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Índice
Capítulo 1 Teoría de exponentes - Ecuaciones exponenciales 5
Capítulo 2 Grados y polinomios 11
Capítulo 3 Productos notables 17
Capítulo 4 División algebraica I 23
Capítulo 5 División algebraica II 30
Capítulo 6 Factorización I 36
Capítulo 7 Factorización II 42
Capítulo 8 Fracciones algebraicas 48
Capítulo 9 Repaso I 54
Unidad I
Capítulo 10 Radicación algebraica 60
Capítulo 11 Factorial - número combinatorio 66
Capítulo 12 Binomio de Newton 72
Capítulo 13 Números complejos 78
Capítulo 14 Ecuaciones de primer grado 84
Capítulo 15 Ecuaciones de segundo grado 90
Capítulo 16 Ecuaciones polinomiales 96
Capítulo 17 Repaso II 102
Unidad II
Álgebra
Capítulo 18 Matrices 108
Capítulo 19 Determinantes 115
Capítulo 20 Sistema de ecuaciones 121
Capítulo 21 Desigualdades e inecuaciones lineales 127
Capítulo 22 Inecuaciones polinomiales fraccionarias 133
Capítulo 23 Inecuaciones irracionales 139
Capítulo 24 Relaciones binarias 144
Capítulo 25 Repaso III 150
Unidad III
Capítulo 26 Funciones I 156
Capítulo 27 Funciones II 162
Capítulo 28 Progresión aritmética (P.A.) 169
Capítulo 29 Progresión geométrica (P.G.) 174
Capítulo 30 Logaritmos I 180
Capítulo 31 Logaritmos II 186
Capítulo 32 Repaso IV 192
Unidad IV
5
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Capítulo
Teoría de exponenTes - 
ecuaciones exponenciales
En este capítulo aprenderemos
 . Exponentes y radicales
 - Definición matemática
 - Teoremas y propiedades
 . Ecuaciones exponenciales
 - Definición matemática
 - Reglas prácticas de resolución
1
la calculadora Voyage 200 VirTual de Texas 
En el siglo XV, el matemático francés 
Nicolás Chuquet introdujo en Europa 
occidental el uso de los números 
negativos, además de una notación 
exponencial muy parecida a la que 
usamos hoy en día, en la cual se 
utilizan indistintamente exponentes 
positivos o negativos. Asimismo, 
en 1489 el matemático alemán 
Johann Widmann d´Eger inventó los 
símbolos "+" y "–" para sustituir las 
letras "p" y "m", que a su vez eran 
las iniciales de las palabras piu (más) 
y minus (menos), empleadas para 
representar la suma y la resta. Luego, 
en 1525, el matemático alemán 
Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día. Este símbolo era una 
forma estilizada de la letra «r» de radical o raíz.
http://alerce.pntic.mec.es/jjir0003/1cmas/Algebra/polinomios.pdf
La famosa calculadora Texas Instruments ahora llega en su version virtual, y con miles de 
librerías. Características: Herramienta Personal Educativa para estudiantes universitarios 
de ingeniería, matemáticas, ciencias y estadística • Su Sistema Algebraico Computacional 
(CAS) permite investigar las matemáticas y ciencias utilizando notación algebraica, 
gráficos, tablas, matrices y otros recursos.
Capítulo
6
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
1
Exponente
TEORÍA DE EXPONENTES
Ecuaciones 
exponenciales
Resolución
Logaritmos
Bases iguales
Analogías
Operaciones
Multiplicación
División
Potenciación
Nulo
Negativo
Radical
Exponente 
fraccionario
División
Operaciones
Potenciación
Multiplicación
Radicación
Síntesis teórica
Álgebra
7
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Aplica lo comprendido
Saberes previos
1. Efectuar:
 a) x2 .x3 = ........... b) (x4)3 =...............
 c) x21 ÷ x10 = .......... d) x5
2
= ................
2. Efectuar:
 a) .9 16 = ............. b) 33 8 27. =.............
 c) .16 814 = .............. d) 8
273 =..............
3. Reducir:
 a) (–2)0+20 = ............. b) -10 +10 =...........
 c) (2012)0 – 20120 = ..... d) 21 +12 =.............
4. Completar:
 a) x
2
3 =........... b) x– 
1
2 =...........
 c) 3–3=........... d) 2–2=...........
5. Resolver:
 a) 2x = 4 b) 3x+2=312 
 
 → x = → x =
 c) x(x–2) = 0 d) (x+1)(x–2) = 0
 x
x
1
2
=
=
' x
x
1
2
=
=
'
 
1. Relacionar correctamente:
x3.x7.x10.x2 A x6
4 3 x B x22
(x2)3)4 C x24
x4 ÷x–2 D x24
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto 
a la teoría de exponentes y las ecuaciones 
exponenciales:
 A. 
5
5x
2
=25 → x=4 .......... .........................( )
 B. 4x = 64 → x=6 ............ .......................( )
 
 C. 33+33+33=34.......... ............................( )
 D. x y
1 1+` cj m–1 –1=x+y ...............................( )
3. Completar:
 A. (25 + 83 – 623)0 = ...........................
 B. 34 + 33 + 32 + 31 = ...........................
 
 C. (x2)3. (x3)4. (x2)5 = ...........................
 
 D. 
.
. . .
2 2
2 2 2 2
7 8
4 3 5 6
 = ...........................
 
4. Reducir:
 S = 
4
4 4
x
x x2++
5. Reducir:
 M = 
( ) ( )
( )
x y
x y x y
5 2 4 3
3 3 2 2 2
 
Capítulo
8
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Aprende más
1. Relacionar correctamente:
( ) ( )
x
x x
12
4 2 3 2
A
2
1
4
– 12 B x
2x=5 → 2x+1= C x2
...x x x
veces8
1 2 3444 444
8 8 8. D 10
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto 
a la teoría de exponentes y las ecuaciones 
exponenciales:
 A. ((x2)2)2 = x22
2
 ...................................... ( )
 B. ...x x x x x x` j1 2 3444444 444444 63 33
10 veces
=x25 .............. ( )
 C. x y24 1243 =x2y ..................................... ( )
 D. 2x+3=512 → x=9 ............................... ( )
3. Completar:
 A. Si: E= ...
x x x
1 1 1
veces
1 1 1
20
+ + +
- - -` ` `j j j
1 2 34444444 4444444
→ E = 
 
 B. Si: 36x = 216 → x = 
 C. Si: M = x96
3 4
 → M = 
 D. Si: xx = 256 → x = 
 
 4. Reducir:
 E=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y
x y x y
4 2 3 5 2 6 2 2
2 4 3 2 3 3 4 2
 ; x, y ≠ 0
 a) x3y5 b) x5y3 c) 
x y
1
5 3
 d) x–3y–5 e) 1
5. Simplificar: 
 K = 
125
1c m–9–2
–1
 a) 1 b) 5 c) 
5
1
 d) – 
5
1 e) – 5
6. Calcular:
 . . .
( ) .
5 5 4 5 5
225 225
n n
n
2 3 2 2 3 3
2 3
++ +
+
2n+3
 a) 45 b) 25 c) 15
 d) 5 e) 1
7. Reducir:
 
 S = 
7 7 7 7 7
7 7 7 7 7
4 3 2 1x x x x x
x x x x x4 3 2 1
– – – –+ + + +
+ + + ++ + + +
 a) 49 b) 343 c) 2401
 d) 16 807 e) 4096
8. Reducir: 
 S = . . .x x x x2 2 2 2c m3 3 3 3
81
80
 
 a) x b) x2 c) xx
 d) xx – 1 e) x–1
9. Reducir:
 
 R = 
( )
( )
n n
n n n
– –
– –
n n
n n n n
1 16
6
@
@
"
"
,
,–n n
n n ; n ≠ 0
 a) n b) n2 c) n–1
 d) n–2 e) 1
10. Encontrar "x" en:
 26x + 1 + 43x + 1 + 82x + 1 = 3584
 a) 2 b) 
4
3 c) 
2
1
 d) 
3
4 e) 1
11. Hallar "x", si: 8–9
–32x
 = 
2
1
 
 a) –5 b) – 
5
1 c) 
5
1
 d) 
3
1 e) – 
4
1
1
Álgebra
9
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Practica en casa
12. Calcular el valor de "x6" en:
 xx6 = 2
112
 a) 2 b) 
4
1 c) 
2
1
 d) – 
2
1 e) - 2
13. Indicar el valor de "x" que verifica:
 xx = 
n
4
x
n
 a) 2–n b) 2n+1 c) 
n
2
 d) n e) n
2 
14. Una raza especial de conejos se reproduce 
de tal manera que cada pareja da lugar a dos 
machos y dos hembras después de 25 días de 
gestación. Suponiendo que cada pareja solo se 
cruza una vez,¿cuál es la población generada 
por una pareja después de 125 días?
15. Un padre decide dar como propina a sus tres 
hijos las siguientes cantidades: S/.4x, S/.2x+1 
y S/.8x . Si el monto repartido fue de S/.88, 
¿cuánto le tocó a cada uno?
 
1. Relacionar correctamente:
( ) ( )
x
x x
16
3 5 2 3
A 2
1
8– 
1
3 B x5
3x=7 → 3x+1= C x
...x x x
veces9
1 2 3444444
9 9 9
D 21
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto 
a la teoría de exponentes y las ecuaciones 
exponenciales:
 A. ((x4)4)4=x44
4
.......... ( )
 B. ...x x x x x xe o1 2 344444 444444 4 4 8
8 veces
=x18............( )
 C. x y20 105 =x4y2............( )
 D. Si: 3x–2=81 → x=6............( )
3. Completar:
 A. Si: E= ...x x x– – –
veces
1 1 1
10
+ + +1 2 344444 44444 → E=............... 
 B. Si: 25x = 625 → x= ...............
 C. Si: M = x36
3 3 → M= ............... 
 D. Si: xx = 27 → x= ...............
4. Reducir: 
 S = 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y
x y x y
2 4 2 3 2 2 3 2
4 2 3 2 2 4 3 3
5. Efectuar:
 M = 8–27–9
–4–0,5 
6. Simplifique:
 E = 
2 .5
. – .
5
2 5 2 5
m m
m m m m
3
1 2 1 2
+
+ +
m ; m ≠ 0
 
Capítulo
10
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Tú puedes
1. Simplificar: P = nn
n n5` j; En
n – (nn)5
nn+1
n
 a) 1 b) n c) nn d) n
n
 e) nn
n
2. Simplificar: J = 
.
( )
a a
a a
a
a a2 –1+ +> H
a
a 1+a2 1+a2
1+a2
 a) a b) 1 c) a + 1 d) a2 e) aa
3. Calcular "a2 + b2", si al reducir: ...x x x x x –n3 5 7 2 1 , se obtiene como exponente de "x" a: 
a – bn a
2n
+c m
 
 a) 10 b) 13 c) 18 d) 20 e) 25
4. Resolver: xx
x+1
 = 2–2
– 
3
2 ; indicar: x + 1
 a) 
2
3 b) 
3
2 c) 
3
4 d) 
3
1 e) 
2
1
5. Calcular xx, luego de resolver: x 3x 18
x1
=-
-
 
 a) 1/3 b) –1/3 c) 1/9 d) –1/9 e) 1/27
7. Reducir: 
 K = 
x3 3 3 3
3 3 3 3 3
1 2 3 4x x x x x
x x x x x1 2 3 4
– – – –+ + + +
+ + + ++ + + +
8. Reducir:
 M= . .x x x2 2 2` j273 3 3 . x–25
 
9. Reducir:
 S = x
x x x x
x x x x2
' ' '
> Hn n nn–n2
n n n n 
10. Si: 2x + 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 + 2x – 4 = 1984
 hallar: x
11. Hallar "x" en: 5 5
1=4
–2x–1
 
12. Indicar "x" que verifica: x
2
1x =
1
4
13. Indicar "x", que verifica: xx = 3
19
14. Una raza especial de conejos se reproduce 
de tal manera que cada pareja da lugar a dos 
machos y dos hembras después de 30 días de 
gestación. Suponiendo que cada pareja solo se 
cruza una vez,¿cuál es la población generada 
por una pareja después de 120 días?
15. Un padre decide dar como propina a sus dos 
hijos las siguientes cantidades: S/.3x+3 – 3x+2 y 
S/.3x+1 – 3x. Si el monto repartido fue de S/.60x, 
¿cuánto le tocó a cada uno?
1
11
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Capítulo
descarTes y VieTe y sus noTaciones algebraicas
El uso de los polinomios 
tiene sus antecedentes 
en la resolución de 
ecuaciones algebraicas; 
el estudio de ecuaciones 
sencillas es muy antiguo, 
puesto que se conocen 
problemas propuestos 
en papiros y tablillas de 
las civilizaciones griega 
y babilónica.
El simbolismo usado 
en los polinomios y 
ecuaciones se ha ido 
elaborando a lo largo 
de la historia y no tomó 
su forma actual hasta el siglo XIX. En 1591, el matemático francés François Viète desarrolló una notación 
algebraica muy cómoda: representaba a las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.
En 1637, el matemático francés René Descartes fusionó la Geometría y el Álgebra inventando la "Geometría 
analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las 
primeras letras del alfabeto: a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas: x, y, z. Introdujo también 
la notación exponencial que usamos hoy en día.
http://alerce.pntic.mec.es/jjir0003/1cmas/Algebra/polinomios.pdf
René Descartes
Francois Viéte
2
grados y polinomios
En este capítulo aprenderemos
 . Expresiones algebraicas
 . Polinomios
 . Teoría de grados
 . Polinomios especiales
Capítulo
12
Colegios
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2
EXPRESIONES 
ALGEBRAICAS
Notación
• Variables
• Constantes o 
 parámetros
• Suma coeficientes
• Término 
 independiente
Valor numérico
Monomios Polinomios
Grados
Monomio
• G. Absoluto
• G. Relativo
Reglas para 
calcular grados 
en operaciones
• G. Absoluto
• G. Relativo
Polinomio
Síntesis teórica
Álgebra
13
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Aplica lo comprendido
Saberes previos
1. Efectuar:
 a) xm . xn = ........ b) xm ÷xn =..........
 c) x
mn
=............ d) x
m n =............
2. Efectuar:
 a) x4 .x6. x13= ....... b) ((x4)3)2=...........
 c) 
.
. .
x x
x x x
2 5
3 6 8
=......... d) x y
24 123 4
=.......
3. Completar:
Coeficiente Parte literal
A(x;y)=2005x6y7
T(x;y)=3ax4y6
P(x;y)=219a2b3x6y7
 4. En: Q(x;y;z) = 2ax3y6 - 6x5z6y7 - 219x6y9z12
 • Variables: ....................................
 • Constantes: .................................
 • Mayor exponente de "x": ........................
 • Mayor exponente de "y": ........................
 • Mayor exponente de "z": ........................
5. Si: P(x) = 4x2 – 3x + 2; calcular:
 P(2) = __________ P(–1) = ___________
 P(0) = __________ P(1) = ____________
1. Relacionar correctamente:
P(x;y)=5x2y5 A GA=7GR(x)=3
P(x)=x2+x+2 B Polinomio cúbico
P(x;y)=2x2y5+3x3y4 C GA=7GR(x)=2
P(x)=2x3+4x+1 D Polinomio mónico
2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a los 
polinomios:
 A. En: Q(x;y)=58xn–3 y; si: n=4 → GA=9 .. ( )
 B. Si: Q(x;y)= 25x4y5z6 → GR(z)=6 ........... ( )
 
 C. El polinomio: P(x;y) = 4x2y3 – 3xy4 es 
homogéneo .......................................... ( ) 
 D. El polinomio: P(x)=x4+x3+x2+1 es ordena-
do y completo ....................................... ( )
3. Completar:
 A. Un polinomio es .................. cuando sus 
términos tienen el mismo grado absoluto. 
 B. Sea: M(x;y;z) = 3a2b3x4y9z13
 • G.R.(x) =
 • G.R.(y) =
 • G.R.(z) =
 • G.A.(M) = 
 C. Sea: P(x;y) = 3x3y2 + 5x5y
 • G.R.(x) =
 • G.R.(y) =
 • G.A.(P) = 
 D. Si un polinomio se anula para todo valor de la 
variable, el polinomio se llama...................... 
4. Dado el polinomio (exponentes de sus variables 
enteros positivos): x
n
2 + x
n
3 + x3 ; (n ≠ 0) , el 
mínimo entero "n" que cumple es:
5. Si el polinomio es completo y ordenado en 
forma creciente: P(x) = pxm–7 + nxn–1 + mxp–4
 hallar: m . n . p
Homogéneo
nulo
Capítulo
14
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Aprende más
 
1. Relacionar correctamente:
P(x)=2x4+5x2+3x A Polinomios idénticos
P(x)=x2+x3+x+5 B Polinomio ordenado
P(x;y)=2x2y5+3x3y4 C Polinomio completo
P(x;y) ≡ Q(x;y) D Polinomio homogéneo
2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto al 
polinomio: P(x;y)=xmyn+xm+1yn–1+xm–1yn+2
 A. Si: GR(x)=10 → m =9 ............................( )
 B. Si: GR(y)=12 → n =12 ...........................( )
 C. Si: GA=15 → m+n =14 ........................( )
 D. Si: m=3, n=5 → GA =9 ........................( )
3. Completar:
 A. El polinomio: P(x;y)=2x4y5+5x6y3+3x2y7 
es un polinomio..................... 
 B. El polinomio: P(x;y)=x100+2x50+3x10+4 
es un polinomio..................... 
 C. El polinomio: P(x;y)=2x4+5x3+4x2+5x+2 
es un polinomio..................... 
 D. Si los polinomios: ax2+bx+c y mx2+ nx+p 
son identicos → a=.....; b=.....; c=..... 
4. Dado el polinomio:
 P(x;y) = xm+2yn–1 + xm+6yn – xm+4yn+4
 Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a 
40, calcular el G.R.(y).
 a) 22 b) 20 c) 18 
 d) 24 e) 28
5. Indique el grado de "R", sabiendo que:
 R(x) = x
n – 1
2 +3x
11 – n
3 + 219 es un polinomio.
 a) 1 b) 2 c) 3 
 d) 4 e) 5
6. En el polinomio: 
P(x;y)=4xm+n–2ym–3+8xm+n+5ym–4+7xm+n–6ym+2Se verifica que la relación entre los grados 
relativos de "x" e "y" es 2; y además el menor 
exponente de ‘‘y’’ es 3. Hallar su grado absoluto.
 a) 15 b) 16 c) 17 
 d) 18 e) 21
7. El polinomio:
P(x;y;z)=xm–nyp–mzn+6+xm–2nyp+3nzn+4+xm+3nyp–2mzn+2
 contiene término independiente para cada una 
de sus variables. 
 Halle: G.A.(P) + G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) 
 a) 38 b) 36 c) 40 
 d) 24 e) 28
8. Dados los polinomios "P" y "Q" de los que se 
conoce:
 G.A. PQ` j4 = 3
 G.A. (P3 ÷ Q) = 4
 ¿Cuál es el grado de "Q"?
 a) 2 b) 4 c) 6 
 d) 8 e) 10
9. Dado el polinomio homogéneo:
 P(x;y)=5x3a+2by4 – x2ayb+7+xa–1ya–3b
 Calcular: G.A.(P) + ab
 a) 1 b) 2 c) 3 
 d) 4 e) 5
10. Si el siguiente polinomio de 14 términos es 
completo y ordenado:
 P(x) = xn+4+...+xa – 1+xa–2+xa–3
 Calcular: a + n
 a) 3 b) 9 c) -4 
 d) 16 e) 12
11. Calcular "A + B + C", si:
 (x+1)[A(x+2)+B(x–2)–3x]+15x≡(x–2)[3x+C(x+2)]
 Se verifica para todo "x".
 a) 20 b) 21 c) 22 
 d) 23 e) 24
12. Si "P(x)" es idénticamente nulo, hallar "a - b" en:
 P(x–a) = b(x+2)+a(x+3)+2 
2
Álgebra
15
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
Practica en casa
 a) – 1 b) – 2 c) – 3 
 d) – 4 e) – 5
13. El siguiente polinomio:
 P(x)= 5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a
 es ordenado de forma creciente y completo. 
 Calcular: ab + bc + ac
 a) 15 b) 20 c) 22 
 d) 27 e) 29
 
14. Las aulas del colegio TRILCE tienen losetas de 
colores: "A" , "B" y "C" de forma cuadrada (de 
dimensiones: "x" , "y", "z" respectivamente); y 
de colores: "D" y "F" de forma rectangular (de 
dimensiones: "a", "b" y "c", "d" respectivamente) 
que conforman un área de: 2A+3B+2C+D+F 
. ¿Cuál es el área total?
15. El sueldo "S1" y "S2" de dos profesionales 
depende del número de semanas "x" que 
laboran y está dado por:
 S1: (a – 4)x
4 + 12x2 – (b – 2) 
 S2: 12x
4 + (c – 2)x2 – 10
 Si ambos profesionales trabajan tres semanas y 
perciben la misma cantidad, hallar "a+b+c" y 
cuál será su sueldo.
1. Relacionar correctamente:
P(x;y)=x3+7+x2+4x A Polinomios idénticos
P(x;y)=3x3y6+8x2y7 B Polinomio ordenado
A(x;y) ≡ B(x;y) C Polinomio completo
P(x)=4x6+8x3y+6x D Polinomio 
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al 
polinomio: P(x;y) = xayb + xa+1yb–1+xa–1yb+3
 A. Si: GR(x)=14 → a =13 ........................( )
 B. Si: GR(y)=15 → b =12 ........................( )
 C. Si: GA=20 → a+b =15 .......................( )
 D. Si: a=5; b=6 → GA =13 .....................( )
3. Completar:
 A. El polinomio: P(x;y)=9x8y5+4x6y7+8x2y11 
es un polinomio ..................... 
 B. El polinomio: P(x) =3+x10+x15+2x20 es un 
polinomio ..................... 
 C. El polinomio: P(x) = x3+ 2x2+ 9x +1 es un 
polinomio ..................... 
 D. Si los polinomios: px2+qx+r y mx2+ ax+f 
son idénticos → p=.....; q=.....; r=..... 
4. Dado el monomio: M(x;y)=(3n+1)x6n–5y2n+3
 Se tiene: G.R.(x) = G.R.(y)
 Calcular: G.A.(M) + coeficiente (M)
5. Indique el grado de "P", sabiendo que:
 P(x) = x
n–1
3 + 3x2n–3 + 219x5–n+2012
 es un polinomio.
6. Si el grado absoluto de: 
 P(x;y) = x2ay3b+1+7xay3b–1–5xay3b–3 es igual a 
la mitad de la suma de los exponentes de todas 
sus variables, calcular: G.R.(y)
7. En el siguiente polinomio: 
 P(x;y) = 5xn+3ym–2z6–n + xn+2ym–3zn+m 
 Donde: G.R.(x) – G.R.(y) = 3 ∧ G.A.(P) = 13
 Calcular: 2m – n.
8. Si: P(x) es de 5to grado.
 Q(x) es de 4to grado.
 R(x) es de 3er grado.
 Hallar el grado de: 
. ( – )
( – )
P Q P Q
P Q R
2
4 3
9. Si el polinomio:
 P(x;y) = axa+3 – abxa–1yb+2+2byb+8
 es homogéneo, la suma de sus coeficientes es:
10. Si el polinomio: 
 P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p)0
 Es completo y ordenado. Calcular: (m + n + p)
homogéneo
Capítulo
16
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Tú puedes
2
1. Si la expresión: E(a;b)=
x–25
12
y+3
48
a . b es de cuarto grado con respecto a "a" y de sexto grado absoluto, el 
valor de (x – y) es:
 a) 28 b) 29 c) 31 d) 32 e) 35
2. Dado el polinomio: P(x;y) = 2xa(b–4) – 3ya2(b – 4) – (xy)a(b – 4)+4y4+a(b – 4), donde "a" y "b" son números 
naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es (a2 + 2)2, el valor de "b" 
será:
 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
3. Si el polinomio: P(x) = (x2+x+3)(a – b)+(x2+x+4) (b – c)+(x2+x+5) (c – a) es idénticamente nulo, 
el valor de: [(b + c) ÷ a] es:
 a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3
4. Si el polinomio: P(x;y)= 3 xm–2yn–1(x7+y2n–3) es un polinomio homogéneo cuyo grado de homoge-
neidad es 16, hallar "mn".
 a) 30 b) 20 c) 35 d) 41 e) 45
5. Un polinomio "P(x)" de tercer grado, cumple con la siguiente condición: P(x) – P(x – 1) ≡ 2x(3x + 2). 
Hallar el coeficiente de "x" en el polinomio "P(x)".
 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
11. Hallar "a + b + p" en:
 (aaa – 2)x5+(bb – 3)x3+(p – 7)≡14x5+24x3+10
12. Se tiene: (a – 4)xy2 – (20 – b)x2y+ax2y ≡ 0
 Determinar: ab .
13. Si el polinomio:
 P(x) = mxp – 8+nxm–4+pxn+5+qxq – 2
 es completo y ordenado en forma descendente, 
calcular la suma de coeficientes.
14. Las aulas del colegio TRILCE tienen losetas 
de colores: "P", "Q" y "R" de forma cuadrada 
(de dimensiones: "a" , "b" y "c" respectiva-
mente); y de colores: "M" y "N" de forma rec-
tangular (de dimensiones: "x", "m" y "c" , "n" 
respectivamente) que conforman un área de: 
5P+3Q+2R+M+N . ¿Cuál es el área total?
15. El sueldo "S1" y "S2" de dos profesionales 
depende del número de semanas "x" que 
laboran y está dado por:
 S1: (n+1)x
5 + 10x2 + (p+1) 
 S2: 8x
5 + (m –2)x2 + 11
 Si ambos profesionales trabajan tres semanas y 
perciben la misma cantidad, hallar "m+n+p" 
y cuál será su sueldo.
17
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Capítulo
pensamienTo maTemáTico
El pensamiento matemático es la capacidad que nos permite comprender las relaciones que se dan en el 
mundo circundante y la que nos posibilita cuantificarlas y formalizarlas para entenderlas mejor y poder 
comunicarlas. 
El desarrollo de los procesos cognitivos 
en el campo de la Didáctica de la 
Matemática es capaz de ayudar en 
la percepción geométrica de los 
productos notables y de la media 
geométrica, los cuales se deben realizar 
coordinando cierta caracterización, 
en donde el proceso cognitivo de 
visualización está íntimamente 
relacionada con la forma geométrica 
de la figura; es decir, su configuración 
y el razonamiento se basa en aplicar 
las afirmaciones matemáticas que les 
corresponda algebraicamente, tomando en consideración la noción de área.
La coordinación de estos procesos cognitivos permitirá construir desde una perspectiva geométrica las 
fórmulas usadas en algunos productos notables como son el cuadrado de una suma y de una diferencia. 
Así mismo, se tomará en cuenta las nociones de área para la acepción geométrica tanto de los productos 
notables como de la cuadratura del rectángulo o la cuadratura del triángulo, las cuales son llamadas muchas 
veces media geométrica.
http://www.sinewton.org/numeros/numeros/71/Articulos_02.pdf
producTos noTables
En este capítulo aprenderemos
 . Definición
 . Formas generales
 . Identidades auxiliares
 . Igualdades condicionales
3
Capítulo
18
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
3
PRODUCTOS NOTABLES
Identidades 
Legendre
Binomio al 
cuadrado
Diferencia de 
cuadrados
Binomio al 
cubo
Suma o 
diferencia de 
cubos
2 binomios 
con término 
común
Complementarias
I. (x2n+xn+1)(x2n–xn+1)
II. (x+y+z)(x2+y2+z2–xy–xz–yz)
III. (x+a)(x+b)(x+c)
Si: x+y+z=0
I. x2 + y2 + z2
II. x3 + y3 + z3
Síntesis teórica
Álgebra
19
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Aplica lo comprendido
Saberes previos
1. Efectuar:
 a) (x2y7)(x3y4) = ................... 
 b) (x6y5) ÷ (x2y3) = ...................
 c) (–5x2)(+2x3) = ................... 
 d) (–3x2y3) ÷ (–3xy2) = ................... 
2. Reducir:
 a) –5x2 +4x2–10x2 = ................. 
 b) 3xy+4xy – 6xy = .................
 c) 4x3+5x3 – 2x3 = ................. 
 d) 4x2y+7x2y – 2x2y = .................
3. Efectuar:
 a) x (x+y) = ................ 
 b) x (x – 1) = ................
 c) x2 (x2 +1) = ................ 
 d) x3 (x3 – y3) = ................
4. Efectuar:
 a) (x+1)(x+1) =................................ 
 b) (x – 1)(x – 1) =................................
 c) (x+2)(x – 2) =................................ 
 d) (x+3)(x – 3) =................................ 
5. Efectuar:
 a) (2x+1)(x2) =................................. 
 b) (3x+2)(x2) =.................................
 c) (2x+1)(x – 1) =................................. 
 d) (3x+1)(2x+1) =................................ 
1. Relacionar correctamente:
(x+y)(x – y) A x2+2xy+y2
(x–y)(x2+xy+y2) B x2 – y2
(x+y)2 C x3–y3
(x+y)(x2–xy+y2) D x3+y3
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a los 
productos notables:
 A. (x+y)2 – (x – y)2 = 0 ........................... ( )
 B. (x+y)2 = x2 + y2 ............................... ( )
 C. x2 - y2 = (x – y)(y +x) ........................ ( )
 D. (x+y)2 + (x – y)2 = 4xy ..................... ( )
3. Completar:
 A. (x + a)(x +b) = ................................... 
 B. (x + a)(x +a) = ................................... 
 
 C. (x + y)3 = ....................................
 D. (x + y + z)2 = .................................... 
4. Reducir: (x - y)(x + y) (x2 + y2) + y4 
5. Si: x + y + z = 0, calcular:
 
 M = 
xyz
x y z3 3 3+ + 
 
x5y¹¹
x⁴y²
-10x5
xy
-11x²
1xy
7x³
9x²y
x²+y
x²-x
x6
x9-x³y³
x²+2x+1
x²-2x+1
x²-4
x²-9
Capítulo
20
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Aprende más
1. Relacionar correctamente:
2(x2+y2) A (x+y)2+(x – y)2
4xy B x3+y3+z3=3xyz
xy=6 C (x+y)2 – (x – y)2
x+y+z=0 D (x – 2)2+(y – 3)2=0
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a los 
productos notables:
 A. (x – y)3 = x3 – y3 – 3 x y (x – y) ............( )
 B. (x – y )(x+ y )=x – y .......................( )
 C. (x – 2)4 (x + 2)3 = (x2 – 4)7 ..................( )
 D. x2 + y2+ z2=2(xy+xz+yz) ..................( )
3. Completar:
 A. (x + y)2 +2(x + y) + 1= .......................... 
 
 B. ( x + y )( x – y ) =............................. 
 
 C. Si: x+y+z=0 → x3+y3+z3 ......................
 D. (x + y)3 = ................................................. 
4. Reducir:
 
 P = ( ) ( – )7 3 7 32 2+ +
 a) 2 b) 10 c) 20
 d) 40 e) 16
5. Si: a + b = 4 ∧ ab = 1
 hallar: S = a3 + b3
 a) 52 b) 51 c) 50
 d) 49 e) 60
6. Si: 
y
x
x
y+ = 2; calcular: 
x y
x y xy
2
8 3
5 5
4 4
+
+
 a) 
11
3 b) 
3
11 c) 1
 d) 2 e) 
11
1
7. Hallar el valor numérico de:
 P(x) = (x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1)
 Para: x = –4 15 4 15+ +
 a) 666 b) 444 c) 111
 d) 999 e) 333
8. Hallar “n”:
 ( ) ( ) ( ) ( )13 85 7 6 7 6 64 4 8 8 16+ + +8 = 7n–3
 a) 4 b) 6 c) 7
 d) 8 e) 5
9. Hallar el valor numérico de:
 (x+1)(x2 – x+1)(x6 – x3+1)(x9 – 1) – x18+1
 para: x = 2012
 a) 0 b) 2012 c) 201218
 d) 1 e) 2012!
10. Si: a + b + c = 0, calcular:
 M = 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b b c c a
a b b c c a3 3 3
+ + +
+ + + + +
 a) 3 b) –3 c) 4
 d) –2 e) 16
11. Hallar el valor numérico de:
 E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2 – a2b2]
 Para: a3 = 2 +1 ∧ b3 = 2 – 1
 a) 9 b) 2 c) 4 2
 d) 6 e) 1
12. Si: x2 – 5 x + 1 = 0; calcular:
 M = x4 + x2 + 
x
1
2
 + 
x
1
4
 a) 10 b) 11 c) 12
 d) 13 e) 14
13. Si: x = 84 ∧ y = 24
 Calcular: 
( ) – ( – )
x y
x y x y
2 2
4 4
+
+= G
1
2
 a) 2 b) 4 c) 3
 d) 3 2 e) 2 2
3
Álgebra
21
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Practica en casa
14. Se desea embalar una caja de dimensiones: 
Largo= x+1, Ancho=x+2 y Altura=x+3 ; 
para lo cual utilizamos papel de colores. ¿Cuál 
es la mínima cantidad de papel que necesita-
mos para forrarlo?
15. Un padre decide poner a prueba la habilidad 
matemática de sus hijos Edú y Mathías, para lo 
cual entrega sus propinas en dos sobres cuyos 
montos están escritos de la siguiente manera:
 Edú → ( . . . )3 5 17 257 1 256+ 
 Mathías → 41282 - 41272 
 ¿Cuánto le tocó a cada uno?
1. Relacionar correctamente:
2(a2+b2) A (a+b)2+(a–b)2
4ab B a3+b3+c3=3abc
ab=15 C (a+b)2 – (a – b)2
a+b+c=0 D (a–5)2+(b–3)2=0
2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a los 
productos notables:
 A. (a + b)3 = a3 + b3 – 3 ab(a+b) ........... ( )
 B. (a – b )(a + b )=b – a ......................... ( )
 C. (a – 2)4 (a + 2)4 = (a2 – 4)8 ................... ( )
 D. a2 + b2 + c2 = 3abc ............................ ( )
3. Completar:
 A. (a+b+c)2+2(a+b+c)+1= ......................... 
 B. ( ) ( – )a b a b+ (a + b)=........................
. 
 C. Si: a + b + c =0 →3abc = ........................
 D. (a – b)3 = ..................................................... 
 
4. Simplificar: 
 S = – –
y
x
x
y
y
x
x
y
2 2
+c cm m ; x,y ≠ 0
 
5. Si: a + b = 4 ∧ ab = 1
 Hallar: P = (a2 + b2)2
 
6. Si: (x + y)2 = 4xy
 Calcular: 
y
x y3 +
7. Reducir: S = (x + 1) (x – 1) (x4 + x2 + 1)
 Si: x = –3 8 3 8+ +
8. Calcular el valor de:
 S= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 4 8 16 32 64+ + + + + + +32
9. Multiplicar:
 
 S = –2 1 2 1 2 1 2 1 2+ + +^ ^ ^ ^ ^h h h h h8 48
10. Si: a + b + c = 0, reducir:
 
 S=
bc
a
ac
b
ab
c
b bc c
a ab b2 2 2
2 2
2 2
+ +
+ +
+ +c cm m
11. Obtener el valor de:
 S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a – b) + 2b8
 Para: a = 2 1+ ∧ b = –2 1
12. Si: a + a– 1 = 3, calcular:
 M = a–3 + a–2 + a–1 + a0 + a1 + a2 + a3
13. Hallar el valor numérico de: ( ) –( – )
x y
x y x y
2 22 2
4 4
+
+
 
 Para: x = 43 , y = 163
14. Se desea embalar una caja de dimensiones: 
Largo= x –1, Ancho=x +1 y Altura=x+4 ; para 
lo cual utilizamos papel de colores. ¿Cuál es la 
mínima cantidad de papel que necesitamos 
para forrarlo?
15. Un padre decide poner a prueba la habilidad 
matemática de sus hijos Paolo y Diego para lo 
cual entrega sus propinas en dos sobres cuyos 
montos están escritos de la siguiente manera:
 Paolo → ( . . . )2 4 10 82 1 81+ 
 Diego → 1222 – 1212 
 ¿Cuánto le tocó a cada uno?
Capítulo
22
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Tú puedes
3
1. Simplifique: ( )
ab
a b9 3 3+ - 23(a + b), si se sabe: 
ab
a b
4 9
82 2+ =
 a) 1 b) 2 c) 8 d) 0 e) 9
2. A partir de la siguiente relación: 
a b3
1
3
1
4
-
+
+
 = a + b, reducir: 
–a b
ab216 18
3 3
+
 a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) - 4 
3. Si se sabe que: (a + b - 3)2 = (a - b)2 + 3 ; calcular el valor de: A = 
–a b
ab
1
2
+
 
 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) - 2
4. Si: a = 5 - 2
 b = 2 - 3
 calcular el valor de: ( – ) ( – ) ( )a b a ab b a b b2 3 3 2 2 6 6 12+ + +12
 a) 5+ 2 b) 5 - 2 c) 2 - 3 d) 2 +3 e) 2 + 3
 
5. Si: x = 0,5 ( 33 + 23 )
 y = 0,5 ( 33 - 23 )
 calcular: E = 4xy(3x2 + y2) (x2 + 3y2) 
 a) 4 b) 5 c) 33 d) 23 e) 5 33
23
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
Capítulo
diVisión algebraica i
4
En este capítulo aprenderemos
 . División algebraica
 . Métodos de división algebraica
Horner, ruffiniy la diVisión algebraica
William George Horner, 
recibió su educación en 
la Escuela de Kingswood 
de Bristol. Resulta 
sorprendente que, 
cuando tenía 14 años, 
se convirtiera en maestro 
auxiliar de dicha escuela 
y, años más tarde, 
en Director. Horner 
solamente realizó una 
única contribución 
significativa a las 
matemáticas: el método 
de Horner para resolver 
ecuaciones algebraicas. 
Este fue presentado a la Royal Society el 1 de julio de 1819 y publicado el mismo año en las Philosophical 
Transactions of the Royal Society. No obstante, algunos años antes Ruffini había descrito un método 
semejante, por el cual le fue concedido la medalla de oro por la Italian Mathematical Society for Science, 
que había reclamado mejoras sobre los métodos para obtener soluciones numéricas de ecuaciones. Sin 
embargo, ni Ruffini ni Horner fueron los primeros en descubrir este método, ya que el matemático chino 
Zhu Shijie (1270 - 1330) lo había empleado quinientos años antes.
http://es.scribd.com/doc/4796836/Division-de-Polinomios
W. George Horner
Ruffini
Capítulo
24
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
4
Métodos de 
División
Horner Ruffini
Teorema del 
Resto
DIVISIÓN ALGEBRAICA
- Dividendo
- Divisor
- Cociente
- Resto
Propiedades de 
los grados
Identidad 
fundamental
Definición
Síntesis teórica
Álgebra
25
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Aplica lo comprendido
Saberes previos
1. Efectuar:
 a) 
x
x
9
45
5
25
=......... b) 
x
x
4
12
2
6
=.........
 c) .
x
x x
7
56
12
13 6
=......... d) .
x
x x
9
72
8
3 6
=.........
2. Si: P(x) = 5x2 +3x + 1, calcular:
 • P(2) = ________ • P(–1) = _________
 • P(0) = ________ • P(1) = _________
3. Si: P(x) = 3x3 + 6x4 + 4x2 + 3x + 2, completar:
 • Variable: ................................
 • Grado del polinomio: ................................
 • Coeficientes: ................................
 • Coeficiente principal: ................................
 • Término independiente: ............................
4. Si: P(x) = –5x +2x4 + 3x2 + 1, entonces:
 • Completar el polinomio: .............................
 • Ordenar crecientemente:.............................
 • Ordenar decrecientemente:.........................
 • Término independiente: .............................
 • Suma de coeficientes:..................................
5. Identificar en la siguiente división:
 
4x2+8x+9 x+1
 3x+8 4x+1
 
 • Dividendo: ................. 
 • Divisor:...................... 
 • Cociente:................ 
 • Residuo: ................
1. Relacionar correctamente:
D(x)=d(x)q(x)+R(x) A R(x)=0
Grado[D] – Grado[d] B
Identidad 
fundamental 
de la división
División exacta C Grado[R]máx
Grado[d] – 1 D Grado[q]
2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a la 
división: 
 
–x x
x x x x
5 1
12 11 3 6
2
4 3 5
+
+ + + +
 
 A. El grado del polinomio dividendo es 5 ....( )
 B. El grado del polinomio divisor es 2 
 ............................................................( )
 C. El grado del polinomio cociente es 2 ....( )
 D. El grado máximo del polinomio residuo es 
1 .........................................................( )
3. De la división, completar:
 
 
–
–
x x
x x x x
2 3 5
2 3 9 15
2
4 3 2
+
+ + + 
 
 Cociente: q(x) = 
 Residuo: R(x) = 
4. De la división, hallar el resto:
 
 
–
–
x
x x x
1
4 6 2 18 4 2+ +
5. De la división, hallar el resto:
 
 
–
–
x
x x
1
2 1
50
100 50+
Capítulo
26
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Aprende más
1. Utilice el siguiente esquema de Horner, donde 
la única variable es "x" y relacione las columnas 
correctamente:
1 1 –2 4 –4 1 –1
2 2 –1
–1 0 0
6 –3
4 –2
1 0 3 2 2 –3
x5–2x4+4x3–4x2+x–1 A Polinomio divisor
x3+3x+2 B Polinomio cociente
x2 – 2x+1 C Polinomio residuo
2x – 3 D Polinomio dividendo
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la 
división algebraica:
 A. En el método de Horner para dividir, 
se utilizan los polinomios completos y 
ordenados ........................................... ( )
 B. En el método de Ruffini se calcula solo el 
residuo ............................................... ( )
 C. El teorema del resto sirve para calcular los 
polinomios cociente y residuo .............. ( )
 D. El máximo grado del resto es el grado del 
dividendo menos uno ........................... ( )
3. Completar:
 A. Al dividir: 
–
– – –
x x
x x x x
3 2
6 10 5 5
2
4 3 2
+ +
+
2 6 –1 –5 10 –5
–1
3
 
 • Cociente: q(x) = 
 • Residuo: R(x)= 
 B. Al dividir: 
–
–
x
x x x x
3
5 9 5 8 22 3 4
+
- - +
 
 • Cociente: q(x) = 
 • Residuo: R(x) = 
4. Calcular "a + b", si la siguiente división deja 
residuo –12:
 
–
– ( )
x x
x x x ax b
2 1
5 4 13 1
2
4 3 2
+
+ + + +
 
 a) 2 b) 3 c) – 3
 d) – 2 e) 1
5. Hallar "m + n + p", si la siguiente división es 
exacta:
 
 
– –
–
x x x
x x x mx nx p
3 4 5 7
6 17 7
3 2
5 4 3 2
+
+ + + +
 a) 22 b) 18 c) 17
 d) 25 e) 28
6. Calcular "m+p+n", si la siguiente división:
 
–
–
x x
mx nx px x
2 1
17 5
2
4 3 2
+
+ + +
 
 tiene residuo: R(x) = 6x – 3 y un cociente cuya 
suma de coeficientes es 4.
 a) 10 b) 70 c) – 1
 d) 100 e) – 7
7. Dividir: 
–
–
x
x x x
2 1
4 3 44 2+ +
 e indicar el producto de coeficientes del 
cociente.
 a) 2 b) – 2 c) 4
 d) – 4 e) 6
4
Álgebra
27
www.trilce.edu.pe Cuarto año de secundaria
8. Hallar el residuo en:
 
–
( – )
x
x x
2 1
3 2 2 2 2 75 3
+
+ + +
 a) 9 b) 10 c) 11
 d) 12 e) 13
9. Hallar la suma de coeficientes del cociente de 
la división (n ∈ ):
 
– –
( – – ) ( – ) – –
x n
nx n n x n x nx n
1
3 5 3 8 84 2 3 2 2+ +
 
 si el resto es 64.
 a) 50 b) 53 c) 51
 d) 52 e) 60
 
10. Calcular el resto de la siguiente división:
 
 
x
x x
2
4 8 140 39
+
+ +
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 4 e) 5
11. Calcular el resto de:
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
x x
x x x x
8 11
1 3 5 7 4
2+ +
+ + + + +
 a) - 9 b) - 10 c) - 11
 d) - 12 e) - 13
12. Hallar el resto de:
 
x
x x x x
1
7
10
70 60 40 20
+
+ + + +
 
 a) 8 b) 9 c) 10
 d) 7 e) 6
13. Hallar el resto de:
 
–
( – ) ( )–
x x
x x x x
3 1
3 5 1 15 14
2
3 3 2
+
+ + +
 
 a) 14 b) 8 c) 26
 d) 15 e) 13
14. El patio del colegio TRILCE tiene forma 
rectangular de dimensiones "B(x)" y "H(x)", 
cuya área "A(x)" depende del número de 
alumnos "x", se sabe que:
 ÁREA : A(x)= 8x4 + 6x3 – 9x2 + mx + n 
 BASE : B(x)= 4x2 + x – 3 
 ¿Cuál es el polinomio que representa la otra 
dimensión?
15. Edú y Mathías compiten por ser el mejor alumno 
de Álgebra; para ello deben resolver algunas 
divisiones, obteniendo los resultados vistos en 
la tabla:
División Cociente Residuo
E
D
Ú
–
x x
x x x x
2 1
4 6 7 2
2
4 3 2
+ +
+ + +
x2+2x+1 –11x+1
–
x
x x x
3
5 16 8 24 3
+
+ + 5x3+x2+4x–2 –1
M
A
T
H
Í
A
S
– –
– – –
x x
x x x x
2 1
4 5 2 3 1
2
4 3 2+
4x2+3x+8 22x–6
– –
x
x x x x
3
2 5 4 3 14 3 2
+
+ +
2x3–x2+2x+4 –1
 ¿Quién ganó la competencia?
Capítulo
28
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Practica en casa
1. Utilice el siguiente esquema de Horner, donde 
la única variable es "x" y relacione las columnas 
correctamente:
5 10 6 –37 36 –12
7
–3
10x4+6x3–37x2+36x–12 A Polinomio divisor
2x2+4x–3 B Polinomio cociente
5x2–7x+3 C Polinomio residuo
3x–3 D Polinomio dividendo2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la 
división algebraica:
 A. En el método de Horner para dividir se utilizan 
los polinomios con sus variables .............. ( )
 B. En el método de Ruffini se calcula el cociente 
y el residuo ............................................. ( )
 C. En el teorema del resto no es necesario realizar 
la división para calcular el residuo ............( )
 D. El máximo grado del resto es el grado del 
divisor menos uno ................................... ( )
3. Completar :
 A. Al dividir: 
–
–
x x
x x x
4 2
5 9 8 20
2
4 3 2
+
+ +
 Cociente: q(x) = 
 Residuo: R(x) = 
 B. Al dividir: 
–
– –
x
x x x x
2
9 7 2 142 3 4
+
- +
 Cociente: q(x) = 
 Residuo: R(x) = 
4. Calcular "a + b" si la siguiente división:
 
–
( )
x x
x x x ax b
2 1
3 5 1
2
4 3 2
+
+ + + + +
 
 deja como residuo a: –2.
 
5. Calcular (mn)2 si la división es exacta:
 –
x x
x x mx n
2 3
6 5 2 3
2
4 3
+ +
+ +
 
6. Calcular "b - a" si al dividir se obtiene como 
resto cero:
 
x x
x ax b
12
4 2
+
+ +
+
7. Hallar el residuo en:
 
–
– –
x
x x x x
5 1
15 8 9 7 14 3 2+ +
 
8. Al dividir:
 
 
–
– –( – ) –
x
x x x x m
6
3 2 2 2 3 1 64 3 2 +
 
 se obtuvo como resto: 3m – 4. Calcular "m".
9. Calcular el valor de "a", si la división:
 
– –
– – –
x a
x ax ax a
3
23 2 2
 
 deja como residuo: 7a + 2
10. Calcular el resto de la división:
 ( ) ( ) –
x
x x x
2
2 3 3 65 4
+
+ + + 
11. Calcular el residuo de la división:
 
( ) ( – )
( ) ( – ) ( ) ( – ) ( ) ( – )
x x
x x x x x x
9 10 70
1 2 4 5 7 8 1
+
+ + + +
+
4
Álgebra
29
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Tú puedes
1. En la siguiente división: 
–
–
x x
x x x ax a
1
3 2
2
4 3 2
+
+ + + , el residuo no es de primer grado. Hallar el valor de "a".
 a) 12 b) 11 c) 13 d) 16 e) 22
2. En la división: 
–
–
x x
x x x ax a
1
3 2 8
2
4 3 2
+
+ + + + , hallar el residuo, si no es de primer grado.
 a) 20 b) 22 c) 28 d) 30 e) 29
3. Según este esquema de Horner: 
 
5 20 6a –3b –17c 9d
7
–2
(n–4) n (n+4) 34 3 
 Encontrar el valor de "a + b + c + d + n".
 a) ( 121+2) b) ( 2 +1) c) ( 144 – 1) d) 253 e) 1
4. Si al dividir: P(x) = 6x5 – x4 + (mx)2 + x + 3 – 2n + n2, entre: Q(x) = (x – 2x2 + 3x3),
 se obtiene un residuo que al permutar sus coeficientes extremos es igual al cociente. Hallar "n ÷ m" 
e indicar su menor valor.
 a) 0 b) –1 c) 1 d) 
3
2 e) – 
3
1
5. Calcular "A + B – C", si la siguiente división: 
x x
Ax Bx Cx x x
4 3 1
27 19 5
3
5 4 3 2
+ +
+ + + + + es exacta.
 a) 41 b) 21 c) 11 d) 10 e) 40
12. Calcular el resto de:
 
–y
y y y y
2
5
2
8 6 4 2+ - + + 
13. Hallar el resto de:
 
 
–
( – ) ( )–
x x
x x x x
2 1
2 6 1 12 4
2
3 3 2
+
+ + +
14. El patio del colegio TRILCE tiene forma 
rectangular de dimensiones "B(x)" y "H(x)", 
cuya área "A(x)" depende del número de 
alumnos "x"; se sabe que:
 ÁREA : A(x)= 8x4 + 6x3 – 23x2 + ax + b 
 BASE : B(x)= 4x2 – 3x +1 
 
 ¿Cuál es el polinomio que representa la otra 
dimensión?
15. Edú, Mathías y Diego compiten por ser el mejor 
alumno de Álgebra; para ello deben resolver 
algunas divisiones, obteniendo los resultados 
vistos en la tabla. ¿Quién ganó la competencia?
División Cociente Residuo
Edú
–
–
x
x x x x
1
3 2 5 14 3 2+ + + 3x3+5x2+1 1
Mathías – –
x x
x x x x
2
3 2
2
4 3 2
+ +
+ + x2–2x+1 0
Diego – –
x x
x x x
1
4 2 1
2
3 2
+ +
+ 4x – 6 5
Capítulo
30
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
lecTura
En las 
c iv i l izac iones 
antiguas, las 
e x p r e s i o n e s 
a l g e b r a i c a s 
se escribían 
u t i l i z a n d o 
abreviaturas solo 
ocasionalmente. 
Sin embargo. en 
la Edad Media 
los matemáticos 
árabes fueron 
capaces de 
d e s c r i b i r 
c u a l q u i e r 
potencia de la incógnita "x" , a partir del cual desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque 
sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, 
así como el conocimiento del teorema del binomio. 
En España, donde la influencia árabe fue muy importante,surgió el término álgebra, usado para referirse 
al arte de restituir a su lugar los huesos dislocados; por ello, el término algebrista hacía referencia a la 
persona que sabía arreglar las dislocaciones (en El Quijote podemos encontrar estos términos en muchos 
de sus capítulos). El libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, fue la obra más importante del matemático árabe; 
parte de su título dio nombre a toda una disciplina matemática: el Álgebra. Al-jabr quiere decir algo así 
como "restitución", que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuación, restituir el valor 
de la incógnita. Con el Álgebra pasamos del número al símbolo, de lo particular a lo general. La gran 
expresividad del lenguaje algebraico facilita la obtención de relaciones, propiedades y la resolución de 
problemas.
http://exactas.unsa.edu.ar/ingreso/images/pdf/teo2.pdf
5
diVisión algebraica ii
En este capítulo aprenderemos
 . División algebraica II
 - Cocientes notables
 - Divisibilidad algebraica
Álgebra
31
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x a
x a
±
±n n
Casos: ; ;−
−
+
+
+
−
Nº términos
Si: x a
x a
±
±
p q
m n
 es un C.N. ⇒
Término 
general
COCIENTES NOTABLES
(C.N.)
Propiedades
Definición
En P(x), si:
 P(a) = 0 ⇒ 
DIVISIBILIDAD 
ALGEBRAICA
Si: 
 P(x) ÷ g(x) R = 0
 P(x) ÷ h(x) R = 0
Si:
 P(x) ÷ g(x) R = r
 P(x) ÷ h(x) R = r
Síntesis teórica
Capítulo
32
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Aplica lo comprendido
Saberes previos
1. Efectuar:
 a) (x4)5 = ................................... 
 b) x5.x4 = ...................................
 c) 
x
x10 = ................................... 
 d) .
x
x x
3
4 9
 = ...................................
2. Dado el polinomio: P(x)=x2–5x+1,
 Calcular:
 a) P(3) = ...............................
 b) P(–1)= ...............................
 c) P(0)= ...............................
 d) P(1)= ...............................
3. Hallar "x" en: 
 a) x
x9
36=
 b) x x
6
1
7
2+ = +
4. Dados: D(x)=dividendo, d(x)=divisor, 
 q(x)=cociente y R(x)==residuo
 → D(x)=....................................
5. Hallar el cociente de: 
x
x x x
1
3 3 13 2
+
+ + +
 
1. Relacionar correctamente:
( )
( )
x
x
Q
P =T(x) A x+2
–
–
x y
x y4 4
B x2 – xy+y2
x
x x
2
4 42
+
+ +
C P(x)=T(x).Q(x)
x y
x y3 3
+
+
D x3+x2y+xy2+y3
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):
 A. El polinomio ( x2+x – 20) es divisible por 
(x – 4) .................................................( )
 B. 
x y
x y5 5
+
+ =x4+x3y+x2y2+xy3+y4 ...........( )
 
 C. 
–
–
x y
x y3 3 =x2–xy+y2 .................................( )
 D. El polinomio ( x3 – 3x +2) es divisible por 
(x+1) .....................................................( )
3. Completar:
 A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–4), 
entonces P(4)=......................
 
 B. En el cociente notable: 
–
–
x y
x y
2 3
20 30
, el número 
de términos es ............. 
 
 C. Desarrollar:
 
–
–
x y
x y4 4 =......................................... 
 D. El polinomio ( x2 – 3x +2) es divisible por 
(x–1) y por ................................... 
 
 
4. Hallar "m" si: P(x)=x3+2x2+x +m es divisible 
por:x – 2.
5. Hallar "n" para que la división genere un 
cociente notable:
 
–
–
x y
x y 20n n
5 3
–
 
5
Álgebra
33
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Aprende más
1. Relacionar correctamente:
P(x) es divisible 
por (x – k) A x a
x an n
-
-
x y
x y
5 2
40 16
-
-
B P(k) = 0
P(x) es divisible 
por Q(x) C
El cociente 
posee 8 términos
Tk=x
n–k.ak–1 D Su residuo es cero
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al 
cociente notable: 
x y
x y
10 10
30 30
+
+
 A. El término central es: x10y10 ................ ( )
 B. El número de términos es tres ................ ( )
 
 C. El producto de sus términos extremos es: 
–x30y10 .................................................. ( )
 
3. Completar:
 A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–5), en-
tonces se cumple: P(5)=........... 
 
 B. En el desarrollo del cociente notable: 
–
–
x y
x y
10 5
120 60
, el número de términos es .......... 
 
 C. El sexto término en el desarrollo del cociente 
notable: 
–
–
x y
x y9 9 es .......... 
 D. Si: P(x)=x2–4x+m es divisible por (x–1) → 
m= ....................................
 
4. Al desarrollar el cociente notable: 
–
–
x y
x y5 5 , indi-
car uno de los términos.
 a) x4y b) xy3 c) y5
 d) x+y e) –xy3
5. Calcular el segundo término al desarrollar:
 
 
–
–
x
x
3
81
3
12
 a) 3 b) 2x4 c) 3x2
 d) x6 e) 3x6
6. Indicar el cuarto término de: 
–
–
x a
x a
5
625
3 6
12 24
 
 a) 25x6a6 b) a18 c) 5x3a12
 d) a6 e) 25x3a6
7. Hallar "a" para que: 
–
–
x y
x y
a
a 27a 1+
 genere un 
cociente notable.
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 4 e) 5
8. Calcular "n" si la división:
 
–
–
x y
x y
2 3n n
n n5 6 1
–
+
 genera un cociente notable.
 a) 1 b) 2 c) 3 
 d) 4 e) 5
9. Calcular el término central generado por el 
desarrollo del cociente notable:
 
( ) –( – )
( ) – ( – )
x x
x x
1 1
1 1
4 4
20 20
+
+
 a) 8(x2 – 1) b) (x + 1)8 c) (x – 1)8
 d) (x2 + 1)8 e) (x2 – 1)8
10. Si el polinomio: ax7 + bx5 – 1 es divisible 
por: mx5 + nx4 + px3 – x – 1, calcular el valor 
de "ab + mn + p".
 a) 1 b) 3 c) 4
 d) 5 e) 7
11. Si el polinomio: ax5+bx4+1, es divisible por: 
 x2 – 2x + 1, calcular el valor de "ab".
 a) 1 b) –1 c) –20
 d) 5 e) 20
12. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" 
entre los binomios (x + 1) y (x – 1), se obtuvo 
como restos 7 y 5 respectivamente. Hallar el 
residuo de dividir "P(x)" entre (x
2 – 1).
 a) 6 – x b) x + 1 c) x – 1
 d) x + 6 e) x – 6
Capítulo
34
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Practica en casa
13. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible 
entre (x + 1) y (x + 4), tiene por coeficiente 
principal 2 y como término independiente 20. 
Calcular el resto que se obtiene al dividirlo 
entre (x – 2).
 a) 180 b) 210 c) 148
 d) 162 e) 124 
14. La construcción de una base cuadrangular de un 
edificio está en función de un polinomio cúbico 
cuya variable "x" representa el número de obreros 
que laboran. Si las dimensiones de dicha base son 
divisibles por (x2+2x+3) y también por (x+1), 
hallar el área cuadrangular en función de "x" y 
cuántos obreros trabajan si: x=3.
15. Mathías y Diego compiten por ser el mejor alumno 
de Álgebra; para ello deben desarrollar algunos 
ejercicios sobre cocientes notables, obteniendo 
los resultados vistos en la siguiente tabla:
D
I
E
G
O
–
–
x y
x y
3 3
15 15
CN: x12+x9y3+x6y6+x3y9+y12
–x y
x y
n
n
27
642
Si es CN → n=12
M
A
T
H
Í
A
S
–
–
x y
x y
2 2
12 12
CN:x10+x8y2+x6y4+x4y6+x2y8+y10
–
–
x y
x y
n
n n
2
5 72+ +
Si es CN → n=5
 ¿Quién ganó la competencia?
5
1. Relacionar correctamente:
P(x) es divisible 
por (x – b) A
Elcociente posee 
5 términos
Tk=x
n–k.yk–1 B P(b)=0
M(x) es divisible 
por N(x) C x y
x yn n
-
-
x y
x y
6 8
30 40
-
-
D Su residuo es cero
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al 
cociente notable: 
x y
x y
8 4
40 20
+
+
 A. El término central es: x16y8 ....................( )
 B. El número de términos es cinco ..............( )
 C. El producto de sus términos extremos es: 
x32y32 .....................................................( )
3. Completar:
 A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–7), en-
tonces se cumple: P(7)= ..... 
 B. En el desarrollo del cociente notable: 
–
–
x y
x y
10 5
100 50
, el número de términos es .......... 
 C. El quinto término en el desarrollo del 
cociente notable: 
–
–
x y
x y8 8 , es .......... 
 D. Si: P(x)=x2–5x+m es divisible por (x–2), 
entonces m= ..............................
 
4. Desarrollar el cociente notable: 
–
–
x y
x y3 3 ; indicar 
el producto de sus términos.
5. ¿Cuál es el tercer término del desarrollo de: 
 
–
–
x y
x y
2
10 5
 ?
6. Indicar el sexto término de: 
–
–
x y
x y
2
256
2
16 8
7. Si el cociente notable: 
–
–
x
x
1
1
n
56
 tiene 28 términos, 
calcular: n2+n+1
 
8. Hallar el número de términos del siguiente 
cociente notable: –
x y
x y
n
n
5
20
+
9. Hallar el valor de "a" si la división 
–
–
x y
x y5 8a a
2 9
–
 
genera un C.N.
10. Determinar "a" para que el polinomio:
 P(x)=x3+ax+3
 sea divisible por (x+1).
11. Determinar "a + b" de manera que el polinomio:
 P(x) = x3 + ax + b sea divisible por: (x – 1)2.
Álgebra
35
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Tú puedes
1. Calcular "M+N" si: M = 
...
– –...– –
9 9 9 9 9 1
9 9 9 9 9 1
9 8 7 2
9 8 7 2
+ + + + + +
+ + ; N = 
...
...
2 2 2 1
2 2 2 1
32 28 24
34 32 30
+ + + +
+ + + +
 
 
 a) 3,2 b) 5,8 c) 7,6 d) 9,8 e) 18
 
2. Indique qué valor toma "n" para que: 
x y
x y–
–
–
n n
n n
3 2 4 8
3 4 4 4
-+
+
 genere un C.N.
 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Nunca genera C.N.
 
3. Si se sabe que: ". . . + x6y6 + xayb + x2y12 + . . ." son tres términos consecutivos de un C.N., hallar 
el valor de "a + b".
 a) 13 b) 15 c) 12 d) 14 e) 10
4. Si se divide "P(x)" entre (x + 2)4, el residuo es: (x3 – 12x + 17). Calcular el residuo de dividir "P(x)" 
entre (x + 2)2.
 a) 4x + 4 b) 4x – 4 c) –16x + 13 d) –16x – 13 e) 33
 
5. Sea "P(x)" un polinomio de término independiente 21; tal que: P(2) = 3 y P(3) = 3. Hallar el término 
independiente del cociente de dividir "P(x)" entre (x – 2) (x – 3).
 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
12. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" 
entre los binomios (x + 2) y (x – 2), se obtiene 
como restos 5 y 13 respectivamente. Calcular el 
residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 4).
13. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible 
entre (x + 3) y (x + 2), tiene por coeficiente 
principal 3 y como término independiente 24. 
Calcular el resto que se obtiene al dividirlo 
entre (x – 3).
14. La construcción de una base cuadrangular de 
un edificio está en función de un polinomio 
cúbico cuya variable "x" representa el número 
de obreros que laboran. Si las dimensiones 
de dicha base son divisibles por (x2+3x+2) y 
también por (x–3), hallar el área en función de 
"x" y cuántos obreros trabajan si: x=4.
15. Edú y Paolo compiten por ser el mejor alumno 
de Álgebra; para ello deben desarrollar algunos 
ejercicios sobre cocientes notables, obteniendo 
los resultados vistos en la siguiente tabla:
P
A
O
L
O
–
–
x y
x y
4 2
20 10
CN: x16+x12y2+x8y4+x4y6+y8
–
–
x y
x y
n
n
8
272
Si es CN → n=6
E
D
Ú
–
–
x y
x y
4 3
16 12
CN: x12+x8y3+x4y6+y9–
–
x y
x y
n
n
4
36
Si es CN → n=12
 ¿Quién ganó la competencia?
Capítulo
36
Colegios
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maTemáTica incaica
En el campo de la 
Matemática, los 
incaicos destacaron 
principalmente por 
su capacidad de 
cálculo en el ámbito 
económico. Los 
quipus y yupanas 
fueron señal de 
la importancia 
que tuvo la 
matemática en la 
a d m i n i s t r a c i ó n 
incaica. Esto dotó 
a los incas de una 
aritmética sencilla 
pero efectiva para 
fines contables, 
basada en el 
sistema decimal; 
conocieron el cero, 
y dominaron las cuatro operaciones fundamentales.
Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y 
fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, indispensable para la medición de longitudes y 
superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de 
longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia.
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_incaica
Ácido ribonucleico
ADN ARN
6
facTorización i
En este capítulo aprenderemos
 . Definición
 . Conceptos previos
 . Criterios de factorización
Álgebra
37
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Síntesis teórica
Definición
- Nº factores
- Nº factores primos
- Factor
- Factor primo
Factorización en: Z, R, C
Factorización en Z
Factor común
Agrupación
Identidades Aspa simple
FACTORIZACIÓN
Capítulo
38
Colegios
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Aplica lo comprendido
Saberes previos
1. Efectuar:
 a) x(x+4 ) =..................... 
 b) x(a+b+c ) = ....................
 c) x2(x2 +2 ) = .................... 
 d) x3(x3+x2+3 ) = .................... 
2. Efectuar:
 a) x(2x+3) =....................... 
 b) 2x(x – 1) =.......................
 c) 4x2(x2 –1) =....................... 
 d) 3x2(x3 + y3) =.......................
3. Efectuar:
 a) (x+2)(x+1) =....................... 
 b) (x+1)(x–3) =.......................
 c) (x–1)(x–2) =....................... 
 d) (x – 3)(x+2) =.......................
4. En:
 N=23.34.53.72.115
 * Número de factores primos=........ 
 * Factores primos=........
 
5. En:
 P(x)=4.(x+1)(x –1)(x+3)(x–1)
 * Número de factores primos algebraicos 
 
 =........................................ 
 * Factores primos algebraicos=................
 ..............................................................
1. Relacionar correctamente:
Método para 
factorizar Polinomio
Identidades A P(x)=x2+7x+10
Agrupación de 
términos B P(x)=x
2 – 4
Aspa simple C P(y)=y3+y2+y
Factor común D P(x;y)=px+qx+py+qy
2. Sea: M(x) = 3x2(2x + 1)4 (x – 2)5
 Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
 A. El número de factores primos es 2 .........( )
 B. La suma de los factores primos es: 4x .....( )
 C. El factor primo de mayor multiplicidad es
 (x – 2) ................................................( )
 D. Un factor primo es: 3x2 .........................( )
3. Completar luego de factorizar:
 A. L(x;y)=xy+y+x+1= ................................ 
 B. Q(x)=4x2 – 1= ........................................ 
 
 C. R(x)=x5+3x3+x2= ..................................
 D. P(x)=x2+4x–21= .................................... 
4. Factorizar: Q(x) = 400x2 – 121 
5. Factorizar: M(x) = ax + bx + x2 + ab
6
Álgebra
39
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Aprende más
1. Relacionar correctamente:
8x3+27y3 A (x+4y)(x–12y)
x2–4xy–32y2 B (2x+3y)(4x2–6xy+9y2)
8x3–27y3 C (x+4y)(x – 8y)
x2–8xy–48y2 D (2x–3y)(4x2+6xy+9y2)
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) luego de facto-
rizar: A(x) = 6x3 +5x2 – 4x 
 
 A. Tiene tres factores primos ..................... ( )
 B. Tiene dos factores primos mónicos ....... ( )
 C. La suma de sus factores primos es: 6x – 1 
 ............................................... ( )
 D. Tiene un factor cuadrático ................... ( )
3. Completar luego de factorizar:
 A. F(x;y;z)=y2+xy+xz+yz = ........................
 B. P(x;y) = 36x2 – 25y2= ...............................
 C. P(x;y) = 216x3 + 27y3= .............................
 D. P(x)=x2(x+8)+2x(x+8)+(x+8) = .............
4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado 
tiene el siguiente polinomio?
 P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 4 e) 5
5. Factorizar: P(x; y) = 2x2y + 3xy2 + xy
 Indicar el número de factores primos.
 a) 2 b) 3 c) 4
 d) 5 e) 6
6. Factorizar: P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2
 e indicar la suma de factores primos.
 a) 4x – 8y b) 4x + 8y c) 2x – 4y
 d) 2x + 4y e) 3x2 + 12y2
7. Indicar verdadero (V) o falso (F):
 I. Un factor primo del polinomio:
 P(x;y) = xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n
 luego de factorizar es: xn + ym
 II. Factorizando: P(x;y)=(x–y)3–(x–y)2–2(x–y)
 la suma de sus factores primos es: 3x–3y–1.
 a) F F b) V F c) F V 
 d) V V e) Ninguna
8. Factorizar: P(x;y) = (x – y)3 – (x – y)2 – 2(x – y)
 indicando un factor primo.
 a) x – y + 3 b) x – y + 2 c) x – y + 1 
d) x – y – 8 e) x
9. Factorizar: P(x; y) = x9y - x3y7
 Indicar un factor primo.
 a) x2 + xy + y2 b) x2 – xy – y2 c) x2 + y2
 d) x2 + y e) x2 – y
10. Indicar el número de factores de:
 P(m; n; p) = (2m+3n–p)2–14m–21n+7p–18
 a) 2 b) 3 c) 4
 d) 5 e) 6
11. Factorizar: P(x;y) = 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2
 indicando un factor primo.
 a) 8x + 3y b) 8x – 3y c) 8x + 6y
 d) 8x – y e) 4x – y
12. Factorizar:
 A(n)=(n+3) (n+2) (n+1)+(n+2) (n+1)+ (n+1)
 indicando el factor primo que más se repite.
 a) n + 4 b) n + 1 c) n + 2
 d) n + 3 e) n + 8
13. Factorizar: P(x;y) = 36x4 - 109x2y2 + 25y4
 indicando el número de factores primos.
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 4 e) 6
14. El volumen "V(x)" de una caja con base 
cuadrada, se calcula mediante el producto 
de sus tres dimensiones y está dado por: 
V(x)=x3+6x2+9x. ¿Cuáles son las dimensiones 
de la caja?
15. La base de un edificio es de forma rectangular 
donde "A(x)" representa el área total del terreno 
en función de "x". Si: A(x)=6x2+11x+3 hallar 
las dimensiones de la base y cuál es su valor si: 
x=4.
Capítulo
40
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Practica en casa
1. Relacionar correctamente:
27x3+8y3 A (x+6y)(x–3y)
x2+3xy–18y2 B (3x+2y)(9x2–6xy+4y2)
27x3 – 8y3 C (x+9y)(x–6y)
x2+3xy–54y2 D (3x–2y)(9x2+6xy+4y2)
2. Indicar verdadero (V) o falso (F) luego de facto-
rizar: A(x) = 9x3 +7x2 – 2x 
 
 A. Tiene dos factores primos ..................... ( )
 B. Tiene dos factores primos mónicos ....... ( )
 C. La suma de sus factores primos es: 11x–1 ... ( )
 D. Tiene un factor cuadrático ................... ( )
3. Completar con la expresión factorizada:
 A. F(a;b;y)=y2+ay + ab + yb= .......................
 B. P(x;y) = 81x2 – 49y2=...............................
 C. P(x;y) = 64x3 + 125y3=...........................
 D. P(x) =x2(x+5)+4x(x+5)+4(x+5)=............
4. Factorizar: P(x; y; z)=x2+xy+zx+zy+x+y
 Indicar un factor primo.
5. Factorizar: F(x) = 8x6 + 7x3 – 1; indicar el 
número de factores primos.
6. Dar la suma de los términos independientes de 
los factores primos de:
 P(x;y) = x2 + 2x + xy + y + 1
7. Al factorizar: P(x) = x2(x+2)2 + x2+2x – 12
 I. Existen dos factores primos de segundo grado.
 II. Existe un factor primo de primer grado.
 III. El polinomio "P(x)" tiene tres factores primos.
8. Factorizar: P(a;b;c) = (a–b)(a3–c3) – (a–c)(a3–b3)
 la suma de sus factores primos es:
9. Factorizar: M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2
 Indicar un factor primo.
10. Indicar el número de factores primosde:
 P(x) = (x2 + 7x + 5)2 + 3(x2 + 1) + 21x + 2
11. Factorizar: P(x;y) = (1 + xy)2 – (x + y)2
12. Factorizar:
 P(x) = (x+4)(x+2)(x+1)+(x+4)(x+1)–2 (x+1)
 indicando la suma de factores primos.
13. Factorizar: P(x;y) = 100x4 – 29x2y2 + y4
 indicando el número de factores primos.
14. El volumen "V(x)" de una caja con base cuadra-
da se calcula mediante el producto de sus tres di-
mensiones y está dado por: V(x)= x3+8x2+ 16x. 
¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
15. La base de un edificio es de forma rectangular 
donde "A(x)" representa el área total del terreno 
en función de "x". Si : A(x) =12x2+11x+2, ha-
llar las dimensiones de la base y cuál es su valor 
si : x=3.
6
Álgebra
41
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Tú puedes
1. Al factorizar: xn + 4 – xn + 2+x4 + x3 – x2 + x+2, uno de sus factores primos tiene:
 a) 3 términos b) 4 términos c) 5 términos d) 6 términos e) 7 términos
2. Uno de los factores primos de: x2x + xx – 12, para: x=3, se convierte en:
 a) 23 b) 25 c) 30 d) 31 e) 33
3. Factorizar: P(x;y) = x6 + 2x5y – 3x4y2 + 4x2y4 – y6 ; indicando un factor primo.
 a) x3 – xy+y2 b) x3 – x2y+y2 c) x2 – xy+y3 d) x3 – x2y+y3 e) x2 – xy2+y3
4. Factorizar: F(a;b) = (a + b)7 + c3(a + b)4 – c4(a + b)3 – c7, indicando un factor primo.
 a) a+b+c b) ab+bc+ac c) a2+ab+b2 d) a – b e) a2+b2+ c2
5. Factorizar: P(x) = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 – x6, indicando un factor primo.
 a) x+2 b) x+3 c) x4+1 d) x+7 e) x+8
Capítulo
42
Colegios
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yupana, o ábaco inca
Su potencial de 
contabilidad tes aún 
muy discutido, ya que la 
información numérica 
y las operaciones 
matemáticas eran 
realizadas en estas. 
Estos podían ser de 
piedra tallada o de 
barro, tenían casilleros 
que correspondían a 
las unidades decimales 
y se contaba con la 
ayuda de piedrecitas 
o granos de maíz 
quinua. Se podían 
indicar unidades, 
decenas, centenas, 
etc., de acuerdo a si 
estaban implícitas en 
cada operación. Investigaciones recientes en relación a las yupanas sugieren que eran capaces de calcular 
cifras considerables basándose en un sistema probablemente no decimal, sino en relación al número 40. 
En el 2010, el investigador peruano Andrés Chirinos ,revisando dibujos y descripciones antiguas de Guaman 
Poma de Ayala, descifró que la Yupana es una tabla con once agujeros, que él denomina "calculadora 
prehispánica" y es capaz de sumar, restar, multiplicar y dividir y posiblemente también registrar textos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_incaica
7
facTorización ii
En este capítulo aprenderemos
 . Definición
 . Conceptos previos
 . Criterios de factorización
Álgebra
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Aspa doble
A qué polinomios 
se aplica
Regla para 
factorizar
Aspa doble 
especial
A qué polinomios 
se aplica
Regla para 
factorizar
• "Ceros" del polinomio
• Regla para calcular "ceros"
Regla para 
factorizar
Divisores binomios 
o Evaluación 
binómica
FACTORIZACIÓN EN Z
(Parte II)
Síntesis teórica
Capítulo
44
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Aplica lo comprendido
Saberes previos
1. Completar luego de factorizar:
 A. L(x;y) = x4y2+ x2y2 + xy ........................
.. 
 B. Q(x) = x2 +x – 2 = .................................. 
 C. R(x) = x2+ 5x = .....................................
 D. P(x) = x2 – x – 6 = .................................... 
2. Completar:
 A. Divisores de 6= ........................................ 
 B. Divisores de 15= ...................................... 
 C. Divisores de 20= ...................................... 
 D. Divisores de 36= ...................................... 
3. Si: P(x) = (x+1)2 (x2 + 2x + 3)3, completar:
 • Número de factores primos: .........................
 • Factores primos: ...........................................
 • Factores primos lineales: ..............................
 • Factores primos cuadráticos: ........................
 
4. Calcular el cociente de:
 
–
–
x
x x x
1
3 4 13 2+ +
5. Obtener el cociente de:
 –
x
x x x
2
2 14 2
+
+ +
3. Factorizar por aspa doble:
 P(x; y) = 6x2 – 5xy – 25y2 –23x – 5y +20
4. Factorizar por aspa doble especial:
 P(x) = x4 + 3x3 – x2 + 7x + 2
5. Factorizar por divisores binómicos: 
 P(x) = x3 – x2 – 2x – 12
1. Relacionar correctamente:
Posibles ceros Polinomio
±(1;2;5;10) A P(x)=x3+8x2+17x–10
± (1;2;4;8) B P(x)=x3–7x2+16x–12
± (1;2;3;6) C P(x)=x3–6x2+11x–6
± (1;2;3;4;6;12) D P(x)=x3–8x2–x+8
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):
 A. El polinomio: P(x)=x3+3x2+x–2 se factori-
za por divisores binómicos ..................... ( )
 B. El polinomio: P(x)=x4+x2+2 es mónico .. ( )
 C. El polinomio: P(x) = x3 – 6x2 +11 x – 6 tiene 
como un posible cero a: x=2 ................. ( )
 D. El polinomio: P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1 se 
factoriza por aspa doble ......................... ( )
7
Álgebra
45
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Aprende más
8. Factorizar: P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6
 Indique el número de factores primos.
 a) 1 b) 2 c) 3
 d) 4 e) 5
9. Factorizar: P(x;y)=15x2+11xy+2y2+16x+6y+4
 Indicar un factor primo.
 a) 3x+y b) 3x+y+2 c) 5x+2y
 d) 5x–2y+2 e) 5x + 2
10. Factorizar: P(x) = x4 + 5x3 – 7x2 - 29x + 30
 indicar la suma de todos los factores primos.
 a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5
 d) 4x + 6 e) 4x + 7
11. Indicar un factor primo de: P(x) = x4 + 4x2 + 16
 a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 – 2x
 d) x2 – 2x + 3 e) x2 + 6x – 1
12. Indicar un factor primo de: 
 P(x)=6x6–5x5–6x4–13x2–6
 a) 2x3 – 1 b) 2x3 – 3x3 + 2
 c) 2x3 – 3x2 – 2 d) x3
 e) x3 – 3
13. Indicar un factor primo de:
 P(x; y; z) = 10x2 – yz + 3y2 – 17xy + 5xz
 a) y – x b) 2x+3y+z c) 5x – y
 d) 2x – 3y – z e) 5x + y
 
14. El volumen de una caja está dado por "V(x)" 
y altura "H(x)". Encontrar los valores de las 
otras dimensiones si estos son polinomios de 
coeficientes enteros que dependen del valor de 
"x"; se sabe que: 
 VOLUMEN : V(x)= x3 – 6x2 + 11x – 6 
 ALTURA : H(x)= x – 2 
 Además calcular el valor de dichas dimensiones 
si el valor de "x" es 8.
15. Los ingresos de una tienda están dados por: 
I(x)=P(x).Q(x) ; donde: I(x): Ingreso; P(x): Precio 
de venta; Q(x): Cantidad de artículos vendidos. 
Si el ingreso es: I(x)=x4+6x3+7x2+6x+1, 
hallar el precio de venta y la cantidad de 
artículos vendidos en función de x.
1. Relacionar las columnas correctamente:
Método para 
factorizar Polinomio
Divisores 
binómicos A P(x)=x
2+3x+2
Aspa doble 
especial B P(x)=x
4+3x3–x2+7x+2
Aspa simple C P(x)=x3–x2–2x–12
Aspa doble D P(x;y)=x2+3xy+2y2–7x–9y+10
2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) al factorizar:
 P(x) = x3 + 2x2 – 13x 10
 A. El polinomio tiene dos factores primos ... ( )
 B. El polinomio tiene tres factores primos ... ( )
 C. La suma de sus factores primos es: 3x+2 ... ( )
 D. Uno de los factores primos es: x – 2 ....... ( )
3. Completar al factorizar por aspa doble:
 
I IIIII
P(x;y) = x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y + 6
 Luego: 
 P(x;y) = ( + + )( + + )
4. Factorizar: P(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24
 indicar la suma de los términos independientes 
de los factores primos.
 a) –7 b) –5 c) –3
 d) 4 e) 6
5. Indicar un factor primo de: 
 P(x)=x3(x+1)+2x2+5(x–3)
 a) x2 – 5 b) x2 + 5 c) x2 – x – 3
 d) x2 – 3 e) x2 + 3
6. Factorizar: H(x) = x3 – 7x + 6
 Indicar un factor primo.
 a) x – 3 b) x + 2 c) x – 1
 d) x + 1 e) x
7. Factorizar: P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x-11y–10,
 indicando la suma de sus factores primos.
 a) 5x+2y+3 b) 5x+y–3 c) 5x+2y–3
 d) x+y+1 e) x+2y+3
Capítulo
46
Colegios
TRILCE Central: 6198-100Practica en casa
1. Relacionar las columnas correctamente:
Método para 
factorizar Polinomio
Divisores 
binómicos A
P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x–11y–10
Aspa doble 
especial B P(x)=x
2 – 2x – 24
Aspa simple C P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1
Aspa doble D P(x)=x3+6x2+11x+6
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) al factorizar:
 P(x) = x3 – 3x +2
 A. El polinomio tiene dos factores primos .... ( )
 B. El polinomio tiene tres factores primos .... ( )
 C. La suma de sus factores primos es: 3x+2 ... ( )
 D. Uno de los factores primos es (x – 1) ....... ( )
3. Completar al factorizar por aspa doble:
 
P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x + 0y – 3
I IIIII
 Luego: P(x;y) = __________________
4. Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6
 indicar la suma de los factores primos.
5. Indicar un factor primo de: 
 M(x) = 2x3 – 5x2 – 23x - 10
6. Indicar un factor primode: P(x) = x3 + 5x + 6
7. Factorizar: P(x;y)=3x2+4xy+y2+4x+2y+1
 indicando uno de los factores primos.
8. Factorizar: P(x) = x4 – 2x3 –10x2 + 5x + 12
9. Factorizar: P(x; y)=10x2+11xy–6y2–x–11y–3
 Indicar un factor primo.
 
10. Indicar un factor de: P(x)=x4+7x3+14x2+7x+1
11. Factorizar: P(x) = x4 + 2x2 + 9
 indicar un término de un factor primo.
12. Indicar la suma de coeficientes de los factores 
primos de: P(x) = x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10
13. Indicar un factor primo de:
 P(x; y; z)=6x2 – 20y2 – 14z2+7xy+38yz – 17xz
14. El volumen de una caja está dado por "V(x)" 
y altura "H(x)", encontrar los valores de las 
otras dimensiones si estos son polinomios de 
coeficientes enteros que dependen del valor de 
"x", se sabe que:
 VOLUMEN : V(x)= x3+6x2 + 11x +6 
 ALTURA : H(x)= x + 2
 Además calcular el valor de dichas dimensiones 
si el valor de "x" es 8.
15. Los ingresos de una tienda están dados por: 
I(x)=P(x).Q(x); donde: I(x): Ingreso; P(x): Precio 
de venta; Q(x): Cantidad de artículos vendidos. 
Si el ingreso es: I(x)= x4+3x3+ 7x2 +7x +6; 
hallar el precio de venta y la cantidad de artículos 
vendidos en función de "x".
7
Álgebra
47
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Tú puedes
1. Al factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 , indique "V" o "F"
 I. El polinomio tiene cinco factores primos. II. El polinomio tiene tres factores primos.
 III. La suma de sus factores primos es: 3x+2 IV. Uno de los factores primos es: (x + 2)2.
 a) FVFF b) VVVV c) FVVV d) FVVF e) VVVF
2. Factorizar: P(x;y) = 24x3y2+60x2y2 – 6xy4 + 6xy3 + 36xy2
 a) 6xy2 (x + y + 1)(2x – y + 3) b) 6xy2 (x + y + 2)(2x – y + 3)
 c) 6xy2 (2x + y + 2)(x – y + 3) d) 6xy2 (2x + y – 2)(2x – y – 3)
 e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x – y + 3)
3. Factorizar: P(x) = x5 + x + 1
 a) (x2 + x + 1) (x3 – x2 + 1) b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1)
 c) (x2 – x – 1) (x3 – x2 + 1) d) (x2 – x – 1) (x3 + x2 + 1)
 e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 – 1)
4. Factorizar: P(x) = x12 – 3x9 – 7x6 + 27x3 – 18
 a) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3 – 5)(x3 – 3) b) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3)
 c) (x+1)(x2 – x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) d) (x – 1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3 – 3)
 e) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+4)(x3 – 3)
5. Indicar un factor primo de: P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1
 a) x2 + x + 1 b) x3 + x + 1 c) x2 + x – 1 d) x3 – x+1 e) Ninguna
Capítulo
48
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
8
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Federico Villarreal
lecTura
Federico Villarreal a los 
20 años obtuvo el título de 
preceptor el cual le permitió 
dirigir la escuela oficial de 
Túcume y dirigió un colegio 
de instrucción media donde 
enseñó matemáticas .En 
1873, con 23 años descubrió 
un método para elevar un 
polinomio cualquiera a una 
potencia cualquiera. Estudió 
Ciencias Matemáticas en 
la Universidad Nacional 
Mayor de San Marcos 
(UNMSM), graduándose 
como Bachiller con la tesis: 
Fórmulas y métodos que 
deben completarse en matemáticas puras; y como licenciado con la tesis: Efectos de la Refracción sobre 
el Disco de los Astros.
En 1881 , se graduó de Doctor en Ciencias Matemáticas mediante la tesis: Clasificación de Curvas de 
Tercer Grado destacando por su originalidad y conclusiones. Esto le mereció a Villarreal la medalla de 
oro otorgada por la Facultad de Ciencias al primer Doctor de su época, quien a la vez, se constituye en el 
primer matemático profesional del siglo XX en el Perú.
http://www.arrakis.es/~mcj/villarreal.htm
fracciones algebraicas
En este capítulo aprenderemos
 . Definición
 . Forma general
 . Simplificación de fracciones
 . Operaciones con las fracciones algebraicas
Álgebra
49
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Simplificación de 
fracciones
Fracciones 
irreductibles
Adición y 
sustracción
Multiplicación
Regla práctica: 
caso: 
b
a
d
c± 
División
Definición
Operaciones con 
fracciones
FRACCIONES 
ALGEBRAICAS
Síntesis teórica
Capítulo
50
Colegios
TRILCE Central: 6198-100
Aplica lo comprendido
Saberes previos
1. Efectuar:
 a) (x+y)(x – y)=............................... 
 b) (x+y)2=.......................................
 c) (x+a)(x+b)=.....................
 d) (x–y)(x2+xy+y2)=....................................
2. Factorizar:
 a) x2+5x=......................... 
 b) x2–9=.....................................
 c) x2 – x – 6 =.................................. 
 d) x2 +5x +4 =................................
3. Efectuar:
 a) x10 .x13 = .................................... 
 b) x15 .x23 . x7 = .............................
 c) x14.x11 = ...................................... 
 d) x.x4.x7 = ............................
4. Efectuar:
 a) 
2
1
2
3+ = ........................... 
 b) –
2
3
3
1=.............................
 c) . .
2
1
4
3
3
2=.................................. 
 d) 
4
1
5
3' =.......................................
5. Efectuar:
 a) – –
2
1
3
1c cm m= ..........................
 b) –
4
1
3
2' +` cj m=............................ 
1. Relacionar correctamente:
x y
x y
5
25
2 2
3 4
A 13xy3
y
x
x
y
' B –
xy
x y2 2
x y z
x y z
13
169
3 2 6
4 5 6
C
y
x
2
2
–
y
x
x
y
D 5xy2
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las 
fracciones algebraicas:
 A. 
x
x
4
4
–2
2 - =1 ; x ≠ ±2 ..................................( )
 B. 
–
–
–x
x
x6 6
6 =1 ; x ≠ 6 ..........................( )
 
 C. Si: x=5, la fracción: 
–x 5
3 no está definida .( )
 D. 
x y z x y z
1 1 1 1+ + =
+ +
 ....................( )
3. Efectuar las siguientes operaciones:
 A. 
y
x
y
z
y
y+ + = 
 B. 
xyz
x y z
4
12 2 3 4 = 
 
 C. 
–
( – )
x
x
3 75
3 25
2
2
=
 D. 
y
x
y
x
2
2
3
' = 
 
4. Reducir: 
 
x y z
x x y y z
19
57
4 2 4
5 2 3 4 6
5. Simplificar: 
 
– –
–
x x
x x
3 10
2 35
2
2+
8
Álgebra
51
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Aprende más
1. Relacionar correctamente:
–
–
x
x x
2
4 42 + A 4
– –
x
x
x
x
x
x7 2 5 2+ + + B x – 6
–
x
x
6
362
+ C 2
– –
y
x y
y
x y+
D x – 2
2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las 
fracciones algebraicas:
 A. (x – y)a–1 = 
a
1 (x–y) .................................( )
 B. 
xy
x y+ =(x–1+y–1)–1; xy ≠ 0 ....................( )
 C. Si: x=2, la fracción: 
– –x x 2
1
2
 no está defini-
da ............................................................( )
 D. El valor de (
x
x
1+
) es cero, si: x=0 .........( )
3. Completar luego de reducir:
 A. 
–
x
1 1
1 = 
 
 B. 
x
x x
5
7 102
+
+ + =