AntiDemidovich__Matemática_Superior_ (9)

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Ecuaciones diferenciales 
de órdenes superiores 
§1. Clasificación de las ecuaciones 
no lineales integrables 
1.1. Ecuación de la forma F (x, y{n)) == 0 
La ecuación diferencial de la forma F{x, y^) — 0 es integrable 
si la ecuación F(x, u) = 0 se puede resolver respecto a u = ip(x) 
o respecto a x = il>(u). En efecto, en el primer caso 
y{n) - <p{x), 
X 
y - J(x - dt + + (1) 
x0 
I* C2X -{-. ». -J" Cfj—l® Cfj, 
donde Cj (j = 1 ,n) son constantes arbitrarias. 
En el segundo caso, hacemos y = t. Entonces x = ip{t) 
y d(y{n~1]) = tdx = tip'{t) dt, de donde 
a^1)- J t${i) dt + Cj. 
Análogamente hallamos 3/tn / • y — <?(*) + C ^ , C 2 , 
... tCn)f donde g y w son funciones conocidas. Consiguiente-
mente/ la solución general tiene la forma paramétrica 
tf = i>{t), ( , 
y = g(t) + w{t, Clf C2,..., Cn). { } 
En algunos casos la ecuación F(x,y^n'^ = 0 tiene so-
luciones en forma paramétrica x ~ a(t), y^ = fi{t), es decir, 
F(a(t), ¡3{t)) = 0 para t 6 (¿o, t<). Entonces,, siguiendo el esquema 
anterior obtenemos la parametrización de la solución general, la 
cual tiene la forma (2). 
1.2. Ecuación de la forma F (y{n~x\ yin)) = 0 
Si la ecuación F{u, v) = 0 tiene soluciones en forma paramétrica 
n = a(í)7 v = /?(£), t £ (¿o/̂ i)/ entonces la ecuación diferencial 
F(y , y ) — 0 se puede integrar, pues en ese caso 
yt»-1> = a(t), y { n ) = m 
y = ¡3(t) dx, o bien a'(t) di ~ (3{t) dx, de donde 
La función y se obtiene a partir de la ecuación diferencial 
yip-1) _ utilizando el método del p. 1.1. 
1.3. Ecuación de la forma F (y{n~2), y(n)) = 0 
Supongamos que las funciones u — a(t) v ~ f3(t) satisfa-
cen la ecuación del p. 1.2. Entonces la ecuación diferencial 
í 1 (y ^ 3/ ) — 0 se puede integrar. En efecto, 
/-2) = a(t), y{n) = p(t). 
o, introduciendo la notación = z{x), 
z(x) = a(t), z"(x) = ¡3{t). 
De la primera ecuación, hallamos 
' / ^ a > 
Utilizando la segunda ecuación, obtenemos 
tt r tt t í3 ^ a x — x a — x p. (3) 
Haciendo x' = r/, la ecuación (3) adopta la forma 
ii i i o 3 a 7} - r¡ a = (3r¡ . (4) 
Ésta es una ecuación de Bernoulli. Supongamos que r¡=x'—(p{Cft) 
es su solución general. Entonces 
x t) dt + C2-
Para hallar la función y = y{t) integramos n — 2 veces la ecuación 
_ utilizando el método analizado anteriormente. Así 
obtenemos la solución general en forma paramétrica de la ecuación 
diferencia] inicial. 
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales y hallar las 
soluciones particulares en los casos en que se conozcan las 
condiciones iniciales: 
Solución. Integrando tres veces consecutivas ambos miembros 
de la ecuación, obtenemos 
x2 y = r (x + eos cc) dx 4- Ci = - + sen x + Cu 
x1 \ z3 
— + sen x + C\ ) dx + = — — eos x + C\x + C2, 
2 J 6 y = 
y = 
X' 
é 
24 
eos x + C\X -f C% j ¿2 + C3 
x 
- sen x + C\ — + C2x + C3. 
«4 Solución. Hallamos la solución general 
Hl X y =e x + C\, 
x1 
y" = ex -— + Cxx + C2, 
3 2 
y = ex - ~ + Cyy + C2X + C3, 
A ^ • 1 -» X X x 
24 6 2 
donde las constantes C¿ son arbitrarias. Para determinar sus 
valores utilizamos las condiciones iniciales. Tenemos: 
1 = 1 + 01, 1 = 1 + C 2 , 
de donde hallamos Ci = C2 
particular es 
1 = 1 + C3, 2 = 1 + 
C3 = O, C4 = 1. La solución 
x 
Solución. Gráficamente es muy fácil mostrar que la ecuación 
ct + sen a — 1 = O tiene una sola raíz real aj . Por consiguiente, 
ym = ai , de donde, integrando sucesivamente, obtenemos 
y" = oliX + Ci, 
y =axy + Ci£C + C2/ 
3 2 
X > , X „ y — «i— + Ci —- + C2x + C3. 6 2 
Para determinar las constantes de integración utilicemos las 
condiciones iniciales: 
2 = «i + C\, 
«i 2 = y + C} + C2, 
2 - — + __ + c2 + C3, 
ÍÜ̂NSiíi 15 'iiHf 
de donde hallamos Ci = 2 - a j , C2 
Oít , C3 — 1 — «i 
Por tanto, la solución particular es 
X X Qft 
y = m - r 4- (2 - a i ) — + - r ® + 1 
ai 
Solución. Resolviendo la ecuación respecto a y", obtenemos 
+ x . 
Dado que estas ecuaciones son de la forma y" ~ ip{x), entonces 
integrando dos veces podemos obtener sus soluciones generales. 
Sin embargo, las ecuaciones obtenidas también pueden integrarse 
mediante un cambio de variable, haciendo, por ejemplo, x — t2+t 
(en ese caso el radical desaparece). Entonces obtenemos 
y" ~ t3 + t2 e y" -¿3 - 212 - t. 
De la primera ecuación tenemos 
d{y) = (¿3 +12) dx = (;t3 4- t2)(2t +1) dt, 
de donde 
t 
- / (í3 + i2){lt + 1) dt + CÍ = + - í 4 + y + Cj, 
2 3 í3 
dy = 1 -i5 + -í4 + - + Ci I dx = 
= ( + ~ +Ci J P + l)dí. 
integrando una ves más, hallamos 
= 
3 ¿3 
4 ' 3 
J Q¿5 + ~t4 + - + Ci ) (2í + 1 ) dt + C2 = 
35 60 
¿6 + 17 i 
La segunda ecuación se integra de forma análoga. • 
M Solución. Esta ecuación es de la forma F{x, y{n)) = 0 con n ~ 2, 
y puede ser resuelta respecto a x. Tenemos: 
x = y -2y . 
Haciendo y" ~ t, obtenemos x = t3 - 2t. De esta manera, 
d{y') - tdx = t (3? - 2) dt, de donde 
y' = J(3tz - 21) dt = - t2 + Ci. 
Por consiguiente, 
dy = í-¿4 - £2 + Cj j d® = Q í 4 - í2 + Cij (312 ~ 2) dt, 
de donde 
/ ( + ) ( 3 í 2 - 2 ) d £ + C2 
Obtuvimos la solución general en forma paramétrica de la ecua-
ción inicial: 
x ~ t3 - 2t, 
-4 Solución. De un modo análogo al anterior, hacemos y" = t. 
Entonces 
x = £ + ln£/ d(y')~tdx~t f l + j J dt = (t + l)dt, 
de donde 
y' ^ J(¿ + i)dt=t-+t + C1, ; 
luego 
y + t + Ct ) [ 1 -h - } dt 4- C2 
7 + ; í 2 + (Cj + 1 )t + Ci ln 11\ + C2 6 4 
Por consiguiente, la solución general es 
x — t 4* ln t, 
í3 3 y = - + 4- (Ci 4- l)í -f Ci ln t 4- C2, 6 4 
Es evidente que ccq = 1 para t = 1; por tanto, 
2 \ 
= 2, 
í 
yo= i j + ¿ + 
*=i 
yo =s l t 4- g f + (Ci f 1 )t 4- Ci ln t 4- C2 = L 
«=i 
1 
De las últimas dos ecuaciones hallamos C\ — - , C 2 = 
La solución particular es 
x = t + ln 
17 
12 
y 
í3 3 , 3 1 17 
6 4 2 2 12 
Solución. Esta ecuación es de la forma F(y{n'l), y{n)) = 0 con 
n = 3 y -y) = d - — 0, Según lo expuesto en el p. 1.2, 
n . ttt -t y ~tr y = e , 
de donde d(y") = e~l dx, o bien dt — e~l dx. Integrando la 
última ecuación1, hallamos x = é 4- C\. Para obtener la función y 
utilizamos la ecuación y" —t. Tenemos que = tdx = té dt, 
de donde 
y' = j té dt + C2 = e(t - 1) + C2. 
Integrando una vez más, obtenemos 
dy — j (c*(í - 1) + Cz) dx + C 3 = 
= J (c*(í - 1) + C2) c* dí + C3, 
o bien ,2i e / 3\ 
2 / = Y V 2 / + c 2 « í + C 3 . 
Finalmente encontramos 
a; = e* + C1; 
,2í e 
2/ = 6 ~ + C2e' + C3. 
Solución. Esta ecuación es de la forma = 0; sin 
embargo, para integrarla recurriremos a un método diferente al 
del problema anterior. Haciendo y" = z(x) obtenemos la ecuación 
diferencial de primer orden z' — z = 0, cuya solución general es 
z = C\ ex. Por tanto, y" = C\ ex, de donde 
y = Cxe + C2x + C3. 
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior hacemos y" = z(x), 
•2 ry 
de donde z + ¿ - 1 = 0. Separando las variables en la ecuación 
obtenida, dz 
. = = dx, 
e integrando el resultado, obtenemos 
z = ± sen(x + Ci), 
o bien 
y" = ± sen (a; + Cj). 
mimmmmmxmmmm 
Integrando la última ecuación dos veces más/ hallamos 
(:V - C2x - C3f = ser\2(x + Ci). 
Además, tenemos la solución evidente 
y ~ ±~ + CiX \ C5. • 
Nota. La solución de esta ecuación puede obtenerse en forma paramétrica si se 
utiliza la identidad sen2 t + cos2f - 1 =0. En efecto, haciendo en la ecuación dada 
y" — sen i, y"' = eos f, podemos escribir d(y") = eos t dx, o bien d(sen i) = eos t dx, 
de donde x = t + Ci (cosí ^ 0). Consiguientemente, d(y') — sen tdx — sent dt, 
por tanto 
y1 = J sen í dt + C2 ~ - eos t + C2. 
De aquí obtenemos que dy = (C2 ~ eos t) dx — {C% — eos t) di, por lo cual 
y= (C2 - eos t) dt + C3= C2t - sen t + C3, 
Además, existen soluciones de la ecuación y" = ±1 que no pertenecen a la 
solución general. 
•4 Solución. Hagamos yt! = tyEntonces de la ecuación dada 
obtenemos que 
y = r 3 - 3 r 2 , y' = o. 
De esta manera, a la ecuación analizada le corresponde e! sistema 
de ecuaciones 
y'mr3- 3 f * ( í # 0), 
y" = r 2 - 3 r 1 ( ¿ / o ) , 
y* = o. 
Como £%') = 2/" ¿te, a partir de las dos primeras ecuaciones del 
sistema hallamos 
d(t~3 - 3í"2) =( r 2 - 3C1) dx, 
de donde 
f (2t - 1 ) j t t f 1 ]t| \ 
De la primera ecuación del sistema, obtenemos 
dy = (-3Í"*5 + 6í"4) dt, 
de donde 
Además, como se infiere de la tercera ecuación del sistema, y 
también es solución de la ecuación dada. • 
<4 Solución. Haciendo en la ecuación dada y' — ± ch t, obtenemos 
y" = ±-sh2t, 
1 
de donde llegamos a <¿(± ch t) = ± - sh 21 dx, o bien 
dx = ± 
dt 
ch i 
t Integrando, hallamos x = ±2 arctg e + Ci. Teniendo en cuenta la 
expresión para dx, a partir de la ecuación y' = ± ch t obtenemos 
que y — í + C2. De esta manera, la forma paramétrica de la 
solución general es 
y = t + C2. 
I 
Solución. Si introducimos el parámetro t según la fórmula y* — tr 
la ecuación original adopta la forma 
„ _ i 
y l + 21ní* 
Dado que d(y') = y" dx, utilizando la parametrización de las 
derivadas y' e y", obtenemos la ecuación 
dx 
d t = - i i í ü - ( 1 ) 
r n , . _ " " 
superiores 
cuya integral es 
x = t(2 ln t - 1) + Éi. 
La función y se halla de la ecuación y' — t utilizando (1): 
dy = t dx = ¿(1 + 2 ln t) dt, y - t2 ln t 4- C2. 
La solución general de la ecuación es 
x = t(2\nt-í) + Cl, 
y -t2]nt + C2. • 
Solución. Sigamos el esquema empleado en el problema anterior. 
Tenemos: - í 
y = t, n y - í + r 
de donde, en virtud de que d(y') = y" dx, obtenemos 
(1 + t) dt — e dx. 
t 
Por consiguiente, 
x = te" + Cl. 
De la ecuación y' — t, hallamos 
y t d x + C2 
t t( 1 + t)e dt 4- C2 
= (t-t + l)e: + Q 
y obtenemos la solución general 
i x = te 4- Cu 
y=i (t2 -14 l)c* 4 C2. 
Solución. Ésta es una ecuación de la forma F(y { n 2\y^n)) = 0 
con n — 2. De acuerdo con el p. 1.3, tenemos 
y" = p(t), y = a(t), (1) 
donde a(í) = ln£, (5{t) = t. La ecuación (3), p. 1.3, adopta la 
forma t 
o bien 
_ — ' - 1 " __ / '3 
n 3/ 1X tít / ¿2 ¿ 
i] + t7¡ + ¿3?y3 = 0. 
Aquí, 7j — x'. Resolviendo la ecuación de Bernoulli obtenida (o su 
forma más simple {tr¡)' + {trjf = 0), obtenemos 
x = 7) = ± 
1 
ty/2tTC¡' 
de donde hallamos 
dt 
W2t + Ci 
+ Co — 
v̂ CT 
in 
v / g T + y a + Ci 
+ C2, si Q > 0; 
x ~ \ 
± 
v ^ c r 
arctg 
^ 
si Ci < 0; 
+ C2, si Cj = 0 
Agregando a estas ecuaciones la segunda ecuación de (1), obte-
nemos la solución general en forma paramétrica de la ecuación 
inicial. • 
Nota. La ecuación analizada permite otro método de resolución. En efecto, multi-
plicando ambos miembros de la ecuación por y', obtenemos y "y' = ey y', o bien 
t2\ t 
= (e7, 
y i 
de donde, integrando, hallamos y* = 2ev + C\f o bien 
dy 
==:•••• : = d x . ±V2ev + Ci 
11 i ^ t i ^ w iv 
Integrando una vez más, obtenemos la solución general en forma explícita: 
1 
ln 
i 
i i 
x = < ( 2 ± :—= arctg 
v ^ T 
[ — v2e~» 4- C 2/ 
+ C2, si Ci > 0; 
i . 1 - —e^ + C2, si Ci < 0; 
si Cí = 0. 
• i 111 • H i t W H ^ ^ ^ 
< Solución. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por y', 
obtenemos y y" y' = y!(y' ^ 0), o bien 
12 de donde, integrando, hallamos y = ln j f + Ceta O bien 
y - 2 + C l 
Separando las variables e integrando una vez más, obtenemos 
finalmente 
dy 
x-rCi — ¿ —, 
+ ln y2 
A Solución. Repitiendo los pasos anteriores, obtenemos 
y V V + ( i - y 4 ) y (í/VO), 
4\ 7 
o bien 
f2v f n 
9 N =\(v-2+v2y, 
J2 _ í„.2 de donde hallamos y — (y2 4- y 2) + C\, o bien 
2/ 
M • • • ! • • I I I •• I I M 
' = ± V C i 4- y2 4-
Separando las variables e integrando, resulta 
x + C2 - ± 
dy 
yfCx + y2 + y~2 
2 . ci 
y + — + V c í f + ^ + í 
< Solución. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por y", 
obtenemos 
tt ttt ti I r\ f tt 
de donde 
yy' + yy'^o {y ¿ 0), 
- a 
y también 
,,2 ,2 2 
y +y = cí. 
Sean y' = C\ sen t e y" = C\ eos t. A partir de la identidad 
d{y') ~ y" dx y en virtud de las últimas ecuaciones, tenemos que 
d(sen = eos t dx, o bien dx = dt, de donde 
x = t + C2. 
De la ecuación y' = C\ sen t, hallamos 
y ~C\ I sen t dx + C3 = 
sen t dt + C3 = — C\ eos i 4- C3. 
Finalmente, 
x = t 4- C 2 , 
y ~ A eos t + C3, 
o bien 
y = Ci eos (x 4- C2) 4- C3. 
- ̂ i^nmmmmm^mmt 
Solución. Haciendo y" = t, hallamos 
t2 
y = xt . 
y 4 
Dado que d(y') = y" dx, de estas dos expresiones se infiere que ¿2\ 
d [ xt — — 1 = t dx , o bien 
x - | j = 0. 
t 
Resolviendo la ecuación obtenemos que t = C\ y x — La 
función y correspondiente a la solución t — C\ se halla a partir 
de la ecuación 
í2 
y = xt . 
** 4 
c\ 
Obtenemos y = ícCj , de donde 
4 > 
s 2 1 2 
v = Cj C[x + C2. y 1 2 4 1 
De la misma manera, para la función y que corresponde a la 
solución x = tenemos 
2 
de donde 
r i b 
» = 7 < 
í2 i2 í2 
du = — dx = — d | - = — dt. 
y 4 4 V 2 / 8 
t 3 
Integrando esta ultima ecuación, hallamos que y = -—h C3, 
o bien 
y ~ j + c3. 
De esta manera, todas las soluciones de la ecuación inicial están 
dadas por las fórmulas 
y^^-xíx- y ] + C2 = Crx{x - Ct) + C2, 
x 
y 
M Solución. Haciendo en la ecuación dada y" ~t, resulta 
1 - sen t 
y = , . (t > o). (i) lnr 
Para obtener la función x hacemos uso de la ecuación (3), p. 1.3. 
Tenemos: 
donde 
1 — sen t fu ~ , . 
lní ' 
¡3 = t, r¡ — x*. 
La solución general de esta ecuación es 
/ a 
J l f a'fi dt + Q 
Por consiguiente, 
a' dt 
x = ± J ^ _ + C2. (2) 
^Ija'pdt + Ci 
De este modo, (1) y (2) representan la solución general en forma 
paramétrica de la ecuación diferencial dada. • 
§ 2. Ecuaciones que permiten 
reducción del orden 
2.1, Ecuación diferencial de la forma 
F ( a s , y ( k + 1 ) , . . . , y M ) = o 
En efecto, después del cambio obtenemos la ecuación 
F(x,z,¿,t..,z(n-k))= 0, 
cuyo orden es h veces menor que el orden inicial. 
2.2. Ecuación diferencial de la forma 
Tenemos: 
tr 
d 
y - dx 
ftt 
d 
y = dx 
_ dy' dy _. dp 
dy dx dy' 
dp\ dí dp\ dy __ 
dy) dy \ dy ) dx 
dy\dyJ \\dyj dy¿ 
etcétera, es decir, el orden de la ecuación diferencial se redujo en 
una unidad. 
2.3. Ecuación diferencial homogénea de la forma 
F (x, y, y', y " , y M ) = 0 
Si la ecuación F (x, y, y', y",..., y^n') = 0 es homogénea respec-
to a la función y sus derivadas, es decir, se cumple la identidad 
F{x, ty, ty', ty",..., ty{n)) = taF(x, y, y', y",..., y{n)), 
entonces el orden de la ecuación puede ser reducido en una 
unidad haciendo yf = yz(x), donde z = z(x) es la nueva función 
incógnita. En efecto, diferenciando sucesivamente la ecuación 
y' = yz(x), obtenemos 
y" ~ (yz(x))' = y z + yz = y(z2 + z'), 
y"' = (y(z2 + z'))' = y' (z2 + z') + y(2zz' + zn) = 
= y(z3+3zz' + z"), 
etcétera, y^ = yi> (z, z',..., , donde t¡) es una función 
conocida. Sustituyendo las expresiones de las derivadas en la 
ecuación diferencial F (x, y, y',..., t/'^) = 0 y utilizando la ho-
mogeneidad de la función F, obtenemos 
F(x, y, yz, y(z2 + z),..., yi¡>(z, z,..., ¿(íi_1))) = 
= yaF(x, 1, z, z2 + z, 2(n_1))) = 0. 
2.4. Ecuación diferencial homogénea generalizada 
de la forma F (x, y, y', y",..., y(n)J — 0 
La ecuación diferencial F(x, y, yy",..., y{n)) = 0 se denomi-
na ecuación diferencial homogénea generalizada si la función F 
satisface la identidad 
F(tx,tmy, íra-y, tm~2y",..., tm-"yw) = 
= t"F(x, y, y' j/"»), 
donde m es cierto número real. 
Si la ecuación F(x, y, y', = 0 es homogénea 
generalizada, entonces los cambios de variable x — é , y = emiz(t) 
conducen a una ecuación que no contiene explícitamente la 
variable t. Por consiguiente, el orden de esa ecuación puede 
reducirse. En efecto, tenemos 
, d[e Z) -t d ( mi \ -i+mí/ . f\ 
y-—1 = € Ve z) = e (mz + z), dx dt 
= e(m"2)í (<m - 1 )mz + (2m - 1 )z + z") 
etcétera, yln) = e{m~n)ti¡}(z, z',..., donde i> es una función 
conocida. Sustituyendo las expresiones de las derivadas en la 
ecuación analizada y utilizando el hecho de que es homogénea 
generalizada, obtenemos 
e^z, ém~l)t{mz + z'l 
e{m~2)t((m - 1 )mz + (2m - 1 )z + z),... 
= eatF (%, z, (mz + z), ((m - 1 )mz + (2 m - 1 )z' 4- z),... 
2.5. Ecuaciones reducibles a la forma 
Resolver las ecuaciones siguientes: 
Solución. En esta ecuación de segundo orden, la función in-
cógnita no aparece explícitamente. Por consiguiente, conformeal 
p. 2.1, si hacemos y* = z(x), obtenemos la ecuación diferencial de 
primer orden 
2 t 2 x z — z . 
Separando las variables e integrando, tenemos 
/ i - / 
dx 
+ C\, o bien z = 
x 
x' 1 — C\x 
Integrando una vez más, obtenemos finalmente 
x dx 
= y 
Cix 
+ C: 
1 1 
x - — ln |CjX - 1 + c2t si C\ 0, 
X' 
Ci C\ 
i 
- + c?, 
Ci oo; 
si Ci = 0; 
•2 / si C\ = oo 
Solución. Haciendo y" — z(x), reducimos el orden de la ecuación 
en dos unidades: 
i 
Separando las variables e integrando, obtenemos 
/
dz 
o bien 
1 
Nos queda 
Tenemos: 
integrar dos veces la ecuación y" — (C\ - a?) 
y = - ln \Út - a| + C2, 
y — {Cx - x) ln |Ci - ®| + C2x + C3. 
-i 
Nótese que al separar las variables se perdió la solución z = y = 0, 
o bien y — Cx -f D. 
Solución. De forma análoga a lo expuesto anteriormente, tene-
mos 
y" = z{x), xz'{x) = (1 - x)z(x). 
Separando las variables e integrando, hallamos 
dx, 
ln \z\ = ln \x\ - x + ln C\, 
de donde 
o bien 
z = C\xe , 
y" — C\xe~x. 
Integrando dos veces más la última ecuación, obtenemos 
y - Cie"'£{x + 2) + C2x + C3. • 
Solución. Como esta ecuación no contiene explícitamente la 
función y, entonces mediante el cambio de variable y' = z(x) el 
orden de la ecuación se reduce en una unidad. Tenemos: 
í i z xz — z ln —. 
x 
La ecuación obtenida es homogénea; por tanto, hacemos el 
cambio de variable z = xu(x), donde u es una nueva función 
desconocida. De esta manera obtenemos la ecuación (u + xv!) = 
u ln u, en la cual las variables se separan sin dificultad: 
du dx 
«{ln « — 1) x 
Integrando hallamos que ln |lnu - 1[ = ln |a:| -f ln Ci, de donde 
u = e1+ }X. Por consiguiente, debemos integrar la ecuación 
/ 1+CAX y — xe 1 
Tenemos: l+Cia; 1 
y x - + C2. 
e, 
Qi V Ci 
Además, al separar las variables perdimos la solución u 
ex 
o bien y — -r- + C, la cual, sin embargo, puede obtenerse 
a partir de la solución general haciendo tender C\ —• 0 y 
C2 = C + —2 • 
En efecto, haciendo uso de la fórmula de Maclaurin con 
resto en forma de Peano, podemos escribir 
1 -I- C\X + + c + 7a = 
e 2 „ = -x2 + C + para C\ —• 0. 
Solución. Haciendo el cambio de variable y' — z(x), obtenemos 
la ecuación diferencial de primer orden 
xzz + z2 + l - az'\/l+z2. 
Pongamos z = tg t (|¿| < 7f/2). Entonces 
, _ dz dz 1 1 
dx dt x' eos 2t 
y la última ecuación adopta la forma 
x eos t + x sen t = a, 
de donde hallamos 
x = Ci eos t + a sen t 
Teniendo en cuenta (1), a partir de la ecuación z = tgí = 
obtenemos 
(1) 
dy 
dx 
y- / tg tdx + C2 
= ~Ci ln tg 
(t ir 
tg t d(Ci eos t + a sen t) + C2 = 
+ Ci sen t - a eos í + C2. (2) 
De esta manera, las ecuaciones (1) y (2) representan la solución 
general en forma paramé trica de la. ecuación inicial. • 
Solución. El cambio de variable y" = z(x) reduce la ecuación 
dada a la ecuación lineal de primer orden 
x*z + 2x3z - 1 = 0, 
1 Ci 
cuya solución general e s z = — + — . Por consiguiente, 
íc3 a:2' 
de donde, integrando dos veces, hallamos 
y = ~ - Ci ln |®| + C2s + C3. 2a; 
Solución. Esta ecuación no contiene la variable x en forma 
explícita; por tanto, según el p. 2.2 hacemos yr — p(y). Entonces 
dp 
y = p — y la ecuación adopta la forma 
dy 
7 dp p* + 2ypfy 0. 
dp 
De aquí hallamos que p = 0 y p + 2 t / ~ = 0 . De la primera 
ecuación obtenemos y = C, y de la segunda, p — — , o bien 
y — — d e donde y 
Hi 
o bien 
IT J y , =dx (Ci¿ 0). 
Ci 
Integrando, hallamos 
3 \ C 
o bien 
2 / 3® 3 C 2 Y _9 
4Ci 
Finalmente, 
y3 = Ca(® + C2)2, y = C, 
donde Ci es una nueva constante arbitraria. • 
M Solución. Al igual que en el ejemplo anterior hacemos y' 
dp 
Entonces y" ~ y la ecuación original toma la forma 
= p(y). 
dy 
dp 2 3 
yv = P ~P dy 
La ecuación obtenida se descompone en las ecuaciones 
dp 2 
p = 0 ' % = p ~ p • 
inñiíí ¡aill̂ rflIá̂ SIlilí ñM̂í̂h ? [h ̂ • 
í T J J f l J J í M Í T Í 
H f X M K m W 
ra»¡wM wl (mw- t- , ' h i- . 
De la primera ecuación se obtiene 
y de la segunda, 
p = y = 
y 
Ci+y 
Integrando la última ecuación, hallamos 
x = C¡ ln \y\ + y + C2. 
Solución. Según el p, 2.2, después del cambio de variable 
y' = p(y) obtenemos 
dP i 2 0 -y 
dy 
Haciendo z — p resulta 
1 dz 
2 dy 
Esta última ecuación es lineal y su solución general es 
z~Cie~2y + 4e'y. 
Haciendo z — y , llegamos a la ecuación 
y'2 — C\e~ly -(- 4e~v, 
de donde 
y - ±VCiC"2» + 4 e ^ . ' 
•i 
Integrando obtenemos 
dy 
e~2 y + 4e-y = X + C2, 
o bien 
Por tanto, 
= X + C2. 
y = ln(Cí + (x-hC2)2), 
donde C\ vh muí nueva constante. • 
S - W . . V Í i s • Hb i " 1 • 
Solución. Esta ecuación no contiene x; por consiguiente, hacemos 
y' = p{y)- Entonces, 
(t ^ f,f , t2 t/\ y y = p(p +pp ) 
y 
p2p'2 - lp2{p2 + pp) + 1 = 0, 
de donde 
p'2 + 2pp" t = 0. 
pÁ 
Dado que la ecuación obtenida no contiene explícitamente el 
argumento y, hacemos el cambio de variable p' = u(p). Tenemos: 
tt du 2 / 1 p = u + lyuu = 0. 
dp p¿ 
El cambio de variable w = u proporciona 
^ , 1 w -f pw =—. 
P 
La solución general de esta última ecuación es 
Ci 1 
w — p p¿ 
Regresando a la variable p, obtenemos 
,2 Ci 1 
P = 
P F 
de donde 
P P 
Integrando la ecuación (1), hallamos 
V^P 
o bien 
2 
± ^ % / C i p - l (C,p + 2) = y + C2-
3 q 
dy 
Haciendo uso de la expresión dx = — y de la ecuación (1), 
obtenemos dp dx ~ ±—. , 
y / C ^ l 
de donde, integrando, hallamos 
x = y/C& - \ + C*. 
Por último, excluyendo el parámetro p de las expresiones para 
x e yr obtenemos 
\2{C\y ~x) = Cj(x - C3)3 - 12(C3 + CXC2), 
o bien _ 
12(C iy - x) = C¡(x + C2y + C3/ 
donde C2 y C3 son dos nuevas constantes arbitrarias. 
Nota. La ecuación dada no contiene explícitamente la variable y, por eso, po-
dríamos haber iniciado su resolución realizando el cambio de variable y' ~ z{x). 
Proponemos al lector cerciorarse de que esa vía también cond uce ai mismo resultado. 
Solución. Dado que el primer miembro de esta ecuación se 
puede escribir en la forma yy1)1, haciendo el cambio de variable 
yy1 = z(x) se obtiene la ecuación de variables separables 
z = Z 
v T T ? ' 
Integrando dicha ecuación, hallamos 
z = Cx (x + \fx2 + 1). 
De este modo, 
yy =Ci(x+V¿*TÍ), 
de donde 
2 
y [ = Ci (x2 + x\J x2 + 1 + ln (x + \/x2 + l ) J + C2. 
•4 Solución. Ya que la función 
y, y, y") = x2yy" - 2 x2y + xyy + y2, 
conforme a la identidad 
x2tyty"-2x2(ty'f+xtyty'+(ty)2 = t2(x2yy"-2x2yí2+xyy'+y1), 
es homogénea respecto a las variables y, y', y", entonces la ecua-
ción dada es homogénea. Por consiguiente, según el p. 2,3, 
su orden puede ser reducido mediante el cambio de variable 
y' — yz(x). En ese caso obtenemos la ecuación de Euler—Riccati 
x2z - x2z2 + xz +1 = 0. 
1 
No es difícil cerciorarse directamente de que z = — es una 
x 
solución particular. Entonces, mediante el cambio de variable 
1 1 z — — I — llegamos a la ecuación lineal 
x u 
xu + u + x = 0, 
x Ci 
de la cual se deduce que u = —— -i 
b |T 
obtenemos la ecuación 
Haciendo y' — yz, 
y_ 
y 
C\ -f x 
x(Cx - x2) 
donde C\ es una nueva constante. Integrando la última ecuación, 
resulta 
Czx 
Solución. Esta ecuación también es homogénea. Después del 
cambio de variable y' = yz(x) obtenemos la ecuación 
.2 
xz — z + 
xz 
V T - l c 2 
= 0, 
:• • "ífvítiííieaí; 
la cual se puede escribir en la forma 
x x 
Vi^x2' 
de donde 
- - - y / T ^ + Cv z 
o bien x 
integrando la ecuación 
a - v T ~ & 
y X 
y Ci-VT-®2"' 
hallamos finalmente 
ln \y\ y/l - x2 + Cj ln [0j - \/T a?' + C2 
Solución. Haciendo 2/' = yz(x)t se obtiene 
íc(222 + z) - 3z - 0. 
Resolviendo esta ecuación diferencial, hallamos z as 
2ar 
Luego, integrado ía ecuación 
¿é 
y ' 
Xa + C\ 
2x 
X* + Q ' 
encontramos 
Solución. Tomando en consideración la homogeneidad de la 
ecuación, hacemos y' — yzix), de donde obtenemos (xz)1 r 
{xz)2 — 0, o bien 
(xz)' 
(xz)'- = -1. 
Integrando, hallamos — = x + C\, de donde z = 
xz 
o bien 
x(x + Ci) 
y 1 
y xix + Cj) 
Integrando una vez más, llegamos al resultado 
l/Ci tJU 
y = cz x + 
Solución. Veamos si la ecuación dada eshomogénea gene-
ralizada. Con este objetivo, en la expresión F{x,y,y',y") — 
4x y y" - x2 + y sustituyamos las variables x, y, y', y" por 
txftmy/tm"lyt/tm~2y", respectivamente, y elijamos, si esto es 
posible, un valor de m tal que sé cumpla la identidad 
tim4x'W ¿V + t*m = ta{±x2y*y"- x2 + y*). 
Es evidente que esta identidad se cumple solamente si 4m = 2, 
es decir, para m = - (con esto a = 2). Por consiguiente, la 
ecuación dada es homogénea generalizada yf según el p. 2.4, para 
integrarla hacemos iniciaímente los cambios de variable x = é, 
y = e*'2w(¿). Obtenemos: 
( dy v 2 ) y = 
m 
e ^ í j + n1 dx ,t 
d (dy 
e"3í /2 í u" 
u 
4 dx \ dx 
Sustituyendo las expresiones de x e y en la ecuación original, 
tras una serie de transformaciones hallamos 
4 « V = 1. 
Esta última ecuación no contiene explícitamente la variable ¿, por 
lo que el cambio de variable = p(u) reduce su orden en una 
unidad: \ 
3 dp 
du 
Integrando esta última ecuación, hallamos 
4P2 + ~2 = C» u£ 
o bien 
V = ± \ / C i -
1 
4t¿ 2* 
Luego integramos la ecuación tí' =ik\ C\ -
1 
4«2 
/* zidtí 
±2 7 , = ¿ + C2, 
J \/4Cii¿2 - 1 
o bien 
l = i + C: 2/ 
de donde 
»z = Ci(í + C2) + 4Ci 
Finalmente, obtenemos la solución de la ecuación en la 
forma 
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, comprobemos si 
la ecuación es homogénea generalizada. Para ello las siguientes 
ecuaciones respecto a ra deben ser compatibles: 
2m-2 = 2 (m - 1) = m + (ra - 2) = ra + (ra - 1) - 1 . 
De hecho, son equivalentes a la ecuación 2ra — 2 = ra — 1, cuya 
solución es ra — 1. Por tanto, la ecuación dada es verdadera-
mente homogénea generalizada. Haciendo x — é, y = e u{t), 
obtenemos 
y -it + ti, H -t, / . H\ y - e {u + u ), 
• F ¡ 
3u" 4- 3íí' - tí'2 = 0. 
El cambio de variable u' == z transforma la última ecuación en 
una ecuación de variables separables 3z = 2 — 3z, de cuya 
integración resulta 
ln 
z-3 
= t + Cv 
o bien 
z = = u. 
1 - Cíe* 
Integrando una vez más la última ecuación, hallamos 
d(e') 
u = f y c*(i — Cxé) 
3¿ - 3 ln |1 - Cie'f + C2, si Cx es finito; 
C2, si C] = oo. 
Así pues, la solución general de la ecuación inicial es 
x 
+ C2x, si Ci es finito; 3x ln 
\ C2x, 
\l-Cxx\ 
si C\ — oo. 
• • • • 
Nota. En los ejemplos 35 y 36 hallamos la solución general para x > 0. En caso 
que x < Ü, la solución se halla efectuando los cambios de variable x — ~etf 
y cmtu(t), y siguiendo el mismo algoritmo de resolución. 
fcr-.v.'v... 
<4 Solución. Al verificar si la ecuación es homogénea generalizada, 
obtenemos las ecuaciones compatibles 
4 + 2(m - 1) = 4 + m 4- (m - 2) = 3 + m + (m - 1) = O, 
las cuales son equivalentes a la ecuación 2m + 2 = 0. Por 
consiguiente, la ecuación inicial es homogénea generalizada. Re-
solvámosla para x < 0, suponiendo que x = —e* e y — «"'«(i). 
Tenemos: 
/ —21/ K « -3¿/o n I I y — e (ti - u), y = e (2tt - 3tt 4-« ), 
2 W - w — Ü2 H-1 = 0. 
Haciendo u' = p(u), obtenemos la ecuación 
dp 2 2 - v r + 1 = 0, 
au 
o bien 
d ( ¿ ) 2 2 1 u - p = u — 1. 
du 
Esta ecuación es lineal respecto a p , y su solución general es 
p2 ~ u2 -1 + C-[U. Entonces 
u == ±\¡u2 + 1 + C\U. 
• B 
Separando las variables e integrando, hallamos 
du 
J \íu 
o bien 
Vxt2 + Cití + 1 
Cj /— —-
± ln Iti + — + V » + Cii¿ + 1 = í + lnC2. 
Sustituyendo en la expresión obtenida u = —xy, t = l n ( - x ) 
y realizando algunas transformaciones algebraicas, llegamos al 
resultado 
2C2x2y = [c2x + ~ 1. (1) 
Nótese que cuando hicimos el cambio de variable uf — p(u) 
perdimos las soluciones u = ± 1. Por esta razón, a la integral (1) 
es necesario añadir las soluciones xy = ±1 . • 
Solución. Esta ecuación también es homogénea generalizada, ya 
que las ecuaciones 
. 1 + (m - 2) = 2 4 m + ( r a - 1 ) = m - l 
son compatibles y m = - 2 es su solución. Sin embargo, es 
más fácil hallar la solución de la ecuación dividiendo sus dos 
miembros por x2 (x ^ 0): 
xy ti 
X' 
y — = yy o bien 
y_ 
x 
t\ i y 
Por tanto, 
y = 
W Cl 
— + -R- 1 X. 
Integrando esta ecuación, hallamos que 
2 y x l „ 
a r c t g ~ 7 ü i = Y + 2 ' 
si Ci > 0; 
< ln y 1 
y + V—Ci 
X 
= — + c 2 / si Ci < 0; 
2 x2 
y 2 
si C\ = 0. 
Reducir el orden de las ecuaciones dadas, llevándolas a 
ecuaciones de primer orden: 
< Solución. Esta ecuación no contiene explícitamente la función y; 
por tal razón, al realizar el cambio de variable y' = z(x), llegamos 
a la ecuación de segundo orden 
a „ / z z — ZZ — I — 
\x 
Esta ecuación es homogénea respecto a las variables z, z', z". Por 
tanto, haciendo z' ~ zv(x), obtenemos la ecuación de primer 
orden 
/ 1 
v -\— = 0 x 
y 
z - o. • 
< Solución. Como la variable independiente no aparece explícita-
mente en la ecuación, haciendo y' = p{y), obtenemos la ecuación 
de segundo orden (v. p. 2.2) 
y2(pp" -p'2) 
Í K 1 : ¡ K - K Í K Í ^ O O i i ^ M - H I H l H i H - B H S H i i M S H i W i i 
Dividiendo ambos miembros de ia ecuación obtenida por p2y2 
(py ^ 0), hallamos 
de donde 
M =1 
?' i „ 
p y 
^ Solución. La ecuación dada es homogénea; por tanto, el cambio 
de variable y' = yz{x) la reduce a la ecuación de segundo orden 
(v, p. 2.3) 
x2(3zz' + Z") -2z- 3xz2. 
Debido a que las ecuaciones 2 + m + ( m ~ 1) = 2+(ra—2) ~ 
ra = 1 + 2ra son compatibles, la ecuación obtenida es homogénea 
generalizada. Por consiguiente, es conveniente hacer los cambios 
de variable x = é (x > 0), z — e_ítt(í), lo cual da como resultado 
la ecuación (v. p.2.4) 
u - 3uu — 3u 0. 
Como esta última ecuación no contiene explícitamente la varia-
ble t, haciendo v! = p(u) resulta la ecuación de primer orden 
dp 
du 
3ti - 3 = 0 
u - 0. 
Resolver las siguientes ecuaciones, transformándolas de tal 
modo que sus dos miembros sean derivadas totales: 
< Solución. Dividiendo ambos miembros de la ecuación por yy", 
obtenemos 
y'" , 
y 
+ 
y 
= o, 
o bien 
(ln|/|)' + 3(ln|s,|)'=0. 
Integrando, hallamos 
ln(|/||s/|3)=]n|C1|, 
y de aquí, 
* V - c i 
(renunciando al signo del módulo no se pierden soluciones, pues 
la variable C\ es arbitraria). Multiplicando ambos miembros de la 
tf 
última ecuación por —r se obtiene una ecuación cuyos miembros 
ir 
son derivadas totales: 
n t s-, V 
y y =Ci -r, 
r 
o bien 
T ) = - t ( v )• 
Integrando, obtenemos 
/ + ciy-2 = c2, 
' = ±yfc2 - Ciy-2. 
de donde 
. y 
Integrando una vez más, hallamos finalmente 
i 
± — V c 2 y 2 - Ci = ar + C3; 
por tanto 
t/2 = Cfeí® + C3)2 + Ci, 
donde Ci es una nueva constante. Cuando dividimos por y" se 
perdió la solución y" = 0, es decir, y — ax + ¡3. • 
M Solución. Dividiendo ambos miembros de la ecuación por y"y"', 
obtenemos 
V 
y u y /// 
o bien 
de donde hallamos 
(5ln \y"\ - 3 ln \y"\)' = 0, 
y =C\y , 
lo cual proporciona 
y w 
,1/3 WW' 
Integrando esta expresión, resulta 
x 3 
,1/3 = —Af) 
» , - 2 / 3 + c 
Despejando y", obtenemos 
2 x 3/2 _ 1 rpy 7* \ —3/2 / = ± ( j -C 2 - | j = ± ( C 1 + C2x) 
___ . 
donde C\ y C2 son nuevas constantes. Integrando dos veces esta 
última ecuación, hallamos 
4 ^ xl/2 
y = (Ci + C 2 í c ) ' " + C3a; + C4, 
Debemos, además, añadir la solución de la ecuación y'" = 0, la 
cual se perdió al efectuar la división: 
y — C \x2 + C2x + C3 . 
Solución. Tenemos: 
y" = {xy + x)', 
de donde se infiere que 
y = xy + x + Ci, 
o bien 
Ésta es una ecuación lineal de primer orden y su solución general 
es 
y +1 = S'2 fc¡ I e~x~'2 dx + C2). 
A 
Solución. Dividiendo los dos miembros de la ecuación por x , 
obtenemos 
de donde 
r \ ' / 2 \ ' 
x) \ 2 
/ 
x 2 
Separando las variables, resulta 
2 dy 
~ x dx. 
Integrando, tenemos 
y2 + 2 cx 
dy x2 
y2 + 2Ci ^ ~2 
+ C2, 
o bien 
< 
2 • y arctg 
x' 
Ci 
si Ca > 0; 
ln y 
y 4-
x' 
- Y + Sr/ Si Ci < 0; 
si Ci = 0. 
2 a2 ^ 
y 1 
Al separar las variables "perdimos" las soluciones y1 + 2C\ — 0 
(Ci < 0), o bien y == ±s/—2C\. Sin embargo, no es difícil 
demostrar que dichas soluciones se obtienen a partir de la solución 
general para Ci < 0 cuando pasamos al límite C 2 T o o - • 
En los problemas siguientes hallar las solucionesque satis-
facen las condiciones iniciales dadas; 
«4 Solución. Dado que esta ecuación es homogénea, haciendo 
y' = yz(x), obtenemos la ecuación 
= z\2x -1). 
•iVD. • M M & 
» jtófyíí 
Integrando, hallamos 
z — y_ y (i) C\ + x - x¿ 
De las condiciones iniciales se tiene que C\ — 6. Integrando la 
ecuación (1), resulta 
dx 
= ln |j/| ~ ln C2, {x + 2) (3 - x) 
de donde obtenemos y ~ C2 
2 + x 
3 - x 
. Tomando x = 2 e y — 2, 
determinamos C2 — VE. La solución buscada es 
5 ¡ 2 + X 
y = 
Solución. Esta ecuación es homogénea generalizada y m — 2, 
Por eso, hacemos los cambios de variable x = e f, y = e2iu(t), 
resultando la ecuación 
u H 6 W = 0. 
Multiplicando ambos miembros por u' e integrando, hallamos 
u'2 = 4«3 + Cx. (1) 
Como y = 1 para x = 1, de las fórmulas del cambio de variable 
obtenemos que u(0) = 1. En virtud de que yf = ef(tt' +2u) e 
y'{ 1) = 4, hallamos que ií'(0) + 2u(0) = 4, de donde i¿'(0) = 2, 
Haciendo en (1) t = 0 y utilizando los valores ií{0), u\0), 
determinamos C\ = 0. Ahora nos queda integrar la ecuación 
w'2 = 4tí3. 
Tenemos TI' - ±2u3fl, ±u~3/2 da ~ 2 dt, 
I - • 
o bien 
1 
= t + c2, 
u — 
(t + m 2* 
Para determinar la constante C2 empleamos la condición u(0) = 1, 
1 
de lo cual resulta que C2 = ±1. Por tanto, u = Sin 
embargo, en virtud de la condición ía'(O) = 2, tomamos solamente 
la solución u ~ - . 
(t - l)2 
Finalmente, podemos escribir 
_ x2 
^ ~ (ln x — l)2 
Solución. Haciendo y' = p(y), obtenemos la ecuación 
p eos y + p sen y = 1, i 
cuya solución general es 
p = sen y + C\ eos y, o bien y = sen y + C\ eos y. (1) 
La constante Ci se puede determinar empleando la condición 
ÍT 
y'{—1) = 2 para y = —. Hallamos que C\ = v3. A continuación 
6 
integramos la ecuación (1) y obtenemos 
dy 
eos I y 
7T 
6 
= x 4- C*2/ 
o bien 
- ln 
2 
y ir 
t g i f + ? = x C2. 
TC 
Sustituyendo en la última ecuación x = — 1, y = —, hallamos 
6 
que C2 = 1. La solución particular requerida se expresa mediante 
la fórmula 
1 / /y 7r 
x = - l + 5 l n tg ( f + -
Nota, Podemos eliminar el signo | • pues j/'(—1) — 2 > 0. 
Solución. Según la condición del problema, tenemos la ecuación 
k 
R = , donde R es el radio de curvatura de la curva, a es 
eos a 
el ángulo dado y fe, el coeficiente de proporcionalidad. Como 
"(i + yí2)m R ™ —- , a = arctg y, entonces la ecuación anterior 
\y I 
adopta la forma 
(l + y'2f2 = k\y"\(l + y'y\ 
/2\ 1/2 
O 
kyíf = 1 + y , y 
tt 
1 f y'2 
Integrando esta última ecuación, hallamos 
/1 1 
k> ( a r c tS y > = 
x 
arctg y" - ~~ + Cv 
o bien 
x 
y tg [ J + CJ ). 
Integrando una vez más, obtenemos 
y = - k ln 
x 
eos | - + Ci + C2. 
< Solución. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por y1 
e integrando la ecuación obtenida, resulta 
/ = 2 Q + 2 eos y. (1) 
Escojamos la solución particular de forma tal que y'(x) —» 0 
cuando x —* +oo. Dado que y(x) it cuando x —f -f oo, a partir 
de (1) se deduce que C\ Integrando ahora la ecuación 
y = 2(cos y + 1), 
resulta 
d y + C2. 
y/2(l + eos t/) 
Es evidente que la expresión 
y 
1 f dt _ / = a; + ln C2 ( 0 < 2/ < t t ) (2) 
o eos-
también es solución particular de la ecuación dada. Integrando el 
primer miembro de (2), hallamos 
ln ^tgÍ(7r+2/)J = ® + lnC2/ 
o, despejando y, 
y = arctg (•C2ex) - tt, (3) 
donde C2 > 0. Evidentemente, y{x) ir cuando a? —• +00. • 
Ñola. La solución (3) describe el proceso físico del ascenso de un péndulo 
mu temático hasta su posición más alta durante un intervalo de tiempo infinitamente 
lirmule (en este caso la variable te desempeña el papel del tiempo y la variable y 
(•I tlt'l ángulo de giro). 
4 Solución. Analicemos el equilibrio de un elemento arbitrario de 
la cuerda, de longitud AS (fig. 1). Proyectando sobre los ejes Ox, 
Oy las fuerzas que actúan sobre el elemento elegido, obtenemos 
las ecuaciones 
-T(x) eos a(x) + T(x + Ax) eos a{x + Ax) = 0, 
—T{x) sen a(x) -f T{x + Ax) sen a(x + Ax) - AP = 0, 
donde T(x) es el valor de la tensión de la cuerda en la sección x, 
a(x) es el ángulo entre la tangente a la cuerda y el eje Ox, y AP 
es el peso del elemento AS (o el valor de cierta carga distribuida). 
De ía primera ecuación se deduce que T(x) eos tt(x) = 
TQ = const, es decir, la componente horizontal de la tensión de la 
cuerda tiene siempre un valor constante. De la segunda ecuación, 
hallamos 
d(T(x) sen = dP(x), 
o bien 
TQ d(tg A(x)) = dP(x), T0 dy = dP{X). (1) 
• 
En el problema dado dP{x) = kdx, donde k es el coeficiente de 
proporcionalidad. Entonces, a partir de (1) se obtiene la ecuación 
TQ dy' = kdx, que al ser integrada dos veces nos conduce a la 
ecuación que describe la forma que adopta la cuerda 
y = + Cxx + C2. • 
iSVHí 
Solución. Utilizando la ecuación (1) del problema anterior y 
teniendo en cuenta la expresión 
dP(x) = pg dS, 
donde pg es el peso de la unidad de longitud de la cuerda 
y dS = y l í - i r dx, obtenemos la ecuación diferencial que 
describe la forma que adopta la cuerda 
T0y" = pgyfu-
o bien 
y 
n 
y/l +yf2 
2 2 99 a , a - — 
o 
Dado qué 
£ rr 
V i + F 
= (ln (y' + V 1 4- y'1) ) 
se obtiene 
de donde 
y + y/üV2 = 
Integrando una vez más, obtenemos 
v = h (e°2(I+c, )+e~aH'+c,))+c2, 
o bien 
y = ch ( a ^ + C j + C2. 
U 
§ 3. Ecuaciones diferenciales lineales 
con coeficientes constantes 
3.1. Ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden 
con coeficientes constantes. Ecuación 
característica. Solución general 
Toda ecuación diferencial de la forma 
donde a¿ ~ const (i = Ó, n) y / es una función conocida 
se denomina ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden con 
coeficientes constantes. Si f(x) = 0 la ecuación (1) se denomina 
homogénea. En caso contrario se denomina no homogénea. 
Si / es una función continua en un segmento, entonces la 
solución general de la ecuación (1) es igual a la suma dé la solución 
general de la ecuación homogénea asociada y una solución 
particular de la ecuación no homogénea (1). 
La ecuación algebraica 
se denomina ecuación característica correspondiente a la ecuación 
homogénea (1). Sean Ai, A 2 , . . . , An las raíces de la ecuación (2). 
A cada raíz simple A& le corresponde una solución particular de 
la ecuación homogénea (1) de la forma y& = c . Además, a 
cada raíz múltiple Ar de multiplicidad I (/ ̂ 2) le corresponden 
las soluciones yT — e^*, yr+1 = xeXr*, ..., yT+i-\ ~ xl~le*tX < 
La combinación lineal de las soluciones particulares es la solución 
general de la ecuación homogénea (1), es decir, 
3.2. Búsqueda de la solución particular 
de la ecuación diferencial lineal de n-ésimo 
orden con coeficientes constantes mediante 
el método de los coeficientes indeterminados 
Si el segundo miembro de la ecuación (1) tiene la forma 
f{x) = Pm(x)eix, donde Pm(x) es un polinomio de grado m, 
entonces la solución particular de la ecuación (j) es 
donde «s — 0 si el numero 7 no coincide con ninguna dé las raíces 
de la ecuación característica (2), y s es igual a la multiplicidad l 
de la raíz de la ecuación (2) si el número 7 coincide con dicha 
raíz. Qm{x) es un polinomio de gradó m. Para determinar los 
coeficientes del polinomio Qm(aes necesario sustituir (4) en (1) e 
igualar las expresiones que multiplican las funciones que poseen 
una misma forma. 
Si f(x) — f\(x)+f2\x)+. | .+fp(x), la solución particular de 
la ecuación (1) es igual a la suma de las soluciones particulares fi 
de las ecuaciones no homogéneas 
a0y(n) + aiy(fl"1) + ... + a>n-\y + 0„y = fi(x) (i - I^p). 
3.3. Método de variación de las constantes 
• i , 
Si / es una función continua en un segmento, entonces la so-
lución particular de la ecuación (1) se puede hallar aplicando el 
método de variación de la constantes que consiste en lo siguiente. 
Supongamos construida la solución general de la ecuación homo-
génea (1), es decir, tenemos la expresión (3). Entonces para hallar 
la solución particular de la ecuación no homogénea (1) realizamos 
los siguientes pasos: 
a) se supone que C* = Ck(x) son funciones diferenciables; 
b) la soluciónparticular se busca en la forma 
n 
y{x) = ( 5 ) 
1 
c) las funciones C'k(x) se determinan a partir del sistema 
de ecuaciones algebraicas 
¿ C Í ( ® ) y ? = — u , 1 = fylTl, (6) 
h=\ a ° 
donde ffn-u e s símbolo de Kronecker; 
d) una vez obtenidas las soluciones C'k(x) = <pk{x) del 
sistema (6), éstas se integran: 
Ck(x) = J <p{x) dx + ak/ (7) 
donde a* son constantes; 
e) se sustituye (7) en (5): 
y(x)=7 ,yk[ <Pk{%) dx + ak). (8) 
Observemos que la fórmula (8) determina además la solución 
general de la ecuación no homogénea (1). 
M 
3.4. Método de Cauchy para hallar la solución 
particular de la ecuación diferencial lineal 
no homogénea de n-ésimo orden 
con coeficientes constantes 
Supongamos que K(x, 5) es una solución de la ecuación homo-
génea (1) y que satisface las condiciones iniciales 
*)U= £',(*, s)\t= = ... = Kt 2)(x, s)\t=l = 0, 
En este caso, si la función / es continua en el segmento [a, i?] y 
€ iaf b]r x € lar entonces 
y{x) = j K{z, s)f(s) ds (10) 
lo 
es una solución particular de la ecuación no homogénea (1) y 
satisface las condiciones iniciales 
yM = y\x0) = . . . = y(B_1)(aío) = 0. 
La solución K(x, 5) se denomina función de influencia 
para el problema de Cauchy 
Hallar las soluciones generales de las ecuaciones homogéneas 
y las soluciones particulares en los casos en que se den las 
condiciones iniciales: 
Solución. Escribamos la ecuación característica: 
A2 + A - 2 = 0. 
Sus raíces son Ai = 1, A2 = - 2 . A la raíz Ai le corresponde la 
solución particular y\ — ex, mientras que a la raíz A2 la solución 
y t ~ e ~2x. La combinación lineal de estas soluciones es la solución 
general de la ecuación dada: 
y = Cíe" +C2e"2x. • 
-4 Solución. La ecuación característica A - 2A = 0 correspondiente 
a la ecuación diferencial dada tiene las raíces Ai = 0 y 2. 
Por eso, la solución general de la ecuación inicial se escribe en la 
forma 
y = Ci + C2e2x. 
Para hallar la solución particular que satisface las con-
diciones iniciales, derivamos la solución general, obteniendo 
yf = 2C2e . Posteriormente, en las expresiones de la solución 
general y de su derivada, sustituimos x,y e i/ por sus valores 
0,0,2 respectivos. Tenemos: 
C! + C2 = 0, 2C2 = 2, 
de donde C\ = - 1 , C2 = 1. La solución particular buscada es 
y = e2x - 1. • 
< Solución. De la ecuación característica A3 — 8 — 0 hallamos 
las raíces Ai — 2, A2 = - 1 + iV3, A3 = —1 — ¿v^í. Dado que 
la solución general es la combinación lineal de las soluciones 
particulares, tenemos 
y = Cie2x+(C2eiV3x + C3e-i^x)e~x. (1) 
Por cuanto los coeficientes de la ecuación dada son reales, la 
solución (1) puede representarse en forma real utilizando las 
fórmulas de Euler 
eos <p = - (é9 + e~%<p), 
1 sen<p = — (e%(p - e t<p). 
Haciendo el cambio de variable e±ív^® = eos V3x ± i sen V3x 
en (1), hallamos 
y = Cie2x + ((C2 + C3) eos V3x + i{C2 - C3) sen V5x) e~x. (2) 
Supongamos que C2 = C2-\-iC3/ = C2-iC^f donde C2l C3 son 
constantes reales arbitrarias. Entonces, a partir de (2) se obtiene 
y - Cie2ít + eos V3x + C3 sen V3x ) , 
donde C2/ C3 son constantes reales arbitrarias nuevas. De esta 
manera, hemos obtenido la representación real de la solución 
general. • 
Solución* Las raíces de la ecuación característica A4 + 4 = 0 se 
hallan utilizando la fórmula conocida, la cual aplicada a nuestro 
caso adopta la forma 
At = = V2e 
Í(7T+2fcTT) 
—tx\ —x 
€ (l> 
ljt ^ v - t — v ¿e * > /c = 0,3. 
De aquí se deduce que Ai = 1 + = 1 — i, A3 = — 1 + i, 
A4 — — 1 ~ i. Entonces la combinación lineal 
y = (C\eix + C2e~ix)ex + (C3eíaf + C4e~ix) 
es la solución general de la ecuación analizada. 
Como los coeficientes de la ecuación diferencial son reales, 
la solución (1) se puede representar en forma real mediante las 
fórmulas de Euler e±l9 — eos (p±i sen (p, haciendo Ci = Cj +iC2, 
C2 =JC\ - iC2, C3 = C3 + iC4, C4 = C3 - iCA, donde Cx, C2, 
C3/ C4 son constantes reales arbitrarias. Entonces obtenemos 
y — (C1 eos x + C2 sen a?) ex 4- (C3 eos x C4 sen a?) e~x, 
donde C\, C2, C3/ C4 son constantes reales arbitrarias nue-
vas. • 
Solución. Hallamos las raíces de la ecuación característica A H-
64 = 0 
xk = v^64 = 2e 6 f k = 0,5. 
Después de sustituir los valores correspondientes de k en la 
fórmula de  obtenemos Ai =: V3 + i, \2 = 2i, A3 = — v3 + i, 
mamKŝíríBiíR̂gMüjŜis 
A4 — -y/3 - i, A5 = -2i, Aé = V3 — i. Por consiguiente/ la 
solución general compleja se representa de la siguiente manera: 
y = Cxe2ix + C2e~lix + (C3eix + C4e~ix)e^x + 
Haciendo C2 + iC2t C2 ~ Clt C3 = C3 4- ¿C4> C4 = C3 , 
C5 = C5 + iC¿, C¿ = C5 y utilizando las fórmulas de Euler, 
obtenemos la solución general en forma real: 
y = C\ eos 2x + C2 sen 2x + (C3 eos x + C4 sen x)e- 4-
4- (C5 eos a; + sen x)e~ , 
donde Cj (¿ = 1,6) son constantes reales arbitrarias nuevas. • 
Solución. Hallamos las raíces de la ecuación característica A — 
2A + 1 = 0: A 
1 = A2 — 1. Dado que la multiplicidad de la 
raíz es igual a dos, entonces, conforme al p. 3.1, las soluciones 
particulares de la ecuación diferencial dada tienen la forma 
Vi - V2 = xex-
Por consiguiente, 
y = (Ci 4- C2x)ex 
es la solución general. • 
A 0 
M Solución. Resolviendo la ecuación característica A 4- 2A + 1 = 
ty n 
(A 4-1) = 0, obtenemos Aj = X2 — i, A3 = A4 — —i, Conforme 
al p. 3.1, escribimos las soluciones particulares: 
ta: ta: ~ta¡ — ix 
y\~z, yi — xe, y3 = e , yA = xe , 
y, luego, la solución general de la ecuación diferencial: 
y = Cxeix + C2é~ix + x{C3eix 4- C4e~ix). 
Si hacemos C\ — C\ + iC2, C2 — C\, C3 = C3 -f- ÍCA, C* — C3 , 
obtenemos la forma real de la solución general: 
y = Cj eos x + C2 sen x + x(C$ eos a: + C4 sen a:), 
donde C, (i = 1, 4) son constantes arbitrarias reales nuevas. • 
< Solución. La ecuación característica A4 + 8A3 + 24A2 + 32A +16 ~ 
(A + 2)4 = 0 tiene por raíz a A = - 2 de multiplicidad l — 4. 
Conforme al p. 3.1, a esta raíz le corresponden cuatro soluciones 
particulares 
~2x -2x 2 —2x 3 ~2x 
Vi = e , y2-xe , y3 = x e , y4 = x e . 
Por consiguiente, 
y = (Ci + C2x + C3Z2 + CiX3)e~2x 
es la solución general de la ecuación. • 
• 
< Solución. Escribiendo la ecuación característica A6-5A5+4A4 = 0 
y resolviéndola, hallamos que A] = A2 = A3 = A4 = 0, A5 = 1, 
A6 = 4. Por consiguiente, la solución general es 
J/ = C! + C2x 4- C3Z2 + C4X3 + C5ex 4- C6e4x. 
> " • 
Para determinar las constantes Q (¿ = 1,6) que corresponden a 
la solución particular buscada es necesario diferenciar cinco veces 
consecutivas la solución general y emplear las condiciones inicia-
les. Haciendo esto, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones 
respecto a las constantes señaladas: 
CJ + C 5 + Ce = 0, 
C 2 + C 5 + 4C6 = 0, 
2C3 + C 5 4 1 6 C 6 = 0, 
6C4 + C 5 + 64C6 = 0, 
C5 + 256C6 = 0, 
C 5 + 1024C6 = 2. 
2 1 85 21 
De aquí hallamos C5 = C6 = —, Ci = —, C2 = —, 
5 ^ 1 
C3 = —, C4 = —. Por tanto, 
16 12 
85 21 5 2 1 <» 2 „ 1 aj. 
y = 1 x + + - ~ex + —e * 128 32 16 12 3 384 
es la solución particular buscada. 
4 Solución. Las raíces de la ecuación característica A6+3A4 = 0 son 
\1 3= \2 = A3 = Á4 = 0, A5 = iv3, Ag = —i\/3. De acuerdo con 
el p.3.1, escribimos la solución general de la ecuación diferencial: 
y = Cx + C2x + C3x2 + C4X3 + C$ sen V3x + C6 eos y/3x. 
Al igual que en el ejemplo anterior, escribimos el sistema de 
ecuaciones respecto a las constantes C¿ (i — 1,6) y lo resolvemos. 
Obtenemos C\ = Ci = 0 (s = 2,6); por consiguiente, la solución 
particular es 
y = 1. • 
Hallar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones 
no homogéneas y las soluciones particulares en los casos 
donde se conozcan las condiciones iniciales: 
<4 Solución. Hallamos la solución general de la ecuación homogé-
nea y" — 2y' — 3y = 0 asociada a la ecuación no homogénea dada. 
Por cuanto las raíces de la ecuación característica A2 — 2A — 3 = 0 
son Ai = —1, A2 = 3, la solución general es 
y == C\e'x + C2e3x. 
Dado que el segundo miembro de la ecuación es f(x) — e4® 
y el número 7 — 4 no coincide con ninguna de las raícesde la 
ecuación característica, entonces,, en correspondencia con el p. 3.2, 
la solución particular de la ecuación no homogénea dada se busca 
en la forma 
y~Q<i(x)eix ~a0e4iC, (1) 
donde do es una constante desconocida. Para determinar (IQ 
sustituimos (1) en la ecuación diferencial original. Así obtenemos 
ía identidad 
,4x _ 4x 
1 . 1 
a partir de la cual hallamos «o — ~ - Por consiguiente, y — ~e 
: 5 5 
y la solución general de la ecuación no homogénea tiene la forma 
i B 
y = C,e" + C^* + ±e4< 
Sustituyendo en la solución general y en su derivada los 
valores 0, 1, 0 en lugar de a?, y, y', respectivamente, obtenemos 
un sistema de ecuaciones respecto a C\, C2: 
1 
Ci + Cz + - = 1, 
5 
• - • 
• 4 
~Ci + 3C2 + - = 0 . 5 
Resolviendo este sistema y sustituyendo los valores de C\, C2 en 
la solución general/ hallamos la solución particular buscada; 
< Solución. Hallamos sin dificultad la solución general de la 
ecuación homogénea asociada: 
y = C1ex+C2e~x. (1) 
Como el segundo miembro de la ecuación diferencial dada es 
igual a la suma de dos funciones f\ + f¿ de la forma Pm{x)nlxr 
entonces, conforme al p. 3.2, buscaremos la solución particular 
como la suma de las soluciones particulares de las ecuaciones no 
homogéneas 
= 2ex, y" — y ~ -ap. (2) 
Por cuanto 7 = 1 en la primera ecuación, mientras que en 
la segunda 7 = 0, utilizamos la fórmula (4) del p. 3.2 para hallar 
las soluciones particulares de estas ecuaciones: 
Vi = aQxex, 
_
 2
 (3) 
y2 ~ oqx + hx + b2/ 
donde a0/ b0, bx, b2 son constantes desconocidas. Para determi-
narlas, sustituimos (3) en (2) y obtenemos las identidades 
2a0ex = 2ex, 
2 2 2&o ~ bix - 02 = -x , 
a partir de las cuales, igualando los coeficientes de los términos 
semejantes, hallamos 
«0 = 1/ — 1/ — = 0, 
260 - 62 = 0 o 1)2 - 2. 
Por consiguiente, la solución particular de la ecuación no homo-
génea inicial es 
y = yi + 2/2 = xex + x2 + 2. 
Finalmente/utilizando la expresión (1), escribimos la solución 
general de la ecuación dada: 
y Cx e* + C2 e x + xe* + x2 + 2. • 
Solución. Escribamos primero la solución general de la ecuación 
homogénea asociada: 
y = C\ex + C2e2x. 
Representado el segundo miembro de la ecuación original en la 
forma 
1 . 1 * tx —t$ sen x = — e e , 
2 i 2% 
vemos que 71 = i, 72 — -¿ . Dado que 7 ^ A, entonces, conforme 
al p. 3.2, buscaremos la solución particular de la ecuación en la 
forma 
y = y\ + yi, 
: r; i S! iffiilf̂ î aafó 
donde yi = a0e , y2 = b0e , Sustituyendo la función y — 
V * 
a^é* + boe"iX en la ecuación inicial e igualando los coeficientes 
1 r 
de e" y e~", obtenemos 
_ 3 i 
°° ~ 20 ~ 20' 
fro = 5o = l + ¿ -
De esta manera, la solución particular tiene la forma 
y = aoelx + üQe~lx — (oq + fto) eos x + i(a o — oq) sen x = 
^Icosx + isenx, 
y la solución general, la forma 
* 2a ^ 1 
2/ = Ĉ e + C^e H eos # + — sen x. • 
* 10 10 
Nota. Sí los coeficientes del primer miembro de una ecuación son reales y el 
segundo miembro tiene la forma 
e7* (Pm{x) eos px + Qn{x) sen f3x), (1) 
entonces la solución particular de la ecuación no homogénea se puede buscar en la 
forma 
y = a* (<9jí V ) eos + (s) sen /te) e7*, (2) 
donde 5 — 0 si 7 + /5t no es raíz de la ecuación característica/ y s es igual a la 
multiplicidad de esta raíz en el caso contrario, p = max{m, n 
De esta manera, tenemos que en el ejemplo analizado 7 — 0, Pm{x) s 0, 
Qn(x) 5 1, p = 0, = 1, Ai ^ 7 + fii, A2 7 + fii. Por consiguiente, s = 0 y 
la solución particular tiene la forma — y = üq eos z + bQ sen x, donde a0,&o son 
los coeficientes por determinar. Sustituyendo y en la ecuación diferencial inicial, 
3 1 
hallamos úü = — y 60 = —. 
Solución* Para hallar la solución particular de la ecuación no 
homogénea dada recurriremos a la nota del ej, 65, En nuestro caso 
7 = 0,Pm(x) = 0, Qn{x) s 4 , 0 = 1, p = 0, A, = i = 7 + 
Por tanto, s = 1, y según la fórmula (2) del ejemplo anterior, la 
solución particular tiene la forma 
y = X{OQ eos x -f &o sen x). (3) 
Sustituyendo (3) en la ecuación diferencial inicial e igua-
lando los coeficientes de las funciones sen®, cosa;, hallamos 
que ao — - 2 y ¿ > o = 0 - Finalmente, tomando en consideración la 
solución general de la ecuación homogénea asociada, escribimos 
la solución general de la ecuación no homogénea: 
y = C\ sen x + C2 eos x — 2x eos x. • 
Para cada una de las ecuaciones dadas escribir la solución 
particular con coeficientes indeterminados: 
Solución. Las raíces de la ecuación característica son Aj = 1 + i, 
X2 = 1—i. Dado que el segundo miembro de la ecuación analizada 
es igual a la suma de dos funciones, buscamos la solución 
particular y como la suma de dos soluciones particulares y\ y y2 
de las ecuaciones respectivas: 
y" ~ 2y' + 2y = e9, 
" o t . n ^ y - 2y + 2y = x eos x. 
Para construir las soluciones particulares y\ e y2 utilizaremos la 
observación hecha en el ej. 65. En el caso de la primera ecuación 
de (1) tenemos que 7 = 1, /3 — 0, Pm(x) = 1, p — 0. Dado que 
7 + /3i Ai, 7 + /3í / A2, obtenemos 5 = 0. Por consiguiente, 
según la fórmula (2) de la observación 
y\ = C()ex. 
En el caso de la segunda ecuación de (1) 7 = 0, = 1, Pm(x) = x, 
Qn{x) = 0, p = 1. Como 7 + f3i / Ai, 7 + {3i / X2, tenemos 
que s = 0. De esta manera, conforme a la fórmula (2) de la 
observación del ej. 65 
yi = {̂ 0® + eos x + (60® + 61) sen x. 
Por tanto, la solución particular de la ecuación diferencial inicial 
debe buscarse en la forma 
Y — CQ€x + {a^x + ai ) eos x + (b0x 4- 61) sen x. 
A Solución. Ante todo, hallemos las raíces de la ecuación caracte-
rística A2+6A4lO = 0: Ai/2 = —3±¿. Recurriendo ala observación 
del ej.65, escribimos las soluciones particulares de las ecuaciones 
respectivas 
y" + 6 y + 10 y = -le eos x. 
Para la primera ecuación de (1) tenemos 7 = —3, ¡3 = 0, 
Pm(s) = 3x, p — 1. Dado que 7 + (3i / Aií2, entonces s = 0, 
Para la segunda ecuación de (1), 7 = 3, ¡3 — 1, Pm(íc) = - 2 , 
= 0, p = 0. Debido a que 7 + = 3 + i ^ A12, obtenemos 
s = 0. 
Para la primera ecuación de (1), la solución particular tiene 
la forma 
Vi - («o® + 
y para la segunda 
= (í?o eos x + &i sen . 
La suma de estas soluciones particulares es la solución particular 
buscada de la ecuación inicial 
y = (fl,0ar + a\)e + (60 eos x + &i sen :c)e . • 
1 
< Solución. Hallamos las raíces de la ecuación característica A1 — 
2A2+ 4A - 8 = 0: Xx ~ 2, X^ - ±2i. Al igual que en los 
ejemplos anteriores, establecemos que s = 0 para cada una de las 
ecuaciones 
y" — 2y" + 4y' ~ 8y = e sen2x, 
y'" - 2y" + 4y' -8y = 2x2. 
Además, para la primera de ellas 7 = 2, (3 = 2, Qn(x) = 1, 
Pm(x) = 0, p = 0, y para la segunda 7 = 0, ¡3 — 0, Pm{x) = 2x2, 
p — 2. Por consiguiente, 
= (a0sen2x + 60eos2x)e , y2 = C0x +C\X + C2, 
tf = yt + = («o sen 2x + 6q eos 2x)e + CQx2 4* Cxx + C2. • 
<4 Solución. Las raíces de la ecuación característica son — 2 ± i . 
Escribamos el segundo miembro de la ecuación dada en la forma 
2x 2 _ 1 2x 1 2x e sen # = - e e cos2a;. 
2 2 
Como en los ejemplos anteriores, obtenemos y\ = a0e , y2 — 
(60 eos 2® + b\ sen 2x)elx. De este modo, 
y = (a0 + bQ eos 2a; + í>i sen 2x)e . • 
Solución. Dado que sen x eos 2x = - sen 3x - - sen x y X\2 ~~ 
±2i, A34 = ±i, según la observación del ej. 65 tenemos y\ = 
a0 sen 3a? + o,\ eos 3x, y2 = x{bQ sen x -I- 6j eos x). Aquí, y\ es la 
\ 
solución particular de la ecuación y + 5y" + 4y = - sen 3a;, 
\ 
y Vi, la de la ecuación y -f 5y,f + Ay = — - sen x. En este último 
caso, s = 1 en virtud de que 7 + ¡3i = A3. Por consiguiente, 
^ = a0 sen 3x 4- % eos + x{bo sen x + &i eos as). • 
< Solución. Dado que 2X = e*1"2 y Aj = 1 ^ ln 2, A2 = 2 / ln 2, 
según el p. 3.2 
y = a0exkl2 = a02*. • 
Solución. Buscamos la solución particular y como la suma 
de tres soluciones particulares y\, y2f yz de las ecuaciones 
diferenciales respectivas, cuyos primeros miembros coinciden con 
el primer miembro de la ecuación diferencial dada, mientras 
que Jos segundos miembros son las funciones /i(x) = x2 eos 2x, 
f2(x) = xexsen 2a?, fo{x) = e2x sen x, respectivamente. Dado que 
A 1,2 == 0/ A3(4 as 2 ± i son las raíces la ecuación característica, 
entonces, conforme a la observación del ej.65, tenemos que 
y\ = (a 0 x + a\X 4 <12) eos2x 4 (b0x 4 &12: 4 b2) sen2a;, 
2/2 — (ÍQ)® 4 ca) sen 2x 4 (d^x 4 di) eos2x)ex, 
i/3 = ®(a0 sen x 4- ô eos x)é . 
Observemos que sólo en el último caso 7 4- ¡3i = A3, es decir, 
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando el método de 
variación de las constantes: 
Solución. Hallemos la solución general de la ecuación homogé-
nea asociada 
y = C + C2xex. 
Luego, suponiendo C\ = Ci(a;), C2 = C2(x), escogemos las 
funciones Ci(x) y C2(x) de forma tal que la función 
y = Ct{x)ex 4 C2(x)xex (1) 
sea la solución de la ecuación no homogénea. Para que la 
elección de tales funciones sea eficiente, utilizamos el sistema de 
ecuaciones (6), p. 3,3: 
C[(x)ex + Cí(x)xex = 0, 
e x 
C[(x)ex 4- C2{x)ex(x 4 1) = —. x 
v 
1 
De aquí hallamos que C\{x) — -1, C2(x) = —. Integran-3j 
do las ecuaciones obtenidas, encontramos Ci(s) = -x + C\, 
C2{x) = ln |x| -i- C2, donde C\, C2 son dos constantes arbitrarias 
nuevas. Sustituyendo ias funciones halladas C\{x) y C2(x) en (1), 
finalmente resulta 
y = Cié* 4- C2xex - xex 4 xex ln |x|. • 
< Solución. Hallamos sin dificultad la solución general de la 
ecuación homogénea asociada: 
y = Cíe® + C2e~x. 
Conforme al p. 3.3, la solución general de la ecuación no ho-
mogénea tiene la forma y = Ci{x)ex + C2(x)e~x; las funciones 
arbitrarias C\ y C2 se determinan a partir del sistema de ecua-
ciones 
C[{x)ex + C2(x)e~x = 0, 
C[(x)ex - C'2{x)e~x = - -X Xa Resolviendo esta sistema algebraico, obtenemos 
c [ i x ) = \ ( - 4 + - ) 
2 \ xó x / 
1 / 1 2 \ 
Integrando esta última expresión, hallamos 
donde Ci, C2 son dos constantes arbitrarias nuevas. 
Integrando por partes dos veces, resulta 
2 \ x x¿} 
1 „ / 1 1 \ 
2 \ X xá / 
Sustituyendo las expresiones de C\(x) y C2(x) en la fórmula 
de la solución general de la ecuación no homogénea, obtenemos 
finalmente 
1 
y = C\ ex -f C2e 1 . • 
x 
i ' l Y j f c M J . . 1 ¡ } ' V 1 : * f '•'' f i. L i. L * • • , : _ 1 ¡ ' ' J y ' ' ' ' - . j ; ' • ' • " 
Ü ' - i ^ t i ¡ Ü : I ^ . í í - i * - ^ i i j i i - ^ W . v - . U / " . " í " ' • . / ' . - . n . - . ; . . ; ' . ' > • A , ^ 
superiores! 
- • { •• • •, • * ' , k I " * •• 
Resolver las ecuaciones siguientes empleando diferentes me 
todos: 
< Solución. La solución general de la ecuación homogénea es 
y = C\e"x + C2 xe — X 
1 1 
Como eos ix — -e£ -f - e 3 v la raíz A = - 1 de la ecuación 
2 2 3 
característica es de multiplicidad 2, conforme al p. 3.2 buscaremos 
la solución particular de la ecuación no homogénea en la forma 
zr ¡ e , i 2 —x y = ae -\-bx e . 
Sustituyendo y en la ecuación inicial, obtenemos una identidad 
1 1 
respecto a x , a partir de la cual se infiere que a = —, b — —. Por 
consiguiente, 
l x2 _ 
y = -eA H e a + Cíe s + C^ze x 
8 4 
es la solución general de ecuación original. • 
Solución. La ecuación característica A + 2i — 0 de la ecuación 
homogénea asociada tiene las raíces 
Xk = V^li = y/le 2 á r V Í c ' l AÍ = 0,1, 
es decir, 
Ao 
7T \ / TT 
v c o s l " 4 ] + í s e n r i 
r ( 3 3 A] = v2 eos -7T + ¿ sen -ir 
v 4 4 
— — 1 + i. 
Por consiguiente, la solución general de la ecuación homogénea 
está dada por la fórmula 
y = Cxe{l~i)¡s + C2e{~l+i)x 
a í i v í í í í 1 - ' • : ! i ' i t i - . 
Para obtener la solución particular utilizaremos el método de los 
coeficientes indeterminados. 
Como 8e® sen x = - e ( 1 + I > - según el p. 3.2 la 
i % 
solución particular se busca en la forma 
y = ae(1+i)K + bxe^i)x (1) 
(nótese que el factor x en el segundo sumando de (1) aparece 
como consecuencia de que la raíz Ao coincide con el número 
1 - «). Sustituyendo (1) en la ecuación inicial, se obtiene una 
identidad respecto a x, a partir de la cual determinamos a = - 1 , 
De esta manera, 
y = (Cx + (i - l)x)e{1~i)x + C2e{i"l)x - ecl+í)a; 
es la solución general de la ecuación no homogénea. • 
< Solución. La solución general de la ecuación homogénea es la 
función 
y = Cie",x + C2xe~ix. 
i i 
Dado que 8 ch ix = 4elx +4e~ lx , para hallar la solución particular 
de la ecuación no homogénea resulta cómodo utilizar el método 
de los coeficientes indeterminados. En virtud de que A = — t es 
una raíz de multiplicidad 2 de la ecuación característica, entonces, 
según el p. 3.2, la solución particular se busca en la forma 
y - aeix + bx2e~ix. 
Haciendo y en la ecuación dada e igualando los coeficientes 
• d 
de eiX y e~lx, obtenemos que a = - 1 , b = 2. Por consiguiente, 
y =(Ci + C2x + 2x2) e~ix - eix 
es la solución general de la ecuación inicial. • 
Solución. Resolviendo del modo usual la ecuación homogénea 
asociada, obtenemos y — C\ senwx C2 coso;®. Para obtener la 
solución particular de la ecuación no homogénea emplearemos el 
método de Cauchy. Según el p. 3.4 podemos escribir 
K{x, S) = C\(s) sen wx + C2{s) eos UJX, 
donde K(x, «s)| = 0, Kfx(xts) 1 (en este caso n = 2). Por 
consiguiente, 
C\{s) sen ws + C2(s) eos ws = 0, 
1 
Ci(s) eos (JJS - C2(s) senu?s = — (a> / 0). U) 
De las dos últimas ecuaciones hallamos 
eos it)8 senws 
Ci(s) = , C2{s) = u U) 
Entonces 
1 
K(x, s) = — sen w(x — 5). 
iú 
* - • 
1 
La función f{x) — es continua para x / - 1 . Por eso, 
I T 1 
podemos aplicar la fórmula (10), p. 3.4: 
X 
, \ 1 f sen U){x - s) 
y(x) = - ds, (1) 
w J s +1 
donde xo G [a,b], x € [a,b] y — 1 £ [a, 6]; a, b son números 
arbitrarios. Tomando en consideración la solución particular (1) 
escribimos la solución general: 
X 
1 f sen u>{x - s) 
y — C\ sen UÍX + C2 eos wx H— / ds. (2) 
u J s + 1 
®0 
Ahora, partiendo de la solución general vamos a construir 
la solución particular que satisface las condiciones iniciales dadas. 
Diferenciando (2) se obtiene 
X 
. f eos Uí(x - «) 
y (x) = w(Ci eos wx - C2 sen u)x) + ds. (3) 
J s +1 
¡F0 
Haciendo x — XQ = 1 en (2) y en (3) y teniendo en cuenta las 
condiciones iniciales, obtenemos 
2 = C\ sen u) + C2 eos w, 
- 3 = U>(Ci eos U) - C2 sen ÍV), 
3 3 
de donde C\ = 2 sen o; coso?, C2 = 2cosaM—senw. U) OJ 
Sustituyendo estas expresiones de C\ y C2 en (2) y tomando 
XQ = 1, finalmente hallamos 
X 
, 3 ' 1 f$enw{x-s) 
y = 2cos(v{x~l) senu/(® — 1) H— / as. 
u> Uf J s + 1 i 
Solución. Aplicando el método de variación de las constantes 
C\ y C2 que intervienen en la solución general de la ecuación 
homogénea asociada 
y = Cj sen x + C2 eos x, (1) 
obtenemos el sistema 
C[(x) sen x + C2(x) eos x = 0, 
C[ (x) eos x — C2(®) sen x = f(x), 
del cual se infiere que C[(x) = f (x)eosx, C2(x) = —f(x) sena?. 
Integrando, hallamos 
C\{x) = I f{x) eos x dx + C\, 
(2) 
C2(x) = — / f(x) sen x dx -f 
Supongamos que para todo x > XQ fijo tienen sentido las expre-
siones 
X - • X 
a(x) = I f(s) eos s ds, fi{x) = / f(s) sen s ds. 
«o ®0 
Entonces, como se infiere de (2) y (1), la solución general de la 
ecuación dada se puede representar en la forma 
X 
y = C\ sen x + C2 eos % + J f(s) sen(® - s) ds = 
Xq 
donde 
= Cj sen a: + C2 eos x + o(x) sen x H~ ¡3(x) eos x — 
= (Ci -f a(x)) sen x + (C2 + /?(#)) eos x = 
= A(x) eos (x - ¥>($)), 
A{x) = V í Q + a(x))2 + (C2 + /?(s))2, 
sen y>(ai) = 
Ci + a{x) 
eos <p(a;) = 
C2 + 8(x) A(x) ¿ 0. 
A(x) A{x) 
De aquí se deduce que, para que la solución y(x) esté 
acotada cuando x —• -foo, es suficiente exigir que la función A 
(amplitud) esté acotada cuando x —• +00, es decir, que las 
funciones a y /? estén acotadas cuando x —> -4-00. • 
-i • 
Construir las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas 
con coeficientes constantes (de menor orden posible) a partir 
de las soluciones particulares dadas: 
Solución. Diferenciando sucesivamente la función y\, obtenemos 
y\ mxex 4- 2xe2 = y y 4- 2xex; 
2/i' = y[ + 2e* + 2®e* = y[ + 2ea: + (y[ ~ y i) = 2^ - Vl + 2e*; 
Excluyendo de las dos últimas expresiones 2ex, finalmente 
tenemos 
y;" - + 31/5 ~yi=o. 
Nótese que es imposible obtener una ecuación diferencialde orden menor, pues la solución particular y\ = x2es corresponde 
a la raíz de multiplicidad l = 3 de la ecuación característica. • 
< Solución. La solución particular y\ corresponde a la raíz de la 
ecuación característica Ai = 1 de multiplicidad l, ~ 2, mientras 
que la solución particular y2 corresponde a la raíz A2 = — 1. 
Dado que conocemos las raíces no es difícil escribir la ecuación 
característica 
(A - 1)2(A + 1) = 0, 
o bien 
A 3 - A 2 - A + 1 = 0 . 
Es evidente que a esta ecuación característica le corresponde la 
ecuación diferencial 
tu it t . n y - y -y + y = 0. 
1 
Solución. Por cuanto x = xe0x, sen x — —-(etx — e , x ) , las 
2i 
soluciones dadas corresponden a las raíces de la ecuación carac-
terística AJ = 0 (raíz de multiplicidad 2), A2 = i y A3 — — i, 
respectivamente. Por tanto, 
A2(A - ¿)(A + I) = A2(A2 + L) = O, 
o bien 
A4 + A2 = 0 
es la ecuación característica de la ecuación diferencial 
iv 11 y + y" - 0. 
lae^a). + -Xe{1~2i)x 
2 2 
Solución. En vista de que xex eos 2x -
la solución particular dada corresponde a las dos raíces complejas 
conjugadas Ai)2 = 1 ± 2i de cierta ecuación característica. Ésta es 
(A — 1 — 2í)2(A — 1 + 2if == 0, 
o bien 
A4 - 4A3 + 14A2 - 20A + 25 = 0. 
Sólo nos queda escribir la ecuación diferencial requerida 
yiv - 4y" + Uy" - 20y' + 25 = 0, • 
< Solución. Hallemos primero las raíces de Ja ecuación caracterís-
2 a a2 
tica A + aA -f o -- 0, Tenemos Ai ? — — ± i/ o. Analicemos 
^ 2 y 4 
ahora todos los casos correspondientes a los diferentes valores 
de a y b. 
SÍ a = 4b, la solución general es 
y = {Cx + C2x)e~ax/2. (1) 
Si a2 ^ 4b, la solución general es 
y = + C f c ^ (2) 
De (1) se deduce que para todo valor de a (real o complejo), 
todas las soluciones y no pueden estar acotadas. En efecto, si 
Re a > 0 la función y no está acotada para x < 0, si Re a < 0 la 
función y no está acotada para x > 0, y si Re a = 0 es evidente 
que la función y no está acotada. 
Analicemos ahora las soluciones representadas mediante 
la fórmula (2). Sea Re  < 0 o Re A2 < 0. Entonces no todas 
las soluciones (2) están acotadas para x < 0. Sea ReAj > 0 
ó Re A? > 0. Entonces no todas las soluciones (2) están acotadas 
para x > 0. Finalmente, si Re Ai = ReA2 =» 0, es decir, si 
Ai = iyi, A2 = i j2 Í7i / 72)' entonces Va; F (-oo, +00) todas 
las soluciones están acotadas. En efecto, en este caso todas las 
soluciones se representan mediante una combinación lineal de las 
funciones acotadas sen 71 a;, eos 712, sen72a*, eos 722. 
. De este modo, para que todas las soluciones estén acotadas 
deben cumplirse las condiciones 
a l a 2 a l a 2 , 
- - + y — - b = nú - 2 " V 4" ~ b ~ 1 7 2 ^ 72^ 
a partir de ias cuales hallamos que 
a = -i( 7j + 72), b = — 7i72/ 
donde 71 y 72 son dos números reales arbitrarios diferentes. En 
particular, si a es un parámetro real, es decir, 71 = —72, entonces 
todas las soluciones estarán acotadas para b > 0 (a = 0). • 
Jf" ir* w 
Solución. Utilicemos las fórmulas (1) y (2) para todas las so-
luciones del ejemplo anterior. En el caso (1) todas soluciones 
tienden a cero cuando x —• +00 si Re a > 0. En el caso (2) todas 
las soluciones tienden a cero cuando x —+ +00 si se cumplen 
simultáneamente las desigualdades Re Ai < 0 y Re A2 < 0. 
En particular, si a y b son parámetros reales, entonces en el 
caso (1) para a > 0 (6 = o 2 / 4 > 0) todas las soluciones tienden 
a cero cuando x —> +00. Esas mismas condiciones (a > 0, b > 0) 
también son aplicables al caso (2). En efecto, si b < 0, entonces 
una de las raíces Ai ó A2 será positiva independientemente del 
valor de a, es decir, eX:X ó e*2X +00 cuando x —• +00. 
Si 6 = 0, entonces la ecuación tiene una solución y = C / 0 
que no tiende a cero. De esta manera, es necesario que b sea 
positivo. Sea b > 0 y a ^ 0. Entonces la parte real de una de las 
raíces (Ai ó A2) es, necesariamente, no negativa; por consiguiente, 
bien eAl®, bien e*2* no tiende a cero cuando x —» +00. Nos 
a2 
queda por analizar el caso en que a > 0 y í > > 0 . S i 0 < ¿ > ^ 
entonces ambas raíces Aj y A2 son negativas y y —> 0 cuando 
o2 
x —> +00. Si b > —, entonces las raíces Ai, A2 son complejas 
4 
conjugadas y tienen las partes reales negativas; por tanto, y -+ 0 
cuando x +00. • 
- W ^ • • ; V, :- ; • , H
 :
 i; ••:
 :
: 
fft^iv^íwrf-^'ti.^-^^^'-1 : -.i. 
. i r 
- •-..--.: iii 
Solución. Las soluciones tienen la forma (1) y (2) del ej. 85. Es 
evidente que la fórmula (1) no describe las soluciones oscilatorias 
que se anulan en un conjunto infinito de puntos x para cierto 
valor de a. 
Analicemos las soluciones (2). Si Xx y X2 son raíces reales, 
entonces, como ya sabemos, la suma de dos funciones exponen-
ciales puede anularse sólo en un número finito de puntos a:. Sea 
a , 
ib ——, es decir, 46 > a . 
Entonces 
y = [Ci eos j X + C2 sen J b - j x \ e ^ / 2 -
A eos b - % - v ] e~a**2 
Como vemos, en este caso todas las soluciones (para valores 
arbitrarios de A y <p) se anulan en un conjunto infinito de 
puntos {a;*;}, donde 
7T 
+ /C7T 4- <f 
_ 2 (fc 6 Z). 
a 
4 
i 
• 
1 3 
Solución. Necesitamos hallar tales valores de los parámetros a 
y b que para todos los valores de Ci y C2 (constantes arbitrarias 
de las soluciones (1) y (2) de la ecuación del ej.85) se cumpla la 
condición 
lim (y(x)e*) = 0. (1) 
X~'+OG 
Si a2 = 46, entonces conforme a (1) tenemos 
lim ((Cj + C2x)e{l~a/2)*) m 0. 
Z ->+OG 
Es evidente que esta expresión se cumple para las constantes 
arbitrarias C\ y C2 solamente bajo la condición R e f l - ^ J < 0 
ó Re a > 2. 
Cuando Ai ^ X2 la condición (1) adopta la forma 
lim + C2eiX2+1)x) = 0. x—>+co 
Para valores arbitrarios de Cx y C2f la expresión anterior es 
equivalente a las condiciones 
lim e(Al+1)x = 0 y lim e(A2+])x = 0. (2) 
ar—>+oo x—>+oo 
De aquí se deduce que esto último es posible solamente cuando se 
cumplen de manera simultánea las desigualdades Re (Ai -f 1) < 0 
y Re (A2 + 1) < 0. 
Si a y 6 son parámetros reales, entonces estas últimas 
desigualdades se pueden escribir de forma más explícita. 
a2 
Supongamos que b < —. Entonces Aj y A2 son raíces 
reales y si Ai < 0, entonces A2 < 0. Por consiguiente, obtenemos 
las condiciones 
a2 
& < - , - — 6 < 0, (3) 
para las cuales se cumplen las expresiones (2). Resolviendo 
conjuntamente las desigualdades (3), obtenemos la condición 
para que se cumpla la expresión (1): 
a2 
a >2, a - 1 < b < 
4 
a2 A a I a2 
Sea o > —. Entonces Ai2 = — ± t\ o , y las 
4 ' 2 V 4 3 
a 
expresiones (2) se cumplen si — - + 1 < 0 , o bien a > 2. 
De esta manera, si a y fe son parámetros reales, la expresión 
señalada en las condiciones del problema se cumple para a > 2 
y b > a - 1, es decir, cuando 2 < a < 6 + 1 . • 
a2 
Solución. Analicemos 3 casos. Supongamos que b = —, Enton-
ces la solución del problema tiene la forma 
* - ( ¿ a ) 
Es evidente que a debe ser positivo, de lo contrario y y no tenderá 
a cero cuando x —+ + oo. Por consiguiente, a = 2 Vb, 
Supongamos ahora que a > 2Vb. Entonces la solución del 
problema es 
m . (-X1e"' + A,e-B I) ¿ e " 0 ' / 2 , (2) 
Finalmente, si 0 < a < 2Vb, entonces 
y$ = ( -—senlü\x + cos^x^j e~ax>'2, Ui~\¡b——. (3) 
Nos queda comparar las soluciones (1), (2), (3) para valores 
suficientemente grandes de x > 0. Sea x —*• 4-00. Entonces 
tenemos las siguientes fórmulas asintóticas para las soluciones 
(1), (2) y (3), respectivamente: 
yi = y2 = 0(e^a>2>*), m = o(e-°"2). (4) 
En vista de que 
lim ——yr = lim xe~x(VE~af2) = o, para a < iVb, 
X - M o o e flI'¿ x~*+oo 
se cumple que %e~x —• 0 más rápido que e'ax;2. Además, en 
virtud de que 
lim = lim = 0 a > 2VÍ, 
obtenemos que también xe~x—% 0 más rápido que €íw"a/2)*% 
De esta manera, a partir de (4) se deduce que la solución (1) 
correspondiente a a = 2v/6 tiende a cero cuando x -+ -l-oo más 
rápido que las demás soluciones. • 
Solución. Señalemos que las notaciones x,x se utilizan en 
mecánica e, indican las derivadas de primer y segundo orden 
respecto al tiempo. 
r\ 
Dado quela ecuación característica A 4- A + 4 = 0 tiene 
las raíces Ai 2 = — - ± i — e n t r e las soluciones de la ecuación 
2 2 
homogénea no existe ninguna solución periódica, salvo la solución 
1 Vl5 
idéntica a cero. Como ico — ± i , buscaremos la solución 
2 2 
particular en la forma x = Ae . Tenemos: 
iut 
A = 
4 + iu) — u2' 
Separando las partes real e ima-
ginaria del factor A, obtenemos 
la expresión 
A — A\ + iAz, 
donde 
x 
4 + ico — w2 
i A 
O O) = 00 O) = 0 
Ai = 
4 - tf 
A, = -
(4-u2)2 + u>2' 
u> 
(4 - w2)2 + Lü2 ' 
1 
V(4 - w2)2 + w2 
0 < u) < +00. 
o) — 2 
Fig.2 
Hallemos los extremos de las funciones A\,A2 y \A\ de la 
1 r - . 1 
manera usual. Tenemos: ^imáx = ;r, P a m — v2; Ai m,-n = — 3 5 
. • . • • . .•_•.' .• -I UVf.W .4J.1rH. I H.-Y11.•.1 • I * 
/ ? A n r h + Vm para w2 = V6; A2 mín « -0,5, para w3 = W « 1,94; 
Ulmáx « 0,51, para a; = 
Calculando además A2(wi) « -0,23, j42(ü;2) « -0,22, 
1 
Aifo) « 0,1, lim Ai = lim ^ = 0, lim A2 = 0, oi->+0 4 W-++0 
lim A2 — 0, obtenemos los datos necesarios para esbozar el 
U)~•foo 
gráfico de la amplitud en el plano € (fig. 2). • 
Solución. Partiendo de la solución general 
« 
y CxeXlX + C2ex*x 
de la ecuación homogénea, y aplicando el método de variación de 
las constantes C\ y C2, obtenemos la siguiente expresión para la 
solución general de la ecuación no homogénea 
ex*x f y = Cxe lX + C2eXlX + - / f(x)e~x>x dx -
M — J 
•1 A-
f(x)e~x*x dx. (1) 
Por cuanto las integrales impropias 
X X 
Je Í f(s)e~ ds, J f(s)e~ 2$ ds 
-OO -00 
convergen absolutamente en virtud de la estimación 
X 
me -Al 8 
-oo 
ds < m ds, 
-00 
entonces podemos escribir la solución (1) de forma más compacta: 
X 
y = CieM* + C2ex*x + 
f{s) 
Al — A; 
Ai(s-s) _ A2(a;~s) ) ds = 
— OO 
+00 
C\ex*x + C2eXlX + 
Ai t a\2t 
/
e "1" — e 
f(x -t)— -—dt. 
Ai - A2 (2) 
o 
Dado que se cumple la desigualdad 
+00 
f f(x-t) 
eAxt „ eA2t 
Ai - A2 
+00 
dt 
o 
< m 
Ai i _ eA2t f e 1 -
J "aT-
m 
dt~~-
A2 Ai A2 
m 
T' 
o 
a partir de (2) se infiere que la solución particular de la ecuación 
dada, acotada para x (E (—oo, +00), es 
y 
+00 
= / / ( a - t ) 
eAií _ eA2f 
Ai - A2 
dt. (3) 
o 
Es evidente que C\eXlX + C2eXlX O cuando x —* +00; por tanto; 
a partir de (2) se deduce que todas las soluciones tienden a la 
solución particular (3) cuando x +00. Finalmente, cambiando 
en (3) x por x+T, donde T es el período de la función / , resulta 
+00 
/
gAií _ gA2í 
Ai — X2 
o 
+00 
= f / ( * - « ) 
o 
eXlt - eAzí 
Ai - A2 
dt = y(x). 
Por consiguiente, la función y también es T-periódica. • 
§4. Ecuaciones diferenciales lineales 
con coeficientes variables 
4.1. Ecuación diferencial lineal de n-ésimo 
orden con coeficientes variables. 
Funciones linealmente dependientes. 
Determinante de Wronski 
>* 
Se*'denomina ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden con 
coeficientes variables la ecuación de la forma 
donde ip, {i = 0,71) son funciones conocidas. Si y\{x) es 
una solución particular de la ecuación (1) para <p = 0, entonces, 
mediante los cambios de variable y = y\z(x), z'(x) = u(x), se 
puede reducir el orden de la ecuación (1) para 0. Las funciones 
y¡ (i = 1, n) se denominan fundones linealmente dependientes en el 
segmento [a, 6] si existen ciertas constantes ce, (i = 1, n), no todas 
iguales a cero, tales que en el intervalo [a, b] se cumple la identidad 
+ «23/2 +... + ctnyn = 0. (2) 
Si la identidad (2) se cumple sólo para ai = a 2 = . . . = 
an — 0, entonces las funciones señaladas se denominan funciones 
linealmente independientes en el segmento [a, &]. 
£1 determinante 
se denomina determinante de Wronski. 
4.2. Criterio de independencia lineal 
de las funciones 
Si las funciones y\, y2, .. - ,yn son (ra — 1) veces diferenciables y 
linealmente dependientes en el intervalo cerrado [a, 6], entonces 
W(x) = 0 en [a, b]. 
Si las funciones linealmente independientes y\, yi,..., yn 
son soluciones de la ecuación lineal homogénea 
y^J- Pi(x)yin-1} + ... + Pn{x)y = 0, (4) 
donde P¿ (j = 1, n) son funciones continuas en el segmento [a, b], 
entonces W{x) ^ 0 en [a, 6]. 
La solución general de la ecuación (4) para x <E [a, b] es la 
n 
combinación lineal y — N j C¿i/¿(a;) de las soluciones particulares 
t=i 
linealmente independientes y¿ de dicha ecuación. 
4.3. Sistema fundamental de soluciones 
Se denomina sistema fundamental de soluciones de una ecuación 
lineal homogénea de n-ésimo orden un conjunto de n soluciones 
particulares linealmente independientes. El sistema fundamen-
tal de soluciones determina completamente la ecuación lineal 
homogénea (4). Esta ecuación tiene la forma 
yi yi yn y 
y[ y'i y'n y' 
y i 
(n-l) a >-l) 
Vi 
Vi 
(n) (») 
Vz * * 
(n—1) yn 
(n) 
2/n 
y (n-l) 
y (B) 
= o. (5) 
4.4. Fórmula de Ostrogradski—Liouville 
Si en (3) y\fyi,... ,yn es el sistema fundamental de soluciones 
de la ecuación (4), entonces para el determinante de Wronski es 
justa la fórmula de Ostrogradski—Liouville 
donde xq E [a,b], x € [a, b]. 
4.5. Solución general de la ecuación 
diferencial lineal no homogénea 
con coeñcientes variables 
Si se conoce la solución general de la ecuación homogénea, 
entonces la solución general de la ecuación no homogénea cuyo 
••• v ! r 
••• ' i i 
t i l - r i ; . I I I h 
I 1 - 4 x ^ 1 -
• ' . i , - • • • 
segundo miembro es continuo en [a, 6] se puede hallar aplicando 
el método de variación de las constantes (v. sec.3). 
4.6. Ecuación de Euler. Ecuación de Chébishev 
La ecuación diferencial de la forma 
se denomina ecuación de Euler. Mediante el cambio de variable 
ax 4- b = ±e f , esta ecuación se reduce a una ecuación con 
coeficientes constantes. Para a — 1, 6 = 0 la ecuación de Euler 
toma la forma 
x Vn) + «,aB-yn-,) +.• + a^xy' + any = 0 
que también se denomina ecuación de Euler. 
La ecuación 
(l - x2)y" - xy -f n2y = 0 
se denomina ecuación de Chébishev. Efectuando el cambio de 
variable x — eos t se obtiene la ecuación 
dy ? 
4,7. Ecuaciones diferenciales de segundo orden 
Entre las ecuaciones de órdenes superiores de aplicación frecuente 
un lugar importante lo ocupa la ecuación diferencial lineal de 
segundo orden de la forma 
/ + Px{x)y 4- P2(x)y = 0, (7) 
donde Pi y P2 son funciones continuas en (a, b). Mediante el 
cambio de variable 
y = exp - \ f PM áx\z{x) 
esta ecuación se reduce a la forma canónica 
dzz 
dx2 4- J{x)z = 0, (8) 
donde 
J(x) = P2(x) - \P[{X) - L-P¿{X). 
Aquí se considera que P\ £ C (a, 6). La función J se denomina 
invariante de la ecuación (7). 
Toda ecuación de segundo orden 
PQ(x)y" + P\{x)y' + P2(x)y = 0 (9) 
con coeficientes continuos en {a, b) se puede reducir a la denomi-
nada forma autoconjugada 
d ( dy\ ' P ( x ) + q(x)y = 0 (10) dx \ dx 
mediante la multiplicación de sus términos por la función a, 
donde 
4.8. Relación entre la ecuación diferencial 
lineal de segundo orden y 
la ecuación de Euler—Riccati 
Si en (7) hacemos y1 — yz(x) obtenemos una ecuación de Euler— 
Riccati 
= -z2 - I\(x)z ~ P2{x). (12) 
Recíprocamente, la ecuación de Euler—Riccati 
y = P(x) + Q(x)y + R{x)y2 
se puede reducir a una ecuación diferencial lineal de segundo 
orden mediante el cambio de variable 
y = " d h - ( 1 3 ) 
4.9. Reducción de la ecuación diferencial lineal 
de segundo orden con coeficientes variables 
a una ecuación con coeficientes constantes 
A menudo la ecuación (7) puede reducirse a una ecuación con 
coeficientes constantes. Si tal reducción es posible, ésta se puede 
efectuar solamente mediante el cambio de variable 
t = * f y / m 
donde t es la nueva variable independiente. 
(14) 
4.10. Acerca del comportamiento asintótico 
de las soluciones de las ecuaciones 
diferenciales de segundo orden 
c 
Si se cumple |/(í)| ^ para ¿o ^ t < donde C > 0, 
a > 0, son constantes, entonces la ecuación diferencial 
y" + (1 + f(t))y = 0 
tiene dos soluciones linealmente independientes 
V\ (¿) = eos í + O ( ~ , , 
y2{t) = sen¿ + 0 i t« 
cuando í —> +oo, 
y la ecuación 
posee las soluciones