Solucionario_Fisica_I_y_II_Leyva

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IMPRESO EN EL PERÚ 
01 - 0 1 -2012
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del autor y Editor.
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El presente solucionarlo Física 1 y II de Leiva, es un aporte a los estudiantes que 
aún quedan con la curiosidad de saber más sobre cómo interpretar las ciencias físicas 
en sus diversos problemas.
Éste texto es un humilde complemento al texto Física de Leiva que tiene un buen 
contenido utilizado por los estudiantes de ingeniería a nivel nacional e internacional, el 
cuál recomendamos en un 100% como lectura obligatoria.
No obstante éste solucionario en su primera edición desarrollado al 80% es un 
avance en lo que respecta a presentación y sistema didáctico de presentación dirigido 
a todos los niveles de la educación que se encuentren involucrados en ésta rama.
El solucionario está desarrollado en su mayoría de aportes de profesionales que 
en sus pasos de enseñanza por las principales universidades, otorgan a la editorial 
para publicarlo bajo la supervisión y apoyo del Dr. Eduardo Espinoza Ramos, quien 
orienta en ciertos aspectos de la publicación.
SOLVER-EDK® es una marca registrada por Edukperu® con todos los derechos 
reservados utilizado para la publicación de solucionarlos de textos importantes en el 
nivel universitario de las diversas carreras.
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VECTORES c SOLVER EDK «
Se pide demostrar que si el módulo de la suma y diferencia de dos vectores en el 
espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer 
por componentes.
Piden:
Si |A-B|=|A+B|-» A y B son perpendiculares.
Sea A=(Ax,AyA )B= (Bx,By,Bz)
| (Ax-Bx, Ay-By, a z-Bz ) |=| (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz) |
j(A x-Bx)2+(Ay-By)2+(Az-Bz)2= J(Ax+Bx)2+(Ay+By)2+(Az+B;,)2
Ax+BX-2AX Bx+Ay+ By-2Ay By+A2+B¡-2AZ Bz=Ax+Bx+2AX Bx 
+ Ay + By + 2Ay By-f Az + B2 + 2 Az Bz 
4AxBx+4AyBy+4AzBz=0 
Ax Bx+Ay By+Az Bz=0 
AB=0
Si A.B=0—>A y B son perpendiculares
Demostrar que:
(PxQ) (RxS)+(QxR). (RxP)+(QxS)=0 
Usar la relación: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q)
La demostración es inmediata usando la relación brindada. La idea es formar a partir 
de la relación los sumandos que piden demostrar, al sumar dichas ecuaciones se
www.eduKperu.com I B lUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
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encontrará con ciertos valores negativos que podrá sumar igualando a cero la 
expresión.
Dado los vectores P=(2,-l,l) y y Q=(-l,2,2)y R=(l,-2,a)
Cuánto debe valer a para que los vectores sean coplanares.
jC T lrfg filM
P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0
i j k
____________ lÉ O K ) .................................................................................................... '________ ACTORES
Resolviendo QxR= =(2a+4,a+2,0)- 1 2 2 
1 -2 a
P.(QxR)=(2,-l,l)(2a+4,a+2,0)=0
=(2(2a+4)-(a+2)+0)=0
a=-2
Simplificaíx(Axí)+jx(Ax])+ío<(Axk)r:
jcrnTírarsTM
Tenemos:
!x (Axí)+ jx ( A x j)+ kx(Axj)...(a)
Resolviendo aplicando la propiedad 
P x (Q x R)=Q(P. R)-R(Q.P)
De (a):
i x (A x Í)+J x (A x J)+k x(A x j)
A í^ 0 )°+ A (J. j)1-J (A . I ) 1+ A jJ^ °- Í(5 ^ )U=2A
^|J| Si P+Q+R=0 , Demostrar quePxQ=QxR=RxP:
^ im iw rn
P+Q+R=0....(1)
2 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II' www! édükperu ’ com
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Piden demostrar que PxQ=QxR=RxP 
Hallamos PxQ, Sabemos por (1)
Que Q=-P- R
=*PxQ=Px-1 (P+R)=-PxP-PxR 
=-PxR=RxP 
Para QxR=Qx(-Q-P)=-QxQ-QxP 
=-QxP=PxQ 
PxQ=RxP=QxR
|j||| Simplificar (PxQ).(QxR)x(RxP)
VECTORES
Simplificando utilizando la propiedad 
AxBxC=B(A.C)-C(A.B)
A.(B x C)=C(AxB)= B.(CxA) 
A.nB=nA.B, A.B=B.A 
=>(PxQ. [ (QxK) x(RxP)]
=>(PxQ). ¡R(QxR) .P-P(QxR) . R]
=> (PxQ). [R P(QxR)-P R(QxR)]
R (QxR)=0 ya que R IQ xR
=>=(PxQ)[R P(QxR)] 
=[P.(QxR)][R.(PxQ)]
=[P. (QxR)] [P. (QxR)]
=[P.(QxR)]2
íf ¡| Demostrar: (PxQ).(RxS)=(PxR).(QxS)-(PxS).(Q xR)
( ~ SOLVER EDK «
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» SOLVER EDK VECTORES
Queremos probar que:
(PxQ). (RxS)=(PxR) (QxS)-(PxS) (QxR)
Por propiedad A(BxC)=C.(AxB)=B.(CxA)
=> (PxQ). (RxS)=R. (SxPxQ)
=r. [p (s .q )-q (s .p )]= (r .p ) (s .q )-(r .q ) (s .p )
Ordenando
(PxQ).(RxS)=(P.R)(Q.S)-(P.S)(Q.R)
Teniendo en cuenta las propiedades 
Px(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)
P.(QxR)=R.(P.Q)=a(RxP)
P.P=0 y PxQ=-QxP
(PxQ). (RxS)=S[PxQxR]... .(1) 
(Q.R).(PxQ)=P[QxQxR] .. ..(2) 
(R.P).(Q.S)=S[RxPxQ].... (3)
De (1) 
De (3) 
De (2)
S.[Q(P.R)-R(P.Q)]=(S.Q)(P.R) (S.R) (P.Q )... (a) 
S.[-PxQxR]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q) .. .(p)
P[QxQxR]=0 
Ya que QxQ=0 
Sumando (a) y (P) Tenemos.
(PxQ)- (RxS)+(QxR)(PxQ)+(RxP) ((Q xS)=0
Demostrar que los vectores P= (2,8,0) ,Q= (-2,3,8) Y R=(0,6,-4) Pueden ser los
lados de un triángulo. Hallar las longitudes de las medidas triángulo.
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VECTORES SOLVER EDK «
Para que los vectores puedan ser lados de un triángulo tienen que cumplir: 
RP+PQ=RQ
RP=(2,2#4) PQ= (-4, -5, 8)
RP+PQ=(-2, -3,12)=RQ 
••• Por tanto estos vectores si son lados de un triángulo.
Tenemos el siguiente triángulo:
P
Hallamos las longitudes de las medianas:
RO-RQ--PQ
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» SOLVER EDK J VECTORES
PN=^RQ-RP
Los componentes de las medianas son: 
PN=(-3,~,2)
RO=(0,-i,8)
QM=(3,4, -10)
Entonces las longitudes serán:
L,=|PN |=5,02 
l2=¡r o |=8,oi
L3=|QM|=11,18
Q
agm urgtüar
Teniendo en cuenta los triángulos PQR y PRS, tendremos que N y M son baricentros 
respectivamente.
Dado el paralelogramo PQRS donde T Y L Son los puntos medios de los lados QR
Y PS respectivamente. Demostrar que PT Y PL dividen a la diagonal PQS entres 
partes mediante los puntos M Y N.
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VECTORES SOLVER EDK «
Por lo tanto ON=^ÑQ....(l) y ■ MO=^SM....(2) probado en el problema 42 
de los problemas resueltos.
Pero O divide en la mitad al vector MN, teniendo ^~=ON=MO...(3)
De (1), (2), y (3) obtenemos que:
m n =ñ q =sm
Tomando MP=MA+AP pero MP=^BA+^AD 
Pero sabemos que: BA+AD=BD 
=>MP=^BD
De esto tenemos queMPIIBD 
Ahora tomamos el vector NO tenemos NO= NC+ CO
ÑO=^BC+^CD
Pero BC+CD=BD 
Tenemos que
ÑO=^BD
De esto obtenemos que NBIIBD 
Como ÑBHBD y MPIIBD 
Entonces NBIIMP y NB=MP
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>> SOLVER EDK 3 VECTORES
Lo mismo procedemos con los otros vectores:
Por lo tanto:
MNHPO y.MN=OP 
ÑBIIMP yÑB-MP
f t Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un
punto y se llama incentro y corresponde al centro de las circunferencias inscritas al 
triángulo.
Tenemos que demostrar que AM.OM=BN.ON=AP.OP=C) 
AM.OM=ÁM.(ÁM-ÁB)
=AM. AM-AM. AO... (a)
La Proyección de AO sobre AB es 
AO.p=AO cosa pero AM=AO cosa 
=>AO.p-AM
En (a):
Luego:
ÁMlOM
De igual forma se puede demostrar que:
BN.ON=0 y AP.OP^O 
En el triángulo AMO y APO usamos la Ley de Senos
HSOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
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VECTORES SOLVER EDK «
i - - • °MI -|OM|=|AB|senasen 90 sen a 
|ÁO| |ÓP| -|OP|=|AO|senasen 90 sen a 
Luego |OP|=|OM|=R 
De igual forma se demuestra que |OP|~|OM|=R
¡y VIH Mi
Del triángulo formado por los vectores 
P,Q,R
Por ley de senos tenemos
_ P ___Q R
sena sen0 ~ senoc(180-Q)
QP=-- - , oc=Q-0sen0
Q=$?=-- -(sen0 cos0-sen0cos0)sen0
=>P=Qsen0-Qcos0
vw. ^ cofn.' SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
l
Dado los vectores P Y Q , que forman ángulo 0, demostrar:
QsenG
tan0=— —-- -P+Qcos0
donde 0es el ángulo entre la resultante y el vector P .
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» SOLVER EDK VECTORES
=»tan0=
Qsen0 
P+Q cos0
Dado los vectores P yQ;R=mP+nQ, talcomo se indica en la figura. Si P =3, Q = 5 
y R =10. Hallar la relación: m/n.
Tenemos los módulos de cada vector: (P)=3 (Q)=5
Para los vectores que suman R deben de ser iguales, entonces:
(nQMmP)
¡Q|_m
ÍT"
m 5 
n 3
Se dan los vectores P yQ forman un ángulo agudo tal que sen0= 3/5. Si el módulo de 
P=16 y sabiendo que P es ortogonal a(P-Q) : Hallar el módulo de Q
JEffllKTOTgW
m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV II www. ecj uk perú, con
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VECTORESr ~ -
SOLVER EDK «
Según el dato Pl(P-Q)=> =90° de la parte sombreada, por ley de senos tenemos:
P O
sen (90-0) sen90 
P
=>0=sen53° =20
© Las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros de lado a. (a) Hallar 
el ángulo que hace cada lado con la cara opuesta, (b) La distancia de un vértice a la 
cara opuesta. Hacerlo por vectores.
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» SOLVER EDK »
VECTORES
a=|ÁB|=|BC|=|CD|=|BD|=|AD| 
El área de la figura sombreada será:
,— — ,. senO 
A=|BD|.|DM|— -
MA+AD=MD
^MA+AD=MD
Si “O” es baricentro:
|MD|=Jr3|AC|
— 2— > 
OD=~MD
El
COSO
|o d | _ | | m d | 2/ í ^ | a c | 
: |B D f | Á C r 3 V2 |AC|
V3
Cos 0=- 
0=54,73°
Y la altura será: h=a sen(54,73)
h=0,81 a
© Sea PQRSTM los vértices de un hexágono regular. Hallar la resultante 
representados por los vectores. PQ , PR, PS , PT, y PM .
I SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I
de las fuerzas
vvww. ed ukperu. co m
v e c to re s C SOLVER EDK «
Q
Haciendo coincidir el punto P con el origen de coordenadas y considerando el lado 
de longitud a.
Tenemos:
PQ=acos60+a senóOj 
PR=a senóOj+a senóOj 
PS=2acos60Í+2a senóOj 
MS=(a+a cos60°)í+a senóOj 
PM=ai
Sumando en X y Y tenemos
PQ+PR+PS+MS+PM=3 a i+6a senóO]
6a cos60i+óa sen60j= 3PS
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» SOLVER EDK 3. VECTORES
% Demostrar que el polígono que resulta de unir los medios de los lados de un 
cuadrilátero es un paralelogramo. Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular
aA= (l,l,l) y B=(2f3,-1).
Sea el vector P tal que |P|=1
P lB P IA
Si P±B y 1P±A—>P.B=0
P,A=0
P,B=(P1,P2,P3)(2,3r l)=2P1+3P2-P3=0...(l)
P.A=(P1,P2,P3)(1,1,1)=Pi+P2+P3-(I1)
Resolviendo:
Hallando K:
_ 4 K
P1=--KP2=KP3=3
|P|=1=JP?+PÍ + Pl
9 8 V26
P=±4=H-3,1)V26
Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular a A=(l, l,l)y B=(2,3,-l)
l
14 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II
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VECTORES C SOLVER EDK «
¡||p (a) Hallar todos puntos de que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo 
formado por los otros tres vértices A = (1,0,1), B = (-1,1,1) Y C = (2,-1,2) .(b) 
también hallar el área del triángulo ABC.
m m m m m
Siendo A, B, C y D vectores de un paralelogramo se cumple que A+C=B+D
En el paralelogramo se cumple A+C = B+D
Tenemos:
(2+P1,P2,P3+2)=(0, 1, 2)
P1=-2 ,P 2=2,P3=0 
P=(-2, 2, 0)
Lo mismo se aplica para hallar los demás vértices, por tanto tenemos que: 
AC=(1, -1,1), AB=(-2,1, 0)
CB=(-3, 2, -1)
Sabemos que
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>> SOLVER EDK ) VECTORES
a a=q IACxABI
=¿ACxAB=
¡ j k
1 -1 1
-2 1 0
1i r r a/6
=*AA=-'Jb= —
Dos vectores P = (2,-3 ,6) y Q= (-1,2,-2) están aplicados a un mismo punto. Hallar 
las coordenadas del punto R que tiene la dirección de la bisectriz del ángulo 
formado por los vectores P y Q, Si R = 3a/42 .
Podemos relacionar de la siguiente arquitectura manera por gráfico
Ahora hallamos K tal que
RxQIIPxR
RxQ=K PxR.... (a)
¡RxQ|=|K PxR|
| R|| Q| sen0=K | P|| K| sen0
De (a) tenemos que
-2b-2c= (̂-3c-6b)
2a - c = 3/7 (-2c+6a) 
2a + b = 3/7(2b+3a)
3
- K=7
Resolviendo
a = -K
b= 5K 
c=4K
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvwvv.edukperu ¡
VECTORES
f~ _________________SOLVER EDK «
Su módulo del vector
Es
R=(-K, 5K, 4K)
3VÍ2
=>K2+2SR2+16K2=9V42 
K=3 
•*.R—C-3,15,12)
3 Si P+Q+R = Ó. Demostrar que PxQ+QxR+RxP=3PxR .
Teniendo en cuenta el problema 5) tenemos que 
PxQ=RxP=QxR 
^PxQ+QxR+RxP^PxQ
Hallar el área del triángulo c u y o vértices son los puntos A = (2,-2,3). B(1,-2)YC 
= (4,2,-1)
CA=(-2, -4,4) 
CB=(-3, -4,1)
Aa=1|CAx CB| 
Aa= ̂1(20, -14, -4)|
AA=Vl53
vAWv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II IBM
» SOLVER EDK D VECTORES
Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son P=(l,2,-1), Q=(3,4,-6) 
y R=(2,1,-3)
V=|P.(Q x R)| 
Q x R=
i j k
3 4 6
2 1 -3
(-6, -3, -5)
Se conoce los cosenos directos de dos vectores cuyos valores son
a|,a2,a3 y b1; b2, b3 . Demostrar que ángulo entre ellos es 6 y se obtienes de la
expresión cos0=atbi+a2b2+a3b3
Como tenemos los cosenos directores de los vectores, tenemos los vectores unitarios 
de ellos-,
V=^=-=(cosa, cosp, cos0)
W= 7̂ T=COOC', cosp', COS0' lwj
Entonces tenemos los valores:
V=(a1,a2, a3)
ggfgj SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1Y II vvww. edukperu. oo!Ti
E
VECTORES SOLVER EDK «
W=(b,,b2,b3)
Haciendo el producto escalar obtenemos el ángulo que forman:
V.W=(|V||\V|cosO
=cosO=(a,b,a2,b2, a3b3)
Dado el vector A y el escalar m , hallar el valor de B ,tan que A.B= m.
—iii]HWÍ»3 
Podemos dar la forma de:
B=A+A
Haciendo producto vectorial y considerando A=C se tiene: 
AxB=CxA+AA 
A.B=y||A2||
A.B
o it =y
B=CxA+ ip^r .A
IKII
Dos vectores Á y B tiene magnitudes iguales de 10 unidades. Están orientados 
como se muestran en la figura. Su suma es R=A+B. Hallar (a) los componentes 
de R. (b) el módulo de R. (C) El ángulo que forma R con el eje de los +x.
Lo dejamos como ejercicios para el lector, aplique los conceptos aplicados en los 
ejercicios aplicados en los anteriores ejercicios.
¡|p Dados los vectores A= (1,1,2).B= (1,3,4). C= (1,1,1) y P= (1,-5,1). Hallar los
valores de m, n y r para que mm-nB+rC=P.
Sean los vectores: A=(-l, 1, 2), B=(l, 3, 4)y C=(l, 1, -1)
' .-d jwu cosn SOLUClONARiO FISICA LE IVA 1 Y II
» SOLVER EDK VECTORES
Por condición del problema: 
mA-nB-rC=(l, -5,1)
Obtenemos las siguientes expresiones:
-m-n+5=l
m-3n+r=-5
2m-4n-r=l
En este problema utilizaremos cramer:
|Am| 
m= JA I
¡An¡ 
" |A|
|Ar| 
r |A|
Siendo A matrices 
Entonces
1 -1 1
-5 -3 1
1 -4 -1
-1 -1 i
1 -3 1
2 -4 -1
-17m=T
Lo mismo procede para n y r
-5
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VECTORES c SOLVER EDK <<
y
r=-4
Hallar el vector A= (2,-1,-4). Hallar el vector P, cuyo sentido es opuesto al 
vector A y su módulo es la cuarta parte de A.
Para que valores dém e R, el vector |m; -m, ^(m-l)J es unitario.
El vector |m,-m,^(m-l)j es unitario 
=¿su módulo = 1
Jm 2+m2+ ¿(m -l)2=l
33m2-2m-15=0
l±4V3lResolviendo: m= 33
Hallar el vector unitario que une el origen con el punto medio del segmento AB, 
donde A=(4,-l,l) y B=(2;l,l).
m m m m w
Sea el vector P tal que P||A y opuesto A A y|p|=l^ ,|a |=>/2T
Como P||A 3 K E R tal que (P i ;P2,P3)=-K(2, -1, -4)
=>P,=-2K
P2=+K
P3-4K
|P|=KV2T=^^K=74 4
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I
» SOLVER EDK VECTORES
.•.P=(P1;P2;P3)=(-2K;K, 4K)
=(0,5; 0,25; 1)
¡p Demostrar que un vector cualquiera A el espacio se puede expresar A= 
(A i, A. J, A. k)
- /
Mostramos los vectores en el siguiente gráfico:
Tenemos los siguientes componentes de A: 
A=(|A|jí|cos8;|A||j|cosa ;¡A|¡k¡cosy )
El producto escalar se define: 
A.B=|A||B|cos0 
=>A=(A.Í ,A.J,A.k)
Demostrar que un vector unitario cualquier Q en el espacio se puede :
Q= (eos a , eos p, eos y ) donde a, ¡3 y y son los ángulos que hace el vector A con 
los eje X , Y y Z.
m m m m
Cuáles son los valores de m y n para que A= (m,-2n,l)y =B= (n,-m,3) Son 
perpendiculares y A = 3.
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VECTORES
A lB —► A . B=0 
(m, 2n,l) (n,-m,3)=mn+2nb+3=0
Sabemos que
mn=l
A=3=V m2+4n2+l
9=m2+4n2+l , n=l/m
8m2=m4+4
m4-8m2+4=0
Resolviendo tenemos que:
m=j4±2V3
n=- 1±
Dado los vectores A y B déla figura: (a) Halla A.B (b) Hallar Axb.
De la figura
Los vectores están en el plano XY entonces tenemos
SOLVER EDK «
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■
23
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» SOLVER EDK D VECTORES
A(óV3cos30, 6V3 sen30°; 0)
Si el módulo de la suma de dos vectores A y B es 8 y los módulos de A
5 de y B =10 Hallar el módulo déla diferencia délos vectores.
|A+B|=8 y |A|=5 |B|=10 
Piden
I A-B¡=?
|A+B|=J|A|2+|Bj2+2|A||B| eos 0 =8
25 + 100 + 100 cosO = 64
r> 61eos 0 = - —
100
|a -b |= J|a |2+|b |!-2|a ||b | cos0 = 25+100-100 V 1 0 0 /
|A-B|=Vl80
Si el módulo de la suma de dos vectores es VÍ0 A=y V3 , B = 3. Hallar el 
producto escalar A.B
|a +b |=VTo, ¡a |=V3,|b |=3
Piden hallar A . B
|a +b |=VTo=^|a |2+Sb |2+2|a ||b | cosO
12+6V3 cos0=10 
-1
=»cos0=
3V3 '
Sabemos que:
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v-zww. éd ukperu. corn
VECTORES I SOLVER EDK «
A.B=|A||B|cosO
V3V3' 
.••A.B=-1
Si el módulo de un vector es A = 2 y el otro es de doble magnitud B = 2A, Si el 
ángulo que forman dichos vectores es 120°. Hallar el módulo de la suma de los 
vectores.
Piden hallar
|a |=2 |b |=2 |a |=4 
|a +b |=?
Si
|a +b |=J|a |2+|b |2+2|a ||b | cosO
0=120°
V4-16-16cosO=2V3
|A+B|=2V3
Dado dos vectores de un triángulo A= (1,1, 1), B= (l,-l,l) y C= (-2,1,-1). Hallar 
el ángulo que hacen los vectores AB yAC.
wvvw. cd u Kper u, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 25
» SOLVER EOK VECTORES
X
A
C
> y
Piden el ángulo =? t
AC=(-3, 0, -2)
ÁB=(0, -2,0)
AC.AB= |AC||ÁB|cos0 
0=Vl3.2 cos0 
cos0=O
.-.0=90°
Dados los vectores P, Q, R y S, que cumple la condición PxQ=RxS y Px R- Qx S .
Demostrar que el vector P- R .
Para que P-S sea paralelo a Q-R tiene que cumplir que: (P-S)x (Q-R)= O 
Demostraremos esto:
(P-S)x (Q-R)
(P-S)x Q-(P-S) x R
PxQ-SxQ-P-R+S-R
Por condición:
PxQ=RxS 
y PxR=QxS
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www. ed ykperu co m
VECTORES c SOLVER EDK «
y sabiendo que
AxB=-BxA
; tenemos
PxQ+QxS-RxS=0
.-.(P-S)ll(Q-R)
^ Dado los vectores A=(1,l,) , B=(-l,-a,a) y C=(a,l,-a). Cual el valor de a para que el 
volumen definido por los tres vectores de igual a 7.
^ ÍUH IHLU
Tenemos los vectores
A=(l, 1,1) B=(-l, -a, a)
C=(a, -1, -a)
V=7
=>BxC=
i j k
1 -a a
a 1 -a
=(a2-a, a2-a, a2-l)
A. (BxC(a2-a+ a2-a+ a2-l))=7
Resolviendo tenemos que
3a2-2a-l=7
3a2-2a-8=0
-4
a = 2 °-
wvwv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK
¡j} Dado los vectores A=(l,-2, 2) y B=(-2, 2, -3) . Hallar la proyección escalar y 
vectorial de B sobre A.
Siendo los vectores
A=(l, -2, 2)
B=(-2, 2,4)
Piden hallar
Proy escalar =? y Proy vectorial =?
B—Á
Proy escalar =
Proy. Vectorial
B^A
B.Á_2 
W 3
(B.Á)Á (2,-4, 4)
|A|2 = ^
Si P.Q=20 Y P=3 , Q=10 Hallar |PxQ| .
j B ü f
Tenemos que P.Q=20 y |P|=3 ,.|Q|=10 
Piden |PxQ|
P.Q= |P| jQ| cosO—>cosO= \ 
—>0=48, 20°
VECTORES
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II I m e d ukperu. cqm'
VECTORES SOLVER EDK «
Piden |PxQ|=|P||Q|senO 
=80 sen (48, 20)
|PxQ|=10V5
Si B paralelo a C y B. (Ax C) = 0 entonces demostrar C 
(PxB).
Tenemos que
BlICy B.(AxC)=0
Piden demostrar que
C.(ÁxB)=0 
B||C si 3 KeR tal que B=KC 
=>C.(AxB)=Á, (BxC)=A.(KCxC) 
=Á,K(CxC)=KA(CxC)=0 
=>C.(ÁxB)=0 
•••C±(AxB)
Si A es un vector en el plano y p7 un vector unitario A
WTOCT
Tenemos los siguientes vectores en el plano:
Los componentes en la recta del vector unitario es
|X||p|cosO=A.p
y la otra será
|A||p|senO=¡Axp|
•••A=(Á.p , |Axp ¡)
es perpendicular a
= (A.p, |Ax p|).
eclóK¡m u , corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK D
f t Demostrar usando componentes: Px(QxR) = Q(P.R)-R (P Q •
Primero calculamos
Ahora
QxR
QxR=
i j k
di q2 °i3
u r2 r3
=(q2r3-r2q3, r,q3-q1r3, q ^ - r^ )
Px(QxR)=
Px(QxR)
i j k
p, P2 P3
q2r3-r2q3 r,q3-q,r3 q1r2-r,q2
=( P 2 ( q , r2-r,q2)+( p3(q, r3-r,q3)
- ( p1(q1r3-rlq3)+( P3(q 2r3-r2q3)
-(P ^ q ^ - r^ H p2(q2r3‘r2Q3))
=( p2q irr p2nq2+ p3q ir3- p3riq3
- p, q i r2+p ir t q2+ p3q2'r3-p3i'2q3)
• p1q,r3+ p¡r,q3- p2q2r3* p2r2q3)
Si le sumamos y restamos el siguiente vector
SSsOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
VECTORES
www. edüKpgnrccrn
u=(q, r, p,,q2 r2p2,q3 r3p3)
=( P2q,r2- P2nq2+ P3Qir3- P3riq3+qlriql-q1riql ,
- p,q1r2+p,r1q2+ p3q2r3-p3r2q3+q2r2p2-q2r2p2,
- P lq,r3+ P,r,q3- P2q2r3- p2r2q3+q3r3q3-q3r3q3)
=( P2q,r2+ P3qir3+ q,riPi, P,iriq2+P3q2r3+q2r2q2,
p1r,q3+ p2r2q3+ p1r1q3+ q3r3p3)+
(- P2r,q2- P3riq3- q,r,p,,- p,q,r2- p3r2q3- q2r2p2,
-p1q1r3-p2q2r3-q3r3p3)
=(q, ,q2Jq3) (p, n +p2r2+p3r3)-(r1 ,r2,r3)(p ,q ,+P2q2+P3q3)
Sabemos que
P.R=(p1r,+p2r2+p3r3)
P .^ íp ^ ^ p ^ + p ^ g )
••• P(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)
© Se tiene un vector P, cuya tercera componente es 2, si P es perpendicular a 
(1,-2,1) y (-1,1,-2). Hallar el vector P.
VECTORES ( __________________ SOLVER EDK «
w w w eduR peru, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
I » SOLVER EDK D VECTORES
Jg iW IH liM r
P=(a, b, 2) 
P l ( í , -2, 1) y (-1 , 1 , -2)
=>P.(l,-2,l)=0
P.(-l,l,-2)=0
a-2b-2=0
-a+b-4=0
Resolviendo que
a=-6
b=-2
•••P=(-6, -2,2)
‘¡¡¡Ufy Si el vector R paralelo al vector Q xP y proyQ—>P=1 sabiendo Q
Hallar
Q.(PxR)
Piden hallar
Q.(PxR)
Por condiciones del problema:
R||QxP=>
el ángulo que forma o es 0o o 180°
Pi'oyQ_ p= 757=1
QP
|P|
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II
2, P=6 PY R =8.
www. ed ukperu, com
Q.P=|P|
De lo anterior hallamos que ángulo forman los vectores
Q y B
Q.P=|Q||P| cosa=|P|
|P| 1
cosa= ._T-r = - 
|Q||P| 2
=»oc=60°
Por propiedad
Q. (PxR) =-R. (QxP)
VECTORES____ _________
SOLVER EDK «
-R.(QxP)=-|r| |QxP| cos(180)
|r | |Qx p |
Tenemos que
Qx(PxR)=|R| |Q| |P|sena
= 8.2.6 sen60
.-.Q.(PxR)-48V3
^ Se dan los vectores en el espacio A = (l,l,l), B= (l,-l,l) y C=-2,l,-2). Hallar: (a)
AB.BC (b) ÁC x( AB-BC) (C) El vector unitario perpendicular al plano que pasa por 
los puntos A, B Y C. (d) El ángulo que hace el vector unitario de la pregunta, (c) con
www.aduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II 33
http://www.aduKperu.com
» SOLVER EDK D VECTORES
el vector D=(0,1,1). 48. Si Á es un vector constante y r es el vector que va del origen 
al punto (x,y,z) demuestre que (r-A). A=0 es la ecuación de un plano.
Sean los vectores A=(0,1, 0) B=(l, -1,1) y C=(-2,1,-2)
a) Piden ÁB.BC=(l, -2, l ) (-3, +2, -3)
. AB.BC=-3-4-3=-l 0
Piden ACx(AB-BC)=(-2, 0, -2)x(4, -4,4)
ACx(AB-BC)=
i j k
-2 0 -2
4 4 4
N=
=(-8, 0, -8)
=(4, 0,4)
i j k
-2 0 -2
1 -2 1
El vector unitario de N es
N 1 
P=T=77 = “7 = 0 / +1)N V2
D-P= cos0
COS0=
D.p
|D|IPI
De esto hallaremos 0:
9=cos- , J 4 í _ )
V|d ||p |/
1 / +1/V2\ 
0 = C O S ' '= (---- -=r
v i.V 2 y
0=60°
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY www. edukpeí u .com
VECTORES SOLVER EDK «
Si A es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x,y,z);
xr!+yr2+ zr3-(rf+r|+r|)=0
Tenemos que como Á es un vector constante y teniendo que rf+rf+r3=C
Se tiene xr!+yr2+ zr3=C
Que es la ecuación cartesiana del plano.
1^3 Considerando los mismos vectores del ejercicios anterior demuestre que 
(r-A).r=0;es la ecuación de la esfera.
Del anterior problema obtenemos:
ri+r2+r3“ xn+yr2+ zr3=0 
Restando y sumando factores para conseguir ecuaciones cuadráticas tenemos que
demuestre que (í-A).A=0 es la ecuación de un plano.
M m m m
Sea r=(rl;r2,r3) yA=(x,y,z)
Se tiene que (A-r)r=(x-r1; y-r2; z-r3).(r1; r2; r3)
Y siendo
x
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» SOLVER EDK 3 VECTORES
r3-r z
y C constante 
Se tiene
xf+y2+zf=C 
Que es la ecuación de una esfera
3 Si A+B+C=0 y A =3, B=5, C =7. Hallar el ángulo que forman AY B. 
Por ley de cosenos tenemos que
A+“B=-“C 
rr/~E\ IT 2I| A+ B|= C
Reemplazando:
=>C==WA2+B2+2AB c o s O
49-34=30 cosO
cosO= - =>0=60°
Si B,C y D determinan un plano, la distancia de A a este plano:
|(A-B).(C-B)x (D-B)[
|(C-B>(D-B)|
JgtílTOrtilMT
Cosenos B, C y D definen un plano se tiene
BSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. edukperu. com
VECTORES
SOLVER EDK «
La distancia de A al plano será
d(X plano)=ProyRBA
|(A-B).N|
Del gráfico
d
d(A, Plano)=
|1N,
N=(C-B)x(D-B)
|(A-B).(C-B)x(D-B)l 
A, Plano) j(C-B)x(D-B)|
j^ l Demostrar la mínima distancia de un punto
P i(X i,y1;Zi)
al plano cuya ecuación cartesiana en,AX+BY+ CZ+D =0
a m a w mP.CXpYpZ,)
r — -k N
Tenemos que la cartesiana es:
Ax+By+Cz+D=0 
De la cartesiana obtenemos N, siendo
ww w e d u Kd e r u. c o r n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
N=A,B,C
» SOLVER EDK_____________ ............................................................... VECTORES
La mínima distancia se halla:
m̂in —
d(P|, Plano)=ProyRPP,
|(PrP).N|
a (p,, Plano)“ j- j
|(Xr X, Yr Y,Zt-Z)-(A, B, C)|
dmin —
Va 2+b2+c2
A(Xi-X+B(Yr Y)+C(Zr Z)
J a2+b2+c2
Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadros de los diagonales de un 
paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.
JRTiW'WIil»
Piden demostrar |A+B|2=A2+B2+2AB 
|A-B|2=A2+B2-2AB 
De la galáxica
|D|MA|2y|B|M C|2 
=>|A+B|2+|A-B|2=A2+B2+C2+D2 
Si los números a, b, c y d son diferentes de cero y
aOA+bOB+cOC+dOD=0 y a +b+c+d=0. los puntos A, B, B C Y D Se encuentra en 
un plano. ( sugerencia usar: a +b = - ( c + d) y el prob. 39)
Jc ïïlIÎT iM W
38 SOLUCIONARIO FISICA L E IV A IY II www. eciukperu .ccm
VECTORES SOLVER EDK «
Demostraremos que A, B, C y D están en un mismo plano: 
Entonces; por condición
aÓA+ b¡ÓB+cOC+dOD=0...(l)
Si tenemos a
BA= OA-ÓB
En (1) reemplazamos:
aBA+ aOB+bOB+cOC+dOD=() 
aBA+ (a+b)OB+cOC+dOD=C)
Pero
a+b=-(c+d) 
aBA- (c+d)OB+cOC+dOD=0 
aBA+ c(OC-OB)+d(OD-OB)=0 
aBA+ c(BC)+d(BO)=0
Si los vectores
B A , BCy BD 
suman cero entonces definen un plano.
Demostrar que la distancia mínima del punto
P (X i^ )
a la recta Ax + BY+D = 0 en el plano XY es:
lAX^BYt+Dl 
d=--- 7= —
VaW
wvvw. edukpenj.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK VECTORES
Ojo la demostración viene de determinarla distancia a un punto cualquiera de la 
recta, la distancia mínima es cuando la proyección sobre la recta es cero, o sea 
haciendo sen0=O. Completa la operación.
La distancia a la recta sería
, IAXt+BYt+DI 
d=--- =====—
V a^ b 5
Si A B C D es un cuadrilátero cualquiera P y Q son los puntos medios de sus 
diagonales AC y BD, y M es el punto medio de PQ. Demostrar (a)
(ÁB) +AD+CB+CD=4 PQ
(b)
0A+0B+0C+0D=40M 
,donde O es un punto arbitrario.
i U M Í
PQ=AQ-^AC
PQ=AD-^BD-^AC
40 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eüukperu com
VECTORES SOIVER EDK «
Pero:
Entonces:
— » — » AB CB CD CB 
PQ=AD-— + — —+ —
— . -—. AB —. CD 
PQ=AD-— +CB- —
CD=AD- ̂ AB+ i CB
AB=BC+^AD-^CD
— , — . CB AD CD —.AD 1 — CB 
PQ=AD—-— — + — +CB -T- + — +AB- ——2 4 4 2 4 4
— AD CB CD AB 
PQ- ~T~ + ~T~ + ~~7~ + ~7~4 4 4 4
••• 4 PQ=AD+CB+CD+AB 
Trazando el vector AM, se tiene lo siguiente:
OM=AM+OA....a
Pero
ÁM=^ÁC+^PQ2 2
Hallando PQ por el resultado en a:
o
PQ AD+CB+CD+AB 
~2~ 8
Pero
Vwww.eduK.peru.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
http://www.eduK.peru.com
» SOLVER EDK 3
VECTORES
AD=OD-OA ,CB=OB-OC 
CD=CD-OC ,AB=OB-OA
PQ OD OA OB OC 
>~2~=~4 4 + 4 4
AC OC OA 
~2~ = ~2~~ 2
Reemplazando en (oc)
___, OC OA OD OA OB OC —*
om=_2 2~ + _4 4~ + _4 4~
___, OA OC OD OB
OM= — + — + — + —
.-.40M=0A+0C+0D+0B
Demostrar vectorialmente, que el baricentro, circuncentro y ortocentro de un
triángulo son colineales. (sugerencia usar en concepto de vectores paralelos).
i SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV II
www.edukpertu
http://www.edukpertu
VECTORES SOLVER EDK «
Sean los triángulos AOG y GOM.
Por propiedad del baricentro obtenemos que AG=2GM y por el teorema Simpson se 
demuestra que
AO=2CM
Por semejanza de triángulos tenemos que
OG=2GC
Por definición un vector es paralelo a otro si
v=kw
OG es paralelo con GC y coolineales a la vez.
Dado el paralelepípedo de base rectangular situado en el plano ZY, su altura a
lo largo del eje X .Hallar el volumen del mismo.(sugerencia hallar AxB.C).
Se dan los vectores del origen a los puntos A,B,C,D son 
A=í+J+K,B=2Í+3j;C=3Í+5 J-2K y D=K-J. Demostrar que AB||CD
Tenemos los vectores
www. ecJú KDér u, cor n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I
SOLVER EDK 1 VECTORES
A=(l, 1,1)
B=(2, 3, 0)
C=(3, 5, -2)
D=(0, -1,1)
AB || CD 
ABIICD
AB = KTD
ÁB=(1,2, -1)
CD=(-3, -6, 3)
Por lo tanto K=-3 
Entonces
3 KeR / *AB=:-3CD
3 Demostrar (AxB)xA.A=0 para todo A y B en tres dimensiones.
jcrmnrrgmTW
Sea
A y B
Piden demostrar
Entonces si
si 3 K6R 
tal que
De aquí tenemos que
HSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu co n
VECTORES c SOLVER EDK «
vectores en tres dimensiones, piden demostrar
(AxB)x A. A=0 
Por propiedad 
AxBxC=B(A.C)-C(A.B)
Y
A.B=B.A 
=»Á. (AxB)xA=A[B(A.A)-A(A.B)]
=(á .b ) (a . a )-(á a ) (a .b )=o
Dado un vector B=( 1,-2,2). Hallar el vector A tal que sean paralelo a B y de
módulo 9.
AIIB si 3 KeR/A=K B
^Á=(K, -2K, 2K)
Y su módulo 
|A¡=9
=>V91?=9 
=>K=3 .-.Á=(3, -6, 6)
www.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
http://www.eduKperu.com
» SOLVER EDK CINEMÁTICA
Un móvil recorre la mitad del camino del camino con la velocidad La parte 
restante la ase a una velocidad v2 la mitad del tiempo, y la velocidav3d el trayecto 
final. Hallar la velocidad media del móvil durante el recorrido.
Tenemos que d]+d2=- 
Para el primer tramo tenemos:
Luego
Entonces despejando:
Luego también tenemos
Pero
V3t2=d2
L
ti~2v;
t - L Æ Y ? )
2V] V!+V3
/ media - 3-(t,+t2)
...0)
46 SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
vvww. ad ukperu, coni
CINEMÁTICA SOLVER EDK «
4V1.(V2+V3) 
3(2V, +V3)
Un móvil se mueve según V = t2 - 9, V (m/s) y t (seg).Hallar la aceleración para
V = 27 rrvS.
■••a=2t...(l) pero piden cuando V=27 
=>Veamos 27+9=t2=>t=ó seg 
•••a=12m/s2
Un móvil se mueve con una aceleración a = 2t,a lo largo del eje x. Hallar (a) la 
velocidad para t =lseg.(b).El cambio de posición deO a lseg.Para t = 0, v=2m/s, 
x= 0.
m m m m
Tenemos que: V=t2-9 pero
Tenemos que a=2t pero
V(t)-V0= /J 2tdt pero V0=2m/s 
••■V(t)=t2+2
a) Piden para t=l seg b) análogamente tenemos que
V (l)= ^ /oxdx = /0tV(t)dt
www. edukper u. corrí SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK CINEMÁTICA
X = - +2t
=>X(1)=
Un móvil se desplaza a lo largo del eje x y su aceleración el tiempo como se 
indica en la figura. Para t = 0, x=0, v1xxVs. Hallar (a) distancia total recorrida desdi 
a 2seg.(b) La velocidad para 2seg.
Del gráfico tenemos a=tg60°.t= V3t , 
también tenemos X=0, t=0 , V= —
s
pero ^ =a /v̂ dv=/0tadt=>V-V0=:̂ L ^>V=1+y t2 •■••(*)
También ~ ~ v Í q d* — Íq vdt =>X = f l + ^ - - t 2 dt
X = t + ^ t 3...(*)
Piden
a )X (2 se9 ) = 4,31 m.
b) de (*) tenemos que V2 = 4,46 m/s
Una partícula a lo largo del eje x, su grafica de velocidad en función del tiemi 
se da en la figura para que valores del tiempo x = 0. Si para t = 0,x =2m.
jH n flra tiia r
Piden para que tiempo X=0
Veamos además t=-0=»X=-2m
Encontremos la ecuación de V en función de t
=>tenemos que V(t>
| 2 (2-t), 0^t22 
t-(t-4)-2, 2<t<4
Sabemos que: “ =V(t) dx=V(x)dt 
cuando 0 < 2
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y I www. ed ukperu, com
CINEMÁTICA c SOLVER EDK «
=> dx= I v(t)dt =»x+2=-t(t-4)
0<^2. ..(1 )
Ahora cuando
t>2 => dx= I (2-t)dt
X0 J 2
2 ^ 4 ... (2)
Gomo deseamos que X=0 =» (1) = 0 y (2) = 0 
=* en (1) 2=-t(t-4) =>t= (2-V2)seg
En (2) -2=-^-=>t=4seg
4
Una partícula se mueve en el plano X y Y sus graficas en función del son: Hallar la 
aceleración y la velocidad de la partícula para t = 3 segundos. Si para t =V3 ,x = 3
De acuerdo al gráfico, veamos que 
X=tg60°t y Y(t)=bt2 y por dato
Y(V3)=3=b(3)=»b=l 
X=V3t 
Y(t) = t2
Ahora de las oraciones del movimiento, tenemos:
r=V3~t í+ t2]
y
SOLUCIOÑARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK D CINEMÁTICA
_ dr
v= s
a) =>V=V3 í+ 2tj .-.V(3)=(V3j+6j)m/s
b) También a= ̂ =>a=2j m/s2
Se el gráfico de la aceleración en función del cuadrado de la velocidad, como se 
indica en el gráfico. Hallar la relación de la velocidad en función de la posición. Si 
para t = 0,x = 0,v = 3m/s.
Del gráfico tenemos que: 
a=-tg (37°) V2 =>a=-0,75V2
dv dv dvAhora tenemos que a= — = — .v =>a= — .v ...(*)
^ dt dx dx
En (*) tenemos que -0,75v2= ~ .v => /* -0,75dx = J3V~
=>-0,75x=Ln Qj) =>V=3eV=3c-'
Dado el vector posición de un móvil r(t)=(2-t2)T+(t3-t)j+(2t3-t2-l)k. Hallar (a) el 
vector unitario y tangente a la trayectoriadada, cuando t = 2seg. (b ) el módulo de 
la aceleración cuando t == 2seg.
.W
Tenemos que r(t)=(2-t2)í+t3-t)J+(2t3-t2- l)k
a) Veamos sea: V=^=>-2-tí+(3t2-l)J+(6t‘2-2t)k 
Sea V(2)=-4Í+lJ+20k
•••Ot=^=(-4,ii,2oW537
b) a=^=2Í+(6t)]+(12t-2)kdt
=»a(2)=-2Í+12Í+22k
■
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edticp8ru.com
http://www.edticp8ru.com
CINEMÁTICA
SOLVER EDK «
=>a=Vó32m/s2
Una partícula se mueve en el plano x y,de acuerdo a las relaciones 2X — —2seg3t, 
2V = cos3t. Cuando t - 0,x=0 y = 2vx = 4 m / sy v y = lm /s . Hallar la 
ecuación de la trayectoria, (b) la velocidad para t = nJ6 seg.
Tenemos que: ax=-2sen 3t , ay=cos3t,
Además Vx=4 , Vy=l m/s cuanto t = 0 , X = 0 , Y — 2 
Piden f=?
Veamos por la ecuación del movimiento á=-2sen3ti+cos3tj
dt
dv c - r _|a= — => dv= I adt
J(4 ,l) Jo
. . 2 ~ sen 3t.
=>y-(4i-lj= - ( eos 3t-l)i+ — j
/2 eos 3t-l 10\* /sen3t
Ahora V = ^ / (r02)dr = /otvdt
a) r-2j= (2 sen3t+ y ) í+ t+ i) j
/2 10t\„ /-cos3t 19\.,r=('-sen3t+ T ) i+(— t+- j j
b) De (*) tenemos que 
1C
Z1
10. 4. ,--v= — i+ -j=>V=Vll6/3
Desde un plano inclinado un ángulo a es lanzada una piedra con una velocidad v0 
y perpendicular al plano. A qué distancia del punto de lanzamiento caeésta piedra.
* * w eduKper u om SOLUCiONARIO FISICA LEIVAI Y II
» SOLVER EOK CINEMATICA
Como no existe resistencia del viento=>; este cuerpo desarrolla MPCL. Si nos regimos 
a la ecuación vectorial de este movimiento tendríamos d=V0t+-gt2. Haciendo la 
representación vectorial, tendríamos
También tenemos:
gsenoc
...(*)
-gt2sena=d
2Vna /sena\ 
^d=—£ -.[— - ) 2 vcos2a/
© ángulo debe ser lanzado un cuerpo cuyo peso es a), para que la altura máxima 
que se eleva sea igual al alcance del lanzamiento. También existe una fuerza f 
horizontal del viento que actúa sobre el cuerpo.
Ahora analizando en el eje “Y” como en eje se desarrolla un MPCL:
=̂ Vty=V0y-gt
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu. corrí
CINEMATICA
SOLVER EDK «
=*Vosen0=gt
=>t=
V„sen0
Vosen0 Vosen0 Vosen0 
=>H= ,t=-2—— .— —
H=-
V„2sen20
2g
Ahora en el eje “X”. Como dicha fuerza F, ejerce una aceleración en opuesta al 
movimiento
gF
Ahora
a=-w
1 gFdx=Vocos0t i --— t?
2 w
De (1) tenemos que t ^
De (*) y (***) H=dx
dx^VoCosOtT-ati
dx=
dx=
Vo2sen0cos0 1 gF VoSen20 
2g 8 w g2 
Vn2sen0 /cos0 Fsen0\) /cos0 hsentn
Vo2sen20 Vo2sen20 í cos0 Fsen20\ 
2g g V 2 8w j
=>cot0= ■
4w+f
4w
Dos personas están en un edificio, cuya ventana está a 250 pies. El primero suelta 
una piedra por la ventana dos segundos después la otra persona arroja otra piedra
wvvw. eduKperu, coro SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK CINEMÁTICA
hacia abajo por la ventana. Ambas piedras llegan al suelo al mismo instante. Cual 
sería la velocidad inicial de la segunda piedra. G = p/seg .
Sea H lo recorrido por B y A. => A
=>H=VoAt+igt2
H=Ígt2 
H=16gt2 ...(*)
Pero H=250 =>t=Ĵ =4seg 
Para la esfera B.
H=V(t-2)+¿g(t-2)2 
H=V (t-2)+16(t-2)2
250=V(2)-16(4) 
V=106 P/seg
V------------„ , r-,,.. , -7Ñ------- - www.edukpéru ;SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
CINEMATICA SOLVER EDK «
| Jn cuerpo es lanzado en el plano X Z, desde el punto A (4,0,0), con una velocidad 
inicial 10 m/s, bajo un ángulo de 60° con el eje X. la partícula es sometida además 
a una aceleración de un m/s2 en la dirección +z, Hallar posición del cuerpo a lo 
largo del eje x. Use g = 10 m/seg2.
De las ecuaciones del movimiento parabólico vectorialmente tenemos
d=Vot+^at2
-at2
2
También tenemos que aresul=10-4=6m/s(-k) 
1
Votsen60=-at2
2vosen60 
=>------- =t
...(* )
Luego
d=votcos60
www1. eckrkperu, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
» s O L v g ¡vS § g n 6 0 c o s 6 0 ) cinemática
---d= - —
a
•••d= 14.43 
•••x=18.43 m
Hallar con que velocidad vQ y 0= 60° es lanzada un proyectil tal que en el instante 
2seg, la velocidad forma un ángulo de 45° con la horizontal. Use g = 10m/s2.
v 0sen60
V0cos60
Asumiendo que aún sube: como el eje x se mantiene constante: 
=>Vx=Vocos60°
Vx= ̂ ■•••(*)
Vy=Vx= y •••(*)
Ahora analizando en el eje y, también para t=2
Vty=Voy-gt
Vo— =Vosen60°-(10)(2)
Vo=54,641
Un auto se mueve en línea recta, sobre una carretera a velocidad de 40 p/s. En 
cierto instante, el conductor ve un tren que empieza amoverse hacia la carretera
SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II wwvv, ed uk perú. corrí
CINEMÁTICA c SOLVER EDK «
desde la estación. El conductor cree puede adelantar ai tren sin cambiar su 
velocidad. Si la vía y la carretera forman entre si un ángulo recto, y el tren tiene una 
aceleración 10 p/seg2. Sobre vivirá el conductor para contar la historia. El auto 
esta’ inicialmente a 200 pies del cruce, mientras que la estación está a 130 pies.
v 0 = 40p/ s
= 0
130pies 
a = 1 0 p / s 2
Calculemos el tiempo que les tocará a cada uno: 
Veamos para el auto V= -
200
=>t. = — =5 seg v
Ahora para el tren =>d=V0tc+ ̂ at2
1
130= ~ at2
t2=5,099 seg 
Si sobrevive el conductor (pero por poco)
O Supongan que el alcance horizontal máximo cierto cañón con una velocidad inicial 
fija es de R0. (a) demuestren que la velocidad inicial de vQ asociada a este canon es 
de JgRQ- (b) supongan que este canon se encuentra al pie de una colina con un 
ángulo de elevación a y se dispara en un ángulo a con respeto a la colina.
Demuestren que la trayectoria del proyectil se puede expresar el siguiente sistema de 
coordenadas en la forma:
WWW.ecluKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
http://WWW.ecluKperu.com
» SOLVER EDK ) CINEMÁTICA
a) De la ecuación, vectorial del movimiento parabólico se tiene:
■R,
Vot= sen0
Vo= — . (* )
senGt
También tenemos:
1 0Votsen0= - gt2
=»t=-
2Vosen0
(**) en (* )
g 
(**) 
R0s
° 2sen0cos0 
Además para que Ro sen max=>0=45°
.*• Vo= jRog 
b ) Ahora analizando en el eje “y”, tenemos
V=Voyt-^gt2
Luego en el eje “x”
Reemplazando (** ) en (* )
=> Y=VQsen (0+a)t \ gt2 . . . (* )
X=t.VQ eos (0+a)
=>T= Vocos(0+a)
FISICA LEIVA I Y II vvww; ed ukperu, comSOLUCIONARIO
CINEMÁTICA
=>y=xt3(e+a)- 2RoC0s2te+aj
c SOLVER EDK «
Se lanza un proyectil con una velocidad inicial v0, bajo un ángulo 6. La altura 
máxima que alcanza es H y el alcance horizontal es R Hallar la velocidad inicial y el 
ángulo de tiro en función de H Y R.
f m
Como el cuerpo desarrolla un movimiento parabólico en el eje “Y”, en la parte más 
alta
V,y=Voy-gt
voy=gt
VosenG
...(a )
.(*)
Ahora para el eje “X”
Tenemos
••• Vox=Vocos0
-=t
Vosen20 lgV0sen28
=>H= g 2 g2 
04)VoSen20 / 1=>H= g
VoSen20
R=V0X.t, pero t,=2t 
R=V0X(2t) de (a)
Vosen0 
R=Vnv.2. —2——
www.eduKperu,corn SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I
» SOLVER EDK J CINEMÁTICA
....(**)
De * y (**) tenemos
2VoCos0sen0
V2=v n RS° 2cos0sen0
1 /4H\9=ts (t )
g(R¿+16H¿) i/2
8H
© Sobre un plano inclinado, cuy ángulo es 6 se halla un cuerpo B en reposo. Con que 
aceleración horizontal se debe desplazar el plano inclinado, para el cuerpo B tenga 
caída libre hacia abajo.
Como B desarrolla un MCL, veamos t seg, luego de su movimiento
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu. cor?;
*
CINEMATICA SOLVER EDK «
Del triángulo tenemos que:
También Y=VABt+ ̂ gt2
En (*) reemplazando tenemos
xtg6=y ...(* )
Y=^gt2 ...(**)
X=-cot0gt2 .... (a )
Ahora como la cuña inicia su movimiento d=VABt+-t2
X= 1t2= ̂ cot0gt2 =»a=cot0g
a>cot0g
Dos partícula se mueve con velocidad constantes vt y v2 por dos líneas rectas y 
normales, hasta que se intersecten en 0. En el momento t = 0, las partículas se 
encontraban a las distancias l x y 12 del punto 0, (a) Al cabo de que tiempo la 
distancia entre las partículas será mínima?, (b) cual será esta distancia mínima.
www. edukperu ■ corn SOLUCiONARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK CINEMÁTICA
O ^ ►
d. — m
\ 4 
. - Í v
Si tenemos la velocidad relativa de la esfera (2) con respecto a (1)
De acuerdo con la gráfica la mínima distancia será cuando
d=(l1.m)c o s 0 + ¿ ...(*)
Donde “d” es la distancia recorrida por la esfera (2) t= —
'2 + V ¡
v2/l
Pero tg0= v̂i m=
v2ig
v2
tmiii— "
V|1,+V2I.Vf+Vl
Del mismo modo se demuestra que:
X= (l1.m)sen0=
I Vol ,-V, 121
m ñ Un torpedo es lanzado desde el punto p en el instante que el barco enemigo se 
encuentra en el punto Q y navega con la velocidad 60 Km/h dirigida formando el 
ángulo de 60° con la línea PQ. La velocidad del torpedo es 120 Km/h. con que 
ángulo 6 hay que lanzarlo para que de en el blanco.
m m m \
Para que llegue alcanzarlo se tiene que cumplir que una de las componentes, la 
vertical en el mismo tiempo hagan la misma distancia.
Entonces tendremos:
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. écl ukper ú. com
CINEMÁTICA SOLVER EDK «
60 km 120 km
—-— sen60. t = — ;— -.sen6. t h h
Despejando tenemos senO = V3/4 Luego 6 = 25.6°
Un cuerpo p comienza a moverse con una velocidad inicial v1 y con la aceleración 
constante a1. Otro cuerpo Q comienza a moverse en el mismo instante que p con 
una velocidad inicial v2 y con la aceleración negativa a2. Cuanto tiempo 
transcurrirá desde el momento en que ambos cuerpos comienzan a moverse hasta 
que sus velocidades se igualan?
Para la primera tenemos 
Ahora para la segunda 
De (1) y (2)
V^Vj+ajt
Vf=V2-a2t
t_ V2-Vi
3| +a2
Un cuerpo es lanzado con una velocidad de 10 m/seg. Con un ángulo de 45° con la 
horizontal. Después de transcurrir 0. 75V2seg. Hallar la aceleración tangencial y 
normal. Use g = 10 m/seg2.
Ahora tenemos que
dv
Pero V(t)=V0cos45°Í+ (vosen0-gt)j
=>V=5V^+(5V2-10t)j
«¡UKO-.U co;t SOLUCIONARIO FISICA LEiVAI Y ¡I
» SOLVER EDK CINEMÁTICA
V=10(t2-V2t+l) ...(*)
dv_ 5(2t-V2)
••• at(0,75V2)=4,46 m/seg2
Ahora
de v2a =V.— = — 
n dt j
j =radio de corvatura del caso anterior, se tiene V, sólo necesitamos j
X2También Y=x-— , cuando X=7,5
1/2
r 3/2'♦<81
m
an=8,93 m/seg2
Relación al problema anterior. Halla el radio de curvatura que tendrá la trayectoria al 
transcurrir el tiempo dado.
V2
j=^
(*) , ahora
62,5
j=8¿ r 7m-
V2(0,75a/2)=62,5 m/s
Se conoce vector posición de un cuerpo f = -3t, -2tj Hallar (a) su
velocidad, (b) rapidez, (c) aceleración (d) el módulo de la aceleración.(e) el 
módulo de la aceleración tangencial (0 el módulo de la aceleración normal.
H SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v* /wedukperu - om
CINEMÁTICA c SOLVER EDK «
Tenemos
Por la ecuación del movimiento 
a) V = f= (f,- 3 ,2)
b) V=±Vat4+52
c) Ahora para a= ̂ =(3t, 0, 0)
dt
=>|a|=3t
a u d v 9t3Ahora at= — =L Ai-dt Vat4+52
d) a,n- J a2-a?~3t J j * 52
r= ( j ’ -3t’ -2t)
^ Una bola se lanza con velocidad inicial v0 y ángulo 6 hacia arriba, desde un edificio 
de 2H de altura. Si el proyectil choca contra el suelo a una distancia H del edificio. 
Hallar H.
www.edukpefu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II■
http://www.edukpefu.com
Analizando de la ecuación vectorial del movimiento parabólico tenemos: 
d=V^t+^gt2
Ahora en e l....ABM tenemos que BM=Htg0
También para HC=2H
BC=¿gt2=2H+Htg0 ....(a )
Ahora d e l.... ABM=V0t sen0=H
H
* Vosen0
...O S)
Ahora ....
2V2 ~e 0 
(a )y (P ) H=— ^ - ; -(2+tg0)
y p Sea una partícula que se mueve sobre una elipse, cuyo ecuación es. r = 
mcosüítl + nsencot). Hallar los módulos de at y an.
» SOLVER EDK )
Tenemos:
r=mcoswti+nsenwtj piden at , an
Veamos V= — =-mwsenwtí+nwcoswtj
dt
dv c -a= — =-mw2coswti-nw2senwtj 
dt
V=Vm2-(m2-n2)cos2wt.w 
dv (m2-n2)sen(2wt)w2
* dt 2Vm2-(m2-n2)cos2wt 
a2=a2+a2
=>an=Ja2-a? • •••(*)
a=V (m2-n2) .cos2wt+n2w2
CINEMÁTICA
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y w w w .ed ukpe ro , coi
http://www.ed
CINEMÁTICA c SOLVER EDK «
w2m.m 
an= ......-=:==
yj (n2-m2)cos2wt+m2
Hallar cuantas veces mayor será la aceleración normal de un punto que se encuentra 
en la llanta de una rueda que jira, cuando el vector aceleración total de este punto 
forma un ángulo de 60° con su vector velocidad lineal.
JKSTTOgf>lM
Tenemos a la rueda, y ubicamos, por simplicidad, la parte superior de la llanta
a
artg60°=an => atV3=an 
/. an=l,73at
Una rueda de radio de 10 cm gira de forma que la relación la velocidad lineal de los 
puntos que se encuentran en su llanta y el tiempo que dura el movimiento viene 
dada por la ecuación v=2t +t2. Hallar el ángulo que forma el vector aceleración total 
con el radio de la rueda en los momentos en que el tiempo, tomado desde el 
momento en que la rueda comienza a girar t =lseg.y t =5ség.
Tenemos que V=2t+t2 
=>a,= ̂ =2t2t y an= y= (2t+t2).|0|
,,s e = i = > o= ts- '(i)an van/
>■ SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1 Y II
» SOLVER EDK D CINEMÁTICA
a) Cuando t=l =s> 0 =tg_1 =2,54°
b) Cuando t=s ±0= tg"! =0,098°
Un ponto A se mueve a velocidad constante v, a lo largo de la circunferencia de 
radio a, tal como se indica en el gráfico. Hallar las componentes radial y transversal 
de la aceleración.
Descomponiendo V , en sentido radial y transversal, tenemos que: 
Vr=Vsen0 , Vr=Vcos0
Ahora: ar=dvr
dvr d0 
d0 dt 
dea. =Vcos0. — dt
_dvr 
dr dt
dv, d0 
^ at=d0 * 
deaf=-Vsen6. —
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I www. ed ukper'y; con
Ahora se puede verificar que:
CINEMATICA SOLVER EDK «
de_v
dt a 
V2cos0
ar= 9
V2sen0
ar=-
© Hallar la relación entre las velocidades angulares en función de sus radios, para los 
discos de fricción que se indican en la fig.
jsfflnnrCTW
Ahora, en el punto A, la velocidad, es:
VA=V
Luego para la Io esfera
W 1.R1=W2.R2
Wi = R2 
’\V2 R,
IjjTp Un cilindro de radio 10 cm gira alrededor de un eje con la frecuencia 10 RPM. A lo 
largo de la generatriz del cilindro se mueve un cuerpo con la velocidad constante 
2ocm/seg respecto a la superficie del cilindro. Hallar la (a) velocidad total (b) la 
aceleración.
www. eduKperu. corn SOLUCION ARIO FISICA LE IVA I Y I
r » SOLVER EDK J CINEMAT,CA
Ahora con la V respecto al cilindro, tenemos que
A lo largo de eje:
a=0, ll m/seg
V,f(.=0,2m/s
Vt=W.R
Vtal=|o(0,l)=0,llm/s
Vtal =Vrg+V2ra 
V,otai=0>22 m/seg
Un punto p describe una semicircunferencia el movimiento proyectado sobre el 
diámetro es uniforme de velocidad v0. Hallar al velocidad y la aceleración de p en la 
función de ángulo y hallar la dirección de su aceleración total.
T SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
www. edukperu. com
CINEMÁTICA c SOLVER EDK «
Ahora del gráfico vemos en el eje X, tenemos
Vsen0=Vo
=>V=Vo/sen0
Ahora ay=-Vy
x dt x
_dVx d0_
ax_"d T 'd t-
Ahora ay
d x; d(vocot0 d0 
3y=dtVy= dé ‘ dt 
V0av=-Vocsc20. — - .r y sen0
Vo
3y sen30r a
Una rueda de radio 10cm? gira aceleradamente de manera que el número de 
revoluciones aumenta V2 vuelta por segundo. Transcurridos dos segundos. Hallar (a) 
la aceleración total y (b) el ángulo que hace la aceleración tangencial.
Tenemos que a=n rad/seg 
Por ecuación de mcuv tenemos:
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» SOLVER EDK D CINEMÁTICA
w t= w 0t+^t2
Piden cuando t = 2 seg
Wt=2rc
Ahora an4 = ( ^ ) 2=W2.R 
an=3,95 m/seg2 ....(*)
Y at=a.R=(n)(0,l)=0,314 m/seg2
••• a=Ja2+af
a=3;962 m/seg 
También tg0= —
aT
0=85.5°
w Un aeroplano vuela entre dos puntos, cuya distancia es de 500km en la dirección
• este. Cuanto durara el vuelo si (a) sin viento (b) si el viento sopla de sur a norte y 
(c) el viento sopla de oeste a este. La velocidad del viento es de 40m/ seg, la del 
aeroplano con respeto al aire es de 500km/h (a) t =60min (b) t = 62min (c) t = 
46.2min.
A) Ahora no tenemos acción del viento
2 SOLUCIONARIO FISICA LEI VA I Y II www. ed ukperu. corrí
CINEMÁTICA c SOLVER EDK «
- O
Vaero=500 km/h
500 km 
t=— r:— — = 1 hora500 km/h
t=60min
B) Como el viento sopla de sur a norte con Vviento=144 km/s 
la velocidad del aero plano en ese eje es: VNS=144 km/s
500Kn¡>/
C) Como el viento sopla de OE => Vtotai=500+144 
:=> Vtota,=644 km/h 
500
=> t=~— =46,58 min 644
lyp Un móvil navega por rio a una velocidad que es 2 veces menor que la corriente de 
este. ¿Qué ángulo respecto a la corriente debe mantener el bote para que esta lo 
arrastre lo menos posible?
WWW.edukperu.com SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
http://WWW.edukperu.com
»SOLVER EDK Ì CINEMÁTICA
Ahora analizando al móvil en la posición mostrada 
=> Vy=Vosen0
=> -=Vosen0 =>t=— ...(*)t 0 Vosen0
Luego sea d= distancia arrastrada 
=>d=(2V0-Vx)t 
d=(2Vo-Vocos0)t de (*)
Como deseamos que (1) sea mínimo
=> d =0
=> d =-
l-2cos0
Sen20
n
=>°=3
0-!=180-60° 
01= 120°
Los barcos P y Q poseen velocidades lOcm/seg y 8m /seg la distancia PQ es de 
500m. La velocidad lom/ seg, forma con PQ un ángulo de45°. Cuál debe ser el 
ángulo 0que forma 8m/seg con PQpara que ambos barcos se encuentren.
Sea t el tiempo necesario para encontrarse: 
da=8t
dp=10t
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. eü ukperti. corrí
CINEMÁTICA c SOLVER EDK «
,0̂
Geométricamente tenemos:
Por ley de sen0 
8 _ lOt
sen45° sen0 
tesen'(?'f)
0=62°,61
qyp En un rio cuya corriente tiene la velocidad lm/esg se debe cruzar
- perpendicularmente con una canoa que puede ir a 5m/seg (a) con qué dirección 
debe remarse en la canoa (b) con que velocidad se cruza.
Como deseamos que la canoa debe ser perpendicular a la corriente del río 
5sen0=l
wwvv. eciük perú, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II C 9 T
» SOLVER EDK J CINEMÁTICA
=» sen0=- 5
8=sen - 5
0=11,54°
Como piden complementario => a=78,4ó°
a=75°,27‘
V=5 cos0 
V=4,89 m/seg
Una varia de longitud 2m se mueve, tal que el punto p tiene velocidad constante 
de3m/seg. Cuál es la velocidad del punto Q cundo 6 = 30°.
Veamos: tenemos del ......y=2sen0 ... (1) x=2cos0 ... (2)
76 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eciukperu.com
http://www.eciukperu.com
CINEMATICA SOLVER EDK «
=> x2+y2=4
dx dy
=* 2 d t'(x)+2y d t=0
Luego: ^(x)+y^=0 
(3)(V3)+(l)Vy=0 
==s> -Vy=3V3m/s 
Vy=5,19 m/s
Se tiene dos móviles se mueven en líneas recta, cuyos gráficos de velocidad - tiempo 
se indican en la figura adjunta. Si ambos partes de una misma posición inicial. Al 
cabo de cuánto tiempo se encontraran los móviles.
Del gráfico mostrado tenemos:
V .3 . «
VB=r~~-(t-t2)+V0
V m
Sea t , al cual se encuentra => también ambos recorren la misma distancia,
w vw Á eduKperu. corn SOLUCION ARIO FISICA LE IVA I Y II jC f S
» SOLVER EDK ) CINEMÁTICA
=* dA-dB 
=> t=t2+ t2(t2—t j)
Dos móviles parten de la misma posición inicial en forma simultánea, sus gráficos 
de velocidad -tiempo se indican en la fig. Adjunta. Una de ellas es una recta y el otro 
un cuarto de circunferencia. Hallar (a) la aceleración del segundo movimiento de 
función del tiempo (b)aceleración del primer movimiento, sabiendo que el primer 
punto alcanza al segundo en el instante en que este queda en reposo (c) 1 tiempo 
que transcurre hasta que ambos puntos tengan igual velocida . ,
Realizando su ecuación de cada, de velocidad, según la gráfica:
a)
Por la ecuación del movimiento tenemos:
dv2
a2= — => a2=
-t
V0=t2
b) Calculando el tiempo en que V2=0 
=> t=V0
Ambos recorren lo mismo
Pero d)=d2
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed y kperú. coiti
CINEMÁTICA SOLVER EDK «
7tV0
3l _ 2t2
c) Para(l)
k V0 
Vi=-. — .t2 t2
=> t= 2to
\[k2+4
De una torre se arroja dos cuerpos con la misma velocidad v0 e inclinaciones 0V 02. 
Ambas cuerpos caen en mismo punto del suelo. Hallar la altura H de la torre H=falta
i m n m m
Para la primera piedra, tenemos que (por ecuaciones vect), podemos observar que:
(1)X=V0 t2 COS0!
También H=^g t2-Vosen01 ....(2)
Análogamente para la piedra (2) tenemos X=V0 t2 cos02 .... (1)’ 
Vosen02t2 ....(2)’
Resolviendo
H: 2V0 cos0, cos02 eos (0|+02) g sen^+G^
vvww. ed u Kp«?ru. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I
» SOLVER EDK 3 CINEMÁTICA
Un grupo se mueve a lo largo de una recta, su posición con respecto al origen de 
coordenadas es: x(t)=t3-2t2+3t+2. Hallar (a) la velocidad media para el intervalo [2,3] 
Seg. (b) La velocidad instantánea t = 3seg (a) La aceleración media en el intervalo 
[2,1] seg. (d) La aceleración instantánea en 3seg. © Para qué valores del tiempo su 
velocidad es cero.
A) Sea X=t3.2t2+3t+2 
Piden
B)
V=3t2-4t-3 ...(1)
C) Ahora piden
Pero V(3)=18m/s
V(2)= 7 m/s 
amed=llm/s2
D)
de (1)
Tenemos
a=6t-4 
a= 14 m/s2 
de (*)
w X(3)-X(2) 
3-2 
=12 m/seg
dx
v= *
V(3)- V(2)
m̂ed- ̂2
dv
3=dt
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.eduNwu.com
http://www.eduNwu.com
CINEMÁTICA c SOLVER EDK «
3t2-4tr3=0
3 t
© Se lanza un cuerpo con una velocidad de 300 m/seg y con un ángulo de tiro de 60°. 
(a)Hallar la velocidad horizontal y vertical a los 10 seg después del disparo. (b)El 
ángulo que forma la velocidad con la horizontal en el instante de 10 seg. (c) La 
aceleración tangencial y normal a los 10 seg del disparo use g = 10m/seg2.
Como el movimiento es un MPCL 
=> Vx=300 eos 60°
=> Vfx=Vx=300 cos60°=150 m/seg
Ahora trabajando en el eje “Y” vectorialmente
=> Vfy = V0y + gt
=s> V^=300 sen 60°-(10) (10)
V^=159,81 m/seg
a) => Vx=150 m/seg
=> Vy= 159.81 m/seg
b) tg0=^ = l,O7
X
=> 0o =46,9°
O aT=£ ....(*)
Encontremos V en función de t
V=150Í+(300 sen 60°-10t)J 
V=10 Ct2-30 \/3t+900) 1/2
10 (t-15V3)
Vt2-30V3t+900 
=> ar=7,3 m/s2 
a2+af=a2=g2
SOLUCIONARIO FISICALEIVAI Y II
» SOLVER EDK D CINEMÁTICA
=> aN=Vs2-a? 
aN=6,8 m/s2
© Desde la azotea de un edificio se lanza vertical mente, hacia arriba un cuerpo.
Transcurridos 5 seg pasa por el punto situado a 20m por debajo de la azotea. Si g= 
lOm/seg2. Hallar (a) velocidad inicial (b ) la altura que se elevo por encima de la 
azotea (c ) la velocidad a la pasa por un punto situado a 30 m por debajo de la 
azotea.
A ) Como el cuerpo desarrolla un MCL, =» trabajando cot 3 ecuaciones vectoriales
Un avión tiene una velocidad de 300 km/h con respecto al aire. El avión viaja ida y 
vuelta entre dos puntos PQ que distan 1200km. (a) cuanto tiempo tarda de ir de P a 
Q en un día en que el viento sopla a lOOkm/h de Q a P.(b) cuanto tiempo emplea si 
existe un viento cruzado de lOOkm/h. (c ) cuanto tiempo emplea si no hay viento.
=> h=Vot- |t2=22,05 m
C) Por las ecuaciones vectoriales, tenemos que
H=V0t+ ig t2
-300=Vot-5t2=>-300=21 t-5t2 ...(* )
82 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I! www.edukperú gom
CINEMATICA
SOLVEREDK «
a)
o = 400 Q
V = 200Kn)/ O Q
b)
_ 1200 1200 _ 9h
ttotal “ 400 + 200 ~
V
100 3 0 0
C)
^ 100
= > CO S& = — —300 
=> # = 70,5°
=> v y = 300sen70.5°
2400 o ,ut =----= 8.5h
V
Q 30° K7 h »
=>t = 2100=8h 
300
www. ed u Kper u .corri SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK ] CINEMÁTICA
El vector posición de una partícula es:r=tí+(t-2)~í-6t2 k, s i: m, t :seg. Hallar (a) En que 
instante la velocidad es mínima (b) el valor de la velocidad mínima (c) El radio de 
curvatura en función del tiempo (d) La aceleración tangencial y normal cundo la 
velocidad es mínima.
Se muestra
a) r=t í+ (t-2 ) 2j-6 t2 k
_ dr ~
=> V= — = i+ 2(t-2)j-12t k dt
Para que
148t2-16t-17 ....(* )
dv 2
_ = 0 =* t= -seg
b) En (*) del resultado obtenido, tenemos: 
Vmin=4,07 m/s2
c) Para calcular S haremos uso de
5= ^ (*Y5 |vxá| ....C ;
Calculando á= ̂dt
=> á=lj- 12k
=» Vxá=(48-12 t)T+ 12j+k
|Vx a|= V 144 t2-l 152t-2449
(148t2- 16t-17)3/g 
“ V 144Í2-1152t>2449
d) Piden ár= ^ , para t=^ seg
/ 144 24\
ar= ( l , - ^ ,- 3 7 ) (0 , 1 , -12)=0,96 m/seg2
aN = 1 2 m/seg
84 SOLUCIONARIO FISICA LEI VA I Y II www. eciukperu, co?tí
CINEMÁTICA SOLVER EDK C
Con que velocidad debe desplazarse una bolita por una mesa horizontal, si 
después de abandonar la mesa a una altura de lm, recorra la misma distancia 
horizontal y vertical con relación al punto de partida.
m m r n m
Luego de abandonar la bolita describe un movimiento parabólico:
Analizando en el eje "X”; sea VX=V0
Ahora d=V0t=>l=V0t ....(*)
Ahora en el eje “Y”
vot=0 =>dy=Voy+̂ gt2
1=^t2 => t=f 
En (*) tenemos: V0=V5=2,24 m/seg
© Cuál debe ser el ángulo de tiro del proyectil lanzado del punto A, con una velocidad 
de 200m/seg, si un segundo proyectil se lanza con una velocidad de 150/mseg en 
dirección vertical del punto B para que colisionen.
Para que ambas colisiones
=> la altura de ambas debe ser la misma: para la esfera B (trabajando vectorialmente) 
H=V0Bt+|gt2 => H=150t-5t2 ...(*)
Para la esfera A, en el eje “Y”
H=V0Ayt+lgt2
H=2OOcos0t-5t2 ....(* )(* )
Asumiendo que la colisión fue en el ascensode ambas de (**) y (*)
=> V 0Ay= 150
=> COS0= -
4
0 = 4 1 ,4 °
-..corrí SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I
» SOLVER EDK 3 CINEMÁTICA
Una persona se Halla en un edificio a una altura de lOOm y suelta una canica. Tres 
segundos después lanza una segunda canica idéntica a la primera. Cual debe ser la 
velocidad de lanzamiento de la segunda canica, para que ambos lleguen al mismo 
instante al suelo (g = lOm/seg2).
jR a w ra tiiM
Para la primera bolita, tenemos de las ecuaciones de MPCL 
=* H=V0 lt+ |t2
H= | t2=* t=2V5seg 
Para la segunda tenemos: H= V0 (t-3)+|(t-3) 2
100-Vo ( 2 V5-3)+5(2 VS-3) 2 => Vo=60,6 m/seg
jp Se lanza hacia abajo una bolita con una velocidad de 5m/seg desde una altura de 
200m. Después de 2seg se lanza una bolita idéntica con una velocidad 
desconocida. Cuál debe ser el valor de la velocidad de la segunda bolita, para que 
las dos lleguen al mismo instante al suelo (g = lOm!seg2).
Análogo al anterior problema para ambas bolitas la distancia recorrida son
las mismas: para la primera
H=V01t+Igt2
200=5t+ igt2
t=5,84 seg
Para la segunda: como el tiempo el cual recorre t1=t-2=3,84 seg
H=V02ti+̂ gt?
200=VO2 (3,84)+ 5(3,84)2 
Vq2=32,89 m/seg
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. eci ukperu. corrí
CINEMÁTICA SOLVER EOK «
Un avión vuela desde P a Q; separados una distancia de 2160mkm. En dirección 
este. Hallar el tiempo de vuelo ( despreciar el tiempo de bajada y de subida del 
avión (a) cuando no ase viento (b) si el viento va de sur a norte (c)El viento va de 
oeste a este. La velocidad del viento es 50m/seg y la del avión con respecto al aire es 
de 720km/h.
a) V=-
J t
=> t=3h
b) Como en viento va de norte a sur
=> Vy=180km/m 
720 sen0= Vy 
720 sen0=18O km/m 
=> 0=14.5°
Vx=720 cos0=697.1 km/m 
d
t=-=3,lh
v x
c) Entonces, como Vviento=180 km/h 
.*.Vraro=900 km/h 
d
t=~=2,4 h v
S p La grafica se velocidad de un móvil en función del tiempo se indica en la gráfica. 
Hallar la aceleración media para los intervalos (a) [0,l]seg (b) [l,5]seg (c) [0.5,4].
Por definición, a, « ^ ^ 2 ; mea tf-t0
a) Parate [0,1]
=* Vo=0 , V i=20
www. cduKperu, co m SOLUCIONARIO FISICA LEIVA i Y II K l
» SOLVER EDK 3 CINEMÁTICA
=> amed= Y =20 m/seg2
b) Para te [1,5]
Vo=30m/seg ,V |=20 m/seg 
30-20
amed” ̂ j —2,5 m/seg2
C) te [0,5, 4]
Para este caso: se relaciona 
V4=27,5 
Vo,5=10 
27,5- 10
a med= 3 5 =5 m/seg
Un cuerpo que cae, recorre la mitad de su recorrido total en los dos últimos 
segundos a partir del reposo. Hallar la altura desde la cual cae.
Sea h , el recorrido total: de acuerdo al problema
5 =V0lt+Igt2
, para t=2 seg
Donde Voí velocidad inicial antes de que caiga ai suelo: 
5=Volt(2)+20 ...(* )
Ahora sea tt , el tiempo empleado para que el cuerpo caiga 
=* h=V0t+5t2 
h= 5tf ....(**) 
para V0l=V0+ g(t,-2)
Vol=g(tr 2) ....(***)
De (*), (**) y (***)
=> ¿=20(t,-2)+ 20 ....(a )
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II "
CINEMÁTICA SOLVER EDK «
h=5tf
=> t1=6,81 seg 
h=231,0 m
Un móvil realiza un movimiento rectilíneo y su aceleración está dada por a=-4x, 
donde x se mide en m y t en seg. Hallar la relación de la velocidad en función de x, 
sabiendo que t0=0,X0=2m,v0=4m/seg.
Dos móviles parten del mismo punto, con aceleraciones de bm/seg2 separado en un 
tiempo de 3seg. A que distancia del punto de partida se encontraran.
Ejercicio para el lector
Una partícula se mueve a lo largo de una curva, su posición inicial esta dado la 
longitud del arco V]donde su rapidez es vty en su tiempo después t2 la longitud del 
arco es s2 y se rapidez v2. Si en este trayecto la aceleración tangencial es 3m/seg2. 
Hallarla rapidez v2?
Tenemos que por definición tenemos que
a= -4x
dv 
a= — .v
=> J2xadx = /4vvdv 
=> J*-4xdx = /4vvdv
-2 (x2- 4)= j-8 
=> V= [32-4x2] U2
¿Míe
www edükper u, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK CINEMÁTICA
Como la partícula, se mueve a lo largo de la trayectoria
dv
* a'=7 
atds=vdv
dv dv
=> at = T => a t = T *v1 d ds
/s 2 ards = Jv 2 vdv , en esta trayectoria at=cte=3 m/seg2
vl-vf
=» 3 (VS,)= ^- i 
V2=V?+ 6 (S_2-S_1 )1/2
57. Un hombre sostiene una bola fuera de una ventana a 12m del suelo. El lanza la bola 
hacia arriba con una velocidad de5m/seg. Que tiempo le lleva llegar hasta el suelo y 
con qué rapidez llaga al suelo.
JR H IW f ilW
Por las ecuaciones de un movimiento caída libre (vectorialmente)
d=V0t+ ig t2
-12=5t-5t2 
=> t=2,13seg 
Vf=V0+gt 
Vf=5-10 (2,13)
Vf= -16,3 m/seg 
Vf=16,3 m/seg
58. Por un plano inclinado de ángulo 45°, se lanza una bola con la velocidad v0 y 
formando también un ángulo de 45° con la horizontal, que distancia por la 
horizontal recorrerá la bola antes de deslizarse de plano?. No considere la fricción.
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.coif’
CINEMATICA SOLVER EDK «
Del problema , descomponiendo V0 , a lo largo del piano y paralelo. Veamos 
En lo horizontal: V0cos45°= —
tvuelo
=> tvuelo • v 0 cos45°=L ...(* )
Ahora paralela al plano, en la posición más alta:
=> Vf= => V0 sen45 °-a^
t 2V0 sen45° /-in
^vuelo- a — v U
Descomponiendo g a lo largo de plano tenemos que: 
a=g sen0 ... (2)
En ( 1)
tvuelo=2 ^ ..•(**)
En (*)L= —V2S
© De una manguera brotan chorros de agua bajo los ángulos 9 y /? respecto al 
horizonte con la misma velocidad inicial v0. A que distancia con respecto a la 
horizontal los chorros se intersecan?.
En el eje “X”, tenemos: X= tT V0 Cos p 
X= t2 V0 Cos 0
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» SOLVER EDK CINEMÁTICA
tiCOs(3
t2= i ^ r
Ahora en el eje “Y”
Y=V0 senptr |b ?
Y=V0 sen012- |t|
De (*) tenemos que
2V0sen (0-P)
ll g ( cos2p- cos20)
Ahora:
_ 2 Vp Cosp sen (0-p)
g (COS2P-COS°0)
ii^ l Se lanza una partícula con velocidad v0, formando un ángulo 9 con la horizontal. 
Qué tiempo transcurrirá para que la velocidad forme un ángulo /? con la horizontal?
Veamos que en el eje “X”
Vx=Vocos0 
Luego de t seg: Vtx= Vocos0 
En el eje “Y” Vfy= Vyo- gt 
Del resultado final 
Vfy=Vfx-tgp 
Vfy= VQ cos0 tgp 
Entonces:
V0 cos0 tgP=V0 sen0-gt
V
=> t= — (sen0-cos9 tgP) 
g
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www ed uk perú. corrí
DINÁMICA £ SOLVER EDK «
0 De un cuerpo de masa m1 se cuelga con una cuerda de de una masa m2, otro cuerpo 
de masa m3. Al cuerpo de masa m1 se aplica una fuer za f dirigida hacia arriba. 
Halla (a) la fuerza de la tensión en el extremo superior de la cuerda y en el centro 
de ella.
m1
J irsm21r
c lI
\► Te
m3
Hallamos la aceleración del sistema
IF=mta
F-m1g-m2g-m3g=(m1-m2-m3)a
F
a=g--------mr m2-m3
Ahora en el punto “s”, hallamos la tensión que se ejerce en la cuerda
IF=mta 
F
m3g+m2g-Ts= ( g - ) (m2+m3)V mi+m9+nriq/m1+m2+m3/
\m1+m2+m3/
Lo mismo hacemos con la tensión en el punto C:
F
-G
m2
m3S+— S-Tc=S-
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» SOLVER EDK
V f - ^ S L . ) FVm1+m2+m3/
1 ................. ............ . DINÁMICA
Se tiene el sistema que muestra en la figura, si m1=3kg,m2ym3=5km 
. Si no se considera el peso de la cuerda no ay rozamiento en la polea fija. Hallar (a) 
la aceleración del sistema (b) la tensión de la cuerda que une a las masasnrit y m2
Piden la aceleración del sistema
a) IF=ma
a=F/m
a=-
mig+m2g-m3g
m1+m2+m3
a=-
(mT+ms-ms)------------------ c
m1+m2+m3 v
(3+4-5) a= b i(9’8)
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DINÁMICA L SOLVER EDK «
b) Del sistema S ’ , tenemos:
a=l,63 m/seg2
i i
fmiS
ZF '=ma 
m1 g-T=mla 
T=mn(g-a)
T = 3(9,8 - 1,63) 
T=24,51 N
En el sistema que se da, hallar la velocidad y la aceleración del bloque 3, sabien 
que las poleas son de radio iguales y no presentan rozamiento. Se conoce 
Xt =4m/seg , =-2m/seg2 ’x2 =-5m/seg, x2 =8 m/seg2.
r
m
www. ed ukperu. corri SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
» SOLVER EDK DINÁMICA
La distancia de la cuerda desde el peso 1 hasta la polea B es:
Derivando:
r
A mV, =4-r k J \ 
f
i a, =2^
a - f i™ *
X1
m -
5m
Xo
X2
Xt+tiR+Xô .- .O )
X1+0+X0=0 ;
X3
Derivando (2):
Xi=-X0... (2) 
X1+Xo=QXi =-Xq... (3)
La distancia del peso (3) al peso (2) es:
X3_Xo+X2_X()+tcR=C2 • • * (4)
Derivando:
■ SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I! www.edukperu,corrí
DINÁMICA £ SOLVER EDK «
X 3 O^-X2 -X()+0—0 ) X 3 —2Xo-X2.-- (5)
Derivando (5): 
X3-2Xo+X2=0
X 3 =2Xo-X2
Para hallar la velocidad de (5) y (2)
V3=2 (-X t ) -X2=2 (-4) - (-5)=-3m/seg2 
Para la aceleración de (2), (3) y (6 ):
a3 =X3=2 (-Xt )-X2=-2 (-2) -8=-4m/seg 2
Dado el sistema de dos poleas fijas y una móvil en la cuü ! es h a y tres masas
m1 ;m2y m3
Hallar la aceleración de cada masa, si se desprecia el peso de las poleas, asú como 
la fricción en las poleas.
R
Hallando la relación de aceleraciones:
X-|-Xo+7cR +X3-X0+7tR-l1
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» SOLVER EDK ] DINÁMICA
Derivando:
X1+2X0+X3=0... (1)
Derivando 
X1+2X0+X3=0... 2)
Para la otra cuerda:
X2-Xo-7tR=l2 
X2-X¿=0
DerivandoX2 = Xc ... (3)
Las ecuaciones de dinámica para cada mesa es:
rr^g-T^nM!
m2g-T2=m2a2 
...(5) donde
T!=T3 
m3g-T3=m3a3T2=Ti+T3
T2 = 27\ ...(7)
4m] m3-3m2m3+m1 m2 
4m1m3+m2m3+mlm2
' m3+m2m3
a2~ \4m1m3+m2m3+m1m2
4m! m3-3m1 m2+m2m3\
4m! m3+m2m3+m1 m2) ̂
a Una persona se desliza sobre un trineo por una montaña de pendiente 6. El
coeficiente de rozamiento entre la superficie y el trineo es /¿. Como de moverse el 
hombre de masa M con respecto al trineo de masa para que este último se deslice 
por la pendiente con movimiento uniforme.
98 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.edukperu.c
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DINAMICA SOLVER EDK «
Del Sistema total
I
F=Ma
M: masa del hombre
(M+m)gsen0-jj(M+m)gcos0=Ma
(M+m) 
a= — 77— g.(sen0-pcos0)M
Dado el sistema que se muestra en la figura. La masa de la polea, de las cuerdas y la 
fricción se desprecia Hallar la aceleración de las masas.
rn m m im r
Considerando que
m2>m!
tenemos el siguiente diagrama, de donde obtenemos que
a1~a2
Como la fuerza de gravedad es la que actúa sobre el sistema
a1=a2=g
Dado el sistema que se muestra en la figura. De la polea fija cuelga una masa m; qué 
fuerza F es necesario aplicar a la cuerda para que la masa m se mueva hacia arriba 
con aceleración a.
www.edukperu. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 99
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» SOLVER EDK DINÁMICA
Dejamos éste ejercicio al lector.
© Hallar la aceleración masa
m2(iTi2>mi)
para el sistema dado. Se desprecia la masa de la polea, cuerdas y no hay rozamiento.
JR t1 ílffiW 7 ÍÍ
Por dinámica para cada masa tenemos:
21-iT̂ g sen0=m1a1
lm2g-lT=m2a2
De (1) y (2) obtenemos:
2m2g-m1g sene=mla1+2m2a2
Se muestra que ax = - a2
íTl!
=»2m2g-m1g sen0= — a2+2m2a2
4m2g-2m1g sen0=m1a2+4m2a2
=>a2=-
2g(2m2-m1 sen0 
4m2+m!
En sistema que se muestra la barra m es mayor que la bola m (M > M) . La bola tiene 
un orificio por donde se desliza el hilo con razonamiento. En el momento inicial la
HU SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www, edukperu.com
DINÁMICA SOLVER EDK «
bola se encuentra frente al extremo inferior de la barra. Después de que el sistema 
quede libre. Ambos cuerpos se mueven con aceleración constante. Hallar la fuerza 
de razonamiento entre el hilo y la bola, si al cabo de t segundos de haber 
comenzado el movimiento. La bola se colocó en la parte superior de la barra, que 
tiene una longitud L.
La baria recorre X, mientras que la esfera recorre L+X. 
Por cinemática tenemos que:
X+L=^t2 ...(1 ) 
X= ■ ■ (2 )
D e ( l )y (2) tenemos:
Por dinámica:
Mg-fr=M.aM... (4) 
mg-fr=m.am... (5)
De (4) y (5) en (3) obtenemos:
2LmM
fr=----- 9(M-m)t2
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:
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» SOLVER EDK DINÁMICA
Dado el sistema que se inicia en la figura, la superficie es lisa, se desprecia el peso de 
las poleas y de las cuerdas. Hallar la aceleración de la masa mi.
M m trm rn /
Por dinámica a la masa “m0”
2T = m0a ... (1)
Se demuestra que
Por dinámica a las masas m1 y m2
a=-
ar a2
mig-T=miaj 
-m2g 4- T = m2a2 ... (3)
De (1) en (3) y reemplazando a = 
Tenemos:
a=-ar a2
m0(ar a2)
=>a9=-
-m2g=m2a2
m0a1-4m2g
4m2+m0
...(4)
Sumando (2) y (3) y reemplazando a2 se tiene
SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I www. ed u kpsru. com
DINÁMICA £ SOLVER EDK «
Despejando ax:
/m0ar 4m2g\ 
4m2+rn1+m0 (nriT -hm2)'
ai = 4m1m2+m0 (m1+m2)
ED Sobres las masas mi y m2 actúan las fuerzas F1 = bt y F2 =2bt; que están unidos por 
un hilo que puede soportar la tensión T, donde b es una constante. Hallar en que 
instante el hilo se romperá.
m m m w m
Fc>
m2 mi
7777
Para cuando el hilo se rompa de la a =é 0 
Por dinámica se tiene que
IF=mta
F2-F1=(m1+m2)a
2bt-bt=(m1+m2)a
bt=(mr m2)a
Teniendo en cuenta la dinámica de cada masa:
* 1 - 4
77
^T
m9 
7777
77
mi
777 /
F2-T=m2a
...(2)
T-F^nr^a
...(3)
De (2) y (3) obtenemos la aceleración:
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» SOLVER EDK ] DINÁMICA
T
a=
2m1+m2
Reemplazando en (1) obtenemos el tiempo en el cual el hilo se romperá:
T (m1+m2)
b ‘(2m,+m2)
O Que fuerza actúa en 1 sección de una barra homogénea de longitud L a la distancia 
x del extremo al que se aplica una fuerza R; dirigida a lo largo de la barra.
L
Por dinámica tenemos que R = ma ... (1) 
Definamos
m m
P = L~ = Y
mx 
m = —
...(2)
. x R
Por dinámica para el trozo de la barra. rrí
R-F=m'a
Utilizando (1) y (2) se tiene:
X\
0 Se tiene un prisma de masa M y ángulo 6, se le comunica aceleración “a” hacia la 
izquierda. Una masa m se halla sobre el prisma. Cuál es el valor máximo de esta 
aceleración, para que la masa m permanezca inmóvil con respecto al prima, sabiendo
• que el coeficiente de rozamiento entre las masas es /¿(/¿ < cotg 6)
.
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II ..ei_,¡-Der.
DINÁMICA £ SOLVER EDK «
En el eje X para el bloque se tiene:
-A
yu
O=ZFx=macos0+macos0-fr 
fr=macos0-macos0... (1)
En el eje Y se tiene: XFy = N2 — mgcosO — masenO = 0 
N2=mgcos0+masen0... (2)
Sabemos que
fr=pN2... (3)
De (1), (2) y (3 ) encontramos que:
9(1+jj cotO) 
max” (cot0-p)
Dado el sistema formado por el prisma de masa M y sobre él la masa m. 
despreciando el precio de la polea, de la cuerda y el rozamiento. Halla la 
aceleración del prisma M.
r SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
» SOLVER EDK DINAMICA
Haciendo DCL para cada masa:
Por dinámica tenemos para la masa m: mg SenO - T = mam ... (1)
Y para la masa M:
T+N Sen0=(m+M)am
Se demuestra que:
am=am COS0 
De (1) y (2) y reemplazando am tenemos:
mg Sen0+NSen0=(m+M)am+ 
mg Cos0(l+Cos0)
Cos0
9m M Cos0+m(_+Cos0)
< 9 Dado el sistema que se muestra en la figura, una polea fija por una barra, esta pasa a 
través del cuerpo de la masa m2, y existe una fuerza de rozamiento Fr. Despreciando 
el peso de las cuerdas, hallar la aceleración de las masas y la tensión del hilo.
m i l i
ri
fr
X
m¿
F'2
SEI SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II16 www. edukperuvcóm
DINÁMICA e SOLVER EDK «
Considerando m1 > m2, se tiene; del todo el sistema por dinámica obtenemos:
a(m1+m2)=Fr F2-fr
(mr m2)g-fr
Por dinámica:
De(l)en (2) tenemos:
■ i IIm,
T
F1-T=m1a
...(2)
/2m2g+fr\
T=m, ------V m1+m2)
o Dado el sistema de masas que se muestra en la figura y ¡j. es el coeficiente de
rozamiento entre la masa m y el plano indicado. Hallar la fuerza que presiona la 
cuerda sobre la polea. Se desprecia el rozamiento en la polea y su masa.
Por dinámica a cada masa:
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» SOLVER EDK 3 DINÁMICA
fr=pmg cos0 
IF=ma
mg senO + [igra cosO —T — ma ... (1)
Por dinámica:
i T
m
D e (l)y (2 ) tenemos
rm3 
T-mg=ma... (2)
mg
T= — (1 +jj cos0+sen0)
Para hallar la fuerza que ejerce sobre la pelea, como las tensiones son iguales, 
entonces la fuerza F divide a la mitad al ángulo:
T
TT v
Por ley de cosenos:
F?=T2+T2+2T2 eos (|-e) 
F2=2T2 [l+cos (|-e)] 
F2=2T2 [l-l+2cos2^ - ^ ]
Siendo
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DINÁMICA £ SOLVER EDK «
T= (1 +pcos0+sen0)
En el sistema que se indica, la m1> m2. Se suelta el cuerpo de masa m2 y el sistema 
se pone en movimiento. Cuál es la altura máxima delsuelo a la que subirá el cuerpo 
de masa m2. Desprecie las masas de las poleas y el rozamiento.
/////////// r"2S
Dejamos el ejercicio para el lector.
Se tiene una barra homogénea de masa M y longitud L, es sometida a una fuerza F 
en uno de sus extremos. Hallar el valor de la fuerza que ejerce la región 1 sobre la
región 2 .
mi » if-x-»
Por dinámica para todo el sistema.
F=ma=>a= — m
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» SOLVER EDK ] DINÁMICA
Definimos
Por dinámica
D e (l)y (2 ) se tiene:
m
m m
p=r =cx
m =
m(L-X)
F-F12=m'a
XF
f12=t
Se tiene la máquina de Atwood dispuesta como se muestra en la figura. La polea en 
estado inmóvil (las masas no se mueven) se equilibra en una balanza de palanca. En 
cuanto es necesario variar el peso en el plato derecho, para que al librarse la polea 
y moverse inmediatamente, el equilibrio se mantenga?
Para que el sistema quede equilibrio, la aceleración de la polea y de la masa en el 
platillo deben ser iguales.
Hallando la aceleración de la polea:
m1g-Ti=m1a 
~m2g + 7\ - m2a , donde T1 = T2
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DINAMICA
El peso será.
(nym2)
d _(m1+m2) S
P=(m1-m2).a
('mi-m9)(mr*mç) 
--- .— g
SOLVER SDK «
Por din¿ímica para las 2 masas: 
mug ~ 2T ... ( 1)
Se demuestra que 
De ( Ì) y (2) obtenemos:
Por cinemática:a2 ==
4h
Orij+mo)
T-m2g=m2a2
...(2)
a2=2a!
(mr 2m.o) a - ---1 g
(m ^rr^ )
8h(m1-2m2)g
mj “h4m2
Luego de que el bloque de masa . llega a 1 piso. m2tiene una velocidad v, donde 
comienza a actuar la g como la aceleración:
» SOLVER EDK DINÁMICA
¡> La máquina de Atwood, está colgada de una balanza de resorte, tal como se indica 
en que la figura. Hallar la aceleración de los cuerpos, la indicación de la balanza y la 
tensión en la cuerda que une a las masas.
m\$
Por dinámica para cada masa:
D e (l)y (2 ) se tiene: 
g(m1-m2)=a(m1+m2)
(mr m2)g
- (m,+m2)
...(3)
Ahora hallamos, de (2) y (3):
m!+m2
Y la tensión de la balanza será 2T
RT=TB
2T
gmr T=am1
T-gm2=am2
T^ 2m1m2g
4m1m2g 
1 b='” "Tzr'm!+m2
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DINÁMICA .( SOLVER EDK «
Se tiene el sistema que se indica en la figura, hallar (a) la aceleración de cada peso. 
Supóngase que las cuerdas y poleas son de peso despreciable, estas últimas son lisas 
y las cuerdas son flexibles e inextensibles.
«g n n m n n r
Como las cuerdas son inextensibles entonces estas permanecerán constantes:
1 ! =Xt -Xo+7tR+Xo-Xo+7tR +Xq 
Derivando 2 veces, siendo X0 = cte , se tiene:
)C| +2X¿=0 
l2=X¿-Xo
, derivando 2 veces, tenemos:
* ¿ ¡ = * ¿ . . . ( 2 )
13 =X2 _Xq ■+• 7i R "+X3 -Xq
Derivando 2 veces, se tiene:
X2-2X¿+X3=0
• ..(3)
De (1), (2) y (3) se tiene:
X2+X̂ +X3=0
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» SOLVER EDK ) DINÁMICA
...(4)
Por dinámica para cada masa, se obtiene:
m^-T^m^!
...(5) 
m2S-T2=m2a2 
... (6) se demuestra que
m3S-T3=m3a3
...(7)
T=Ti=T2=T3
...(8)
De (4), (5), (6), (7) y (8) se tiene:
/m! m2+m! m3-2m2m3\
ai 
a2=(- 
a3=
8
S
)S
Reemplazando
tenemos:
V rr̂ m3+m2m3+m1 m3 7 
/m2m3+m1 m2-2m} m3\
\ rr̂ m3+m2m3+m1 m2 /
/m1 m3+m2m3-2m1 m2\
V nr̂ m3+m2m3+m1 m2 /'
m! =2kgm2=4kgm3=3kg
31 = ̂ 3
32=7
93=-
- 4 g
■
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DINAMICA c SOLVER EDK «
© Un cuerpo está colgado de dos hilos que forman ángulos 61 y 02 con la vertical,
como se indica en la figura. Demostrar que si se corta el segundo hilo, la tensión en el 
primero varia instantáneamente en la aceleración.sen 02/seg{01 + 02)cos 61.
En el equilibrio, tenemos lo siguiente:
T1cos01+T2cos02=mg... (1) 
T1sen01=T2sen02... (2)
De (1) y (2) obtenemos:
>r> _ mgsenGo
1 sen (01 +02)
Por dinámica
mgcos01-To=-
mv¿
IT
Pero como V = 0 al inicio
De (3) y (4)
To-mgcosO^O 
To-mgcosO!... (4)
TV sen02 
To~cos0r sen(01+eo)
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» SOLVER EDK j DINÁMÍCA
Se tiene una esferilia de masa rn que se mueve alrededor de un alambre de radio R;: 
que se halia en un plano vertical. La esferilia tiene una velocidad uniforme vO a lo 
largo dé! alambre. Hallar (a) la aceleración centrípeta, (b) la componente radial y 
tangencia! de la fuerza que se ejerce sobre la esferilia, debido ai alambre en el 
instante en que el radio con ía esferilia forma un ángulo 0 * con ia horizontal.
j a s a s »
Se tiene que la aceleración centrípeta es igual a:
Para hallar las fuerzas tangencial y radical se tiene del gráfico que;
Por dinámica en el eje radical se tiene:
Fr + mg senO — mac
f r = ™ ~ gsend j
Se tiene un sistema formado por dos poleas fijas y un peso de 10 kg.. Hallar (a) la 
fuerza mínima para que el sistema se encuentre en reposo, (b) si ia fuerza F tiene un 
valor de 198N, hallar la aceleración del bloque, (c) cual debe ser eí váior de la fuerza
~SíDL LJC! CNARIO F'ISICALEIVA i Y l¡ ~ ~ ~~ “ —
DINÁMICA £ SOLVER EDK «
F para que el peso suba con una aceleración de 1.2 m/seg 2? (a) F= 98N; (b) a = 10 
m/seg2; (c) = 110N.
10 kS 
T m g
a) Para que se encuentre en equilibrio, la tensión de la cuerda debe ser igual a la 
fuerza F
F=t=mg 
F=(10kg) (9,8 ~ ) =98N
b) Por dinámica se tiene
£F=ma 
F-mg 198-98 m
a=-
m 10 - = 10 -segz
c) De (1) se tiene:
F=98n=(10KG)(l,2-^yiV s egv
F=1ION
.j Se tiene un cuerpo de masa m y está sujeto por dos resortes iguales de constante de 
elasticidad k, alargados ambos a una distancio AL. Hallar la magnitud de la 
aceleración del bloque en el instante de soltar el bloque. No hay rozamiento.
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» SOLVER EDK D. DINAMICA
m FkSenO
^ J^ K s e n e
FkCosO
t
Por dinámica en el eje X:
IF
IF=maa= — m
2Fk senG 2K ALa_ ------ = --- —sen0
m m
Sobre los bloques de masa mi = 30kg. M2 =15 kg, existe una fuerza de rozamiento 
de 2 kg. Qué tiempo empleara partiendo del reposo para que el bloque m2 recorra 
una distancia 10m? si
0=60°.
g ü W IB T O *
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DINÁMICA SOLVER EDK «
Considerando todo el sistema por dinámica obtenemos:
^0̂
rr̂ g sen0-2fr=(m1+m2)a
Por cinemática tenemos que:
X=Xo+V0t+-at2
20Para cuando recorra 10m; se tiene una aceleración de a - — ... (2)
Ahora (2) en (1) obtenemos el tiempo en el que recorre 10 m.:
t=2,04 seg
Se lanza una partícula con una velocidad inicial vO, hacia abajo por un plano 
inclinado de ángulo 9 y longitud L. Cuál será el coeficiente de fricción cinética, si la 
partícula alcanza el extremo inferior del Plano justo cuando llega al reposo.
Fr
Por dinámica en el eje X:
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mg sen0-pkmg cos0=ma 
gsen0-pkg cos0=a... ( 1)
Por cinemática obtenemos:
a=^ = Vot=Vo (2 
t t a K '
L=V0t-±at2... (3) 
Reemplazando (2) en (3), obtenemos la “a”
Reemplazando (4) en (1), obtenemos
pK=tan0-2Lgcos0
© Por una porción de un canal circular de radio R, se desplaza una masa m7 sin fricción. 
Que altura H alcanza la masa, si el canal gira con una velocidad angular cú unifrome.
Del diagrama obtenemos que
De (1), (2) y (3) tenemos:
Pero
Ncos0=mg... (1) 
NsenO = mw2r... (2)
Y r = RsenO ... (3) 
mw2Rcos0=mg ... (4)
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DINAMICA SOLVER EDK «
Reemplazando en (4) obtenemos
R-H 
cos9= —— R
Un plano inclinado de ángulo 9, gira alrededor de un eje vertical con una velocidad 
angular a). Un cuerpo de masa m se halla en el extremo inferior del plano inclinado y 
está a una distancia R del eje de giro. Hallar el coeficiente de rozamiento mínimo que 
permita que la masa m se mantenga sobre el plano inclinado.
4 ^
Por dinámica y la fuerza antribeta en “X” tenemos:
U
-N sen0+fr cos0=mac=mw2R... (1) 
En “Y” por equilibrio se tiene:
mg=Ncos0+frsen0... (2) 
Siendo f r = /uKN, reemplazando en ( 1) y (2)
Nsen0+jJKN cos0=w2Rm... (3) 
Ncos0+jjkN sen0=mg... (4)
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