulo ABC, se ubican M y N en AC y 
en la prolongación de CB, respectivamente. Si 
NB=BC=BM y AM=NM, calcule m NAM.
A) 30º 
B) 35º 
C) 40º
D) 45º 
E) 60º
15. En un triángulo ABC, se trazan la mediana AM y 
la ceviana BQ, que se intersecan en P, tal que 
AP=PM. Calcule PQ
PB
.
A) 
1
4
 B) 
1
3
 C) 
1
2
D) 1 E) 2
Geometría
7
Triángulos rectángulos notables
NIVEL BÁSICO
1. En la figura, CD=4. Calcule AC.
 
30º
60º
A
B
C
D
A) 4 3 B) 4 2 C) 8
D) 8 2 E) 8 3
2. En el gráfico, BD=3 y DC=5. Calcule x.
 A
B
C
D
x
x
A) 30º B) 15º C) 
45
2
º
D) 
37
2
º
 E) 
53
2
º
3. Del gráfico, AD=DC y BC=40. Calcule ED.
 
53º
A
E
D
B
C
A) 8 B) 10 C) 12
D) 16 E) 24
4. En la figura, AC=20. Halle BH.
 
45º
30º
A
B
CN
H
A) 5 2 
B) 3 2 
C) 
5
2
2
D) 4 2 
E) 5 3
5. En la figura, AC=12 y BN=8. Calcule q.
 
37º
θ
A
B CN
A) 15º B) 12º C) 7º
D) 8º E) 22º
6. Del gráfico, AB=BD. Calcule x.
 
53º/2
A
B
D
x
A) 7º B) 8º C) 4,5º
D) 3,5º E) 10º
Geometría
8
7. En el gráfico, AC=20 y BD=4. Calcule x.
 
15º
A
B
C
D
x
A) 37º B) 53º C) 22º
D) 15º E) 37º/2
8. En el gráfico, las regiones sombreadas son 
congruentes. Si BP=6, calcule AP.
 A
B
C
P
A) 10 B) 12 C) 6 10
D) 6 5 E) 6 3
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, AM=MB, BN=NC y AC=2(QN)=8. 
Calcule NH.
 
20º
40º
B
A C
M N
Q
H
A) 2 B) 3 C) 3
D) 2 3 E) 3 2
10. En el gráfico, L
��
 es mediatriz de AC y PC=3(PB). 
Calcule x.
 
45º
A
B
C
Px
A) 60º B) 75º C) 
127
2
º
D) 
143
2
º
 E) 75º
11. Según el gráfico, BH=2(HC)=2(AB). Calcule x.
 
A
B
C
D
H
x
A) 20º B) 50º C) 
127
2
º
D) 
53
2
º
 E) 
37
2
º
12. En el gráfico, AP=PB y BC=PC. Calcule x.
 
2θ
θA
B
C
x
P
A) 15º B) 16º C) 18º
D) 30º E) 37º
Geometría
9
NIVEL AVANZADO
13. Del gráfico, calcule x.
 
45º – xx
53º/2
A) 15º B) 30º C) 
37
2
º
D) 
53
2
º
 E) 
45
2
º
14. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, 
tal que AB=8 y BC=5. Si m MBC=53º, calcule 
m ABM.
A) 53º 
B) 37º 
C) 45º
D) 60º 
E) 30º
15. En un triángulo ABC, se ubican los puntos M y N 
en BC y AC, respectivamente, tal que BM=MC, 
NC=8, AB=10 y m BAC=m MNA=53º. Cal-
cule AN.
A) 9 B) 12 C) 15
D) 18 E) 20
Geometría
10
Cuadriláteros I
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, halle x.
 70º80º
α
α
θ
θ
x
A) 65º B) 75º C) 85º
D) 90º E) 80º
2. En el trapecio ABCD (BC // AD), AB=4, CD=6 y 
AD=8. Calcule PQ.
 
β
β θθ
A P Q D
B C
A) 3 B) 6 C) 2
D) 4 E) 5
3. En el trapecio ABCD (BC // AD), BC=4, AB=8, 
CD=10 y AD=20. Si BP=PM y CQ=QN, 
calcule PQ.
 
β
β ω ω
A M N D
B C
P Q
A) 3 B) 1 C) 2
D) 4 E) 5
4. Del gráfico, calcule x.
 
70º
100º
α
α
θ
θ
x
A) 85º B) 15º C) 95º
D) 30º E) 16º
5. En el gráfico, BC // AD y MBCD es un trapezoide 
simétrico (MB=BC). Calcule x.
 
140º 100º
A
B C
D
x
M
A) 70º B) 50º C) 35º
D) 25º E) 60º
6. En el gráfico, BM=5, MH=3 y CM=MD. Calcule x.
 A D
B C
x
M
H
A) 30º 
B) 37º 
C) 53º
D) 60º 
E) 53º/2
Geometría
11
7. Del gráfico, calcule b.
 
3θ
θ
60º
α
α
β
ω
ω
A) 65º B) 70º C) 45º
D) 55º E) 80º
8. En el gráfico, AM=MB, BC=x, AD=13 y 
 MN=x+5. Halle MN.
 A
B C
D
M N
A) 3 B) 5 C) 8
D) 10 E) 11
NIVEL INTERMEDIO
9. Del trapecio ABCD (BC // AD), AM=MB, BC=1 y 
CD=10. Calcule AD.
 A
B C
D
M
A) 9 B) 5,5 C) 8
D) 7 E) 11
10. En el gráfico, CM=MD y BM=ND. Calcule x.
 
A
B C20º
θ
θ
x
D
M
N
A) 10º B) 15º C) 18º
D) 5º E) 20º
11. En el trapecio ABCD (BC // AD), M es punto 
medio de CD y ANPM es trapecio isósceles. Si 
BC+AD=10, calcule AP.
 
θ
θ
A D
B C
MN
P
A) 4 B) 4,5 C) 5,5
D) 5 E) 6
12. En el trapecio isósceles ABCD (BC // AD), 
BD=AQ=QC. Calcule x.
 
80º
A
B C
Dx
Q
A) 30º B) 20º C) 60º
D) 50º E) 40º
Geometría
12
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, AC=CD. Calcule b.
 
2β
3β
5β
24º
A
B
C
D
A) 10º 
B) 12º 
C) 14º
D) 15º 
E) 8º
14. En un trapecio isósceles ABCD (BC // AD), la 
longitud de la base media es igual a la altura 
del trapecio. Calcule m CAD.
A) 30º B) 45º C) 53º/2
D) 60º E) 53º
15. En el trapecio isósceles ABCD, (BC // AD), AC=8 
y BP=5. Calcule x.
2x
A
B C
D
x
P
A) 30º B) 37º C) 53º
D) 15º E) 16º
Geometría
13
Cuadriláteros II
NIVEL BÁSICO
1. En el paralelogramo ABCD, calcule x.
 A
B C
D
x+30º
4x
A) 10º B) 20º C) 16º
D) 15º E) 14º
2. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. 
 Calcule x.
 A
B C
D
3x+20º 5x
A) 10º B) 20º C) 15º
D) 25º E) 30º
3. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y BP=PQ. 
Calcule x.
 
40º
A
B C
D
P
x
Q
A) 10º B) 20º C) 50º
D) 40º E) 30º
4. En el gráfico, BC // AD, BC=4 y CD=6. Calcule 
AD.
 
β
β
β
A
B C
D
A) 5 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
5. Si ABCD es un rombo de centro O, OH=1 y 
OA = 10 , calcule x.
 A
B C
D
H
x
O
A) 53
2
º B) 53º C) 37
2
º
D) 37º E) 30º
6. Si ABCD es un rombo, calcule x.
 
70º
10º
A
B C
D
x
A) 70º B) 80º C) 60º
D) 55º E) 65º
Geometría
14
7. En el paralelogramo ABCD, BP=3. Calcule AQ.
 
α
α
θ
θ
A
B C
D
P
Q
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
8. En el paralelogramo ABCD, AB=PD. Calcule x.
 
70º
10º
A
B C
D
x
P
A) 70º B) 80º C) 60º
D) 65º E) 55º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el rombo ABCD, OH=12 y AC=40. Calcule 
BH. (O: centro de ABCD).
 A
B C
D
H
O
A) 20 B) 16 C) 26
D) 9 E) 12
10. En el gráfico, ACDQ es un trapecio isósceles. 
Calcule x.
 
40º
A
B C
D
x
Q
A) 40º B) 50º C) 20º
D) 25º E) 30º
11. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y AMCN 
un romboide. Si CD=20, calcule MH.
 
53º
A
B C
D
H
M
N
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
12. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Si 
BP=2(PQ), calcule x.
 
θ
θ
A
B C
D
x
P
Q
A) 53º/2 B) 30º C) 60º
D) 45º E) 53º
Geometría
15
NIVEL AVANZADO
13. En un romboide ABCD, en la diagonal AC, se 
ubica L, tal que LC=2(AL) y m ABL=2m DLC. 
Calcule m DLC. (BL ⊥ AC).
A) 45º B) 53º C) 37º
D) 30º E) 60º
14. En la región interior de un cuadrado ABCD, 
se ubica el punto M, de modo que AMD es un 
triángulo equilátero. Calcule la distancia de A a 
CM
� ��
. (CD=12)
A) 3 2 
B) 3 
C) 6 2
D) 3 3 
E) 4 2
15. En un rectángulo ABCD, de centro O, sobre 
el lado AD, se ubica el punto E, de modo que 
EO ⊥ BD. Si AC=8 y EO=3, calcule
ED.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
Geometría
2
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Derechos reservados D. LEG Nº 822
Circunferencia I
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, mS OAB=40º. Calcule m AB .
 
A B
O
A) 40º B) 80º C) 120º
D) 100º E) 70º
2. Según el gráfico, calcule x.
 
x
40º
A) 40º B) 20º C) 80º
D) 90º E) 100º
3. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Si 
m ºAPB = 120 , calcule m mAB AQB� �+ .
 
A
B
P Q
A) 240º B) 300º C) 180º
D) 360º E) 270º
4. Según el gráfico, m ºAPB = 120 . Calcule AB.
 
6
A
B
P
A) 6 3 B) 6 2 C) 12
D) 6 E) 18
5. Según el gráfico, m ºAB = 60 . Calcule x.
 
A
x
B
A) 130º 
B) 60º 
C) 120º
D) 45º 
E) 53º
6. En el gráfico, D es punto de tangencia. Si 
AD=5, calcule AE.
 
θ θ
C
B
F
E
D
A
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Geometría
3
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7. En el gráfico, A es punto de tangencia y 
m ºAB = 100 . Calcule x.
 
40º
A
B
x
C
A) 50º B) 80º C) 20º
D) 5º E) 10º
8. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Cal-
cule x si m ºAB = 140 .
 
T
x
B
50º
PA
A) 25º B) 50º C) 30º
D) 40º E) 100º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, F es punto de tangencia. Si 
m mAM MB = , calcule x.
 
M
x
B
A
P40º
F
A) 90º B) 100º C) 110º
D) 120º E) 130º
10. Según el gráfico, A, B y C son puntos de tangen-
cia. Calcule x.
 
A
C
α α
xB
40º
A) 60º 
B) 65º 
C) 70º
D) 75º 
E) 80º
11. En el gráfico, m ºCDE = 40 . Calcule x si 
m ºAB = 50 .
 
CB
A
E
D
2x
x
A) 10º B) 20º C) 8º
D) 15º E) 12º
12. En el gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x.
 
T
x
θ
θ
A) 30º 
B) 35º 
C) 25º
D) 45º 
E) 15º
Geometría
4
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NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, A es punto de tangencia. Si 
m mAC ABC� �= , m m ºAC AD + =114 y m ºCL =36 ,
calcule mS BAL.
 
D
L
A
B
C
A) 36º 
B) 38º 
C) 57º
D) 37º 
E) 45º
14. Según el gráfico, BP=8. Calcule (AH)2+(PH)2 
si A es punto de tangencia.
A) 32 
C
H
P
B
A
B) 64 
C) 32 2
D) 8 2 
E) 128
15. Del gráfico, ABCD es un rombo y L es media-
triz de AD. Calcule ME.
 
L 6
B
M
C
A D E
A) 6 B) 6 3 C) 6 2
D) 12 E) 18
Geometría
5
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Circunferencia II
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia, 
AP=6 – 2x y PB=4x. Calcule x.
 
A
B
P
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. En el gráfico, calcule x si A y B son puntos de 
tangencia.
 
A
B
xx
40º
40º
A) 70º B) 80º C) 30º
D) 20º E) 10º
3. Según el gráfico, A es punto de tangencia y 
BC=R. Calcule x.
 
A
CR B
x
A) 53º B) 30º C) 15º
D) 45º E) 60º
4. Según el gráfico, A y B son puntos de tangen-
cia, CD=DE y AC=6. Calcule DH.
 
A
D
BE H
C
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 12
5. En el gráfico, T es punto de tangencia. 
 Calcule x.
 
O
T
x
θ
A) q B) q/5 C) q/4
D) q/2 E) q/3
6. En el gráfico, calcule x.
 
2
x
A) 2 B) 3 C) 5
D) 4 E) 6
Geometría
6
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7. En el gráfico, PM=6. Halle NQ.
 
Q
P
N
M
A) 3 B) 4 C) 12
D) 6 E) 9
8. Según el gráfico, m mAB CD = , PC=4 y AB=5. 
Calcule mQLC .
 
D
Q
P
L
A
B
C
A) 37º B) 74º C) 53º
D) 106º E) 90º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, D es punto de tangencia. Si 
AB=6, calcule BC.
 
A
B
C D
5
A) 2 B) 1 C) 4
D) 3 E) 1/2
10. Según el gráfico, TC=2(TB). Calcule x si T es 
punto de tangencia.
 
C
B
T
x
A) 45º B) 15º C) 45º/2
D) 30º E) 37º
11. En el gráfico, T es punto de tangencia, 
m ºTB = 90 , AT=7 y R=4. Calcule AB.
 
T
B
R
A
A) 63 B) 33 C) 5
D) 4 2 E) 7 2
12. Según el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. 
Calcule x.
 
P
Q
x
A) 15º 
B) 100º 
C) 75º
D) 80º 
E) 90º
Geometría
7
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NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Si 
R=5 y r=2, calcule PQ.
 P
r
Q
R
A) 2 10 
B) 3 
C) 2 2
D) 4 
E) 6
14. En el gráfico, ABCD es un romboide. Si 
BM=MC=2, calcule OM. Considere que B es 
punto de tangencia.
 
15º
B
A D
O
M
C
A) 6 B) 3 C) 2 5
D) 10 E) 2 3
15. Del gráfico mostrado, AD=BC. Si B y D son 
puntos de tangencia, calcule mTB .
 
B
T
A D
C
A) 45º B) 90º C) 135º
D) 60º E) 53º
Geometría
8
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Posiciones relativas entre dos circunferencias
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, T es punto de tangencia y 
m ºTB = 80 . Calcule x.
 
T
x
B
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 80º E) 50º
2. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si 
AB=20, calcule BC.
 
A
B
C
1415
A) 20 B) 16 C) 20 2
D) 18 E) 21
3. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Si 
m ºTQ = 100 , calcule x.
 
T
Q
x70º
A) 170º B) 100º C) 140º
D) 100º E) 120º
4. Según el gráfico, m ºAB = 40 . Calcule m BC .
 
C
B
A
A) 20º B) 40º C) 80º
D) 120º E) 140º
5. Según el gráfico, calcule 
m
m
AB
CD


 si P y Q son 
puntos de tangencia.
A) 1/2 A
B
CQ
P
D
B) 2 
C) 1
D) 1/3 
E) 2/3
6. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. Si 
m ºMN = 130 , calcule x.
 
A
B
N
x
M
P Q
A) 53º B) 60º C) 74º
D) 65º E) 70º
Geometría
9
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7. En el gráfico, AB=8 y R=5. Calcule PQ.
 
A
QP
B
R
A) 1 B) 2 C) 1,5
D) 2,5 E) 0,5
8. Según el gráfico, T es punto de tangencia. 
Calcule x.
 
T
xα
θ
A) a – q B) q – a	 	 C) 
α θ−
2
D) 
θ α−
2
 E) a+q
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del gráfico, calcule MQ/PC. Considere 
que A, B, C, D, M y N son puntos de tangencia.
 
B
P C
N
DM
A Q
A) 1 
B) 2 
C) 1/2
D) 3/2 
E) 2/3
10. Según el gráfico, P es punto de tangencia, R=5 
y r=2. Calcule m PQ .
 
P
r
R
Q
A) 30º 
B) 37º 
C) 45º
D) 53º 
E) 60º
11. Si ABCD es un cuadrado, M, N, P y Q son puntos 
de tangencia y PQ=2, calcule x.
 
M
x
B C
P
Q
N
A D
A) 1 
B) 1,5 
C) 4
D) 3 
E) 2
Geometría
10
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12. Según el gráfico, T es punto de tangencia. Si 
mAB = 40º y m ºCT = 120 , calcule x.
 
T
A
B
C
x
A) 80º B) 100º C) 60º
D) 90º E) 120º
NIVEL AVANZADO
13. En la figura, T es punto de tangencia, AC=R. 
Calcule mTB .
 
T
AA
B
R
C
100º
A) 100º B) 120º C) 140º
D) 160º E) 150º
14. En el gráfico, M, Q y T son puntos de tangencia. 
Si
m ºAT = 40 , calcule mNQ .
 
A
Q
M
N
T
A) 140º B) 80º C) 135º
D) 120º E) 106º
15. Según el gráfico, calcule m AB .
 
A B
A) 120º B) 135º C) 100º
D) 130º E) 150º
Geometría
11
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Cuadrilátero inscrito e inscriptible
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, AB=BC. Calcule x.
 
C
x
80º
A
B
A) 20º B) 80º C) 60º
D) 50º E) 40º
2. Del gráfico, calcule x.
 
104º
x
A) 66º B) 76º C) 104º
D) 30º E) 60º
3. A partir del gráfico, calcule x.
 
20º
x
A) 50º B) 10º C) 20º
D) 40º E) 70º
4. Según el gráfico, la circunferencia está inscrita 
en el triángulo ABC. Si AB=7, calcule R.
 
R
16º
A
B C
A) 1 B) 6 C) 2
D) 4 E) 3
5. En el gráfico, la circunferencia está inscrita en 
el cuadrilátero ABCD. Si AD=3, AB=4 y CD=7, 
calcule BC.
 
B
A D
C
A) 7 B) 4 C) 9
D) 8 E) 12
6. Según el gráfico, la circunferencia está inscrita 
en el triángulo ABC. Si r=2, calcule AC.
 A
r
B
37º
C
A) 10 B) 6 C) 8
D) 15 E) 20
Geometría
12
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7. Según el gráfico, calcule x.
 
40º
x60º
A) 60º B) 80º C) 100º
D) 120º E) 90º
8. En el gráfico, A y B son puntos de tangencia. 
Calcule x/y.
 A
B
y
x
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) 2/3 E) 3/2
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del gráfico, calcule x.
 40º40º
100º
x
A) 90º B) 60º C) 45º
D) 80º E) 70º
10. Según el gráfico, calcule q.
 
5θ5θ
θθ
A) 15º B) 10º C) 30º
D) 19º E) 20º
11. Según el gráfico, CD = 2 2 y AD = 7. 
 Calcule AB.
 
B
C
A
30º
D
A) 3 B) 1 C) 5
D) 4 E) 2
12. En el gráfico, AC=14 y BC = 8 2. Calcule el in-
radio del triángulo AOB.
 
O
A
B
C
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3
Geometría
13
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NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, T es punto de tangencia y 
m m ºAT MBT� �+ ( ) =2 110 . Calcule x.
 
A
B
M
T
O
x
A) 30º B) 40º C) 45º
D) 35º E) 50º
14. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, se 
ubica el punto P exterior al cuadrado y relativo 
a AB, tal que mS APB=90º y mS PBA=20º. Se 
traza CH perpendicular a OP
���
. Si H ∈	OP
���
, calcu-
le mS DCH.
A) 35º 
B) 25º 
C) 10º
D) 38º 
E) 20º
15. En el gráfico, la circunferencia está inscrita en 
el cuadrilátero ABCD. Si BC=4, calcule la suma 
de inradios de los triángulos ABD y BCD.
 A
B
C
D
A) 2 
B) 4 
C) 6
D) 8 
E) 4 2
Geometría
14
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Puntos notables
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, G es baricentro de la región ABC, 
GM=6 y GN=8. Calcule AG+BG.
A) 14 
A
B
C
N
M
G
B) 28 
C) 20
D) 22 
E) 26
2. Según el gráfico, G es baricentro de la región 
ABC, BG=2 y AC=4. Calcule x.
 A
x
B
C
G
A) 53º/2 B) 127º/2 C) 60º
D) 30º E) 45º
3. En el gráfico, I es incentro del triángulo ABC. 
Calcule x.
 A
I
x
50º
B
C
A) 100º B) 130º C) 140º
D) 115º E) 120º
4. Según el gráfico, O es circuncentro del triángu-
lo ABC, BN=NC y AM=MC. Calcule x.
 
x
A
O
N
M
B
C
50º
A) 130º B) 100º C) 80º
D) 50º E) 100º
5. En el gráfico, H es ortocentro del triángulo 
ABC. Calcule x.
 A
B
C
x
H
50º
A) 35º B) 30º C) 60º
D) 50º E) 40º
6. A partir del gráfico, calcule AC si G es baricentro 
de la región ABC y BG=4.
 A C
B
G
A) 10 B) 12 C) 14
D) 18 E) 8
Geometría
15
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7. A partir del gráfico, calcule x.
 
50º
x
80º
55º
70º
A) 15º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 35º
8. Según el gráfico, O es centro del rectángulo 
ABCD. Si BQ=QC, calcule PC/AO.
 A
B C
D
O
P
Q
A) 1/2 B) 1 C) 2/3
D) 3/2 E) 2
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, I es incentro de ABC. Si AI=AD, 
calcule x.
 
A
B
I
CD
x
40º
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 80º
10. En el gráfico, O es circuncentro del triángulo 
ABC. Calcule x.
 
A
B
C
O
x2x 120º
A) 25º B) 20º C) 15º
D) 30º E) 40º
11. Según el gráfico, H es ortocentro del triángulo 
ABC. Si AC=14, calcule BH.
 
45º
A
B
C
H
37º
A) 7 B) 6 C) 3
D) 2 E) 5
12. En el gráfico, I es incentro del triángulo ABC. Si 
MN // AC, AM=4 y NC=5, calcule MN.
 
A
M
B
NI
C
A) 4 B) 5 C) 9
D) 7 E) 14
Geometría
16
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NIVEL AVANZADO
13. Si ABCD es un cuadrado, ¿qué punto notable 
es P del triángulo MCN?
 
B C
DNA
M
P
45º
A) incentro
B) baricentro
C) circuncentro
D) ortocentro
E) excentro
14. En un romboide de ABCD, la mSCAD=30º. Si 
la distancia de B a AD es 6, calcule la distancia 
del baricentro de la región triangular ABD a C.
A) 6 
B) 10 
C) 12
D) 8 
E) 9
15. Según el gráfico, H es ortocentro del triángulo 
ABC. Si BH=HP, calcule x.
 A P C
B
H
x 40º
40º
A) 40º 
B) 20º 
C) 25º
D) 15º 
E) 30º
Geometría
2
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Proporcionalidad de segmentos
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, L
��
1 // L
��
2 // L
��
3. Calcule x si 
3(AB)=2(BC).
 
L 1
L 2
L 3
A
B
C
2x – 3
x+1
A) 4 B) 9 C) 7
D) 8 E) 5
2. Según el gráfico, MN // AC y AB // NQ, 
4(AM)=5(MB) y QC=15. Calcule AQ.
 A Q C
NM
B
A) 12 B) 15 C) 18
D) 20 E) 9
3. En el gráfico, si BC=4(AB) y AD=2, halle CD.
 
α α
A D C
B
A) 12 B) 13 C) 14
D) 7 E) 8
4. Según el gráfico, 3(AB)=2(BC) y NC=9. Calcu-
le ND.
 
β β
θθA
N
D
C
B
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
5. Según el gráfico, AQ=3(QC). Calcule x.
 
45º
A D
x
Q
B C
A) 30º B) 53º C) 37º
D) 53
2
º E) 37
2
º
6. Según el gráfico, 2(BC)=5(AB), AC=6.
 Calcule AD.
A) 2 
D A
α
α
C
B
B) 3
C) 5/2
D) 4
E) 5
Geometría
3
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7. Según el gráfico, AB=6, BC=8 y AC=7. Calcule 
CD.
 
β β
A D C
B
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 1
8. Según el gráfico, el triángulo ABC es equilátero 
y CDEF es un cuadrado. Si 5(BC)=6(DE), 
calcule 
BD
DM
.
 A C F
M
ED
B
A) 
1
2
 B) 
1
3
 C) 
3
5
D) 5
3
 E) 2
3
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, FC=3, AF=6 y DF // BC. Calcule 
EF.
θ
θ
A E F C
D
B
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2,5 E) 3,5
10. En el gráfico, m mAC CE = y AB=3(EB). Calcu-
le 
CH
HL
.
 A B
C
H
L
E
A) 3 B) 2 C) 3/2
D) 5/2 E) 4/3
11. Según el gráfico P, Q y R son puntos de tangen-
cia. Si PH=4 y m  LNM=37º, calcule NH.
 
Q
R N
H
P
L
M
A) 5 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12
12. Según el gráfico, P, Q, R y L son puntos de tan-
gencia; 12(AB)=5(BC) y LM=5. Calcule MC.
A) 5 
C
N
R
BLA
P
Q M
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
Geometría
4
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NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, AB=5, BC=6 y AC=7. Calcule 
AM MN
MN
− si N, S y Q son puntos de tangencia.
 A S C
N
M
Q
B
A) 3/4 B) 2/3 C) 3/5
D) 3/2 E) 4/5
14. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz 
interior AE y la ceviana BF, que se intersecan 
en D. Si 3(AD)=DE, AB=4 y AC=16, calcule AF.
A) 0,5
B) 1
C) 1,5
D) 2
E) 2,5
15. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz 
interior BM y la ceviana AN, tal que se 
intersecan en Q. Si m  BQN=m  NQC, AB=4, 
BC=6 y QC=5, calcule QM.
A) 4
B) 3
C) 2
D) 5
E) 1
Geometría
5
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Semejanza de triángulos
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, calcule x.
θ
θ
α
α
5x – 10
7
2x3
A) 29
30
 
B) 15 
C) 20
D) 30 
E) 29
2. A partir del gráfico, 7(PQ)=2(AC) y AP=3. 
 Calcule PB.
 
θ
θ
A C
QP
B
A) 6
7
 B) 
7
6
 C) 5
6
D) 6
5
 E) 
14
3
3. En el gráfico, 5(AM)=3(MB) y MN=10. Calcule AC.
 
A C
M N
B
180º – β
β
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 20
4. Según el gráfico, AC=7 y DC=3. Calcule AB.
θ
θ
A D C
B
A) 21 B) 28 C) 21
D) 10 E) 2 7
5. En el gráfico, BC – 5=AB y CD=7. Calcule AB.
ω
ω
A C
D
B
A) 10
3
 B) 
3
10
 C) 
35
6
D) 7
3
 E) 35
Geometría
6
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6. Según el gráfico, ABCD es un romboide. Si 
2(AN)=3(BN), calcule NQ
QC
.
A D
QN
B C
A) 
2
3
 B) 
3
2
 C) 
2
5
D) 
5
2
 E) 1
7. Según el gráfico, los triángulos ABC y CDE son 
equiláteros, AC=6 y CE=4. Calcule PQ.
A Q C E
D
P
60º
B
A) 3
2
 B) 
2
3
 C) 
12
5
D) 5
12
 E) 12
8. Según el gráfico, PC=7 y AP=2. Calcule AB.
θ
θ
A P C
B
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3 2
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, ABCD es un rombo. Si FC=1 y 
BM=3(MC), calcule LF.
A E D
L
F
CMB
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5/2
10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y 
AB=4. Calcule PQ.
 A D
P
53º
CQB
A) 16
7
 
B) 7
16
 
C) 12
7
D) 7
12
 
E) 5
7
Geometría
7
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11. En el gráfico, (CE)(ED)=12. Calcule (AC)(BD).
 
α
α
β
β
A
B
D
C
E
A) 6 
B) 18 
C) 12
D) 12 2 
E) 6 2
12. Del gráfico, L es punto de tangencia. Si 
LD
DE
=
3
2
, calcule AB
CD
.
 B
r
r
D
E
C
L
A F
A) 
3
2
 B) 4 C) 2
D) 
5
3
 E) 
2
3
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, AB=2, AC=5 y 2(AF)=3(AE). 
Calcule FC.
A C
F
E
90º – θ
θ
θ
B
A) 2 B) 5 C) 2 2
D) 10 E) 4
14. En la figura, mCD = 2α, BC=2 y AB=3. Calcule 
ED.
α
A
E
B
C
D
A) 4 B) 10 C) 2 5
D) 13 E) 6
15. En el gráfico, BC=4 y CD=6. Calcule DE.
 
E
D
C
B
A
A) 5 B) 8 C) 3 5
D) 2 15 E) 4 3
Geometría
8
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Relaciones métricas I
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, calcule x.
 
x+1
x+2
x+4
x
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. En el gráfico, T es punto de tangencia, 
AT = 2 6 y BC=2. Calcule AB.
 
 C
B
T A
A) 5 B) 6 C) 7
D) 4 E) 3
3. Según el gráfico, calcule x.
 
x
4
6
5
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
4. En el gráfico, AB=5, BC=3 y CD=1. Calcule DE.
 A
B
C D
E
A) 5/3 B) 4 C) 6
D) 2 E) 2/3
5. En el gráfico, T es punto de tangencia. Si AT=6 
y AB=4, calcule BC.
 
C
B
T
A
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
6. Según el gráfico, T es punto de tangencia, 
AT = 2 5, AE=10 y BC=1. Calcule CD.
 
A B C
D E
T
A) 4 B) 10/3 C) 11/3
D) 3 E) 5
Geometría
9
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7. Según el gráfico, PH=6. Calcule (AH)(HC).
A
C
H
P
A) 12 B) 36 C) 24
D) 30 E) 18
8. En el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangen-
cia. Calcule PB
DQ
.
D
A
B
C
Q
P
A) 1/3 B) 2/3 C) 4/3
D) 2 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, R=6 y MC=1. Calcule AN.
A) 2,5 
N
A
O C M
B
R
B) 3,75 
C) 4,25
D) 2,75 
E) 3
10. Según el gráfico, BD=12, AM=8 y mCD = 2θ.
Calcule AN.
 
θ
C
A
M
B
D
EN
A) 8 B) 10 C) 14
D) 9 E) 12
11. En el gráfico, P, Q y T son puntos de tangencia. 
Si AB=3(BC) y QN=2, calcule PM.
A M
P
Q
T N B C
A) 5 B) 2 2 C) 4
D) 4 2 E) 3
12. En el gráfico, T es punto de tangencia, 
m mAB BC = , TE=6 y CE=4. Calcule (BM)
(MT).
 T
M
A C
E
B
A) 4 B) 6 C) 8
D) 6 2 E) 4 3
Geometría
10
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NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, D es punto de tangencia, 
CB=2(LD)=6(AL)=6 y m mBQC CD� �= . Calcu-
le DF.
 
A
L
D
F
B
Q
C
E
A) 6 
B) 4 
C) 4 2
D) 3 3 
E) 6 2
14. En el gráfico, M, N y T son puntos de tangencia, 
mMTN = 210º , AC=3 y CF=2. Calcule EB.
 A C
FT
E N
M
B
A) 4 B) 13/4 C) 21/4
D) 23/6 E) 4 3
15. En el gráfico, CM=MB y R = 30. Calcule MF.
 A O B
M
F
C
R
A) 3 2 B) 4 3 C) 2 3
D) 3 E) 3
Geometría
11
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Relaciones métricas II
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, calcule a, si HC=3(AH).
α
A H C
A) 37º B) C) 
37
2
º
D) 53
2
º E) 30º
2. A partir del gráfico, calcule x.
x x+1
x+9
A) 5 
B) 10 
C) 15
D) 20 
E) 12
3. En el gráfico, AB=5. Calcule AD.
 
θ
θ
B
A
D
A) 5 
B) 6 
C) 10
D) 12 
E) 3
4. En el gráfico, AB=6 y AQ=2(CP). Calcule CD.
A Q
P C
D
B
A) 
6
2
 B) 6 C) 3
D) 5 E) 4
5. Según el gráfico, PH=a y AC=b. Calcule AH.
 
θ
θ
C
A
H
P
A) a+b 
B) ab 
C) a b2 2−
D) b a
2 2
− 
E) b a
2 2
2
−
Geometría
12
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6. Según el gráfico, AD
DC
= 2. Calcule AB
BC
.
A D C
B
A) 1 B) 2 C) 
2
2
D) 3 E) 
3
2
7. Del gráfico, (BM)(MH)=7 y AC=4(MN). Calcule 
(AB)(BC).
 A H C
MN
B
A) 10 B) 14 C) 21
D) 28 E) 35
8. Según el gráfico, AC=2. Calcule (AB)(BC).
15º
A
B
C
A) 4 B) 1 C) 8
D) 3 E) 5
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, BC=4(AB). Calcule x si T es 
punto de tangencia.
 
β
β
T
A
C
x
A) 30º B) 37º C) 53
2
º
D) 15º E) 60º
10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y 
(PC) (CQ)=16. Calcule MC.
 M A D N
Q
C
P
B
A) 5 B) 6 2 C) 7
D) 4 3 E) 3 3
11. En el gráfico, A es punto de tangencia y 
AC = 5 2. Calcule AD.
 A B
C
D
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25
Geometría
13
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12. En el gráfico, R=5, AQ=QD=1 y m mDN NB = . 
Calcule MQ.
 A O B
R
N
D
QM
A) 1/7 B) 1/5 C) 1/9
D) 1/3 E) 1
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, NQ=K(AP). Calcule R
r
.
A Q B
N
53ºP
C r
R
A) 5
4K
 B) 4
3K
 C) 4
3
K
D) 
5
3K
 E) 
5
4
K
14. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. 
Calcule (PH)(PC).
 
B
H
θ
A P D
Q
C
2
7
θ
A) 18
B) 20
C) 12
D) 15
E) 24
15. En el gráfico, AE=2(EL), mCD = 60º y ML=MF. 
Calcule AC
EM
.
 A E L B
D
C
M
FF
A) 3 B) 5 C) 2 3
D) 2 E) 6
Geometría
14
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Relaciones métricas III
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, (AB)2+(BC)2=100 y AM=MC=6. 
Calcule BM.
 A M C
B
A) 10 B) 8 C) 34
D) 14 E) 17
2. Según el gráfico, (AB)(BC)=48 y PH=6. Calcu-
le BH.
 
θ θ
HA C
B
P
A) 2 3 B) 12 C) 42
D) 54 E) 3 6
3. En el gráfico, AB=13, BC=15 y AC=14. 
 Calcule AH.
 A H C
B
A) 2 B) 5 C) 7
D) 9 E) 1
4. En el gráfico, AB=5, BC=7, AD=2 y CD=4. 
Calcule BD.
 A D C
B
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5. Según el gráfico, AP=6 y AM=MC=9. Calcule 
(BC)2 – (AB)2.
 A M C
P
B
A) 45
B) 60
C) 120
D) 180
E) 117
6. En un triángulo ABC, AB=4, BC=7 y AC=9. 
Calcule la longitud de la altura relativa a AC.
A) 3
4
15 B) 6 5 C) 
4
3
5
D) 27 5 E) 3 5
Geometría
15
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7. Según el gráfico, (AB)(BC)=60, EC=4 y 
AD = 21. Calcule BE.
 
θ θ
β
β
A
D
E
C
B
A) 2 3 
B) 2 2 
C) 2 15
D) 8 
E) 4 3
8. En el gráfico, (AB)2+(AC)2=108 y BC=6. Cal-
cule AP.
 O B
P
C
A
A) 5 
B) 2 5 
C) 3 5
D) 6 
E) 6 3
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, AB=1, BC=2 y CD=3. Calcule la 
distancia de Q a AD.
 A B C D
Q
A) 3 B) 14 C) 2 14
D) 3 14 E) 2
3
14
10. Según el gráfico, O es centro del rectángulo 
ABCD. Si AE=2 y AD=6, calcule (OE)2 – (OC)2.
 A D
O
B C
E
A) 12 B) 20 C) 14
D) 16 E) 18
11. En el gráfico, 4(AE)=4(ED)=DC=12. Calcule 
BD.
 
θ 2θ
A E D C
B
A) 30
4
 B) 
5
5 C) 
6 2
D) 2
3
6 E) 4 6
Geometría
16
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12. En el gráfico, (AB)(BC)=20, FC=3(FL) y AC=6. 
Calcule BM.
 
θ θ
ω ω
2θ
L
FB
A M C
A) 4 B) 3 C) 2 3
D) 3 2 E) 2 2
NIVEL AVANZADO
13. Se tiene el triángulo ABC en el cual se traza 
la altura BH (H ∈ AC) y HM (M ∈ BC), tal que 
BM=MC. Si AB=5, BC=7 y AC=6, calcule la dis-
tancia de C a HM
� ��
.
A) 7 B) 
6
7
 C) 
3
5
6
D) 
6
7
 E) 
10
7
6
14. Según el gráfico, ABCD es un romboide, tal 
que (AD)2+(CD)2=250 y PQ=10. Calcule QC.
 
P
A D
Q
CB
A) 6
B) 3
C) 5
D) 4
E) 2
15. En un triángulo ABC, se traza la altura BM 
y con diámetro HD (D ∈ HC) se traza una 
semicircunferencia tangente a BC en T. Si 
AB=13, BC=20 y AC=21, calcule el radio de la 
semicircunferencia.
A) 4
B) 4,5
C) 5
D) 5,5
E) 6
Geometría
2
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6
PRÁCTICA POR NIVELES
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, AB –1=BC=4. Calcule el área de 
la región ABC.
 
53º
A C
B
A) 6 B) 12 C) 8
D) 16 E) 18
2. Según el gráfico, AC=8 y BH=4. Calcule el área 
de la región sombreada.
 A H C
B
A) 32 B) 16 C) 64
D) 12 E) 24
3. En el gráfico, AC=2(AB)=10 y BC=9. Calcule el 
área de la región sombreada.
 A C
B
A) 35 B) 21 C) 3 14
D) 2 14 E) 6 14
4. Según el gráfico, AB=7, BC=8 y AH=1. Calcule 
el área de la región ABC.
 A CH
B
A) 20 3 B) 10 3 C) 15 3
D) 4 3 E) 12 3
5. En el gráfico, AD=5 y DC=4. Calcule el área de 
la región ABC.
 
30º
A D C
B
θ
θ
A) 12 B) 24 C) 36
D) 18 E) 6
6. Según el gráfico, AH=4 y HC=6. Calcule el área 
de la región ABC.
 
B 
H CA
A) 24
B) 12
C) 24 6
D) 10 6
E) 12 6
Áreas de regiones triangulares
Geometría
3
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7
Anual San Marcos Geometría
7. Según el gráfico, T es punto de tangencia, AT=6 
y AB=AC. Calcule el área de la región ABD.
 
T
A
D
C
B
30º
A) 6 B) 12 C) 18
D) 9 E) 24
8. Según el gráfico, (AB)2+(BC)2=50, AC=8 y MF=2. 
Calcule el área de la región MFB si AM=MC.
 
B
A M
F
C
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 3
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, T es punto de tangencia y 
AB=R=6. Calcule el área de la región som-
breada.
 
θ
2θ
B
C
A T
R
A) 36 B) 18 C) 12
D) 24 E) 30
10. En el gráfico, E es el punto de tangencia, AB=4 
y BC=2. Si m mCE BE − = 60º, calcule el área 
de la región sombreada.
 
E
B C
A
A) 6 B) 2 6 C) 4 6
D) 16 E) 24
11. Según el gráfico, m mAM MC = y 4(AB)=5(BC). 
Calcule el área de la región triangular AFB.
 
F
5
A
M
C
B
A) 10/3 B) 20/3 C) 40/3
D) 10 E) 15
12. Según el gráfico, T es punto de tangencia y 
(AB)(TC)=40. Calcule el área de la región ATC.
 A B C
T
A) 10 B) 20 C) 40
D) 80 E) 30
Según el gráfico,
Calcule el área de la región triangular 
Según el gráfico,
Calcule el área de la región triangular 
4 C) 6
8 E) 
F
11. 
F
Geometría
4
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8
Academia ADUNI Material Didáctico N.o 5
NIVEL AVANZADO
13. Calcule el área de una región triangular equilá-
tera si se sabe que el radio de la circunferencia 
inscrita en este, mide 4.
A) 48 3 B) 24 3 C) 12 3
D) 9 3 E) 6 3
14. Se tiene un cuadrado ABCD, en las prolon-
gaciones de los lados AD y DC se ubican los 
puntos E y F, respectivamente, de modo que 
m BEF=m EBC. Si (EF)(AB)=90, calcule el 
área de la región triangular EFB.
A) 30
B) 60
C) 90
D) 50
E) 45
15. En una circunferencia de radio 20, se trazan los 
diámetros perpendiculares AC y BD. En el arco 
CD se ubica el punto Q, AQ y BD se intersectan 
en E. Si QC=24, calcule el área de la región 
triangular AED.
A) 24 B) 48 C) 50
D) 25 E) 100
Geometría
5
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12
PRÁCTICA POR NIVELES
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico el área de la región ABC es 100 y 
3(AD)=2(CD). Calcule el área de la región BDC.
 A D C
B
A) 20 B) 40 C) 60
D) 50 E) 30
2. Según el gráfico, 3(BM)=7(MC) y el área de la 
región ABQ es 21. Calcule el área de la región 
sombreada.
 A
Q
C
M
B
A) 21/2 B) 12 C) 10
D) 9 E) 15
3. En el gráfico, T es punto de tangencia AT=6 y 
BC=9. Calcule 
A
b
.
 
B
A B
T A
C
A) 1 B) 2 C) 3
D) 2/3 E) 3/2
4. Según el gráfico, calcule A
b
.
 
53º/253º/2
AA BB
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3
D) 1/4 E) 3/2
5. Según el gráfico, CD=3(BD) y EC=2(AE). Cal-
cule la razón entre las áreas de las regiones 
BFD y AFE.
 
B
D
F
E CA
A) 1/2 B) 3/2 C) 4/3
D) 1/3 E) 4/5
6. Según el gráfico, 4(AB)=6(BD)=12.
 Calcule la razón entre las áreas de las regiones 
sombreadas.
D
A
B
C
E
A) 1 B) 1/2 C) 2/3
D) 3/5 E) 9/4
M
 es 21. Calcule el área de la región es 21. Calcule el área de la región 
Razón de áreas de regiones triangulares
Geometría
6
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13
Anual San Marcos Geometría
7. Según el gráfico, G es baricentro de la región 
ABC. Si el área de la región APQC es 25, calcule 
el área de la región triangular PBQ.
 
B
P QGθ
A C
θ
A) 20 B) 25 C) 30
D) 40 E) 50
8. Según el gráfico, calcule la razón de áreas de las 
regiones triangulares equiláteras sombreadas.
 
A) 5/12 B) 3/4 C) 7/12
D) 11/13 E) 6/7
NIVEL INTERMEDIO
9. Según el gráfico, MN es base media del trián-
gulo ABC y el área de la región triangular MBN 
es 40. Calcule el área de la región sombreada.
 
B
M N
A C
A) 40 B) 50 C) 60
D) 70 E) 120
10. En el gráfico, E, F y T son puntos de tangencia y 
5(BT)=3(AT). Calcule la razón de las áreas de 
las regiones triangulares BCF y ADE.
A) 3/5
B) 2/3
C) 4/5 
T
B
C
F
A
E
D
D) 9/25
E) 25/9
11. Según el gráfico, AB = 2 2 y AD=4. Calcule la ra-
zón entre las áreas de las regiones sombreadas.
 
B C
A D
A) 1/2 B) 1/16 C) 2/3
D) 1/4 E) 1/3
12. Según el gráfico, AB=4 y CD=9. Calcule la razón 
entre las áreas de las regiones sombreadas.
 A B C D
A) 1/2 B) 2/3 C) 4/5
D) 2/9 E) 1/3
Según el gráfico, 
zón entre las áreas de las regiones sombreadas.
Según el gráfico, 
zón entre las áreas de las regiones sombreadas.
3/4 C) 
11. 11. 
Geometría
7
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14
Academia ADUNI Material Didáctico N.o 5
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, BC=5(AB). Halle la razón entre 
las áreas de las regiones sombreadas.
A) 2/5
B) 1/4
C) 1/11 3θ3θ
B
A C
θθ
D) 1/10
E) 3/4
14. Según el gráfico, AB=30 y AC=BC=25. Calcule 
la razón entre las áreas de las regiones som-
breadas.
 
B
A C
A) 5/6 B) 7/18 C) 1/2
D) 2/3 E) 7/25
15. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y EC=DF. 
Indique la relación correcta entre las áreas de 
las regiones sombreadas.
 
B C
E
A
A 2A 2
A1A1
A 3A 3
D F
A) A3=A2 – A1
B) A
A A
3
2 1
2
=
−
C) A
A A
3
2 1
2
=
+
D) A3=A2+A1
E) A2=2A1+A3
A A2 1A A2 1A A
2
A A2 1A A−A A2 1A AB) A3 =
C) A
A A
C
Geometría
8
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18
PRÁCTICA POR NIVELES
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, 4(AC)=3(BD)=24. Calcule el 
área de la región cuadrangular ABCD.
 
45º45º
B
C
DA
A) 48 2 B) 24 2 C) 12 2
D) 10 2 E) 20 2
2. A partir del gráfico, calcule el área de la región 
sombreada si AC=8 y BD=2.
 
A
D
B C
60º
A) 4 3 B) 8 3 C) 16 3
D) 32 3 E) 12 3
3. Según el gráfico, BC // AD, AB=10 y AD=16. 
Calcule el área de la región trapecial ABCD si 
AB=CD.
 
B C
A D
53º53º
A) 40 B) 80 C) 160
D) 100 E) 50
4. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado y 
α+θ=90º. Calcule el área de la región som-
breada si AP=4 y QD=9.
 P A
B
D
C
θα
Q
A) 13 B) 26 C) 39
D) 30 E) 36
5. Según el gráfico, (AC)(BD)=16 y α+θ=120º. 
Calcule el área de la región cuadrangular ABCD.
 
B
C
D
αα
θθ
A
A) 32 B) 64 C) 16 3
D) 8 3 E) 4 3
6. En el gráfico, EC=4(BF) y AD=5. Calcule el área 
de la región sombreada.
 
A
D
C
E
FB
A) 20 B) 40 C) 60
D) 100 E) 80
Áreas de regiones cuadrangulares
Geometría
9
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19
Anual San Marcos Geometría
7. En el gráfico, 4(HC)=5(AH)=20 y HD = 5. 
Calcule el área de la región sombreada.
 
B
D
CA H
A) 9 5
2
 B) 27 5
2
 C) 18 5
2
D) 36 5
2
 E) 15 5
2
8. En el gráfico, FBCE es un cuadrado. Si PF=5 y 
FQ=8, calcule el área de la región sombreada.
 
B C
Q
F
θθ
EA
P
A) 30 B) 15 C) 40
D) 45 E) 20
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del gráfico, calcule el área de la región 
paralelográmica ABCD si mAB = 53º y R=5.
A) 10
B) 15
C) 12 
B C
A D
R
D) 18
E) 20
10. Según el gráfico, CD = 2 2 y mDC = 37º. Calcu-
le el área de la región paralelográmica ABCD.
 
B
C
A
D
A) 4 B) 8 C) 12
D) 16 E) 20
11. En el gráfico, (AC)(BD)=36 y mBC = 60º. Cal-
cule el área de la región sombreada.
 A
B
C
D
A) 36 3
B) 18 3
C) 27 3
D) 10 3
E) 9 3
12. Según el gráfico, AM=MB, BN=NC, AB=9 y 
BC=12. Calcule el área de la región sombreada.
 A C
B
NM
A) 6 B) 9 C) 12
D) 25 E) 3
=8, calcule el área de la región sombreada.
Q
=8, calcule el área de la región sombreada.
Geometría
10
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20
Academia ADUNI Material Didáctico N.o 5
NIVEL AVANZADO
13. Si AD=CM y (BH)(BC)=20, halle el área de la 
región paralelográmica ABCD.
 
B C
A M D
H
A) 5
B) 7,5
C) 10
D) 15
E) 20
14. En el gráfico, AOEC es un trapecio isósceles. Si 
CD=2, calcule el área de la región sombreada.
 A O
E
D
C
A) 4 2 B) 6 2 C) 8 2
D) 12 2 E) 16 2
15. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, AP=PQ y 
DP=2. Calcule el área de la región cuadrada.
A) 4
B) 8
C) 16 
B C
QQ
A P D
D) 12
E) 20
16 16 
D) 12
E) 20
=2, calcule el área de la región sombreada
 es un trapecio isósceles. Si 
=2, calcule el área de la región sombreada
 es un trapecio isósceles. Si es un trapecio isósceles. Si es un trapecio isósceles. Si es un trapecio isósceles. Si 
=2, calcule el área de la región sombreada.
Geometría
11
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24
PRÁCTICA POR NIVELES
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, BM=MC y AN=ND. Calcule X.
 
B
M
C
771010
XX
A N D
A) 3 B) 4 C) 13
D) 8,5 E) 5
2. En el gráfico, CM=MD y BC // AD. Calcule X.
 
B C
22
2020
A D
M
XX
A) 9
B) 11
C) 18
D) 10
E) 12
3. En el gráfico, BC // AD. Calcule X.
 
B C
99
44
A D
XX
A) 13 B) 26 C) 12
D) 6 E) 6,5
4. Según el gráfico, halle la relación entre A, B y C.
 
AA
BB
CC
A) A=B+C B) B=A+C C) B=A+2C
D) A
B C
=
+
2
 E) A B
C
= +
2
5. En el gráfico, BC // AD y CF // DE. Calcule X en 
función de A y B.
A) A+B
B) B+2A
C) A+2B 
AA XX
BB
F E
CB
A D
D) 2A – B
E) 2B – A
6. Según el gráfico, halle la relación entre las áreas 
de las regiones sombreadas. (ABCD: paralelo-
gramo)
 
A
D
C
B
B C
DA
A) A+B= C+D
B) A+C=B+D
C) A B
D C
− +
−
2
D) A+C=D+2C
E) A+D=2(B+C)
A+B
B) B+2A
C) A+2B 
D) 2A 
D
X
M
Razón de áreas de regiones cuadrangulares
Geometría
12
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25
Anual San Marcos Geometría
7. Según el gráfico, halle la relación entre las áreas 
de las regiones sombreadas.
A) A+C=B+D
B) A+B=C+D
C) C+D=2A+B 
b
d
c
c
a
a
b
d
A
B
C
D
D) B+D=2(A+C)
E) D – B=C – A
8. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Ha-
lle la relación entre las áreas de las regiones
sombreadas.
 
AA
BBCC
DD
B C
DA
A) A+C =B+D
B) C+D=A+B
C) D=A+B – C
D) D=A+B+C
E) B=D+A – 2C
NIVEL INTERMEDIO
9. A partir del gráfico, calcule A B
C D
+
+
.
 
d
d
a a
CC
DD
BB
AA
bbcc
cc
bb
A) 1/3 B) 1/4 C) 3/2
D) 1/2 E) 2/3
10. En el gráfico, ABCD es un romboide. Halle la re-
lación entre las áreas A1, A2 y A3.
 A D
CB
A 3A 3
A 2A 2
A1A1
A) A2=A1 – 2A3
B) A1=A3+A2
C) 2A1=A3+A2
D) 2A3=A1+A2
E) A1=A3 – A2
11. En el gráfico, ABCD y DEFG son cuadrados. 
Calcule la razón entre las áreas de las regiones 
sombreadas.
 
B C
A D G
FE 8º8º
A) 1/7 B) 1/4 C) 9/16
D) 1/8 E) 9/25
12. Según el gráfico, AE=6, BE=3 y ED=4. Calcule 
la razón entre las áreas de las regiones DECF y 
ABCD. (DECF es un paralelogramo).
A) 1/3 
C
B
A
D
F
53º53º
EE
B) 1/5
C) 2/7
D) 1/9
E) 1/4
En el gráfico, 
Calcule la razón entre las áreas de las regiones 
sombreadas.
Calcule la razón entre las áreas de las regiones 
sombreadas.
B
DD
Geometría
13
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26
Academia ADUNI Material Didáctico N.o 5
NIVEL AVANZADO
13. En un cuadrilátero convexo ABCD, M, N y Q son 
los puntos medios de AB, BC y CD, respectiva-
mente. Calcule la razón entre las áreas de las 
regiones MNQ y ABCD.
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3
D) 1/4 E) 2
14. En un trapecio ABCD (BC // AD), se trazan sus 
diagonales. Las áreas de las regiones BCD y 
ACD son 5 m2 y 20 m2, respectivamente. Cal-
cule el área de la región trapecial ABCD.
A) 20 m2 B) 25 m2 C) 35 m2
D) 30 m2 E) 50 m2
15. En el triángulo ABC, BN es mediana y el área 
de la región PQM es 4 u2. Calcule el área de 
la región trapecial APMC si las regiones AQP y 
NQC son equivalentes.
 
B
P M
A N
QQ
C
A) 18 u2 B) 24 u2 C) 36 u2
D) 72 u2 E) 54 u2
Geometría
14
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30
PRÁCTICA POR NIVELES
NIVEL BÁSICO
1. Según el gráfico, calcule A – B.
 
AA BB
34
A) 5π B) 7π C) 9π
D) π E) 6π
2. Según el gráfico, T es punto de tangencia y 
AB=4. Calcule el área de la corona circular.
 
B
A
T
A) π B) 2π C) 3π
D) 4π E) 8π
3. Según el gráfico, R=6. Calcule A – B si AB=AC.
 
RR B
A C
AA BB
30º30º
A) π B) 2π C) 3π
D) 4π E) 6π
4. Según el gráfico, R=4 y BC=6. Calcule la di-
ferencia entre las áreas de las regiones som-
breadas.
 
R
B
C
A) 4π – 8 B) 3(π – 4) C) 4(π – 3)
D) 4(π –12) E) 4(π –1)
5. Según el gráfico, AB=14 y AC=50. Calcule el 
área del círculo inscrito en ABC.
 B C
A
A) 12π B) 24π C) 18π
D) 36π E) 20π
6. Calcule el área del círculo cuyo perímetro es 8π.
A) 4π B) 16π C) 24π
D) 32π E) 8π
7. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y AB=4. 
Calcule el área de la región sombreada.
 
B C
DA
A) π –1 B) π – 3 C) π – 2
D) π – 4 E) 2π – 2
Áreas de regiones circulares
Geometría
15
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31
Anual San Marcos Geometría
8. Según el gráfico, BC=CD y R=4. Calcule el área 
de la región sombreada.
 
R
D 
B
C
A) 8π B) 16π C) 4π
D) 2π E) 32π
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, AB=3 y BC=4. Calcule el área de 
la corona circular.
 
B
C
A
A) 12π B) 6π C) 18π
D) 21π E) 15π
10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado cuyo 
lado mide 8. Calcule la suma de las áreas de 
las regiones sombreadas.
A) 4π – 8
B) 2π+4
C) 16π 
B C
A D
D) 32π
E) 2π+8
11. En el gráfico, T y Q son puntos de tangencia, 
AT=4 y TB=12. Calcule el área de la región 
sombreada.
 
Q
TA B
A) 8π B) 16π C) 20π
D) 55π E) 23π
12. Halle el área de la región sombreada si 
 m AOB=60º y OA=OB=12.
A) 4π
B) 12π
C) 16π 
O
B
A
D) 20π
E) 36π
NIVEL AVANZADO
13. Según el gráfico, T es punto de tangencia, 
TB=24 y BF=36. Calcule la diferencia entre las 
áreas de las regiones sombreadas.
 
F
B
T
A) 69π B) 169π C) 85π
D) 50π E) 79π
π 
12π
C) 16π 
D) 20π
E) 36
Geometría
16
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32
Academia ADUNI Material Didáctico N.o 5
14. Halle el área de la región sombreada si AB es 
diámetro, OA=OB y FH=2. (O es punto de tan-
gencia)
 A O BH
F
A) 2π – 8 B) 4π – 4 C) 4π –1
D) 2π –1 E) 4π – 8
15. Halle el área de la región sombreada si ABCD 
es un cuadrado cuyo lado mide 10 u.
 
B C
A D
A) 100 – 25π B) 150 – 50π C) 50π
D) 50 E) 25π – 50
6
Práctica por Niveles
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es co-
rrecta?
 I. Una recta y un punto determinan un plano.
 II. Si una recta es paralela a una recta conte-
nida en un plano, entonces es paralela a 
dicho plano.
 III. Las rectas alabeadas son coplanares.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y III E) todas
2. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es inco-
rrecta?
 I. Si dos planos son paralelos, las interseccio-
nes de estos con un tercero son paralelas.
 II. Toda recta paralela a un plano es paralela a 
algunas rectas contenidas en dicho plano.
 III. Si dos rectas son paralelas a un mismo pla-
no, entonces dichas rectas son paralelas.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) todas E) ninguna
3. Indique verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda y elija la secuencia correcta.
 I. Dos planos paralelos a una misma recta 
son paralelos entre sí.
 II. Un punto determina un plano.
 III. Si una recta no interseca a un plano, no es 
paralela a dicho plano.
A) VFF B) FFF C) VVF
D) VFV E) FFV
4. Respecto a las siguientes afirmaciones, in-
dique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F).
 I. Si una recta es perpendicular a una recta 
contenida en un plano, dicha recta será se-
cante al plano.
 II. Si dos rectas determinan un plano, son pa-
ralelas o alabeadas.
 III. Si dos planos no son secantes, entonces no 
son paralelos.
A) VVF 
B) FFV 
C) VFF
D) FFF 
E) VVV
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es inco-
rrecta?
 I. Las rectas alabeadas no se intersecan.
 II. Las rectas pueden ser secantes, paralelas o 
alabeadas.
 III. Si una recta es paralela a dos planos, di-
chos planos son paralelos.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) todas E) ninguna
6. Indique verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda y elija la secuencia correcta.
 I. Tres puntos determinan un plano.
 II. Dos rectas determinan un plano.
 III. Las rectas paralelas son coplanares.
A) VVV
B) VVF 
C) VFV
D) VFF 
E) FFV
7. Según el gráfico, P // Q; A y B están en el 
plano P, y C y D están en el plano q. Calcule 
m
m
AD
BC


.
 
PP
QQ
AA BB
CCDD
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 1
2
2
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Geometría
 Introducción a la geometría del espacio
6
Práctica por Niveles
NIVEL BÁSICO
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es co-
rrecta?
 I. Una recta y un punto determinan un plano.
 II. Si una recta es paralela a una recta conte-
nida en un plano, entonces es paralela a 
dicho plano.
 III. Las rectas alabeadas son coplanares.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) I y III E) todas
2. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es inco-
rrecta?
 I. Si dos planos son paralelos,
las interseccio-
nes de estos con un tercero son paralelas.
 II. Toda recta paralela a un plano es paralela a 
algunas rectas contenidas en dicho plano.
 III. Si dos rectas son paralelas a un mismo pla-
no, entonces dichas rectas son paralelas.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) todas E) ninguna
3. Indique verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda y elija la secuencia correcta.
 I. Dos planos paralelos a una misma recta 
son paralelos entre sí.
 II. Un punto determina un plano.
 III. Si una recta no interseca a un plano, no es 
paralela a dicho plano.
A) VFF B) FFF C) VVF
D) VFV E) FFV
4. Respecto a las siguientes afirmaciones, in-
dique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F).
 I. Si una recta es perpendicular a una recta 
contenida en un plano, dicha recta será se-
cante al plano.
 II. Si dos rectas determinan un plano, son pa-
ralelas o alabeadas.
 III. Si dos planos no son secantes, entonces no 
son paralelos.
A) VVF 
B) FFV 
C) VFF
D) FFF 
E) VVV
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es inco-
rrecta?
 I. Las rectas alabeadas no se intersecan.
 II. Las rectas pueden ser secantes, paralelas o 
alabeadas.
 III. Si una recta es paralela a dos planos, di-
chos planos son paralelos.
A) solo I B) solo II C) solo III
D) todas E) ninguna
6. Indique verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda y elija la secuencia correcta.
 I. Tres puntos determinan un plano.
 II. Dos rectas determinan un plano.
 III. Las rectas paralelas son coplanares.
A) VVV
B) VVF 
C) VFV
D) VFF 
E) FFV
7. Según el gráfico, P // Q; A y B están en el 
plano P, y C y D están en el plano q. Calcule 
m
m
AD
BC


.
 
PP
QQ
AA BB
CCDD
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 1
2
7
Anual San Marcos Geometría
8. En el gráfico, P // Q. Calcule x.
 
QQ
PP
30º30º
xx
40º40º
A) 70º B) 50º C) 60º
D) 35º E) 40º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico, P // Q // R, 2(AB)=3(BC) y 
EF=6. Calcule ED.
 
PP
QQ
RR
AA
BB
CC
DD
EE
FF
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 5
10. En el gráfico, P // Q, E y B están en el 
plano P; A, C y D están en el plano Q. Si G es 
baricentro de la región ABC, calcule EG
GD
.
 
QQ
PP
AA
BB
CC
DD
EE
G
A) 1 B) 2 C) 3
D) 
1
2
 E) 
1
3
11. Indique verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda y elija la secuencia correcta.
 I. Las rectas alabeadas solo tienen un punto 
en común.
 II. Las rectas secantes son coplanares.
 III. Si una recta no es secante a un plano, en-
tonces es paralela a dicho plano.
A) VFV B) VVF C) FFV
D) FFF E) FVF
12. Indique verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda y elija la secuencia correcta.
 I. Dos rectas siempre determinan un plano.
 II. La intersección de tres planos siempre es 
una recta.
 III. Si una recta es paralela a un plano, enton-
ces dicha recta será paralela a todas las 
rectas contenidas en dicho plano.
A) VFF B) VFV C) FVF
D) FVV E) FFF
Geometría
 
3
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8
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NIVEL AVANZADO
13. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda y elija la secuencia correcta.
 I. Si dos rectas no se intersecan, entonces son 
paralelas.
 II. Por una recta secante a un plano se puede 
trazar solo un plano secante al primero.
 III. Si dos planos no son paralelos, entonces 
son secantes.
A) VFV B) VVV C) FFV
D) FVV E) FFF
14. Indique las proposiciones incorrectas.
 I. Si una recta es perpendicular a una recta 
paralela a un plano, entonces dicha recta 
es paralela al plano.
 II. Toda recta contenida en uno de dos planos 
paralelos es paralela al otro plano.
 III. Dos rectas paralelas a un mismo plano 
siempre determinan un plano.
A) todas
B) solo I
C) I y III
D) I y II
E) II y III
15. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones y elija la se-
cuencia correcta.
 I. Si dos planos no se intersecan, entonces 
son secantes.
 II. La intersección de dos planos secantes es 
un segmento.
 III. Cuatro puntos no colineales determinan a 
los más un plano.
 
A) VFV
B) VVV
C) FFV
D) FVV
E) FFF
Geometría
 
4
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NIVEL AVANZADO
13. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda y elija la secuencia correcta.
 I. Si dos rectas no se intersecan, entonces son 
paralelas.
 II. Por una recta secante a un plano se puede 
trazar solo un plano secante al primero.
 III. Si dos planos no son paralelos, entonces 
son secantes.
A) VFV B) VVV C) FFV
D) FVV E) FFF
14. Indique las proposiciones incorrectas.
 I. Si una recta es perpendicular a una recta 
paralela a un plano, entonces dicha recta 
es paralela al plano.
 II. Toda recta contenida en uno de dos planos 
paralelos es paralela al otro plano.
 III. Dos rectas paralelas a un mismo plano 
siempre determinan un plano.
A) todas
B) solo I
C) I y III
D) I y II
E) II y III
15. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones y elija la se-
cuencia correcta.
 I. Si dos planos no se intersecan, entonces 
son secantes.
 II. La intersección de dos planos secantes es 
un segmento.
 III. Cuatro puntos no colineales determinan a 
los más un plano.
 
A) VFV
B) VVV
C) FFV
D) FVV
E) FFF
12
Práctica por Niveles
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, OP es perpendicular al plano del 
círculo y PL=5. Calcule OP.
 
OO33
P
LL
A) 3 B) 4 C) 5
D) 8 E) 2
2. Según el gráfico, ABCD y ABEF son cuadrados. 
Calcule la medida del ángulo determinado 
por BC y EF.
A
B C
D
E
F
A) 90º B) 75º C) 60º
D) 53º E) 45º
3. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y AQD es 
un triángulo equilátero. Calcule la medida del 
ángulo determinado por AQ y CD.
A B
CD
Q
60º
A) 30º
B) 45º
C) 53º
D) 37º
E) 60º
4. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado de 
centro O, OP es perpendicular al plano de di-
cho cuadrado y AB=OP. Calcule x. (CM=MD).
MOO
P
B C
DA
x
A) 45º B) 53
2
º C) 37
2
º
D) 30º E) 60º
5. Según el gráfico, G es baricentro de la región 
equilátera ABC, AP es perpendicular al plano 
de dicha región. Si AB=6 y AP = 3, calcule x.
A
P
B
C
xx
GG
A) 15º B) 30º C) 18º
D) 8º E) 
37
2
º
5
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Geometría
Geometría del espacio I 
13
Anual San Marcos Geometría
6. Según el gráfico, PC es perpendicular al pla-
no del rectángulo ABCD, PC=CD=5. Calcule 
la medida del ángulo entre AP y el plano del 
rectángulo.
A
B
C
D
P
30º30º
A) 15º B) 16º C) 53
2
º
D) 30º E) 37
2
º
7. Según el gráfico, GQ es perpendicular al plano 
de la región equilátera ABC, cuyo baricentro 
es G, BC=12 y GQ = 3 3. Calcule la medida del 
ángulo entre BQ y el plano de ABC.
A
B
C
Q
G
A) 53º
B) 37º
C) 30º
D) 45º
E) 60º
8. En el gráfico, la proyección ortogonal de AB 
sobre el plano P mide 6 u y BN=17. Calcule 
AB - AM.
A
B
MMPP
NN
37º
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
NIVEL INTERMEDIO
9. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes afirmaciones y elija la secuencia 
correcta.
 I. Si dos rectas forman el mismo ángulo con 
un mismo plano, serán paralelas.
 II. Si dos rectas son perpendiculares a un mis-
mo plano, serán paralelas.