cap7-analisis-del-movimiento-mecanico-fisica

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_cascJ 2 +_uuuo_1_t_r__ __tl___ _tt ___et____Jc__cL__l___do(t_l t __ t _ _ __t4o_1ltf___(___t_____ _______t_ ___ J_ r_ __8_t_t__vl__ll __ ___ _____J__t>(s) t .__
_umbreras e_ itores F ii i ___
Seg. un la ut___en'_ci_n entcncJr pudem_s tc r_rr Caso 3
' Ios ._jx_li_nt___. c__s__s: Si tJ=_'' _ _r_t(_rlc'_i cl-_ tc___'''__ lJ: _'_t() _ i__r_t _1ci_
__tt_ _cl \ e_i___.'ic.t__i_ rJ_J _ _1!__}_tcl. ___ c 1(,_' i_ ._.l = O. _'!_
ca.so l �_J_- i _s. _'_ri_{ t__r:'_\tl_'il _1l'i _1 ._ l '. ( ( _- _ f__ /.
Siel árl._ulo () _'_. __g L_d_. sc c>t_tic_n_ ci_+l___nfi'; , __J (___/_
e_t_ sj_nj(j__d c_ue l_ __ri____i_n de l_ _'etr_L?icl__ri(
_ ___,) t__ _n_ién __.i p___iti_'3 (+ )+ en rorn_a prart iJ_i_ + U_7
_ __J (_/s) ' ! ;
;_- - -- - _ - -_-- _ - ___>! (__
i _ce!,_,_ ;! -o-__! --'-^'-'_r
_ --- ----tl----_ _ u=t_n(!__1_
t>(S ) l,_ __elu__id;__ c'__ __,+__)_t;Jn___
_ Ejemplo 7
_ u_+lMU
_ __-_ _f_F_C_1 fItrJ._tf__{1L_ ____{_l___ I_l _'_'tC7_'t__fc_Cl (1t' U;)
_o__ol_ u yl_ ri tienele- rT_i_'mc_dITe___irJn cu_,r u _J{, _._. __,_ __ _,_ _.,_ __,___ ,-,_t_ ,___.t___x__,
cl n__vimi_nt(_I _S _C_l_f_d__ l_ _'___J_I__l_1 s__ _,r) t,_ -_ntt_r_tt_ f ___ () e_,, ,,____r J_J _t, _.,__.,_t__)tf{_ _,,,
aUrl )R_tt_ _lt _'al_)r_ ;, / __ +_u ,__. cl,,tc.,mjnt, s(_ ,__j__,(jn u_ _. ., ( __) _ __.
,__(n_s_')
Sj e_I __ !__Julu es _tJEu__c7, cnt_-_n_ne__ u=tc__ (J= (-t lc_T) _): + tCI;_ _ - - - - - -, .
_ur lu tan_c_ t,1____ ri_ciónd__ la_.clo_'id�_cl (__v_J) cJel l ; ;
_utu__�_-iI __' _e_._!;_tivn. en f_r2T__ pr__ctic'a: I ; _
_û(mJs) , ; ;
+'l. : :
Resolución
0 r (s) F,n lc_ grcn F___- _'__ ____ __r_'_' __u_-> ___ f =- _ _ l _ 1 _. lL_
Ct t_ ; r__ _icle_ _el c!_1__r__(_ _u rT___nt_ __ _' _-_' !____('\ __ I_____L{ l._
.,,ele,a : der_cha í_ur e t _t_n_ + _e _' )t _'s,tr_ ;_lqr_ '_ n(-Ll f_ul'
-u! - - _ - - - - - - _ - -' - - ' - " - _ e,, e,(e int,,_.,.,_,(, ;, _ ;J _:,,_,),,,, ;__,,_; (f,,t,c.,,n,,.
_e_ l = 4 __ �_ t = _ _' ty r__>____ cl__ _____,r____ l____
t cJ -- t_t)---_t�_n_ _'_n_tar_t__. _e._''µiaziir_c___-e_ _ !i_ d_r___hi_, _stí_
Enestecaso_e __ _-_fe u s___de_irc___i_I)e_i sie__inca_uc' LJ--_-___)a1in___)t_',_l't-- _ie_=l2t,
__nxrL_ri_s.c)n)o\Jin_icrltnc__dr_s___cI__r___cJ___ t_ r__ic_t__ c1__l _l_crµl> rli_î__)inu__ __ \ _c' it_.1l1_
/_ U _ t= l,__e_ro _____ir ____ />r.. _'_r__uiiJ _c_ 1__u_ i_r_ _u_ i__ u_'r__c nL_ íp_rc J s.f._Jnc7 t __' c_ i _-_'__
_ire_ción ___t n___'imiento ?. ' e_> _ceIe_-c_ctn. __ste intL_rv_!_u _ ' _ u ti_r_cn c_!r__c'__i__J_____ o___{'_ti_i
338
_sqdo_u___l_e__l_a____ p___o2dds_tz__________________n_2____2__________|____ v(__)_____ __ ______tt_ _ ____ ____lll___ t____ tn _dd______(+A4AJ_+__22+_____q_t_Am_)fetn_2+_____c4_+__tn8(____________+4__At__w4__l_3oo_l)o__+___((+4222)8oft_(_______________l_)__________________o_ )_____y____+__+__2_r40__o+2m2mqmt(t)
CA__u Lo vl_ Análisis de gr_ficas del movimiento mecánico
Además_ __e puede obtener de la gráfica los O_ método
si,3uiente_ vafores: en r _ O_ u0=+2_s; Si consideramos queel_reaes n_�_c_enle
enl=4_ u=+lO_s yen t= l2, u,=.O,locu_ iguala1desplazamientodelcue_oxap_irdela
lo representamos sobre la trayectoria en la gráF_ca u-t se tiene
sieuientengura:
_4s __gs ___2s _ ( mrs)
;, 4s _, 4s ;, 4s _, tlO -------.
_ 2_s !l0nUt !IO_s _u,=O .. .:'_'___.:_'_q, _ __._';'__;,_;..'
_-_,_ _ _ _,! ' -- �.._' ' __ _ --'=-____-'_.--__-''';_:':-'__ A2 _!___-'__'___-,_-:--'s-
---__'''''"-''' . _-.-.-0_'.'_ ___''--'.,. _ _ n x ._x___;'_;__. -_--_'_-:___';_''a_ _'::-___^,-'_;___:,_ '__:'e',:_'\
'_xo= _om_, ,_ ,2 , +2 _,-_,.v^:,.,.:.;;;__,;__._,._,__,.,.,_4,;'?_._._:_._-;n::-:-:_:__;,;;_'';_.:-_'-.;-_''-_--_.__'__.,'___,.;:_, ;';,__.;:;;-_=.-__.___..;_,.__,___.'.,.;._;..,;.
' _F--7_ ' t -
_ _ t=0at_4s
e_Ún datO_ e_ t = O, X = + l O m _ eStO S__nl Ca ,
_ción inicialdel cuemo esde loma la _a _ _2+IO (4)_
l__cio
derecha rcs_ecto al oneen de coordenadas. Pa_ra
detefmin_las_jst_ciasqueavanzaelcuemo se ' t=45 a t=8S
puedeuEilizar dvu.t, en etM.R.U.,de t=4 s a A _ __ e,
l = 8 s mien_as que en los otros interv_os se u_liza
u+u _ t=8sat=l2s
_ _O F .l. ya que se tiene m.R.U.V.
_ea _(lO)(4)
_ t=O a t_ 4 s.Seobtiene
2+1o () Luego eldespl_amiento (?d) enel inteNalode
=_ 4=24m
l=O a (_l2s es
_ (=4s a t=8s_Seobtiene d_ _ (IO)(4)_40m _d
_ t= 8 s a t= l2 s. Seu_tiene _
lO+O
=_ 4=20m _
Enesle caso, comosepide lapos;ci6n (_x,) del Este resultadu implic.a que el cuerpo en el
cuemo en F _ l 2 s_ de _a ngura se obtiene lo inte_alo se�a_ado se ha despl_ado 84 m hacia
siguienle: la derecha de su posici6n iniciaI.
_ Fi n_me n _e plan te3mos
x, = IO+d+dl +d2= IO+24+40+20=_m
_ d=__=_,-xo
.'. XF=+94m ''
Esto signinca que en t = I_ s_ el cuerpo se t t8_=x,_-(+lO)
encuentra a 94 m a la derecha del ongen. _
__ X}'_+94m
____t__t______________________t___________________________t_t______________________________t_l| _ _flt_t________________________________r_____4______o______ _(_m__tRuv) t g____________________g_________________ )000 __t_______tl,_o Jt(s)
lumbreras Ed itores f ís i ca
El ejemplo anterior lo hemos resueIto _J'emplo 8
analítica y gráncamen te. _ora, en 1os problemas un au tomó_'l se desp_a_ sobre una pJs_a hon'zonta_
con (recuencia suelen pedir que se construya la y su ve_oc;ded van_a segu_n _a g,a_nc, most,e-
gr_ca _-( teniendo Iagrá_ca u-t. s,_ enr__ o su pos,_c__o_n es ?x____om determ__
Podemos obtener la gráfica n- t en el _, d-_stanc1_a y reco,n_do en e_ _-nfe_,lo de ( __
M.R.U.V., lo cual se logra determinando la (__ _os adema_sdeterm__nesu pos,_c__o_nen(__
aceleración del cuerpo en cada intervalo de _
_ U (mr5
tiempo, utilizando _ _ tan a.
_ De t= O a t=4s
? 8 2_ 2
0_=tana_=+-=+ S
4 ' ' ' ' IO l(S
8 !
' De tN- 4S a t= 8 S _
a_ = t_ a2 -- O (M _R _U) _g - - - - - - - - - - - -
' Det=8sa(=l2s
Resolución
a_ = t_a3 = -tan0 = '- En la gráF_ca u_ l_ tenemos
_3_-2.,s_s2 (m.R.u.v) , '(_s)
O
Luego se tendrá
u (rrUs) , ,__':_, ''
O ''' ''
+lO --------x ' ' ' ''''-:.__ g 2
';:,;:lJ _ ,__''. ... 0
:,'_;___:_:__.'__ g !,_-,:_,;__., 8 . :':
. ;...:...,,;.' .__:_:'''!, lo __;:: ..v__._:'.: . ____'' _! 8
+2 >__i'''_'-_'_;_;_::_;''__:__._ _'_......;"_'''";'�,.::._:':,.;... -8 ----------------
_ ;_ ''-' _'''''''' _'___a3 t(s)
4 8 __2
i ; ; U_
an =-=_- _ Uo =32m/S
;! _! _. 8_
_ Ó- (_s2); _ _ Se entiende que la grá___ca corresponde a un
; ; ; M.R.U.V. _ra el instanLe inicial Ia velocidad es
_ ; ; +32 _s y durante los primeros ocno segundos el
+2 0 ; ; automo_v__l se despIaza hec-_
; !, !, r (s) d
eSaCelefandO; en el lnStante t = 8 s s_ velOClda
_ 4 8: 12. es nu_a y a p,__-r dg d;cho __ns_an_ç Fe__n_,c1_
!, _, monmiento hacia la izquierda acelerando ya que
_ ,! para t > 8 s 1a veJocida_ toma vaIores negativos y
sumóduloaumenta.
340
c___omddd__ot_2s_e____pu2e__2__eJ__nnmf__taf_o___0, e0n_o_e_____l 2 _______ ____ (__) __mv_2___2_2_________(______________y___8____a_____) r__9__y___0___________t_______t__dt____ _ derandoneaes__
CAPíTULO Vl l Análisis de gráficas del movimiento mecánico
_tos comentarios 1o podemos ver renejado sobre Otro método
_a trayectona ta1 como se muestra a continuación. Consideranda la _r__ n_ca u - t, c_lculamos las
t--8 s áreas para determinar eI recorrido (e) y la
=_5 _
r_0 ' ! dlStanCIa (_ de t = O a t = l 0 S.
__u-32_s _ ___U=O _
__-g_.0'.0_'''__'____g____ O _____----------..- ___' '___,_,_ X U ITUS
A _'-' 'x_O ''' '' '' iB +32
;__=-lOm ; ;
!_dt_ ' _.:'_''''__..
; ; ; 32 ';_._-'_L,__'';:'___-;..,
; !, t-_Sf_2s; .,_.,.....,..,;.Y';_-:..:....:.
; uigsa ;u_O ..:';-''_;::,,_l._''''=:;;...._.
; __,.,,.,_,.,g00_,________.,o._,,,.00.,o.._._0,, g :,,.;::=:.;'_;_:.;;'.,,.;_._;'.___..;.:_:'_'_:_'__._..:;;..;;._::.n:,:,_;;..;_',_..,.....g_ 2 lo t(s)
i^ ' Ot C; ''' ' __ _'__'>_'____:____^.:__ ':_.____ym__'_^_''_____'___
; ;x_d ! _.____!,_..___,_,_.__?_
_ _f, 2 _''',___;_;___,_______ æ'
; _ ! acet_''''_'_,5__P_'_____,:>_,_8
! d ! ___/_____o-_'_'0_-_
_ __
_nterva1ode r_ oa -8 -----------_-------
t = l O s, eI r__orrido del au tomóvi l viene dado por g x 32
A_--+_=+l28m
e=d_+
Consjderando 2X8
= -_= -8m
Ua+U
= _2 F t F_l recorrjdo e viene dado por
p_aet tfamodeA hac_ag e=fA_ l+ fA2 _=l36m
32 + 0 )g _ 2g m Y la distancia d se calcula con
l- _' _ -
d�A_ tA2 = I28 + (-8) = 120 m
Para el tramo de B hacia C por e__o ta d_stanc;a cub;erta por e_ automó___
O+8 12o
= _ 2�8m '
2
_ (_)_ e = _36 m _RÁF___ _osic_ó0 N - i_E__o (?x - r)
Como fa distancia es el módulo del iara podeF obten,r la _ra_f,_ca pos__c,_o_
desplazamie_to, dc la F_gura se deduce t,-em po (_x_ () c,nt__nuemos cons_,
J = d1 - _2 = i 20 m __ tom�v3 I c__ a- +_ _s2 u _ ,_ __ _s y ahofe
- I_^
Fînalmente determinamos la posición de7 la_sición_n_c_e1_xo-_.+_m-,e_m___im,;entosob,
au to,mó'Ji l en r _ l O s. - _a (,avector_a sen_
C_nsi_eremus
___ 'Y ro--O (,_r
d=x,--xo _, _ t ;
t t 120 _ x, _ (_10) Uo_2_S__ U!
___0o.,,_,,,_o,,0.:,,,_, _ _ QmJs2 _=__a,_.__._
_ x_.=+llOm _! .--'^_'_0_'_''''_' ___ __ _0_^''__^_'__'_^'^_
_s_e ,esu_tada ;mpl;ca que ;v,l au;om_v;a en e1 ; _x _'__ __ _' ! ; ' '
iMt3nte t = l O s está a I l 0 m a la derecha del a_gen. _! _ X !
341
_g _0_(_Es__ _0__ (_t______t_ _)_g(ll )2 _|_l___._l|__ ______ _00___la _ t_u______ ___ lJJ IlmIJ )t t_lllt__| d__ttt___xt t(s)
Lumbreras Editores . físjca
El desplazamiento de un móvil durante un Lagr�nca x -t nosser_ráparalOsiguiente:
M_R_U_V_ eStá dennido por l. Paraprecis_cómova�a laposiciónconfofiT)e
_d __u (+ I_(2 transcurre el tiempo, es decir precisar la
O . ., ..
treCClon _ nlOnmlCntO d__l automó_t.
?_ _ I?_ _l. K!ospermjtecalcu1_itadjstancja(d)cu_jerta
X-Xo =Uot+-_l
por eI autam�vit durante un inter_'alo de
RntOnCeS
t'_empo (t), por e)emplo, en fa ngura
_?? I?2
X_Xo+Uot+-at _x?(
X -_----_---A
l _n del movimiento de un M.R.U._ ;
Reemplazando vatores en la ecuación o ley ;
deI m.R._!.V abtendremos d ;
_ 5(2i l(4)_t _
X�++t+-+t ' _
2 _ ;
s;mp_;r,c_,do ' \. _xo-- +5_ :
_ , v- : t(s)
_ x=í+2t+2t m _vr
ta ecuaci_n d_ una cuNa llamada par�bolaJ
Dándo_e __a_ores a ( obtendremos _a tab1_ El auton)óvil avanZa _ = (x- 5) m hacia fa
siguiente; derecha durante los primeros t seeundos.
_. Nos permite caIcular Ia velocidad instantánea
en A. Para ello tra2amos en A una recta
tang_ ente a ta parábola, así
COn 10S ValOfeS de ta tabla COnStrUlmOS la x(mJ .J
rár_ca x vs. t, la cual aproxjmadamente es x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _A _
rec_ tangente
Xm !_ a_p_�_la
x ----------,. ,, ;
l7------ : ,_ _,
_. ; -_ xo--+í!___/__a__________.
'__ 9--, ; ; ''--v-''/'_ ' __ ;
___K_-+5_ __l._ ;, _!W
ve,.cede _-v - ; ; _ t ( s) _^
, _ 2 ;
Recuerde que si ta gráfica x-t es una r___..___
af_bota_ entonc_s se t_F_ta dc_ un m.R.U.V, i i(J _
_a curva obtenid__ a __rtir de Ia ccuación __
cuadrát�ca x_(í+2r+2l')m es una parábola Esto e,_presa que fa pendiente de la recta
abieit_ hacia arriba, su vértiCe (_ se abfienr' tanger'_te __ J'__ __r__o1e nos dett_Fmina In
ßTOIOneando 1a Curva hacia el cuaclrante adjunto+ velocj_ad ins(antán_a.
342
c1G___ / _l_\_\ v_(_ () ) o ________v__r________________t4__s________________________________t__D____>______t__l_np__o_______m____ta0_t__vr_____>ma_t_l_n___(___m2y_po_)_rh(__ya_vp0___c1_rd__)0r_a__________t_t____ltya_@______d__t__e____reoo__c____oh________e________e_tnd_0_____0g__e_to_____sy0_e__c(__D_et_)______y____æ_____0__x_4___e___________J4___00__________ _
CAPíTUlO Vl I Análisis de gráficas det movimiento mecánico
_r lo tanto, se,_ún sea et va_ 7or del ángulo a Caso 3 _
Xm
a _'etocld2d 1nstantánea puede ser (+J O (-J
V
_', en conSeCU_n_ l_, __demOS _reClSaf haCla - - - - _ - _ - - - - _ - _ente
IEnnues_,_caso _ ;
OndC __e dtn_e e a(tt_m Ct_'l
' /
_ es _ng__lo agudo. ,/ !
/ !,
.-.UA-__+t__ ,I J, ((s)
Entonces e7 aulomóvi1 .sc _1iri_e hacia Ia O tl
derecha.
Para eI instante t = t_ .se tiene el vértice de Ia
Ahore en el instante corresp_ndjente al vértjce pc_Fáh_l_, entOnCeS e_ t = ll la U = O.
de 1a paIáhoa_, la vetucidad es nuta (?u =_).
r,qu,n,os _, tot,_ _;d,_ _e _, pa,;bo_, p,,, un, r _.__ , _'_'''_-=__s:__v_' __'__'i'''_'___'_:____n~_^X__'__'''/_'_'_''_-'__v_'.:__:_:''_''';_____.'s.____':_'__''______-_n__''a___'_____'_'v''_'n_.__'_m'_____'_':_0__--__,_'_^'___<___;!_^;_______:_':''______'____!,__m__':_'___'_''.-";'__'___M__',_-_;__:_ _____'__ _'-s__5._.__i:m___'_'__-'___-.g:''_'.____^.__,________^0o_'^
' _ i ___ __?il '_i__'_ _v ,.; 0_..,.,, ._. ___'_6' ,___x_)__;_..g,_m_,o, __0, __e__;;_;__;_,____S__,, _i4'_::_ ___.':4_:vD__,0__. g'0,_4__'-_i_____;'_. __,_.R,;_, _ __ ;___0 _y _,;;__';___' v_=,_.____r__,
sefje de casus. _-. i____0a' ,_"_'_'__--___.__
_ __ .,0,,,_,= ' En Rl __értlCe de la paráboIa la vetocidad ,_,
; _. siem re ser� nula además nos jndjca un __
Caso l -__ __
' __4 pOSlble _amb_0 de d_reCClón qUe expenmenta _'
? __;_' l, veloc;ded del mó,_l E, le siguie,te ,,_r,c,. _0o
\ ' Xm :__ ' - O__
_ _n.._, ? ,, , __
_ _'m_ _ _ t _
_ _,i_;. , _.
\ _ _., !, _,,,0,
_---_------------_nte __ 0 ! :_,__
v', XO- ; :__ ,_.
___^g ;! ; __,_,__
_' ' !, ;, _,_
((s) ___:- t_8_te; _ _ a tS ^__',' .~
_ _'' ;_''___'
o __-';- 'O t1 t2 _g
__.y.,_ _e_te g
_,_1;,st,nte;n;c;_(, _oJ__;eneel,e_,_,ce :_ E _, , t , o _ t o g _,
' _- ___ ' _e tnSane _= _ Uo_ an i COmO a___
_ ? ._ , __ -_
ela_arabOla_entOnCRSent()^-Ola_o= . :?,_,' eS an_U_ c1_UO l/ç> . COmO a _
;,_"_. velocidad inicial e_ positiva entonces el æn
caso 2 _ ___.:, mó__l se de._pla2a hecia _e derec_a. _'__'_'__
_ _ _ En el instantçf_t u_ enß_te O a
_m _'_,;_, _ l' - -
_;:v'!'_ -'. u=O __'__8_'
_ j___,:. EntOrlCeS en el inLervalO de t = O a t = t) el _ A_
_ v___ _ ,_ / - P'
\ :,5__. '
\ '___ ler_ndo :__
\ m._ ' t _'
-_ 5_-_' _ En el insEante t = t2, _' = tan a: pero a es &?_
- - - - - ._v- - - _ - - t_CntC '=_ á1__ulo obtuso. enlonces _! < O. Como la __g_
!! , (,) _'elocidad es. ne__tiva el m�vil se desplaza __;'_,
0 _! h_cie f_ izquiefde po, _o tanto en el _g_
O r, ' ' _
1l)te_-afo ( � (; e ( _ (_ el m�__il ayen2a __
? , - . _ / . haCt_ lc_ fZ_llfPfr_a, pRro SU r__ide2 Se __
! _1T_ f'_ ;____? ï_Tl _ _ 1 Se l_!l_ __ _-eT(IC_ _ e _ __, ' _; -
- -_ _ ' incrementa_ enton_es _1 m_vi1 ac__Iere _
;.i__;> c.i,t_i)tci. __;_ tt_!_ !_'___ _T_ ( = (' t t__ _ _ O. _._ _g/~,
343
_a_ RE_sesc_po_EEen0c_s__ttoa_ nateleyveelnfoctodo_ot ___ ___,_t __ ( _ h)_ ___ t__ _ _l /n_(_))_ ___b _ __ _
lumb reras Editores f js i ca
A manera de pr�ctica podemos proponer la _
_ Xm
Sl_Uien(e _ránCa posici�n - tiempo x - t.
r(s)
x(m) O 2
1
', _ ____bola
ve_cede _
lapar_la '__
-lO
,_ _a_ t(S)
___0 Resolución
O r_ r, s (_
len O a_ra C_ X-t Ulìa__fa Ol___OSlndlC_
que et automó_'il cxperiment_ un M.R.U.V. a lo
Apreciamos y poclemos establecer que lar_o del eie _-
-,dad _a_izando dedu_imos _ue en el instante __nicial
_ pafa t___ a (_(_; u__t_g<o (to--O)laPOSiCi0neS Xn_ =-lOm _elaUtOn'ÓVil
tiene velocidad nul_ (recordar lo del _-értice de
_tO_CeS e mOVlmlentO eS aCla _
la parábola); para el in_'tante t = _ s la _osici_n
lZqUterda. _ _
_ ,?_ es x = O , si_nia'i_a _ue el automóvil en dicho
' Parat_(_:U_tan = . '
lnStante paSa __r Rl or,_en, adRm_S_ debemOS
ntonces en este instante cambia la '
' entender que et automóvif va ecelerandu en
direccjón del movimiento
_ diL'hO inter_'aIo. _hora so_re la tra)'cctoria
_ _ra t> t_: u= tana>O
enemOS
Entunces el movimiento es ahora _acia
la derecha. b_ O r _ 2 s t = 2 s
!, r _
b. Res_ecto a la aceleración _ a _
_,sta,_e esta_ d-,,-,e,_da ,., in, uo--o ..,0i_ U
__,_______i___''_:_^•_'0__ __- _0_'_, o____'_'=_i___ X
hacia la derecha. 0 ' ^'
i jo=-lOm xo_-O
Por Jo tanto se vej_ca que '_'
; _ _
' En t = O a t = It_ la fa_I'_e2 d1SmlnU_-e.
_ En r > (_ la rapide2 aun_enEa. de donde apreciamos 4ue el autamóvil re_orre
IOm en 2 s.
_jemplo9 _ l n
_= t_ t+-ut^
a _ranCa adlUnta lndlL'a l05 __amhlOS de DOSIClOn
d� un automóvil sobre una pista hori_ontc_I. _o _ I, (2 )2
Dete_rmjne el v_tof de Ja ace_pración _e_ au t_múv;_1 2
y Ia ecu_- ci�n de su movimiento. ._. a -_ s m,/s2
3_4
_____ur_0____0tp____n0___c_ue____r_p_a t__t_ _ _________t__ ___ ___ _ _ ________ _____ _ _0_____0____t d__t_ _(_t___(___o6_t)(tt_2_o_4tJ+__84o__o )os _b l____0 0 _ x_
CAPiTUlO _lI Análisis de gráficas del movimiento mecánico
la ecuaci6n del M.R.U.V. a lo targo det ejeX nene se deduceque
da_apor ?x g4m. _, __+2o_s y ?,___2_s2
'0- tO
1 _ _. d d.
O CUa lnte_retan O, tenemOS qUe l
-O O
en el instante inicial (l = O) est_ 89 m a la
Reemp1a2ando los datos izq_�erda del origen (-x _â), moviéndose hacia
?x lo _ __o ___+5m/sa lad_r_chacon20rTUsydisminuyendoelmódulo
O- 10
e su vetocidad en 2 _s en cada se_Undo (ya
entonces tenernos ? _
qUe a y U SOn OßUeStOS. O fe a trayeCtOrla
x _ (-lO+ 2_5t') m tenemos
__a ecuación da 1a parábola en la g_ár_ca t-x - r) _ y
_xrvador
__
_- ,..,___o0,_,DL_,._,_...._!od_g'_._, __i__0__,0,,0?_,0'_j,,_.o.,0,,_0_.._..,__ov,___.,L__,,_0,_,a'.i__,_,__,_._,.i___D_____,d_._..,_l.,i_,,_,_,i_,,_,0__. _,._'._,,_,_,_,,,0m_ ;___'_j_.0._,;,,;_.____.._io_,io'_;_0_,,.___'_i_0o_D,.;._,g,.,_,__.o,_..;:6.-.._._c:.__,,'._a_'i_.^__ _,_____i,,_.._,e,_.__.,,__a_.00,9___._,_,___.__g.._.,,,,_,_"_i_.,_g___,o_?,,.0._.o._.__,o...8,_,'.l_.__i',,0_..._D,,g _,,., o ' _ _o. .. __
_,,, _,,___ ', .,_, ___D_' ,___.___''_'__D__.,___'o___-_'',_;__,_00'___,!?____,,_,_0_..___;__'0'',''_.___0_,o,_a_____.'i_-W_'__'___',0____._,_____,__'_____0__,,___,_____,_____?___.,__'_-__;'',.,'',,_o ___'_ii___''_"''-____,_____,_,_0__'.,a'_o___'0.___''_,1__,_,___D___,- '_''_0_____0__,_,_,'___'__''_'____^O'0_>_____'__0,___',':__'_,:,__0_80,o_, ;nD___'_0, 2o _ __,_'__' ' ' y_ _
__ ' .. t _'d ' o' _0_'?"-d''''''''_'^_'__0'_D''_'_'_''N_~_'' -_ ''''^_i'_^O'i''i'i'"^_-''_i_'_''_'!'^___'''_0'i""_ 0''_'_' '''''i'__''''^_00''_' 'O'_%i'i' 0_O"'__'___0' '_'''i_Y' ii_' ''i_i'_^''^_i_-_0'_0'^''___i"'^''___ 'i''__'"__P 'O'^'_^_'O''__' U_ S ^''___,,_'_,_ _f_en_
_'''__._ _o'''; _ __2_s2__,_____,___,_,'_
?_' '' ' ._'_ Un M.V,C.L_ ti_ne las mismas leyes del __.,__ _=.__....=_._ _ ,v.__,._.'
__8__,, ' M,R,U._.; en consecuencia podemos usar la _'ooo_ - '- _ i' ' ' -'----'''' ' ' 'v '"" ''-_'-'''' '__:' _-_ '' '' "-
_ _ _- _ ' m,.sma ecuac1-o,n pe,o camb-,a,do _x por ?y _ _ ' _, '_. _ _x ___g4m x-_ ; O: _ ' :
o ' ' _,o _emb,,,,n pue,e ,ene,se u, m R,u.y en t a O_ _ -_, _ '_, _ '_ ' _ 0
_. direccián ve_ical y planlearse _o mismo. ____o
_9_',_._o....D,.,__n._,L,0,,__.,__,.__,,,g,,,,,,,,,,,,,,,,o,,,,,,, ,D,,,_,,,,,,,,,,,,,,,,0_,,,,,,,,,,o_,_._,,,,,,,, ,o,0,,,,_,,,_,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.o...,.,.o....,....,._,_.o,,_'_g, Par3 determinar cuántas veces _1 cuemo pasa
frente at obsenrador_ es decir p0r el origen de
EJ_gmp(o lo coordenadas, podemos hacer que su ecuación
__ene po, _a _ey del moy_Nm_,ento. demovimientoseieuateacero,yaqueendichas
_,__(_g4+2o(__2)m donde t en segundos instantes taposici�ndelcuemoes x=0.
ndiq _ue,a qué mov7 l_miento corTesponde y_uántas t x__ _ 8q+ 2o( _f_ __
veces pasa frente al observador.
2
Resoluc1ón
Primero recordemos _ué _ey det movimiento es
eqUIV_lente a Ia RCUaCiÓn _et mOVimi_ntO Y Si la t t _ 6 s n t _ I Q s
pDsici�n x queda expresada en runción del
COmO Se pUede nOtar _afa lOS lnStan_eS l = 6 S y
tiempo al cuadrado () se trata de un M.R.U.V.;
t _ l 4 s la posición se hace nuIa. el1o signinca que
C_mO tenCmOS
en dos oportunidades el cuemo pasa frente al
_K = (- 8__ + 20 l - t') m obse,v,do, o e, _odo caso por el ,f;ge,, y, qu
entonces tal cuerpo desarroIIa un h_.R.U.V. a lo durante su monmi_nto pTimero desace_era hasta
lar_odelejeX.Si conlparamostaI_presióncon detenerse en x_+l6m , esto en e_ jnstante
la eCU_CiÓn (__eneral) det M _R_U -V_ t _ l o s de injcjado e1 aná_isjs de movimjento, p_a
_ _ _ l _, luego iniciar el TetoTno acelerando ahora en
x=_-Dt_'ott-0F m
direccióncontr�ria.
_5
_p_Ef_ os7t_ _ __+l_o _ __ _ ___slet__odttlettnte u___l _tr_a__t> p_____| o _ _ _2 _ __tl_ npare__ _t____Jtl?__tt___ calcu__t__agmos
Lumbreras _d ilores Fís ica
EJemplo Il . F,n e_'ta grán1ca (amlJi�n _o_emo__ notar que en
Lagr5F1caadjuntamuestraluscmbiO. sde_sici�n l_s 3 _riln_ru_ segun__s (rlc t = _ a t =- 3 s) e_
de un n_�vil respecto al ticn__o. _etermine la mu_'il_'__r_z_ I8n_haci_ldd__le_he. _od__ducido
vetocidad ,__ f_- posici�n dcl m_vil en el in-stante l_ _c_d__l____- re_rc_-cntar sn_rL_ la Erdv_ cct_ria, asi
t_5 s. (-o (
_xcm_ 0,r 3-_ -
___ _ _-
+28 _----- , _'o_o _'
!, X_
: __ ___-_om t- d�I8m_
_ ; t=Ss 2s t--3s
' __la _ u u;-0
' _ _ _
! __-_- ------_-__ x
! C !B
! X?, O 7 t_dl_
; t(S) _! Xr _ '
O 3
ara determinar la velocidad Yv p_s_ ición _n t = S s_
Resolución debemos determiner eI val_r dc lcJ cJcelera_ión.
_\!ÓteSe_UC__rato_OlaßOSlClÓn_S _o _+lO _n, Se nOta QUe COnVle_e fealIJ_r t_l __lClllO Cntfe
est_sienincaqueen r�O el rn__7iles(áa IOm a t -- O y t _ 3 s, pero calcutan_o prc_Jian__nte la
Ia clerecha det origen. _ trazar l_ tangente a la rapiJcz inici_ (uo), _alizando et _am_ ___ ,_ ha_ia _
___.r_bola enelpuntodonde intersecLaal ejede , +, u +()
.c_.ones en r __ o b. t t o d� __' / _ 18_ __. (3)
1 __ I
entonces e! muvil se desplaza hacia la derech__. _ , _2 m,,s
O -
n t = 3 s u = O (v__rtice dc fa p__r�_ol__ )_ entonces
! Además_entre t__ y t=3___, lara_idezdelm�vil
a ra_ldC2 _urante lOS _flmCrOS 3 s dlSnllnUy_, el
Ji_'minuve en IZ nUs, tr_t�nd_se de un h1._.U._
IllO_'tlr_lentD eS _S_Ce t_fa O. -
se deduc;e que a = 4 m7s'.
fa l > 3 S trazandO a feCta tan_ente a a ___ la,
_ _ntonces e1_tre t = 3 s y l = 5 s se util iia 0 = _ _s__
U=lanO<O, en(_nCeS_ _l mÓMl a_'anZa haCla la
que ahora indica _e la rapidez aumcnta en 4 _s
12_lllCfda _J aCCl_fa _UeS la ra_lde2 aUmenta.
en cada se_undo ___ como se reinicia eI
x(m) movimiento en ( = _ _, en r _ 5 s la raµide2 es
8 _s- Fbr Io tanlo la velocidad es u -- -8 mJs.
+28 _ _ _ _en" F._nafmente _, posl.c._o,
_ __ntc a _cJrtlF dC l_ ecUc1Ci�n deI mO_'_n)1entO M.R.U._.
_ __? l?_
m _, -X= __-_) +l/_ l+-Ut
; ; com__ _+_oln._ _t. _2 /s ,0_ 4 s2
r _ -J- 'U- ' - '
+lo ;! J! ß_t reempla2amos
0 ; _ x_(1o+1__-2_'')m
- -_ - - ; : t s _ve1uando ar _ -
_ente _ , ' n_qUe
O 3 ( x_+20m
346
_t_2___t_(______J_______ __ ____ _ _ A A ( ) tra___)_e_poc_t_o_trnA_aostaeenn_tteoln,ds&mrarebctoo_rremnu2tulanrng_ eelln_n___tet seengulnsdxoses
iii''0_i,i
'._i_,.'i,_.,i, _,,i ___i'i.0_,,, _emaS QeSUeß05 , ,, , ,, , , , ,, , , , ,, ,
_FO_I_m_1 que tanto A como _ realiz__n M.R.U,, sus
Ln gráfica _ - r nos muestra el cambio de velocidadesestándef_nidas_orlaspendientesde
posjción de dos m�viles- A y __ conforme cada rect_.t
ransc!__e e l t iempa; _e te_ ine e f jns tan te en que _, _ t , _ 4 5o _
A
o._ mó_-iles se enc_entran sep_r_dos 8 m por
seg_ unda vez_ u, = t_ I350 = -l m/s
_ Los móv_les se desptaMn en direccion_ con_js.
'Xm
Ademá� de la _r_lCa para el instante iniCi_ (to = O)
xo(,)=-6m y xo(,,=+10m
Sobre la trayectona
r_O l=O
; _lmrs _I_s _
1 _______ _ _,
_ _ t(s) ---_'''''^'D__ __''_i'_-
, ! ___ -6_n O +lOmJs
O ,__6 IO _6m
B A en I s seacerca I ma8y_ en l s' seacerca l m
Q50 a ._
acercan2m.
_Qué debe suceder para que ambos mó_les estén
Resoluc_ón separados 8 m _or segunda vez? Necesan'amente,
Ha�_endo e_ análisis geométjco correspondiente primero se acercan I 6 m, luego se cruzan y luego
se deduce se atejan a separan 8 m por segunda vez; para
_x (m) que esto suceda ambos deben recorrer
I6m+ 8m= 2Qm
Xa%r- + lO Entonces sl.
recorrerán 24m.
.'. t--l2s
_asado l 2 s los móvi les A y B a_ vanzan cada uno
2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ - -. _ - - 1 2 m, en conjunto sería 24 rn. Ahora sobre la
_..,;_2_135o (s , , _
_ . .,a____o'' '_____'!_ 45U0'_
o,__ ',,_'_0,_ 8 10'
.,.._.;.-_.._...,..:. ; t--1.2s t=l25
_..,.;;...,._' ; g 1__s_ _1__s
.;..:,._''"''__ !, _g_,i-____-_-_-_-,__, A _X
__6_4_S=________ -2mO +6m
0_)-
separa_ónde8m
_r_gundavez
_7
_l ___+_2o _______t__________ __l ___ ______ _x __a_x___l _l_omm_/2ste0dllted5d((e2l_mt _Rlll_l_o_u_v_J (l_________l) a)
lumb re ras Ed it o res fís i ca
Otr� método Res olución
En este caso hacemos uso de ta propia gr_F_ca. Si Debemos resaItar que _a cur_'a es una parábola y
los móviles para el in__tante I están scparados 8 m podemo_ notar _ue _I __értice de l_ parábola se
podemos pl_ntear encuentra en ( = O, por elIo la rapide2 inicial es
?(m) !, nulau0=O.
;, A Ah,,a _e l, 3,fo,m,c;ó, q,e nos b,i,de le e,áF,ca
xA _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ! se tiene sobre la tra)'ectoria
450 ;
: _''__ t=,Ot=,2St=3S t=4S
X _ ! i', _ ;_;;
_ . ;U0=O; ; !_Uq_7_
! g _,, - - - -___ -.- - - -___oo - - - - - - - -_^___,;,._.
_45o 45a_ ;r t(s) -' x?_� 4 8 C, _
x,_(o 45o;' ;x_ow! ! d' !
X__- +----------+----- , ; ; !,
-6 B _, ? +lo ! !,
; 2- _
Se Ve,l FlCe_ ;! X3=+20m ' ;
xA+lxgl=8m (5eparación) (l) ' _4_7. '
Además por _ isósceles _
Para determinar ta posición x_ (en ( = 4 s
t= lxB t+lOm=xA +6m . (ll)
pOdCmOS USaf la lCV. del mOVamlentO del M.R.U.V.
t X__igl=_m (llI) _2
Re,o_v;endo (l) y (__l) ' __ _ xo + +_2 ( _x > o y u. > o)
xA =6m En l=4s
t_,l=2m (x_B=-2rn) _x +_a(4)'-
q- O
En(II): r= l2s
t x4_xo+8_ (l)
Pr0al_m_ 2 _a acele,ac;ón _a p_emos c_cu7e, en el ;nte_,to
La siguiente gráflca nos muestra cómo cambia la de ( -_ _ s a _ -_ 3 s. Lo que se despfa_ _, paFt_cu_,
posición de una p_í__ula que reaIiza un M.R.U.V equ;,,,le a c;,co vec,s t_ m;fad de_ valo, de l
conformc lranscurre e1 tiempo. Determine su ecelerac;o_n (p,op;
posición y velocidad en el instante de tiempo r = 4 s.
- _ 0
x(m) t = rnt -=
2
_, _ cnIcular la _sición JniciaI (xo) ___ta con caIcular
+ l O - - - - - - - - - _ -, !, 1o que se desplaza la partícula de A hacia B, es decir
! ! en los dos pnmeros segundos de su mo_rniento
'___ ! _
-c_--- ; _ at;_,(_)(2)'
_ ! _Ay=U,_+_=__=m
! :( (_s) ' 2 2
O 2 3 con ello xo = 2 m (lll)
348
_Apapohrsoal_crttatlt6nla_(d2eec2uuna)cml_6o_Kn___0ldt equlea spea_dr0_ebspol_a2a aq4Kuene_dl_lanrel_aa ___p_______afl|__l__l_____________at_____tc____vBal__c___c____c_8u______ml___a______r______x__2__c_2_pd____o____,___t__d(___B(0__e3_c___m_)_ __o0xt____s____c__0_u_____0_s___er_________________0_______|____________ __t_______________________________Q_____t____________|______________________________r_
CAPíTUlO Vll Análisis de gráficas del movimiento mec_nico
Reemplazando (llJ y (lll) en (l) obtenemos Resolución
? _ m Se especi F_ca que el mo_miento es rectilíneo y
Xq=+
con aceleración constante, entonces se trata de
Finalmente calculamos u4. Como ta aceleración un m i u _ la cu_a es una a,a/
de la p_ícula es de 4 _s2 (_e .) en 9 s su rapide2 A_ ._nte_,e ta, la era, F_ca entre ( _ o s r _
5erál6_s-_rlotanto_ent_4s mo,v._f se des faza _ac.l, la _,_qu_,
u4= l6m/s d__smin_yendo su rapide2; de ahí en adelante se
emprende el retorno, resultando el movimiento
O_ me_rodo hacia la derecha y aumentando la rapide2.
Haciendo uso de la ecuacj6n de la parábola. _ra Como el vé_ce de la p___la está en el inst_te
Ia posición de dicha cunra su ecuación se puede t = 4 s, en diiho instante u = 0.
esc_bir por Representando lo que acontece sobre la
_ 2 .. a trayec _o _a
X=Xo+Kt _ Cte._OSltlV
Evaluando p_a los instantes dados t _ 4 s 4 s t _ O
_ Ug=O u a u,
= 2S _ X� m _ =Xo+ (_) i,_i___..=,,..._-----------_- ,,_,=.-d;;'._i.a,-_--_ -----------_- ,,_.___-_-
(_3s _ x_20m _ 20_xo+9K B_,- '----'-' -^-S-0M_-^__'--'-'__�__'--_;-''"'i'-'_-'i'----'''''''''m''i''''"-'''"^''9'_'_,'''
ReSOlMendO (') Se Obtiene Xo=2m Y K-- 2 ; ,_-__gm =_x_o__+24m;
der_nidapor ; ;!
t , t_,4S 3s; t�7S
_' +t m- ; ac_o,
-_ 4 s la _sición de la p__cufa es ! ug=O __ ;! _,0o _ Uc
xq _ +3Q m B _ ' ' ' ' ' ''' ''' ' ^_ ^ '_, i''''"'"'" '' ' '' ''''''''", C''''
______s
La _r_F_ca nos muestra el compo__niento de la _
recta con aceleración constante. Determine la d _ Ug + Uc
_sici6n y rapidez del mónl _ e_ iMt_te t-- 7 s.
_(m) g+x O+u
__ Xc"_Uc'8 (I)
Ahora para calcular uc, también en dicha
4 t(s) tr_ous_os
Uc=_ (llJ
__R l ___6t_J____A__y_t/_(m)_ __t__,,t _e_n__t_o_ nces4ee__t____va_(_______ou__f2_d+y2(eu_y(1a_,)a(_c)ye_lteourcta5_cernl_ne___>____ eu2______ot_B_ ll_ll_ _x_
lumb reras Ed itoree fís ica
Se requiere ta __ celcración (o) Siendo cx la jnclinación de le recta tangente a Ia
_ En e_ tramoAB canviene plantear gr�Facû, en e1 instar_te t�O
ug t uo--t_)cx=+4m/s
dAa=_' t_ ,. ,
l = I s. entonces _n d icho instante Ia _'elocidad es
32 __ _U_ + O (4) nu ta (u = O ).
como se deduce que en un inteFvalo de tiempo
__ _6 m/s de l s eI món1 disminuy� s__ rapide2 de 4 _s a O,
_o,nesa__qmrs2
Comoen e_ tramoAB elmó_l disminuye su entoncese, (_o5s __, _,_+2_s
rapidez en I 6 _st en 4 s su acele_ci�n debe _r Ahora sobfe _a t,, ecto,_.a se t_.
0 = 4 m's2 __O (=o_5s r=, l s
; O,5s _ O,_s _
_ (ll)_ _c=I2_S ; ! _
_ _Uo=_S !u=2_s _ !U=O
6n (I): xc =+ IOm __-,__,.,._-.',,,'_ - - --- - ----- -----__ -_ _D,.:_;;.,,,.,, - ------- ---- - -- _,
xo A: B _! X
Pr_a_m__ _' e__
Una p_ícula se mueve sobre et e_e X cambiando t = l ,2 s _
su posici�n en función del _empo según la eráFlca !, O ,2 s ;
q. ue se muestra. Calcule su reCorndo entfe t -- O,5 S a ' _,
y t= I_2 s.(tanu=_) __,..:;;._,_i__,--- ---- _.o'.;_;i_|_'
---- --, _emosnat_que_lrecorndo (e) entrel*O,5s
! y r= l_2ses
; e'e_+e_ (I)_ ;
____ Aho,a so/ _o debemos dete___n,, e_ y e2
? ; _ Entre t= O_j s y t= l 5usamos
tan8ente _ _,
: _(s)
o _ _ e_(,2+O ns_
_ Mtre t=ls v_ t=l.2susamos
De aCUefdO a Ia _f_riCa de mOVlmlei_tO, l_ / I _
, _ . mRuv _ _ d _ e2=_a tBc+20 tyc
artlCU a CX_erlmenta Un .. .. a O aI_O e
ejeX,ademásdeducin)os___v_enDet=Osyt=ls t e _ l q o2 _
el movimi_nto es h_cia la derecha desacelerad0 y
a pa,t;F dp r >_ _, el movim;ento cs hac__ la t e2 _ D,08 m
l2_llie Cda aCel_fadO. , Reempla2ando en (I): e _ O,58 m
35O
s___ppenldl__FR____0uvd d___ltl_ __l_qsdx _l_ l R __ __t_g((an___d/so2)_)(llJ 2mJ _ s_ (_J_
C__PíTUL0 _'ll &_'_,._á5-i_ _î__ ___ 'i_e_ _. r_riLa_ ___ _n_n. vim=9_e_t_ m_c__r_ic___-
Pi__l__,,,l___'''',_&t___. 5 .?otp _.__,_r,_ _.r, elo ir__. i__ J_,_p_ t c__1 n___u___..f _J _y_._a _,r. C_
Un c'ue__ se _t_s_l__ sobfe _i e_:1e __ _ _u puS iCi_r_ co__ _ __ _ _ ; _,'u_ __r >i .se,__,,_n_a __e2. _?_ di ;__fm !n;-.;f
v__ r___ ?Cgun s_ InUeStr_ _n Ja _iá_ _lc_ Determiije e_ _n,c__.__n.v _e___v-_ t_,__ rp. 4u_er__, __._ v,__,_f (_rv, 1,
nn ___ ;nstante t _icho cl_crp_ p?esenta !_n__ d_,ve_.e,ac__;nypa,_ gl1ous_mo__ _c_ ;,.-___,;e,
rapi_e2 _e_ 4 mJs _or s___un_a vez-
U_ _'' _____dABx
(m) l? _ LJ_' -_y (1 6 ,}
__+I6 _'''___ _2;
a --_32 '
! _ M el mis__,__ tramc_ usamos
; 'mar_i_X O :
' (_!A +U_)
; _.6 ^_' A_
; r(s)
U_+
Ol 4 16=_2(4
Resoluci_n
/ , _-
__un _ _fa ICa _^ c_, SC C UCC qU__ e CUR_O
, . _ a _
re__l_a un _.. . SO r_ _ _IC ; _n_ _C_moS pOf eG_mP 2 n _ Cn _ _ = S _
inte___tos. Finaln_ente, para_ que el cuerp0 _e B hacia ?
_ Desde t=O a t=_s __ umentc .su rapjd_2 _e O a 4 m/_ co__ una
_ CU__ Se din_e ha_a la _efeCha y en l = 4 aceler_cjón de 2 mJ/si debe_n pasar 2 s, entor_c___ si
s se puede _educir _ue se detienei entances en B, ( _ 4 s, en c e_ instante es _ = 6
durante los pnmeros 4 s el cuemo desacelcra.
_ Desde t = 4 5 hasta ef instante t
se obs,,va m,nc e_ cu,_o emp;ez,,,, m,ve,,e PFDbl_m8 6
h_c_i_ la jzqujerda t_ por el increme__lo de __ !_n_ _artlCUl__ SC mUeVe SObfe el _le X_ Can_b_-a SU
_,nfe de _e ,ecta t,,_ge,te a _a cu,v, posicjón x) en runción de su capidez (u); se___- ___
_abóljca. se puede a__ar que la velocjdad la _f_n_a _dJUnta_ _en qUe inStante de ti_l__C SU
aumenta; entonces ocurfe un mo_mi.ento fa_ideZ eS l _S?
ace lerado.
sobre la tfe__ectona se tjene X (m)
f__o r__4s ___la
!' 0 '!
! uo 4__S u!_
-___.._,..;_. __________=__9____________ _,,..;-_0 X l6 -----------
_=O '' A! ----- ---C; B_ '\ _
!_o! 4_sl! _a _ __ ;
, ,_a__-- - - - - - - --__: X '___ _ u (?s)
_. '--''-'''---'-_'C_' :sB__ a'
_o+ l6 '
351
__2___(22______ t(_ t x___b 0l() ) __ t_tt___ __vt1_,>_(op_ J__) ( _ _\ _ (_ __
l_mbrera__ Editores Fjs i ca
Resoluc_�n _e la gr�fi__a dada x -u , cuand_ u � 4 m/s_
En Ios proble_as enterîores de M.K._!,_s hemos x= l6m.
examinado I_ _r�F_c__ x'-t _u_ se _htu__o de la En ta RCUaCIÓn
., ? _ ? l_2, ,b_J . ^ l,2
eCJ_ClOn _=x_j_'__lt-Ot __ura 0__, __fO Sl _=
2 _ 2u
_-'__ ,DaráboJ_'_ tiene su K_�_'tice en el origen ,x o = O
_ttJ3 ,,,f__ t, _, _t,,_o _o i6"__('_)'
_ - 0- " '
Reen_pIa2andu tena,mos _ y _. _ ,- m /- s_
_ I_2 E .
_X=-Yt C!_â_!On_P l_ _ara Oa NOS_ldenhalIarlC_a-ndOU= I _/S.Como X- u=
_ero ____ es la únjca ?cu_ció_. cuadfá_ica que nos y _'n _ O l_ _CUaCl_' n _eI m_Vim1RntO S_ ßUe_e
pe_mi te cu- rls tiuir una, ?, arábota. P_e- L__u_r_e c_ue en _presar por
c1 ____.i_.U.V. _L_m_ién se cumple
_x.__a(_,_ or^x___u'
_7 =_J+2__ -- _ ' _2_
_'-_0_'_2_(_-x___!_ Ig_iatandoobtenemos __t'_u2 _ nt=u
__ et _fjgen __o = _, __es_ej_ndo Ree_, p__2ando ( o, 5 '_ f2 __ ( 1 )_
_ ( I _ ,E .6 d _ ,_ _ dedonde l=_s.
_= _ U i CUaCl n e a__r_D0a
0 - '
Er_ consecue_ncia, en el M_R,U,_ podernos construir Otro míf_do
las 4vrá_câs Cun a)_da de fa inf_rmacián gr__r_ca y el át ge_ra
M.R.u.V. x (m) de fU1lCt0neS veremOS a qué mOvimiento
coccesponde la gfár_ca (_x-u).
.. _ _ l i Según la gráf__a, cuando la pa_ícul_ está
'_ 2
__ en x=O es u= D y
__ en x=+lGm, u=4rrUs (l )
ì_t r (s) Además co,mo la par_bOla tiene su vertice en el
o On_e_ V_ _lene SUS ramaS abiertaS haCia afriba_
debe obedecer a la siguiente reIación;
o cambién como es nuestro caso x__ bu2
M.R.U._ x(m) evalu3ndo seeún (l
' _6 (4)a
l 2 = t --
_a
t x=u2 (Il)
_ 6 _ _ _. _ _ Ahora a la e_resi6n (lI) la _emos transform_r a
; u (_s) y2 _ (o)1 + 2(+_l ?x
o 4 . 2
352
q_t__e__c_o_J|m(_p)a_rt_)__6en lam?t l _a_t _v_( _ _) _e ____tt______a!(______6________c_____;44tm)Bmll_t_;(ct_e__)_4G_/_n/_t _t_ t _ _ ;t) _asF_C_____
_ __? V__ __,__j ;_i ; _____ _,___�?v__? __ e_ _3 ; J? _ __ _;, __ n _ _ _ ,_ _' ; _ _ v __? , j_ c _;
_a_;en__ mem_?;___ __ e l__' ,Fófmu!_s ___ _1___._._ __ t__;__?;___n;__n ._jn__._ _ y _, ____ ,_!_ _;_ _;nx____ c !_J
recGrdam___ 1a sieuj_nte ;-____J ____ _'___'_ ___'
Z _ _ _2
t'_ O , __?'_?,n
Compar_d_la c_n (_!;) pa_em_5 __ncl_ir 4u_ ?' _
m__mie_to de I_ _e___l;la c_n___ponde al _e _n ___
__.R._!._, ___m_? se de_uce r__e ;__ _artícm_3 f_;c;a
SU m__,mlen__ (_o=O) C_n ___ _Cele_aC=0_ _e
2 _;_ _F_,_
d,recht, 1 e _ _
' _ ,r _ __5J
_0re s__re !a t_a_Rct__a t_nemos ú _ _
-05__2
r_O !__ __'-
uo:-__ : 1__s __4_s
_ _ _ _ _ _ _ _ _-___,_ _ + _ _ _ _ _. _ _ _ _ _ + _-___ _ x U_ = ___t _ _ - _____ = __
x=O x= l6m -_ -u
- _- /
Fi_aImenle c_mu __s _iden eI i_stan_e d_ ticm_o
(r) pa_a e_ cual la _a__cu_a tiene _na _a_idez _e Y- '" t"J_ X_c_!=l6m
l nIs con e; val_r de _a aceIerec'_ox n _ _ _,5 _s' _a _cuac jón de mo_m5ento _e a __ene dada p__
_ededuce_ueesenr=2s _ _ ?
XB=Xo (_ )__
_F__lem8J _ _x,
Dos pa_ícutas A y B se mueven sobre ef eje X la Ah h b /
' Ofa a rla qUe V_f en qUe Il_S an _ l
posición de _ queda determinada por pa_t_/cu_as t__er,en _-gu__ _ pus__c__
x,= (6l- r') rn y la _e _ por la gr_lca adjunta. _ _
XA=X
etermine la veloci_ad _e A para el instante _n B
. s m a p o s l. c _. o, n ReampIa_a_do fa ex_resión para ambos
6r-__ 16-4I
__m) .., r2__lof+16__o
ded_nd_ tN 2 syr�8 s.
_tu signi F_ca que hay _n5 instantes en que tas
pa_ícutas compa_en la misma posición, pues en
dichos instante_ n_5 piden evalu_ l_ v_locid a d
t(_) _CA_
o 4 . Se Sabe qUe 1a eCUaciÓn de mo_miento de A es
_x 6( f2
_-
Reso_uc_o,n Y Ia eCUaClÓn del moMmiento de un M._.U._ cn
.. , t _ _enef_ Mene dada pof
a a a _OSlCl0n e _Of XA= t-t nl y a
_r2
gr_F_ca x-t para_. x_x o+u or+N
2
353
T___J_ p_+_Jt2__ _______t___ ____N__ _fl_l_ __ ___ y _ __g _lJt_A__ __q__l( (__t_ _e_ _ _ __;A___|_t _x__
l__mbreras __itores �_s9î_ a
L_ e_'uaci�n de A l_ tra_,__(c_n__1mos a Inle__et_nd_ la _J_'a�rica de J4, se _eJuc__ ___a ___
_x ?_ ; _)t I! _)r2 t=D es__-aiai2__i_erd__de__n_en_'t_eneposición
_=++ t2--_ \
l_e_at_V_,_ )' P_ 1_d_ tnStant_ S_ d_II_e haCia _a
Urn_ D_ra_d_ i__n l_ eC_aCIOn det _-_+R.it._ _e
er_ch_ po_ )__ _endien_e _e l_' gr_fica
o7_ti _cne
COrfeS_0_de a Un an_U _ a_U_O :. el m__'_m__ntO
2 dB ,
o(A;= i Uo(_)=+ m S Y 4A =^ _S e Ser2
Fin_lmen_e ;a _tuac_iOn 4e I_ ve_oci__d _e _n
t--O _-- tl t_ t_
.K.U.Y.e_
B_ ug _ u
u_u_T___t =_- __ ---------___-------------___
i_ __O_ _M
_r_ A S_j_3, C_em_IYZd_dO V_lOf_S _. -_r : :
;____ _,=_l6m ;
__A= (G -2r)m,_'.s _' -_'
_Y_lU_li_t_ ___f_ l_S iTj+_____eS d____îd_S _c ;_a _f�__c_ se __ e_;_ce que F_n e1 instanl_ f, el
_ __ r____,_,_, __+_____,_s(n_ov__I_;ent_hac__a_) nlÓ'___i 8 __5__Or_a_OSlC_Ón x=_l6,m.
"'- _
__ ilen____rnns _Se i __c_ia _V
_ F_(--_s:_'__-__T___/__(..m.onmient__aci__) _ , _9,
'!'^ --'O
-I j
__l_m_
.-_c-__,n, _e __s n_,--v-__es A d uc, se _ __ ---ugf_-I_ (_\J
d__l_ Jj_Uc_n S_hIe L!n_ Int__m,_ _Ineâ _c eCt2 Vali_ COn _J_t_emc_. s r_;un_cer __ ___ide_ (u_) y el jns (anle t _.
_. i t_'__^r_I__O __l CO_i_o __ i_diC_ _r) j_ _fdf1__ a__-Unta. .Por _afo _,_-bemu_ que para d_c_o _nst_nte !,o_
Deh___rmine J!_ pG/_ici_n ir_;ci3i c_e B, si en el mo/v___es A ), g ___encn _a m__sma Fap_-den, es_-
ins__- _,te l_ M__0smón!espresentan igu_ ra_ide2. s, 1_e,e ,e en,,__;,cemos a_ m6_N_
_ (m) Al i_temretar la _r�F_ca de A podemos establecer
_ue en t = O_ su posici�n es x _ 0 (-pasa por el
!, 8 orige__) y_n t= 5s s__posicjón es x_+2sm y
; su velocidad es nula (por la tangente a fa par_b_la
tl6 ----- ------_------
; ', __ en _t VertlCe_/ pOr lo cu__ l sobre la trayector_a
; ; tenemos
_ _ r_o 5s
! 'A
! '_ u _,=cte.
_ _ t(5) __-?0_0, _O -------------------.- V__, u=O X
O 5 t1 X_-O: ' ;
x--25m
-_o de_ _ Uo+UF
O -
Resoluci6n (_uo+o
t 25=
egún la g_'árica de1 movimiento_ el móvil A 2
expenmenEa M.R.U._. y el mó_l B experimenta
t Uo=lO_S
.R._'., ambos sobr_ el e)e _-
354
c(__n__J__e/)l _J __ _2t 5_)t___l_( _ ) _ \_ t _t____tx_____ __q_tmt__lfg__/__s__tcte_ ______g __t __________?_0?0?_35d 5
_,___1___t___ ì___!- ___.;,,_:__';-__;_-'J ____'__' :-_a_ .f^:'_?_;_ J_;- eK9__ _____?____ _.__'___i_____
T,,___,__,._,_-__2;. ,_. .__Jr_,_z..,_ ,.__, )_ .__ _t_.,___,_. ,__.)_!2._.,;-,? __ af_e;-f________-i_,_._. i_,._) _,__J;_h_x ____,;____.,, - ' _
___m_J _i m�!_?';! _ disr(_i?_.l1)_r ___ i _;__,i_e_ _ie _ !J_J __JJ__ _-_' _!_ c_:.i_i __ ___' '_T___",'C S___F_ ___i__ ___3_Jr_ ,'!. _!m_
a__)___,r_,_Js ;____-;-_;;-_,^____i' !!.;_,__ 2_=?-1ì3__{lO_�e _fI f_'7_1lla
n ?_ c_;-'____n_ _!;'_. J J_J.? t _i___ 1-___ _F__-. ji ___ c!_J __t_-_!_'_____3?1:___
_c4___Jrn'_i' __ ) r _ _. ,
_:__ - _U Y___l__ r:l_ .7_ _/ _ll _inJ__FJnl _ ttt_l_'.____t (!,) _í_
,St_€ún _a_r___f_,ca t-_?_1 ,____j,! _. Fst_ç_5e_etjenc pc_f !?!__'__CC _.'_'_ t_l _f_f_C_ ___)___;_-__.x. __te_rf_JI_1r _''
_,,st_a_te (en ( __ sj __ i_.m___li_- _,d_ _,r_,_.__,_.___ !_._J;.ci._ ;___u? y _ _it ( i__ !__x Cc__. iC_ ;_' ___ _, r_C> -___:__ i_._ _f_??_rC_(J- �_ _ _,__
su mov;_ient,. h__Jc_J,_ 1_ ;-____ie3___, y t_c_ e_l n,___,_ hi__-t_' c___nst_te, t=-_s.
j1____; ,__!_ t,, ;,'-c,x___ (_ __t__'cl1_tc._t_ !_ p_r j;_ pn_ s!_i_,_ _ __j r,__,./s)
x ( :_ _ l_-)m '_3_ __(._____) ?_'- a_ )x_;__;_!!J',q ' _
+-_�-- '-_t
5 __ ;
_--' --'-_----- - -^- ---"^'--'-^_'_- __\ f ;
,' r_ _____!-_ __ ;_ _ f;..,)_
_; ^ - - - (__- /r__ - _ __ ' _ ' __?! - ____._,_N _ ___._ 'r__ _
-_ uo-_____,Js , '' uc_O i'!_!_ , =
___:'A;-_ ____n____--'- ''",0 n_ _?_;_.. _._. ..__m__!._._._
__--O _ D_. ' ;C _!
_ ____=l6m_' d=9m _ _
'------ - . ; Res__uci_n
! __M_x__ 2_5m _____,_! __ !a ng____ , en el intervalo �_ r = _ a t m 4 __ ,
___ i_ tra_yt'rt_ri_, e_r) _l r__t_rr)n !__sai____S _a caf)i,c-4- cJ__ a l __ fe_o_e _ m hac_J_ le der___ _.__.
n er,tuncas e_l ( -- _ _ re_currefn_ IG- cn.
rlti_fr
c_cJ = ( '_ t___ t-- _ ._t_ ú_J_ r_1ca, enej _v i, u jentg jnt_eNa!,__g(___sa
t = 8 s Ia _-aiocid___ es u -.- -2 m/s _. _te., ah_rc_ l;_
_ _ J _ 2 canjc_ c___ l s fec0rfc 2 m h_cja )__ jiq_!j_,___
tr= i!,._J_t-Jllt_-_}
c re_re_-31_rlo_ taJ c_rrlo ie des_ri_e cn _a s!!__;___te
rlg_ra. c_l_é __urre en l = 4 ._.'? _c_?,' un b._5__ c___io
J =- M, _ j _) (1_, '_ :_J )^ _e !a vc_ì_i___d tanto en m�dWo c0rrao en _i_ccj�n..
esto _e _ebc a l_ c_;- js!-_n de la c2nica con la p_re_.
_e_rJn_er__- _s
t=45
. CJ __ __mO__ _c_lCU _f _4, USam_S f _-, , 000
uA _. ,L,_V. +a,(l__j) _ ___9s M _ ___,
j U_--_m_ !___
_ _._ _- (2) t._! _ __ m,/__ _-____., - - - _ - - - - - - -... v - - _ _- -.. -__=-____D, __00,? _ue
Fin_ln_e_,te, c_um__ l__ mi_'i_e___ er) t , --- _ _ t!er_e_n !_ p_-_ __ m _
IamlSm_ f__ict__ (__'_ _'_'?._ _GrIV__)_ !.
___e__m_)_e___ ___r; an (:'J (_-gs ; 0
; 4s !00
,x, --- (i(. X,) - '_ _ _ :3_ ___ ; !, 0_0_^0
__ . ._ 2_ ! 2_s;_00_
, it if't_'_i_____'__Ctl__rl_.mC!l__ _ __ __..__.__ __ ____00_
X,,---.__m ! e2-_8m _
_puFo__e__m___8_________0_lt____)__________________________ ___o___t___________ _l__ t x ( ) _p__l ( J__l__ _ p__2s t(p___t____J_ q t__f6dpal__l|_pc_e)uF_loa
_ umbreras _ditu' res _ i?ic_a
_I recorrici_ (e) de la îi__ic_' ___;____,ante 1_J_ 8 s evs KcsoIu_'i�n
eme_i_.,= 24 n_ _ara _e'___minaT' ;__J- q_'e s_iic_;-t�_ __i _r_J_i___T__,
Y ta pos_,ci_n de ta _anic3 re_. _e__-n d Fv ;'_ p_!__ en_- _rin-_ _cTO lr_t_'m, __ li___ _n__s Ic_ _r_^_!c'__.
._,t_, ,;__ .,stan_c_ r _m. g _n ,_,._ _ _ r) _, _..,_ cu_1 j_djc_ c ue __f_, el jnE_.r____f_ _ = _ __ t � _ s ,t,._ ,r__;cx.rtj__ut_ ;.._, _e_x!_j__ un
gs_..3 _!, __ a ;_ i_.q_i_r____, __ !__ _a_,n_J. Mt ._.tj. CC)n _'_ -' - -_ n__'S _ ite. (_mUV)mIPn_-t_ h_C1__
Ia i2a4uier__J.
_,-_,_me_fu.._?E_, i__N1 _arli__li;'_ _J4_ j > f___ ___ríe _ n_ hLn_c-',_ la
. , , _ i_____;er_cn. ___.____r.e__ cn _ s reco__re_� _G ____ i__cia
.l f__r_ffld_ ___ Je_ __ CanICa en e_ lntRrva_IO t = a
Iai_n,__icrd_.
i- = _ 5 __ __U_mU5 U_t_nCC _r_ !_ __f___Ca (J " t _r, eJ j_ l_.__,__lo _. M_ 4 s __ t __ s _ Jt,_ __, t._c_J____ ,__,- 1 j2a
e_i_ f__r1_a _irecta ser___end_J un h_.R._}.V. n_ 0n __n_ _cç__r_c_j_n Q_d_ p_T
A n _ m / _ _ - / __ '
iJ (_s) _ = t_rl (3 = _ = i _ ___ 1 S
S
4 0 _te rcsulta_o nos i1_Jic'a _L_i i_ partíc_a!a sigue'
_ _ __=_ S_x _- _-_ __ _,;;_ ' ' _'_: __ ___ : _' _ '' _ :__m'';' _. __ _--_-- _- - ' des __z_ndose hac_t, la __2 ,___ _
, _,_._ _ , ^ - _ _!, v5_ __. _ ' _;, ' _ '' _._ __ ^' ; __ _ -_ __ j
____:-__'m:'5_,m____,_,; ..,_ _;_, _0,__. _''__ __0_,____;',___,'__5,, _
'._,.__'_0,:,:-_'_'_':_;:_;;_:'___''_';:,_:,____,.___,._,._,..._...,.;.:,,(...,_;..,_5:,___4_._n:;_;__! 4 g t(S) _eSaCe er_ndD dC mOd_ 9Ue en t -- S'- U -- O'
o ' __>o.__,,_,;-5;____'___;m'?;c__:___' ._0_;,o ____'______, (Vef _r_5n C_)
__'_ii,i_00_'i,. _%i'___, ' ' ,, ' ___'____i_e______0_'_^___0_
-o-----_-----d_^'___"_''_'''_''___/_''__'_ ---_ MlOnCeS,ent= S _SanteSdedetener5e a
vclo_ida_ es
que el recorrid_ se ehpresa por e_-'_;A_l+lA_j, _ ù_-2m(s
CUmO SC VenflC_ Ah_ra sohre la trayect_ona tenemos
Af++lGm y A_=-8n_ t_5s t=4s to-_O
t e-_16m+gm : ; 2_s2 :
.__e=24m 2__,_: 4__S_ 4?S;
.,.,,d, _ , '. _ -- - - - - - - _,,,.., , _; --_.; - - _ - - - - - _ _ - _,_.... ì -_ ---
x_O4_? X_4n_ xo_20m
! :wd=l6m ;
na _a_lCU a Se- mUeV_ SObre e eJe t On Una _,
vc locid_d _ue _'a�a L_on el tíen__o como se indica x__
en !e 5r�F_r_. Deter__ine para el ins_ante t _ 5 s su como vem_s ,,a __ ,. _ _s Eante ( __ __ s _, anl,
_'____cidad_ a_et-era__i_n y _o__ició_1_ si inicialmente _resen t4,
se encon_r_ha en x = + 20 rn.
_'=-_n_is ;.__ u--+2m/s_
U(_s) _ara c_nocer la _osici_n _. -,_, se requiere _,, 1o
ci_al catc!_iamos c_n
:_>r__'_, ..____\.
_ 6ou t(s) d_=!!_2 ' t(___=l_ l=3m
- _ ,l _\_
O _ '
!, entonces se concluv_ e _ue
_4 ! _x
t' -
356
M tA_____________________t___________________t2_______________________________A______________%_____t__________0____m_t________________0_______________t_2_______________gt__f9_____ __ tr_ ___ _) c_on_u__n___a___c_e_l_era_c_6___lt_cons/t__an__te_____d_t____e__nltdap0__ r _
C_____TU____ Vit . &,,_'g x,i,�,___i_gì_. ___A_g _,__fjc._g?___, ____ _,g,'__ ,avim,,-,_'g,______ __.___-_,___.__
_i_i_ n__t_do __ii', __8''_i_ __ __'_,' __e,_,8,_?__'___''___' -_' _ __
'_i_ J!_ __f�_'___ _-t _u_en__S detRC_n_n_t _iz__a,____x'_�___- .SR__9Ue__e_____._e,(____J'__.,_, i_'_____iu_____a
_;_r_c't_niente e_ n_,_pla__c_m!e__i0 (._d) e_,i e_- ________;_r____i_;___ n_ue ___e____?;_e _e__ _,;,._vn___,___v_ s_ e__?;__;,,?; _
_n____'__ _e te i__ 0 ; ___ , ). s _,_, ;;nc-e_ _c_;-_,__-_t__4+ iht.er___, _g _c,__ _q_,c ;,;-_;;6_, _,_m-;r; _? _ (;,gk,
_j _?i __ = t _. 5u __-sici_n e__ i = _m ___'0, _-
_u (mts)
_1.R.u._ _ ?__ (__gJ
t ..., _
,, _5 ' f(s) _ 1 _'g_i0 . _
_'r' _-''-----;
O ___';-'_._:'_!:,_- __. '__-'''-'''.__;qv;_ _'_'_:'.;;''._':^_:'_____!_._..?,___ _6 ; ;
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__ ':i_?:_'-_,___': _ _ _-_;_.__'- _,'^' _-_= ' , ! ' r__
n-._w!:_'_'__:'__ _.___''_ ;__'___'__'_'_-_i_'_.__''__._-,t :-_ ' ! ' ; _ _
0, _'__C_____,_;_____-'_':^-n_-_^'__-__-_'___'-í-:___._:_:_--'''_''~__:_v__:'_,n,'_''__'i__ _;',''' ' ' ; '' " _____ '_'_L'
i, h__R.U_ !
? _es_lucj_n
_SS, l_ U=-2m/S. De __ra_CatRnemOS
? 1n_e__ e t__do la 3r_ca se d__u__e que la p_ícul__
que J = -_, e1 áred 1o calcu___ mos de _
_ara t=00 tlD_n_lln_ U=+3_S ,ela_tlm_1lCa__Ue'__:;'
_, ?u (_s) S__ m,!iCPe t_aCia la dRrecha Y I0 h_ce ___!_ant_ lc_s
1 pnme_os 4 _ _pen_e_itc_nd_ _.__8i'.lf. _ra r _ m
4 s . s la parLícula v_a _u rapidez unj'J_;x__nem_nte y
_?_:'__.___,..____;_.___,.___S__' 9,-;;' _;'__,__.._'n,C_.___''_-_','d__,__' ,_'-''_-__.__,__''____'______. ___' -__i_ '_i,æ'=_'',__._,___ ' r(_ se sjgue n)oviend0 h_cia la deiecha en este c_vc._
r_.._:'_,',_.0_0_0.__,'_ __^'_ _'.'.?'_''__ptm_.;______'n'__ ^___._4\___,_.__,__-_'.;_.__ ' '
_^_' _ .,__,._._.__-?? .__ __,.i, ,_ ,.__ ._,._,.__ , ?. _,__ .,_m..,_m,. _�,_..____ ____. ' _ ,
_2 _''__.___n,.___0_?__9___' __, _' _.:.____',__' __,._____&' ...:!' ___
__ '_ _ ''' '' ._ __ âa_tan37o_+o75m s2
i_:__''._''__'_''' ,;_.'' 2 ._ ,_;;,.__ :','''
-4 '''^'''"- ' '''' ' - _ es decir para t > Q s la pa_Fcula a_imenta _____
rapide_ en O_75 _5 en cada segundo.
A_ _ 2x 5 _ lO m 9ihora sobre la trayecto_a se tiene
4+52 g f_-o 4s f_9s r-_6s
1-_- ; MRu - ; ;
! _t--ls 3 ! t__2_ !
!S' S !_ !
-t A_A(+A2_IJm ! ' _ _ M.iU._ _
3_s_3_s 3_s0 ?_X,
? _íi_,.,,. - - - -''_____,_,_.._ - - -. - _ - _ - - - - _^_i'___.,... - - - - - - - - - c- .0_= a_
d = - l9 m _.,!_::_.___!_y._,___;-_'_;_.;__=_:,',)..__. _;-t______'-_-.-..___.__'.;.nu__ '___ __,_, :;v______,_,,____,___'_'__ _,7,_.','_-0,,__, ,_,,.__,..g__=u__.;,__ '_p_;_ '__
r' _'_' __' _,0
!_3m 1X1---4m! 5m ! !,
__xx _X_="7m_ _ dl _
f- o m. _
_x 2o _! 9m ! ;'
f _ ; ' _
_ ! _F !
.'_ Xt.=+lm ,
7
_( _3__t_(;) _2_)(( )_(__t_____r_x_______________r_______ _ (_(___p__lto.( o)2t( ______ ) e __l__l enozaxs_2a
Lum brer_5 _d itores f isi ca
_ Pr__lema1a
IJ_ Ia l_Ura nOS _ld_n X;,.
Una __rtícu_a se mu_ve s__re _!_ ei_, ,__ con
Po__mo_- __s_r_'_r y FIantca_- _ .d d , _. ç se _,,d._
Ve_UC_ a C_UCVaT13C_n_ tlemnt_CUnt
_,_,. _ __ _ d_ (IJ en la eráfica. Dct_rmine su ve_oci_dad y
p_,c____1__.__.._'._.de_thyci__ aCeler_ClOn en __ lnSt_nt_ t=8S )' SU
dcsplaz__ mi_nt_ durante __s µrimeros 8 s.
_
l-__Y - _a ?u
l __,\(2)2
=_2t- ._j\
.'. d__7x__m g,
1
En';Ij t :
_, J_,,5m =_ g ! ís)
f'--- _'
0I_-_mét0___
___ ___0 p__en ;3 x __ _ '_,- 6 s _- 5_ c_T'__e !,__ x p_a Resu_uci_
_ _ . '_d\ _ _ ,
_!_ SP___n_OSd__e__i_j_F_ d^_S__amlent_ J _ _a__;r Je _a gr_F__'a !\ _J_ l u____ _uede deducir
_e !!_ _a_í_';_1:'_ _n __ iJ)_t____-!c _c t= I _ 3 t=6s ____ la p_FE,_c_l,_ de r = o _ r _ 2 s t_ene una
. _ /_) _
J _. _rttf _ _ _1'Y _C_ ( U - t I. ve l_c_idad i_ns t,_nt_ de u _ + _ _s, Io cual no.5
_ _e,_a!3 _ue ,!_ _e_/acui__ ic mue__e h__ja la clerech
u ímf5
_ avan2an___ 8 m en c,ad__ s__gur_c_o_ tal c_rno ;-_
4_s - - -. - - - - - - - - - _ _ _ - N - - - m.oStfam0_.
_ t=2S
!! '_ l5 l
t ,__,n_',_' 2s !
1 _ _, ,_!_;'__y_r',-'. t 0 _.R.u. .
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3 ;_ A_ _w________ ____.__ X= _-_ , _- - - - - ^- --^-_ _
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0 ! ' ' ' '"__' ' __,_' _d __6m_!
l 3 _j0 _, x?
2 _
El d__s_!a2amientn de la _a_ícu1a estaría der_nido _ueeo a pa,t__r de F __ 2 s _e, pa___cu__a com__
P_r ex e,;mentaf _n ._1.R.r__._;. c_ont;nua_.d
_d !3)_ i 3 _ _, 5 , _ mo_'imiento hacia l__ derecha ?' disminu?'endo e_
=_t_= +_l\2l - -
_ m�dulo _e su _'e!oc_dad. _ast_- detene_se por un
t dn_ r. _6,sm in_tar_te, en t=_ 6s.
pef, t_.2S 4s l_.6S
_ _mRu_ !
d_Xf"__ 8_s u__o
_ 0=cte
_ _4 ___ _-_----- ---- _ X
1 - f
.-. x,. =+l2_5m _d _6m_!
2-
358
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C___T__i__ 1k,.f_l _' _�_,__sj..g_ _e_ _g. i_f_____ __,_._iag_ ____j_0 .__'___gg_e_ _,,_'__ec____c_4_.__
__ri __s__ t_a__.__ cG_J _ 1a partjcu_a d�___.;'nu___ su ___. _''__m___0d,a,i__vej__c__d__ _;_ _ ,r'r_s Fn (_ q .s, se _(ec1__ce q___ e,l N_s_otic_i._. t_;_T,_jé_,, __t___n_ci_ obtcy,�er ___ _j;,__,o_c,
__3___ da la __ce_erc___iÓn es _J _nJs'' _ con_�de_ar_d__ res__!_ta�_5 a _a_3? _e !3 _.is_n_ __án__c;_ (~ù_ f_.
'_;+u\ ig+0_
______ f____(_) __('m_n_
, _ 1 2 ' _'J-'___''
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_ dn=l6m __
' 8_'__''__'',.__';.,
_jnatmente. a _a1-tir Je t = 6 s la pa_;_cuia ;_nicia -f '' _'_',. _''^: '_ _,,,.,.
c. + . - ï...;_.'''^''_'_^:_'_'_:_:__:_;-__'','_''.''__'_____
5_i3 _t__'_m_C____L0 _3Cla _ tZqUte_' a &Umen _n _ 5U _, ' ''' ' i'' . ''_' ' .;: . ', '_-'_'_ .; ,_ _c _i____Ji__
- _ _ _ _ _ _ _ ___ _ _\ _- ____ _''_ _ _ i'_' _ ' ___^_ __. __ __'___''____.,_, ., ,, _,.,. .. ___,_,,8
'_ ___lC ai_ i_J_ l_ n lISma __e e?_iCI__ __ n S _ m_e _ i r_ __ ____, _0i__-_,i_:__,_._i'_-_A i _
U i _'''_' ''_i'__'__'i0'_'__'i __i_
en el tram_ _ntenor, e5to se _e_uce _e- 1_ _r�_ilca _.ut - _ - _ _ - - - - _ - _ - - - .. - - - _ _ _ - _ - - - - _- _'___'V_-"_.
(_u _ i _ _'0 ___e 1_ ve!__cjdad __ _a2tir __ t _ 6 s eu?__4- __
___l_rgs ne_ati__o_,. __ _.C. _ _Cr. _____ _Ó_ l_ _eteCt__ i_i____5 __ O_
2_ r _ _s _ = t__ i._v = _t__ _ --_ ,___
Ad_m.2? _a __e1,ocjd_â en t _ _ c_, _a _x__uc__mos a_
' a_2_s__-o V "- ' -
/-_,___ ,U .._,..,.___ _ ..,.,.,.._.._._ x _a_i?Jde
' _ _',''_''V'_ C!, __-_J_ _
_ _ t__ ___-n_- _4-_ _=--_mJS
; ; ;_ _i
____3_4m_, ! _;r;._!_m_ni_ g_ _e_________ rT,jncnt_ de ( _ _ g_ p _ _ _c _r,
_et_r_, inNnus calcu1F_n__- e_ _e__ __ l__ regi__ a_e
,n __ s t_ tra_,_J ., ia pa_ícu ___ a_m__ _ la su rapidez _n _ -
l-_r__ __ _'r__iC_ CC.)n _t e_L^ de t1____O, _S_
m'S Rn _^a_a ___Und0; entOnCeS tue_0 de 2 s V ' _
_ 2_6'_ 2X_
_ _ __syusando d=__-A2 = __- a- __
u+u r_44
__:___ Fr__-(2) _
_ 2 d=+2_m
d3_ _m
Por lo tanto en eI inteNaIo de _ _ O ar -- Y s tenemos _i0Dl__8 i3
sobre Ia tra_'ectaria Un p__ racaidista se mueve ver_�calmente y s__x
6 S vgIocjda_ varje con el tjpm_o de acue Fdo a j-_
t=0 t=6s g/f ue_d-_,
__,..,. _ 32 m ,..,..0,_, ,o ra lCa q Se _n lCa' l eSaCe era 0 eS _ e_ai
___''Od'_" (_gs '|'_'_"''__^' _ ai _iso _ razón de _ _s_' y Ilega con vel0cidad
; : 2 s ; nu_a; _a qué altura _e cncontraba inicialmente el
;' 4 y_s 'm' u _ __ pa_acajdista respec_o al piso?
; _ __';_.ì-_ 4fTl ..,D__D0_'
! _"'''0'_'_- - - ''_'_iD'0' _û(_s)
_ _ ; !
_ d=+28m_!
' tl 7 t(s)
e donde se deduce que
.'. u_-q_s _,
2 ;x
_ -20
d=+28m
359
_?___ __t____t__Jt____ _ll__(__t____)_ut __________0___f___t_t____t_)____f_____0___o___/g__\____t_____ _2o_____t_t_____(t___(c_tl__lr___)(____/__7__t_____(__) _____ 1 7 t ____() e_
lumbreras ed îtore_ fá_ _c2
_esoluci_n _rfamo nr r__* _ R __,! i_ \,,
,s_ndo _g fa_f_,ce ;-_u ( \, _ef _, r,c_a__dl.
. , . J ''_t_,_iJ_4. i__}_T!G;__ _
_Sde _!J l__St_nte en __C S__ _ PI____l_2a a _n_i t Zaf Z_ �, _n !_i _;r _ _ '- -'_ )_ = t_ !__
i_ -' '
'_ '-' '' " ' a_'€'' ''ic"'' _'__'__ a d ~CUmei' r!c'e __ _ '
'__'e__?_ _,_ i9__:'___ __;-nci __JaI0?__' c_ neg__ ti'__'___. _t_ ____c1ica _u__
ej p3r,___'__ j__ i.4,tc_ __5t_ _'1e___ce,__di_n.d_. H = CJß __
_d____.3_- se ___ucc _.__e _e ( _ 0 a t _ t,, e_ para_
\ ,,__i_;st,_ u_e_,_ _;__,_ ,_e _n,n _,eiu__.,___ co,_stenfe (_e _tf0 me/t__00
.?_J , _ _ f / , 7 1_ , , Q, l,e,a1turar_mJ Jei_______de5e1e em_ieza___.a:!,!____)
i n'?i____J_ )'_ = 1. _-C_ S__'_i_xl__)'eai�_Z_)f'_a_
,.__ , 4/_ en c____3 ce_,u_ ?o+ d__,_d ., _ __,e _ _ _,_s__ _l _arYC_id1__�_ f_ P_U___:______ C_ __ii__!l�lr t__, __!�n �_
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_ , _ i _ 'a_0. u-o t H_!,_j=__ _!T !(__O)t=(r.i7)lO (t)
t_',_l51 __ ,._,,_0._ _ _'t
_ __ ' _ _'__' '' _
Se requiere t,.
__) _'I tr_m(.! BC (_'v1.R._!.V.\J Uiam.CJ5 Como fa acele c__ _ j_n deJ t_ar_c_ idis ta de
l=t_ at��t_ RS_ni'_'.
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De la gr�- n___
CJ___O__ (_(
u= tan__
. _l,=2s
J_
A _artir de ta n5ura ia altur__ pedi_a H es _ _ (_
H___+/_., (_) _ (_=__s
Tramo _B (,_.R._!.) En (l7
H= 90m
t^ l- X-
360
ppR_____u_g______________________t__0_ou_____0_______g___l)_tt|_ _ __ _q______1___ _tl__ _g____ ___t,__1__ __ __0_ _A__ _l__ ____1___________________r_______>_t____g_d_tAB_ __ t____ t_ ___c__ _ d_t4_p_s)
__Pi_'U__'__ __x'''__ _______. -';._;_-_ __c9 e'_r__:__' _î'f_a,_,_.__ _eì r____vjmè_n_'__;_ __''_,' g_______,;___?_;__P
i_i_' ' _'''_>,i__, fe_&____0,0'_ _'_',_,,_0'__',_ ___v!m_ !>_ __-: ;__ii___ _'_ l_,'_c_ ej__€_____enr__ c_inti__ ai T______
E,_ la g_�_J_4c_.. _F_ .__ es_,_Tjb_ e fn __e___c_iad_ad de c__!c1__ ._i_nq,_j,_3c_ x__ __?__ _e___a can Ia __i?_;,i__ ___-;_,t_ c__, _o_
!,_b_?. dae u___ _e!,n_,_ __e ,_0g,r_ f_whot_.r i_D_c_t___?,
Clá5tlC_R___t__ S_bfe t_l___iS_hU__ZUn9_, _et__l'^?__~_ ,_ai,,?_,__,r,_- _?__.______??,__,_T__. ip-J,_0. __ _,_ __,3___c_ ___,_ __ g_ _
desdae q'_é altura _e_s_ecto del _js_., se ;!_nzó lan
_eI_t__ ___ l0mJs2! __.,, ?_,-? _:-___?_)
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i Q!,....,. _ ' _''. . ._._
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; . -(_0_.?a_i_'__ _, _ i___c_J
_ _ .2 _; V'. 4_q t(s) _,,_;__,?.,..;__ ;, Bc _
. _ __ _u _8 :_ j __ ^ j _' _ _ : ___ _ :' ; _ _' __-_ __ _' ' '__ - - _; _ - - - _ - n _ - - - - - - - _ _ _ __ _,
_U ----- _--------_t_-----_- 0
1
1 n_ l__ndC __ em_0_ _Sta__eC_? m_e
f,____r_,-l,2 y fcD_4,4_(_
_S0lUCi0n
De j_ r�_ca ,_0ia__o_ ue en e _ 0 _a u < a _ __I_O t3c _ rc_
_-'t 0 _
esto imp!ica que el lan2a_jento de la pefat& es _ J_-l___ -__q,4_ r_ __ p_ _-- __,_ _n
verticai hacîa aba)o.
__ t Bc=lcD=__6S
_ra CalCUlaf la aftUfa ti desde d_nde se j_n2ó _!a
e_,ot_, es neces,r;o c_noce, _a rapidez de LUe_O, a___li2an_O _I asC_nSu jnmC�iata___- nt_
l__mjento uo. Ahora sobre le trayectona tenernos deSPUéS _el Ch0qUe (_e _ haCia CJ
(C) Uc= _'B-_tBcU
c = O ,.._..,0L_,0__,.
/_ ,/i'''_' ''___ i O--u-(l0)(l,6)
�
:. ; _ u=I6rr4Js
, __ o ,t!!,, (A !! ; _ora, cn el tramo AB usamos
!,,,,o_i,0...l ; !,
__'o Bv t_c_ _ ; t_=__c ef _ _1 +
_ , _ _M _ '
;! _ ; U_-_to+IO(I,J_)
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i' u_-_'_u; :,l.
_1_, .v_ ; ,;_f_, __ uo = 4 _s
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___.____'^'' B _'__!,____:__" C d _D D _''__'__,_,,,
_' '_. ____'___ ' -
_tes del _e ch_a dcs_uts del c_ue _ ( 4 + l 6
2 ''
Uo+U
onde _= _ tAB (l
.'. h�l2m
36t
_s_________rl_rl__2___lr)ta)_ (l_n_,___1_Kt___ __ (_dcel_tfaclo_) y_ _futt(go_de __v / _ ado _sus
lu m b re ras Ed itores. fisi ca
PrOalem8 t5 ___eg__ en eI tram_ siguier_t_ de r _ F_ a r = (_
Un automóviI_ ___t_r__ !in_ t_i_st;_ rcctifírleci. inicîc_ _esacefera c_in
_' u m_v_maenl_ c_n _na 3__c!,__r_ci�n _,unst___te _
m'- 'l
_c_ J n_/_-= _ lue€_ _e _i-_rtu t!r?mµu emmicz__ a
, 3 _-- __=-ta_U
_Iit_l__1itt s!-.l r______: _ F__Z_J__ _ C Tl_,/S Cn C'�_d_
s_J_. __n___ __-i ___- a_i1c_J"\J_'ii cJ'____r___' iu m_vi_'__ie__cu _ 3 _ ___''n___ , (1__)
a-___!. !__,n j _'(__- 1__, d__te1r_ain__ _l_ _na_i___c_ r_- pide_ !_ -- ' J
__ __I ti__m_c_ _u__ e_itu__o en mo-_'im!eIlt_. R______-îen_u (IJ, (_l_j y (IIIJ sin_1__t_�nearn_nte ._e
__tiene
æesolucj�n (___N_os ; _,__8os
S_____;n _l eI;unc;'__ __, el autom�_il pa_e _el repGso_
_ t U_,i_=1S_m/S
Cn Una DCimCF_ e __a_ C = a = rl,
. _.. n s _ I _ , , Ct_l _uf_om_vil s__ _nue____ dur_n�_ 8_ _.
t = l_ _ t _ l_ c)tf_ h1.K. _/! ._! (d_Sac''elefa__).
_' omo sabemos _ue I_ veiu_'i_ad dcl __ utomóq'il P_0bl_m8 16
varia finealmcnte en cada tramo, podemos lJna p__rticul_ ;'nici_ su movi Iniento con _ina
pro__ _ner la si._uient__ g;cjr_ca (_uNl ). aL'el_ración L_onstante __ +O,75 _- ___s2 vv su
vclocidad va__ía en el ticmpo_ see1ún la gr�nca
_?(_) d_ t __espueJsd_que_t__empode__n__c-tl_ r S atUna'_'
i _-f - _t ,
u_l - _ - - rnoVl___Cn _ emPIC2a e re OrnU_ S_ lUC_O de _"
!_ p_s_ µ_r ej punt_ dc_ partida?_
!. ù(rnJs)
: _
_ 3 ------------
a_ _' 6._.,n2 t(s)
o,' r_ ì,
l2'tj '
_n_n_e el �__4_ scJ!n__cc�_a _e l2 Fegión t_i_ngular, ___ __t_()
;___ fe_f'e__enc_ O
,4 =' rcr__ri_'lu ___ t =- 0 _ t = l ,
-e__ce r uç ^ ._e.5oluclún
{
_r_t____Jrel_n_o i_ _l'_' n_ca.
1n !(i'
_- ''^'' - M ;' 2t!__! _.__ l=().. __ ir_ici__ el movimient_ (_io = O). _dem__s
l___ pen_ientc d_ l_ r__ita __ !a a__e-!er_ci_n
I_'l __ß'u! - _ _
:. _n,.,_=_ _) u__t,_n_,_____75rn/s2 _ut';._nte!,os rimef_s
t,_, - 4' '
.T _ _' __. F_l_ cl punto _!e co___ (inslantc_ _') i3 velo_idad
_n)_J__n Ct _U!_CJnl_i'l e ( = _ t = t_ _Ce Cra C_n
es nuia _' !_uego la _artí__ula c__m_ia la direcci_n
0_= ta_l__ -
_e __ mo_'imiento (em_ieea el returnoJ par_
li,__,x el i__st_nte r _ 2o _ le c,orres ond_ un_ ve_a__i
t =_- _ - C!
(, __
362
__(_l) e_t3n__(_t_)(2(_ ____(2to___4(__l2_)o__2_3l)_ _ _ _ ( EsNt __t__ao___l_n0_f_o__fm_Datc2_t___s_n2no_s l__nd_____c_/a_que yl _ta_llg___p_n___|_JmerJo y
CAPíTUL_ Vll ____jc_;'_ _e _r_?__ds d_l m__ím�en___ m_?_cá__:_.__'
Ah_ca sobce la grár_ca t?u - t! tenem__s _' __; _?m?,J
U (_5 J i
_,_,j''_ _ / ;'
______,'__aa r(_J '_ _
o _ t?_\?y';,_2o 1 ; , ?(5_-\ _
, _; _., 2 _
__s____i__
Según da_os del prunbiema la p_íula l__e_o _e __ _r:_emre__- 3- __ gr__1ca 5e ____uc_ __-___
20spasa_Orejpunt_dep__d__lOi__liCaqU_ _ : e,___r;n, _enta ___t.R._!. __n u_, _ va__ci_3_x
fe__ feSÓ a SU _OSlClÓn lnlClal y _Of ende SU t____. .t ___ m4_s_ '_(J cu_l jrl_jca _,__e ,__ m__J_v_vm
_eS_la2aml__-__e__ CefO_ r,__ __;_ ._2 __e_'c______ c_.n,._3___an_n_ f, ,_.___ ____v__,
t d=O se__--x_!r_W__.
P_rO_ Se8Ún la _r_r;C_ _tant__)OS _q : ,__ se __. __e_,e _c__ __! ir;___v_j'r_ _e _J- _ _J u_
_ = A _ + _ 2 ;_ = _ s., _-__ �_ut_ ._!.J v_,ioclu_- _ e.s _, ,__a ;= V __ x __ __'_ :", ;
__A_+A., _. _ro__ __a_tir_e (>25 empie2_amoq_e;se
__) (2_ _ _ _)!_c,_J __ s_ vetoî' �da_ v___ i_ __n. îf__rn__in__v___e_ cor, '_o
G____+ M c__;. A ___s_frol_.__ _,_. __,_,._,_._':._ _x__?_j__ ___
de_ech_ __a 4uc _-__ vel_cida_ a5 __5!e;__Ja;
t U2__-t)=i( I) '
_ como s_ ra_;de_ ___r:a e_ 6 n_,!._ en eI
también P_emOS Plante_ _,nterv,1_ de t __ 2, _ ; __ 4 s en,,_c_e5 ,_,
3 u acelefaci6n tje__ módujo jgual _0 Y -
-__ 4- -
_DU_6_S _3_,,2 _ __ _p__n/s2
_ u=3_ (lI)
l s despues safe A de la misma posici6n.
f' /_2_ _ l 2o _, __, c_mo g se mueve solo con __eloc_dad constante
t_4 y como A acelera en su mi5ma direccj _nt
de d_nde t _ l l _l S entunces 1,__ podfá daF aì__ance al cabo de l_
POF lO t_tO_ el FeIOrnO del m�_l OCUrr_ lUe__ de segun_os. Sobre la trayect_na tenemos
II_ls. f ,
PlO_l___ __ 6_s ___ 6_s __ _ 6_5
En la _fáfiCa ad_Unta Se mUestra el --- !, l2m -- dB ' _,
comportamiento de Ias ve1ocidades de dos ; ;
_ex.siene_ ;', 3'__, ;,
deter_ine 1a rap_de2 del m_vi_ A cuando d_ ' _ j- O _-- ' _U_)
a_cance al m6vi_ 8. d_
_)__( _5011 __ (J ) A ) p __tllt__t _ y,__ _8____t s_el__ nade1ndr_tgreta(2ssFae)m_4_u0_es5dtlooa_
L_mbreras Ed itores fís ica
De la F___ura, planteam___ E_ m___i1 B se, de__p!_d za a to 1ar_o _e! n_ismo
d, _- _2 + dg eje ___c _4 (dato) varja__da su vei__!d_- d. _ero
', ) nr_ de maner__ un_,Forrn_, er,tonres el
'__(4) /-(_) t
_,__ I - B I m__il Y n___p?__menj_h,1.R.U._;:p_r!ot____. to
, t3ac__e_ación__ _ es vari_bt_ (_u,,,__t_.).
t(A! '__
= l2+6t;, (_) _hora de I_ gráF__a pod_n'_o__' pfû'nt_ar qua
si B __e m_e__e so_i_ !a norizonla!, c___ !__
__r_.._araA
_rim__ros 5 s _e mue_+e hecia la derech_
U}'c__ =t'__ ''_'_ =3'_ (ft) (___A>o) c_isminuven_u el mó_u_o de su
__!_ (_l) _,ef___c_-,Jc,,_ ,_r, ( __ J_
_3 t_? -_ _ 2 _ 6t_ en _epo_o ( __', __).
2
_. o__ pider_ _etermin_r el instante e,_ __e los
_c; 'NI2t1__J__ mo,_..,les _ _, g (._enen ta m+_sma _,ef_c_.d,d e_,,
? 4( g o lop d -p ec _,,,,co,a,d,d _,g _
l-- l- - O emO__ f ? C ra_C ''
d_- do_de r_ _ 2(_ + 1j __ SUC_de en e! PUn_O _e ''nterSeCCiÓn de _aS _r_nCaS
_ _' seria __ra ei inst__, ie t,, t_ i n, = l_, -- 3 m,/s +
l_n (lfJ: UJ_(_) _ G qJ3 t l mJS
_u(._s)
piaa_emg_g _
Dos cuerpo__ se mueven a fo lareo de un mismo ;_,
e_e, s,s velocidades s_ rump_rtan en el (;em o i
' ! _ A
se__,í_n J_- _r�fic__ adjunta. L_n _ue instente de 3_ ,// ,_
tiempo t icn_n la misma _-elo_idad y qué. ! 5 ,/.'/ _ 1
ace!_-_r_ciónt;cne elcue_o B endichoinsta_te? /,' _ 3
__, (_s) /,/// ;.
l. g o_ rxs
! nrcun_erencia De! triángUlo rectán__ulo se deduce _ue Ix � 4 s.
Cá1culo de 0B en el instante tx
3 Ahora en el pun_o de N_n_e,secc,_o,
recta tangente a ta circ__n(erenc_a_ así
u (m/s)
t(s
5 B ci1c_F_rcncia
Kes_luci�n __
Al interpretar la _ráfica _e cada m�vil, s3_0_ _
3
C_nCfet_m_nte _Od_mOS _tanteaf qUe: ,/'_
_ E1 móviI A_ e_perimenta h_1.R.U. con una _/_/ __ __
velocjd__d u _+3mis _ ._i �___g se mue__e ,/' r _t__e_te
su__e_ un e)c horizont�_l, en todu in_tante se , _1o -- i l(s)
_jri,__e t__cj_ la derecha. O ;, f,_-4
364t
y_gRq(_ruepta_es__0____pafa(_(to),_0_5_____pso_)__ap___________0__tcw__a_s_eptld__e_ s_t0p__l_______________hac_l_a _la _u_____o____(t___t__tt__Jtl____5p______5(___dJ(1 _)__ _aF_______l__a___Ja__c______el_e_ ratcl6_n(el)nlae)_
,_0,,, � _ ; _ _;x/ _ vimi 'njc_
ia á, p_a un ins_an_e es_á e_sy___Z _____ >o___yc_u_' _doe_ve'__e-_!,ce_e i8__a__o_a
de__da por la pendjen_e _e la recta ta_,._ente a l_ _5e trasl__5 i_ sobre el e__e _, _(_ _C_aCi_n Seij-_
_r_1Ca Ug ' t e_ el lnSt_te t_ Se ttCne Y M" X _ __''_ __
t a __t_0__tanl2?,O iY _
__ 4_s2 _ l
" _--- _ ' / __
_, t'__ !'' \ ,0 ( J,
_ _- - 'i_
____i_,_'___1_ y__'_ i . x ' _
unap____u__asemueve s0bre el eje X c_nuna __;'-..,_ _ _.-_, ' '-g_' _
ve_o__dad que depen_e det e-iempo __eg'un !!a
_f_ca a_ J_unta_ detef,___ne _, ace__,_,ac_6an _q,n ij__i_._-_dn1aar_dJ_giûco__1a_5___3_an__eii__
_a ar,tjcula aFa el inst4,_t,e f_ 10t_. r-aS_
_�í_s) __'__''û_Cm/st
i__ _ _ '__ _ ì
5'. ' 5,
r(s) j'. ' r(s)
i 5 _,
iuc_6n Se tiene que la ecuación que re!_c_ciona _ _a
_niemre_do _a g,&nca p_a ta p__c,la se deduce velot;dad y el tiempo es
dereC_ COn 5 _s, de l = O a l = 5 S SU Qpide2 H_l_em_s _ con l0s daios de la p_5bota_
disminuye has_ cero se de_ene por un inslante _
' . Ent=0,U_+_m/s
e_ f = 5 S _ lnmedlat_ente felnl_a _U m O_-
_'ento y cona'núa d_pl_d_e __a la der__ ReemPl__dO en (I)
_a t > 5 s la parttíula __i_ un movimento t + _ _ g o 5)1 t g _ I
acelerado. Sobre la _mctona tenemos R 5
eem_ _and0 en a e__aCl n
_i_0"__ ____ Ml 2
0 Q _u_-l_5mJ5 a�_dela
r=O ! 2 .
_-__i,__g=._i,=0_ _5_S ___.0.__Do..,.,U=O _-_____.___;_;',_U_ x como _ s . gn ha_l .
'._i_.____'_._. ;.:'_ _i_.','_i_'_0____'____a00__o'',___0a__._0________i____i,'0__i.____ ______,_,___o___,__.__a,__i', __._. ,n,,-,_, . _ ____,_. ,,i__',_0i_._._____^___,_..,_ ,0o_i___0___o_. ,_a'0___o___'_____i__v ' ___'._' .._ !_?._ ___i___
_ iMtante l _ l O 5 es con_inle de__ _ velocidad
De la grn_ca _u-r) como es una pa__bola _a _specto _ i'_empo_ as_
vel_id_ v_a en Fo_a cuad___ _ ___ y su d?
.6 / Ah ?_ U (( 5)1 rf 5)_s2
aCe efacl n nO eS COnStante VaCIa. Ofa __= - - '-\ -
obtengamos la ecua_6n de la parábol_ con ayuda
,un_ s_ __ que _a ec,4c_.6n Ev_u_do p_a t = 10 s en (IIJ obtenemos
c_ _ _____ ___o___t__t_____/___ ______ ( _ ___ _l_ __ __t_ t t r_) ___ __ _( tt) _t tt _t__t__JJ __ _l _ ntto____ __n __ __t (l_)_ _ ___ + _ )_ ___
i._n_brerd_ _ _,io:__ �iures _is�_F'_
Pr__iema____ii d__
_ _.,I ter_'nino _ ___s reDre__enx t_ ej m�dl_l_ _e _J_
J_ I_ _rai_Ca_ Se mUCStr_ C_m___ V__I_ _a _l
v,_.,.uc__;d,__ _,_ un muv;,! ___ ,, ._u,,,c.;�,_ ,, ,_u _c,_;,,.;_.n,, vel_ci___- _; _____ _'_ _LnsTanle ___e __e u___-er_'a c_ la
_. _f_ ter1y, _ i,1e p_ l ______ ul0 de Ia _' c:c_l_r_c_i__r) ___ ,: _ t___jl f_fi__ (_ ?_. _ +_ E_ ., \,
_--_,_-,.__u_ p_sa µor _/ = + 2 _n. _' l m__J;,.__. _1__s__'ri-_e
. ,_, _ 1.x _1_
_l _f__y__t__Jfl_ reCtl,If)__ 50 __ _ _J__ ,. _=l__T_s
_r
_ _ ;(mf5)
!) ' _ ' _eern_i_' __,__nd_ (_l:) __J (_IIl) en (f
recQ .,
}'_ f _ _ _. _ _. _. _ _ _ _ _en_e rl _- I U mJs'
s, _'"'_ ":
g !' __-:!_. ! Pro_l_m_2__
l _
!... . _r_a __?, ricLa1e se n;_l_eve _- ln 1__r_'_,_ i__! cii_.__, ,_i
!_' _n l _ __' Sll ,_Us_lCl Of_ __ _ ç=' - __ l_. __!_ _ ('__'_C!__iJ
?' -_
_ ; UJ_=_!- 3-n,J._ )' ?U _{_C__F_C_l__ _. _ CU___O_í
!t, ;_, _X(m) s____,_ 1;__ __r_iF,i__ __dju_-_t�_. dc_terl__i,n__ s_.!
--?'-, 2 _,t_,l____i,___.__ ;_ p()._. ;_t�)n en el f__staJ_,t_ ( _ ____ ._,.
Kea'ulucj_n _, ù (_s2)
___ )._ _?r_j?!!c_;_ p__erno__ _____1c'j_ m__e _on(orm_ e1 t,
.___.( __',_j. ____ _tras!aJ__ _),-___,_, l,n __r__,nt_.a, s___ __elucjclad _! _?, _t(S7
____r__çE_t__ Defn cad_ __e2 ___.;menta c-__) fnF_nur O _, :
rce_J__'l_/,. l_.stc_ signifiLa c1___ 1a LJcele_'ac!Ju_! _'__ -2 'i-_!
_iiminu_.'endu s__ ,_ú_L_lo. _st0 _-__ _ed___e ___r el
he_ 1_c-_ de c,_Lle la recta tange_te a t__ c__._'c_ c__ da Res__uc_N,_
_'L___ tiene menur in_nlinación. Se _ide c1e-tcrmin_r __ - E . _ , _ (_ ) _ d _
' ln (=tl)f__3-_- ''' :î' f_ '-_ __- _ 'S_ _ __t' __Ll_ __
el mOaUtO de la a__elefaC10n ___fa la _C___ClOn , . . .
v __!tlCUl__ itC i = _ ( = S rea I26 n, '1._.l;._/. )'i __'_
__-_i_m _uf l_ t_nto __ar_ el t_st,_nte _ _ -
' - u = -_ m7.s V (_'',c.) y a p__ir _e t = _ s e_ _- dc_t_- r___'
In_n_lC}_I_JO la a__^I-_'raClOn eSta d^_ tnld_ _0C
e___jJ_f_:_j_nt_ __J._.U. _)OiqUe SU _C_!_'raCiOrl _S n_:__--_
_J (? __
U-_-_ _a= _
fJ/ _
A_Ora _Un las cUndicaOnes iniciates xç= -5 n_
u_,__-_i'_ nU l'On0ic._)OS ta de_el__CnC__ de 1a _ _ ,,
u_=-t1O__ y ta c_ceIer_ciún u__2_s-,
_'Pl_^__lda_ COn el _lem_O feallzam_S el Sl_Ulente
sobre Ia lra_.,-ectoria poden)os tener
art3ii__)O: InUItl_IlCamOS y dlVldlmOS t_ C__rC_SlOn
_iJF Ci _t ft_r_1lCl_l d_ .X. (__), aS! l_?n_nlOS l_--_ O l--5 s
; _S ;
_' CFX r ' _
Y=-'- re3a C aCa Cna _ _._=lOn_,_'_ a-?_s_ _
x dt __-, -^ ,_.UF=
du p xo_ ''^A '
Pffnl__ _ _S a _Cn lent_^ R a feCta f_n3entC ! - ' _
X __ _L __ _
, !X_=- m' -X_ !
Ue Se nlUCStra en la _ra lCa, _0r O an O W, . ;
cl__ t o lO-8 _ _ _ _ ;
=an +_='- S (I_) t._____!
X' _ _
36_
_ah6_mr0_rfs_adh_____Na(___c____l__x2___________ t_____ __t_ tt__tt______ ____ __________ _______________ __ __ p_________tvvr________(e____c____v____________t\______r___a(8l))) p_?) _ +__t ____(r)
UP_TUlO v__ Anáijsis ___ g__ficas dea mov_mien___ __eo'._i_____6c_
Aquí d 3e puede ca3cular con Ui,,a_'_0 m___>____l'O
_ ___c_____:d3_ (___ ì _e 1a___í_____-ae_el �__c!__ntev
_o+uF\ .i1O___ _
_;-,._''_.t_q __ r.J_ __ ____im f_ I_C slo_,__.dc_T_00S d2_eirri___._Fi.?cN_n _''__U__
\ J i-_ ,_ ' _e ;,-un _F3_F,cd_ (. _,__ f _'_
_o_n____T si __ _a_ícu__,. di5min__ e.
su rapidei en 2 nUs cada se__ und_ nast__ _ue se i.- __ c_sa,i
e21ene _!f _ _, O Clla OCU__ e_ _? _ _ vig e_
gr3flco anterior se deduce que __ = _ 20 m- _,_-__ _
__cu__ se det__e_e e_ x _2_ m por un t _ 15 ?(vr_.
_i'_ l'-' ,_._,__.__,,,_,__, .,... ._. __,,,,,,,,,,,
ins;___--r.'t.eeinmedja(__nterei,___ ias!i___v'_- __en. tc_ ._ '-', nn _'_-_:;''.; '' ' _.;.
_a 1, ;2mu;e___ au_nentan__ su ,_,_?. _cJe__ -- _s_ ;'.;_-_--;'. ';':.;' _._y _=1 ' ;_. : :,.';_._,.._',;._.;',::;_..;.__:
en 2 mFs en câda segund_ _- _,a5t__ et iMtante _ 2 i ' _ ' 'D
_ _ _ ___ _e (j_c_ne ___,, _-- 6 ,_it'i y ____t_re __ tr_av, e___c_-,__ ;_.
_.___i!_t_n___ ____^ __! ci;-e,_ _____ !_ T_í,'_i____-
t--as .. _,_ .:
-', 3 s C_m__Rrla_ 0 __f t3 __fa_lt__ j' e ___ t__lTI__
6_5 _!r___2___ ,__0 d-es_e (_-O _-a5.t_ tN- Iî_ n__-_s__!!�__'_na_;'_r.J__
v_ ________ ._.___,_,.,...__..;_,_-....-,___-- ___ ._______ g.._,,..=.,.,.g _e l__. __,__c_d__ _' _,__u j _.,._,, _',r__iu_ _n____-,_, _._ic,_._
_-Ma_' ___''_''__n_'__''^ ' '' '' __'_'''_'' ' ' ' ' _';' '''''\''' ~^''''''S''d' '^ -_''' '''-'' ''''4''''; A-'M'''' X entonces de Ia gr�F_ca se ___ne
__-7 '''_2 '
_ l_ _tJJ_,_,_+,n._- +vs
r_ -___ _W _' '
' ____+20m ' _ _
_ U_-lb--\'-i6_(?
Enel tramoAB,usamos
,+_7) t u,_(+'__)_--16
d2__"-2 d__
_ uF__6_s
rO+6 (3) gm _io sjo_nca que _a p_icu_a en f -_ _ __,_ _c_
2^ __ - ~
_ _ rr_ueve hacia la izquierda con 6 mrs.
COneI_Oe_!_a fl_UradedUClm_S qUe Xî_+1 Im_ _ Fl rob_,mat,mbiense udohabeFfesue__,
Fi__mente, c_mO Ia _í_^Ula a p_ir de t = 8 s c_n a___a _e __3 ecua_o, n _e__ mo._m__.,,t_ _.,.
e_x_erimenta M.R.U., _ntOnCeS Su velOCidad _a ec,,,___n de _a velocid,_ de _, p_;cut,.
U =-_ _S se m_itiene COnstante y se t_ndr_a como en el inte____ de _ __ _, r __ g s _,
P_a el lnSt_te l ^ l_ S l0 Si_U_ente paF__;cula _penmeniacn un m.R.u.v._ entonce_.
r_ _ss . 7S t_gg_ _a ecuacj6n de s__ movjmjento y de v_u
, 6_s ve!,ocidad so_x re_'pectivamente
._._,___i_-_------------v------- ,_.,,._,.g,_.,i^-_- X
'm'''''P'''''''~''':'_''t'''__i_"-''-"''''_'_^'''m'__^'_~'__''''''__X'_i_''_'''m'''''-''''''''^'"""''_A'_'0__"_''i''_'_' ''''_''' ? m ^ 0 __ _ _?
__!__2_+llm: X=_+_ +M2 Y U_"-Uo
' _s _' ; ?
__' n e lnS_ante _nlC_a Se tle_e _o--- m
' d3_ 42m ' uo__ +lo _s y Ò__ _2 _.t2, _ ,eemp_az,, se
De la Flgura deducimos que x3 = -3l m. tiene
Se concluye que en el instan_e l = t5 S_ la _x_ _+_ot f2
velocidad v, ta posici6n _e Ia _articula son .
u___s y __-3lm respec_vamente. u=(lO-2l)_s
_e_mspl____el_e__e__o_m___nu____0t__F_m2_g___2_2_ _ __l _ ___1lll _ _ p ______ 2_t3wn ns_t_a__t_e_(____lls__s__7__ _)
__;--_brer__ Editores ir ís _ ca
Para et instante t -_ _ .s_ .se de_uc_ __e Co__o u ., = _ n\/___ la _-'clocj_ad e_ Imenta en __ mJ_i
x � +1 l m _' u = -_ r_'s _n ca_a segund_, entonc;es e__ _ _- fa _-el_ci_ad
Como e__ e_ i__t_nte t = _ s termina el __,K .(J,V, aumenta _n _ n_!s,
_ cn di_!'_o ins_æn;-c_ c__ni_r;_a el __,R.l_. con r_o!_o _o _ +_1 nus -_ _;, _ _y m/s
u = - _. m/_ , enl_nccs c'__a l s r_crJrrc 6 m __egún la gr_Fjca _e ( _ 2 _ a t _ 4 s ei_ mó__i l
tt_Ci_ fa _'2_ui2__a; entunces 7 s más tafde exp___,iment_ un M. .R._'.\_. con _,=-3 _T_/s2.
av__n_ará 42 __ _1_cia l_ i2_u_crd_ y, por l_ c__ movim_n_,,,__o es c_mo se,
(anto, en ( = I_J s la prJ_-ición finæl de l_
_arti_-;uIa .5erá _,, _3 ,_,_
? t__2s _ \ t--4s
._-F =?- _Im___nl=--3lm U_ _&m/5 _ U2
_=,_...,.. - -_- - _'i- - _ _ - _ - - - - - - - - -__.,__,=,._,.,. - _ - _ -
.'. .x,._______i v (J_n_rn,/s-
' ' __n es1.e tr_m.(._ 12 _e_r___- !_da_' d'_.___f);'_;_1___cn_ e_._ 3 !.T4'_
,,,,., ,,, _, .,,,_, ca_a segun_it__ e!__-_r,_eS en _ __ _is_n'_n_ _'_)_e e__ 6 m's.
/ ,. __0n)0 u__-t8m_s_ _ u _+2m//_
2_ara fCa_ü_ J_rlt_n_i i^___eSt C_e COm_O__a__len(_ _
_,a a_,e,_e,_c,_o_ _,, _, un c.ue,_o ____ _e mue_.e __'utc__. _ue ia ve Ioc_d__, es _i_sitiv2. ent___.ce__ e-_
e__, __,ca ,_cta. s:, en _ -_ _ _.u ve_oc;a_,d es m�vi1 3ún se_ mu__.ve ha_ia la derec_,a.
___ __ +_ mr,s_ dete2'minr_ su veIcJcidad en ( = 4 s.
____'_a'_Q__m8
a(_s_) Un_ partícu_a que d_scribe unû tra)_ectori_
rectiline_ tiene una ace_leraci�,_ que varím con e_
: tiempu se_4un ia €rá^J_ca ad;__nta. Sj L_n ct in_tântc;-
_ t(S) ( __ 2 s l, _.eloc;d,_ de l, p,n)cu _a e,_, _ _ o mJ,, _qu�
2; ;4 veloc___ed _-_e,e en el -_
_ _ _0(m'sJ
-3 _ _- _- N - - - -___ __ d' '
Resoluciôn
! 37o_ t(t
Según el enunciado_ el m�_;_ se mueve en línea o0
recta; _� c_nsideramos que s_ mueve hon-_ontaf-
+ _ _ .d d... _ _ __ Resolución
e_ _l__ a SU Ve OCl a InICla Uo = + S
/_._-_E ten_ra/ _ue move,se _ __ derech_ _o,_ Aprovechando el áI_gulo de _J^ que es notable,
_ n _a e,a/nc, observamos que en e_ __nteFva_o completamas la gránca. asi
Ue t = O a r = 2 s et m6vil experi,menta un M.R.U.V. _ (_s')
con _ _+2mJs2 entonces el movjmiento 6
l- t
ocurre de fa si__uiente fonna: _
2, 6 6 ; . .._
2 ; ''--_
!-2_' r--2s 0 ' = 3T0
l-1o__4_S U_ 1
=-ii__-_ _ - - - - - - - - - - --_ - - - - - - -____''!. - - - --
_ - '''_^ -' ' , ,'._,.. -_ __ _ -_.;__,__'- -_ .. .,__. de donde se dcduce que t_ _ 7 s.
368
__s__ _3o__t__lt __f___t_u____Al+_A_2rt_tt_vl___2___t_______rt__ __4_ __ _t se_____a_4______aF_e_____)2c__t_tc__am____4_+_(e__42_n_ga_t Je_+____s_2_et_o_(___p4_su_)_(e__2_d_4_>e__s)de_t__e_rm____t_t__lf_n_____1______plqv1_e2__
_APíTlJ__ _'Il A__álisis d_ e__áficas del mov_mi_nto me_áni_0
__n COn__CU__Cla 9__ (m/52)
_ , _n e1 !nte_alo de t = O a l = r _, j_ __aníc____ ;'
_i2a_1.___J,_. co_ _,_- _Gm. J's _. q i_ ,___
__-. Mclinte_c ai_det=7saI---lís,_apa__=._c__-_2 _ ; ; _
d_sm. ;,_u_,_e el Jnó0__to ne su ac__lefac__n hast__ __ !, :' ; X (_t;_ _
__ue __ n r = l J s ___! ac_t,pr_cjón 5eh_c_ r_ule _ _ _ _4
(_0__? - _e,o_u,_.,_
_,n(o_,_____ , ____ mu nus _i_c_n lc_ ve1_cid_._- c_ t = '_ i s __ _;n__e_/_ mue __ì' a_,_s _5 __-___us cu_n__ ____
_ ___n i_J_;_Jc_ !_ v_-, i_c i_a_! an t = _ 5 D__cm_ _ c_,__ _' ___cc_ __ _? __- _ 1 -__ 1:'_i__ ' _clc_,!_' _ _oF '_-u t__ n'__ _ __ l _ _ _nv_' _ r___ 1�i-û-
u?ad_ t_ _r�_ _ca a v.s. tycalcul_r_;_u._. ______.__n.s ____R,___!
_g,;g__s_s.. S__n_n ir_s _S_to__. s__r__ la tra!?_e_tor ia p__ _e,_!c__.'7
__ _ p!e___te__r
!t __ n_l_' ,_
i !/_~____-__ __!___
S! _ ,__ __-_ ''_-n-u
! _ _ _ _, _ _ _ = _-_ _ _. _, :_,,__ :_ ___,_,5,;__+ _ xo _ ^_ _'_,.n= 2 _ M
_ At ___?___-,_- ,,,:^-'_ ________ _ ___?
' ! r/' ;' '' - .:''''___' . , r(__)
' v ' �" ' '' '" _,l __�lc;u_o cl__ u I_ ___a_0_s ,_m-_'er u_an_c_
2 J Il Ij ,___,_
don_e las á_ reas ex_resan 1_s veriacione_ _e _eemp_,_anndo __
velocidad (_,, n,_(u)2
_ r6_3 u=2_s
_u=(6x5)+ _ x
_ _ Oham�todo
up-_ =+Q8m/s
i bien e__ cje_o, se tiene una eráF_ca acelera_j_?_
_ : velocidad en el inst_te r -- 2 s posici_n (?a -x), lo cual no se prese_;6 c__
_u . veloc,_d_d ped-de pa Fe el _-nst,nte r _ _ s mu_ ha frecuenc ia, pero es de gran _ t i l i _a d, _e
P' ' .., . _
_ ù_ - (- lO) = + _ ieru pci___eFc demost_en_os lu s�guiente:
._. up_+38r__
Signinca aue la partícula 5e mueve hacia la _ _ ., _;-. __',n'_ ____'. ='_ .. _'_ -_'_ ___
_ derecha. - ?_;.__._./, v;_;.,..,:,-___:_,_v.,.A_ _,,;.';. '_-_;,:. ,_._,;.= !, ,
ir0_lem_2_ O: _: _XF
Un m6vil se despIa2a sobre el eje X, taI que ; _ _ ' :_
cuando pasa por el origen tiene una rapide2 u - ;, __! _ _ ! _
y cuando pasa por x- = 2_ In tiene una rapidez 7u- ! ,_ ., ,__, -v, _.n n_._ n �+,c., ,.,_x , ,,,, _m_, ,_ ,_ s, ,,nv ,, ,,,n, ,, _m,,
. _ _a __c _a__x d____._ deEe__ne, X� O _ d ' ' XF
_R _4_tt __2ll____(l2_____4(m7____A/)s__)__(tJ_) 2__ t_ () _h__________r_0_______J_____t_________s_x________r_______________J____________+_______8_t_op___tt_____*_4__t_____v________q____)___rn______tt)r___b__+_____xyn________x_t___t_t____t____________________m______________y___lyv___t_____________0w____2______t________5_____t___F__v___________/______n__/________________r____________________v_________K__((M_____vo____o_Jn_________y_______________ _______________?/_________
Lum b re ra s _d itores f is ica
Et área de la regjón s_mbreada es _ _0 ( mFs2
j.
=0Xf- o
C_mo el cuerpo expcrimenta __ _.R.lI.V. usamo5
'_. _)";_X
1u?2od !'___':,''.,._ x_m_
t-J 0 _.:'''':_;,..--._;'''''___5'''''
_ _o _
Ut 2_ _i'_ _ _2U(X_r - X2)
donde
2 u_ __-__--
F_., a_a_x,+-xo) c_iJ !_
' 1.__�rea=_F O '_
__m__aran_n (__, .t_ (I!)_ concluimo__ que .s;er__o '-_'m
___j '- _'-,, uo : raFidci en fa pnsición x
_', : ra_idez en la p__sición x
_ar__ nuestro c'a_u __r___-_'tr__n__J_ _1u_
�__ (__ 2) _ ' _,_: '''_-______-Y- _______--- -s: '-_____,__;___ -n; ;_-_--_v.:':' '___.::/_:__:_'_' '_'::=:;__';'',;._::_.V_''m:._.___:'__'e::',:',__i.___:_!_?_'.'__';__:.'::-__,'.__!:__sW_--_-_-v._;_' __--_'__m_--_.=__e_- _;__:;_^---__- __=___--'-_'' '_''''
_'___ ' 1 _''''__ J. _ ____ _;.._ ''_-.'_____".h.__ _-____-,.n'_;.___':,i___ç: _._.'.__''._,_.._,,'____._..__..._.:__,__._'_.._;;'.:_'__.;'i.._._.:.______-xs-,i,0-,,____-?_.__o.___=,_-_;Y_;_h: '-._ __. -__--. ,....'
_.__.___.ij'- -- '''-''---'^='----=-'
' _'_, M t,, '.,. _O_ Des ués._e__berse_echul__ demostrac__n '
_r. !i' _
A _ ''__ara la €F__F_ca __celerac'i�n v_rs__s Fosir_i�n- '
'; __(m) _,,,0, (_n-x),u____d�ap_ne Fseapensc__q_es_bcc_ ;'
_ __ ' j4__' ___,0_,_, lo._ _jes co_rde_._dos se _ue_e c_loc_ cu_quier
' ,_ magnitu_ r___i__a _. ' e___r_c 4!_c el _e_ deb_j_ de
_V-_;- la _rén_a I_us _� _'um_ rcsu_t3_u afo_o _lil; ___'_ro
U_ -Uu ;r_e_ nu e_ _si se Fel__._onan ma__-tud__ qup _ut,€o ;-_,
2 _-_- de c,_,ular el m,ee _� un;d,de, de ,n, m4,;t,Jd _'
_ ;---
_onde ;.q9= nS_Ca C_n Oi Ida. _...__.:
U_ = _ : rapld_2 en Xo = O
u, = 7u : r__ pide_z en x, = 2Q m PrOa_em_ 25
U_ rn�vil que sc des_laza sobre e! eje X pres__nta
C_l__ßta2anU_ O datOS _ ?
unar_ptd_2 2U alpasarpor xo=0 Y 3ualpasar
2 _ _ .
U ' U pOf Xt_- m - _ _fmlne U_ Sl la_ F_ FlC__dlUnta
X 4=
. 2 muesfra cl co_nportamiento de s Ll aceler__ción
l92 = q_ui reS_eCtO de la _05lCl�n.
^a (_sa
En general de la gr_F_ca a-x se tiene que el 6
área de la reeión comprendi_a entre xo y __, nos
expresa la semidiferencia de lo5 cu_drados de las
dl ,._ 1 _\370 ,
e O_IdadeS e mOVl, CUa__Ulera _U_ SCa a ! '__ ;
forme de variaci6n d_ s __ aceleración (cunfírme.se ' ' _ _ ;_ _?
con las unidades). __ _
370
_s___e_x___3 u_0________w__l__2___(t_2_t__tyt_t_____6t__2_f3__3_ott____t(_____F__J___d ___ ul w d _0lslta_dna_tde2s__deeh__+ta3c4_t_oemrnus_cayea(nuqdu__e_ue_yoe;_ng_A2cdaseb0amv_adsne2sat_|4t_e6snodssmouet
_APíTUlO VlI An�lisis de gráficas del movimiento mecánico
Reso_u c_�n P10Ql_m_ a6
AJ anali2ar la gráFjCa se deduce que el mó_l, en Una peque�_a es Fera es lanzada des_e el piso en
un primer tfamo_ varía su aceleraci�n Una _OSlCi'Ón dOnde _reCi5anl_nte _e ha
un_formemente y luego es constante (M.R.U._). estableCi_o u_ sistema de C_rdena__ X-_N laS
Almargende ello,paracalcularupodemoshacer gránlca,s _an info_aci6n _el monmiento de la
uso de la conclusión del pfoblema _te_or. pa_ícula a l_ largo de los eJes X e Y. Deter_in_
_a s2 la faPidCZ de lan ZamientO de la __iCUla y SU
_r__ n e_ insta_ __ 2 _ _o 2
A_: _ea de un _apecio
6 A _eadeunrec_,
2' __UO _(ml _, (_s)
__o ----_----- +u
_' _
_'_ _t'__ _, ; F(SJ
'__ ;'__A__x_! 6_---- _ o q
n __nm?___6_'J x(m) ; ; _
0''^ ' \^" _ ; _t(S) ;
___? _- ___8m ' q _________-
O-
Se _educe _ue x_ = 4 __ y además calculamos el
Resoluci6_
are_ t0t_ Semldl eFenCl_ CUa fatl_^_ de
velo__dades) POf Ia inf_rm_CiÓn qUe tenemoS, l_ es Fera SC
q,_ _ __ + A, mue_'e en el P lano XY y su movi In iento lo
2 2 deSCnblmOS e_ baSe a ßCOyeCClOne__
Uf-Uo +
t _= _ 4+4 3) De lag_ca x-t not__osque en ladifección
del eje X (hori2ont_) la esfera tiene veIocjd_d
(3uJ'- (2_')'
t _= COn
hacia la_erecha.
_W2=60
u,_30m/s
.-.u=2 m/s
De la grán_ca U -t deducimos que en el ins_ante
obre la trayectoria_ de acuerdo a los datos. . Y
t ,em,s ' _'m''n O (t _^ O) ''a P'l0t' e^ l' d'treCt_t6^
del e_'e Y (ve_ical) liene veJocidad hacia arnba,
aceIc Fa_n_It accle___n_M_tt __ esfe__ entonces _ _N
_=3_s2 vel0c_-
_ __ x Y' '
0- _f^ la acelepac_�n d_ la _favedad de lo m/s2
f_Q '_ .' '_ _ _ v_ , ,v eStableCe4UeU__40mJ5.
; _1 =4 m ; ; Según lo establecido por el enuncjado y con
_
; ' !_ a_da de las grán_cas. se deduce que la esfera
_F _8 m ' C_atlM Un M.P.C.L. y esta�a demofa_do 4 s en
_canzar su Hm_, tal romo lo mostramos en la
en donde u - 2_ m/s njgura s_gu_ente.
371
_ _l_ltu__t_l______0_J___3____o___,__nJ___t(t_ft)t(___)______)_______l_/______t__x__ ______t_ (_ _) _tu _ _o_t__t_t__ ______)p_ _(__(_s)___
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1__i_rTllt_ni_ _S dete_ing su _ceiefac_ L__ _._ t__ __ en_iei _. ___ r -_d_
_,a t,_ _ _._3nJ_ + ,_un _e c_,_nt_1r_ _n c__ jns_,ante t = _ .__.
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_n to_o instante, _€u?i2onta1rTiertte s__ t!ene _ '
___ =30m/'sy____jcajm_,nte u vanaen l_n_sen , _ t(.j)
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cada segun_o_ ent_nces t L_eg_ de 2 s _ei ' ' ;
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4O_s! ,_ ; 60m (_) , ,, e,e,,c.,o,, (_4j