Ecuaciones Diferenciales apunte 1

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Julio Flores Dionicio Página 1 
 
 
Georg Friedrich Riemann (1826-1866) 
Georg Friedrich Riemann 
Ejemplo vivo de la timidez y de la fragilidad física, Riemann impactó, sin embargo, el mundo de las 
matemáticas como pocos lo han hecho en la historia. 
Hijo del pastor de un pequeño pueblo en Alemania, recibió no obstante una buena educación que 
lo llevó a presentar su tesis doctoral delante de Gauss en Gottingen. 
Este último, reconocido como difícil de sorprender, quedó entusiasmado por el desarrollo que hizo 
Riemann sobre la teoría de la función de una variable compleja. Este episodio se recuerda como la 
única vez en la que Gauss haya expresado admiración por un trabajo ajeno. 
Ahí aparecen las famosas superficies de Riemann, las cuales generarían el enfoque topológico del 
análisis. Un poco más tarde clarificó la noción de integral mediante una nueva definición conocida 
como la "Integral de Riemann". 
Sus trabajos sobre los fundamentos de la geometría le permitieron generalizar la noción de 
espacio y son precursores de las teorías del siglo XX sobre los espacios abstractos. 
Pero su complexión débil lo hizo presa de la tuberculosis, un mal entonces incurable, y Riemann 
murió en 1866 a los 40 años. Sus obras, que caben en pocas páginas, son de una densidad tal que 
dejan trabajo e ideas incluso para los matemáticos de hoy en día. 
 
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CAPITULO I 
Las ecuaciones diferenciales aparecen con frecuencia en muchas ramas de la matemática, y sirven 
para plantear y resolver problemas provenientes de la física, la ingeniería, la economía, la biología 
y de las ciencias sociales, entre otras disciplinas. 
En esta notas de clase solamente se estudiara ecuaciones ordinarias, para empezar nuestro 
estudio es útil introducir ciertas definiciones básicas y la noción de solución de una ecuación 
diferencial. 
DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA 
 
DEFINICIÓN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL 
Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más variables 
independientes, se dice que es una ecuación diferencial (ED). 
 
 
 
 
 
En todo el libro las derivadas ordinarias se escribirán usando la notación de Leibniz 
2
2
, ,...,
n
n
dy d y d y
dx dx dx
 
o la notación prima  , , ,..., ny y y y   Usando 
 
ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA 
Si una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola 
variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) 
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias 3
dx dy
y x
dt dx
   , y xy  y 
( ) tan( )xy csen x y x   
ECUACION DIFERENCIAL PARCIAL 
Una ecuación que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más 
variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). 
Las 
u u
x y u
x y
 
 
 
 , y 
3 2
3 2
4
u u u
x t t
  
 
   
son ecuaciones diferenciales parciales 
DEFINICIÓN 1: ECUACION DIFERENCIAL 
Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más 
variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial (ED). 
 
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Las ecuaciones diferenciales ordinarias son identidades que vinculan una función con sus 
derivadas. Por ejemplo, si  y t denota el número de bacterias en una colonia en función del 
tiempo, la ecuación diferencial    y t ky t  , donde k es una constante positiva, expresa que el 
aumento de la población bacteriana, representada por la derivada y , es proporcional a la propia 
población y, esto es, mientras más bacterias hay, más rápido ellas se multiplican. 
 
 
 
 
 
Por ejemplo y xy  es de orden 1 ;  
3
0y y xy    es de orden 2. 
Simbólicamente podemos expresar una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden con una 
variable dependiente por la forma general ( )( , ( ), ( ), ( )...., ( )) 0nF x y x y x y x y x   , donde F es una 
función con valores reales de n + 2 variables: ( ), ( ), ( ), ( )...., ( )nx y x y x y x y x  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación diferencial ( 1)( , , , ...., )
n
n
n
d y
f x y y y y
dx
  , donde f es una función continua con valores 
reales, se conoce como la forma normal de la ecuación ( )( , ( ), ( ), ( )...., ( )) 0nF x y x y x y x y x   . Así 
que cuando sea adecuado para nuestros propósitos, usaremos las formas normales ( , )
dy
f x y
dx
 y 
2
2
( , , )
d y
f x y y
dx
 para representar en general las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y 
segundo orden. 
 
 
 
 
 
DEFINICIÓN 2: ORDEN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL 
 El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la mayor 
derivada en la ecuación. 
NOTA 
Por razones tanto prácticas como teóricas, de ahora en adelante supondremos que 
es posible resolver una ecuación diferencial ordinaria en la forma de la ecuación 
( )( , ( ), ( ), ( )...., ( )) 0nF x y x y x y x y x   únicamente para la mayor derivada ( )ny 
en términos de las n + 1 variables restantes. 
 
DEFINICIÓN 3: DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL 
Una EDO lineal de orden n es de forma 
( ) ( 1)
1 0( ) ( ) .... ( ) ( ) ( )
n n
n na x y a x y a x y a x y f x
     
Donde las funciones  ( ) , 1,...ia x i n   son llamadas coeficientes de la EDO lineal 
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DEFINICION 4. f(x) (llamado comúnmente lado derecho de la EDO) es idénticamente nulo, la EDO 
lineal se dice homogénea. Si ( ) 0f x  la EDO lineal se dice no homogénea. 
DEFINICION 5. Si los coeficientes ( )ia x no dependen de x, se dice que la EDO lineal es a 
coeficientes constantes. De lo contrario se dice que ella es a coeficientes variables. 
En el caso que ( ) 0na x  se puede dividir la EDO (1) por ( )na x . La EDO que así se obtiene queda 
( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ).... ( )
( ) ( ) ( )
n nn
n n n
a x a x a x
y y y y g x
a x a x a x
     con , 
( )
( )
( )n
f x
g x
a x
 
Se dice que está normalizada. 
EJEMPLO 1.    xy sen x tg x   . EDO lineal de orden 1 a coeficientes variables, no homogénea 
no normalizada. 
EJEMPLO 2. 2 0y y   . EDO lineal de orden 3 de coeficientes constantes, homogénea y 
normalizada. 
Una EDO no lineal es simplemente una EDO que no es lineal. Gran parte de esta nota de clases 
concierne en el estudio de EDO lineales. 
EJEMPLO.   2 21y y k  .EDO No lineal, de orden 1. Esta es la EDO de curva 
braquistócrona 
 
 
 
 
 
En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden 
( ) ( 1)
1 0( ) ( ) .... ( ) ( ) ( )
n n
n na x y a x y a x y a x y f x
     es una función  que 
posee al menos n derivadas para las que ( )( , ( ), ( ), ( )...., ( )) 0nF x x x x x      para toda x en I . 
Decimos que  satisface la ecuación diferencial en I . Para nuestros propósitos supondremos que 
una solución  es una función con valores reales. Ocasionalmente será conveniente denotar una 
solución con el símbolo alternativo y(x). 
El intervalo I en la definición también se conoce con otros nombres como son intervalo de defi 
nición, intervalo de existencia, intervalo de validez, o dominio de la solución y puede ser un 
intervalo abierto (a, b), un intervalo cerrado [a, b], etcétera. 
SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA 
Cualquier función  x , defi nida en un intervalo I y que tiene al menos n derivadas 
continuas en I , las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-
ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación 
en el intervalo. 
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FAMILIAS DE SOLUCIONES 
El estudio de ecuaciones diferenciales es similar al del cálculo integral. En algunos libros una 
solución  es algunas veces llamada integral de la ecuación y su gráfi ca se llama curva integral. 
Cuando obtenemos una antiderivada o una integral indefi nida encálculo, usamos una sola 
constante C de integración. 
De modo similar, cuando resolvemos una ecuación diferencial de primer orden  , , 0F x y y  , 
normalmente obtenemos una solución que contiene una sola constante arbitraria o parámetro C . 
Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto  , , 0G x y C  de 
soluciones llamado familia de soluciones uniparamétrica. 
Cuando resolvemos una ecuación diferencial de orden n,   , , , ,..., 0nF x y y y y   , buscamos una 
familia de soluciones n-paramétrica  1 2, , , ,..., 0nG x y C C C  . Esto signifi ca que una sola 
ecuación diferencial puede tener un número infi nito de soluciones correspondiendo a un número 
ilimitado de elecciones de los parámetros. Una solución de una ecuación diferencial que está libre 
de la elección de parámetros se llama solución particular. Por ejemplo, la familia uniparamétrica
cosy cx x x  es una solución explícita de la ecuación lineal de primer orden 2xy y x senx   en 
el intervalo  .  . La siguiente fi gura muestra las gráfi cas de algunas de las soluciones en 
esta familia. La solución cosy x x  , la curva azul en la fi gura, es una solución particular 
correspondiente a c = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
En lo sucesivo no haremos distinción entre las curvas integrales y las funciones que las definen. 
Por otra parte, la solución general de una ecuación diferencial es una expresión que agrupa, de 
manera compacta y explicita, la familia de todas las soluciones. Si toda solución de una ecuación 
de orden n,           , , , ,..., 0nF x x x x x      , en un intervalo I, se puede obtener partiendo 
de una familia n-paramétrica  1 2, , , ,..., 0nG x y C C C  , con valores adecuados de los parámetros 
iC (i=1,2, . . ., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial. Al resolver 
las ecuaciones diferenciales lineales vamos a imponer restricciones relativamente sencillas a los 
coeficientes de esas ecuaciones. 
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Con estas restricciones siempre nos aseguraremos no sólo de que exista una solución en un 
intervalo, sino también de que una familia de soluciones contenga todas las soluciones posibles. 
Las ecuaciones no lineales, a excepción de algunas de primer orden, son difíciles de resolver e 
incluso resultan irresolubles, en términos de las funciones elementales comunes (combinaciones 
finitas de potencias o raíces enteras de x, de funciones exponenciales y logarítmicas, o funciones 
trigonométricas o trigonométricas inversas). Además, si en cierto momento nos encontramos con 
una familia de soluciones de una ecuación no lineal, no es obvio cuando la familia es una solución 
general. Por lo anterior, y en un nivel práctico, el nombre “solución general” sólo se aplica a las 
ecuaciones diferenciales lineales. 
 
EJEMPLO 1. Consideremos la ecuación diferencial y’ = 0 en un intervalo I. recordemos que la 
derivada de una función en un intervalo es cero si, y solo si, la función es constante. Por lo tanto, 
la solución general de la ecuación es ( )y x C , con C 
En muchas ocasiones las ecuaciones diferenciales revelan una gran información cualitativa acerca 
de las curvas integrales, como vemos en el siguiente ejemplo: 
EJEMPLO 2. Consideremos la ecuación diferencial 𝑦′ = 1 − |𝑦| en ℝ , más adelante estudiaremos 
las técnicas que nos permitirán resolver este tipo de ecuación. Sin embargo, al examinar la 
ecuación diferencial podemos tener una idea de cómo son las curvas integrales. Vemos que las 
funciones constantes 𝑦(𝑥) ≡ 1 y 𝑦(𝑥) ≡ −1 son de clase 𝐶1 y satisfacen 𝑦′ = 1 − |𝑦| en ℝ, por lo 
que define curvas integrales de la EDO. Supongamos ahora que 𝑦: ℝ → ℝ define una curva integral 
de la EDO. En los puntos donde y toma valores entre -1 y 1, su derivada es positiva; luego y es 
creciente. En otro caso, y es decreciente. Además mientas más cerca esté y(x) de los valores 1 y -1, 
más cercana a 0 será su derivada. Si al contrario, |𝑦(𝑥)| es muy grande, la pendiente será muy 
pronunciada. 
 
Otro dato que obtenemos directamente de la ecuación es que si 𝑦: ℝ → ℝ define una curva 
integral, entonces la función 𝑦𝑐: ℝ → ℝ definida por 𝑦𝑐(𝑥) = 𝑦(𝑥 + 𝑐) también define una curva 
integral (basta sustituir en la ecuación). Esto nos dice que al trasladar una curva integral hacia la 
derecha o hacia la izquierda obtenemos mas curvas integrales. Con toda esta información 
deducimos que, de existir, las curvas integrales deben tener un aspectos bastantes similar a las 
que se muestran a en la gráfica siguiente. 
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PROBLEMAS DE VALOR INICIAL (PVI) 
A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son 
las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga a 0x , el 
problema 
  1
( 1)
0 0 0 1 0 2 0 1
, , , ,...
( ) , ( ) , ( ) ,... ( )
n
n
n
n
n
d y
F x y y y y
dx
y x y y x y y x y y x y




 

     
 
, en donde 0 1 2 1, , ,..., ny y y y  
son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial (PVI). Los 
valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n - 1 derivadas en un solo punto 
0x : 
( 1)
0 0 0 1 0 2 0 1( ) , ( ) , ( ) ,... ( )
n
ny x y y x y y x y y x y


     se llaman condiciones iniciales. EI PVI 
emmciado con las ecuaciones iniciales, también se denomina problema de valor inicial de 
enésimo orden 
LOS PVI DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN 
 
0 0
,
( )
dy
F x y
dx
y x y



 
 y 
 
2
2
0 0 0 1
, ,
( ) , ( )
d y
F x y y
dx
y x y y x y



  
 
, 
respectivamente son fáciles de
 
interpretar en términos geométricos. 
 Para las ecuaciones 
 
0 0
,
( )
dy
F x y
dx
y x y



 
 estamos buscando una solución
 
de la ecuación diferencial 
en un intervalo I que contenga a 0x , tal que la curva de solución pase por el punto prescrito 
0 0( , )x y 
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Para las ecuaciones 
 
2
2
0 0 0 1
, ,
( ) , ( )
d y
F x y y
dx
y x y y x y



  
 , deseamos determinar una solución de la ecuación 
diferencial cuya gráfica no sólo pase por 0 0( , )x y , sino que también pase por ese punto de tal 
manera que la pendiente de la curva en ese lugar sea 1y (ver figura). El término condición inicial 
0 0 0 1( ) ( )y x y y x y   procede de los sistemas físicos en que la variable independiente es el 
tiempo t y donde 0 0 0 1( ) ( )y t y y t y   representan, respectivamente, la posición y la velocidad 
de un objeto en cierto momento o tiempo inicial 0t . 
A menudo, la solución de un problema de valor inicial de orden n entraña la aplicación de una 
familia n-paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial dada para determinar n constantes 
especializadas, de tal modo que la solución particular que resulte para la ecuación “se ajuste” (0 
satisfaga) a las n condiciones iniciales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL 
Al resolver un problema de valor inicial surgen dos asuntos fundamentales: 
¿Existe una solución al problema? Si la hay, ¿es única? 
 
 
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Para un problema de valor inicial, como 
 
0 0
,
( )
dy
F x y
dx
y x y



 
, lo que se pregunta es: 
¿La ecuación diferencial  ,
dy
F x y
dx
 tiene solución?(EXISTENCIA).¿Alguna de las curvas 
solución pasa por el punto 
0 0( , )x y ?. ¿Cuándo podemos estar seguros de que hay precisamente 
una curva solución que pasa por el
0 0( , )x y ?(UNICIDAD) 
Dentro de los confines seguros de un curso formal de ecuaciones diferenciales, se puede asumir, 
que la mayor parte de las ecuaciones diferenciales tienen soluciones y que las soluciones de los 
problemas de valor inicial probablemente sean únicas. Sin embargo,en la vida real las cosas no 
son tan simples. Por consiguiente, antes de resolver un problema de valor inicial es preferible 
conocer, si existe una solución y, cuando exista, si es la única. Puesto que vamos a manejar 
ecuaciones diferenciales de primer orden en estos dos primeros capítulos, enunciaremos aquí, sin 
demostrarlo, un teorema que define las condiciones suficientes para garantizar la existencia y 
unicidad de una solución a un problema de valor inicial de primer orden, para ecuaciones que 
tengan la forma de las ecuaciones 
 
0 0
,
( )
dy
F x y
dx
y x y



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El resultado anterior es uno de los teoremas más comunes de existencia y unicidad para 
ecuaciones de primer orden, ya que es bastante fácil comprobar los criterios de continuidad de 
 ,
F
F x y
y



. 
En la figura podemos ver la interpretacidn geometrica del teorema. 
 
 
TEOREMA: Existencia de una solución única 
Sea R una región rectangular del plano xy, definida por , a x b c y d    , que contiene 
al punto 0 0( , )x y en su interior. Si  ,
F
F x y
y



 son continuas en R , entonces existe algún 
intervalo I  :  0 0,x h x h  , 0h  contenido en ,a b (centrado en 0x ), y una función única, 
y(x) definida en I  , que satisface el problema de valor inicial 
 
0 0
,
( )
dy
F x y
dx
y x y



 
. 
 
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EJEMPLO 1 
La función xy Ce es una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación de primer orden
y y  . Todas las soluciones en esta familia están defi nidas en el intervalo  ,  . Si 
imponemos una condición inicial, digamos,  0 3y  , tendríamos el PVI: 
 0 3
y y
y
 


 . Ahora al 
sustituir 0 3x y   en la familia se determina la constante 03 Ce C  por lo tanto 3
xy e 
es una solución del PVI planteado 
 
Ahora si hacemos que la curva solución pase por el punto  1, 2 en lugar de  0,3 , entonces 
 1 2y   se obtendrá   1 12 1 2y Ce C e      . En este caso 
12 xy e   es una solución del 
PVI 
 1 2
y y
y
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJEMPLO 2 
Se puede demostrar fasilmenta que que una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación 
diferencial de primer orden 22 0y xy   , es 
2
1
y
x C


 . Si establecemos la condición inicial
 0 1y   , entonces al sustituir 0 1x y    en la familia de soluciones, se obtiene 
1
1 1C
C
     . Así 
2
1
1
y
x


. Ahora enfatizamos las siguientes tres diferencias: 
• Considerada como una función, el dominio de   2
1
1
y x
x


 es el conjunto de todos los números 
reales x para los cuales  y x está defi nida, excepto 1x   y en 1x  . Véase la fi gura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Considerada como una solución de la ecuación diferencial 22 0y xy   , el intervalo I de defi 
nición de   2
1
1
y x
x


 podría tomarse como cualquier intervalo en el cual y(x) está defi nida y es 
derivable. Como se puede ver en la fi gura anterior, los intervalos más largos en los que 
  2
1
1
y x
x


 es una solución son  , 1  ,  1,1 y  1, . 
 
• Considerada como una solución del problema con valores iniciales 
 
22 0
0 1
y xy
y
  

 
, el intervalo I 
de defi nición de   2
1
1
y x
x


 podría ser cualquier intervalo en el cual y(x) está defi nida, es 
derivable y contiene al punto inicial 0x  ; el intervalo más largo para el cual esto es válido es 
 1,1 . Véase la curva roja en la fi gura 
 
 
 
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INTERVALO DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 
 
Suponga que  y x representa una solución del problema con valores iniciales 
 
 
0 0
,
( )
dy
F x y
dx
y x y



 
 . 
 
Los siguientes tres conjuntos de números reales en el eje x pueden no ser iguales: el dominio de la 
función  y x , el intervalo I en el cual la solución y(x) está definida o existe, y el intervalo I  de 
existencia y unicidad. 
El ejemplo 2 muestra la diferencia entre el dominio de una función y el intervalo I de definición. 
Ahora suponga que  0 0,x y es un punto en el interior de la región rectangular R en el teorema 
de existencia y unicidad. Esto da como resultado que la continuidad de la función  ,f x y en R 
por sí misma es suficiente para garantizar la existencia de al menos una solución de 
 
0 0
,
( )
dy
F x y
dx
y x y



 
, definida en algún intervalo 
 
I . El intervalo I de definición para este problema con valores iniciales normalmente se toma 
como el intervalo más grande que contiene 0x en el cual la solución  y x está definida y es 
derivable. 
 
El intervalo I depende tanto de  ,F x y como de la condición inicial  0 0y x y . La condición 
extra de continuidad de la primera derivada parcial /F y  en R nos permite decir que no sólo 
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existe una solución en algún intervalo I  que contiene 0x , sino que esta es la única solución que 
satisface  0 0y x y . Sin embargo, el teorema de existencia de una solución única no da ninguna 
indicación de los tamaños de los intervalos I e I  ; el intervalo de definición I no necesita ser tan 
amplio como la región R y el intervalo de existencia y unicidad I  puede no ser tan amplio como 
I . El número 0h  que define el intervalo I  :  0 0,x h x h  podría ser muy pequeño, por lo que 
es mejor considerar que la solución y(x) es única en un sentido local, esto es, una solución definida 
cerca del punto  0 0,x y ). Véase el siguiente ejemplo. 
 
EJEMPLO 
Las funciones   4
1
,
16
y x x x     y  
4
0, 0
, 01
16
x
y x x
x


 


, tienen el mismo dominio pero 
son obviamente diferentes. 
Véanse las figuras a) y b), respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ambas funciones son soluciones del problema con valores iniciales 
 
3
2
2 1
dy
xy
dx
y



 
 en el intervalo 
 ,  . 
 
COMENTARIOS 
 
(i) Las condiciones del teorema de existencia de una solución única son suficientes pero no 
necesarias. Esto significa que cuando  , /F x y F y  son continuas en una región rectangular 
R , debe siempre seguir que existe una solución de la ecuación
 
 0 0
,
dy
F x y
dx
y x y



 
 y es única siempre 
que  0 0,x y sea un punto interior a R . Sin embargo si las condiciones establecidas en la hipótesis 
del teorema de existencia de una solución única no son válidas, entonces puede ocurrir 
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cualquier cosa: el problema de la ecuación 
 
 0 0
,
dy
F x y
dx
y x y



 
 puede tener una solución y esta 
solución puede ser única o la ecuación
 
 0 0
,
dy
F x y
dx
y x y



 
 puede tener varias soluciones o puede no 
tener ninguna solución. 
(ii) Suponga que la ecuación diferencial de primer orden  ,
dy
F x y
dx
 tiene una familia 
uniparamétrica de soluciones y que  ,F x y satisface la hipótesis del teorema de existencia de 
una solución única en alguna región rectangular R del plano xy. Dos curvas solución diferentes 
no se pueden interceptar o ser tangentes entre sí en un punto  0 0,x y en R . 
Ya podemos resolver algunas ecuaciones diferenciales. Comenzaremos con las de primer orden 
elemental y veremos cómo hacerlo; el método dependerá del tipo de ecuación. 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 
DE PRIMER ORDEN 
 Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se escribe:  ,y F x y  , o 
 , , 0F x y y 
 
y se dice que ( )y x es solución en el intervalo I de esta ecuación si se 
verifica ( ) ( , ( )) , x Ix F x x     , es decir, si cuando se sustituye en la ecuación y por su 
expresión e y por la expresión de la derivada, lo que se obtiene es una identidad, algo que es 
ciertopara todo x I  . 
 
EJEMPLO La función 
xy e es solución de la ecuación y y   en todo , ya que 
( ) ( ) x Ixy x e y x       
Pero también es solución cualquier función de la forma 
xy Ce siendo C una constante 
arbitraria, puesto 
Que ( ) ( ) x I
xy x Ce y x       
Julio Flores Dionicio Página 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así pues, la ecuación del Ejemplo tiene infinitas soluciones, lo que no es una particularidad de 
esta ecuación concreta. La ecuación diferencial ordinaria  ,y F x y  posee, en general, una 
«familia» de infinitas soluciones dependientes de una constante arbitraria, a la que se llama 
solución general de  ,y F x y  . Para cada valor de dicha constante arbitraria se obtiene una 
solución particular. 
Se llama resolver una ecuación diferencial a encontrar su solución general. En realidad, esto sólo 
es posible para unas cuantas (pocas) ecuaciones sencillas. Para la inmensa mayoría de las 
ecuaciones diferenciales es necesario recurrir a métodos numéricos y calcular soluciones 
aproximadas con ayuda de un ordenador. 
Con frecuencia lo que interesa en las aplicaciones es encontrar una solución particular que 
verifique alguna condición eadicional. Por ejemplo, que toma un valor dado para un valor, 
también dado, de la variable independiente. 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 
ELEMENTALES DE PRIMER ORDEN 
A continuación estudiaremos algunas técnicas que nos permitirán determinar las soluciones de 
una gran cantidad de EDO. Comenzaremos por analizar tres tipos de ecuaciones de primer orden 
que llamaremos elementales. 
 PRIMER TIPO: INTEGRACION DIRECTA (ID): ( )y f x  (1) 
 SEGUNDO TIPO. VARIABLE SEPARABLE (vs): ( ) ( )y f x g y  (2) 
 TERCER TIPO: LINEALES DE PRIMER ORDEN (LI):    y a t y b t   (3) 
Julio Flores Dionicio Página 16 
 
Posteriormente estudiaremos algunas otras ecuaciones de primer y segundo orden que pueden 
reducirse a estos elementales. 
Para resolver los casos elementales, será útil el cálculo de primitivas y recordar el conocido 
Teorema Fundamental del Cálculo. 
TEOREMA (TFC). Sea f integrable en  ,a b , entonces, dado  0 ,x a b e 0y  , la función y, 
definida por 
0
0( ) ( )
x
x
y x y f s ds   , para  ,x a b , 
Es continua en  ,a b y se tiene 0 0( )y x y . Si además f es continua en  ,a b entonces la función 
y(x) es también derivable en  ,a b con derivada continua igual a  f x , esto es, se tiene que 
0
0( ) ( )
x
x
y x y y s ds   ,  ,x a b  y 
0
( ) ( )
x
x
d
f s ds f x
ds
  ,x a b  
Nos enfocaremos en la resolución de las ecuaciones y no siempre seremos demasiados rigurosos 
en los aspectos teóricos que justifican los cálculos. Estos aspectos (existencia, unicidad, 
regularidad de la solución) serán tratados con más profundidad en otros cursos. 
PRIMER TIPO: INTEGRACION DIRECTA (ID) 
 
 
 
Si la función f es integrable (por ejemplo si es continua o continua por pedazos), las soluciones 
existen y están dadas por: ( )y f x dx C  Donde 
C R es una constante arbitraria. 
EJEMPLO 1. Las soluciones de la ecuación ( )y sen x  son de la forma 
 ( ) cos( )y sen x dx C x C     , con C R 
EJEMPLO 2. La ecuación y x  tiene como soluciones a las funciones de la forma 
 
2
2
x
y xdx C C    , con C R 
Denotaremos por C genéricamente a una constante arbitraria sin importar las eventualidades 
transformaciones biyectivas que la mantienen arbitraria (ponderaciones por un escalar no nulo, 
Es una ecuación de la forma 
( )y f x 
 
 
Julio Flores Dionicio Página 17 
 
cambios de signo, suma de otra constante). Por ejemplo ,2 , 2 , 4C C C C  pueden ser 
representados por una misma constante genérica. Si la transformación no es biyectiva, por 
ejemplo 2C , entonces se pierde la arbitrariedad y es mejor escribir explícitamente 2C o precisar 
de algún modo que la constante no puede ser negativa. 
EJEMPLO 3. Estudiaremos la ecuación 
1
y
x
  para 0x  . 
SOLUCIÓN ln( ) ln( ) ln( ) ln( )
dx
y C x C x k k x
x
       , 0k  , 
En el cálculo anterior hemos reemplazado la constante arbitraria C por ln(k) (donde 0
Ck e  ) 
para escribir la solución de manera mas compacta y sin perder arbitrariedad. Observemos también 
que el modulo en el logaritmo nos da la primitiva correcta de 
1
x
 cuando x <0. Como x ni es 
derivable en 0x  , se considera la resolución de la EDO separadamente en cada intervalo  ,0 
y  ,0 . 
PROBLEMA DE CAUCHY (PVI) 
Supongamos que ahora que queremos encontrar la solución de ( )y f x  definida sobre un 
intervalo I y que además pase por cierto punto  0 0,x y dado. Esto es, queremos resolver el 
siguiente problema (PROBLEMA DE CAUCHY). 
 
0 0
( ) ( ) ,
( )
y x f x para todo x I
y x y
  


 
Integrando la ecuación ( )y f x  entre 0x y x I obtenemos 
 
0 0
( ) ( )
x x
x x
y s ds f s ds   y del TFC , se tiene que 
0
0( ) ( ) ( )
x
x
y x y x f s ds   . 
Detengámonos aquí para comprobar (7) y (8). La función 
0
( ) ( )
x
x
F x f s ds  en (8) es una 
primitiva bien particular de f: aquella que cumple 0( ) 0F x  . Entonces la constante C en (7) 
deja de ser arbitraria y se tiene que 0( )C y x . 
Julio Flores Dionicio Página 18 
 
Esto nos dice que el problema de Cauchy que nos planteamos tiene una única solución para cada 
condición inicial. 
SEGUNDO TIPO: VARIABLES SEPARABLES (vs) 
 
 
 
 
 
 
Observe que al dividir entre la función  g y , podemos escribir una ecuación separable 
 ( )
dy
f x g y
dx
 como 
 
1
( )
dy
f x
g y dx
 o   ( )
dy
h y f x
dx
 , donde, por conveniencia  h y 
representa a 
 
1
g y
. 
Ahora sí  y x representa una solución de la ecuación   ( )
dy
h y f x
dx
 , se tiene que 
     ( )h x x f x   , y por tanto       h x x dx f x dx    . Pero  dy x dx , por lo que 
la ecuación       h x x dx f x dx    es la misma que 
   h y dy f x dx  o ( ) ( )G y F x C  , donde C R es una constante arbitraria. ( )G y y 
( )F x son antiderivadas de  
 
1
h y
g y
 y  f x , respectivamente. 
Si queremos una formula explicita para las soluciones debemos despejar y en función de x en la 
relación anterior. Si no se puede despejar y las soluciones quedan expresadas de manera 
implícita o paramétrica 
EJEMPLO 1. 
Resuelva la ecuación diferencial 
26
2 cos
dy x
dx y y


 
SOLUCIÓN 
Al escribir la ecuación en forma diferencial e integrar ambos lados, se tiene 
   2 2 2 32 cos 6 2 cos 6 2y y dy x dx y y dy x dx y seny x C          , donde C es una 
constante. La ecuación 32seny x C   da la solución general en forma implícita. En este caso, es 
imposible resolver la ecuación para expresar y de forma explícita como una función de x. 
Una EDO de primer orden de la forma 
( ) ( )
dy
f x g y
dx

 (*) 
Se dice que es de variables separables 
Julio Flores Dionicio Página 19 
 
En la figura se muestran las gráficas de varios miembros de la familia de soluciones de la ecuación 
diferencial del ejemplo 1. Como se ve en las curvas de izquierda a derecha, los valores de C son 3, 
2, 1, 0, -1, -2 y -3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 2. Analicemos la ecuación y xy  . 
SOLUCIÓN 
Aquí ( )f x x y ( )y y y . Observemos primero que la función nula ( ) 0y x  define una 
solución de la EDO. Si 0y  hacemos
dy
xds C
y
   . Tenemos entonces que 
2
ln( )
2
x
y C  , de donde2
2
2ln( ) exp
2
x
x
y C ke
 
   
 
, donde 0
Ck e  . Eliminando el 
modulo y considerando los posibles valores positivos y negativos vemos que todas las soluciones 
son de forma 
2
2
x
y ke . 
EJEMPLO 3. Estudiaremos ahora la EDO 
2cos ( )y y  . 
SOLUCIÓN 
En este caso ( ) 1f x  y 
2( ) cos ( )g y y . Las soluciones constantes son de la forma 
2
( )y x k   k . Para las demás soluciones, 2cos ( )
dy
dx C
y
   
 
2sec ( )y dy x C  de aquí, tan( )y x C  , donde C R 
. Para 2 2( , )y
   esto es arctan( )y x C  . 
Julio Flores Dionicio Página 20 
 
Para los demás valores de y debemos tener en cuenta la periodicidad de la función tangente. 
Tenemos entonces que todas las soluciones no constantes son de la forma 
arctan( )y k x C   ,con C R y k Z
 
Ejemplo 4 
 BRAQUISTOGRONA. 
Se denomina así a la forma que debe tener un alambre para que una argolla que se desliza por el 
sin roce bajo acción de la gravedad de un punto a otro de menor altura y no en la misma vertical, 
lo haga en el menor tiempo posible. 
El EDO que describe la forma de la curva es   2 21y y k  , donde k es una constante 
positiva. 
SOLUCIÓN 
Utilizando el método de separación de variables, se tiene 
1
2 2k y
y
y
 
   
 
 
De aquí ∫
√𝑦
√𝑘2−𝑦
𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶 , haciendo 𝑦 = 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝜃 ⇒ 𝑑𝑦 = 2𝑘2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 obtenemos 
∫
𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃2𝑘2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃
𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑥 + 𝐶 entonces 2𝑘2 ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝜃 = 𝑥 + 𝐶 de aquí 2𝑘2 ∫
1−cos (2𝜃)
2
𝑑𝜃 =
𝑥 + 𝐶, entonces2𝑘2 (
𝜃
2
−
𝑠𝑒𝑛2𝜃
4
) = 𝑥 + 𝐶 ,luego 𝑥 = 2𝑘2 (
𝜃
2
−
𝑠𝑒𝑛2𝜃
4
) − 𝐶 Por lo tanto, se tiene 
que 𝑥 = 𝑥(𝜃) e 𝑦 = 𝑦(𝜃) con 
𝑥 =
𝑘2
2
(2𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) − 𝐶 ; 𝑦 =
𝑘2
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃). 
Si ahora hacemos 𝑤 = 2𝜃 , vemos que 𝑥 =
𝑘2
2
(𝑤 − 𝑠𝑒𝑛𝑤) − 𝐶 
 
 
 
Julio Flores Dionicio Página 21 
 
𝑦 =
𝑘2
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑤), Con 𝑤 ∈ ℝ. La solución es una familia de curvas llamadas cicloides. Ver 
figura . 
 
PÉRDIDA DE UNA SOLUCIÓN 
Se debe tener cuidado al separar las variables ya que las variables que sean divisores podrían ser 
cero en un punto. Concretamente, si r es una raíz de la función  g y , entonces sustituyendo 
y r en  ( )
dy
f x g y
dx
 , se encuentra que ambos lados son iguales a cero; es decir, y r es 
una solución constante de la ecuación diferencial. Pero después de que las variables se separan, el 
lado izquierdo de 
 
( )
dy
f x dx
g y
 está indefi nido en r. Por tanto, y r podría no representar a 
la familia de soluciones que se ha obtenido después de la integración 
y simplificación. Recuerde que una solución de este tipo se llama solución singular 
Ejemplo 5 
PÉRDIDA DE UNA SOLUCIÓN 
Analicemos la ecuación 
2 4
dy
y
dx
  
SOLUCIÓN 
 Poniendo la ecuación en la forma 2
1/ 4 1/ 4
4 2 2
dy
dx dy dx
y y y
 
    
   
 (1) 
La segunda ecuación en la ecuación (1) es el resultado de utilizar fracciones parciales en el lado 
izquierdo de la primera ecuación. Integrando y utilizando las leyes de los logaritmos se obtiene
1
1 1
ln 2 ln 2
4 4
y y x C     o 2
2
ln 4
2
y
x C
y

 

 o 
24
2
2
x Cy
e
y

 

. Aquí hemos 
-0.8 
-1 
-0.6 
-0.4 
-0.2 
 0.5 1 1.5 
0 Y 
X 
Curva Braquistócrona con 𝑥 ∈ [0, 𝜋
2
] y ∈ [−1,0], parámetro k =1 y constante C = 0 
Julio Flores Dionicio Página 22 
 
sustituido 
14C por 2C . Por último, después de sustituir 
2Ce por C y despejando y de la última 
ecuación, obtenemos una familia uniparamétrica de soluciones 
4
4
1
2
1
x
x
Ce
y
Ce



 (2) 
Ahora, si factorizamos el lado derecho de la ecuación diferencial como   2 2
dy
y y
dx
  
dy_dx _ 
(y _ 2)(y _ 2), sabemos del análisis de puntos críticos que  2y  y y  2y  son dos 
soluciones constantes (de equilibrio). La solución 2y  es un miembro de la familia de 
soluciones definida por la ecuación (2) correspondiendo al valor 0C  . Sin embargo, 2y   
es una solución singular; ésta no se puede obtener de la ecuación (2) para cualquier elección del 
parámetro C . La última solución se perdió al inicio del proceso de solución. El examen de la 
ecuación (1) indica claramente que debemos excluir 2y   en estos pasos. 
EJEMPLO 6 
Un problema con valores iniciales 
Resuelva 
 
 
2 cos 2
0 0
y ydye y x e sen x
dx
y

 

 
 
SOLUCIÓN 
Dividiendo la ecuación entre cosye x se obtiene 
2 2
cos
y
y
e y sen x
dy dx
e x

 
Antes de integrar se realiza la división del lado izquierdo y utilizamos la identidad trigonométrica 
2 2 cossen x senx x en el lado derecho. Entonces integrando   2y ye ye dy senxdx   , se 
obtiene 2cosy y ye ye e x C      
La condición inicial  0y cuando 0x  implica que 4C  . Por tanto una solución del problema 
con valores iniciales es 2cos 4y y ye ye e x      
Antes de dar el ejemplo 7 veamos algo sobre reacciones químicas. 
 
REACCIONES QUÍMICAS 
REACCIONES QUÍMICAS La desintegración de una sustancia radiactiva, caracterizada por la 
ecuación diferencial 
dX
kX
dt
 , se dice que es una reacción de primer orden. En química hay 
algunas reacciones que siguen esta misma ley empírica: si las moléculas de la sustancia A se 
descomponen y forman moléculas más pequeñas, es natural suponer que la rapidez con que se 
lleva a cabo esa descomposición es proporcional a la cantidad de la primera sustancia que no ha 
experimentado la conversión; esto es, si  X t es la cantidad de la sustancia A que permanece en 
cualquier momento, entonces 
dX
kX
dt
 , donde k es una constante negativa ya que X es 
Julio Flores Dionicio Página 23 
 
decreciente. Un ejemplo de una reacción química de primer orden es la conversión del cloruro de 
terbutilo,  3 3CH CCI en alcohol t-butílico  3 3CH COH : 
   3 33 3a aCH CCI N OH CH COH N CI   . 
Sólo la concentración del cloruro de terbutilo controla la rapidez de la reacción. Pero en la 
reacción 
3 3a aCH CI N OH CH OH N CI   se consume una molécula de hidróxido de sodio,
aN OH , por cada molécula de cloruro de metilo, 3CH CI , por lo que se forma una molécula de 
alcohol metílico, 
3CH OH y una molécula de cloruro de sodio, aN CI . En este caso, la razón con 
que avanza la reacción es proporcional al producto de las concentraciones de 
3CH CI y aN OH
que quedan. Para describir en general esta segunda reacción, supongamos una molécula de una 
sustancia A que se combina con una molécula de una sustancia B para formar una molécula de 
una sustancia C . Si X denota la cantidad de un químico C formado al tiempo t y si  y  son, 
respectivamente, las cantidades de los dos químicos A y B en 0t  (cantidades iniciales), 
entonces las cantidades instantáneas no convertidas de A y B al químico C son X  y X  , 
respectivamente. Por lo que la razón de formación de C está dada por 
 
  
dX
k X X
dt
   
, donde k es una constante de proporcionalidad. Una 
reacción cuyo modelo es la ecuación   
dX
k X X
dt
    se dice que es una reacción de 
segundo orden. 
 
Suponga que a gramos de una sustancia química A se combinan con b gramos de una sustancia 
química B . Si hay M partes de A y N partes de B formadas en el compuesto y  X t es el 
número de gramos de la sustancia química C formada, entonces el número de gramos de la 
sustancia química A y el número de gramos de la sustancia química B que quedan al tiempo t 
son, respectivamente, 
 
M
a X
M N


 y 
N
b X
M N


 
 
La ley de acción de masas establece que cuando no hay ningún cambio de temperatura, la razón 
con la que reaccionan las dos sustancias es proporcional al producto de las cantidades de A y de B 
que aún no se han transformado al tiempo t: 
dX M N
a X b X
dt M N M N
  
    
   ( %) 
Si se saca el factor 
M
M N
 del primer factor y 
N
M N
 del segundo y se introduce una constante 
de proporcionalidad 0k  , la expresión (%) toma la forma 
 
  
dX
k X X
dt
   
 (+++) 
 
Julio Flores Dionicio Página 24 
 
donde 
M N
a
M


 y 
M N
b
N


 . Una reacción química gobernada por la ecuación diferencial 
no lineal (+++) como sabemos es una reacción de segundo orden. 
 
EJEMPLO 7 Reacción química de segundo orden 
 
Cuando se combinan dos sustancias químicas A y B se forma un compuesto C. La reacción 
resultante entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. 
Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Determine la cantidad 
de C en el tiempo t si la razón de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan 
y si inicialmente hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 
minutos? Interprete la solución cuando t  . 
SOLUCIÓN 
Sea  X t la cantidad de gramos del compuesto C presentes en el tiempo t. Es obvio que 
 0 0X g y  10 30X g . 
Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto C, hemos debido usar, digamos, a gramos de A y b 
gramos de B, así a + b = 2 y b= 4a. Por tanto, debemos usar 
2 1
2
5 5
a
 
   
 
 de la sustancia química 
A y 
8 4
2
5 5
b g
 
   
 
 de B. En general, para obtener X gramos de C debemos usar 
1
5
X gramos de 
A y 
4
5
X gramos de B. 
Entonces las cantidades de A y B que quedan al tiempo t son 
1
50
5
X y 
4
32
5
X
respectivamente. Sabemos que la razón con la que se forma el compuesto C satisface que 
 
1 4
50 32
5 5
dX
X X
dt
  
    
  
. Para simplificar las operaciones algebraicas subsecuentes, factorizamos 
1
5
 del primer término y 
4
5
 del segundo y después introduciremos la constante de 
proporcionalidad:   250 40
dX
k X X
dt
   . Separamos variables y por fracciones parciales 
podemos escribir que 
1 1
210 210
250 40
dX dX kdt
X X
 
 
, Integrando se obtiene 
1
250
ln 210
40
X
kt C
X

 

 o 210
2
250
40
ktX C e
X



 
 
Cuando 0t  , 0X  , se tiene que en este punto 
2
25
4
C  . Usando  10 30X g en t = 10 
encontramos que 
1 88
210 ln 0.1258
10 25
k   . Con esta información se despeja X de la última 
ecuación:  
0.1258
0.1258
1
1000
25 4
t
t
e
X t
e





 
En la fi gura se presenta el comportamiento de X como una función del tiempo. 
Julio Flores Dionicio Página 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es claro de la tabla adjunta y de la ecuación anterior que 40X  conforme t  . Esto significa 
que se forman 40 gramos del compuesto C, quedando 
 
 
1
50 40 42
5
g  de A y 
4
32
5
X A y  
4
32 40 0
5
g  de B 
TERCER TIPO 
LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolveremos la ecuación        y t a t y t b t   en cuatro partes: 
   ) 0i y t a y t   , donde a es una constante. 
   ) ii y t a y t b   , donde a y b es una constante diferentes de cero. 
     ) iii y t a y t b t   , donde b(t) es una función continua en 0, . 
       ) iv y t a t y t b t   , donde a(t) y b(t)son funciones continuas en  0, . 
 
 
 
 
Supongamos que y es solución de (i). Luego ( ) ( ) 0y t ay t   . Por consiguiente 
( ( ) ( )) 0ate y t ay t    ( ) ( ) ( ( )) 0
at at ate y t ae y t e y t    existe una constante C tal que 
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma 
       y t a t y t b t   
Se dice que es una ecuación lineal en la variable dependiente y. 
 
(i)     0,y t ay t a    
 
Julio Flores Dionicio Página 26 
 
( )ate y t C , de aquí ( )
aty t Ce como C es un constante arbitraria es dable aseverar que 
las soluciones de (i) son infinitas y todas ellas están comprendidas en ( )
aty t Ce , esta 
( ) aty t Ce es llamada solución general de (i) 
(Recordar ( ( ) ( ) ( ( ))
at ate y t ay t e y t   ). Ahora bien, frecuentemente una ecuación 
diferencial y’(t) + ay(t) = 0 viene acompañada de una condición adicional 0( )y t  ( número 
real arbitrario) lo que da lugar a un problema de valor inicial (PVI). 
PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI): 
 
0
( ) 0
( )
y t ay t
y t 
  

 
 Veremos que el PVI tiene una única, solución. Para ello basta evaluar en 𝑡0 a la función 
( ) aty t Ce (solución general de la ecuación diferencial). 
En efecto      00 00
a t tat at
y t Ce C e y t e  
 
      , solución única de ecuación 
diferencial en estudio 
 
EJEMPLO 1 
Resolver 3 0y y   
 
Solución 
Multiplicando por 
3xe obtenemos  3 3 30 0x x xe y e y e y      , entonces existe una constante C 
talque 3 3x xe y C y Ce   
 
EJEMPLO 2 
Resolver    y t ky t  , done k es una constante positiva;  0 12y  
 
Solución 
Multiplicando por 
kte obtenemos  0 0kt kt kte y e ky e y        , entonces existe una 
constante C talque  kt kte y C y t Ce    .Ahora para 0t  , obtenemos 
  .012 0 12ky Ce C    .Luego   12 kty t e 
 
Julio Flores Dionicio Página 27 
 
APLICACIONES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ensayo sobre el principio de la población – Thomas Malthus (1798) 
Publicada en el siglo XVIII, es probablemente el ensayo sobre demografía más conocido del 
mundo. Elaborado por el economista inglés Thomas Maltus, en la que desarrollaba un modelo 
matemático en el que hacia una previsión del crecimiento de la población (crecimiento 
exponencial según su ensayo) y como se regulaba este crecimiento debido a la futura escasez de 
alimentos (hambrunas) así como el estallido de guerras y epidemias. 
Todo y que la mayoría de sus predicciones nunca llegaron a cumplirse, su obra aparece como una 
de las más influyentes, sobretodo en Inglaterra, donde aprovechándose de sus teorías se 
degradaron mucho las condiciones de vida de las ya desfavorecidas clases bajas y obreras inglesas. 
También influyó a los biólogos Darwin y Wallace o, más recientemente el economista John 
Maynard Keynes. 
Aún hoy en día sus teorías son objeto de discusión y controversia. 
La curiosidad: Malthus era pastor anglicano y provenía de una familia de clase alta. Gracias a su 
padre mantuvo relación directa con destacados filósofos de la época como David Hume y Jean-
Jaques Rousseau. 
 
 
Julio Flores Dionicio Página 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
En esta sección introduciremos la idea de una ecuación diferencial como un modelo matemático y 
analizaremos algunos modelos específicos en biología, química y física 
Con frecuencia es deseable describir en términos matemáticos el comportamiento de algunos 
sistemas o fenómenos de la vida real, sean físicos, sociológicos o hasta económicos. La descripción 
matemática de un sistema de fenómenos se llama modelo matemático y se construye con ciertos 
objetivos. Por ejemplo, podemos desear entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar 
el crecimiento de la población animal en ese sistema, o podemos desear datar fósiles y analizar el 
decaimiento de una sustancia radiactiva ya sea en el fósil o en el estrato en que éste fue 
descubierto. 
1) DINÁMICA POBLACIONAL 
Uno de los primeros intentos para modelar el crecimiento de la población humana por medio de 
las matemáticas fue realizado en 1798 por el economista inglés Thomas Malthus. Básicamente la 
idea detrás del modelo de Malthus es la suposición de que la razón con la que la población de un 
país en un cierto tiempo es proporcional* a la población total del país en ese tiempo. En otras 
palabras, entre más personas estén presentes al tiempo t, habrá más en el futuro. En términos 
matemáticos, si P(t) denota la población al tiempo t, entonces esta suposición se puede expresar 
como 
 
dP
kP
dt
(1) 
 
Donde k es una constante de proporcionalidad. Este modelo simple, falla si se consideran muchos 
otros factores que pueden influir en el crecimiento o decrecimiento (por ejemplo, inmigración y 
emigración), resultó, sin embargo, bastante exacto en predecir la población de los Estados Unidos, 
durante 1790-1860. Las poblaciones que crecen con una razón descrita por la ecuación (1) son 
raras; sin embargo, (1) aún se usa para modelar el crecimiento de pequeñas poblaciones en 
intervalos de tiempo cortos (por ejemplo, crecimiento de bacterias en una caja de Petri). 
Supóngase que el numero P(t) de una población en el tiempo t sigue una ley de crecimiento 
exponencial, entonces la razón de cambio de una población es proporcional a la población 
existente en dicho instante
  00
dP
kP
dt
P P



 
 
 EL PVI 
   
 0
0y t ay t
y t 
  


 COMO MODELOS MATEMÁTICOS 
Julio Flores Dionicio Página 29 
 
 Esta ecuación lineal tiene como solución   0
ktP t Pe , donde 
0P es la población inicial Por 
lo tanto, se concluye que el crecimiento poblacional continuara indefinidamente, es decir: 


)(tPlím
t
 
Con crecimiento exponencial una población crecería en forma indefinida al avanzar el tiempo. 
Sin embargo, en realidad, cuando la población crece lo suficiente existen factores del medio 
ambiente que reducen la tasa de crecimiento. Algunos ejemplos son disponibilidad de 
alimentos, depredadores, hacinamiento, etc. Estos factores ocasionan que al final 
dt
dP
 disminuya 
El modelo de la ecuación (1) para crecimiento también se puede ver como la ecuación
dS
rS
dt
 , 
que describe el crecimiento del capital S cuando está a una tasa anual de interés r compuesto 
continuamente 
 
2) DECAIMIENTO RADIACTIVO 
El núcleo de un átomo está formado por combinaciones de protones y neutrones. Muchas de esas 
combinaciones son inestables, esto es, los átomos se desintegran o se convierten en átomos de 
otras sustancias. Se dice que estos núcleos son radiactivos. Por ejemplo, con el tiempo, el radio Ra 
226, intensamente radiactivo, se transforma en el radiactivo gas radón, Rn-222. 
Para modelar el fenómeno del decaimiento radiactivo, se supone que la razón 
dN
dt
 con la que los 
núcleos de una sustancia se desintegran es proporcional a la cantidad (más precisamente, el 
número de núcleos),  N t de la sustancia que queda al tiempo t; esto es 
dN
kN
dt
 …(2) 
Por supuesto que las ecuaciones (1) y (2) son exactamente iguales; la diferencia radica sólo en la 
interpretación de los símbolos y de las constantes de proporcionalidad. En el caso del crecimiento, 
como esperamos en la ecuación (l), k > 0, y para la desintegración como en la ecuación (2), k < 0. 
El modelo de desintegración de la ecuación (2) también se aplica a sistemas biológicos tales como 
la determinación de la “vida media” de un medicamento, es decir, el tiempo que le toma a 50% del 
medicamento ser eliminado del cuerpo por excreción o metabolización. En química el modelo del 
decaimiento, ecuación (2), se presenta en la descripción matemática de una reacción química de 
primer orden. Lo importante aquí es: Una sola ecuación diferencial puede servir como modelo 
matemático de muchos fenómenos distintos. Con frecuencia, los modelos matemáticos se 
acompañan de condiciones que los definen. Por ejemplo, en las ecuaciones (l) y (2) esperaríamos 
conocer una población inicial 0P y por otra parte la cantidad inicial de sustancia radioactiva 0N . Si 
el tiempo inicial se toma en 0t  , sabemos que   00P P y que   00N N . En otras palabras, un 
modelo matemático puede consistir en un problema con valores iniciales o, como veremos más 
adelante , en un problema con valores en la frontera. 
 
Julio Flores Dionicio Página 30 
 
SOLUCION AL PVI: 
  00
dN
kN
dt
N N

 

 
 
Muchas sustancias ( o materiales ) radioactivos se desintegran a una velocidad que es 
proporcional a la cantidad de sustancias ( o material ) presente en dicho instante. En el PVI 
planteado  N t denota la cantidad de sustancia o elemento radiactivo presente en el instante “t” 
y k es una constante positiva. 
La ecuación    N t kN t   o equivalentemente     0N t kN t   . para resolver multiplicamos 
a ambos miembros por 𝑒𝑘𝑡 obtenemos N'(t) 𝑒𝑘𝑡 + k N(t) 𝑒𝑘𝑡 = 0 ⟺ (N(t) 𝑒𝑘𝑡 )' = 0 entonces 
existe una constante C tal que N(t) 𝑒𝑘𝑡 = C ⟺ N(t) = C e-kt , evaluando en t = 0 obtenemos C = 
N(0) remplazando este valor obtenemos   0
ktN t N e 
En donde 0N y k son constante positivas. 
 0N Representa la cantidad del elemento que está presente al tiempo t = 0 y se le denomina 
cantidad inicial. 
 La constante k depende del elemento particular implicado y se llama constante de 
decrecimiento ó decaimiento. 
 El concepto de semi-vida (o vida media), que definiremos a continuación, reviste particular 
importancia; denotamos con  el tiempo que debe transcurrir para que la cantidad inicial N(0) se 
reduzca a 
2
)0(N
 esto es 
2
)0(N
 = N(0) = N(0)e-k luego – ln2 = -k , es decir 
2In
k
  . 
Observamos que, conocida como la semi-vida (o vida media) de la sustancia(o elemento) en 
estudios , es independiente de la cantidad inicial N(0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1 
Si el 45% de una sustancia radioactiva se desintegra en 200 años .¿Cuál es su vida media? y ¿En 
cuánto tiempo se desintegrará 60% de la cantidad original?. 
Solución 
a) Si el 45% se desintegra, permanece sin desintegrar el 55% luego: 
Julio Flores Dionicio Página 31 
 
 
100
55
N(0) = N(0)e-200k es decir 
20
11
 = e-200k luego ln 
20
11
= -200k 
  k = 
200
1
(ln20-ln11). Por tanto  =
k
2ln
 así  = 
11ln20ln
2ln200

. 
 b) Si el 60% se desintegra permanece sin desintegrar 40%. 
 Luego: 
100
40
N(0) = N(0)e-kt 
5
2
 e-kt  kt
5
2
ln 





 de ahí que t = - 
k
l
ln 





5
2
, 
en donde k = 
200
1
(ln20 – ln11). 
Ejemplo 2 
Si después de 50 días se tiene el 60% de una sustancia radioactiva, determina la constante de 
decrecimiento y la vida media de la sustancia. 
Solución 
100
60
N(0) = N(0)e-50k  In(0,6) = -50k luego k = - 
50
)6,0ln(
 y 
 = 
k
)2(In
 67,82 días. 
Ejemplo3 Un isótopo radioactivo tiene una vida media de 16 días. Ud desea obtener 30g al final de 
30 días. ¿Cuál es la cantidad inicial del isótopo necesaria? 
 
Solución 
Como el tiempo de vida media está en días trabajaremos en dicha unidad de tiempo. Sea N(t) la 
cantidad presente al momento t y N(0) la cantidad que andamos buscando Sabemos que: 
𝑵(𝒕) = 𝑵(𝟎)𝒆−𝒌𝒕, donde k es una constante. Usando el tiempo de vida media  para determinar 
k, se tiene que:  2ln
16
1
k 
Por consiguiente,   30)0(30 30   KeNN 
 
geeN K 04.1103030)0(
2ln
16
30
30  
Ejemplo 4 
Suponer que 10 gramos del isótopo 239Pu se liberaron en el accidente nuclear de Chernobyl. 
¿Cuánto tiempo tomará a los 10 gramos disminuir a 1 gramo? 
 
Solución 
Considerar que N representa la masa (en gramos) del plutonio. Dado que la tasa de desintegración 
es proporcional a y, se sabe que 𝑵(𝒕) = 𝑵(𝟎)𝒆−𝒌𝒕 donde t es el tiempo en años. Para encontrar 
los valores de las constantes N(0) y k, aplicar las condiciones iniciales. Con base en que N(0) = 10 
cuando t = 0, lo cual implica que C = 10. Luego, con base en el hecho de que la vida media de 
239Pu es de 24 100 años se puede tener 
ln 2 ln 2
24100 0.000028761
24100
k
k
    
 
Julio Flores Dionicio Página 32 
 
Así, el modelo es   0.00002876110 tN t e 
Para encontrar el tiempo en que 10 gramos decrecen a 1 gramo, se puede despejar para t en la 
ecuación 0.0000287611 10 80059te t   
La solución es aproximadamente 80 059 años. 
NOTA DE ENRIQUECIMIENTO(Carbono 14(C14)) 
 
METODO DEL CARBONO 14 
La técnica llamada del C14, para datar un objeto consiste en medir la cantidad de C-14 que queda 
en la actualidad en dicho objeto, y utilizar la forma de las soluciones de la ecuación de 
decaimiento radiactivo para calcular el tiempo que ha pasado. 
Por ejemplo, la técnica de C-14 se utilizó en el año 1988 para estimar la edad del Sudario de Turin, 
tela de lino hallada en 1356 que muestra la imagen de un hombre que pre- senta marcas y 
traumas fisicos (ver la Figura), y de la que se pensaba que podría ser la tela que cubria a Jesus de 
Nazaret en el sepulcro, llamada también Sabana Santa. Se observó que las fibras del tejido 
contenían entre un 92% y un 93% del nivel inicial de C-14 
Se llego a un resultado que indicaba que el Sudario fue fabricado entre 689 y 599 años antes del 
momento en que fueron realizadas las pruebas, en el año de 1988. Es decir, mucho despues de la 
epoca en que vivio Jesus. Lo que probo que no podria ser la Sabana Santa. 
Este método se debe al quimico Willar Libby cuyo descubrimiento le valio el premio Nobel de 
Quimica en 1960. La teoría se basa en lo siguiente. La atmosfera terrestre es continuamente 
bombardiada por rayos cósmicos, los cuales producen neutrones libres que se conbinan con el 
nitrógeno de la atmosfera para producir el isotopo C-14 (Carbono 14 bien radiocarbono). Este C-14 
se combina con el bióxido de carbono presente en la atmosfera, el cual es absorbido por las 
plantas y estas a su vez son alimento para los animales. Asi es como se incorpora el radiocarbono a 
los tejidos de seres vivos. 
Julio Flores Dionicio Página 33 
 
El cociente de la cantidad de carbono 14 y la cantidad de carbono ordinario presentes en la 
atmosfera es constantes, y en consecuencia la proporción de isotopo presente en todos los 
organismos vivos es la misma que en la atmosfera. Cuando un organismo muere, la velocidad de 
incorporación de radiocarbono a el se hace nula y entonces comienza el proceso de desintegración 
radioactiva del C-14, que se encontraba presente en el momento de su muerte. Asi comparando la 
proporción de C-14 que hay en un fosil con la proporción constante encontrada en la atmosfera es 
posible obtener una estimación razonable de su edad. 
 
Ejemplo 1 
Se ha encontrado que un hueso antiguo contiene 
1
8
 de la cantidad original de C-14 de un hueso al 
tiempo actual. ¿Cuál es la antigüedad del fosil?. 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Sea N(t) la cantidad presente de C-14 en el hueso t años después que murió el organismo. En este 
caso,    0 ktN t N e , en donde N(0) es la cantidad de C-14 cuando t = 0 
La vida media del C-14 es de 5568 años, es decir 5568 años  , entonces 
0,69315
0,00012448
5569
k   , asi     0,000124480 tN t N e 
Buscando el valor de t para el cual  
 0
8
N
N t  , tenemos que 
 
 0,00012448 0 10 0,00012448 ln 16705
8 8
t
N
N e t t       . Asi, el fosil tiene una antigüedad de 
16705 años. 
Ejemplo 2 
En 1950 se hicieron excavaciones en Nipur (Babilonia), en las cuales se encontraron muestras de 
carbón que reportaron 4.09 desintegraciones por minuto y por gramo. Una muestra actual 
reporto 6.68 desintegraciones por minuto y por gramo. Se sabe que la primer muestra se formo 
en la época del reinado de Hammurabi. Con estos datos, determine hace cuanto tiempo 
Hammurabi reino en Babilonia. 
Julio Flores Dionicio Página 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Sea N(t) la cantidad presente de C-14 en el tiempo t. entonces 
dN
dt
, esla velocidad de 
desintegración del C-14 al tiempo t y 4.09 ; 6.68
dN dN
dt dt
  …(1) 
Sabemos que  
dN
kN t
dt
  , además la vida media del C-14 es de 5568 años, es decir 
5568 años  , entonces 
0,69315
0,00012448
5569
k   , asi     0,000124480 tN t N e … (2) 
Sustituyendo (2) en  
dN
kN t
dt
  se tiene   0,000124480 t
dN
kN e
dt
  ….(3) 
Considerando (1) en (3) se tiene 0,000124486.68 t
dN
e
dt
 
Ahora bien para determinar hace cuanto tiempo reino Hammurabi en Babilonia, tendremos que 
calcular t para el cual se cumple que 4.09
dN
dt
 , esto es 0,000124484.09 6.68 te , entonces 
4.09
ln 0.00012448 3940.9786.
6.68
t t    
Aproximadamente 3941 años que Hammurabi reino en Babilonia. 
Julio Flores Dionicio Página 35 
 
 
DOSIFICACIÓN DE MEDICAMENTOS 
Determinar y recetar dosis de fármacos son aspectos sumamente importantes de la profesión 
médica. Con frecuencia se debe tener precaución debido al lado posible adverso o a los efectos 
tóxicos de las medicinas (o drogas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muchos medicamentos son utilizados por el cuerpo humano de manera que la cantidad presente 
sigue una ley exponencial de disminución. Es decir, si N(t) es la cantidad de fármaco presente en el 
cuerpo al tiempo t, entonces N'(t) = - k N(t) o equivalentemente N'(t) + k N(t) = 0 . para 
resolver multiplicamos a ambos miembros por 𝑒𝑘𝑡 obtenemos N'(t) 𝑒𝑘𝑡 + k N(t) 𝑒𝑘𝑡 = 0 ⟺ (N(t) 
𝑒𝑘𝑡 )' = 0 entonces existe una constante C tal que N(t) 𝑒𝑘𝑡 = C ⟺ N(t) = C e-kt , evaluando en t = 0 
obtenemos C = N(0) remplazando este valor obtenemos 𝑵(𝒕) = 𝑵(𝟎)𝒆−𝒌𝒕 
En donde N(0) y k son constante positivas . 
 N(0) representa la cantidad del elemento que esta presente al tiempo t = 0 y se le denomina 
cantidad inicial. 
 La constante k depende del elemento particular implicado y se llama constante de 
decrecimiento ó decaimiento. 
Si H es la semivida de tal medicamento, entonces 𝐻 = (𝑙𝑛2)/𝑘 
Supóngase que se desea anal izar el caso en que se administren a un paciente dosis iguales de un 
fármaco como ese, cada I unidades de tiempo, hasta que se logre un cierto nivel terapéutico. 
La razón de administrar dosis reducidas de mantenimiento se relaciona con frecuencia con los 
efectos tóxicos de los fármacos. En particular, supóngase que existen d dosis de P unidades cada 
una, que se aplican dosis en los tiempos t = 0, I, 2I,…, y (d - 1)I, y que el nivel terapéutico T, se 
alcanza en t = dI, lo cual se presenta un intervalo después de que se administra la ultima dosis. Se 
verá ahora como determinar una formula que dé el nivel terapéutico. 
En el tiempo t = 0, el paciente recibe las primeras P unidades, de manera que la cantidad de 
medicamento en el cuerpo es P. al tiempo t = I, la cantidad presente que proviene de la primera 
Julio Flores Dionicio Página 36 
 
dosis es [de la ecuación (1)] 𝑃𝑒−𝑘𝐼. Además, a t = I, se administran las segundas P unidades. Por 
ello, la cantidad total de fármaco presente es 𝑃 + 𝑃𝑒−𝑘𝐼. 
Al tiempo t = 2 I, la cantidad que permanece, y que proviene de la primera dosis es 𝑃𝑒−2𝑘𝐼 , de la 
segunda dosis, que ha estado en el sistema durante sólo un intervalo, la cantidad presente es 
𝑃𝑒−𝑘𝐼 . También, al mismo tiempo t = 2 I se administrar la tercera dosis de P unidades, de manera 
que la cantidad total de fármaco presente es 𝑃 + 𝑃𝑒−𝑘𝐼 + 𝑃𝑒−2𝑘𝐼 
Continuando de esta manera, la cantidad de fármaco presente en el sistema al tiempo dI, un 
intervalo de tiempo después de que se administra la ultima dosis, esta dad por 𝑇 = 𝑃𝑒−𝑘𝐼 +
 𝑃𝑒−2𝑘𝐼 + ⋯ + 𝑃𝑒−𝑑𝑘𝐼. (2) 
Se puede expresar el lado derecho de la Ec. (2) en forma distinta. En primer lugar, se multiplican 
ambos lados de la (2) por 𝑒−𝑘𝐼: 
𝑒−𝑘𝐼𝑇 = 𝑒−𝑘𝐼(𝑃𝑒−𝑘𝐼 + 𝑃𝑒−2𝑘𝐼 + … + 𝑃𝑒−𝑑𝑘𝐼) 𝑒−𝑘𝐼𝑇 = 𝑃𝑒−2𝑘𝐼 + 𝑃𝑒−3𝑘𝐼 + … +
𝑃𝑒−(𝑑+𝐼)𝑘𝐼) (3) 
Restando los resultados de la Ec. (3) de los correspondientes de la Ec.(2), se tiene 
𝑇 − 𝑒−𝑘𝐼𝑇 = 𝑃𝑒−𝑘𝐼 − 𝑃𝑒−(𝑑+𝐼)𝑘𝐼 Simplificando y despejando T, (1 − 𝑒−𝑘𝐼)𝑇 = 𝑃𝑒−𝑘𝐼(1 −
𝑒−𝑑𝑘𝐼)  𝑇 = 
𝑃𝑒−𝑘𝐼(1−𝑒−𝑑𝑘𝐼)
1 − 𝑒−𝑘𝐼
  𝑇 = 
𝑃(1−𝑒−𝑑𝑘𝐼)
𝑒−𝑘𝐼(1 − 𝑒−𝑘𝐼)
 
 𝑇 = 
𝑃(1−𝑒−𝑑𝑘𝐼)
𝑒−𝑘𝐼−1(4) 
La ecuación (4) permite determinar el nivel terapéutico T en términos de la dosis P, los intervalos I, 
el numero de dosis d, y la semivida H, del medicamento [puesto que 𝑘 = (𝑙𝑛2)/𝐻]. Entre oras 
posibilidades, puede determinarse la dosis P si se conocen T, H, I y d. 
El objetivo ahora es mantener el nivel terapéutico en el sistema del paciente. Para lograr esto, se 
administra una dosis reducida R, a los tiempos 𝑡 = 𝑑𝐼, (𝑑 + 2)𝐼, asi sucesivamente. En el tiempo 
𝑡 = (𝑑 + 1)𝐼, pero antes de administrar la segunda dosis reducida, la cantidad de fármaco en el 
sistema, proviene de la primera dosis reducida es 𝑅𝑒−𝑘𝐼. Y la cantidad que permanece, proviene 
del nivel terapéutico, es 𝑇𝑒−𝑘𝐼 Supóngase que se requiere que la suma de esas cantidades esas el 
nivel terapéutico, T. es decir, 𝑇 = 𝑅𝑒−𝑘𝐼 + 𝑇𝑒−𝑘𝐼 
Despejando R, obtenemos 𝑅𝑒−𝑘𝐼 = 𝑇 − 𝑒−𝑘𝐼  𝑅 = 𝑇(1 − 𝑒−𝑘𝐼)𝑒𝑘𝐼 . 
De aqui se obtiene 𝑅 =
𝑃𝑒−𝑘𝐼(1−𝑒−𝑑𝑘𝐼)
1−𝑒−𝑑𝑘𝐼
(1 − 𝑒−𝑑𝑘𝐼)𝑒𝑘𝐼 , 
O en términos más simples, 𝑅 = 𝑃(1 − 𝑒−𝑑𝑘𝐼). (5) 
Continuando con la dosis reducida a intervalos I se asegura que le nivel de fármacos en el sistema 
nunca caiga por debajo de T. además, se debe observar que como – 𝑑𝑘𝐼 < 0, entonces 0 <
Julio Flores Dionicio Página 37 
 
𝑒−𝑑𝑘𝐼 < 1. En consecuencia, el factor 1 − 𝑒−𝑑𝑘𝐼 de la Ec. (5) se encuentra entre 0 y 1. Esto asegura 
que R sea menor que P, en donde R es en realidad una dosis reducida. 
Los especialistas afirman que “la cantidad terapéutica T debe ser elegida de entre una gama de 
valores determinados en forma empírica. Se requieren discreción y experiencias médicas para 
seleccionar los intervalos y las duraciones o tiempos apropiados para administrar el fármaco. 
Incluso es posible que varíe la semi-vida de un fármaco entre pacientes distintos. Su distribución 
en el sistema, las interacciones entre los medicamentos, la edad de los pacientes, su salud en 
general y la salud de órganos vitales, como el hígado y los riñones. 
 
 
 
 
 
Ejemplo. 
La teofilina es un fármaco que se utiliza para tratar asma bronquial y tiene una semi-vida de 8 
horas en el sistema de un paciente relativamente saludable, que no fuma. Supóngase que un 
paciente como este logra el nivel terapéutico deseado de este fármaco en 12 horas. Aquí, d = 
3.Debido a su toxicidad, debe reducirse la dosis después. Al miligramo más próximo, determine (a) 
el nivel terapéutico y (b) la dosis reducida. 
Solución 
a) T = 
1
)1(



kl
dkl
e
eP
 Aquí P = 100mg ,  =8h , I = 4h 
Pero  = 
h8
2ln
k 
k
2ln
 , entonces kI = h4
h8
2ln
 
Es decir kI = 
2
2ln
 luego T = 
12
)21(mg100
1
)1(mg100
2
1
2
3
2
2ln
3






2
ln2
e
e
 
T = 
12
)
8
1
1(100
12
)
2
1
1(100
2
3











  T = 156 mg 
Julio Flores Dionicio Página 38 
 
b) R = (1 – e-dkl)R = 100 mg(1 - )
8
1
1(mg100)e
2ln
2
3


 
R = 100 mg )
4
2
1(  = 100mg 







 
4
24
R = 65 mg 
 
 
 
La experiencia alcanzado en (i) sugiere suponer que y es solución de (ii); luego 
 ( ) ( )y t ay t b   .Para todo 0t  , multiplicamos ambos lados por ate , se obtiene 
( ( ) ( ))at ate y t ay t be    ( ( )) ( )
at atbe y t e
a
  , teniendo en mente el hacho de que si la 
derivada de dos funciones son iguales entonces ambas funciones deben diferir por una constante. 
Luego existe una constante C tal que ( )
at atbe y t e C
a
  ,de aquí ( )
atby t Ce
a
  
como C es un constante arbitraria , entonces es dable afirmar que las soluciones de (ii) son 
infinitas y todas ellas están comprendidas en 
( ) at
b
y t Ce
a
  
 Por el rol que juega la función 
ate en el proceso arriba descrito, se acostumbra decir que es el 
factor integrante de la ecuación diferencial. Ahora bien, frecuentemente una ecuación diferencial 
viene acompañada de una condición adicional 0( )y t  ( número real arbitrario) lo que da 
lugar a un problema de valor inicial (PVI). 
EL PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI) 
 
0( )
y ay b
y t 
 

 (*) 
(ii)     ; ; , 0y t ay t b a b a b      
 
Julio Flores Dionicio Página 39 
 
Veremos que el PVI (*) tiene una única , solución; para ello basta evaluar en 𝑡0 a la función 
( ) at
b
y t Ce
a
  (solución general de la ecuación diferencial), en efecto 
0
0( )
atb
y t Ce
a
     
0at
b
Ce
a
   
De aquí 0( )
atb
C e
a
  de tal manera que 0
( )
( ) ( )
a t tb b
y t e
a a
     es la única solución del 
PVI 
Como ejemplos aplicativos veamos los siguientes modelos 
 
 
 
 
 
 
1) LEY DE ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO DE NEWTON 
 De acuerdo con la ley empírica de Newton de enfriamiento/calentamiento, la rapidez con la que 
cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del 
cuerpo y la del medio que lo rodea, que se llama temperatura ambiente. Si  T t representa la 
temperatura del cuerpo al tiempo t, mT es la temperatura del medio que lo rodea y 
dT
dt
 es la 
rapidez con que cambia la temperatura del cuerpo, entonces la ley de Newton de 
enfriamiento/calentamiento traducida en una expresión matemática es 
 
 m
dT
k T T
dt
 
 (3) 
 
Donde k es una constante de proporcionalidad en ambos casos, enfriamiento o calentamiento. 
En el caso de enfriamiento La ley de enfriamiento de Newton establece que la razón a que la 
temperatura ( )T t cambia en un cuerpo que se enfría es proporcional a la diferencia entre la 
temperatura en el cuerpo y la temperatura constante mT del medio circundante; es decir, 
 
    mT t k T t T    , en este caso k es una constante positiva. 
 EL PVI 
   
 0
y t ay t b
y t 
  


 COMO MODELOS MATEMÁTICOS 
Julio Flores Dionicio Página 40 
 
Sean 
0(0)T T la temperatura inicial, entonces     mT t k T t T    con la condición inicial 
(PVI) se escribe de la forma 
 
0(0)
mT KT kT
T T
  
 Es un PVI de primer orden 
Para resolver el PVI multiplicaremos a toda la ecuación por 𝑒𝑘𝑡 
kt kt kt
mT e kTe kT e   de aquí obtenemos ( )
kt kt
mTe kT e  ,entonces 
Integrando obtenemos 
kt kt
mTe T e C  por lo tanto ( )
kt
mT t T Ce
  
De donde, evaluando en t = 0, se obtiene 0 mC T T  . Con esto, 
 0( ) ( )
kt
m mT t T T T e
   
Ejemplo 1 Asesinato 
Se encontró asesinado en su hogar a un rico industrial. La policía llego al lugar del crimen a las 
11:00 P.M. en ese momento la temperatura del cuerpos era 31°C, y una hora después era de 30°C. 
La temperatura del cuarto en el que se encontró el cuerpo era de 22°C. Determinar la hora en que 
ocurrió el asesinato. 
 
Solución 
Sea t el número de horas después de las cuales se descubrió el cuerpo, y T(t) la temperatura (en 
grados Celsius) del cuerpo en el tiempo t. Se desea calcular el valor de t para el cual T = 37 (la 
temperatura normal de cuerpo). Por supuesto, este valor de t será negativo. De acuerdo a la ley de 
Newton del enfriamiento, 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 22), 
En donde k es una constante( negativa ) y la (temperatura ambiente) es 22. En consecuencia 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 22), Separando variables, se tiene 
𝑑𝑇
𝑇−22
= 𝑘 𝑑𝑡, → ∫
𝑑𝑇
𝑇−22
= ∫ 𝑘 𝑑𝑡, → 𝑙𝑛|𝑇 − 22| = 𝑘𝑡 + 𝐶. 
Como T -22 > 0, → ln(𝑇 − 22) = 𝑘𝑡 + 𝐶. 
Cuando t = 0, T = 31, por lo tanto, ln(31 − 22) = 𝑘 × 0 + 𝐶, De donde 
ln(𝑇 − 22) = 𝑘𝑡 + ln 9,→ ln(𝑇 − 22) − ln 9 = 𝑘𝑡,→ 𝑙𝑛
𝑇−22
9
= 𝑘𝑡. 
Cuando t = 1, entonces T = 30, por lo que 
Julio Flores Dionicio Página 41 
 
𝑙𝑛
30−22
9
= 𝑘 × 1.→ 𝑘 = 𝑙𝑛
8
9
≈ −0.11778. Así, → 𝑘 = 𝑙𝑛
𝑇−22
9
≈ −0.11778𝑡.Ahora, se evalúa t cuando T = 37: 𝑘 = 𝑙𝑛
37−22
9
≈ −0.11778𝑡.→ 
𝑡 ≈ −
ln (
15
9
)
0.11778
≈ −
0.51083
0.11778
,→ 𝑡 ≈ −4.34. 
Puesto que 4.34 horas es (aproximadamente) 4 horas 20minutos, el industrial fue asesinado 
aproximadamente a las 6:40 P.M. 
Ejemplo 2 Pastel 
Cuando un pastel se retira del horno, su temperatura es de. Tres minutos después su temperatura 
es de 200 F . Determine la temperatura del pastel en cualquier instante después que se ha sacado 
del horno si la temperatura ambiente es de 70 F . 
SOLUCION 
Aquí 0(0) 300T F T  y (3) 200T F 
Sabemos que 0( ) ( ) ( ) 70 (300 70 )
kt kt
m mT t T T T e T t F F F e
        
Es decir ( ) 70 230
ktT t F Fe  
3 3130200 (3) 70 230
230
k kF T F Fe e      , de aquí 
13 1 13
ln( ) 3 ln( ) 0.1902
23 3 23
k k k       
Luego 
0.1902( ) 70 230 tT t F Fe  
 
 
MODELAMIENTO DE UN FENOMENO EN BIOLOGIA 
ÓSMOSIS: es el pasaje o difusión de un solvente (agua) a través de una membrana 
semipermeable mediante un gradiente de concentración. La membrana plasmática permite el 
paso del agua de un sitio a otro pero no el de sustancias disueltas en ella (solutos). Toda vez que 
la célula tenga en su interior una concentración de solutos mayor que la del medio externo, la 
célula está en una solución hipotónica. Por lo tanto, el agua ingresa a la célula y provoca que se 
agrande. Por el contrario, si la concentración de solutos es mayor en su ambiente externo la 
célula está en un medio hipertónico, hecho que provoca la salida de agua intracelular y la 
crenación o arrugamiento de la célula. Cuando la concentración de solutos es igual a ambos 
lados de la membrana, la célula está en un medio isotónico (igual tonicidad) y no hay difusión de 
agua. En la difusión simple, en la facilitada y en la ósmosis no hay gasto de energía. 
 
Julio Flores Dionicio Página 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIÁLISIS: cuando una membrana separa una sustancia con diferente 
concentración a ambos lados, el soluto (la sal) difunde desde el lugar de mayor 
concentración al de menor concentración, mientras que el agua lo hace desde el 
sitio donde está en mayor cantidad (solución diluida) hacia la de menor cantidad 
(solución concentrada de sal). Este proceso, denominado diálisis, se define como 
el pasaje de una sustancia disuelta a través de una membrana semipermeable a 
favor de un gradiente de concentración y sin gasto de energía. 
 
 
 
http://4.bp.blogspot.com/_TYKXEPKoytc/SRF9npnOXNI/AAAAAAAABOg/kV8Ke8GRdQg/s1600-h/F4.bmp
http://1.bp.blogspot.com/_TYKXEPKoytc/S_V3nVRIPZI/AAAAAAAADyU/Udw9GTkdLSc/s1600/F3.jpg
Julio Flores Dionicio Página 43 
 
LEY DE OSMOSIS 
 Analicemos el fenómeno de la osmosis, presente en muchos procesos fisiológicos. Consideremos 
un experimento en que disponemos dos medios de salmuera A y B separados por una membrana 
impermeable en t = 0 con concentraciones iniciales 𝐴(0) y B(0) con A(0) < B(0) . 
 En un instante t > 0 la membrana que los separa se vuelve semipermeable y permite el paso de 
las moléculas de agua, pero no de las moléculas de sal disueltas (ver figura). 
 
 
 
 
 
 
 
 
El problema es modelar la evolución de las concentraciones de sal A(𝑡) y B(𝑡) en función del 
tiempo. Se observa experimentalmente que a medida que el tiempo transcurre, el agua se 
desplaza a través de la membrana desde la solución de baja concentración A hacia la de alta 
concentración B hasta alcanzar asintóticamente un valor de equilibrio como se muestran en el 
gráfico de la figura 2 
Se constata, también experimentalmente, que este valor de equilibrio corresponde al promedio M 
de concentraciones, el cual es conservado a través del tiempo. Esto tiene dos consecuencias: dicho 
promedio debe ser igual al promedio de las concentraciones iniciales y es por lo tanto conocido. 
Además, como A(𝑡) + 𝐵(𝑡) = 2𝑀 es constante, podemos obtener en cada instante t la 
concentración en B conociendo la de A y viceversa. Así es que el problema se reduce a encontrar 
solamente la función A(𝑡). 
 
 
 
 
 
 
 
t = 0 
A(0) B(0) 𝑨(𝒕) 𝑩(𝒕) 
t > 0 
FIGURA 1 . Osmosis por una membrana 
semipermeable 
Julio Flores Dionicio Página 44 
 
Si registramos en un gráfico el logaritmo natural de la diferencia 𝑀 − 𝐴(𝑡) en función del tiempo, 
observemos que la curva experimental se ajusta bien a una recta de pendiente negativa – 𝑘. Una 
hipótesis razonable es entonces un ajuste A(𝑡) a la asíntota de ordenada M, en efecto 
 ln(𝑀 − 𝐴(𝑡)) = −𝑘𝑡 + 𝐶 ⇒ A(𝑡) = 𝑀 − 𝐻𝑒−𝑘𝑡, 
Donde H es una constante que se obtiene imponiendo la condición inicial A(0) para t = 0 lo que 
nos da 𝐻 = 𝑀 − 𝐴(𝑜) . Reemplazando la constante H en la expresión anterior, estos nos provee 
de la formula siguientes para la concentración buscada: 
(1) 𝐴(𝑡) = 𝑀 − (𝑀 − 𝐴(0))𝑒−𝑘𝑡. 
Esta función representa un buen modelo de la realidad, ya que se ajusta razonablemente bien a 
las mediciones experimentales, sin embargo, nos resulta todavía misterioso por qué deberíamos 
aceptar este modelo de crecimiento exponencial como un modelo razonable y no otro modelo 
diferente, por ejemplo, un ajuste polinomial por pedazos. 
Estos nos lleva a preguntarnos ¿hay alguna ley o principio que explique el fenómeno de la 
osmosis? Una idea, que resulta ser fundamental, consiste en estudiar si existe una relación simple 
entre la concentración A(𝑡) y su aumento 𝐴′(𝑡). Derivado (1) obtenemos: 
𝐴′(𝑡) = 𝑘𝐻𝑒−𝑘𝑡 = 𝑘𝐻𝑒−𝑘𝑡 + 𝑘𝑀 − 𝑘𝑀 = 𝑘(𝑀 − (𝑀 − 𝐻𝑒−𝑘𝑡)) 
esto es, la relación buscada es: 𝐴′(𝑡) = 𝑘(𝑀 − 𝐴(𝑡)) (2) Entonces la solución (1) 
satisface (2). Interpretando (2) encontramos una relación diferencial simple y comprensible que 
podemos enunciar como ley siguiente: 
 
 
 
 
 
 
La ley de la osmosis representada por la ecuación diferencial (2) provee una interpretación más 
intuitiva y profunda del proceso de osmosis. Ahora veremos que (2) tiene como solución (1). 
 La EDO que modela (ley de osmosis) este fenómeno es     A t k M A t   , con k>0 y 
donde
   0 0
2
A B
M

 es la concentración promedio . La ecuación es equivalente a 
LEY DE OSMOSIS 
“El aumento de concentración es proporcional en cada 
instante a la diferencia de concentración entre el promedio 
asintótico de concentraciones y la concentración actual. 
La constante de proporcionalidad cuantifica la 
permeabilidad de la membrana.” 
 
 
Julio Flores Dionicio Página 45 
 
   A t kA t kM   multiplicando a esta ecuación por kte se obtiene 
        kt kt kt kt kte A t kA t e kMe A t e Me      , entonces existe una constante arbitraria 
C 𝝐ℝ tal que    kt kt ktA t e Me C A t M Ce     .Este resultado es una familia de 
curvas (indexadas por la constante C ). 
Si evaluamos en el tiempo inicial t = 0, encontramos el valor de la constante C , esto es, 
A(O) =C + M ⟺ C = A(0) – M ; pero 
   0 0
2
A B
M

 . 
Por lo tanto, la solución es
 
 
       0 0 0 0
2 2
kt
A B A B
A t e
 
  
 
2) MEZCLAS 
La mezcla de dos líquidos a menudo origina una ecuación diferencial de primer orden. 
Más concretamente, se considera un recipiente que contiene una cantidad de V litros de cierto 
fluido, en el que se encuentra disuelta una cantidad,  0y , de cierta sustancia. En el recipiente 
entra constantemente fluido con una concentración de eC gramos por litro y a una velocidad de 
eV litros por minuto. Se supone que los fluidos en el recipiente