dEsfuerzos-combinados-y-circulo-de-mohr

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EESSFFUUEERRZZOOS S CCOOMMBBIINNAADDOOS S YY
CIRCULO DE MOHRCIRCULO DE MOHR
MECANICA DE MATERIALESMECANICA DE MATERIALES
10/12/201210/12/2012
ALFREDO ANAYA FRAGOZOALFREDO ANAYA FRAGOZO
INTRODUCCIÓN
Esfuerzos combinados se refiere a la combinación
de esfuerzo axial, deflexión, cortante por flexión y
cortante por torsión.
Los elementos de máquinas por lo general no están
sometidos a un solo tipo de esfuerzo sino más bien
a la interacción de varios esfuerzos de manera
simultánea. Se analizará cómo interactúan dichos
esfuerzos, para localizar el punto crítico en la
estructura y para poder dimensionar y seleccionar el
material adecuado para la misma.
Se tratarán los casos en que actúan conjuntamente
dos o más de estos esfuerzos. Hay cuatro posibles
combinaciones de cargas, axial y flexión; axial y
torsión; torsión y flexión; y axial, torsión y flexión.
En la combinación de esfuerzos axiales y por flexión
únicamente intervienen esfuerzos normales, en
todos los demás casos intervienen esfuerzos
normales y cortantes.
Los esfuerzos individuales se combinan para
obtener los esfuerzos resultantes en el punto
seleccionado. En otras palabras, se obtienen los
esfuerzos que actúan sobre un elemento de
esfuerzo en un punto.
OBJETIVO GENERAL
Determinar las condiciones o situaciones en las que
ocurren las diferentes combinaciones de esfuerzos.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS1.
*Analizar detalladamente cada una de las
combinaciones de esfuerzos posibles.
*Ilustrar una situación real donde se muestre el
efecto que ocurre cuando existen esfuerzos
combinados.
*Distinguir y relacionar esfuerzos axiales y
cortantes.
MARCO TEÓRICO
La viga simplemente apoyada de la figura soporta
una carga concentrada Q. Supongamos que la viga
está unida a los apoyos en el centro de gravedad de
las secciones extremas. En el punto A, el esfuerzo
normal de flexión es = My/I. Es una tensión dirigidaσ
perpendicularmente al Plano de la sección recta y la
fuerza que actúa sobre el elemento Diferencial de
área es dAσ
Si la misma viga apoyada en la misma forma se
somete solamente a la acción de una fuerza axial P
los esfuerzos axiales se distribuyen Uniformemente
sobre cualquier sección transversal. Su valor es
=P/A y También es una tensión perpendicular a laσ
sección recta. La fuerza que actúa en el mismo
elemento A es dA. Si ambas cargas actúanσ
simultáneamente en la viga el esfuerzo resultante
en A se obtiene como superposición de los dos
efectos aislados. En efecto, la fuerza resultante que
actúa sobre el elemento diferencial A es el
vector suma de las dos fuerzas coaxiales. Dividiendo
esta fuerza entre el área d ase deduce el esfuerzo
resultante dirigido perpendicularmente a la sección
recta
Análogamente, en un punto B de la misma sección,
también a distancia y de la línea neutra, pero por
encima de ella, es esfuerzo resultante es la
diferencia entre los esfuerzos axial y por flexión. Si a
los esfuerzos de tensión se les da signo positivo y a
los de compresión signo negativo el esfuerzo
resultante en un punto cualquiera de la viga viene
dado por:
Tensiones combinadas en estado
más general
En cualquier situación en que un cuerpo real se
utiliza como unas estructuras, se trasmitirán fuerzas
atreves de del cuerpo de acuerdo con los principios
de transmisión de fuerzas analizados en estática. En
la mecánica de los cuerpos deformables estamos
interesados en la distribución de las fuerzas internas
asociada con la transmisión de una fuerza con el fin
de determinar si la resistencia del cuerpo es
suficiente para soportar esas distribuciones de
fuerza interna.
Para evaluar la resistencia de una estructura, es
necesario considerar el esfuerzo de una manera más
general que simplemente como una presión normal.
El esfuerzo se define en un punto sobre una
superficie; puede estar localizado sobre la superficie
exterior o frontera de un cuerpo deformable
Transformaciones de esfuerzos
Se considera dos secciones planas diferentes que
contengan a un mismo punto y para las cuales las
normales sean n y ´n se verá que los dos conjuntos
de esfuerzas serán en general diferentes esta
diferencia constituye la idea subyacente de lo que
se llama transformación de esfuerzos. El análisis del
estado tensión en un punto se comienza con la
determinación de las tensiones en las caras del
elemento escogido alrededor del punto.
Ejes principales y esfuerzos
principales
Las estructuras reales están compuestas de
materiales reales. Cualquier material real falla al
someterse a un esfuerzo suficientemente grande.
Muchas teorías de falla se basan en evidencia
experimental que indica que los materiales fallan
cuando el esfuerzo normal o cortante máximos
dentro de un cuerpo para compararlos con los
valores críticos asociado con la teoría de fallas, los
esfuerzos normales máximo y mínimo se le llaman
esfuerzos principales.
La mayor parte de los elementos estructurales y
elementos de máquinas están en condiciones de
carga más complejas que elementos bajo carga
axial o conexiones de carga trasversal.
Consideremos un cuerpo sometido a varias cargas
p1, p2 etc.
En el cual se hará un seccionamiento que ponga de
manifiesto las distribuciones de las fuerzas internas
que son estáticamente equivalentes a la fuerza y al
momento resultante.
Círculo de Mohr
La Circunferencia de Mohr es una técnica usada en
ingeniería y geofísica para representar gráficamente
un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con
ella momentos de inercia, deformaciones y
tensiones, adaptando los mismos a las características
de una circunferencia(radio, centro, etc). También es
posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo
absoluto y la deformación máxima absoluta
Circunferencia de Mohr para
esfuerzos
Caso bidimensional
Circuferencia de Mohr Para esfuerzos
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr
permite determinar la tensión máxima y mínima, a
partir de dos mediciones de la tensión normal y
tangencial sobre dos ángulos que forman 90º
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal
representa la tensión normal y el eje vertical
representa la tensión cortante o tangencial para
cada uno de los planos anteriores. Los valores de la
circunferencia quedan representados de la siguiente
manera:
Centro del círculo de Mohr:
C:=( σx + σy/2,0)
Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en
términos de esas magnitudes
El caso del estado tensional de un punto P de un
sólido tridimensional es más complicado ya que
matemáticamente se representa por una matriz de
3x3 para la que existen 3 valores propios, no
necesariamente diferentes.
En el caso general, las tensiones normal ( ) yσ
tangencial ( ), medidas sobre cualquier plano queτ
pase por el punto P, representadas en el diagrama
( , ) caen siempre dentro de una región delimitadaσ τ
por 3 círculos.
Excentricidad
Distancia entre la líneareal de acción de las carga
de compresión o detracción y la línea de acción que
produciría un esfuerzo uniforme en la sección
transversal de la probeta. La excentricidad puede
tener lugar en diferentes tipos de elementos
mecánicos, como son las poleas, las ruedas
dentadas y en el posicionamiento relativo entre dos
piezas concéntricas, caso del rotor y el estator de un
motor .Para una sección rectangular de ancho b y
altura h con P aplicada a una excentricidad e (sobre
la altura h) se tiene:
PROBLEMAS:
Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado está
sometida a una car ga de com pr esi ón ax ial
d e 2 .24 kg . D et er mi nar las T en sion es
Normal y cortante que actúan en un plano inclinado
Ѳ=30º respecto a L a l í n e a d e a c c i ó n
d e l a s c a r g a s a x i a l e s . L a b a r r a
e s l o suficientemente corta para poder
despreciar la posibilidad de pandeo
Datos:
L=2cmç
P=-2240kg
Ѳ=30º
σx= P/A
σy=0
σx= -2240kg/2x2cm2
txy=0
σx= -560 Kg/ cm2
Esfuerzo normal:
σn=( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) C o s 2
Ѳ) / 2 + xyτ Sen2 Ѳ
σn=( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º
nσ =-140Kg/ cm2
Esfuerzo cortante:
t=Sen2θ (σx- σy)/2+τ xyCos2θ
t= Sen60º(-560- 0)/2+0 Cos60º
t= -242.49 Kg/ cm2
Resolver nuevamente el problema utilizando
el círculo de Mohr
Datos:
σx= -560 Kg/ cm2
σy=0
τ xy=0
θ=30º
MOHR
Centro
C= ( x+ y)/2σ σ
C= -280
a= ( x- y)/2σ σ
a=280
b=txy=0
radio
R2= a2+b2
R=280
2 =60θ º
n=280σ Sen60º
n=242.49 Kg/ cm2σ
t= 280Cos60º
t= -140 Kg/ cm2