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oo
n 
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te
l
UNIUNI
SemestralSemestral
2 0 1 5
• Aptitud Académica
• Matemática
• Ciencias Naturales
• Cultura General
1
Preguntas propuestas
ÁLGEBRA
visita: mathwallace.blogspot.com
2
3
4
Álgebra
2
Números complejos I
NIVEL BÁSICO
1. Se cumple
 w=1+2i+3i2+4i3+...+4ni4n – 1; n ≥ 34.
 Determine 
Re( )
Im( )
w
w2
A) 2
B) 1
C) 1/2
D) 1/4
E) 4
2. Determine la secuencia correcta de verdad (V) 
o falsedad (F), luego de reducir
 z i
i
i
i
i
i
i
= +
−
−
−
+
+
−
+
+
−
1
1
1
1
1
1
5 3
3 5
 I. z es un complejo real
 II. z es un complejo imaginario puro
 III. |z|=2
 IV. |z|=1
A) VFVF
B) FVVF
C) VFFV
D) FVFV
E) VFFF
3. Halle (a – b) si a bi
a i b
+ +
+ +
1
1( )
 es equivalente a un imaginario puro de módulo 
2 (a; b ∈ R),
A) 1
B) 2/9
C) – 6/49
D) 5/3
E) 0
4. Determine el módulo de z.
 z
i i i
i i
=
+ − +
+ −( )
3 4 1 15 15
2 23 1 3
4
3 3
·( ) ·(cos sen )
·
A) 2
3
5
 B) 
3
2
3
5
 C) 3
2
3
5
D) 
3
5
 E) 
1
2
5
3
5. Sea z ∈C, tal que |z|+3i=z – 2.
 Determine |4z+5|.
A) 13 B) 12 C) 14
D) 10 E) 11
6. Si z ∈C de parte real no nula, calcule el valor 
de 
 
z a z a
z b z b
a b
+ − −
+ − −
∈
2 2
2 2
| |
| | | |
; , 
A) 
a
b
 B) b
a
 C) a b
a
+
D) a b
b
+ E) 1
NIVEL INTERMEDIO
7. Sea α = +1
2 2
i
 Si además se cumple que a27+an –1=0, calcule 
un valor de n.
A) 30 B) 45 C) 37
D) 58 E) 100
8. Si A z z
z
z= ∈ −  = ∧ =
C / Im | |
1
2 1 ,
 entonces A es un conjunto
A) infinito.
B) de tres elementos.
C) de dos elementos.
D) nulo.
E) unitario.
Álgebra
3
9. Determine el argumento principal de 
 z=(ab+ac; bc–a2)·(bc+ba; ac–b2)·(ac+bc; ab – c2)
A) 0 B) p C) p/2
D) p/3 E) p/4
10. Si z=2[cos70+isen70]; |w|=3; |z+w|2=21.
 determine Re(wz).
A) 8 B) 3 C) 6
D) 2 E) 4
11. Si z, w∈C/u z w= · ,
 calcule el valor de 
z w
u
z w
u
z w
+
− +
+
+
+
2 2
| | | |
A) 3 B) 4 C) 1
D) 2 E) 5
12. Si w2013=1; w≠1, evalúe
 
1
1
1
1
1
12 2013+
+
+
+ +
+w w w
...
A) 1006 B) 
2013
2
 C) 1006i
D) 
2013
2
i E) 2013
13. Si a, b ∈C/|a – b|=|a|=|b|>0, halle el valor 
de 
a
b
b
a
  +  
4 4
A) – 2 B) 1 C) – 1
D) 1/2 E) 2
14. Al unir los afijos de los complejos
 z1=(– a, 0); z2=(0, – a)/a > 0;
 z3=(x, y) pertenece al primer cuadrante, 
se genera un triángulo equilátero de lado 3. 
Determine y.
A) 
6 2
2
+
B) 
2 1
2
−
C) 3
4
6 2−[ ]
D) 6 2
2
−
E) 
3 2
2
−
NIVEL AVANZADO
15. Si i = −1 y se tiene la igualdad 
 
1
2
1
1
1+  = −
−
+i i
i n
i n
( )
( )( )
 calcule el valor de n.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 7
16. Si se cumple la identidad
 (1+x+x2)1000≡ a0+a1x+a2x
2+...+a2000x
2000
 determine a0+a4+a8+...+a2000.
A) 
3 5
4
100 +
 B) 
3 1
4
100 −
 C) 
3 1
4
100 +
D) 
3 1
3
100 −
 E) 
3 3
4
100+
17. Sea z=x+yi/z39=1; z≠1.
 Determine Re(z+z2+z3+...z37).
A) − +
+
1
2 2
x
x y
B) − −
+
1
2 2
x
x y
C) 1 2 2− +
x
x y
D) x2+y2
E) 1
2 2
+
+
x
x y
Álgebra
4
18. Sean z1; z2; z3 números complejos, tal que 
z1+z2+z3=0 ∧ |z1|=|z2|=|z3|=1
 determine z z z1
2
2
2
3
2+ + .
A) – 1 B) 0 C) 2
D) 1 E) 4
19. Determine el número de soluciones en
 
z
z
z
z
z+ = =1 1;
 con z=cosx+isenx; x∈[0; 2p〉.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 4 E) 2
20. Sea a un número real positivo, tal que
 z
z
a z+ = ≠
1
0; .
 Determine el máximo y mínimo valor de |z|.
A) máx|z|=1; mín|z|=1/2
B) máx|z|=
| |a a+
2
; mín|z|=
| |a a−
2
C) máx|z|=
a a+ +2 9
2
; mín|z|=
− + +a a2 9
2
D) máx|z|=
− + +a a2 4
2
; mín|z|=
a a+ +2 4
2
E) máx|z|=
a a+ +2 4
2
, mín|z|=
− + +a a2 4
2
Álgebra
5
Números complejos II
NIVEL BÁSICO
1. Si z es un número complejo, tal que
 arg(z(1+i))=
p
6
 y |zi|=8,
 determine el número complejo z representado 
en su forma exponencial.
A) 8 12e
i
−
pi
 B) 6 5e
i
−
pi
 C) 5 4e
i
−
pi
D) 3e – ip E) 2 3e
i
−
pi
2. Al simplificar el número complejo
 z
i i
i i
=
−
( ) +( )
−
( )
−
( )
1 3
4 1
5 7
6 8
cos sen
cos sen
θ θ
θ θ
 se obtiene
A) e
i2
11
7
3+ θ
B) 2
13
6
15
e
i − + pi θ
C) 2
2
13
6
15
e
i
pi θ+ 
D) 1
E) e
i− + 53 15
pi θ
3. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-
ciones.
 I. e
i
7
11 1
pi
=
 II. cos , ;θ θ pi
θ θ
=
+ ∀ ∈
−e ei i
2
0 2
 III. e eie
iθ θ θ pi= ∀ ∈−sen , ;0 2
A) FVF B) FVV C) VVF
D) VFV E) VVV
4. Indique una de las raíces cúbicas del número 
complejo z i= −4 3 4 .
A) 2
11
9e
i
pi  B) 2
35
9e
i
pi  C) 2
23
18e
i
pi 
D) 2
21
18e
i
pi  E) 2
39
11e
i
pi 
5. Si se sabe que 1, w, w2 son las raíces cúbicas 
de la unidad, determine el valor de la expresión
 E ww
w
w
w
= [ ] 










2
3
50

A) w+1 B) w2 C) w
D) – 1 E) 1
6. Si M es un conjunto definido por
 M z z i i= ∈ = + + −{ }C / 3 4 3 4 ,
 además, M={a, b, c, d}. Calcule el valor de la 
expresión
 A=|a|+|b|+|c|+|d|
A) 12 B) 5 C) 5
D) 4 E) 4 5
NIVEL INTERMEDIO
7. Dado el complejo 
 z=2m+(1 – m)i; m ∈R+
 Calcule m si se sabe que el argumento princi-
pal de z(z – i) es 45º.
A) 4/5 B) 3/5 C) 5/3
D) 2/5 E) 1
8. Si |8+(z – 1)i|=1,
 indique en qué cuadrante se encuentra el 
complejo 5
4
cis
pi  · z.
A) primero
B) segundo 
C) cuarto
D) tercero 
E) ninguno
Álgebra
6
9. Al representar gráficamente en el plano de 
Argand 1 35 − i una de las raíces se encuen-
tra en el tercer cuadrante, determine su ar-
gumento.
A) 
22
15
p
 B) 
7
5
p C) 
19
15
p
D) 
18
15
p
 E) 
17
15
p
10. Si w≠1 es una raíz enésima de la unidad, ¿a 
qué es equivalente la siguiente suma?
 S=w+2w2+3w3+...+(n –1)wn–1
A) 
−
−
( )
n
w 1 2
 
B) 
n
w −1
C) 
n
w( )−1 2
D) 0
E) 1
11. Determine el área del polígono regular forma-
do al unir los afijos de las raíces cuartas del 
complejo
 z i= +1
A) 2 24 B) 3 2 C) 4 2
D) 4 24 E) 2
12. Dados los conjuntos
 M={z ∈C/z=2+t(–1+i); t ∈[0; 1]}
 
N w w z z M= ∈ =   ∈

C / · ,cis
3
4
pi
 encuentre en N el complejo de mayor argu-
mento principal.
A) 2 B) 5 C) − 2
D) 6 E) 7
13. Efectúe
 
1 15
1 15
1
4
+
−
  = −
i
i
i
cot
cot
;
A) 
− +
1
2
3
2
i
B) − −
1
2
3
2
i
C) 1
2
3
2
+ i
D) 1
2
3
2
− i
E) 1
14. Sean 1, w1, w2, ..., w10.
 los raíces de orden 11 de la unidad.
 Determine
 1 1 11
2
2
2
10
2
−( ) −( ) −( )w w w...
A) 0 B) 1 C) 10
D) 11 E) 110
NIVEL AVANZADO
15. Si z=cos2q+isen2q, entonces calcule 
 
1
1
+
−
 
z
z
tanθ
A) icotq
B) itan2q 
C) i
D) icot2q 
E) – 1
16. Se tiene z3+w 7=0; z5 · w11=1. Halle |w|.
A) 1/2 B) 2 C) 3
D) 1 E) 1/4
Álgebra
7
17. Sea z un complejo cuyo argumento principal 
es 5
11
p. Determine el argumento principal de
z z
z z
−
+
| |
| |
.
A) p
11
 B) p
4
 C) 2
2
p
D) p
2
 E) 0
18. Si A es un conjunto definidopor
 A={z – i/2Re(z)+3 Im(z) ≤ 4}, 
 entonces la figura que mayor representa es
A) 
7/3
7/2
Im
Re
B) 
– 7/3– 7/3
7/27/2
Im
Re
C) 
7/3
– 7/2
Im
Re
D) 
– 2– 2
– 1– 1
Im
Re
E) 
– 2– 2
– 1– 1
Im
Re
19. Determine la gráfica que mejor representa
 B z
z
z
= ∈
+
−
  =

C / Re
1
1
1
A) 
Im
Re B) 
Im
Re
– 1 1
C) 
Im
Re1/2
D) 
Im
Re E) 
Im
Re
20. Señale la figura que mejor representa la gráfica 
del conjunto
 
M z z
i
w
w w= ∈ =
−
( ) ∧ > ∧ ≤ ≤


C / | | arg2 1 0 3
pi
A) 1
1
–1
–1
Im
Re
B) 
1
1
–1
–1
Im
Re
C) 
1
1–1
–1
Im
Re
D) 
– π/6
Im
Re
E) 
π/6
–1 1
–1
Im
Re
Álgebra
8
Ecuaciones polinomiales I
NIVEL BÁSICO
1. Si a es una solución de la ecuación 
 x x2 3 1 0− + = ,
 determine a18+a6+1.
A) 1 B) – 1 C) 2
D) 3 E) – 3
2. La ecuación polinomial
 (x – n)4(2x+3)P(x – P)2(5x – 1)n=0
 admite 10 raíces cuya suma es 131
10 Determine P/n.
A) – 1/4 B) 1/3 C) – 1/3
D) 1/4 E) 1/5
3. Calcule el valor de n para que la siguiente 
ecuación de incógnita x no tenga solución.
 (n2 – 3n+2)=(n2 –4n+3)x
A) 0 B) 2 C) 1
D) 3 E) 5
4. Para {a, b, c}∈R+, resuelva en x
 
x ab
a b
x bc
b c
x ca
c a
a b c
−
+
+
−
+
+
−
+
= + +
A) {0} B) {abc} C) {ab+bc+ac}
D) 1 E) a+b+c
5. Sea la ecuación cuadrática
 x2 – (m – 2)x+2n=1, m, n ∈ Q.
 de CS =
+ +{ }a ba a bb; .
 Calcule 
m
n
+
+
1
1
A) 1/2 B) 1 C) 3/2
D) 2 E) – 1
6. Dada la ecuación
 2ax2+(3a – 1)x+(a+b)=0
 Halle un valor de b para que exista un solo 
valor de a que permita que las raíces de la 
ecuación sean iguales.
A) – 3/2 B) – 1 C) 0
D) 1/2 E) 1
7. Sea la ecuación polinomial
 x3+3x – 2=0 de raíces m, n, p.
 Calcule 
 (m+n)3+(m+p)3+(p+n)3
A) 3 B) – 3 C) 6
D) – 6 E) 12
8. Sean a, b, c, d, e raíces de 
 x5+x2+1=0. Determine
 a5+b5+c5+d5+e5
A) 0 B) 5 C) 6
D) – 5 E) – 6
NIVEL INTERMEDIO
9. Dada la ecuación polinomial
 x3 – x2+2x – 1=0
 de raíces a, b, c determine
 
a
a
b
b
c
c
3
2
3
2
3
21 1 1( ) ( ) ( )−
+
−
+
−
A) 2 B) 2/3 C) 3
D) 4 E) 3/2
10. Dada la ecuación en x
 8m3x – 4n=n(36x – n+2), mn≠0, halle n2 – m2 
para que tenga infinitas soluciones.
A) 10 B) 12 C) – 27
D) 27 E) 31
11. Sea la ecuación cuadrática
 x x x−( ) + +( ) = −3 7 2 10 5 62
 Indique el módulo de una raíz.
A) 1 B) 2 C) – 2
D) 
1 3
2
+
 E) 34
Álgebra
9
12. Si m > n > 0, entonces x m
m m n1
=
+ −
 y 
x
m
m m n2
=
− −
 son raíces de la ecuación
A) mx2 – nx+m=0
B) mx2 + mx+n=0
C) mx2 – mx+n=0
D) nx2 – 2mx+m=0
E) nx2+2mx+m=0
13. Si las raíces de la ecuación
 mx2 – (m+3)x+2m+1=0 (m≠0)
 difieren en 2 unidades, determine el conjunto 
de valores reales que puede admitir m.
A) {2; 3}
B) 
9
11
1; −{ }
C) −{ }911 1;
D) {1; 9}
E) 2
9
2
;{ }
14. Sean x1, x2, x3 las raíces de la ecuación 
x3 – 2nx2 – 72=0.
 Halle x1· x2 si x1+x2+2x3=5n, n∈R.
A) 36 B) 12 C) 14
D) 24 E) 60
15. Sean {m, n, p} el conjunto solución de
 x3+x – 100=0.
 Determine el valor de
 
m n
mn p mn
p m
pm n pm
n p
np m np
−
( )
−
( ) +
−( )
−
( ) +
−( )
−
( )
2
2
2
2
2
24 4 4
A) 1 B) 3 C) 0
D) 4 E) 3/2
16. Dada la ecuación polinomial
 x3+x – 1=0
 de raíces x1, x2, x3,
 determine (2 – x1)(2 – x2)(2 – x3).
A) 10 B) 11 C) – 8
D) 8 E) 9
NIVEL AVANZADO
17. Si la ecuación cuadrática
 x xr r r2 8 12
1
4
18 0+ +( ) + =·
 tiene como conjunto solución al conjunto {a}; 
a ∈R, calcule el valor de 3– r·21– r/2·a
A) 1 B) 1/4 C) 0
D) 1/2 E) 2
18. Sea la ecuación cuadrática
 ax2+bx+b=0; a ≠ 0, ab > 0 de raíces r>s>0.
 Determine 
r
s
s
r
b
a
+ +
A) 0 B) 1 C) 4
D) 2 3 E) 4 3
19. Si B
n
n
n
n
=
−
−
+
+{ }2 11 2 31; es el conjunto solución 
de ax2+2bx+4c=0, a≠0, calcule
 
L
b ac
a b c
=
−
+ +( )
2
2
4
A) 16 B) 12 C) 4
D) 8 E) 2
20. Sean a, b, c raíces de
 x3 – 9x2+11x – 1=0 y S a b c= + + .
 Calcule S4 – 18S2 – 8S.
A) 27 B) – 54 C) – 27
D) – 37 E) – 47
Álgebra
10
Ecuaciones polinomiales II
NIVEL BÁSICO
1. Dada la ecuación polinomial.
 2x4+ax3+bx2+cx – 4=0, {a, b, c, d} ⊂ Q
 y siendo a+i y 2 dos de sus raíces, calcule
 
a b c
ab bc ac
2 2 2 1
1
+ + +
+ + +
A) 4 B) 5 C) 2/3
D) 1/2 E) 0
2. Dada la ecuación polinomial de coeficientes 
racionales.
 2x4+bx3+cx2+dx+e=0, tal que una raíz es 
3 2+ . Determine e.
 
A) 2 B) 1 C) – 2
D) 1 E) 1/2
3. Si (2+i) es una raíz doble de la ecuación
 x5+ax4+bx3+cx2+dx+25=0
 de coeficientes reales, determine el valor de 
a+b+c+d.
A) 17 B) 18 C) 19
D) – 18 E) – 17
4. Dada la ecuación bicuadrada
 x4+(a+b – 1)x3+(b+c – 8)x+(a+c – 3)x+1=0
 donde el número de raíces excede en 2 uni-
dades al número de soluciones, calcule un 
valor de
 
5 2a b c
a b c
· ·
+ +
A) 8 B) 16 C) 1/8
B) 1 E) – 8
5. Si x1, x2, x3, x4 son raíces de x
4 – 2x2+3=0
 calcule x x x x1
4
2
4
3
4
4
4+ + +
A) – 2 B) – 4 C) – 8
D) – 12 E) 0
6. Determine q, tal que las raíces de la ecuación 
x4– 40x2+q=0
 estén en progresión aritmética.
A) 125 B) 256 C) 48
D) 144 E) 128
7. Resuelva e indique las soluciones enteras de
 
x x
x x
x x
2
2
2
3 1
2 6 5
3 1
+ + =
+ +
+ +
A) {– 4; – 2; 1; – 1}
B) {– 4; – 2; 1}
C) {– 1; 2}
D) {2; 1}
E) {– 1; – 2}
8. Indique el número de soluciones reales de
 
1
2
1
8
2
34 2 4 2 4x x x x x− +
+
+ −
=
−
A) 2 B) 4 C) 6
D) 5 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
9. Dada la ecuación
 2x4 – 4x3+cx2+dx+e=0
 de coeficientes racionales.
 Si dos de sus raíces son 1 2 1+ +; ,i
 determine d+e.
A) – 12 B) – 6 C) – 10
D) 12 E) 0
Álgebra
11
10. Dada la ecuación
 5 2 5 5 04 2x x+ + + = de raíces x1, x2, x3, x4.
 Determine x x x x1 2 3 4+ + + .
A) 1 B) 4 C) 2
D) 1/4 E) 3
11. Halle el intervalo en que debe variar λ para 
que la ecuación
 x4+(1– λ)x2+2(λ – 3)=0
 tenga solo dos raíces reales.
A) λ ∈ 〈–∞; 2〉
B) λ ∈ R – {5}
C) λ ∈ 〈– 6; 7〉
D) λ ∈ 〈– ∞; 3〉
E) λ ∈ 〈0; 3〉
12. Sea la ecuación x4 – 2x2+81=0 de raíces
 x1, x2, x3, x4. Determine el área generada por 
x1, x2, x3, x4 en el plano de Gauss.
A) 6 5 B) 4 5 C) 4
D) 8 5 E) 5
13. Si el número 1 3+ bn es solución real de la ecua-
ción x6 – 3x4+3x2 – 3=0, determine (bn+nb).
A) 2 B) 5 C) 13
D) 8 E) 28
14. Luego de resolver
 x
x x
x x
x
3
3
2
2
1 3
3 3
3
14+ + + + + =
 se tiene que x0 es una solución.
 Indique 
x
x
0
0 1+
A) 1 B) – 1 C) 1/2
D) 3 E) – 3
15. Resuelva en R
 
x x x
x x x
x
x
x
x
x
3 2
3 2
2 2
1
1
1 1
4
+ + +
− + −
+ =
−
  − + 
 e indique el número de soluciones.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
16. Determine la solución real de
 
x x
x
3
2
3
3 1
5
3
+
+
=
A) 43
B) 
4 1
4 1
3
3
+
−
C) 2 1
2 1
3
3
+
−
D) 4 23 3+
E) 4 23 3−
NIVEL AVANZADO
17. Indique el número de soluciones de la siguien-
te ecuación fraccionaria
 
1
1
1
2
1
3
1
4 2x x x x−
+
−
+
−
+
−
=
pi
A) 2 B) 3 C) 4
D) 6 E) 8
Álgebra
12
18. Si las ecuaciones 
ax bx c
bx cx a
4 2
4 2
0
0
− − =
− − =


son equivalentes, calcule la mayor solución 
real. Considere que a; b; c ∈R.
A) 
1
2
2 2 3+
B) 
1
2
2 3−
C) 
1
2
2 2 5+
D) 
1
2
10 2 5−
E) 1 5+
19. El polinomio
P(x)=a8x
8+a7x
7+...+a0
tiene todas sus raíces reales positivas, tal que
a8=1, a7=– 4, a6=7.
Halle a0.
A) 
1
26
 B) 1
28
 C) −
1
28
D) 28 E) 1
216
20. Sea S el conjunto de puntos (a; b) con a; b ∈ [0; 1], 
tal que la ecuación x4+ax3 – bx2+ax+1=0
tiene al menos una raíz real.
Determine el área de S.
A) 1 B) 1/2 C) 2
D) 1/4 E) 1/6
Álgebra
13
Desigualdades
NIVEL BÁSICO
1. Sean los intervalos
 A=〈– 1; 2]
 B=〈0; 3]
 C=〈– 5; 3〉
 Determine el número de elementos enteros 
en C – (A – B).
A) 6 B) 7 C) 5
D) 4 E) 8
2. Si A; B son conjuntos definidos por
 A x x x= ∈ < ↔ >{ }R / 1 0 y
 B x
x
A= ∈ ∈

Z /
2
16
 entonces el número de elementos de B es
A) 3 B) 4 C) 6
D) 10 E) 15
3. Si a < b < 0, halle el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones.
 I. 
b
a
b
2
<
 II. 
a
a b
b
a−
− > 0
 III. Si a≠– b → a(a+b) > (a+b) · b
 IV. a
b
a
− >
+1 1
A) VVVF B) VFVV C) FVVV
D) VVFF E) FVVF
4. Si a∈〈0; b〉, halle el intervalo al cual pertenece 
la expresión
 
a
a b b
2
2 2 4−
A) 〈– 2; 0〉
B) 〈0; +∞〉
C) 〈– ∞; 0〉
D) 〈– 3; +∞〉
E) 〈– ∞; – 1〉
5. Determine la variación de la expresión
 E
x
x x
x=
+ +
>
2
1
0
2
;
A) 〈0; 1] B) 0
2
3
;  C) 1
3
2
; 
D) 0
1
2
;  E) 〈1; 2]
6. Sean a; b; c números reales positivos.
 Determine el máximo valor de K si
 
( )( )( )a b b c a c
abc
K
+ + +
≥
A) 6 B) 9 C) 8
D) 4 E) 12
NIVEL INTERMEDIO
7. Halle el menor número N, tal que se cumple 
3 – x2 – x4 ≤ N; ∀ x ∈ R.
A) 16 B) 13/4 C) 9/4
D) 4/13 E) 4/9
8. Si ∀ x ∈ R: (1+a+a2) ≤ K · (a4+a2+1),
 luego el mínimo valor de K es
A) 
3
4
 B) 1
3
 C) 4
3
D) 3 E) 
2
3
9. Determine la variación de la expresión
 
M
x
x x
x=
− +
∈
3
12
; R
A) [– 1; 3] B) [– 2; 2] C) [– 1; 2]
D) [– 2; 3] E) [– 1; 1]
Álgebra
14
10. Dada la ecuación
 4x4 – ax3+bx2 – cx+5=0
 de raíces r1, r2, r3, r4 positivos, tal que
 
r r r r1 2 3 4
2 4 5 8
1+ + + =
 halle la mayor raíz
A) 1/2 B) 1 C) 2
D) 7/3 E) 5/4
11. Determine el máximo producto
 xy(72 – 3x – 4y); donde x, y > 0
A) 1100 B) 1260 C) 1200
D) 1152 E) 1160
12. Determine el mínimo de
 E
x x x
x
x=
− +( )
−
>
8 12 12
2 1
1
2
2
;
A) 4 B) 4
64
27
4 C) 2
27
64
4·
D) 3 3 43+ E) 1 43+
13. Sabiendo que 2p=a+b+c
 calcule el máximo valor de k, siendo a, b, c 
lados de un triángulo que verifique
 p3 – 3abc ≥ k(p – a)(p – b)(p – c)
A) 1 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
14. Calcule el máximo de
 L x y= + + +2 7 2 73 3
 si x, y>0 / x+y=1.
A) 2 B) 23 C) 8
D) 2 43· E) 4
15. Sea a+b=4; tal que a, b ∈R+0 .
 Halle el menor valor de f donde
 f a b= + + +2 29 16
A) 4 3 B) 2 13 C) 3 4 2+
D) 65 E) 9
NIVEL AVANZADO
16. Indique el intervalo al cual pertenece
 A
x x
x
x=
+ +
+
∈
2 1
1
1 2si ; .
A) 0
3
2
;  B) 
7
5
3
2
;  C) 
3
2
7
3
;


D) [1; 2〉 E) 
3
2
; +∞


17. Encuentre el mínimo de
 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
  − +

 −
+
  + +


>
1 1
2
1 1
0
6
6
6
3
3
3
;
A) 4 B) 2 C) 6
D) 8 E) 9
18. Sea x un número real positivo,
 encuentre el máximo valor posible de
 
x x
x
2 42 4+ − +
A) 2 2 B) 1 C) 1/2
D) 2 E) 2 2 2−
19. Determine el máximo valor de 
 A
x x
x x
x=
−
+ −
>
4 2
6 32 1
1;
A) 1/2 B) 1/6 C) 2
D) 1/3 E) 1/8
20. Indique la variación de la expresión
 M x x x x= + + − − +2 21 1
 si x ∈ R.
A) 〈– 1; 1〉 B) [– 1; 1] C) 〈– 2; 2〉
D) −
1
3
1
3
; E) −
1
2
1
2
;
Álgebra
15
Inecuaciones cuadráticas
NIVEL BÁSICO
1. Siendo a < b < 0, resuelva
 
x
a
b
a
x
b
a
b
+ ≥ +
A) 〈– ∞; a+b〉
B) 〈– a – b; +∞〉
C) 〈a – b; +∞〉
D) 〈ab; +∞〉
E) 
1
a b+
+ ∞;
2. Para {m, n, p} ⊂ R+ resuelva la inecuación en x
 x m
np
x n
mp
x p
nm m n p
−
+
−
+
−
> + +



2
1 1 1
A) 〈m; +∞〉
B) 〈– ∞; m+n+p〉
C) 〈m+n+p, +∞〉
D) 〈m – n – p; +∞〉
E) 〈–∞, m – n – p〉
3. La inecuación
 x x2 2 3 1 0− + <
 tiene como conjunto solución a
A) 3 1 3 1− +;
B) 2 1 2 1− +;
C) 3 2 3 2− +;
D) − 3 3;
E) 2 3 2 3− +;
4. Al resolver la inecuación cuadrática
 ax2+bx+a2 > 2
 se obtiene como conjunto solución al intervalo 
1 2 1 2− +; . Determine a+b.
A) – 1 B) 2 C) – 2
D) 1 E) 3
5. Determine la suma de valores de k, de modo 
que la inecuación
 x2 – kx+9 < 0 tenga CS=φ
A) 12 B) 6 C) 48
D) 0 E) 52
6. Si la ecuación cuadrática
 (a – 2)x2 – 2ax+(a+3)=0
 tiene raíces positivas, entonces
A) a < – 3 B) 2 < a ≤ 6 C) a > – 3
D) A ∪ B E) a < 6
7. Determine el intervalo del parámetro a, de 
modo que la desigualdad ax2 – 2x+a ≤ 1 se 
cumpla para todo x ∈ R
A) 
1 5
2
1 5
2
− +


;
B) 〈– ∞; 0〉
C) −∞
−

;
1 5
2
D) 
1 5
2
+
+ ∞;
E) R −
− +1 5
2
1 5
2
;
NIVEL INTERMEDIO
8. Se sabe que el conjunto solución de
 
bc ax
b c
ab cx
a b
ac bx
a c
a b c
( ) ( ) ( )−
+
+
−
+
+
−
+
> + +
1 1 1
 es m, + ∞ . Halle m
a b
− −
1 1
 si {a, b, c} ⊂ R+.
A) 1/a B) 1/b C) 1/c
D) 1/d E) a
Álgebra
16
9. Dado el conjunto
S x t x t x t= ∈ − < − < <{ }R / sen ( ) ( );1 1 0 2pi
calcule la suma de los cinco menores elemen-
tos enteros de S.
A) 10 B) 18 C) 20
D) 23 E) 29
10. Dados los conjuntos
A x x xC = ∈ ≤ ∨ >{ }R / 5 8
B x x x x= ∈ + +( ) −( ) ≥{ }R / 2 23 7 9 0
Halle A ∩ B.
A) [5; 8〉
B) [– 3; 3]
C) [– 3; 5〉 ∪ 〈8; +∞〉
D) [8; +∞〉
E) 〈5; 8]
11. Respecto al conjunto A dado por
A x x x x= ∈ − < + ≤ +{ }R / ( )5 1 1 7 152 ,
indique la secuencia correcta de verdadero 
(V) ó falso (F).
I. ∃ x ∈ A/1 – x > 0
II. A ∩ {1, 2, 6}=φ
III. Los elementos de A suman 20.
A) VFV B) FVF C) VFF
D) FFV E) FFF
12. Sabiendo que P(x) ≤ 0; ∀ x ∈〈 – 8; 5] ∪ [7; +∞〉
P x a x bx( ) ( ) /= − + + + +
2 2 1 2
a ∨ b ∈ R; calcule 2a – b.
A) 0 B) 54 C) 48
D) 42 E) 36
13. Resuelva la siguiente inecuación en x.
x2+m2+n2+p2 > x(m+n+p); {m, n, p} ⊂ R+
A) R 
B) R+ 
C) R–
D) φ
E) m n p2 2 2+ + + ∞ ;
14. Se tiene el conjunto
T t x x t x= ∈ ∀ ∈ − −( ) + ≥{ }R R/ : sen2 2 2 2 1 0
Si T ⊂ 〈0, 2p]; calcule el cardinal del conjunto T.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
15. Dado el sistema de desigualdades
y x x
y x
− + − ≥
− ≤

2 6 12 0
2 4
Determine el máximo valor de x+y.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 10 E) 9
NIVEL AVANZADO
16. En la siguiente inecuación
x2 – ∆ x+∆ < 1
donde ∆ representa el discriminante del poli-
nomio cuadrático x2 – ∆ x+(∆ – 1),
podemos afirmar que
I. es posible que CS=〈0; 1〉.
II. es posible que CS=〈1; 3〉.
III. siempre se cumple que CS ⊂ 〈0; 3〉.
IV. Car(CS ∩ Z) > 1.
A) solo I
B) solo II
C) solo III
D) I y II
E) I, II y III
Álgebra
17
17. Dado el polinomio de coeficientes reales
P(x)=x
3+ax2+bx+c
tal que sus tres raíces son reales positivas, 
además, sea el polinomio Q(x)=x
2 – 2x+3. Se 
sabe que P(Q(x))=0 tiene todas sus raíces ima-
ginarias. Determine la variación de c.
A) −8 0;
B) − + ∞27;
C) −∞; 8
D) R
E) − + ∞8;
18. Dados los polinomios
f(x)=2x
2+2x – 4
g(x)=x
2 – x+2
encuentreel número de valores reales que 
toma x para que 
f
g
x
x
( )
( )
 sea un número natural.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
19. Si a; b ∈ Z+, tal que
b b
a a
2
2
4
+
+
=
determine el número de (a, b) que sean solu-
ción de la ecuación.
A) 1
B) 2
C) 0
D) 4
E) infinitas
20. Dados los polinomios
f(x)=x
3 – 3x2+5x – 17
g(x)=x
3 – 3x2+5x+11
Si f(a)=0; g(b)=0; a ∧ b ∈R
calcule a+b.
A) 3 B) 4 C) 6
D) 5 E) 2
Álgebra
18
A) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈0; 2〉
B) 〈– ∞; 0〉 ∪ 〈2; +∞〉
C) 〈– 2; 0] ∪ 〈0; +∞〉
D) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈2; +∞〉
E) 〈– ∞; 2〉 –{0}
6. Resuelva la inecuación
x x x k
x x x x
+( ) −( ) +( )
−
( )
− +( ) −( ) ≤
1 7
1 3 5
0
3 5 2
8 2 4
Si k > 0.
A) [– 1; 7] – {1; 5}
B) 〈– 1; 7〉 – {1; 5}
C) [0; 6] – {1; 6}
D) [1; 6] – {1; 5}
E) [1; 7] – {5; 1}
7. Si la inecuación
x a x a x
x
3 21 1 1
1
0
+ −( ) + −( ) −
−
>
se verifica para x ∈ R – {1}; halle en qué inter-
valo oscila a.
A) 〈– 1; 1〉 B) 〈– 3; 3〉 C) 〈– 2; 2〉
D) [ – 2; 2〉 E) −
1
2
1
2
;
NIVEL INTERMEDIO
8. Si A es el conjunto solución de
x5 – 2x4 – 10x3+4x2+16x > 0
B es el conjunto solución de
(x4 – 256)(x3+3)x2 < 0
determine A ∩ B.
A) − − ∪3 2 0 23 ; ;
B) − − ∪ −4 2 2 0; ;
C) − − ∪ −2 3 2 03; ;
D) − − ∪4 2 2 4; ;
E) φ
Inecuaciones polinomiales
NIVEL BÁSICO
1. Resuelva la siguiente inecuación.
x4+3x3+7x2+15x+10 ≤ 0
A) 〈– 2; – 1〉 
B) 〈– 1; 2〉 
C) [– 2; – 1]
D) 〈1; 2〉 
E) 〈– 2; 2〉
2. Resuelva e indique el conjunto solución.
(x2 – 4)(x – 1)(x+3) < 21
A) 
− − − +1 37
2
1 37
2
;
B) 
− − − +1 39
2
1 39
2
;
C) 
1 37
2
1 37
2
− − +
;
D) R
E) φ
3. Luego de resolver la inecuación
(x – 4)2(x+3)5(x – 1)7 · x2013 > 0
se obtiene como CS=〈a; b〉 ∪ 〈c; +∞〉 – {d}
Halle a+b+c+d.
A) 2 B) 3 C) 1
D) 4 E) 5
4. Si la inecuación polinomial
(x+1)a · (3x – 2)b+1 · (x+2)c > 0
tiene CS = ∈ > −{ } − −
x x
a
b
cR 2 ;
calcule el menor valor de (a+b+c).
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
5. Resuelva la inecuación fraccionaria
x
x
x
x
+
−
≥
−
+
2
2
2
2
Álgebra
19
13. Resuelva en x
x b
x a
x b
x a
b ab
x a
+
+
−
−
−
≤
−
( )
−
2 2
2 2
tal que a < b < 0.
A) 〈– ∞; a〉 ∪ [b; – a〉
B) 〈– a; a〉 ∪ 〈0; 2b〉
C) 〈– a; a〉 ∪ [b; 2b]
D) 〈– a; a〉 ∪ [2b; +∞〉
E) 〈– ∞; – b] ∪ 〈– a; – a〉 ∪ [2b; +∞〉
14. Resuelva la inecuación fraccionaria
1
8
1
6
1
8
1
6
0
x x x x−
+
−
+
+
+
+
≥
e indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
I. Un intervalo solución es [0; 6〉.
II. Existen cinco soluciones enteros negativos.
III. Su conjunto solución tiene infinitos elementos.
IV. La suma de las soluciones enteras negati-
vas es – 34.
A) FVVF B) FFVV C) VVFF
D) FVVV E) VVVF
15. Si ∀ x ∈ R, se cumple
− <
− +
+ +
<3
1
1
3
2
2
x kx
x x
Entonces halle el conjunto de valores reales 
que admite k.
A) 〈– 5; 11〉 B) 〈3; 64〉 C) 〈0; 11〉
D) 〈– 5; 1〉 E) R+
NIVEL AVANZADO
16. Halle el conjunto solución de
(x3+2x2 – 1)
4
(x4 – 16)
3
(x3+125) ≤ 0
A) 〈– ∞; – 5] ∪ [– 2; 2]
B) 〈– ∞; 3]
C) 〈2; +∞〉
D) 〈– ∞; 4〉
E) φ
9. Si la inecuación polinomial
(x – 4)m · (2x – 1)n · (x+3)2p ≥ 0
tiene CS = + ∞[ ∪ −
n p; ;3
1
calcule el menor valor de m+n+p.
A) 8 B) 7 C) 6
D) 4 E) 2
10. Resuelva
x8+x5+x4 – 4(x4+x+1) > 0
A) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈2; +∞〉
B) 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈1; +∞〉
C) −∞ − ∪ + ∞; ;2 2
D) − 2 2;
E) φ
11. Halle un intervalo solución que se obtiene al 
resolver la inecuación
(x+1)(2x+1)(x – 2)(2x – 3)+1 ≤ 0
A) 
1 5
2
1 2 2
2
+ +
;
B) 
1 5
2
1 2 2
2
+ +


;
C) 
1 2
2
1 2 2
2
− +


;
D) 1− +5 1 2 2 ;
E) 1+ +5 1 2 2 ;
12. Resuelva
Ax xG A
x
2 3
2 3
1
+ + −
−
≥
si A > 0 ∧ G2+4 < 4(G+A2).
A) 〈1; +∞〉 B) 
2
3
; + ∞ C) 
3
2
; + ∞
D) 
1
2
; + ∞ E) 
5
2
; + ∞
Álgebra
20
19. Resuelva la inecuación fraccionaria
x
x
x
x
x
x
2013 2015 20171
1
1
1
1
1
0
−
−



 ⋅
−
−



 ⋅
−
−



 >
A) 〈0; 1〉
B) 〈1; +∞〉
C) 〈– ∞; – 1〉
D) 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈0; 1〉
E) R – {1}
20. Dada la inecuación
(x – 1)– 1+(x – 2)– 1 ≥ 2014
determine la longitud de su conjunto solución.
A) 1007– 1 B) 1006 – 1 C) 2014
D) 2014 – 1 E) 1007
17. Resuelva la inecuación polinomial
(1+x+x2+x3+x4+x5)2 – x5 ≥ 0
e indique el complemento de su conjunto so-
lución.
A) R B) R – C) R+
D) φ E) R – {0}
18. Si x0 es una solución particular de la inecua-
ción polinomial x3+9x ≥ 3(x2+3), ¿qué pode-
mos afirmar?
A) x0 y negativo
B) x0 ∈ 〈– 1; 1〉
C) x0
3 31 2 4≥ + −
D) x0
3 31 4 2≥ + −
E) x0
3 34 2≥ −
Álgebra
21
Expresiones irracionales
NIVEL BÁSICO
1. S es el conjunto solución de la ecuación
2 5 13+ − = −x x
Indique lo correcto.
A) S ⊂ 〈4; 6〉
B) S ⊂ 〈5; 6〉
C) S ⊂ 〈8; 10〉
D) S ⊂ 〈12; 14〉
E) S ⊂ 〈14; 15〉
2. Luego de resolver la ecuación irracional
3 4 2 3 5 7x x x− + − = −
determine el número de soluciones.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
3. Luego de resolver
x x x x x+ + + = − +5 2 25 2 52
indique el número de soluciones.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
4. Luego de resolver la inecuación
x x+ <6
se obtiene como CS=〈a; +∞〉.
Determine la suma de cifras de 34a.
A) 4 B) 2 C) 3
D) 5 E) 1
5. Resuelva la inecuación
x x x x x3 23 3 6 2 1 1+ + − + − < +
A) 〈0; 1] B) −∞

;
8
9
 C) −∞ −;
8
9
D) −
8
9
8
9
; E) −∞ ]; 3
6. Resuelva
1 3 3 1 32 2 2 2− + − > + + −x x x x
A) −




1
3
1
3
;
B) −



 − { }
1
3
1
3
0;
C) x ∈ R
D) −
1
3
1
;
3
E) [– 1; 1]
7. Resuelva en Z
− + − > −x x x2 9 8 12
e indique el número de elementos del conjunto 
solución.
A) 7 
B) 5 
C) 8
D) 4 
E) 9
NIVEL INTERMEDIO
8. ¿Qué podemos afirmar de la siguiente ecuación?
2 1 2 2 2 10 1 9x x x x x x+ + + + + + = + + + + +... ...
A) No tiene solución.
B) Tiene infinitas soluciones.
C) Tiene 2 soluciones.
D) Tiene una solución.
E) Tiene 10 soluciones.
9. Luego de resolver la ecuación
2 3 4 13x x− + =
indique el número de soluciones
A) 6 B) 1 C) 3
D) 0 E) 4
Álgebra
22
10. Luego de resolver la ecuación irracional
x x x x− + − − = −2 24 263 33 33
determine la suma de cubos de las soluciones.
A) 61 B) 62 C) 63
D) 64 E) 65
11. Luego de resolver la ecuación
2 1 9
3
+ −( ) = −x x
indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
I. Presenta 6 soluciones.
II. Tiene solución única.
III. Si S es el conjunto solución, entonces 
S ⊂ 〈0; 2〉.
A) VFF B) VFV C) FVV
D) FVF E) FFF
12. Luego de resolver la inecuación
x
x
x x
+ −
+ −
> − + −
3 2
2 3
4 62
27 6
se obtuvo como CS=〈– ∞; a] ∪ 〈b; +∞〉.
Determine a+b.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 9 E) 8
13. Resuelva la siguiente inecuación.
6 9 03− − − − ≥x x
A) x ∈ 〈5; 7〉
B) x ∈ R – 〈2; 1〉
C) x=18
D) x ∈ 〈9; 12〉
E) x ∈ [4; 7〉
14. Resuelva la inecuación
2 4 3
2
− + − ≥x x
x
A) −∞ ∪



; ;0 1
7
4
B) −∞ ∪ ; ;0 0 2
C) 〈– ∞; 2] ∪ {0}
D) 〈– ∞; 1] – {0}
E) 〈– ∞; 0〉 ∪ [1; 2]
15. Si [m; n] es el conjunto solución de la siguiente 
inecuación
8
1
16
1
50
1 0
2 2 2
−
−



 − −



 − −



 ≥xx
x
x
x
x
entonces L=m · n es
A) 0 B) 1 C) 4 2
D) 8 2 E) 16 2
NIVEL AVANZADO
16. Respecto a la ecuación
x
x
x
x
+ − − =
1 1
1
¿qué podemos afirmar?
A) No tiene solución.B) Tiene 2 soluciones.
C) La suma de soluciones es 1/4.
D) Tiene solución x0 ≥ 2.
E) Tiene solución única x0 1 2∈ ; .
20 1
17. Resuelva la ecuación
5 115+ = + − ∈x x x; R
e indique el número de soluciones.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
18. Dado el conjunto
S x x x x= ∈ − + − > −{ }R 2 6 5 8 2
calcule Inf(S)+Sup(S).
A) 9 B) 8 C) 38/5
D) 7 E) 23/5
Álgebra
23
19. Resuelva la inecuación
x ax
x ax
x bx
x bx
a
a
b
b
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
− +
+ +
+
− +
+ +
<
−
+
+
−
+
con x > 0; a > 0; b > 0.
A) [2; +∞〉 B) R C) φ
D) {1} E) [1; +∞〉
20. Resuelva la siguiente inecuación irracional.
2 1
3 2
2
3x
x
+ <
+
A) − +∞
1
2
; B) 〈– ∞; 0〉 C) − +
1
2
1
2
;
D) −


1
2
0; E) −




1
2
0;
Álgebra
24
Valor absoluto
NIVEL BÁSICO
1. Calcule A b x
x x
=
−
− −
2 1
1
2
2
para x
a
b
b
a
= +




1
2
si se sabe que 0 < a < b.
A) 
a
b
a b−( ) B) b – a C) b
a
a b−( )
D) 
b b a
a
−( )
E) a – b
2. Dado el conjunto
M x x x x= ∈ − − = − +{ }R 1 1
indique su cardinal.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) más de tres
3. Resuelva la siguiente ecuación.
x x
x x
x x
x x− + − +
+
−
= −1 2 32
A) 
1 3
2
−


B) 
1 5
2
1 5
2
+ −

;
C) 
1 7
2
1 7
2
+ −

;
D) 
1 11
2
1 11
2
+ −

;
E) 
1 15
2
1 15
2
+ −

;
4. Luego de resolver la ecuación
x2 – 4x+2=|x – 2|
determine el producto de soluciones.
A) 0 B) 2 C) 1
D) 1/2 E) 4
5. Luego de resolver la ecuación 
x x x2 6 9 2 1− + = −
se obtiene como CS={a}. Determine 3a – 1.
A) 3 B) 2 C) 5
D) 4 E) 1
6. Resuelva la inecuación
x x x x+ − + ≤ +( )+4 9 1 12
A) [2; +∞〉
B) 〈– ∞; 2]
C) 〈0; 2]
D) [0; 2]
E) 〈2; +∞〉
7. Determine el complemento del CS de la si-
guiente inecuación.
x x− − + ≥2 3 5
A) R – B) R C) φ
D) R+ E) Z+
NIVEL INTERMEDIO
8. ¿Cuántas soluciones admite la siguiente ecua-
ción?
x x x x6 5 31− = − − −
A) 0 B) 2 C) 4
D) 6 E) 1
9. Resuelva
x x x x2 − − =
e indique la suma de todas sus soluciones.
A) 3 B) 1 C) 2
D) 4 E) – 3
Álgebra
25
10. Al resolver la ecuación
|ax+1|=x+a se obtuvo infinitas soluciones. 
Indique el valor que toma a.
A) 1 B) 0 C) 2
D) – 1 E) A ∨ D
11. Resuelva la ecuación
x x− + + − + =4
1
4
4
17
4
4
e indique el producto de todas sus soluciones.
A) 12 B) 36 C) 72
D) 144 E) 108
12. Luego de resolver la ecuación
2 2 1
1
1
2
4 2
2x x x
x x
x x
− − + =
+ +
+ +
indique el cardinal de su conjunto solución.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
13. Resuelva
x x
x x
+ −
− +
≤
−2 3 2
3
0
A) −∞ − ∪[ ]; ;3
2
0 2
B) x∈ −


3
2
2;
C) x∈ −

∪ +∞[
3
2
0 2; ;
D) x∈ − ∪ +∞[
3
2
0 2; ;
E) x∈ −
3
2
2;
14. Resuelva la ecuación
x x x x2 2
1
4 4
1− + + + +
1
=
A) {1/2; – 1/2}
B) {1/2; – 1/2; 1/4; – 1/4}
C) {1/2; – 1/2, 0}
D) [– 1/2; 1/2]
E) [– 1; +1]
15. Si A=[a; b] ∪ [c; d] ∪ [e; f] 
con a < b < c < d < e < f
es el conjunto solución de
x − − − ≤1 11 9 6
entonces indique el valor de 
M=(a – b)(c+d)(e – f)
A) 512 
B) 450 
C) 392
D) 338 
E) 288
NIVEL AVANZADO
16. Determine el número de soluciones de
x
x
x
x
− + + =
1 1
1
A) 4 B) 2 C) 1
D) 0 E) 3
17. Si al resolver la inecuación
x x x x x2 21 2 4 3 3− − − − ≤ − +
se obtiene como conjunto solución S, entonces 
indique lo correcto.
A) S ⊂ 〈– ∞; – 2]
B) 〈– 1; 1〉 ⊂ S
C) S⊂
− +



1 5
2
1 5
2
;
D) S =
− +1 5
2
1 5
2
;
E) S=〈– 1; 1〉
Álgebra
26
18. Dada la inecuación
x x x x x x2 2 22 1 8 16 10 25− + + − + ≥ − +
determine el número de soluciones enteros 
del complemento del CS.
A) 1 B) 0 C) 2
D) 3 E) más de 3
19. Si x
nn
∈


=
0
1
1
10
;

determine el mínimo valor de
x x
x
3 4 1
1
+ −
+
A) – 1 
B) – 1/2 
C) – 1/3
D) 1 
E) 1/2
20. Si {x; m} ⊂ Z, indique el número de pares 
ordenados (x; m) que verifican la siguiente 
ecuación.
|x2 – 1|+|x2 – 9|=mx
A) 8 B) 19 C) 12
D) 6 E) 14
Álgebra
27
Funciones reales
NIVEL BÁSICO
21. Si f es una función definida por
f={(3; |a|), ( – 1; a2 – 2b), (3; b), ( – a; – b), ( – 1; 3)}
indique el valor de verdad (V) o falsedad (F).
I. Dom f={ – 1; 3}
II. Ran f={1; 3}
III. El máximo valor de f es 1.
IV. El mínimo valor de f es 0.
V. f( – 1)=3
A) VVVVV B) VFVFV C) VVFFF
D) VVVVF E) FFFFV
22. Determine la intersección el dominio y rango 
de la siguiente función.
f xx( ) = − −25 2
2
A) [ – 5; 5] B) [ – 5; 2] C) [ – 2; 3]
D) [ – 3; 3] E) [ – 5; – 2]
23. Dada la función
f={(1 – t; t2+2t)/t ∈R+}
determine Dom f ∩ Ran f.
A) 〈0; 1〉 B) [0; 1〉 C) [0; 1]
D) 〈0; +∞〉 E) 〈1; +∞〉
24. Sea la función
f
x x
x xx( )
=
− +
+( ) −( )
3 3 2
2 1
en la cual su dominio es A y {x1; x2} ⊄ A. Calcu-
le g(x1)+g(x2) si g(x)=x+7.
A) 12 B) 14 C) 10
D) 18 E) 13
25. Dada la función
f
x f x
x f xx
x
x
( )
( )
( )
=
− ⋅ ≥
− <

1 0
1 0
;
;
halle su rango.
F) 〈 – 1; 1〉 – {0}
G) 〈 – 1; 1]
H) 〈 – 1; 0〉 ∪ 〈0; 1〉
I) 〈0; 1]
J) 〈 – 1; 1] – {0}
26. Si f es una función definida por
f
x x
x
x( ) =
− −
− −
2
2
3 4
21 4
;
entonces halle el intervalo positivo de su dominio.
A) [4; 5〉 
B) 〈1; 5] 
C) 〈2; 6]
D) [1; +∞〉 
E) 〈– ∞; 2]
27. Halle el rango de la función
f
x
x
xx( ) = +
+2
> −
1
1
1;
A) 2 2 2;
B) 2 2 2− + ∞;
C) 2; + ∞
D) 〈0; +∞〉
E) 2 2 2 − + ∞ ;
NIVEL INTERMEDIO
28. Sean los conjuntos
A={1; 2} ; B={1; 2; 3; 4}
se define f: A2 → B
tal que f(x; y)=x+y.
Halle la suma de elementos del rango.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
29. Si f es una función definida por
f(x)=|x – 4|+|x – 5|+3 con x ∈ [1; 6]
entonces indique su rango.
A) [4; 10] 
B) 〈4; 10] 
C) [4; 10〉
D) 〈4; 10〉 
E) 〈4; +∞〉
Álgebra
28
30. Si f es una función definida por
f
x x
x x
x
x
x( ) =
− >
− − − ≤ ≤
< −





5 2 2
1 2 2 2
2
2
2
;
;
;
entonces indique su rango.
A) [ – 2; 1] ∪ 〈2; +∞〉
B) 〈 – 2; 1] ∪ 〈2; +∞〉
C) [1; 2]
D) 〈1; 2]
E) 〈 – 1; 2]
31. Sea f es una función definida por
f: A → R / (x – 2)f(x)+f( – x)=3
Indique A.
A) R
B) R – {3; – 3}
C) R − −{ }3 3;
D) −{ }3 3;
E) {3; – 3}
32. Si f es una función definida por
f
x
xx
( ) =
−
+
1
12
entonces halle su rango.
A) R – {0}
B) 
2 1
2
2 1
2
− +


;
C) −




2
2
2
2
;
D) −
+( ) −



2 1
2
2 1
2
;
E) − 2 2;
33. Dada la función
f
x x
x
xx( ) =
+
− −
2
2
2
3 1
�
�
��
�
�
��
de Dom f=〈1; 2〉
Señale el valor mínimo de f.
A) 8/3 B) – 4/5 C) – 3/8
D) – 13/4 E) – 11/5
34. Halle Dom f ∩ Ran f si
f x
xx
( ) = + − +
−
2 5
1
5
A) 〈5; +∞〉 B) 〈5; 7〉 C) 〈5; 8〉
D) 5
9
2
; E) f
35. Halle el rango de la función
f
x
xx( )
=
−
2
2
A) 〈 – ∞; 0] ∪ [8; +∞〉
B) 〈 – ∞; 0] ∪ [4; +∞〉
C) 〈 – ∞; 0] ∪ [6; +∞〉
D) 〈 – ∞; 0] ∪ [2; +∞〉
E) R – {1}
NIVEL AVANZADO
36. Si f x xx( ) = − −1
determine el rango.
A) [0; 1] B) [1; +∞〉 C) [ – 1; 1]
D) 
2
2
1;



 E) −




2
2
2
2
;
37. Determine el dominio de la función f
si A → R
x → f(x)
tal que
f
x x x x
xx
( ) =
− −5 3 6
3
6 2
A) 〈 – 2; 2〉 – {0}
B) [ – 2; 2]C
C) 〈 – ∞; – 3〉 ∪ 〈3; +∞〉
D) 〈 – ∞; – 2] ∪ [2; +∞〉
E) R
Álgebra
29
38. Considere
f x x x xx( ) = − +( ) − −16 22 sgn � �
Halle el Dom f.
A) { – 8; – 7; ...; 7; 8}
B) { – 16; – 15; ...; 15; 16}
C) { – 12; – 11; ...; 11; 12}
D) { – 6; – 5; ...; 5; 6}
E) Z
39. Sea la función f, tal que
f a x a x a xx n( ) = − + − + + −0 11 1 1...
impar y a0 a1 a2 ... an < 0
Halle el dominio de f.
A) 〈0; 1] 
B) [ – 1; 1] 
C) [a1; an]
D) 〈a1; an〉 
E) f
40. Dada la función f, cuya regla de corresponden-
cia es
f x x x x x x xx( ) = − + − + − − − −( )2 2 5 2 2 2 12 2 2 1 2/
indique un rango.
A) R0
+ 
B) {0} 
C) 〈1; +∞〉
D) {1} 
E) [0; 1]
Álgebra
30
Gráficas de funciones reales I
NIVEL BÁSICO
1. Esboce la gráfica de la función
f
x
xx( )
=
− sgn
2 1
A) 
X
Y B) 
X
Y
1/2
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
2. Indique la pendiente de la función lineal 
f: R→R , tal que f(2)=3; f(3)=2f(4).
A) 2 B) – 1 C) 1
D) – 2 E) 3/2
3. Determine la gráfica de A(x)=ax
2+bx+c si se 
sabe que pasa por (0; 1), (2; – 7) y (1; – 5).
A) 
X
Y
1 2
– 5
– 7
B) 
X
Y
1 2
– 5
– 7
C) 
X
Y
1 2
– 7
D) 
X
Y
1 2
– 7
E) 
X
Y
1 1
– 5
4. Dadas las gráficas de funciones cuadráticas, 
determine el área sombreada en función de .

X
Y
y= – x2+4
y=x2 – 4
A) 


2
162−( ) B)  
3
82−( ) C)  
2
82−( )
D) 


2
16 2−( ) E)  
4
162−( )
5. Indique la gráfica más aproximada para la fun-
ción f de regla de correspondencia.
f
x x
xx( )
=
+
3
A) 
X
Y
– 1
1
B) 
X
Y
– 1
1
C) 
X
Y
– 1
1
D) 
X
Y
– 1
1
E) 
X
Y
1
Álgebra
31
6. Calcule el área comprendida entre las gráficas 
de las funciones
f(x)=|x – 3| y g(x)=5 – |x – 4|
A) 15 u2 B) 18 u2 C) 20 u2
D) 16 u2 E) 12 u2
7. Se sabe que f a x bx( ) = − + es una función, tal 
que f(0)=1 y f(3)=0. Esboce su gráfica.
A) 
X
Y
– 1
3
 B) 
X
Y
– 1 3
C) 
X
Y
– 1
3
D) 
X
Y
– 1
 E) 
X
Y
– 1
3
NIVEL INTERMEDIO
8. Sea f una función cuya gráfica se muestra a 
continuación.
1
4
a
X
Y
– 1– 3 1 b
valor
absoluto
raíz cuadrada
Calcule a+b.
A) 7 B) 9 C) 11
D) 13 E) 15
9. Si f(x)=ax
2 – 2ax+3 de raíces x1, x2 y x1<1<x2, 
halle los valores de a.
A) 〈 – ∞; 3] B) 〈 – ∞; 2] C) 〈 – ∞; 1]
D) 〈 – ∞; 0〉 ∪ 〈3; +∞〉 E) 〈0; 3〉
10. Sea f(x)=(a – 2)x
2+ax+a una función cuya re-
presentación gráfica es la siguiente.
X
Y
x0
Indique el valor de (3a+x0).
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10
11. Se muestra la gráfica de la función definida por
f x bxx( ) = − + −
1
2
22
Halle el menor valor entero que admite.
A) – 3 
X
Y
0B) – 2 
C) – 1
D) 0 
E) 1
12. Dada la gráfica de la función f.
X
Y
m
f(x)=2 –|x – n|
1
Calcule n+f(m).
A) 1 B) 2 C) 3
D) 3/2 E) 1/2
Álgebra
32
13. Calcule el valor de m si las gráficas de las fun-
ciones f
x
g x mx x( ) ( )= = − −
2
8
; en el plano car-
tesiano son
X
y=g(x)
y=f(x)
Y
P
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 1/2
14. Se muestran los siguientes gráficos.
X
g
f
Y
– 2
3
– 1
1
Indique para qué valor de m se cumple la si-
guiente relación.
f(x) · g(x) · (x
2+4x+7)(mx2+3x+m – 1) > 0;
∀ x ∈ R
A) m ∈
+
0
1 10
2
;
B) m ∈ R
C) m ∈
−
+ ∞


1 10
2
;
D) m ∈
−1 10
2
0;
E) m ∈ −∞
−
;
1 10
2
15. Sean f(x)=2x – n y g(x)=x
2+mx – 4 dos funcio-
nes cuyas gráficas se muestran. Si {m; n} ⊂ Z, 
calcule la suma de las coordenadas del punto P.
X
Y
P
– 8
A) – 8 
B) – 6 
C) – 10
D) – 12 
E) – 7
NIVEL AVANZADO
16. Sea f una función cuya gráfica se muestra en el 
plano cartesiano.
– 3 2 4
4
6 X
Y
parábola
Si g(x)=f(1 – x)+x, calcule el valor de 
g(2)+g(0)+g( – 2)
A) 23/3 
B) 22/3 
C) 20/3
D) 8 
E) 6
Álgebra
33
17. Sean las funciones f ∧ g
f(x)=px+q g(x)=bx
2+cx+d
Calcule el área de la región mostrada en el pla-
no cartesiano.
V
X
Y
(1 – a; 0)
(a; 2a – 1)
y= – 10
(– 1; – a)
α
tanα=2
A) 5/2 B) 25/4 C) 10/3
D) 25/2 E) 25/3
18. Halle el rango de la función f(x)=|x
– 1|+|x – 2|+|x – 3|+|x – 4|
A) [1; +∞〉 
B) [2; +∞〉 
C) [3; +∞〉
D) [4; +∞〉 
E) [5; +∞〉
19. Sea f(x)=mx+b donde m es el mayor entero po-
sible de la función lineal cuya gráfica se mues-
tra. Calcule el área de la región sombreada.
2
b
f X
Y
a
2
a+b
2
–
A) 3/4 B) 3/2 C) 9/2
D) 9/4 E) 3
20. Dada la gráfica
X
Y
y=px+b y=qx+a
S(x)S(x)
además b2=(q – 2)(q – p)p.
Determine el mayor valor del área sombreada.
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) 1/4 E) 1/3
Álgebra
34
Gráficas de funciones reales II
NIVEL BÁSICO
1. Determine el gráfico de F si
F x
x
x x=   ∈ ∧ <
;
1 1
100
R
A) 
X
Y
100
1
100
B) 
X
Y
100
1
100
C) 
X
Y
100
1
100
D) 
X
Y
– 100
1
100
E) 
X
Y
100
1
100
2. Grafique A(x)=(x – 3)
2(x+2)(x – 5)(x – 7)3
A) 
X
Y
– 2 3 5
7
B) 
X
Y
– 2
– 1 5 7
C) 
X
Y
– 2 3 5
D) 
X
Y
– 2 3
5
7
E) 
X
Y
– 2 3
5
7
3. Bosqueje la gráfica de la siguiente función.
f(x)=x
2(4 – x2)
A) 
X
Y
B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y
E) 
X
Y
4. Dada la función f(x)=x
2 – x, grafique f x( ) .
A) 
Y
X
B) 
Y
X
C) 
Y
X
D) 
Y
X
 E) 
Y
X
Álgebra
35
5. Sea f una función real cuya gráfica es
Y
X
f
Esboce la gráfica de h(x)=f(|x| – 1).
A) 
Y
X
B) 
Y
X
C) 
Y
X
D) 
Y
X
E) 
Y
X
6. Dada la siguiente gráfica.
Y f (x)
X1
1
determine la gráfica de g(x)= – f(1 – x).
A) 
Y
X
B) 
Y
X
C) 
Y
X
D) 
Y
X
E) 
Y
X
7. Si f es una función cuya gráfica es la siguiente, 
esboce la gráfica de f(1 – |x|).
X
Y
– 1 1
4
A) 
X
Y
– 1
– 1 1 B) 
X
Y
– 1– 4 4
C) 
X
Y
– 1 4
D) 
X
Y
– 2 2
E) 
X
Y
Álgebra
36
NIVEL INTERMEDIO
8. Sea P(x) un polinomio mónico de menor grado 
posible cuya gráfica es
X
Y
– 3 20
4
P
Si (5; 8l) ∈ P, entonces, indique el valor de l.
A) 3 B) 36 C) 24
D) 20 E) 18
9. Si f es una función definida por
f
x
xx( )
=
+
−
2
2
entonces indique la figura que mejor represen-
ta la gráfica de f(|x|).
A) 
Y
X
 B) 
Y
X
C) 
Y
X
D) 
Y
X–1
 E) 
Y
X
– 1
10. Si f es una función definida por f(x)=x
2 – 6x
x ∈ [1; 4], entonces indique la figura que mejor 
representa la gráfica de g(x)=|f(|x|)|.
A) 
Y
X
B) 
Y
X
C) 
Y
X– 4 – 3 3 4
D) 
Y
X– 4 – 3 3 4
E) 
Y
X– 4– 3 3 4
11. Determine la gráfica de la siguiente función.
f
x
xx( )
=
− 2
A) 
X
Y
1
2
B) 
X
Y
1
2
C) 
X
Y
1
2
D) 
X
Y
2
2
 E) 
X
Y
2
2
Álgebra
37
12. Sea
X
Y
– 3 – 2 – 1 5
2
4
F
grafique g(x)=|1 – |F( – x)||.
A) 
X
Y
B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y
E) 
X
Y
13. Si la gráfica de la función f es
X
Y
– 3 – 2 – 1
2
1
determine la gráfica de f( – |x – 1|) – 1.
A) 
X
Y
– 1 1
B) 
X
Y
– 2 – 1
1
C) 
X
Y
– 1
1
2 3
D)X
Y
1
 E) 
X
Y
2 3
14. Sea f: 〈0; +∞〉 → R, tal que
f
X
Y
1
entonces indique la gráfica de 1/f.
A) 
X
Y
1 B) 
X
Y
C) 
X
1
Y
D) 
X1
Y
E) 
X
Y
1
Álgebra
38
15. Determine la gráfica de la función
f xx( ) = − − +( )2 9 2 2
A) 
X
1
Y
B) 
Y
X
C) 
Y
X
D) 
Y
X
E) 
Y
X
NIVEL AVANZADO
16. Indique la gráfica de la función
f x x xx( ) = − ∈[ ]� � � �; ;0 4
A) 
X
Y
2 3 4
B) 
X
Y
2 3
4
C) 
X
Y
2 3 4
D) 
X
Y
2 E) 
X
Y
2 3 4
17. Grafique
f x
x x
xx
( ) = − ⋅
−
− +



25
100
2 1
2
13
sgn
A) 
X
Y
52
B) 
X
Y
52
C) 
X
Y
52
D) 
X
Y
52
E) 
X
Y
52
18. Se muestra la gráfica de f.
X
Y
– 2
2
1 2
3 4
0
Grafique g f xx( ) = ( )
1
2
2 .
A) 
X
Y
– 1
1
1 2 B) 
– 1
1
X
Y
1 2
C) 
X
Y
– 2
2
1 2
D) 
– 1
1
X
Y
2 4 E) 
X
Y
– 2
2
1 2
Álgebra
39
19. En la gráfica adjunta se muestra f. Determine 
el conjunto solución de
f x2 9 0( ) − ≥
X
Y
– 3
2
– 5
5 7
3
A) 〈0; 2] ∪ [5; 7]
B) 〈0; 2]
C) [5; 7]
D) 〈0; 7]
E) R
20. Si la gráfica del polinomio
P(x)=x
4+ax3+bx2+cx+1 es
α β σ
X
Y
P
punto de tangencia
halle el menor valor de a+2b+q.
A) 4 
B) 0 
C) 2
D) 6 
E) 8
Álgebra
40
Gráfica de relaciones
NIVEL BÁSICO
1. Determine (m+n) si la relación
R={(2; a); (m; 3b); (n; 6); (a; b+1)}
es una relación simétrica.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
2. Determine el número de elementos de la se-
gunda relación.
R={(a; b) / ab=4(a+b)}
A) 4 B) 6 C) 8
D) 10 E) 5
3. El eje X y las rectas L 1: y=– x+5 y L 2: y=2x – b; 
b > 0 forman un triángulo de área 3 unidades 
cuadras. Indique el punto de intersección de 
las rectas L 1 y L 2.
A) (3; 2) B) (4; 3) C) (5; 4)
D) (3; 4) E) (2; 3)
4. Determine el área de la región generada por 
la relación
R x y x y
x
= ≤ ≤
+
( ; )
4
2
A) 10 B) 8 C) 12
D) 6 E) 9
5. Sea la relación
R={(x; y) ∈ R2 / 9 ≤ x2+y2 ≤ 16}
Determine el dominio de la relación.
A) 〈3; 4〉 
B) [9; 16] 
C) [– 4; 4]
D) [3; 16〉 
E) 〈4; 9]
6. Indique las inecuaciones que corresponde a la 
gráfica mostrada.
X
Y
– 5 – 2
– 2
2
2
5
5
– 5
corresponde a
A) 2 ≤ x ≤ 5 ∧ 2 ≤ y ≤ 5
B) 2 ≤ x+y ≤ 5
C) 2 ≤ |x|+|y| ≤ 5
D) 2 ≤ |x+y| ≤ 5
E) 2 ≤ |x| ≤ 5 ∧ 2 ≤ |y| ≤ 5
NIVEL INTERMEDIO
7. La gráfica de la relación
R={(– 3; 3), (b; 7), (7; 6), (3; a)}
resulta ser los vértices de un paralelogramo, 
y los pares (b; 7), (3; a) representan vértices 
opuestos. Determine (a+b).
A) 4 
B) 5 
C) 6
D) 2 
E) 3
8. La relación
R={(x; y) ∈ R2 / y=mx+b, x ∈ [– 2; 0]}
representa la mediana del triángulo que tiene 
por vértices los puntos de coordenadas (– 4; 0), 
(0; 0), (0; 3). Halle (m+b); m ≥ 0.
A) 9/2 
B) 7/2 
C) 4
D) 11/2 
E) 5
Álgebra
41
9. Indique la gráfica de la relación R, tal que
R x y
x
y
x
= ∈ ≤ ≤
( ; ) R
2
22
4
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
10. Grafique la relación
R={(x; y) ∈ R2 / (x2+y2 – 1)(y – x2) ≥ 0}
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
11. Indique la gráfica de la relación
R x y y x y= ∈ ≤ − − ∧ ≥{ }( ; ) R2 2 1 0
A) 
X
Y 
B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y
E) 
X
Y
12. Halle el área de la región
R={(x; y) ∈ R2 / |x – 2| – 2 ≤ y ≤ 2 – |x – 2|}
A) 2 u2 B) 6 u2 C) 4 u2
D) 8 u2 E) 10 u2
13. Determine el área de la región
R x y y x= ∈ ≤ ≤ − −( ){ }( ; ) R2 20 4 2
A) 4p u2 B) p u2 C) 
p
9
2u
D) 2p u2 E) 16p u2
Álgebra
42
14. Grafique la relación R.
R={(x; y) ∈ R2 / x3 ≤ y ≤ |x+2| – |x – 2|}
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
NIVEL AVANZADO
15. Dadas las relaciones
f={(x; y) ∈ R2 / x+2y < 1}
g={(x; y) ∈ R2 / (x – 1)2+(y – 1)2=r2}
Si r ∈ A, para que g ∩ f=f, determine la longitud A.
A) 
4
5
 B) 
3
4
2 C) 
5
5
D) 
4
5
5 E) 2 5
5
16. Grafique la relación
R x y x y x y x y= ( )∈ + − ≤ ∧ − ≤ ∧ − + ≥{ }; R2 2 2 216 0 0 4 0
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
17. Sean las relaciones
R1={(x; y) ∈ R2 / y ≤ – |x – 1|+2}
 R x y y x2
2 1 1= ∈ ≥ − − −{ }( ; ) /R
grafique R1 ∩ R2.
A) 
X
Y
1
1
 
B) 
X
Y
– 1 1
2
C) 
– 1
X
Y
1
1
D) 
X
Y
– 1
1
2
 
E) 
X
Y
1
2
Álgebra
43
18. Halle la gráfica del sistema
x y x
y x
2 2
2
2+ <
≤



A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
19. Grafique
Z Z Z Z
Z
Z
∈ + ≥ ∧
+
+
≤

C / 2
2
1
1
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y
– 1
E) 
X
Y
– 3/2
20. Grafique el siguiente conjunto.
T Z Z Z Z= ∈ − + ≥ ∧ − ≤ ≤{ }C / Re( ) arg2 0 4 4pi pi
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
Álgebra
44
Álgebra de funciones
NIVEL BÁSICO
1. Dadas las funciones
f={(1; 2), (0; 3), (– 2; 1), (3; – 1), (4; 0)}
g(x)=x
2 – 1; x ∈ 〈– 2; 4]
halle la suma de los elementos del rango de 
(2f+g).
A) 25 B) 30 C) 15
D) 12 E) 5
2. Sean las funciones
f={(4; 3), (3; 2), (1; 0), (0; 0), (2; 1)}
G x xx( ) ; ;= + ∈ −3 3 3
además (G2+f )(a)=3.
Según ello, determine el valor de a.
A) 4 B) 1 C) 2
D) 0 E) 3
3. Si F(x)=x
3
G={(1; 1), (2; 4), (0; 0), (– 1; 1)}
halle la suma de elementos del rango de
F G
G
+ 2
A) 1 B) 3 C) 4
D) 8 E) 7
4. Halle el rango de la función
h x xx( ) = + + −2 2
A) 2 2 2; 
B) 0 2; 
C) 〈0; 2]
D) 〈2; 4〉 
E) 〈– 1; 2〉
5. Dadas las funciones
f(x)=3x
2 – 1; x ∈ 〈– 2; 6〉
g(x)=2x – 1; x ∈ 〈– 1; 1〉
calcule el Dom(f o g).
A) −
1
2
7
2
; B) −
1
2
1; C) 0
D) 〈0; 4〉 E) 〈– 1; 7〉
6. Dadas las funciones
f(x)=2x – 5; 3 < x ≤ 5
g
x
xx
x
( ) ;=
+
−
< ≤
1
1
1 3
determine ( g o f )(x).
A) 
x
x
x
−
−
< ≤
2
3
3 5;
B) 
x
x
x
−
−
< ≤
3
2
3 5;
C) 
x
x
x
−
−
< ≤
2
3
3 4;
D) 
x
x
x
−
−
< ≤
3
2
3 4;
E) 
x
x
x
−
−
< ≤
4
3
3 4;
NIVEL INTERMEDIO
7. Dé el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones.
I. Las funciones 
f x g xx x( ) ( )= −( ) = −5 52
2
y son iguales.
II. Si f x g xx x( ) ( );= = − , entonces
(f+g)(x)=0.
III. Si f x xx( ) ; ;= ∈



0 2
pi
 y
g x xx( ) sen ; ;= ∈



0 2
pi
entonces el Ran( ) ;f g+ = +


pi
0 1
2
A) VFF 
B) FVF 
C) FVV
D) VVF 
E) VVV
Álgebra
45
8. Se definen las funciones
f={(– 1; 2), (2; 2), (3; 7), (4; 3), (5; – 3)}
 
g x
x
xx( )
sgn= +
−
+



2
2
2
si – 1 < x < 9 y h=f+g, halle la suma de ele-
mentos del CS de h(x) > 6.
A) 5 B) 9 C) 7
D) 8 E) 14
9. Dadas las funciones
f, g, h; tal que
x x x xf g h → + ←  −  → −1 1 1
halle (f o g o h)(x).
A) x+3 B) x+1 C) 2x+1
D) – x+5 E) 6 – 2x
10. Sean las funciones
f x xx( ) ;= + − ≤ <1 1 2
g
x x
x x
x( )
;
;
=
<
− ≥



� � 0
1 02
Determine la gráfica de f o g.
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
11. Dadas las funciones
f
x
x
x xx( ) ;=
+
−
+ >
2
1
23
g(x)=2x; x ∈ 〈– 1; 5]
halle el dominio f o g.
A) 〈1; 5] B) 〈3; 7〉 C) R
D) 〈0; 5〉E) f
12. Sea las funciones
g x xx( ) = −� � 9 2
h
xx( )
= 1� �
grafique (g · h)(x).
A) 
X
Y
3
3– 3
B) 
X
Y
3
3– 3 1
C) 
X
Y
3
– 3
D) 
X
Y
31
E) 
X
Y
3
3
13. Dadas las funciones
f(x)=x
2 – 1; x ∈ 〈– 1; 4〉
g(x)=5x+1; x ∈ 〈0; 3]
grafique (f o g).
A) 
X
Y B) 
X
Y
C) 
X
Y
D) 
X
Y E) 
X
Y
Álgebra
46
14. Si f(senx+cosx)=sen2x
halle Ran(f ).
A) [– 1; +∞〉
B) [0; 2]
C) [0; + ∞〉
D) [– 1; 1]
E) [– 2; 2]
NIVEL AVANZADO
15. Dada la función f: [0; 1〉 → R
halle la intersección de los dominios de
f(2x2) y f(x+1).
A) −
1
2
1
2
;
B) 1; 2
;C) 0
1
2
D) [0; 1〉
;E) −
1
2
0
16. Halle el rango de la función
h x xx( ) = − − + +9 3 3
2
A) 3 6 0− ;
B) [0; 3]
C) 0 6 3; − 
D) 0 3; 
E) 3 6 3− ;
17. Grafique la función (f · g)
donde
f
x x x x
x x
x
x( )
sgn ;
;
=
− +( ) − ≤ <
+ +
≥



2
2
3 10 5
2
5
1
2
5
�
�
���
�
�
���
g
x x x
x
x
x
x( )
;
;
=
− + − < −
−
≥



5 3 4
2
22
A) 
X
Y
2
– 4– 10
5
B) 
X
Y
2– 4– 10 5
C) 
– 2 X
Y
– 4– 10 5
D) 
X
Y
2
– 4– 10
5
E) 
X
Y
– 2
– 4– 10
5
18. Sean las funciones
f x
x
x
xx( ) sgn ;=
−
−



 ≤ ≤2
3
5
6 12
g x
x
x xx( ) ;= −
−
+ ≤ <2
1
4
3 3 52
�
��
�
� �
�
�
�
�
Esboce la gráfica de (f o g).
A) 
X
Y
3 4
B) 
X
Y
C) 
X
Y
3 4
D) 
X
Y
3 5
E) 
X
Y
3 5
Álgebra
47
19. Si se conoce f x
x
xx( ) ; ;=
+
+
∈[1
2
0 6
y g x x xx( ) ; ;= − + ∈[2 4 8 0 2
determine el dominio de (f o f)(x) – (g o f)(x).
A) [0; 6〉
B) [0; 2〉
C) 〈2; 6〉
D) [2; 6]
E) 〈3; 6〉
20. Sean
f x C x C x C g x xn
n n n n
n
n
n
n( ) = + + + ( ) =−0 1 1 ... ;
funciones reales de variable real.
Resuelva la ecuación
g f g f
g f g f
x
x
2 2 3 3
4 4 5 5
2
o o
o o
+( )
+( ) =
−
( )
( )
Halle el número de soluciones.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) más de 3
Álgebra
48
Función inversa
NIVEL BÁSICO
1. Halle x2+y2 si se sabe que
f={(5; – 1), (– 3; 2), (2x – y; –1), (y – x; 2), (x; x2+y2)}
es una función inyectiva.
A) 1 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
2. Sean las funciones f: A → B; f(x)=x+3 biyectiva;
además g: B → 〈3; 7〉; g(x)=2x+1; sobreyectiva.
Halle el número de elementos enteros del con-
junto A.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
3. Sea f: A → R una función tal que
f
xx
x
( x A) ; ;=
−
+2
∈ =
3
1
7
2
9
2
halle f * si existe.
A) f
x
xx
x
( ) ; ;
∗
=
+
−
∈
3
2
24
7
4
B) f
x
xx
x
( ) ; ;
∗
=
+
−
∈
3
2
7
2
4
C) f
x
xx
x
( ) ; ;
∗
=
−
+
∈
2
3
24
7
4
D) f
x
xx
x
( ) ; ;
∗
=
−
+
∈
2
3
7
2
9
2
E) No existe f *
4. Sea J
x x
xx( ) ;=
+ +
≤
4 2
0
2
4 2
Calcule J J2
7
1



∗
−
+ ( ).
A) – 3/7 
B) – 5/7
C) 1/7
D) 3/7
E) 5/7
5. Si f x
x
gx xx( ) ( );=
+
−
= +∗
1
1
1
f * o h=g*, halle h(x)
* .
A) 
2 − x
x
 B) 
2
1x −
 C) 
2+ x
x
D) 
x
x
− 2
 E) 
2
1
x
x −
6. Si f es una función definida por
f(x)=x|x|+1, entonces ¿cuál es la gráfica de f 
*?
A) 
X
Y
– 1
1
B) 
X
Y
– 1
1
C) 
X
Y
– 1
1
D) 
X
Y
– 1
1
E) 
X
Y
NIVEL INTERMEDIO
7. Sean las funciones
f={(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)}
g={(1; 1), (2; 4), (3; 2), (4; 3)}
Calcule la suma de elementos del rango de la 
función.
f o (f o (f o g*))
A) 2
B) 7
C) 9
D) 10
E) 15
Álgebra
49
8. Respecto a la función f A: ;→ − + ∞1
2
tal que A f
x
xx
= − =
−
1 1
1
; ( )y
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
I. f es inyectiva
II. f es sobreyectiva
III. No existe f*
A) VVF B) VVV C) FVF
D) VFF E) FFV
9. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de cada proposición.
I. f
f
x
xx
: ; ;
( )
−[ → −∞ ]
=
+
−
1 1 0
1
1
 es sobreyectiva
II. f x x xx( ) , ;= − − + ∈ −5 5 2 1 0
2
es inyectiva.
III. f
x x
x
xx( )
;
;
=
− <
>



2 0
1
0
tiene inversa
A) VVF 
B) FFV 
C) VVV
D) VFV 
E) FFF
10. Sea la función
f: [5; 6] → [a; b]
cuya regla de correspondencia es 
f(x)=x
2 – 8x+7
Halle (a+b) para que f(x) sea biyectiva.
A) 12 5
53
2
, + B) − +3 5
53
2
, C) − +8
53
2
D) 4 5
53
2
, + E) − +12 5 53
2
,
11. Sea la función
f: [0; 6] → [– 4; 4]
4
6
– 4
X
Y
según ello, dé los valores de verdad (V) o false-
dad (F) de las siguientes proposiciones.
I. f es biyectiva
II. |f| no es biyectiva
III. Existe g*; donde g f fx x x( ) ( ) ( )= +
A) VVV B) VVF C) FVV
D) VFF E) FFV
12. Si se sabe que f xx( ) = + −2 1
halle la gráfica f *.
A) 
1
2
3
X
Y
B) 
1
2 X
Y
C) 
1
2 X
Y
D) 
1
2 X
Y
E) 
1
2
4
X
Y
Álgebra
50
13. Sea la función
f x x x x= − +( ) − ≥{ }; /2 2 4 1 0
Determine la gráfica de f * si existe.
A) 
1
3 X
Y B) 
1
3 X
Y
C) 
1
3 X
Y
D) 
1
3 X
Y E) 
1
– 3 X
Y
14. Si se sabe que h(x+3)=x
3+9x2+27x
además f hx x( ) ( )= +
∗ 33
calcule f f
∗
+( )( )37 1 .
A) 96 B) 17 C) 37
D) 98 E) 99
NIVEL AVANZADO
15. Dadas las funciones reales f
x
xx( )
=
+1
g
x
xx( ) ;= ≠
1
0 halle el dominio de de f * o g*.
A) 〈– 1; 1〉 B) 〈1; +∞〉 C) 〈– ∞; – 1〉
D) 〈– 1; 1〉 – {0} E) 〈– 2; 2〉
16. Se sabe que
f g f fo 2
5
2
5
3
4
3
4
4
3
1
2










∗
= = =; ;
Determine f g g f fo 1
2
1
2
4
3
1
2




∗ 



∗ 



∗ 



+ + +
si f ∧ g son funciones biyectivas.
A) 1 B) 3/4 C) 1/2
D) 157/30 E) 173/60
17. Sea f: 〈1; 5〉 → 〈a; b〉
f
x x
x
x
( ) =
−
+ +
2
2
4
5 6
Halle (a+b) si f es una función suryectiva.
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/21
D) 1/8 E) 2/21
18. Determine la función inversa de
f
x x x
x
x
x( )
;
;
=
− + + − ≤ ≤
−
+
< <




2 2 1 1
1
2
2
7
1
2 4
A) f
x x x
x
x
x
−
=
− + ∈




+
−
∈ − − { }





1
21
2
8 4 9 1
5
2
5 1
3
3
5
0
; ;
; ;
B) f
x x x
x
x
x
−
=
− + −( ) ∈


+
−
∈ −





1
21
2
1 5 8 4 1
5
2
5
2
1
3
3
5
; ;
; ;
C) f
x
x
x− =
+
−

∈ −
1 5
2
1
3
3
5
; ;
D) f
x x
x
x
−
=
+ ∈[ ]
−
−
∈ −





1
29
4
1 2
1
5
2
1
3
3
5
; ;
; ;
E) No existe f – 1
19. Dé los valores de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones acerca de la 
función.
f x x x xx( ) = − − − + − −
2 28 12 4
I. Existe f x( )
∗
II. f(x) tendrá inversa para x ∈ 〈– 3; – 2〉
III. f(x) es inyectiva si x ∈ 〈– 4; – 3〉
A) FVF B) VFV C) FFV
D) VVV E) FVV
Álgebra
51
20. Determine la gráfica de la función inversa de
f
x x
x x
x
x
x
2 1
2
2
1
1
0
+


=
+ +
− +
>;
A) 
1
3
21 X
Y
B) 
1
2
31 X
Y
C) 
1
– 1 X
Y
D) 
1
3
21 X
Y
E) 
1
3
21 X
Y
Álgebra
52
Funciones exponenciales y logarítmicas
NIVEL BÁSICO
1. Determine el rango de la función exponencialf(x)=5
 – x2+6x – 8+2 si x ∈ R.
A) 〈– ∞; 7]
B) 〈2; 7]
C) 〈2; +∞〉
D) [2; 7〉
E) 〈1; 8]
2. Grafique la función exponencial
f(x)=2
1 – |x|
A) 
2
X
Y B) 
2
X
Y
C) 
2
X
Y
D) 
2
X
Y E) 
2
X
Y
3. Luego de resolver la inecuación exponencial
2
3
9
4
2 3 1 2


 >




− − −x x x
se obtiene como CS=〈a; b〉.
Determine a – b.
A) 2 6 B) −2 6 C) − 21
D) 6 E) – 2
4. Determine el dominio de la función
f x x( ) ( )log log= ( )−2
A) x > 10
B) 0 < x < 2
C) x > 1
D) x > 3
E) 0 < x < e
5. Determine la gráfica de la función logarítmica
f xx( ) log= −2 1
A) 
– 1 1 X
Y
B) 
21 X
Y
C) 
– 1
– 2 2
1 X
Y
D) 
– 1– 2 21 X
Y
E) 
– 1 1
X
Y
6. Resuelva la inecuación logarítmica
ln(x2 – 1) ≤ ln(1 – x)
A) 〈– ∞; – 1〉 ∪ 〈1; +∞〉
B) 〈– 1; 2]
C) 〈– ∞; – 1〉
D) 〈– ∞; – 2] ∪ 〈– 1; +∞〉
E) [– 2; – 1〉
Álgebra
53
NIVEL INTERMEDIO
7. Halle el valor de x que satisface la ecuación
a3 – x · b5x – 1=ax+5 · b3x+1
A) 
log log
log log
b a
b a
+
−
B) 
1
log logb a−
C) loga+logb
D) logb – loga
E) 
log log
log log
b a
b a
−
+
8. Determine la gráfica de la función
f x
x
( ) = −
−2 11
A) 
X
Y
−1
−1
1
1
B) 
X
Y
−1
2
1
C) 
X
Y
−1 1
1
D) 
X
Y
−1 1
1
E) 
X
Y
−1 1
2
1
9. Determine el producto de soluciones en la si-
guiente ecuación exponencial.
5 8 102x
x
x
⋅ =
+
A) – 2[log52 – 1]
B) log52 – 1
C) log25+1
D) – 2[log25+1]
E) – 2[log52+1]
10. En un laboratorio se observa que una pobla-
ción de bacterias después de t minutos está 
dada por f(t)=10 000 e
kt. Si la población inicial 
aumentó en 25 % en 10 minutos, determine la 
población después de 20 minutos.
A) 100 000 B) 15 625 C) 1020
D) ln10 000 E) 625
11. Resuelva log16(log4(2 – x2)) < 0
Dé como respuesta la suma de los extremos 
finitos del conjunto solución.
A) – 1 B) 2 C) – 2
D) 0 E) 1
12. Determine el conjunto solución.
log log1
2
2
2
2
28 15 3 2x x x x− +( ) < − +
A) 〈0; 1〉 B) f C) 2
13
5
;
D) 〈2; 3〉 E) 
13
5
3;
13. Determine la gráfica de la función
f xx( ) log= −( ) +2 1 1
A) 
X
Y
1
1–1
B) 
X
Y
1– 1
C) 
X
Y
1
2
1–1
D) 
X
Y
1–1
E) 
X
Y
1–1
Álgebra
54
14. Resuelva x < ln(e2 – 1+e2 – x) e indique el nú-
mero de soluciones enteros positivos.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 10 E) 23
NIVEL AVANZADO
15. Determine el rango de la función f.
f x
x x
( ) =




− + −1
2
16 2 2 2
A) [2 – 6; 214]
B) 〈1; +∞〉
C) [2 – 4; 218]
D) [2 – 14; 2 – 6]
E) 〈0; +∞〉
16. Si f x
x x
( ) =
− + +21
4 2 1 es sobreyectiva
tal que f a b: ; ;[ ] →  − −2 220 2
determine a+b ({a; b} ⊂ R– )
A) – 2 B) – 1 C) – 3
D) – 4 E) – 5
17. Luego de resolver la ecuación
log 3 1 3
3
x
x( )
−  =
halle el valor de log3x.
A) 3 1
2
+ B) 3 1+ C) 3 1
4
+
D) 3 1
2
− E) 3 1
4
−
18. En la ecuación x x
x x
− + =2 2 2
determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguientes proposiciones.
I. Presenta 2 soluciones reales.
II. Presenta 3 soluciones reales.
III. No tiene solución real.
IV. Una solución se encuentra en el intervalo
2 2; .
A) VFFF B) FFVF C) FVFV
D) FVVV E) VVFF
19. Indique el número de soluciones en
2
1
2 2 2
2
x x x
x
− −
=
−
A) 1 B) 0 C) 2
D) 3 E) 4
20. Si e a a a a a1
5 25 35 45 55+ + + +
es solución de la ecuación logarítmica
ln ln ln ln ln5 4 5
4 3 103 2 10 5 1x x x x x− − − = +
donde a1, a2, a3, a4, a5 ∈ Z
+
determine a1+a2+a3+a4+a5.
A) 32 B) 31 C) 33
D) 34 E) 35
Álgebra
55
Sucesiones reales
NIVEL BÁSICO
1. Determine el n-ésimo término de la sucesión
3 4
27
5
48
7
; ; ; ; ...

A) 2
3 1
2n
n+
B) 
3
2 12
n
n −
 C) 
2
3 1
2n
n −
D) 3
2 1
2n
n −
E) 3 1
2
2n
n
−
2. Se definen las sucesiones
{an} / an=n
2+10n+1
 {bn}={8; 15; 22; 29; 36; ...}
¿A qué valor converge la sucesión 
n bn
an
⋅
?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
3. Considerando la sucesión
an=an – 1+8(n – 1); ∀ n > 1 ∧ a1=1
halle el término enésimo y lím
n na→∞
+



5
1
A) (2n+1)2; 0
B) (2n – 1)2; 5
C) n2; 1
D) n +( )1 1
5
2 ;
E) (n – 1)2; – 1
4. Respecto a la sucesión
x x
a n
n
b n
nn n
n n
{ } = +

 +
+


/
¿qué se puede afirmar?
A) converge a a+b
B) converge a a×b
C) converge a ea+eb
D) converge a ea+b
E) diverge
5. Dada la sucesión a an n+ = +1 2
donde a0=2, ¿qué se puede afirmar?
A) es divergente
B) converge a 1
C) converge a 2
D) converge a 4
E) converge a 2
6. Determine el valor de convergencia de la su-
cesión
a
nn
n
=
2
!
A) 1/3 B) 1/2 C) 5/2
D) 1 E) 0
NIVEL INTERMEDIO
7. Calcule límxn; xn
n n
n n=
+
+
+ +2 3
2 3
1 1
A) 3 B) 2 C) 1
D) 1/6 E) 0
8. Si
i
n
n
ni
n
=
∑
+
−





 ∈
1
2 2
; N
es una sucesión que converge a 
G +1
8
, halle G.
A) 2 B) 3 C) 5
D) – 5 E) 1/7
9. Sea {Sn} una sucesión. Halle lím
n
nS
→∞
 
si S a b a bn
n nn
= + < < <− − y 0 1
A) 
1 1
a b
+
B) a+b
C) a – b
D) 1/a
E) 1/b
Álgebra
56
10. Analice la convergencia de la sucesión
{Sn}n ≥ 1; donde
S nn
n
=



 +



 +



 + + +( )



2
1
4
3
1
4
4
1
4
1
1
4
2 3
...
A) converge a 1/4
B) diverge
C) converge a 1/9
D) converge 7/4
E) converge 7/9
11. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones.
I. Toda sucesión acotada es convergente.
II. Existe una sucesión {an} monótona conver-
gente.
III. Toda sucesión convergente es acotada.
A) FVV B) VVV C) FFV
D) FVF E) VFF
12. Sea la sucesión
a a1
3
2
331320 1320 1320= = +;
a3
333 1320 1320 1320= + + ; ...
indique el valor de
lím lím
n
n n
n
n
n
a a
a
a→∞ + →∞
−[ ] + +
−



1
1
1
A) 11 B) 1,1 C) 1,2
D) 12 E) 1,3
13. Respecto a la sucesión 
n
nn
!

¿qué se puede afirmar?
A) converge a cero
B) es creciente
C) diverge
D) converge a 1
E) converge a 1/2
14. La sucesión
2
5
2
12
5
29
12
79
29
; ; ; ; ; ...

converge a
A) 2 B) 2
2
 C) 2 1+
D) 2 1− E) 3 1+
NIVEL AVANZADO
15. Dada la sucesión n nn( ) ∈; N
entonces la sucesión converge a
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) 0 E) 1/3
16. Se define la sucesión
x x x xn n n+ = + + + =1 02 9 8 0;
determine x2013
2012
.
A) 4021 
B) 4022 
C) 4025
D) 4026 
E) 4027
17. Sea la sucesión {Sn} definido por
Sn
n n
=
+


 +
−




1 3
2
1 3
2
indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de las siguiente proposiciones.
I. Sn ∈ Q, ∀ n ∈ N
II. Sn es monótona
III. 2Sn+2=Sn+Sn+1; ∀ n ∈ N
A) VFV 
B) FVV 
C) VVV
D) FFV 
E) VVF
Álgebra
57
18. Dada la sucesión {an}n ≥ 1 donde
a n nn
n
= + +( )1 2 1/ , ¿qué se puede afirmar?
A) es divergente
B) converge a 0
C) converge a 1/2
D) converge a 1
E) diverge a (+∞)
19. Dada la sucesión
b bn n
n n n
n
{ } = + +



/ 8 27 1253
1 1 1
indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de convergencia.
A) e30 
B) e15 
C) 30
D) ln30 
E) ln15
20. Se define la sucesión 2an
+2=3an+1 – an; a1=1; a2=2
Determine lím(2an – an – 1).
A) 4 
B) 3 
C) 2
D) 5/2 
E) 7/2
Álgebra
58
Series numéricas
NIVEL BÁSICO1. Calcule la siguiente suma.
S=20×12+19×22+18×32+...+2×192+1×202
A) 2150
B) 15 670
C) 16 170
D) 15 870
E) 2130
2. Sea la sucesión an
n
=
 
1
3
se define Sn=a1+a2+...+an .
Determine lím
n
nS
→∞
.
A) 
1
3
 B) 
1
4
 C) 1
D) 
1
2
 E) 
3
2
3. Halle el punto de convergencia de la serie
3 4
121
n n
n
n
+



=
∞
∑
A) 
1
2
 B) 
2
 
3
 C) 
1
5
D) 
5
6
 E) 
6
5
4. Determine
2 1
1 4 9 21
n
nn
+
+ + + +
=
∞
∑
...
A) 1 B) 3 C) 6
D) 8 E) 10
5. Calcule el valor de la suma
1
1
2
2
3
2
4
22 3
+ + + + ...
A) 4 B) 3 C) 6
D) 
5
2
 E) 5
6. Determine cuál de las siguientes series 
convergen.
I. 
1
2 2
3 n
nn −=
∞
∑ II. 2 112
n
nn
−
+
 
=
∞
∑
III. 
2
1
n
n n!=
∞
∑ IV. 1
1 nn=
∞
∑
A) I, II, III y IV
B) II y III
C) I y III
D) I, II y III
E) I, III y IV
NIVEL INTERMEDIO
7. Halle el valor de la suma
21
100
21
10 000
21
1000 000
21
10 0
20
+ + + +...
... 
 veces
���
A) 
1
99
21−
21
10010


B) 
1
99
20 −
20
10010


C) 
1
99
21+
21
10010


D) 
1
999
21+
21
10010


E) 
1
999
21−
21
10010


UNI 2000 - I
8. Determine
log log log log ...2 2
4
2
8
2
162 4 8 16+ + + +
A) 3 B) 
5
2
 C) 1
D) 2 E) 4
Álgebra
59
9. Calcule 1
3
2
311
n
n
n
+
=
∞ 


∑ .
A) 
1
9
 B) 
1
3
 C) 
4
9
D) 
2
9
 E) 
5
9
10. Calcule el valor de S.
S = + + + +
9
7
29
7
99
7
353
72 3 4
...
A) 
148
61
 B) 
149
60
 C) 
353
343
D) 
194
60
 E) 
60
194
11. Calcule el valor de la serie 
1
20 nn ( )=
∞
∑ !
A) e+e–1 B) 
e e+ −1
2
 C) 
e e− −1
2
D) 
e e+ −1
4
 E) 
e e− −1
4
12. Calcule la suma de la serie
S =
× ×
+
× ×
+
× ×
+
1
1 2 3
1
2 3 4
1
3 4 5
...
A) 1 B) 2 C) 
1
4
D) 
1
2
 E) 
3
8
13. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-
ciones.
I. 
1
2
1 n nn +=
∞
∑ es divergente
II. 
3 1
1
2
2
1
n n
n nn
− +
+ +




=
∞
∑ es convergente
III. 
2 3
1
n n
n n
+



=
∞
∑ ! es convergente
A) VVV 
B) VFV 
C) VVF
D) FVV 
E) FVF
14. Dada la serie xk
k=
+∞
∑
0
; cuyas sumas parciales 
son dadas por S x xn
k
k
n
( ) =
=
∑
0
indique la 
secuencia correcta después de determinar si 
la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Sn(n) diverge cuando n tiende a +∞
II. Sn
1
2
  converge a 2 cuando n tiende a +∞
III. Sn
1
100
  converge a 0 cuando n tiende a +∞
A) VVF B) FVF C) FFF
D) FVV E) FFV
15. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-
ciones.
I. La serie an
n=
+∞
∑
1
es convergente si y solo si 
la sucesión {Sn} de sumas parciales es 
convergente (Sn=a1+a2+...+an).
II. Si an
n=
+∞
∑
1
 es convergente, entonces líman=0.
III. Si an
n=
+∞
∑
1
 es convergente y bn
n=
+∞
∑
1
 es divergente, 
entonces a bn n
n
+( )
=
+∞
∑
1
 es divergente.
A) VVV
B) VFV
C) VFF
D) FFF
E) FVV
Álgebra
60
NIVEL AVANZADO
16. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
respecto a las siguientes proposiciones y elija la 
secuencia correcta.
I. 2 1
12 21
n
n nn
+
+( )=
+∞
∑ converge
II. 2 1
1
+ − ( ) 
=
+∞
∑ n
n
 converge
III. −( )  




=
+∞
∑ 1 31
n
n
n
cot
pi
 diverge
A) VVV 
B) VFV 
C) FFF
D) FFV 
E) VFF
17. Determine
1
1 3
2
1 3 3
3
1 3 3 3
4
2 2 3
+
+
+
+ +
+
+ + +
+
! ! !
...
A) e
2 1
3
− B) e e
3
2
− C) e
2 1
2
+
D) e e
3
2
+ E) e e
3
4
−
18. Determine
S= + + + + + + + + +1
1
1
1
2
1
1
2
1
3
1
1
1999
1
20002 2 2 2 2 2
...
A) 
1999 999
3000
 B) 
3 999 999
200
 C) 
4 999 999
300
D) 
5 999 999
200
 E) 
2 999 999
400
19. Determine
1
1 2
1
2 3
1
3 42 2 2⋅( )
+
⋅
( ) +
⋅
( ) + ...
si 1
1
1
2
1
3
1
4 62 2 2 2
2
+ + + + =...
pi .
A) 
pi2
4
3− B) 
pi2
6
1− C) 
pi2
3
2−
D) 
pi2
2
3− E) 
pi2
3
3−
20. Determine
S = + − + + − + + − +1
1
3
1
2
1
5
1
7
1
4
1
9
1
11
1
6
...
si se sabe que
log ...1
2 3 4
4 4
8 12 16
−
( ) = − − − − +x x x x x
log ...1
2 3 4
2 3 4
+( ) = − + − +x x x x x
− −
( ) = + + + +log ...1
2 3 4
2 3 4
x x
x x x
A) 2
1
2
log   B) 
4
3
2log C) 
3
2
2log
D) 
1
2
3log E) 3
1
2
log
Álgebra
61
Matrices
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el mínimo valor de xyz.
x y
z
x y2 2
4 4
1
2 1
1 4 2
1 5



 + −



 =
−
−




/
A) 1 B) 1/4 C) 1/2
D) – 1/2 E) – 1
2. Se sabe que
A=(aij)2×2; donde a
i j i j
i j i jij
=
− >
− ≤

2 3
3 2
;
;
Determine B=A – AT.
A) 
0 3
3 0
−



B) 
0 1 3
1 3 0
−



/
/
C) 
0 2
2 0
−



D) 
1 3
3 1−




T
E) 
0 3
3 0−




3. Sean las matrices x e y; tal que
x y+ =
−




2 3
1 4
x y− =




4 5
1 2
Determine x · y.
A) 
−
−




7 1
3 3
B) 
− −
− −




3 7
3 1
C) 
−
−




3 3
7 1
D) 
2 3
4 5




E) 
1 0
0 1




4. Si A =
−




1 0
1 1
, calcule An; n>5.
A) 
1 0
1−



n B) 
1 0
1n



 C) 
0 1
1n




D) 
−



n
n
0
1
 E) 
−



n 0
0 1
5. Dada la matriz A =
−



1 2
0 1
,
calcule la suma de los elementos de la matriz
B=A+A2+A3+...+An; n ∈ N ∧ n ≥ 2013.
A) 
n n −( )1
2
 B) n(n+1) C) – n(n+1)
D) n(1 – n) E) 
n n1
2
−( )
6. Si la matriz M
x y
x y xy
x y
=



 ≠ ∧ ≠; 0
es idempotente, calcule x+y.
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) – 2 E) 0
NIVEL INTERMEDIO
7. Sea la matriz A =
−




1 2
4 3
.
Si F(x)=x2+2x – 11, calcule F(A).
A) 
1 1
0 1



 B) 
1 1
1 0



 C) 
0 0
0 0




D) −
−




1 0
2 0
E) 
1 0
0 1




Álgebra
62
8. Sean A y B matrices cuadradas que cumplen
A+(B+I)2=
5 4
3 7




A2+(B – I)2=
2 1
2 5− −




si A es idempotente, calcule el valor de 
4 · traz(B).
A) 10 B) 12 C) 15
D) 16 E) 20
9. Dada la matriz
M =




2
2 2
2
2
cos θ θ
θ θ
sen2
sen sen
determine la matriz M5.
A) 10M B) 8M C) 4M
D) 20M E) 16M
10. Dada la matriz
A =






1 0 1
0 1 0
1 0 1
calcule la suma de los elementos de la matriz 
An+1; n ∈N ∧ n ≥ 2013.
A) 2n+1+1 
B) 2n+1 
C) 2n – 1
D) 2n+2+1 
E) 2n – 1+1
11. Conocida la matriz 
1 2 3
0 2 3
1 2 6






que se transforma mediante operaciones ele-
mentales por filas en otra matriz equivalente 
obtenida es diagonal. Calcule la tercera poten-
cia de esta matriz.
A) 
1 0 0
0 8 0
0 0 64


