AntiDemidovich__Matemática_Superior_ (10)

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MATEMÁTICA 
SUPERIOR 
PROBLEMAS 
RESUELTOS 
A. K. Boiarthuk 
6 . P. Colovath 
Ecuaciones 
d i f e r e n c i a l e s 
Estabilidad 
y temas especiales 
ATEMATI/1KA 
URSS 
Métodos de aproximación 
de las soluciones de las 
ecuaciones diferenciales 
§1. Dependencia de la solución 
de las condiciones iniciales y 
de los parámetros 
'1.1. Estimación del error 
de la solución aproximada 
Supongamos que la función vectorial y — y(t) es una solución 
aproximada del problema de Cauchy para el sistema de ecuaciones 
diferenciales 
dx 
~ = f(t,x), s|(=0 = ®(0), (1) 
at 
donde x = (xlrx2,..., xn), f = U\, h, • • •, /«)• De ahora en 
adelante consideraremos que la función vectorial / es continua 
respecto a las variables t, x y satisface la condición de Lipschitz 
respecto a la variable x: 
\\f(t,y)-f(t,x)\\^K\\y-~x\\, K = const, (2) 
donde |j • || representa alguna de las normas 
Dependencia de la solución d« Iíis•cOiiü'lclonPH' Irikiiile» y de los ymaiiuaitu»,. 
~ T ~ , ; , i ^ 
Supongamos, además, que para la solución aproximada y(l) 
del problema (1) se cumplen las desigualdades 
dv 
-1 e, MO) - ®(0)|f ^ (3) dt }{t,y) 
Entonces se verifica la siguiente estimación del error: 
(4) 
1.2. Búsqueda de las derivadas de las soluciones 
respecto a un parámetro. 
Supongamos que en el problema 
dxi 
~dt 
= fi(t, xx, x2,..., xn, n), (5) 
aj¡(0) = diifi), i = 1, n, (6) 
{(i es un parámetro) las funciones a¡ son continuas y poseen 
derivadas continuas. Entonces, la solución (x\, Xj, •.., xn) tiene 
derivada continua respecto al parámetro /¿, y sus derivadas 
dxi , 
parciales = i = 1 , n , son soluciones del problema 
dfi 
dfi dui _ ^ ^ 
j=i 
«¿(0) — a'iifi), i = 1,n. 
dfí "jj 
dx]Uj+ dfí' 
(7) 
(8) 
dfi df¡ Señalemos que las derivadas parciales , se calculan 
oxj dfi 
para x¿ = x¡<f), i — 1, re, donde Xi{t) es una solución del prob-
lema (5), (6). 
En particular, si = fx, a¿(/í) = const, para i k, y las 
funciones /;, i = 1, n no dependen de //, entonces de (7) y (8) se 
deduce que 
= M0) = 0, «fc(0) = l , (9) 
J=1 3 
dxi 
donde u,- = - — . 
da,k 
jMélOditó de aproximación de las soluciones de Uis ecuaciones diferenciales 
iCapítulo 1 , 
U En los problemas siguientes (1-4) estimar el error de la solu-
ción aproximada en el segmento indicado (distinguiremos la 
solución aproximada colocándole una tilde encima). 
1 . 
-4 Solución. Sigamos las indicaciones del p. 1.1. El segundo miembro 
de esta ecuación es una función continua respecto a las variables 
1 
x>y ^ f I ^ 2 ' < y ^ ) ' igual 1 u e s u derivada 
respecto a y 
Of 2 y 
dy (1 + j/2)2' 
Además, tiene lugar la relación 
df 
dy 
2\y\ 1 2|jr| sí < 1. 
i + \y\2 1 + M2 1 + I2/I2 
Por consiguiente, en calidad de constante K de Lipschitz podemos 
tomar la unidad. Conforme a las fórmulas (3), p. 1.1, 
1 
y 4 1 + f 
1 x 4 
2 + 4 ~ f-4x + xz 
x - 2 
x2(x - 2) < 
^ — max 
1 6 M i l 8 - 4x + x
2 
1 
64 
4(8 — 4a; + x2) 
y( 0)¡=0. 
Por tanto e = 6 = 0. De esta forma, según (4), p. 1.1, la 
64 
estimación del error es 
i 
llSf(af) - 0(®)|| = Iy(x) - y(x)\ < ¿ ( e W - 1 K < 0,011. • 64 64 
2. 
= 
= x, - x2l x2 - txlf art((1) - ¿'¿(O) - 0; 
l + t + -t2, = í <0 , 1 . 
I H-pendcncia de la' solución de la^ coiidict<>hów Jniel.ilen y ue los parámetros 
< Solución. Sea ||x|¡ = ]xi| •-)• \x2\. conforme a la fórmula (3), p. 1.1, 
dx 
f(t,x) 
dx| 
dt - f t(t, xlrx2) 
+ dx 2 
~dt dt 
donde 
fi{t, xi, x2) - Xi - X2, fl(t, Xu X2) - tx 1. 
Por consiguiente, 
f2(t, ái, x2) 
dx 
~dt 
f(t,x) |l + í - ( l + f)| + 
1 
t - t [ 1 + t + ^t2 
t(t + -r 7 t < í + \t\- <0,0105; 
Como 
e = 0,0105, ¿ = 0. 
M = i M = _ i M = í M = o 
dxi ' dx2 ' dx\ ' dx2 
entonces la constante de Lipschitz es K ~ 2, y por la fórmula (4), 
p, 1.1, tenemos 
||«(í) - 4(í)í| ^ 0,0053(e2|i| - 1)| ^ 0,0053(e°'2 - 1) < 0,0012. • 
Nota. Si en el dominio de la función f(t,x), la cual es convexa respecto a la 
variable x, se cumplen las desigualdades - — < C, entonces en calidad de 
dxj ¡ 
constante de Lipschitz se puede tomar el número K = nC. 
dfi 
3. y" - x2y = 0, y{0) = l, y'(0) = 0; y - e a, |jr¡ < 0,5.'1 
M Solución. Pasando de la ecuación de segundo orden a un sistema 
de ecuaciones de primer orden, obtenemos 
x = t, y-xi, y = x2, x\ ~ x2> x2 = t2xlf 
®i(0) - 1, x2(0) = 0; 
í1 i t* 
a»! = eiz, x'2 = f = - t 3 e 12, |¿| ^ 0,5. 
o 
¡^¿fpdoVde aprpxfmadón tío Ja* soluciones do las ecuaciones diferencia lew 
P I S ^ í ; ^ " 7 
Sea ||x|! = |xi| + \x2\. Entonces, según (3), p. 1..1, podemos 
escribir 
I dx 
\~dt ~ 
Dado que 
/ M 
, ¿3 t 
x\ = —en, 
1 3 
l^í - fl(t,Xi,X2)\ + \x'z - h{t,X\,X2)|. (1) 
1 , t 
fi(t,xi,x2) - X2 - -t e!2, 
x'2 = eu (t2 + ^f6), f2(t,xi, x2) = t2x1 = t2eu, 
a partir de (1) se obtiene que 
dx 1 í6 i4 
ai r 
— en 
9 
t6 ¿4 (0,5)6 (03)4 
< max-eT5 = 1-i-í-e iz = 0 , 0 0 1 7 . . . . 
9 9 
Por tanto £ = 0,0017, 5 = 0. 
Como 
f)X] ' dx2 ' dxi ' dx2 ' 
hallamos que la constante de Lipschitz es K = 2 max(l; t2) = 2 
|ÍK0,5 
(v. nota del ej. 2). En virtud de la estimación (4), p. 1.1, y de los 
valores de e, 6,K, obtenemos la desigualdad 
0,0017 -i,, 
||®(í) - «(í)|| < (e2|i| - 1) < 0,009(e - 1) < 0,002. 
Esto implica que \x\ — < 0,002. • 
4 . y — Ixtf r 1, Jf(0) = 1; 1*1 <7-
< Solución. Primeros hallamos los valores de e y 6. Según la 
fórmula (3), p. 1.1, 
x2 1 
\y'-2xy2-\\ = — — ^ |!/(0) - S(0)| = 0. 
-8 
H'pendencia do la solución de las condiciones Iniciales y dtí IpSijJaráw 
™ V-
1 
Por consiguiente, e = - , 6 ~ 0. 
Supongamos que la solución y{x) existe en el rectángulo 
R = | (x,y): \x\ < ^ \y - (y(x) G R). 
Entonces para la constante de Lipschitz K tenemos la estimación 
9f K < max 
R dy 
, 4 
= max \&xy\ = 
r 3 
Empleando las estimaciones obtenidas, a partir de la fórmula (4), 
p. 1.1, obtenemos 
\y(x) - y(x)| ^ l ( e ¥ - i ) < l ( e 3 - 1) = 0,034 . . . . 
Queda por comprobar si la solución exacta y{x) está conteni-
da realmente en el rectángulo señalado. Dado que las funcio-
nes f(x, y) = 2xy2 + 1 y f'y — 4xy son continuas en todo 
rectángulo R\ = {(x, y): H ^ a, \y - 1| < &}, conforme ni te-
orema de existencia, existe una única solución del problema ( b \ analizado en el segmento \x\ ^ h, donde h = min I a, — I , 
M — max(2xy2+l). Hallemos el valor de h. Con este objetivo, esti-
Ri / b \ 
mamos M ^ 2a(&4-l)2 + l y buscamos maxminf a, — ]. 
J \ 2fl(&+l)2 + l / 
De las ecuaciones 
b ' 
a 2a(b +1)2 + 1' \2a(i> + l)2 -I- 1 / ¡, ° 
obtenemos 
1 V5 - 1 
b=\l 1 + — , a~ = 0 ,308 . . . , 6 = 1 , 6 1 7 . . . . 
\ 2a 4 
De esta manera, en R\ = {(x, y): \x] < 0,308, \y — 1| ^ 1,617} 
existe una única solución y{x), y como R < Rír dicha solución 
también existe en R. • 
mm 
MítodásUc tiurcKinuMon tic la:-, solucione^ Jo lo*, ecuaciones diferenciales 
m Hallar las derivadas de las soluciones de los problemas si-
guientes respecto al parámetro o a las condiciones iniciales: 
3 . y = y ¡t(x f : f ) , y{ü) ~ 1; hallar 
H*Ü 
Solución. Diferenciando respecto al parámetro fi la identidad 
yx{x, ¡i) ~ y(x, fi) + ¡i{x + y2(x, ¡i)), y(0, (i) = 1, 
obtenemos 
du 
dx 
u + x + y (x,fi) + 2 f iy (x , fi)u, ÍÍ(G, fi) = 0, 
<)y(x, fi) 
donde u = — . Haciendo ¡i — 0, obtenemos él siguiente 
dfi 
problema para la función 
8y 
dfi 
u(x, 0): 
o 
dufx, 0) , 
— ^ = u(x,0) + x + y2(x,0), tt(0,0) = 0. (1) 
dx 
La función x i-+ y(x, 0) es la solución del problema 
y'[x,Q) = y{x,0)f = 
el cual se obtiene directamente del problema inicial para /¿ — 0. 
Dado que y(x, 0) — ex, resolviendo el problema (1), hallamos 
dy 
elx - x ~ 1. • 
o 
6 . y' = y + ¿T t- y(2) = ;/o; hallar p-1 . 
¿m L -n 
< Solución. Sea y = y(x, yo) la solución del problema dado. Enton-
ces, diferenciando la identidad 
y'x(x, ya) = y(x, yo) + y2(x, jfo) + xy3(x, y0), y{2, yo) = y0 
respecto al parámetro yQ, tenemos 
du(x, yo) i 
= u(x, yo) + 2y(x, y0)u{x, y0) + 3xy (x, y0)u(x, y0), 
dx 
íí(2,0) = 1, u(x, y0) -
9y{x, yü) 
Oyó 
10 
pendencia de. la solución de las condicionen iiilcinlub y de loívjtaráiwit'os,1 h .•irtífíUiltumtullfJiíl' 
obtenemos c! 
Vo=0 
dy 
lomando ya — 0, para )a función x —— 
¿yo 
siguiente problema: 
duix, 0) 7 
— = u{x, 0) + 2y(x, 0)u(x, 0) + 3xy2(x, 0)u(s, 0), 
dx (l) 
u(2,0) = 1, 
donde y(x, 0) es la solución del problema 
y'x{x, 0) = y{x, 0) + y2{x, 0) + a:y3(x, 0), y(2,0) = 0. 
Evidentemente, y{x, 0) = 0, y el problema (1) adopta la forma 
du(x, 0) 
— = u(2,0) = 1. 
De aquí hallamos u(x, 0) = Por tanto, 
dVo y0=0 
= u(x, 0) = e* 2. • 
_ dx i i dx 
7. — = T' t fttx , x(0) = 1 ti, hallar 
8fi „' ' 
•4 Solución. Diferenciando respecto a /t, a partir del problema 
, x dx(t,n) 
inicial obtenemos el problema para la función u{í, n) — 
du(t,fi) 3 2 
dfi 
t{xó + 3x z f iu( t , /*)) 4- 2xu(t, fi), m(0, /t) = 1. 
dt 
Tomando fi = 0, resulta 
= íx3(t, 0) + 2x(t, 0)«{t, 0), «{0,0) = 1, (1) 
dt 
donde la función t x(t, 0) es la solución del problema 
= X(0,0) = 1, (2) 
dt 
el cual se obtiene del problema inicial para p. = 0. Partiendo de (2) 
1 
hallamos x(t, 0) = . Sustituyendo esta expresión de x(t, 0) 1 "" í 
tJSÍfdtód¿9 do aproximación dp las soluciones» de las ecuaciones diferenciales 
en (1), obtenemos el problema para la función buscada 
du(t, 0) t 2u(t, 0) 
dt 
de donde resulta 
( 1 - í ) 3 1 - í 
1 - t - In (1 - í) 
, '«(0,0) = 1, 
tt(í,0) = 
( 1 - í ) 2 
Así pues, 
dx 
dfi 
/ í = 0 
l - í - l n ( l - f ) i 
8 . L 3 ^ ^ ^ ' l í r ^ ' h a l l a r ^ -
I Solución. Diferenciando respecto al parámetro yo cada una de 
las igualdades del problema dado, resulta 
du(t,x 0,1/0) 
= x(t, x0, y0)v(t, x0, yo) + u(t, x0, y0)y(t, x0l y0), 
dt 
u(l,xa,y0) = 0, 
2 = -2y(t,x0,yo)v(t,xo,yo), 
dt 
t v(l,x0,yQ) = l, 
( 1 ) 
donde 
dx{t,x0,y0) dy(t,xo,yo) 
u{t, x0, yo) = - , v(t, xq, yo) = -
dya 
Las funciones x e y son las soluciones del problema inicial. 
Tomando en éste Xq = 3, y^ — 2, e integrando las ecuaciones 
correspondientes, hallamos 
x(t, 3,2) = í3 + 2t2, y{t, 3,2) 
12 
i<leticia de la solución de las condicionen iniciales y dt» los parámétrofig 
i «i i e a* u ni'«e!f * l ' hi 1 
Sustituyendo en (1) las funciones halladas, y también ~ 3, 
2/o = 2, obtenemos 
f du(t, 3,2) 
M 
tt(l,3/2) = 0, 
dv(t, 3,2) 2 , 
= — ~t;(í, 3,2), 
l v(l, 3,2) = 1. 
(í -j- 2t )v(t, 3,2) + -u(t, 3,2), 
t 
(2) 
1 
De la segunda ecuación del sistema (2) hallamos que v(t, 3,2) = • 
Sustituyendo v(t, 3,2) en la primera ecuación de (2) e integrando, 
obtenemos u(t, 3,2) = t2 ln t - 2t + 211, Por consiguiente, 
dx 
dy0 *o=3 
Sf0=2 
= t2lnt~2t + 2t2. . • 
j f x - j• \ y, 
\ fi = 2 :r ] /iy2, 
J-d») = , „ Off 
,r>\ t hallar „ 
= - 2 ; ¡)fi 
•4 Solución. Diferenciando cada una de las igualdades de este 
problema respecto al parámetro ¡jl y haciendo luego fi — 0, 
obtenemos 
du(t, 0) 
= u{t, 0) + v{t, 0), u(0,0) = 1, 
(1) 
dt 
dv(t, 0) 
dt 
2u(t, 0) + y (t, 0), «(0,0) = 0, 
dx(t, ¡j.) dy(t, ¡i) 
donde u(t, ti) — ———, v(t, fi) = — . La función y(t, 0) se 
d¡i dfi 
halla a partir del problema 
±(í,0) = ®(í,0) + »{í,0), ®(0,0) = 1, 
y(t,0) = 2x(t,0), y(0,0)--2, 
el cual se obtiene del problema inicial para ¡i — 0. Sustituyendo 
1 
x(t, 0) = ~y(t, 0) en la primera ecuación, obtenemos el problema 
y(t, 0) - y(t, 0) - 2y(t, 0) = 0, y(0,0) = - 2 , 0(0,0) = 2, 
^^todüi» de aproximación de las soluciones de las ecuaciones diferenciales 
Intapílulo 1 
del cual hallamos y(t, 0) = —le"*. Utilizando este resultado y 
el sistema (1), mediante el método de eliminación obtenemos el 
problema 
v{t, 0) - í>(í, 0) - 2v(t, 0) = —12e~Zf/ «(0,0) = 0, w(0,0) = 6, 
cuya solución es 
v(t, 0) = 2e~t + e2t -3e~2t. 
Esta es la solución buscada. • 
1 0 . .r - j- (j- 1- - f i S ; B(ll) = i , J'fll) rr - 1, 
IfrMItfflBl̂ ImllM MW1M 
Solución. Diferenciando las igualdades del problema dado y 
haciendo en cada una de ellas ¡i = 1, obtenemos 
éu{t,\) du(t,i) 2 
ñ - - 2 u = -x(tA), 
du(t, 1) UJ 
«(0,1) = 0, 
di 
= 0, 
{=0 
dx(t, n) 
donde u(t, p) — . La función t h-» x(t, 1) es la solución del 
a¡x 
problema 
d2x{t, 1) dx(t, 1) 1 
= !) + X(0,l)=:~, ¿(0,1) = - ] , 
el cual se puede obtener del problema dado haciendo /i — 1. 
Resolviendo este último problema, hallamos 
x(i/ l ) = e " t - i 
Teniendo en cuenta esta solución, escribimos el problema (1) 
en la forma 
ü(t, 1) - ú(t, 1) - 2u(f, 1) = - ( V ' - ^ , u(0,1) = w(0, 1) = 0. 
imitiiBii 
w i *> ¥• , i « 
I >e| tendencia de la solución de las condidonivi ¡uiualeb y do los parámetro^; 
' , • ' i -
Integrando la última ecuación y utilizando las condiciones iniciales, 
obtenemos 
dx\ 1 , / 5 t\ 1 _2( 1 2, 
u(t, 1 ) = — = - + e ~ f ( ~ - e 2 í e2'. • 
d^\ll=1 8 \ 36 3 / 4 72 
l l i i l i i ^ 
1 1 . H t i n w cuanto puede variar la solución de la écua- , j 
ción y' = x f sen <¡ (0 J' < 1) bajo la condición.'inicial 
?/(0) = tju r- o. M la variación del número ¡,'ij es menor qü.é"ü/01l';5 
M Solución. Utilicemos la desigualdad (4), p. 1.1. En este ejemplo 
e — 0, pues se comparan dos soluciones y(x) y z(x) de una 
misma ecuación, es decir, y1 = x + sen y, z' — x + sen z, donde la 
solución y(x) satisface la condición inicial y0 — 0, mientras que la 
solución z(x) satisface la condición 2(0) = para la cual, según 
las condiciones de partida, se verifica la estimación \yü ~zo\ < 0,01, 
o bien \zQ\ < 0,01. Por consiguiente, conforme a la fórmula (3), 
p. 1.1, tenemos que 6 = 0,01. 
Dado que |seni/ - senz[ ^ \y — z\, la constante de 
Lipschitz es K = 1; por tanto, conforme a la estimación (4), 
p. 1.1, encontramos finalmente 
\y{x) - z{x)| 0,01ekl < 0,01e ss 0,0271. »> 
1 2 . Para hallar la solución aproximada de la ecuación-;^ 
S - senr - 'O , (Va fue sustituida por la ecuación Jr-,r—O.^j. 
Iislimar el error de la solución para 0 Ss f 2 si las con-/' 
;r(0) ¿ 0 , ,y se sabe que'itj 
< Solución. Sea y(t) la solución del problema 
£ + seni/ = 0, 2/(0) = 0,25, y(0) = 0, (1) 
y x{t) la solución del problema 
x + x = 0, x(0) = 0,25, ¿(0) = 0. (2) 
Entonces, restando miembro a miembro las igualdades (1) y (2), 
para el error u(t) = x(t) — y{t) obtenemos el problema 
ü{t) + u(t) - sen y- y, u(0) = 0, «(0) = 0, 
• "lyttMIHM 
^¿todps^e'aproximación de las soluciones do las ecuaciones diferenciales 
cuya solución tiene Ja forma 
b 
= J (sen y{r) - y(r)) sen(£ - r ) dr. n{t) = j (sen y(r) - y(r)) sen(¿ - t) dr. (3) 
o 
Multiplicando miembro a miembro la ecuación (1) por y 
e integrando, a partir de las condiciones iniciales obtendremos 
y = 2(cos y - eos 0,25). 
De aquí se deduce que |t/| ^ 0,25. Por tanto, ¡ sen y — y\ ^ 0,003, 
y a partir de (3) hallamos la estimación buscada: 
t 
l«(í)l < j I sen y(r) - y{r)\\ sen(í - r)| dr < 
o 
i 2 
< 0,003 j | sen(í - r)| dr < 0,003 J dr = 0,006. • 
o 
§2. Métodos analíticos de aproximación 
2.1. Método de las series de potencias 
Si los coeficientes po(x), p\{x), p2(x) de la ecuación diferencial 
Po(x)y" + pi{x)y + p2{x)y = 0 (1) 
son funciones analíticas en un entorno del punto x — xq, es decir, 
se pueden desarrollar en series de potencias de x - Xq, y, además, 
p0(x0) # 0, entonces las soluciones de la ecuación (1) en cierto 
entorno del punto indicado también son analíticas. Si el punto 
x = Xo es un cero de multiplicidad s de la función un cero de 
multiplicidad s - 1 (o mayor) de la función pi (si s > 1), y un 
cero de multiplicidad s — 2 (o mayor) de la función p¿ (si- s > 2), 
entonces existe al menos una solución no trivial de la ecuación (1) 
en forma de una serie de potencias generalizada 
00 
y(x) = (x - x0)r a»(x - xo)"' 
donde r es cierto número. 
i r 
M<5UkIoh nruilf tipos 4,9^1 
r I "VilJl, 1 qU>JU?V* 
Si la función / es analítica en un entorno del punto (xq, yo), 
entonces la solución del problema 
y' = f{x,y), 2/(»o) = Jto 
también es analítica en un entorno del punto x — x$. Análogamen-
te, si la función / = f(x, y, y',..., es analítica en un entorno 
del punto ( , yo, y'0,..., 7/(-l"'~1)), entonces existe una solución del 
problema 
y(n) = f , y(xu)-y0l y'(xo) = yo, . . . , !í ,b-1,(®o) = Po,"1> 
en forma de una seriede potencias de (x — :cu). A menudo, para 
hallar los coeficientes de la serie se utiliza la fórmula de Taylor, 
2.2. Método del parámetro pequeño 
Si en el problema 
dx' 
"TT - fi(t, xlt x2, • • •, Xn, n\ »i(í0) = fl¿0¿), i~\,n (2) dt 
las funciones /,, a¿ son analíticas respecto a las variables X],X2, 
... ,xn,(i, entonces, para valores pequeños de p, (pequeños en 
comparación con la unidad, es decir, |/x| <C 1) el vector solución 
x{t, fi) se puede desarrollar en una serie convergente de potencias 
de fi: 
x(t, ¡t) = yQ(t) + pyx(t) + /i2y2{t) + ... . (3) 
Para hallar las funciones yo, y\,..., se deben desarrollar los segun-
dos miembros del problema (2) en potencias de fi y, después de 
sustituir en el problema el desarrollo (3), igualar los coeficientes 
de las potencias iguales de fi. Como resultado obtenemos un 
sistema de ecuaciones diferenciales (con las condiciones iniciales 
correspondientes) cuya integración proporciona sucesivamente las 
funciones yo, y\,... . Las constantes arbitrarias se hallan a partir 
de las condiciones iniciales 
yi(t o) = («i¿, a2i,..., ct„¿)' donde aki = const. 
Empleando el método del parámetro pequeño se pueden 
hallar de un modo aproximado las soluciones periódicas de las 
ecuaciones del tipo 
'y 
x + a x = nF(t, x, x, fi), (4) 
'̂ i3''feolucioinps de las ecuaciones diferenciales 
donde F es una función periódica de t conocida. En este caso, 
las constantes de integración que surgen al resolver las ecuaciones 
diferenciales respecto a las funciones yo, y i , . . . se hallan a partir 
de las condiciones de periodicidad de las funciones, las cuales 
consisten en la ausencia de términos resonantes en los segundos 
miembros de las ecuaciones diferenciales mencionadas. 
Si el segundo miembro de la ecuación (4) no depende 
explícitamente de f, entonces el período de la solución x(t,fi) no 
se conoce de antemano. En tal caso, en la ecuación (4) se debe 
efectuar el cambio de variable 
r = f ( l + b1fi + b2¡i2+ ...) (5) 
(r es la nueva variable independiente) y buscar la solución 
2tr 
x(t,[í) de período — . Siendo así, los coeficientes bj, b2, . . . se 
(t 
determinan a partir de las condiciones de periodicidad de las 
soluciones y0(r), yi(r), 
@ En cada uno de los problemas 13-18, hallar en forma de una 
serie de potencias la solución que satisfaga las condiciones 
iniciales dadas. Calcular algunos de los primeros coeficientes 
de la serie. 
Solución. La función f(x, y) — y2 — x es analítica respecto a las 
variables x, y en un entorno del punto (0,1); por tanto, existe una 
solución analítica 00 
y(x) = ünXn 
n=0 
de este problema. Sustituyendo esta solución en la ecuación dada, 
obtenemos la igualdad respecto a x 
2 2 3 2 a-[ + 2a2x 4- 303» + . . . = (üo + ai® + a2x + a$x + ...) - x. 
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos 
un sistema de ecuaciones respecto a los números a¿ (i — 0 ,1 ,2 , . . . ) : 
2 
ü! = a0 , 2a2 = 2a0ai - 1, 
3a3 = a2 + 2aoa2, 4a4 = 2a\a2 + 2a0a3, . . . . 
,|"V ' - - O" fíV'Wíffl 
v i i- íi.-'iíi'ii, > ««„ '^IUau 
Dado que j/(0) = 1, tenemos o» = 1. Entonces, a partir de las 
ecuaciones del sistema obtenemos sucesivamente 
0.3 a 4 = 
2 
3 ' 12' 
De este modo, la solución aproximada tiene la forma 
a, = 1 , a2 = - , 
1 , 2 , 7 4 
y(x) «l + at + V + V f —x\ 
1 4 . y'= y + x¿>-, y(0) = 0. 
M Solución. Desarrollamos la función f(x, y) — y + xey en una 
serie de potencias de x, y en un entorno del punto (0,0): 
f{x,y) = y + íc + y + ^y2 + g^3 + + • • ) • 
Teniendo en cuenta la condición inicial, buscamos la solución en 
forma de una serie 
y(x) = a\x + a2x2 4- 0,3 x^ + o,$x4 -f ... . 
Sustituyendo esta serie en la ecuación 
00 t,k 1 , v ^ y 
k=0 ' 
e igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtene-
mos el sistema de ecuaciones 
ai = 0, 2a2 = 1, 3ci3 = a,2, idi — 0,3 + 0,2, ..., 
de donde hallamos 
_ 1 1 
Por consiguiente, 
0-2 — = a i = 5 ' 
I 2 I 4 
y{x) = ~x + -x + -x + ... . 
2 6 6 
•4 Solución. Al igual que en los problemas anteriores, la solución 
aproximada y(x) se hubiera podido obtener como una suma 
parcial de una serie de potencias, hallando sus coeficientes a partir 
de cierto sistema de ecuaciones recurrentes. Sin embargo, aquí 
seguiremos otro camino. A saber, dado que la serie de potencias 
desconocida es una serie de Taylor, mediante una diferenciación 
sucesiva respecto a a; del segundo miembro de la ecuación inicial 
calculamos las derivadas del orden necesario en el punto x — 0. 
Así pues, considerando las condiciones iniciales, tenemos 
y"(0) = -y2(0)=~l; 
y"'(x) = £(xy'-y2)^y'+xy'-2yy', ¡ f ( 0 ) = - 2 / 
yw(x) = 2y" + xy"' - 2y'2 - 2yy", t/V(0) = -8 
Por consiguiente, a partir de la fórmula de Taylor hallamos 
16. — = ¿ = + x2 + y; 
m i s í I I Í B B IIIIIH 
-4 Solución. Como los segundos miembros de las ecuaciones son 
funciones analíticas respecto a todas las variables x, y, t, buscamos 
la solución en la forma 
2 3 x(t) = ao + a-¡ t + a2t +ÍI3Í'+..., 
y(t) = b0 + bit + b2t2 + M3 + • • • • 
Sustituyendo estos desarrollos en las ecuaciones dadas e igualando 
los coeficientes de las potencias iguales de í, obtenemos un sistema 
de ecuaciones respecto a los números a,-, h¡, i — 1 , 2 , . . . : 
ai = a0- 61 - -1 + b0 + al, 
2a2 — 1 + a\ - 2i>o&1, 2b2 = h + 2a0aír 
2 3«3 — a2 — b\ — 2bQb2, 3bj = 1 + b2 + a,\ 4- 2aQai, 
Métodos analíticos *d 
De aquí, utilizando las condiciones iniciales obtenemos que tío = h 
bo — - 1 . Ahora podemos hallar sucesivamente 
«1 — o, 
1 
h = - 1 , 
1 
02 
5 
fe2 = 02 
5 
2 
1 _ „ 
~ 6 ' 
Por consiguiente, 
x(í) = \ - - t ¿ - - / + ..., 
2 6 
i1 t3 
y{t) = - 1 - í - - - - + ... . 
dx 1 
1 7 . 
dt t + x2 tj2' 
J-ilJ = 0, j/fl) - 1. 
dy ^ xy]n (t + x2 ± yr} [ • 
n H B n ^ H m H H H I H f l H t É l i 
I Solución. Primero empleamos la fórmula de Taylor para desa-
rrollar los segundos miembros de las ecuaciones en potencias de 
(t - 1), x, y- 1: 
1 , d f i + x dfx 
M U "S 
»2/i 
dx 
+ 2(t - l)x 
+ 
M 
d2h 
M 
+ 2 ( f - 1 ) ( 2 / - 1 ) d
2n 
dt dy 
dt dx 
+ 2x{y - 1) 
+ 
M 
d f i 
+ x' d
2h 
dx2 + (y-1) 
M 
2^/1 
M dy1 
dx dy M 
1 t-1 3 ( ^ - 1 ) ( ¿ - 1 ) 2 3(* - 1 ) ( y - i ) 
2 4 4 8 8 
X 3 , "y 
+ - ( » - i ) + . . •; 4 8Vtf ; 
' t H 
'iri 'dó lfis,poluciones de los ecuaciones diferenciales 
f í » ¡ * 
dh Oh f2(t,x,y) = (t-í)-^ + x 
M dx 
dfi 
m M 
2! V dt2 
Olf2 + 2x(t - 1) d
zf2 
M dtdx 
+ 
M 
+ 2(í — l)(y — 1) d
2h 
dtdy 
+ 
M 
4 - 2x(y - 1 ) 
d2h 
dx dy 
+ (y-1) 
d2h 
dy2 M 
M 
i02h 
dx2 
+ 
M 
donde 
fi(trx,y) = 
ax + x{t - 1)& + cx(y - 1) + ..,, 
1. 
f + x2 + . y2 > hit* y) 
l + (l + t g l ) 2 ' 
1 
2(1 + tg 1)-
xy ln (t + x2 + y2) 
l + (t + tgy)2 ' 
ln2 
2 ( l + (l + tg l ) 2 ) " " ' ( l + í l - M g l ) 2 ) ' 
„ ln2 + l ln 2 
l + (l + tg l ) 2 ~ ( i + (l + t g l ) 2 ) 2 ' 
De esta manera, tenemos el problema 
dx
 _ 1 izl _ ~ -i)
2 
~ d t ~ 2 ~ 4 + 8 + 
, 3 ( ¿ - l ) ( y - l ) a ; 2 3 2 
+ r T + g(»-l ) 
(1) 
dy 
dt 
ax 4 - bx(t - 1 ) 4 - c x ( í / - 1 ) 4 - . . . , 
¡r(l) = 0, y( 1) = 1. 
Busquemos la solución del problema (1) en la forma 
x(t) = ai(í - 1) + a2{t - l)2 + a3(t - l)3 + ..., 
¡ , ( t ) = 1 + 6j(í - 1 ) + h(t - l ) 2 4 - h(t - l ) 3 + • • 
' J 1 j l l Í K w l r ' « V ' , t . . » ¡ . ¡ i • ^ T ' 
Sustituyendo estas últimas series en las ecuaciones (1) e igualando 
los coeficientes de las potencias iguales de t — 1, obtenemos un 
sistema de ecuaciones a partir del cual hallamos 
1 
di = 
2 ' 
1 
= 0, 
a 
a2 - *>2 = 4 ' 
a3 = 
1 - 3 a 
h 
46 
a3 = 
48 ' h 24 
Por consiguiente, 
, i - 1 ( t - 1 ) 2 1 ~ 3a 3 
x(t) = - — - i — - + ——(i - l)3 + . . . , 
8 48 
4 6 - a 
^ ) = i + - ( í - i r + 2 4 
1 8 . - = í 4 e / , v , = ¡r(0) = MO) - 1 
< Solución. Dado que 
, x (0) 2 x"(Q) , 
x(t) = x(0) + »'(0)¿ + -^-t2 + + . . . , 
2 o 
y{t) = y{ o) + 2/'(0)í + ^ t 2 + ^ í 3 + . . . , 
sólo nos resta hallar los valores de las derivadas en el punto t 
De las ecuaciones del sistema tenemos 
a:'{0)- e2, 
x"(t) = 1 + ex+y{x + y') = 1 + ex+9(x' + 1 + sen xy), 
x"(0) = 1 + e2(e2 + 1 + sen 1); 
y'(0) = 1 + sen 1, 
- eos xy • {xy + xy'), 
/(O) - eos 1 • (e2 + 1 + sen 1). 
:0 . 
iabu>«)iiiiwwjn»ui.M 
de las soluciones de las ecuaciones diferenciales 
Continuemos: 
x'"(t) = ex+y{x'+y')2 +ex+,J(x"+y"), 
x"'(0) = e2 ((e2 + 1 + sen l)2 + 1 + e4 + e2 + 
2 2 \ + e sen 1 + e eos 1 + eos 1 + eos 1 • sen 1); 
m,,, / ' , >\2 , / ii , i ' ' , ii\ y (t)~ ™ sen xy • (x y + xy ) -(- eos xy • (x y + Zx y + xy ), 
y ' " {0) = - sen 1 • (e2 + 1 + sen \)2 4- eos 1 x 
x ( l + e4 + e2 + e2 sen 1 + 2e2(l + sen 1) + 
+ eos 1 • (e2 + 1 + sen 1)). • 
1 9 . rMwi'.iii liit'eriurn'.enli- •*! i.ulin de M'iuvrf.i.-neia de l.i 
serie de potencias que representa la solución de ia ecuación 
¡/ — /y" - x , con la condición inicia] !/(0) — 1. 
•4 Solución. A partir de la ecuación y de la condición inicial, 
hallamos sucesivamente 
y'(0) = 1, y"(x) = 2yy' - 1, jf"(0) = 2j/(0)j/'{0) - 1 = 1/ 
= 2 (yy'fn-2) = 2 E c l 2 y < % > f - 2 - k ) = 
fc=0 
fc=o 
n - 2 
y
(n)
(0) = 2 J 2 cl2y{k)( O-tíf-^HO), n¿3. 
k=0 
Demostremos que ^ n!, n £ N. Utilicemos el méto-
do de inducción matemática. Tenemos que |j/"(0)|<1. 
Suponiendo que lt/fc'(0)J ^ fe!/ P a r a fe — 3 , 4 , . . . , (n ~ 1), estimamos 
n-2 
k=0 
n-2 n-2 
4 2 E C^2k\(n - k - 1)! = 2(n - 2)! - fc ~ 1) = «!-¡t=o t=o 
Por consiguiente, de acuerdo con el método mencionado, 
|/°(0)| ^ ni Vn € N. 
Teniendo en cuenta la desigualdad demostrada, para los 
00 
coeficientes de la serie de potencias ^ ^ anxn, la cual presenta la 
n=0 solución en un entorno del punto x = O, se cumple la estimación 
Ki = ¿|y<B)(0)|^i. 0) 
Finalmente, empleando la fórmula de Cauchy-Hadamard 
— -- lim V l ^ J ' y también la desigualdad (1), obtenemos la 
n—>oo 
estimación requerida para el radio de convergencia R de la serie 
de potencias: 
R> 1. • 
Dadas las siguientes ecuaciones (20-25) hallar Jas soluciones 
linealmente independientes en forma de series de potencias: 
Solución. Ya que las funciones p0 = po(x) = 1, pi = pi{x) ~ 0, 
Pi ~ p2Íx) = -x1 son analíticas V a 6 ( -oo, - feo) y poW ^ 0, 
según el p. 2.1, existe una solución analítica y = y(x), 
x 6 ( -oo , -foo). Busquemos esta solución en forma de una serie 
00 
y(x) = Y^a"x"- 0 ) 
n=0 
Sustituyendo y(x) en ta ecuación inicial, obtenemos la siguiente 
igualdad respecto a x: 
OO 00 
n(n — l)anxn~2 - ^T^ anxn+2 = 0, 
n=2 n=0 
Cambiando en la segunda suma el índice según la fórmula 
n = n' - 4 (ra' = 4 ,5 , . . . ) , obtenemos 
00 oo 
2 n(n - l)anxn~2 ~ = 0, 
I m p r i m a c i ó n dtí Idt. soluciones de tas ecuaciones diferenciales 
o bien 
oo 
2a2 + 6a3af 4- - l)an _ « n - * ) » " - 2 = 0. 
n=4 
De aquí se deduce que a2 — 0,3 = 0, n(n - l)an - af í_4 = 0. De la 
fórmula de recurrencia an = ——--— hallamos sucesivamente 
n{n -1) 
«o aj 
a4 = — - , a5 = — 7 , a6 = 0, a7 — 0, 4-3 5-4 
__ a4 _ ao _ ®5 __ (2) 
a® _ 8^7 ~ 8 • 7 • 4 • 3 ' % _ ~ 9 - 8 - 5 - 4 ' 
®io — a n = 0 etc. 
Como ao, ai son constantes arbitrarias, podemos admitir que 
ao = 1, ai = 0 , o bien â = 0, 01 = 1. Entonces, de las 
fórmulas (1) y (2) obtenemos dos soluciones particulares 
s 12 
t/i(a:} = 1 + H + -f . . . , 
y u 4 - 3 8 - 7 - 4 - 3 12•11•8•7•4•3 
x5 x9 x13 
w2{:c) — a; -i ! • j ( - . . . . 
y w 5 - 4 9 - 8 - 5 - 4 1 3 - 1 2 - 9 - 8 - 5 - 4 
Las series de potencias obtenidas convergen para todo 
x 6 (—00, +00). Las soluciones y\(x) e y2(x) son linealmente 
independientes, dado que la identidad y\{x) = ky2(x), k — const, 
no es posible (por ejemplo, i/i(0) = 0, lo cual contradice la 
definición de y{{x)). De esta manera, las soluciones y\(x), y2{x) 
forman un sistema fundamental, y la solución general de la 
ecuación dada tiene la forma 
y{x) = Cxyx{x) + C2y2(x), x € ( - 00 , +00). • 
21. a - » V - - W - = » 
•4 Solución. Puesto que la función 
4 xy' + 2 y 
l - x 2 
es analítica respecto a todas las variables x, y, y1 (x / ±1), entonces 
existen soluciones analíticas de la ecuación dada para x ^ ±1 . 
, 1. wy i- ¿y , , n 
MÍUHIO» anaUtlcoíS d e ^ a t ó l l 
, , > ¡i <-»•» ii «i >j 
Hallemos estas soluciones inicialmente en un entorno del cero 
(x = 0), es decir, vamos a buscarías en la forma 
y(x) — ao -f ü\x + a2x2 -f . .. . 
Sustituyendo esta serie en la ecuación dada obtenemos la siguiente 
identidad respecto a x: 
n(n - 1 )anxn 1 
n = 2 
- n(n _ l)°n®n 4 ^^ nanx" — 2 ^T^ = 
n = 2 n = l n = 0 
Cambiando el índice n de la primera suma por n + 2, escribimos 
nuevamente la identidad en la forma 
00 
£ ( n + 2)(n + l)aB+2arB -
n = 0 
oo oo oo 
- ~i)anx" - 4 ] ¡ P ~ 2 E a " x " s 
» = 2 n = l ) í = 0 
o bien 
2a2 + 6a¡x - 2a0 - 6at x + 
00 
+ E (ín + + !)an-l-2 ~ n(n ~ _ 4nan - 2an)x" s 0. 
ri=2 
De aquí, igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, 
obtenemos 
a2 = ¿o, «3 = «1/ «n+2 = o,„, n — 2 , 3 , . . . . 
Sean ao = 1, ai — 0. Entonces 02* = 1, a2k+1 = 0, fc = 0,00; por 
consiguiente, 
y 1(a:)-l + 3:2 + 3:4 + ...= 1 |¡e| < 1. 
1 - x¿ 
Análogamente, si a,-j = 0, « j = 1, obtenemos «2fc = 0, 026+1 = 1. 
Por tanto, 
y2{x)~x + x3+ x5+ . . . - — \ x \ < l . 1 — x¿ 
No es difícil ver que para !:r| > 1 las funciones yi, y2 también 
son soluciones de la ecuación inicial. • 
, ÍíimMt 
7m 
H O W "|i*í¿|S $'óíuciíone9 de las ecuaciones diferencíales 
l¡!lítl',(l« iii 'l Mi 
•4 Solución. Como en el ejemplo anterior, primero buscamos las 
soluciones en un entorno del punto x — Ü, esto es, en la forma 
oo 
anx". Sustituyendo esta serie en la ecuación dada, obtenemos 
n=0 
la identidad respecto a x 
co oo ao 
n(n - 1 )anxn^2 - ^ n(n + l)anxn~l - 2aa + ^ a„x" = 0. 
n—2 n=2 
Cambiando el índice n en la primera suma por n + 2, y en la 
segunda por n 4-1, tenemos 
oo 
+ 2)(n + l)an+2xn -
n~ 0 
00 00 
- ^ ( n + 1 ) ( " + 2)an+iXn - 2oi + 2 a„xn = 0, 
fí=1 n=0 
de donde, igualando los coeficientes de las potencias iguales, 
hallamos 
2 a 2 - 2 a 1 + a 0 = 0 , ( n + 2 ) ( n + l ) ( a „ + 2 - a n + i ) + a „ = 0 , (1) 
Sean a\ = 0, «o — 1. Entonces, de las ecuaciones (1) resulta 
1 1 11 
a 2 - ~ - , a3 = - - , 
por consiguiente, 
x2 x3 11 4 
Haciendo oq = 0, a\ = 1, análogamente obtenemos 
5 3 
«2 — 1/ a3 ~ 7/ fl4 — 7/ • • • í 6 4 
por tanto, 
y2(x) = x + x2 + -x5 + -x4 + .,. . 
6 4 
2y' - y 
Puesto que la función x »-• es analítica para x 5¿ 1, 
1 - x 
las series obtenidas convergen solamente para [x| < 1. Hallemos 
Las soluciones particulares para valores arbitrarios de x 1. 
Realizando el cambio de variable x = ¿ + Xo, donde x0 ^ 1, 
buscamos las soluciones particulares en la forma 
oo 
Hit) = t = X~X 0. 
n-0 
Después de una serie de cálculos semejantes a los anteriores, 
llegamos a las soluciones particulares siguientes: 
( x - x 0 f ( x - x 0 f 11 + Xo 4 
yx(x) = 1 - — - — - - — rgíar - x0) 2(1 - «o) 2(1 - s0)2 24(1 - «0) 
2 5 + Xq 3 
y2(x) = (1 - x0)(x - s 0 ) + (x- So) + — -(a - XO) + 
6(1 - a?0) 
3 + Xo , ,4 , 
4(1 - xo)2 
Dado que el radio de convergencia R de las series obtenidas 
se determina mediante la distancia desde el punto t = 0 hasta 
Zy't - y(t) el punto singular de la función t i—• , tenemos que 
1 —* £Cq " ¡t 
R = |1 - s0|. Por consiguiente, las funciones y¡, y2 están definidas 
para todas las x que satisfacen la desigualdad |ac — acó I < |1 ~ ®ol-
De esta desigualdad se deduce que las funciones y\ e y2 describen 
todas las soluciones particulares de la ecuación inicial para todo 
x £ 1. • 
Nota. En el ejemplo anterior logramos sumar las series de potencias y hallar las 
funciones analíticas que también son soluciones de la ecuación diferencial para 
litros valores posibles de a;. 
2 3 . y" - xy' + 
M Solución. Por cuanto po(x) ~ 1 0 y las funciones — 
Pi(x) = ~x, p2 -- p2(x) = x son analíticas, concluimos que 
la ecuación inicial tiene soluciones particulares que forman un 
sistema fundamental y son funciones analíticas para todos los 
valores de x £ ( -oo , +00). La serie de potencias 
00 
n=0 
en cuya forma buscaremos las soluciones particulares,converge 
para todo x. Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial e 
igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos 
un sistema respecto a los números an: 
nan — 
a2 = 0, fln+2 = — - rr ,——77, n = 1,00. 
(n + 2 )(n 4-1) 
De aquí, tomando ao = 1, ai = 0, hallamos 
1 1 
<i\ — — , a¿ = 0. — , . . . . 
3 6 40 
Análogamente, suponiendo que «0 = 0, ar — 1, obtenemos 
1 1 1 
a3 = g, « 4 - - - , a s ~ 40 
Por consiguiente, las soluciones particulares son 
3 5 3 4 X X° X5 X 
2 4 . xtf' 4- y ln (1 - $ ) = 0 
Solución. Utilicemos el desarrollo 
/ x 2 x3 \ 
l n ( l - x ) = - í x + y + y + . . . j , - 1 < X < 1 
y busquemos las soluciones particulares en la forma 
2 3 y(x) = ao 4- a ix 4- a2x 4- a 3 x + . . . . 
Procediendo como de costumbre, obtenemos el sistema de ecua-
ciones respecto a los coeficientes: 
1 1 1 
2 a 2 - a 0 = 0 , 6 o 3 - f l i - - a 0 = 0 , 1 2 a 4 - - a 2 - - a 0 = 0 , . . . , 
a partir del cual, haciendo ao = 1, ai = 0, obtenemos 
1 1 5 
a2 = 2 ' 0,3 12' 0,4 - 72' ' 
Por consiguiente, la primera solución particular es 
X X 5 4 
tíi(ac) = H 1 b — « + . . . • 
y ' 2 12 72 
Para obtener la segunda solución particular tomamos a0 = 0, ai = 1. 
Entonces, partiendo del mismo sistema, hallamos 
1 1 
a2 = 0 , a3 = a4 = — , . . . ; 
6 24 
consecuentemente, 
x 3 x 4 
y2(x) = x + — + — + . . . 
El radio de convergencia de las series de potencias de las soluciones 
yi(x) e y2(x) es igual a la unidad. Para obtener las soluciones 
particulares V® € ( - o o , 1), realizamos el cambio de variable 
x = í - x 0 (^o > 0)/ con lo que la ecuación inicial adopta la forma 
(t - x0)y" + j l n ( l + x 0 - í) = 0, 
o bien 
(t ~ %o)y" + Jí ln (1 -f Xo) + í/ ln [ 1 - - J — ) = 0 . 
V Í + Xo/ 
Sustituyendo en la última ecuación los desarrollos 
V 1 + X O J F ^ N ( \ + X 0 R ' 
V(t) = 60 + M + b2tz + ht3 + ... 
e igualando los coeficientes de las potencias iguales de t, obtene-
mos 
2&2X0 - 60 ln (1 + Xo) = 0, 
í>o 
2 h - 663X0 + 61 ln (1 + ®o) - 7 - — = 0 , 
1 + (1) 
- 1264X0 + 663 + 62ln( l + x 0 ) - = 0, 
1 + x 0 2(1 + x 0 ) 
'dp lá'Siíecuacionea diferenciales 
HHKm.^ 
Sean i>o = 1, &i = 0. Entonces, partiendo del sistema anterior 
hallamos sucesivamente 
í»2 = — » 2x0 
1 f]n(l + x0) 1 \ 
í»3 = 7 — — — , x 0 ¿ 0 , 
b4 = 12«0\ 
/ln( l + x0) l n 2 ( l + x 0 ) 
x 0 ( l + ®o) 2a; o 2 ( l + x 0 ) V ' 
Sean ahora b0 = 0, b¡ — 1. En este caso, del sistema (1) obtenemos 
ln (1 4- x 0 ) 
h = 0, 63 6x0 
J _ / l n ( l + x 0 ) 1 
12x0 
x 0 0, 
x 0 1 + ®0 
x0 0. 
Nótese que mediante el paso al límite cuando x0 —• +0, a partir de 
las expresiones de blr i — 1 ,2 ,3 ,4 , se pueden obtener los valores 
correspondientes de a¡, i — 1 ,2 ,3 ,4 , calculados para x0 = 0. 
Finalmente, para xo > 0 podemos escribir las soluciones 
particulares en la forma 
, x „ (x+xo)2 l n ( l + x 0 ) ( x + x 0 ) 3 / l n ( l + x 0 ) 1 \ 
Í/I(X) = 1H —H 1 ) + 
2 x 0 6x0 V ®o 1 + x 0 J 
| (x+xp)4 / l n ( l + x 0 ) 1 _ ln 2 ( l+x 0 ) 
12x0 V x\ x 0 ( l + x 0 ) 
~ 2 ( l + x 0 ) 2 ) + " " 
, , , , ( z + a 0 ) 3 ln(l+Xo) , y2{x)=x+x0 + + 
2x0 
Xo 
+ (x+x 0 ) 4 / l n ( l + x 0 ) 1 \ 
12x0 \ x 0 1+Xo/ 
4 Solución. Dado que p0(x)~1^0 y las funciones pi=pi(x)—~x, 
Pi — Pi(x) — x — 2, p3 — p${x) = 1 son analíticas V x G ( - 0 0 , +00), 
el sistema fundamental está formado por funciones analíticas en 
todo el eje numérico. Por consiguiente, las series de potencias 
correspondientes convergen para todo x. Sustituyendo en la ecua-
00 
ción inicial la serie ^ ^ a„xn, e igualando los coeficientes de 
n=0 
1C f f . . . . . obtenemos 
603 - 2a-¡ + ao = 0, 
{n + 3)(n + 2)a, i+3 - (n + 2)an+a + a„ = 0, n = 1,2,... . 
Sean üq = 1, a\ = a2 = 0. Entonces, de las últimas ecuaciones 
hallamos 
fl3 = 4 ' a4 = 0' a5 = ~b fl6 = ¿o 
Por consiguiente, 
x3 x5 x6 
Í / I ( x ) = l - — - — + — + . 
Sean, ahora, a0 = a2 = 0, a\ — 1. Partiendo de las mismas 
ecuaciones obtenemos 
1 1 1 
tt3~3' _ 1 2 ' " " " Í S 
Por tanto, la segunda solución particular es 
3 4 5 X X X 
y2(x) = x H 1 1-. • • • y ; 3 1 2 1 5 
Finalmente, haciendo a0 = ü\ = 0, a2 — 1, hallamos 
1 1 
a3 = 0, a 4 = ° 5 = ~ 2 o ' 
Así pues, 
</3<x) = X + — - — . • 
• •»; 11-I". MWMMM#MMMMZI 
ecuaciones diferenciales 
r 1 
Para cada una de las ecuaciones siguientes, hallar aquellas so-
luciones que se pueden expresar medíante series de potencias 
(o series de potencias generalizadas): 
26. xy 2 o' ty = 
Solución. En el punto x = 0 la función po = Po(x) = x tiene un 
cero de primer orden, la función p\ = p\{x) — 2 no tiene ceros, 
y la función p2 = Vi(x) = x tiene un cero de primer orden. Por 
tanto, según el p. 2.1, para la ecuación dada existe al menos una 
solución no trivial y{x) en forma de la suma de una serie de 
potencias generalizada: 
OO 
y(x) = xr^anxn. 
n=a 
Sustituyendo la serie en la ecuación inicial e igualando los coefi-
cientes de X F XF I . > F obtenemos 
a0r(r + 1) = O, a^r + l)(r + 2) = O, 
"n-2 (1) an — -. 
(•n + r){n + r + 1) 
Es evidente que la solución no trivial existe sólo si se cumple 
la condición a§ + aj ^ 0. Sean ao = 1, ai = 0. Entonces, de la 
primera ecuación de (1) obtenemos que r(r + 1) = 0. Tomando 
r = 0, de la tercera ecuación de (1) hallamos sucesivamente 
o-i a3 = 0, 2 - 3 ' 
« 5 = 0 , a6 = - — 
por consiguiente, 
i2 i4 
= . . . x 
Haciendo ahora r = -1 (ao = 1, ai 
1 
a4 = 
2 • 3 • 4 • 5 ' 
1 
6!' 
sen x 
x # 0; í/i(0) = 1. 
a2 = a3 = 0, 
0), a partir de (1) obtenemos 
1 
a 4 = - , . . . . 
De esta manera, la segunda solución particular es 
1 / x2 x4 \ cosx 
yi(x) = - | i - — + — 
x 2! 4! x 
x 0. 
Sean ao = O, ai = 1. Entonces, de la segunda ecuación de (1) 
tenemos que (r + 1 )(r + 2) = 0. Tomando, por ejemplo, r = - 1 , 
a partir de la tercera ecuación de (1) hallamos 
1 1 
a2 = 0, = «4 = 0, a5 = —, . . . . 
Consecuentemente, 
1 / x3 x5 \ sena; 
Suponiendo que r — - 2 , de una manera análoga obtenemos 
1 / x3 x3 \ eos 
x = — ( ® - — + — - = , í 5 ¿ 0 . 
x2 \ 2! 4! J x 
Por tanto, para x 0 las dos soluciones particulares 
linealmente independientes tienen la forma 
sen x eos x 
t/i(x) = , yz{x) = . • 
X X 
Nitiá. Pudiéramos haber analizado solamente el caso afl = 0,ax = 1. 
2 7 . 9j¿y" - {j»2 « 2)y =x 0. „ 
•4 Solución. Sustituyendo en la ecuación inicial la serie 
oo 
y{x) = E +̂2 
n = 0 
e igualando los coeficientes que multiplican las potencias iguales 
de x, obtenemos 
a«(9(n + r)(íi + r - l ) + 2 ) - a „ _ 2 = 0, n = 2 , 3 , . . . , (1) 
a0(9r2 - 9r + 2) = 0, ai(9r2 + 9r + 2) = 0. (2) 
Sean do = 1/ ®i = 0. Entonces, de la ecuación (1) se deduce que 
1 2 1 
í"i = r2 — - . Sustituyendo en (2) primero r = y después 
3 3 3 • 2 
r — - , para cada uno de estos casos hallamos 
1 rn _ m 1 a(2} = ~ , = 0, « ? = 5 - 6 J 4 5- 6 - 1 1 -12 ' 
1 í2\ „ m 1 
a(2) - — a{2) - 0 o(2) a2 — , a3 — u, a4 
6 - 7 ' 3 ' 4 6- 7 - 1 2 -13 ' 
Por consiguiente, 
( * 
X 
y2{x) = x 
5 - 6 5 - 6 - 1 1 12 
a; 
+ .. 
7 + 6 • 7 • 12 • 13 
Nota. Analizando el caso ao = a\ — llegamos al mismo resultado. 
28. a?2/ + 2x¿/' - ( ¡ r + 2x -r 2)y « 0. 
(1) 
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos 
(r2 + r - 2)a0 = 0, r(r + 3)aj - 2a0 = 0, 
((n + r)(n + r + 1 ) - 2) a„ - on_2 - 2a„_i = 0, 
n = 2 , 3 , . . . . 
Por cuanto estamos buscando las soluciones no triviales, entonces 
al + a2 0; por consiguiente, el determinante de las dos primeras 
ecuaciones homogéneas de (1) debe ser igual a cero: 
(r - l )r (r + 2)(r + 3) = 0. 
De aquí hallamos las variantes posibles: 
í*i = 1, T2 - 0, r3 = - 2 , r4 = - 3 . 
Sean r = 1, a0 = 1. Entonces de la segunda ecuación de (1) 
1 
obtenemos a* = - , y de la tercera hallamos sucesivamente 
1 
a2 a4 = 
1 _ _ 
5 ' a 3 ~ 20' 280' 
Escribamos ahora la primera solución particular: 
X2 x3 x4 3x5 
w<*> = * + T + 7 + 2O + 25O + - -
Haciendo r = - 2 , a0 — 1, análogamente obtenemos a¡ = - 1 , 
1 
a2 — -. Dado que al intentar hallar a3 llegamos a la indetermi-
nación actuaremos de la manera siguiente. Considerandoque 
r - 2 , de las ecuaciones (1) hallamos 
2 
ai = 
+ 3 r ' 
a2 
r2 + 3r + 4 
a3 = 
(r2 + 3r)(r2 + 5r + 4) ' 
4(r + 2) 
(r2 + 3r)(r2 + 5r + 4)(r + 5)' 
De aquí, haciendo r —* - 2 , obtenemos 
1 
ai = -1, a 2 = 2' «3 = 0. 
Los coeficientes a4, o 5 , . . . se hallan recurriendo al método conoci-
do. Así pues, la segunda solución particular es 
1 l l ® 2 ® 3 7®4 
El análisis de los casos r = 0, r = - 3 conduce a los mismos 
resultados. • 
2 9 . xy +y — xy 
OO 
Solución. Luego de sustituir la serie ^T^ anxn+T en la ecuación 
n=0 
inicial e igualar los coeficientes de las potencias iguales de x, 
obtenemos 
a0i"2 = 0, a i ( l + r ) 2 = 0, o„ = a "~ 2 , 2 , n = 2 , 3 , . . . . (ra + r)¿ 
Sea r = 0. Entonces ai = 0, y el coeficiente OQ se puede igualar a 
la unidad. De la tercera expresión hallamos sucesivamente 
1 1 
a2 — - a3 = 0, a4 = 4 ' 4 — 22 • 4 2 ' 
Por consiguiente, 
X2 x4 x6 
,a7ij|ucí^és délas ecuaciones diferenciales 
Hallar las soluciones generales de las ecuaciones: 
Solución. Busquemos la solución particular en la forma 
00 
anxlí] r. Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial ob-
tenemos una identidad respecto a a;, a partir de la cual hallamos 
ao(r +1) = O, a„ = 
a„-1 
n e N . 
1 + (n + r)2' 
Por cuanto ao ^ O (si ao = O se obtiene una solución trivial), de 
la primera ecuación se deduce que r = ±i. Sean r — i, ao — 1; 
entonces de la segunda ecuación obtenemos sucesivamente 
1 
ai = 
1 + 2»' 
«2 (l + 2»)(l + ¿)' 
1 
a3 = 12( l+2»)( l + *)(3 + 2>") 
De este modo, las soluciones particulares son 
V 1 + 2» 
+ x 
+ 2» 4(1 + 2*)(1 + i) 
,3 X 
12(1 + 2»)(1 + »)(3 + 2») 
,2 
0*4 
X X 
- + 
1 - 2 i 4(1 - 2i)(l - i) 
+ 
+ x + 4 12(1 - 2»)(1 - »)(3 - 2i) 
y la solución general 
y — C\yiix) + C2y2(x) — C\{u + iv) + C2{u - iv) — au + bv, 
donde a = C\ + C2, b ~ i(Ci - C2). Utilizando las fórmulas 
de Euler, las funciones u,v se obtienen a partir de la expresión 
de y\ (x). Tenemos: 
t/i(») = u(x) + iv(x) — 
£C ¿i? 3*C 
= (eos (ln X) + i sen(in x)) I 1 + - _ - - — + . . . 
( 2x 3x2 x3 \\ 
- + v t - « + s + - ; J = 
/ x x2 3x3 \ , v 
= ( 1 + ? - « - i 0 4 5 + " J c o s ( l n x ) + 
2x 3x2 
T + 40" " 
x^ 2x 3x2 
T + 40" " 520 
¡H" x2 ¡H" 40 
2x 3x2 
y + ~40 " 
X 3 
520 
+ T - + — - — + - . . sen(ln x) + 
+ i ( ( ! + " — - + • • sén(ln x) -
1040 
+ . . . ^ eos (ln x) ] ; 
por consiguiente, 
u(x) — a(x) eos (ln x) + ¡3(x) sen(ln x), 
v{x) = a(x) sen(ln x) - fl{x) eos (ln x), 
íE 3! 33? 
a(x) = í + (-..., 
• 5 40 1040 
. 2 3a;2 a;3 
8{x) = - x -j- f - . . . . • 
t X 5 40 520 
31. x-y [ V Ity 
Solución. Busquemos la solución particular en la forma 
00 
y (ar) = E a«{x - xo)". 
Empleando el mismo método del ej. 15, para los coeficientes an 
obtendremos 
tt - (1 ~ 3XQ)Q,I - ap 
2*2>Q 
a3 = g^í ( « i ( l - 8x0 + ll®o) - aod ~ 5x 0)) , . . . . 
Los coeficientes ao, a j son arbitrarios (xq ^ 0). Si xy ~ 0, en-
tonces buscamos la solución en forma de una serie de potencias 
generalizada 
y{x) = (oo 4- ffljx + a2x2 -I-.. .)x". 
Luego de sustituir la serie en la ecuación inicial e igualar los 
coeficientes de las potencias iguales de x, hallamos 
aao = 0, 
(n+a)(n + a + 2) + l 0) 
a„+1 = — an (n = 0 , 1 , 2 , . . . ) . 
a + n + 1 
Estamos buscando una solución no trivial; por tanto, debemos 
tomar a = 0- Sea Oo = 1. Entonces, a partir de (1) determinamos 
sucesivamente 
ai = 1, a2 = 21, a3 — 3!, . . . , a„ = n!, . . . . 
De este modo, 
y(x) = 1 + 1!® + 2!x2 + . . . + nlx" + ... . 
Se puede comprobar que esta serie converge sólo en el punto 
x = 0. • 
Hallar las soluciones periódicas de las ecuaciones de los 
problemas siguientes en forma de series trigonométricas: 
3 2 . í / - 3 y ^ f ( x ) , /(3!)=tsrl para /( je+2«)s/( j-) . 
-4 Solución. Por cuanto la función / es continua para |x| ^ tt 
y diferenciable para 0 < |x| < ir, /(tt) — /(-tt) , ella se puede 
desarrollar en una serie trigonométrica de Fourier que converge 
uniformemente a dicha función en todo punto x 6 [ - t t , tt]: 
ít 4 ^ v eos (2n - l)x 
2 ~ tt (2n - l)2 
En virtud de la igualdad f{x + 2z) = f{x) V x € ( - o o , +00), 
A 00 <V 7T 4 cosA„x 
Teniendo en cuenta que el período de la función es igual a 2tt, 
buscamos la solución en forma de una función y de período 2ir: 
00 
a, o r — v 
y(x) = — 4- > ak eos kx 4- bk sen kx. Z 
*=1 
Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial e igualando los 
coeficientes que multiplican las funciones x sen kx, x 1-+ 
eos kx, obtenemos 
* _ 1 « o - " - , « 2 W - í ( 2 i _ 1 ) 2 ( i 2 
= h = o, ke N; 
por consiguiente, 
ít 1 ^ ^ eos (2fe - l)x 
5 i'i , 2 sen J 
óó. y - y - y --
5 - 4 eos a: 
Solución. El período de la función 
, 2 s e n » 
x f(x) 
5 - 4 eos x 
es igual a 2?r; por tanto, buscaremos la solución periódica particular 
de la ecuación en la forma 
00 
V ' > 
y(x) = — 4- > Cfc eos fea; + sen fe®. 
Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial y teniendo en cuenta 
que la función / es impar, obtenemos 
ao = 0, ak 4- h(k3 + fe) = 0, 
00 _ 
E l sen x ck sen kx = -— , (1) 
5 - 4 eos x K=1 
ck - (fe3 4- k)ak - bkl fce N. 
f|j$lQ^es dé las ecuaciones diferenciales 
Multipliquemos la tercera expresión de (1) por (5 - 4 eos x), 
y escribámosla en la forma 
oo oo oo 
5 Ck sen kx - 2 ^ ^ ck-1 sen kx — 2 ^ ^ j sen kx = 2 sen x. 
fc=l k-2 A—0 
Igualando los coeficientes de las funciones iguales, hallamos 
5cj - 2c2 = 2, 5c¡t - 2cfc_! - lcM = 0 , k = 2,3,... . (2) 
De la segunda ecuación de (2) se deduce que 
ck = a2 + (3) 
donde a,/3 son constantes arbitrarias. De la primera ecuación 
de (2) obtenemos que a + (3 — 1. Resolviendo el sistema de 
ecuaciones (1), (3), hallamos 
« 3 L M « 2 * + { l - a ) 2 
ttfc = (fc + fe) 
-k 
h = 
a2k + {1 - a)2 
1 + {fc3 + kf ' 
Dado que ak -+ 0, bk —* 0, cuando k —• +oo, en las últimas 
expresiones debemos tomar a = 0. De esta manera, 
O-k = 
k3 + k 
2*(1 + (fe3 + A;)2)' 
h = -
__ (fe3 + fe) eos kx - sen kx 
2k ( l + (A;3 -f k)2) 
2fe(l + (P + k)2)' 
• 
„ , si'n 2kx 
I » , n cos 
• • • ¡ • • • • • i 
Solución. Los segundos miembros de las ecuaciones son funciones 
periódicas de período tt; por tanto, buscaremos las soluciones 
periódicas y{x), z(x) de igual período en la forma 
00 
®0 \—\ 
y(x) = — 4- ak eos 2kx + bk sen 2kx, 
k=i 00 Cq v—̂ 
z(x) = — + ck eos 2kx + dk sen 2kx. 
2 ¡fc=l 
Sustituyendo estas series ert las ecuaciones dadas e igualando los 
coeficientes de los términos semejantes, obtenemos 
(4k3 + 3)ak + 5ck = O, - ( 4 * 2 + 3)bk - 5dk = 
k¿ 
(8 - 4k2)ck + 6ak = (8 - 4k2)dk + 6bk = 0, a0 = Co = O, 
de donde hallamos 
5 _ 4 - 2 k2 
a k ~ 2fc2(8fc4 - 10ft2 + 3) ' k ~ k2(Sk4 - 10fc2 + 3) ' 
3 + 4fc2 _ 3 
Ck ~ ~ 2k2{8ki - 10fe2 4- 3)'' d k ~ ~ fe2(8fc4 - lOfc2 + 3) ' 
entonces, 
A 5 eos 2 + 4(2 - k2) sen 2kx 
h í ' 2Jfc2(8¿4 - lOfc2 + 3) 
- A (3 4- 4k 2 ) eos 2kx + 6 sen 2kx 
z(x> - ~ 2k2(8kA - 10k2 + 3) ' * 
En los problemas 35-38 hallar dos o tres términos del desa-
rrollo de la solución en potencias del parámetro pequeño fi. 
3 5 . y' ~ 4fiX - jí2, #(1) =51 
Solución. Como el segundo miembro de la ecuación es una 
función analítica respecto a y y ¡i, entonces, conforme al p. 2.2, 
buscamos la solución en la forma 
y(x, fi) = y0(x) + ftyi(x) 4- fJ>2yi(x) + ... . 
('Soí-dciortes1 de las ecuaciones diferenciales 
i" i 
Sustituyendo la serie en la ecuación inicial e igualando los coefi-
cientes que multiplican las potencias iguales de fj,, obtenemos 
y'o - -vi, y[=kx-2yüy\> y'i = -y\ -lym, • • • • (i) 
Utilizando la condición inicial, hallamos 
3,o(l) = l, Jfi(l) = 0, y2( 1) = 0, . . . . (2) 
Ahora, teniendo presente las condiciones iniciales (2), resolvemos 
sucesivamente el sistema recurrente (1): 
1 2 1 
yofr) = -/ yi{%) = ¡b - - r , 
X x£ 
X5 2x 1 32 
Por tanto, la solución del problema es 
, 1 / 2 1 \ 2Í X5 2x 32 1 \ 
|'36. xii' - /íj" - \n¡i Í/Í 1 1 — 1. 
4 Solución. Considerando la analiticidad del segundo miembro, 
visto como una función de variables y, fi {y > 0), y empleando 
el método del parámetropequeño, buscamos la solución del 
problema en la forma 
y(x, ¡i) = y0(x) + pyx{x) + fi2yz{x) + ... . (1) 
Teniendo en cuenta las expresiones 
dy{x, ti) 
y(x, 0) = yo(x)> —~— =yi(x)f. 
d2y{x, ¡i) 
8nz 
dfi 
= 2 y2{x), 
0=0 
n=o 
y'xix, o) = y[{x), -Q^y'Ax, /O = y[{x), 
jt=0 
9 2 , 2 y'2(x), 
n=0 
y diferenciando la ecuación inicial respecto al parámetro ¡t, 
hallamos 
I , > 2 , Vi I VI Vi xy0 = ln yQl xyl = x H , xy2 = . . . . (2) 
í/o Vo 2 y* 
Recurriendo a la condición inicial y(l) = 1, a partir de la ex-
presión (1) obtenemos las condiciones iniciales para las funciones 
yir i = ÜToo: 
jfe( 1) = 1, jfi(l) = ife(l) = . . . = 0. (3) 
Integrando sucesivamente las ecuaciones (2) y utilizando las con-
diciones (3), obtenemos 
x 
yo = 1/ 2/1 = X - x, 2/2 = 7 ( 1 - X) , 6 
(4) 
Finalmente, sustituyendo (4) en (1), llegamos a la solución del 
problema planteado: 
y(x,n)~l + ti(x2-x) + fi2~(l-xf + ... . • 
ó 
3 7 . ¡iy jHil - f1 
I Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, 
donde 
y{x, p) = y0(x) + fiy^x) + p y2(x) + ..., 
dy(x, ¡i) 
y0(x) = y(x,Q), yi(x) = 
dfi fi=o 
1 d2y 
¡i=0 
d 1 
y'o(x) - y'Ax, 0), y[(x) - —yx{x, n)\ 
fy U o 
y'iix) 
1 eP 
2 fJii 2 Vx 
/i=0 
Utilizando estas expresiones, a partir de la ecuación inicial hallamos 
y'0 = e^x, y[ = e»°-*y1+yaí 
y'2 = e«°-xy2 + yi + \e«°~xyl ..., (1) 
y las condiciones iniciales tienen la forma 
3/o(0) = 3/2(0) = . . . = 0, ^(0) = - 1 . (2) 
De la primera ecuación de (1) se deduce que e~ya = e~x -f Ci. En 
virtud de la primera condición inicial de (2) tenemos que Cx = 0, 
por tanto, yo = x. De la segunda ecuación de (1) no es difícil hallar 
2/1 = C2ex - x ~ 1. La constante C2 — 0 se determina mediante la 
segunda condición de (2). Por consiguiente, y\ = —x — 1. De un 
modo análogo resolvemos el problema , +1)2 yi = yi - x -1 + — — , 2/2(0) = o. 
Finalmente, 
2 
y{x, fi) = x - fi(x + 1) + ^-(e* - xz - 2x - 1) + ... . • 
J .< r ¡iis1 u ) j-fi - 1 
\ # — y - fi(¿2 + y2), 3/(0) = /a3 
4 Solución. Sustituyendo en las ecuaciones iniciales las series 
x(t, fi) = X0{t) + flXi(t) + fi2X2(t) + ..., 
v(t, f) = Sto(í) + + A2W + • • • U 
e igualando los coeficientes que multiplican las potencias iguales 
de ¡i, obtenemos 
£0 = xQ, ®o(0) = 1; ±1-x1+Xq- yl, Xi(0) = -1; 
x2 = x2 + 2x0x! - 2y0ylf x2(0) - 0; 
yo = í/ü/ 3/o(0) = 0; yx = yx - x\ - y\, (0) — 0; 
3/2 = 3/2- 2aj0®i - 2j/oSíi, 3/2(0) = 1. 
De aquí, integrando hallamos sucesivamente 
x0 = ef, 3/o = 0; 
ají = e2í - 2e', = e ¡ - e2í; 
a?2 = e3í - 4e2t + 3e, y2 = ie2t - e3í - 2e\ 
1'fcM 
MW'C1 í ' 1 ' : «i 
Así pues, las series (1) se pueden escribir en la forma 
x = é + ¡i(e2i ~ 2el) + ti2(eM - 4e2í + 3e () + . . . , 
y — f i f é — e2 í) + fi2(ie2t — e3í — 2e ¡) + . . . . • 
Mediante el método del parámetro pequeño, hallar aproxima-
damente las soluciones periódicas de período igual al período 
del segundo miembro de la ecuación dada {problemas 39-42): 
M Solución. Conforme al método del parámetro pequeño, buscare-
mos la solución periódica en la forma 
x(t, ¡i) = x0(i) + ¡iXi(t) + /x x2(t) + .. (1) 
donde x¡ (i — 0, oo) son funciones de período 2ir. Sustituyendo 
el desarrollo (1) en la ecuación inicial e igualando los coeficientes 
de las potencias iguales de fi, obtenemos 
x0+3xo = 2 sen í, x 2 +3xi = ¿1, x 2 +3x 2 — 2x0xi, . . . . (2) 
La solución general de la primera ecuación es 
x0(t) = Cjo sen V31 + C2o eos V3t + sen t. 
Dado que se pide hallar la solución de período 2-rr, en esta igualdad 
debemos tomar Ci = C2 = 0. Entonces, 
x0(í) = senf. 
Tomando en consideración esta expresión, de la segunda ecuación 
del sistema (2) hallamos 
a?i(í) = Cu sen V31 + C21 cosV3í + ~ - ^ eos 21. 6 2 
De aquí, teniendo en cuenta que el período de la función x\ debe 
ser igual a 2tt, obtenemos 
xi(t) 
1 1 
- - - eos 21. 
6 2 
De la misma manera, partiendo de la tercera ecuación del siste-
ma (2) obtenemos 
1 1 
x2{t) — — - sen 3t -f - sen t. 6 2 
§§lj|lAfl;«Citf dones diferenciales 
Sustituyendo a¡0/ ®2/ • • • en (1), llegamos a la solución buscada: 
/1 1 
x(t, fi) = sen t 4- I g - - eos 2t ) 4-
+ (i { - - sen 3t 4- - sen t J + ... . ^ 
V d i oí í 
Solución. Sustituyendo la serie 
x(t, fl) = XO(t) + ¡J,XI(t) + fl2X2(t) + ... , 
en la ecuación dada, de manera usual obtenemos el sistema de 
ecuaciones 
x0 4- 3xq 4- xq = 0, Xi 4- 3x\ 4- S a ^ i = 2 eos t, 
it2 + 3®2 + 3x0XI + 3X\X2 = 0, «3 + 3x¡ 4- x? + 3«o»3 = 0 , . . . , 
de donde hallamos sucesivamente Jas soluciones de período 2%: 
x0{t) = 0, Xi(í) = eos £, x2(t) - 0, 
3 1 
xM) = — - cosí 4- — cos3í. 
v ' 8 24 
Por consiguiente, 
M 3 / ! x(í , fi) = ¡i eos t + — í - eos 3t — 3 eos t ) + „ 
Nota. Las soluciones no triviales de la ecuación 4- 4 = 0 se expresan 
mediante funciones elípticas, las cuales no poseen período 2tt. 
4 1 . ai + sen x sen 2f. 
Solución. Como en el ejemplo anterior, sustituimos en la ecuación 
inicial la serie de potencias 
x(p, t) = x0{t) + fixi(t) 4- H2x2(t) + ... 
yíí'-Siíi * 
''i , !' 
y obtenemos una igualdad respecto al parámetro ft, a partir de la 
cual se llega al sistema de ecuaciones 
Xq + sen X(¡ = 0, + xi eos a;0 — sen 21, 
&2 + x2 eos x0 - ™ sen x0 = 0, 
(1) 
#3 + M) eos s 0 — xyXi sen xq — 0, . . . . 
La primera ecuación de (1) proporciona las soluciones de período tt: 
x0k = hn, k € Z. 
De la segunda ecuación obtenemos 
_ sen 21 
= 7 TTifc 7' ( - I ) * - 4 
mientras que de la tercera hallamos 
x2-0. 
De la cuarta ecuación, la cual se puede escribir en la forma 
. , , ( - 1 ) " sen3 21 
x3 + (-l) x3= — ( ( _ 1 ) t _ 4 ) 3 , 
se deduce la solución de período ir 
x ( se: 
X 3 k 2 4 ( ( - l ) f c - 4 ) 3 V 3 6 -
senóí 4 + (~l)fc 
{ „ 1 ) f c sen2í > 
De esta manera, 
4 + <- ! )* / sen 6t 
\ 3 6 - ( - ! ) * • ~ 
sen 21 y . . . 
Nota. Para obtener el sistema (1) es cómodo emplear el desarrollo 
sen(®0 + u) — sen ¡r0 eos u + sen u eos Xo, 
donde u — fixi + fizx2 + . . . , y también 
1 1 4 eos u = 1 — — u" -I—ú ' — . . . , sen u = u b . . . . 
2! 4! 3! 
. T^msmm 
$^étód<58-ideaproximación de las solucionen de las «viianones diferenciales 
|;|0af)ítLÍÍb-
líti rsto caso so obtiene 
seti(X(, 4- m) = A son ;r(i I li cok 
2 2 3 fí X | ^ 2 A — 1 (t ^¡xi + ..., B = fiX[ + (i x2 ... x) 4 
2 6 
';-.. 4 2 . £ 4- x — seri3í - sen 2t 4- /«s2. 
Solución. Representado la solución como la serie x = x0 + pix\ + 
. . r e s p e c t o a las funciones xq, X\ . . . , obtenemos el sistema de 
ecuaciones 
¿o + x<) — sen 31 - sen 21, 
2 , fy (1) 
X\+X\=XÍ)R XI + X2 = 2X0®!/ •-• • 
De la primera ecuación del sistema (1) tenemos 
1 1 
a:,, = A eos t + B sen t 4- - sen 21 sen 3í, . . . , (2) 
3 8 
donde A, B son las constantes de integración. Estas constantes 
se determinarán partiendo de la condición de que en el segundo 
miembro de la segunda ecuación del sistema (1) no hayan términos 
resonantes. En el caso dado, los términos resonantes son las 
funciones t i-* sen t, eos t, por lo que en el segundo miembro 
1 i y 
- sen 3í | ~ 
8 } A eos t + B sen t + - sen 21 sen 3í 3 8 
A2 + B2 A2 - B2 1 eos 4í 1 
= ~ 2 ~ + c o s 2 Í + í i ~ " I T + m 
eos 61 A 
!_ ab s e n 21 (sen 31 + sen t) — 128 3 
A B 
(sen 41 4- sen 21) (eos 21 - eos 4í) -
8 8 
1 B 
(eos t - eos 5í) H (eos t - eos 3í). 
24 3 
1 
se debe tomar A = 0, B — Entonces, de (2) obtenemos 
8 
a;0(í) = ^(sen t - sen 31) + - sen 21. 
8 3 
De un modo análogo se hallan las funciones X2, • • • • • 
Métodos analíticos de aproximación 
" " ' § 2 
Con ayuda del método del parámetro pequeño, hallar aproxi-
madamente las soluciones periódicas de las ecuaciones dadas 
a continuación: 
4 3 . x -\ x — ft,(x - ár1). 
Solución. El segundo miembro no depende explícitamente de £; 
por tanto, conforme al p. 2.2, primero realizamos el cambio de 
variable 
T = í ( l + &2/A2 + ..•)/ 
donde £>,, i 6 N, son las constantes por determinar. En este caso 
obtenemos la ecuación 
d2x i \1 
— (̂ 1 + hn + b2fi + . . . J + x = 
~ (ID (i) 
Busquemos la solución aproximada de la ecuación (1) en la formaX(T, FI) = a?o(R) + JTFXITR) + / I 2 X 2 ( T ) + . . . . ( 2 ) 
Luego de sustituir (2) en (1) e igualar los coeficientes de las 
potencias iguales de fi, obtenemos 
DJO + ^O-0, XX +XI =±0-XL~2BI XQ, 
x2+x2 — bixQ -261 Sj +±1 -36|áro -3x%±i - 62x0 - 2b2xQ,... . 
(3) 
La solución de la primera ecuación es X0(T) — A eos (r -f ip) 
(A y ¡p son constantes arbitrarias). Sustituyendo esta expresión en 
la segunda ecuación de (3), hallamos 
£ 1 + x 1 = - J4sen(r+y)(l - .A 2sen 2 (T+i l£>))+2b 1 J4cos(T+y>)= 
/3 , \ A3 
= [ -A-Aj$en(T+<p)-— sen3(r+^)+2&, Acos(r+^)- (4) 
Dado que estamos buscando soluciones periódicas no triviales, 
entonces en (4) debemos tomar 
3 3 - A - A = 0, 2bíA = 0J 
4 
2 
de donde se deduce que b¡ = 0, A = —¡=; entonces, a partir de la 
v 3 
ecuación (4) encontramos 
1 
XJCT) = Ai eos ( r + ipi) + sen 3 ( r + <p), 
donde Ai y <p-¡ son constantes. Teniendo en cuenta los resultados 
anteriores, la tercera ecuación del sistema (3) adopta la forma 
2 
= - (1 - 4sena(r+<p)) sen(r+<pi)+ 
+ ™ 62 eos ( r + v ) + - (1 - 4sen2 (r+y>)) cos3(r+<p)= 
v 3 4 v 3 
= A I (sen (T+<pi)+sen(T - <p I + 2<p) - sen(3r+2<p+tp^)) + 
+ ( S + 4 v ^ ) c o s + ^ + ( c o s 5 < t + - c o s 3 < r + ¥ > ) ) • 
De aquí vemos que la condición de ausencia de términos resonantes 
1 
se cumple si A\ — 0, b2 = - 77 • Así pues, 
16 
1 
»I(T) = sen 3(r + 
por consiguiente, 
n) = eos (r + v) + sen 3(r + y>) + 
14. J: - T - r 
Solución, Considerando que x es pequeño, tomamos en calidad 
del parámetro pequeño la amplitud de las oscilaciones que cons-
tituyen la solución de la ecuación x + x = 0. Suponiendo que 
a?|í=0 = /i (// es el parámetro pequeño), buscamos la solución 
periódica de la ecuación inicial en la forma 
x = /X®0(R) + (I2X1(T) + / Í 3 X 2 ( T ) + . . . , ( ! ) 
donde r = t(l -f Í>i/t + b2p2 + . . . ) . Sustituyendo estos desarrollos 
en la ecuación dada e igualando los coeficientes de las potencias 
iguales de ¿t, obtenemos 
£0 + X0 — 0/ 
1 1 
+ — - + - Cós 2r + 2bi eos r , (2) 
x2 + x2 = 2«i eos r + 2b2 eos r , . . . . 
De la primera ecuación y de la condición inicial, hallamos 
XQ(T) — eos T. 
Por cuanto la función x\ debe ser periódica, en el segundo miembro 
de la segunda ecuación del sistema (2) se debe considerar ¿>i = 0, 
Entonces, partiendo de esa ecuación obtenemos 
1 1 
si (r) = A eos r + - — eos 2r. 
2 6 
1 
Teniendo en cuenta la condición xj{0) = 0, hallamos A = - - ; por 
tanto, 
^ 1 1 1 -
XAT) = - - ~ eos T - - eos 2r . 
2 3 6 
Luego de sustituir ia expresión de X\(r) en el segundo miembro 
de la tercera ecuación del sistema (2), y tomando en consideración 
que ésta no debe contener términos resonantes, obtenemos 
5 A 1 
h = ~ ~ , x2 = A - — cos2r + — cos3r. 
Como ®2(0) = 0, entonces A = Consiguientemente, 
X 2 = - ¿ + ¿ C O S 2 r + ¿ C O S 3 r -
Así pues, 
2Í1 1 1 „ \ x = fi eos r + fi ( eos r - - eos 2r } + 
\2 3 6 / 
sí 1 1 ' „ 1 „ \ 
Nota. El mismo resultado se puede conseguir si repetimos los cálculos anteriores 
para la ecuación # + x = fix1, y tomamos en la solución fi = 1. 
§ 3. Métodos numéricos de resolución 
de ecuaciones diferenciales 
3.1. Método de Euler de fe-ésimo orden 
Para resolver numéricamente el problema diferencial 
y = f(x, y), y{x0) = y0, ®0 ^ ® O, (1) 
donde las funciones 
y = y(x) = (y1 (x), y2(x),... y,»(x))r 
f{v,y) ~ y\,yi,---,y™),hix,yuyz,-.:.,ym),• • •) 
son diferenciables con continuidad un número suficiente de veces, 
el segmento de integración [xfí/ 6] se divide en partes iguales de 
b — XQ 
longitud h = , y a partir del valor de j/(íc0 + Ih) = y¡ 
se calcula aproximadamente el valor de y(xo -I- (í + 1 )h) — y¡+\ 
mediante la fórmula 
h2 hk 
yi+i = y¡ + hy¡ + ^y" + ... + (2) 
donde 
y¡ = }{m> y¡)> 
d 
yi dx (ffr.y)) x—x¡ y=y> 
df(xi,yi) df(xhyt) 
^ ~—f(xh yi), 
dy 
x¡ • 
( 
dyi 
dfm 
V dyi 
xü + Ih, 
dx 
dfi 
dyi 
dfm" 
dyi 
l = 0 , 1 , 2 , . . . ,n- 1. 
dy 
dVm 
9fm 
dym / 
El orden del error en el paso de integración [S¡,ÍC[+II es 0(hk+l). 
tet 
3.2. Método de Runge—Kutta de cuarto orden 
Primero se determinan los números 
ki\ = f i (®¡, y\l, V2h • • • > Vmi), 
( h hkn hk21 hkn\ 
&Í2 = fi + Vil + -y-, y2¡ + •—-, • • • , Vml + — I , 
(h hk\2 hk22 hk¡2 \ + 2 ' flí + " j " ' Ka + — ' • • • ' Vml + ) ' 
ka = /» (®Í + K 2/IÍ + hk13/ y2t + hk23,..., ym¡ + hk¡3). 
Luego se hallan los valores aproximados yi,i+\ por medio de la 
fórmula 
h 
Viin = Vu + — (ftfi + lki2 4- lki3 + ki4), i~l,m. (4) 6 
El error en el paso de integración [x¡, ¡E/+¡] es del orden de 0(h5). 
3.3. Método de Stormer 
El valor aproximado yij+i del problema (1) se halla mediante una 
de las fórmulas 
1 , 
Vi,i+1 = Va + qu + ~Ag^i-i, (5) 
1 5 Vi.i+1 = ya + qu + + —&2qu-2, (6) 
1 5 3 
yn+1 = VÍ 1 + qu + 2^qiJt~1 + í2'^2gi'l~2 + § W 
donde 
i = l,n yü - y¡(xi), x¡ =x0 + lh, qu = y'i{xi)h 
Aq-ij-i - qu - qu-u A29¿,¡-2 = &<H,¡ -1 - Agi;¡_2, 
El error de las fórmulas (5), (6), (7) en una iteración es 0(h3), 0(/i4), 
0(h5), respectivamente. Para comenzar a integrar utilizando las 
fórmulas (5)-(7), es necesario conocer algunos de los primeros 
valores de yi(x¡), los cuales se pueden hallar utilizando el método 
de Euler, el de Runge—Kutta o el de las series de potencias. 
Utilizando el método de Euler de fe-ésimo orden, hallar las 
soluciones aproximadas de los siguientes problemas diferen-
ciales en el segmento señalado: 
HsRgi' x - y, n ' x < i, i. - Í/ihj - iv* IHffiglgfe&Sttá'tr-
Solucíón. Sean k = 2, h — 0,2. Como el error en cada paso es 
del orden 0{h3) ss 0,008, realizaremos los cálculos mediante la 
fórmula (2), p. 3.1, con tres cifras significativas. Tenemos: 
h2 
Vi+1 = Vi +hy¡ + ~y" = yi +hf(x¡, yt} + 
, h2 f df(x¡,yi) df(xlryt) \ 
= t/i + fe(a:¡+y2)+y (l+2í/¡(«i + y¡2)), ¿ = 0,1,2,3,4, 
o bien 
yi+1 = y¡ + 0,2(0,21 + y¡) + 0,02(1 + 0,4 lyt + 2 y f ) . 
Tomando sucesivamente l = 0,1 . . . , y teniendo en cuenta la 
condición inicial, hallamos 
Sfi = 0,3 + 0,2 • 0,09 + 0,02(1 + 0,054) = 0,339; 
Ib = 0,339 + 0,2 (o,2 + (0,339)2) + 
+ 0,02 ( l + 0,4 • 0,339 + 2(0,339)3) = 0,426; 
y3 = 0,426 + 0,2 (o,4 + (0,426)2) + 
+ 0,02 ( l + 0,8 • 0,426 + 2(0,426)3) = 0,572; 
y4 = 0,572 + 0,2 (o,6 + (0,572)2) + 
+ 0,02 ( l + 1,2 - 0,572 + 2(0,572)3) = 0,799; 
y5 = 0,799 + 0,2 (o,8 + (0,799)2) + 
+ 0,02 ( l +1 ,6 • 0,799 + 2(0,799)3) = 1,153. • 
Mét°d°«, rium^fMKSWSMMWMaia 
W - - 1 . 
4 Solución. Sean k = 1, h — 0,1. El error en el paso de integración 
es del orden de 0(h2) ~ 0,01, por lo cual en los cálculos conser-
varemos dos cifras significativas. Según la fórmula de Euler de 
primer orden, 
yi+i -yi + o, 
o bien 
j/i+i = y¡ + 
Haciendo Z = 0,1,...,9, hallamos 
3/1 = 3/0 — 0,1 y0 = 0,9ya - 0,9; 
/o,i/ \ 
yi = 2/i = 0 , 9 + 0,1 Q - 0 , 9 ^ = 0 , 8 2 ; 
0,02 0,03 
í/3 - 0,9J/2 + = 0,76; = 0,9y3 + = 0,72 
f2 ÍÍ3 
0,04 0,05 
y5 = 0,9 y4 + = 0,70; j/6 = 0,9ys + — = 0,70; 
y* y$ 
0,06 
yi = 0,9y6 + = 0,72; ys = 0,74; 
Sfó 
1,9 = 0,78, i/io = 0,81. • 
47. i ~ I + 2® — tf, y sí t - a; + 2y; 0 ^ / 0.5; 
Solución. Tomemos /i = 0,1, fe = 2 (método de Euler de segun-
do orden). Realicemos los cálculos con tres cifras significativas. 
A partir de la fórmula (2), p. 3.1, tenemos 
h2 
s i + i = x¡ + h±¡ + — ®¡ = x¡ + ft(íi + 2®/ - y¡) + 
+ y ( l + 2x( - y , ) = 
= a?; + h(tt + 2x¡ ~ y¡) + 
ecuaciones diferenciales 
= 0,0112 + 1,225a;, - 0,12y¡, 
h2 h2 
VM = V¡ + tyí + y 2/ = !ft + h(l - ar¡ + 2 » ) + y ( -£/ + = 
= 0,110 - 0,0005i - 0,12«i +1,225y h l = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 . 
De aquí, utilizando las condiciones iniciales, hallamos x-i = 0, 
y2 = 0,110; x2 = -0 ,002 , y2 = 0,244; = -0 ,009, j/3 = 0,408; 
x 4 = -0 ,027 , t/4 = 0,609; x5 - -0 ,062, y5 = 0,857. • 
Utilizar el método de Runge—Kutta de cuarto orden para 
calcular aproximadamente las soluciones de los siguientes 
problemas diferenciales (realizar los cálculos con tres cifras 
significativas): 
í 48. y' - y1 - x, 0 < x 0,5; y(0) = 0,5 
Solución. Sea h = 0,1. Según el p. 3.2, tenemos 
k2i = iyi + 0,05ku)2 - x¡ - 0,05, 
fc3í = (y¡+ 0,05fc2,)2 - x¡ - 0,05, 
hl = (yi + 0,lfc3;)2 ~X¡~ 0,1, 
0,1 
2/1+1 = y¡ + -yikii + 2 k2! + 2 k3! + k4!), 6 
ai = 0 , 1 i, </o = 0,5, ¡ = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 . 
I 
= h 
fcir = Vi 
De aquí, tomando sucesivamente l = 0 , 1 . . h a l l a m o s 
kx o = 0,25; 
k20 = (0,512)2 - 0,05 = 0,212; 
fc3 o = 0,210; 
kw = (0,521)2 - 0,1 = 0,171; 
0,1 
yi = 0,5 + - - ( 0 , 2 5 I- 0,424 + 0,420 + 0,171) = 0,521; 
6 
ku = (0,521 )2 - 0,1 = 0,171; 
&2i = (0,53)2 - 0,150 = 0,131; 
k31 = (0,528)2 - 0,150 = 0,129; 
fe4i = (0,534)2 - 0,2 = 0,085; 
0,1 
y2 = 0,521 + —(0,171 + 0,262 + 0,256 + 0,085) = 0,534; 
6 
kn = (0,536)2 - 0,25 = 0,037; 
h 3 = (0,538)2 - 0,3 = -0,011; 
0,1 
Vi = 0,534 + —(0,085 + 0,078 + 0,074 - 0,011) = 0,538; 
6 
k13 = (0,538)2 - 0,3 = -0,011; 
k23 = (0,538)2 - 0,35 = -0,061; 
k33 = (0,535)2 - 0,35 = -0,064; 
k43 = (0,532)2 - 0,4 = -0,117; 
0,1 
yt = 0,538 + - ( - 0 , 0 1 1 - 0,122 - 0,128 - 0,117) = 0,532; 
6 
fcu = (0,532)2 - 0,4 = -0,117; 
k24 = (0,526)2 - 0,45 = -0,173; 
¿34 = (0,521)2 - 0,45 = —0,1.75; 
ku = (0,515)2 - 0,5 - -0,235; 
0,1 
y5 = 0,532 + - ( - 0 , 1 1 7 - 0,346 - 0,350 - 0,235) = 0,515. • 
6 
s ecuaciones diferenciales 
©xíV 1 i 
t 
4 Solución. Sea h — 0,2. Entonces, como en el ejemplo anterior, 
tenemos , 2 2 
«r¡ = - Vi, 
k2! = (x¡ + 0,1)2 - (y, + dU'!,)2, 
k3i = (x, + o,if -(yi + o,ik2lf, 
kit = (x¡ + 0,2)2 - {y, + 0,2^,)2; 
0,1 
V¡+1 =3/1 + + 2fc2i + 2fe3¡ + fc4/), J 
as, = 1 +0,2i. 
Tomando sucesivamente en estas igualdades I = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , resulta 
fcio = So ~ Ka = 0; 
fcio = (1,1) - 1 = 0,21; 
&30 (1,1)2 - (1,021)2 = 0,168; 
*40 = (1,2) - (1,034) = 0,371; 
0,1 
Vi = yo + — (fcio + 2 k20 + Ikjo + fc40) = 
= 1 + ~(0,42 + 0,336 + 0,371) = 1,037; 
ftu = x l - y ¡ = (1,2)2 - (1,037)2 = 0,365; 
fe2i = (1,3)2 - (1,073)2 = 0,538; 
fcsi = (1,3)2 - (1,091)2 = 0,500; 
fc4i = 0,667; 
0,1 
V2 = Vi + — (-feit + 2A¡21 + 2 fc31 + ft41) = 
= 1,037 + —- (0,365 +1,076 4-1,0 + 0,667) = 1,141; 
6 
hz = 4 - y\ = (1,4)2 - (1,141)2 = 0,658; 
k22 = (1,5)2 - (1,207)2 = 0,793; 
hi = (1,5)2 - (1,220)2 = 0,761; 
fc42 = (1,6)2 - (1,293)2 = 0,888; 
0,1 
i/3 = 1,141 + -—(0,658 + 1,586 + 1,522 + 0,888) = 1,296; 
fci3 = xj - yj = (1,6)2 - (1,296)2 = 0,880; 
k23 = (1,7)2 - (1,384)2 = 0,975; 
fc33 - (1,7)2 - (1,393)2 = 0,949; 
4̂3 = (1,8f - (1,486)2 = 1,032; 
0,1 
y i ~ 1,296 + -^-(0,880 +1,950 +1,898 + 1,032) = 1,488; 
3 
¿14 = x¡-y¡ = (1,8)2 - (1,488)2 = 1,026; 
ku = (1,9)2 - (1,591)2 = 1,079; 
fc34 = (1,9)2 - (1,536)2 = 1,063; 
fc44 = 4 - (l,70l)2 = 1,109; 
0,1 y5 = 1,488 + ~~ (1,026 + 2,158 + 2,126 + 1,109) = 1,702. • 
5 0 . y" = xy; 0 $ x ^ 0& ¡/iu) = 1, ¡/(O) - 0. 
M Solución. Introduciendo una nueva variable z(x) -- y'{x), obte-
nemos el sistema de ecuaciones diferenciales 
z=xy, z(0) = 0; y = z, i/(0) = 1; O^x^l, 
Sea h — 0,2. Según el método de Runge—Kutta de cuarto orden, 
a partir de las fórmulas (3), (4), p. 3.2, tenemos 
hi = xtyt, 
ha - (x¡ + 0,l)(y, + 0,1^,), 
% = (x¡ + 0,l)(jf¿ + 0,lp2í), 
k4l = ( i , + 0r2)(y¡ + 0 , 2 ^ ) ; 
Pli = z¡, 
P21 = ¿i + 0,1 ftu, 
P3J = Z¡ "("• 0,lfc2/y 
^ I r o i S ^ d á n / d e laS'^luciónos di» las ecuaciones diferenciales 
• w w s ^ v v » Iffüií 
Pii - Zt+ 0,2fc3i; 
0,1 
zi+i -zi + —(Ai¡ + 2k2t + 2k3l + fc4/), 
Vi+1 = Vi + —(Pli "I 2p2! + 2pn + Pal 
x¡ = 0,2/, 
yo = 1, z0- 0, i = 0,1,2. 
De aquí, haciendo sucesivamente l = 0 , 1 , . . . y teniendo en cuenta 
las condiciones iniciales, hallamos 
Aio = 0 , p i o = 0 , fc2o = 0 , 1 , p2o — 0 , 
A30 = 0,1; j)30 = 0,01, fc40 = 0,2, p40 = 0,02; 
zr = ^ ( 0 , 2 + 0 , 2 + 0,2) = 0,02; 
3 
y i = 1 + ^ ( 0 , 0 2 + 0,02) = 1,001; 
An = XiV\ = 0,20; 
Pu = zi = 0,02, 
A21 = (a¡i + 0,l)(yi + 0,lpn) = 0,3 • 1,003 = 0,30; 
P21 = + 0,U*n = 0,04, 
A31 = 0,3 -1,005 = 0,301, 
p3 i ~ Zi + 0,1^21 = 0,02 + 0,1 • 0,3 = 0,05, 
fc41. = (xi + 0,25(1/! + 0,2p3i) = 0,404, 
p41 = 21 + 0,2A31 = 0,080; 
0,1 
Z2-Z1 + — (An + 2&21 + 2A3i +'A4I ) = ó 
0,1 
= 0,02 + —(0,20 + 0,60 + 0,602 + 0,404) = 0,080, 
3 
0,1 
3/2 = Vi + — (P11 + 2j?2i + 2í>3! + p41) = 
0,1 
= 1,001 + — ( 0 , 0 2 + 0,08 + 0,10 + 0,08) = 1,010; 
3 &12 - x2y2 ~ 0,4 -1,010 = 0,404, 
Métodos numéricos de resolución de ecua 
P12 = *2 = 0,080, 
k22 = (x2 + 0,l)(y2 + 0,1 pl2) = 0,5 • 1,018 = 0,509, 
P22 = z2 + 0,1/112 - 0,080 + 0,1 • 0,404 - 0,120, 
= (X2 + 0,l)(ífe + 0,lp22) = 0,5 • 1,022 = 0,511; 
P32 ~ ¿2 + 0,1 ¿22 - 0,080 + 0,1 • 0,509 = 0,131; 
kiZ = {x2 + 0,2)(y2 + 0,2j>3a) = 0,6 • 1,036 = 0,622; 
Pi2 = + 0,2fc32 - 0,080 + 0,2 • 0,511 = 0,182; 
0,1 
Z¿ = Z2 + + 2/222 + 2fc32 + M = 
0,1 
= 0,080 + (0,404 + 1,018 + 1,022 + 0,622) = 0,182; 
0,1 uí = vi + + p 2 2 + 2 p 3 2 + P i 2 ) = 
= 1,010 4- Y (0,080 + 0,240 + 0,262 + 0,364) = 1,041. * 
Calcular aproximadamente las soluciones de los problemas 
siguientes utilizando el método de Stormer. Realizar los cál-
culos con tres cifras significativas. De ser necesario, hallar los 
valores de las primeras aproximaciones por el método de las 
series de potencias o por el de Runge—Kutta de cuarto orden. 
< Solución. Utilicemos la fórmula (5), p. 3.3, tomando h 0,1. 
Entonces 
Para calcular el valor de y\ recurrimos al método de Runge—Kutta. 
Tenemos: 
kt -y0 = 1; kz = ífá -f -fct = 1,05; 
-WBB 
SÍoxittiaqión de las soluciones do las ecuaciones diferenciales 
aBjKBĴ >!T«!Kr'.,í << /1 . *r • 
k3 = y0 + ~k2 = 1,052; ki = y0 + hk3 - 1,105; 
0,1 
VÍ = Vo + T Í f e i + 2 fc2 + 2fc3 + fy) = 1/105. 6 
Dado que la magnitud del error en el paso es 0(h5) ~ JO -5, pode-
mos considerar que todas las cifras significativas de la expresión 
de ij\ son fidedignas. Tomando en (1) sucesivamente l ~ 1 , 2 , . . . , 
y considerando el valor hallado de 2/1 y la condición inicial yo = 1, 
obtenemos 
y2 = l,15j/i - O,O5y0 = 1,15 • 1,105 - 0,05 = 1,221; 
y3 = U5¡fe - 0,05yi = 1,15 • 1,221 - 0,05 • 1,105 = 1,349; 
y4 = l,15?/3 - 0,05i/2 = 1,15 • 1,349 - 0,05 • 1,221 = 1,490; ( ' 
y5 = l,15j/4 - 0,05j/3 = 1,15 • 1,490 - 0,05 • 1,349 = 1,649. 
La magnitud del error de estos resultados es O(li) , es decir, se 
puede considerar que en cada una de las igualdades anteriores 
dos cifras significativas son fidedignas. • 
52. Ü = 
x -t- y 
, l 1,5. j»in 0. 
•4 Solución. Utilizando la fórmula (6), p. 3.3, y escogiendo el paso 
de integración h — 0,1, obtenemos 
1 5 , 
yi+i = |ft + « + - i + —A q,_2, (1) 
donde 
q, = 0,1 
x 
xi + yi 
12 
= - ft-i, 
(2) 
A 2 = Ag¡_i - A®_i, 
= 1 + 0,1 yo = 0/ l = 2,3,4. Calculemos los valores de 
2/i e 2/2 que faltan utilizando el método de las series de potencias. 
Hallemos y'{í),y"(l),y"'(l),..., partiendo de la ecuación inicial. 
Tenemos: 
, „ (x + y)(x2 + 2xy) - x4 ,, 
2/(1) — 1, »"(*) = - m . ^ \3 / ( D - 0 , 
(x + y)3 
c. 1 
Métodos numéricos de resolución •do ecuaciones á i í c r ^ í á í í 
1 . , • 
, (2x + 2y - x2y") (x + y) - 2(1 + y')(x2 + 2xy - x2y') 
y (JC) = L 
(x + yf 
y"'{ 1) = 2 
Por tanto, según la fórmula de Taylor, 
SfCaj) = ® _ 1 + I(a: - l)3 + 0((ar - 1)4)# (3) 
de donde hallamos 
0,001 
y, = y( 1,1) » 0,1 + — = 0,100; 
¡te = y{ 1,2) pí 0,2 I 0,003 = 0,203. 
Señalemos que el error de la fórmula (1) en el paso de integración 
es del orden Of/i4); por esta razón, en la fórmula de Taylor (3) 
tomamos sólo los tres primeros términos del desarrollo. 
Haciendo l = 2 en las fórmulas (2), obtenemos 
0,1 ®2 . 2 q2 - = 0,103; A</i = q2- 9i, A q0~ Aqx - Aq0/ 
X2+V2 
donde 
0,1a:? „ 0,\xl 
qi = ~1—L- = 0,101; q0 = = 0,1; 
«i + 3/1 + yo 
Por consiguiente, Ar/3 - 0,002; Aq0 - 0; A2q0 = 0,002, y de 
la fórmula (1) hallamos y3 = 0,309. Análogamente, para 1 — 3 
tenemos 
0,1®? 
= = 0,105; A92 = g3 - 92 = 0,002; 
^3 + 3/3 
1 . 5 
A24! = Aq2 - Aqi = 0; 
Vi = 3/3 + q3 + + = 0,415. 
Finalmente, para / = 4, a partir de las fórmulas (1), (2) y 
de las magnitudes ya conocidas, hallamos 
0,1x1 
q i = i_ _ 0,108; A?3 = 94 - 93 = 0,003; 
Xi + J/4 
A2g2 = Aq3 - Aq2 = 0,001; 
3/5 = 3/4 + 9 4 + 2 A ? 3 + ~ A ^ 2 = 0,525. • 
'jiíiKI 
H ^ ^ i f l i Ia^blúcitíng® de los ecuaciones diferencialea : = 
•• -" •• ----- '•• •--, - • • •••-J-.i-rii.'-.w,, jif/Wi^'v- -y.i 
5 3 . xy" + y' + xy= 0, 0 $ ar < 1; y(0) = i ; y'(0) = 0. 
•4 Solución. Introduciendo una nueva variable z — y , obtenemos 
el problema 
y' = z, y(0) = l ; z' = - y ~ - , z(0) = 0. 
x 
Empleando la fórmula (5), p. 3.3, y tomando el paso h = 0,1, 
resulta 
yi+1 =y¡+ 0,1 PI + o,OSApj_lr z¡+1 = z¡ + 0,1® + 0,05A?,-1, (1) 
donde 
Z\ 
P¡ = ?i, q¡ = -yi / APi-I = p¡ -pi-1, A = q ¡ - q¡-1, 
xt 
xt = 0,1Í, l = 0^9, 2/0 = l , Zg — 0. (2) 
Para comenzar a calcular necesitamos los valores de 
y(0,1) = í/i, 2(0 ,1) - Zi = y'(0,1), y también de q0 (a cau-
0 
sa de la indeterminación - ) . Hallaremos todas esas magnitudes 
con ayuda del método de las series de potencias. Busquemos la 
solución del problema planteado en la forma 
y(x) = 1 + a2x2 + a3x3 + . . . . (3) 
Sustituyendo la serie (3) en la ecuación inicial e igualando los 
coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos 
1 
a2 = - - , o 3 = 0 , . . . ; 
4 
por consiguiente, 
x2 
y{v) = i - j + - • •, 
de donde-hallamos 
yx = 2/(0,1) = 0,998, zj = i/(0,1) = -0,05, 
3o = y"{0) = -0 ,5 . 
Ahora podemos realizar los cálculos mediante las fórmulas (1), (2). 
Tomando sucesivamente l = 1 ,2>. . . , completamos la tabla si-
guiente: 
i x¡ yt Zl Pi A Aqi-x 
0 0,0 i 0 0 -0,500 
1 0,1 0,998 -0,050 -0,050 -0,498 -0,050 0,002 
2 0,2 0,991 -0,100 -0,100 —0,491 -0,050 0,007 
3 0,3 0,983 -0,149 -0,149 -0,486 -0,049 0,005 
4 0,4 0,966 -0,197 -0,197 -0,476 -0,048 0,010 
5 0,5 0,944 -0,244 -0,244 -0,456 -0,047 0,020 
6 0,6 0,918 -0,289 -0,289 -0,438 -0,045 0,018 
7 0,7 0,889 -0,332 -0,332 -0,419 -0,044 0,019 
8 0,8 0,854 -0,373 -0,373 -0,394 -0,041 0,025 
9 0,9 0,815 -0,411 -0,411 -0,359 -0,038 0,035 
10 1,0 0,772 
l í jorcicios 
Hrtll.tr las soluciones de los siguientes problemas de Cauchy utilizando desarrollos 
pii ni'rk's de potencias: 
I. ,„' x + y, y(0) = 1. 
}, ,i xy, y ( 0 ) = 1 . 
I. n' - x - 2xy, y(0) = 3. 
«i. //" -ni - y. y(o) - h y'(0) = o. 
\ ,/"' - -x2y" + y' + 2y, y(0) = 1, ¡,'(0) = 0, y"(0) = 0. 
II,ill.it las soluciones aproximadas en forma de polinomios de cuarto grado: 
h. y' ~-y2 ~x, y(0) = 1. 
7, = xe» + y, y(0) = 0. 
H. ,/ = a;2 + y2, y(l) = 1. 
'I. y" - ® - y'\ y(0) = 2, ¡,'(0) = 0. 
10. ;</'" = y"2 + + y(0) = 1, y'(0) = y"(0) = 0. 
11,ill.tr las soluciones aproximadas de los siguientes problemas de contorno: 
II. y1 = x2 - y\ y( 1) + y(2} = 1, 1 < x < 2. 
12, »/= j/(0)-4i/(l) = 5, 0 < « < 1. 
y 
i v ?/" = W + y2, y(0) = 0, »/(l) = 2, 0 < x < 1. 
M. / = y'1 + y, ,,(1) = 2, 1/(2) = 1 < ® < 2. 
j&e a^xirtiÉÍcíóíi cty'tos soluciones cíe las ecuaciones diferenciales 
Para los siguientes problemas de Cauchy, hallar las soluciones aproximadas 
forma de polinomios de tercer grado respecto al parámetro pequeño //: 
15. y' = ~ - 5 f ix , í/(l) = 2. 
y 
16 y(l) = l + ty. 
17. y' = /xx3 + y2, y{0) = e"". 
18. y' = 1 + x + /ty3, y(0) = sen /t. 
19. y' = eos x + fj, ln (1 + y), y(0) = fi. 
20. y' = sen x + /té", y{0) = 1 ~ fi. 
Hallar las asíntotas de las curvas integrales de las ecuaciones siguientes (f e» 
parámetro pequeño, x —* +oo): 
21. ey' = l-y2. 
22. ey' = x2 ~yz. 
23. ey' ~ y2 — (1 + x)2, 
24. ey' = l - y 3 . 
25. = x3 - y3. 
Estabilidad 
y trayectorias de fase 
§ 1. Estabilidad 
1.1. Estabilidad según Liapunov. 
Estabilidad asintótica 
Sea 
~ = fi(t, xlf x2,..,, xn) (i - 1, n) (!) 
dt 
un sistema de ecuaciones diferenciales. Supongamos que para 
t G [¿o, +oo) el sistema (1) tiene soluciones x¡ = <pi(t) (i = 1, ti) 
que satisfacen las condiciones iniciales 
<Pí(to) - ¡CÍO, i = l,n. (2) 
I >i'finición 1. Una solución ip(t) — (<pi(t), <p2(t),..., <pn(t)) del problema 
diferencial (l)-(2) se denomina estable según Liapunov si Ve > 0 3 S(e) > 0 
tal que para cualquier otra solución x = x(í) = (x-\ (t), X; . ( í ) , . . . , x„(t)) del 
mismo problema que satisfaga la desigualdad 
l l ® ( í o ) - y ( í o ) l l < S ( E ) > ( 3 ) 
lumbién se cumple la desigualdad 
Mt)-<p(t)|| < e (4) 
V t, /-o, donde || • || representa la norma. 
d y trayectoria? de íasc, 
^^^^K^J^j.ili^-1' ' v 'J 11 
Geométricamente, esta definición significa que dos trayectorias 
x{t) y <p(t) cercanas en el instante inicial permanecen cercanas 
Generalmente se utilizan las siguientes normas: 
XI (¿) II = ¿ |a:;(f)l2, ||a:(i)|| = max |at(f)|, 
t=i 
( 5 ) 
ll®(<)ll = ¿ M)\. 
k=1 
Definición 2. Si 3 e > 0: V 6 > 0 3 í > f0 tal que de la desigualdad (3) 
no se deduce la desigualdad (4), entonces la solución <p{t) se denomina 
inestable según Liapunov. 
Definición 3. Toda solución <p(t) estable según Lipunov y que satisface la 
condición 
lim ||x(t) - v>(f)|| = 0, (6) Í-++CO 
se denomina asintóticamente estable. 
El análisis de la estabilidad de la solución ¡p(t) se puede 
reducir al estudio de la estabilidad de la solución trivial (punto de 
reposo) mediante el cambio de variable y = x - <p(t). 
1.2. Análisis de estabilidad 
mediante la primera aproximación: 
primer teorema de Liapunov 
Teorema (primer teorema de Liapunov). Supongamos que el sistema 
dx¡ 
— = «ti®1 + a¿2«2 + • • • + a¿n®n + 9i{t, ®2/ - • - r ®n)/ 
i — \,n, aik = const, 
¡/IMII/C las funciones gt satisfacen la condición 
^ai(x)||a;||, (8) 
(»M.r) O cuando |¡:r|[ —> O, i = l,n) tiene solución trivial Entonces, si las 
jmrh'u reales de los valores propios A de la matriz A = (a^) son negativas 
(Kc A < 0), la solución trivial del sistema (7) es asintóticamente estable; si ¡a 
fuiilc real de al menos un valor propio es positiva {Re A > 0), entonces la 
m>lación trivial es inestable. 
1.3. Análisis de la estabilidad 
mediante las funciones de Liapunov: 
segundo teorema de Liapunov 
Teorema (segundo teorema de Liapunov). Si existe una función diferenciable 
V = v(t,Xi,X2,. .., X„), 
denominada función de Liapunov, la cual en un entorno del punto x = 0 
milis face las condiciones 
I) v(t, x-i, x2,..., xn) W{x\,x2r... ,xn) ^ 0 para t >- f0, donde la 
función continua W tiene un mínimo estricto en el punto x — 0; 
además, v{t,0,... ,0) = W(0,..., 0) = 0, 
'?) la derivada total 
dv dv ^^ dv 
— = — + forJ'V'• • • /®») < o (í ^ t0), 
entonces la solución trivial x = x2, • •., x„) = 0 es estable. 
Si en lugar de la condición 2) se cumple la desigualdad 
dv dv dv 
¡=i 
pura t ^ t\ > t0 y 0 < < |jx|| < ó2, donde Si,62,¡3 son constantes, 
ftiionces la solución trivial es asintóticamente estable. 
Teorema (de inestabilidad de Chetáev). Supongamos que se cumplen las 
siguientes condiciones: 
1) el sistema (1) tiene solución trivial; 
icláítf y trayectorias de fase 
ii* i, > 
a* 
2) en cierta región F c l » existe una función diferenciable 
v = v(xux2,...,xn); 
3) el punto x — (x\, x2,.. •, ®n) = 0 pertenece a la frontera de la región V; 
4) 3 £o > 0 tal que v ~ Q en la parte de la frontera de la región V donde 
IMi < e0 ; 
5) en la región V se cumple la desigualdad v > 0, y si t > f0 también se 
cumple la desigualdad 
dv 9v 
-77 = V, > w{x) >0, x € V, 
dt 7—' dxi 
donde w es una función continua en V. 
Entonces la solución trivial (punto de reposo) del sistema (1) es inestable. 
1.4. Condición de negatividad 
de las partes reales de todas las raíces 
de la ecuación con coeficientes reales 
a0Xn + axA"-1 + . . . + an-tÁ + an = 0 , a0 > 0 
La condición necesaria para que todas las partes reales de las 
raíces de la ecuación 
a0A" + ai A" 1 + . . . + a„ iA + an = 0 (a0 > 0) 
sean negativas son las desigualdades a¿ > 0 (i = 0, n). 
La matriz de la forma 
/ a i a0 0 0 0 0 . . . 0 \ 
a3 a2 ai a0 0 0 . . . 0 
a5 a4 0,3 a2 üi üq . . . 0 
( 9 ) 
\ 0 o 0 0 o o 
(10) 
/ 
la cual se obtiene al cambiar por ceros los números a¡ con índices 
i > n ó i < 0, se denomina matriz de Hurwitz. 
Teorema (criterio de Routh—Hurwitz). Para que todas las partes reales de 
las raíces de la ecuación (9) sean negativas, es necesario y suficiente que sean 
in>-,¡lióos todos ¡os menores principales diagonales de la matriz de Huriuitz: 
«i <to O 
Ai = au A2 -
a i a0 
03 a2 a3 «2 
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