md_ma4cpa

Vista previa del material en texto

1 
Matemáticas IV 
Parte A 
2 
Introducción 
La asignatura de Matemáticas IV parte A, te permitirá utilizar distintas 
transformaciones y tipos de funciones algebraicas y trascendentes para 
representar relaciones entre magnitudes constantes y variables. 
 
Además, éste curso te ayudará a resolver diferentes tipos de problemas, por 
ejemplo, problemas relativos a la determinación de costos de producción de 
artículos, de pago de servicios o de consumos conforme a rangos o 
estratificaciones específicas, o de situaciones que conllevan tasas o razones de 
cambio constante, como aumentos o disminuciones en precios, producción o 
consumo de artículos. 
 
También revisarás problemas de obtención de soluciones óptimas, como 
ganancias máximas en una empresa, o bien, reducción de costos, desperdicios 
industriales o contaminación al mínimo posible; modelación de fenómenos o 
situaciones que involucran incrementos o decrementos mediante factores 
constantes, como la preservación o extinción de especies biológicas; aumento o 
disminución demográfica o económica, depreciación contable de equipos, cálculo 
de intereses financieros capitalizables continuamente y modelación de fenómenos 
ondulatorios y periódicos como el flujo de las mareas y la propagación de sonidos 
musicales. 
3 
Simbología 
La siguiente iconografía te permitirá identificar los momentos en que está dividido tu 
proceso de aprendizaje dentro del material didáctico. 
4 
 
El alumno al término del curso de Matemáticas IV Parte A: 
 
 
• Distingue las características matemáticas que definen las relaciones entre dos magnitudes, 
enfatizando las de carácter funcional. 
 
 
• Distingue y describe diferentes tipos de funciones matemáticas, así como realiza operaciones y 
transformaciones algebraicas y geométricas entre ellas. 
 
 
• Identifica las características de los modelos lineales y cuadráticos, desarrolla procedimientos 
numéricos, algebraicos y geométricos para la obtención de ceros polinomiales. 
5 
 
 
 
Al término del curso de Matemáticas IV Parte A, serás capaz de: 
 
 
• Identificar las diferentes representaciones de una función, clasificarlas y determinar sus 
características y propiedades mediante el análisis de su ecuación. 
 
 
• Aplicar transformaciones de traslación y reflexión a una función a través de su ecuación o 
interpretación gráfica. 
 
 
• Representar gráficamente las funciones de tipo algebraico mediante su ecuación, clasificarlas y 
determinar sus propiedades según su expresión e interpretación gráfica. 
6 
Funciones 
Clasificación de Funciones 
• Algebraicas y trascendentes 
• Continuas y Discontinuas 
• Creciente y Decrecientes 
• Inyectivas, sobreyectivas y biyectivas 
Funciones inversas 
• Función constante 
• Función escalonada 
• Función idéntica 
• Función de valor absoluto 
Funciones especiales 
Transformación de Funciones 
7 
8 
Guía de Estudios 
Matemáticas IV Parte A 
Objetivo General 
• Identificar las diferentes representaciones de una función, clasificarlas y determinar sus características y propiedades mediante el análisis de 
su ecuación. 
• Aplicar transformaciones de traslación y reflexión a una función a través de su ecuación o interpretación gráfica. 
• Representar gráficamente las funciones de tipo algebraico mediante su ecuación, clasificarlas y determinar sus propiedades según su 
expresión e interpretación gráfica. 
Semana 1 
Bloque I: Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones 
Unidades de competencia: 
• Construye e interpretamodelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre magnitudes para representar situaciones y 
resolver problemas teóricas o prácticas de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad. 
• Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que 
describen. 
• Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional. 
Calendario de Estudio 
Día Temas Evidencia de aprendizaje 
Lunes 1. Funciones 
 
 1.1. Características de la Relación y de la Función 
1.1.1. Formas de representar a una función 
Identifica en un conjunto de parejas ordenadas, datos 
tabulares, gráficas, ecuaciones y diagramas, las 
relaciones funcionales mediante los valores que le 
corresponden en “x” . 
Martes 1.1.2. Dominio y rango de una función 
 
1.2. Operaciones con funciones 
Identifica a los primeros elementos de un conjunto de 
parejas ordenadas como el dominio de la relación o 
función, y a los segundos elementos como el rango a 
través de la regla de correspondencia. 
 
Resuelve operaciones con funciones mediante sus 
ecuaciones. 
9 
Día Temas Evidencia de aprendizaje 
Miércoles 1.3. Clasificación de las funciones 
1.3.1. Funciones Algebraicas y Trascendentes 
1.3.2. Funciones Continuas y Discontinuas 
Identifica las funciones algebraicas y trascendentes y las 
distingue mediante su expresión algebraica. 
 
Distingue las funciones continuas de las discontinuas a 
través de su gráfica. 
Jueves 1.3.3. Funciones Crecientes y Decrecientes 
1.3.4. Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y 
 Biyectivas 
Determina si una función es creciente o decreciente en el 
análisis de la ecuación y a través de su interpretación 
gráfica 
 
Identifica si una función es inyectiva, sobreyectiva y/o 
biyectiva a través del análisis de su ecuación. 
Viernes Examen semana 1 
Revisa la opción de proyecto modular 1 
Realiza el examen de la semana 1. 
Guía de Estudios 
Matemáticas IV Parte A 
Semana 1 
10 
1. Funciones 
 
 1.1. Características de la Relación y de la Función 
1.1.1. Formas de representar a una función 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
11 
Al finalizar la sesión 1, serás capaz de: 
 
 
• Representar una función en sus distintas modalidades a través de los elementos que la componen. 
 
 
• Identificar una relación funcional en sus diferentes representaciones mediante la correspondencia 
entre los elementos de dos conjuntos. 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
12 
Recuerda: 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
9
7
8
53 5 , ,3 ,2 4sen ),2ln( ,e , , e.935350 ,0.1717 ,0.53
1
8
25
2
1
4
5 , ,3 ,  ... 2, 1, 0, ,1 ,2 ...
0  ... 4, 3, 2, ,1
1 ,2 ,3 ,4...  ... 5, 4, 3, 2, 1, ,0
 ... 13, 11, 7, 5, 3, 2,  ... 14, 12, 10, 9, 8, 6, ,41
Conjuntos de Números 
Los números se agrupan 
según ciertas características o 
particularidades que poseen. 
13 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Plano Cartesiano 
Abscisa x = –6 
Ordenada y = 6 
Recuerda: 
El plano cartesiano es un sistema de 
coordenadas rectangulares formado por dos 
rectas numéricas perpendiculares entre sí. 
14 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Lenguaje Verbal y Algebraico 
Operación Palabras que se asocian con esta operación 
Suma Agregar, aumentar, ganar, más, incrementar, crecer, más que. 
Resta Diferencia, disminuir, menos, bajar, perder, decrecer. 
Multiplicación Producto, tantas veces, doble, duplo, triple, cuádruplo, etc. 
División Cociente, entre, dividido por, razón, mitad. 
Lenguaje verbal Lenguaje 
algebraico 
La suma de dos números 
El producto de dos números 
El cociente de dos números 
El cuadrado de un número 
El doble de la suma de dos números 
La raíz cuadrada de un número 
El cubo de la diferencia de dos números 
El triple de un número 
La diferencia del cubo de dos números 
ba 
))((,, babaab 
ba
b
a
b
a
,,
2a
 ba 2
a
 3ba 
a3
33 ba 
Ejemplo: “Tres veces el cuadrado de un 
número aumentado en ocho unidades es 
igual a otro número menos una unidad”. 
 3x2 + 8 = y – 1 
Recuerda: 
15 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Ecuación Lineal 
Recuerda: 
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad en donde las variables involucradas 
tienen grado uno. 
Para determinar el valor de una variableen una 
ecuación, conociendo la otra, sustituye dicho 
valor en la ecuación y despeja la incógnita. 
 
Por ejemplo: Sea 3x + y = 7 con x = 2, 
 
 Despeja “y” y = 7 – 3x 
 Sustituye x = 2 y = 7 – 3(2) 
 Simplifica y = 7 – 6 
 y = 1 
Con una incógnita Con dos incógnitas 
Para obtener el valor de la variable en una 
ecuación, despeja la incógnita y listo: 
 
Por ejemplo: Sea 3x – 8 = 7 
 
 Despeja “x” 3x = 7 + 8 
Simplifica 3x = 15 
Obtienes “x” x = 15/3 
 x = 5 
16 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Instrucciones: interpreta en su forma algebraica el siguiente texto verbal y obtén los valores 
correspondientes a la variable dependiente si x = 3, 4, 5 y 6. 
 
 
a) “Un número al cuadrado menos ocho unidades es el triple de otro número más cinco unidades”. 
 
 
17 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Botellas plásticas PET 
 
Sabías que… 
Del PET (tereftalato de polietileno) se 
crean botellas transparentes y brillantes 
de color cristal o verde, que han sido 
consideradas a nivel internacional como 
envases de excelencia por sus 
características: su producción es de bajo 
consumo de energía, no contiene 
halógenos y son completamente 
reciclables. 
En México este material se comenzó a 
utilizar a mediados de la década de los 
ochenta. Dichos envases plásticos tardan 
en degradarse de 500 a 1,000 años. 
• Si en su mayoría los habitantes del país optan, por cuestiones prácticas, el uso de botellas 
plásticas, ¿qué cantidad de botellas plásticas crees que se desechan diariamente en todo 
México? 
• ¿A dónde van a parar tantas botellas plásticas? 
18 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Las preguntas de la sección “Explora” son de suma importancia para el bien de todos los seres vivos 
que habitan la Tierra; para conocer un estimado del grado de gravedad de la situación, el objeto en 
cuestión está en referencia o relación a otros factores, por ejemplo, el tiempo de degradación, la 
cantidad fabricada o consumida por día, el grado perjudicial, etc. 
 
Se puede decir que una relación es un proceso de correspondencia que existe entre los elementos 
de dos conjuntos de objetos o fenómenos. Por ejemplo, la relación entre la cantidad de botellas 
desechadas y el tiempo que tardan en degradarse, además existen muchos otros ejemplos de una 
relación como los siguientes diagramas de flechas: 
 1.1 Características de la relación y de la función 
 1 Funciones 
Ejemplo 2 Ejemplo 1 
19 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
En el ejemplo anterior la relación o correspondencia se da entre los elementos del conjunto de los 
estados con los elementos del conjunto de los municipios, los elementos de ambos conjuntos 
establecen una relación entre sí, dicha relación está señalada mediante una flecha, para visualizar 
inmediatamente su corresponden. Adicionalmente, podrás observar que algunos elementos tienen 
correspondencia con más de uno de los elementos del otro conjunto. 
 
 
En tu vida cotidiana y en tu entono puedes encontrar múltiples objetos o fenómenos que están en 
relación unos con otros. Dentro de estas múltiples relaciones también se podría considerar la relación 
de un padre con su hijo, de una madre con su hijo, etc. ¿qué diferencia hay entre este tipo de 
relación y las del ejemplo anterior? 
 
 
Ciertamente la relación que existe entre un padre y su hijo es una relación única, ¿por qué? porque 
cada persona tiene un solo padre biológico y una sola madre biológica, este tipo de relación se le 
conoce como una función. 
 
 
Una función es una relación entre los elementos de dos conjuntos, dentro de los cuales 
existe una correspondencia única, es decir, a cada elemento de un primer conjunto, le 
corresponde uno y sólo uno de los elementos del segundo conjunto. 
20 
Resuelve el siguiente ejemplo y traza la correspondencia correcta que existe entre los elementos del 
primer conjunto con los del segundo e identifica cuál de los dos es función: 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Por ejemplo: 
¿De qué otra manera se podrá representar a las relaciones y funciones? 
21 
Ya conoces una forma de representar una relación o función, ésta trata de la agrupación mediante 
diagramas sagitales, y seguramente recordaste otras, entre ellas se podrían mencionar las que se 
representan a través de un lenguaje verbal, de parejas ordenadas, tablas, gráficas, ecuaciones, etc. 
 
•¿Qué diferencia hay entre cada una de las múltiples representaciones de una función o relación? 
 
•¿Cómo identificas una función en un lenguaje verbal? 
 
•¿ Cómo identificas una función en una ecuación o gráfica? 
 
•¿Cuál de todas las formas anteriores es más práctica para identificar visualmente una función? 
 
•¿Toda relación es función? 
 
•¿Toda función es una relación? 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
 1.1.1. Formas de representar una función 
Para responder a todas las preguntas necesitas conocer cada una de las diferentes formas en que se 
puede representar a una función o relación y saber cómo identificarlas. 
22 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Forma verbal 
La forma verbal consiste en enunciar a través de una oración una relación o función con 
características específicas. Por ejemplo: Una estilista necesita obtener la proporción entre el alto y 
ancho del cuello de una camiseta para caballero, hecha con PET reciclado, al final obtuvo la siguiente 
conclusión: 
 
“El cuadrado del ancho menos 9 centímetros es el triple de lo alto”. 
 
Ahora, ¿cómo lograrías identificar si el enunciado anterior es una función? Para determinar lo 
anterior necesitas interpretar numéricamente su forma verbal, es decir, conocer su forma algebraica o 
ecuación. 
Forma algebraica 
En algunos casos la forma verbal se puede representar mediante una forma algebraica o ecuación, esta 
forma algebraica o ecuación involucra variables desconocidas relacionadas entre sí mediante algunas 
operaciones. 
 
Del ejemplo en desarrollo, cuya forma verbal es: 
“El cuadrado del ancho menos 9 centímetros es el triple de lo alto”. 
 
Su correspondiente forma algebraica es del tipo: 
(x – 9)2 = 3y, en donde “x” representa el ancho y “y” representa la altura. 
23 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Si consideras a la “x” como la variable independiente y en su defecto a la variable “y” como la variable 
dependiente, existe una manera distinta de representar mediante una ecuación una función 
considerando la relación de dependencia e independencia de una para con la otra, uno de los requisitos 
es que la variable dependiente esté despejada, si despejas de la ecuación anterior la variable 
dependiente te queda lo siguiente: y = (x – 9)2 / 3. 
 
 
Ahora, la ecuación bajo la forma siguiente: f(x) = (x – 9)2 / 3 es una nueva manera de representar una 
función, en donde f(x) no es una multiplicación de “f” por “x” sino que f(x) representa a la variable 
dependiente, es decir f(x) = y. Además puedes observar que la variable que se encuentra entre 
paréntesis es identificada como la variable independiente de la función. 
 
 
Las letras f, g, h son unas de las letras más comunes que se usan para representar una relación 
funcional o no. 
 
 
Ahora, ¿cómo lograrías identificar si la ecuación anterior es una función? Para determinar lo 
anterior necesitas conocer la correspondencia entre los valores de “x” y “y”, para esto necesitas elaborar 
una tabla de valores, por lo tanto, conocer su forma tabular. 
24 
La forma tabular se usa para representar mediante una tabla la correspondencia entre los valores 
de dos conjuntos y mediante la cual se puede identificar si la correspondencia de relación es o no una 
función. 
 
Ahora bien, para realizar una tabla de valores correspondiente a la ecuación (x – 9)2 = 3y es necesario 
que asignes valores (dentro de los números reales) a la variable independiente “x”, y obtengas mediante 
los mismos valores su correspondiente valor de la variable dependiente “y”. 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Formatabular 
En la ecuación: (x – 9)2 / 3 = f(x) Si x = 6 Obtén el valor de “y” 
 
1) Sustituye el valor de “x” en la ecuación: f(6) = (6– 9)2 / 3 
2) Simplifica: f(6) = (–3)2 / 3 
3) Resuelve la operación: f(6) = 9 / 3 
4) Obtienes el valor de “y”: f(6) = 3 
De la misma manera obtienes el resto de los valores correspondientes de “y” para los valores de “x” en, 
7, 8, 9, 10, 11, 12. 
25 
Ya que realizaste las operaciones correspondientes, obtuviste los valores de la variable dependiente a 
partir de los valores asignados a la variable independiente, resultándote así los siguientes datos: 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Ecuación: 
f(x) = (x – 9)2 / 3 
 
“x” f(x) = y 
6 3 
7 1.3 
8 0.3 
9 0 
10 0.3 
11 1.3 
12 3 
A través de esta tabla de valores es posible que 
logres observar la correspondencia entre los 
elementos del conjunto de valores de las “x” y los 
elementos del conjunto de las “y”, de ésta 
manera, identificas que a cada elemento del 
primer conjunto le corresponde uno y sólo un 
elemento del segundo conjunto, de tal manera 
que puedes concluir que se trata de una 
función. 
 
 
¿Qué ocurre con los valores que obtuviste de 
ambos conjuntos? 
 
 
Recuerda que integran una pareja ordenada. 
¿Cómo quedaría representado el conjunto de 
parejas ordenadas de los valores que 
obtuviste en esta tabla? 
26 
Las parejas ordenadas que se obtienen a partir de la tabla anterior son las siguientes: 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Parejas Ordenadas 
Ecuación: f(x) =(x – 9)2 / 3 
“x” f(x) = y 
Pareja 
Ordenada 
6 3 ( 6, 3) 
7 1.3 ( 7, 1.3) 
8 0.3 (8, 0.3) 
9 0 ( 9, 0) 
10 0.3 (10, 0.3) 
11 1.3 ( 11, 1.3) 
12 3 ( 12, 3) 
Parejas ordenadas = {(6, 3), (7, 1.3), (8, 0.3), (9, 0), (10, 
0.3), (11, 1.3), (12, 3)} 
 
El conjunto de parejas ordenadas se forma mediante la 
correspondencia entre un elemento de un conjunto con 
otro del segundo conjunto, para identificar si la relación de 
correspondencia es función, sólo tienes que analizar que 
los elementos que ocupan el lugar de las abscisas no se 
repitan. 
 
Recuerda que una pareja ordenada está formada como 
sigue: (abscisa, ordenada). 
 
El conjunto de las parejas ordenadas de arriba es una 
función ya que ningún elemento que ocupa el lugar de 
las abscisas se repite. 
¿Qué ocurre con las parejas ordenadas que obtuviste de ambos conjuntos? 27 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Como sabes, toda pareja ordenada 
la puedes representar en un plano 
cartesiano y si se trata de un 
conjunto de parejas ordenadas 
entonces éstas pueden estar 
representando alguna figura con 
características específicas. 
 
 
Para identificar una pareja ordenada 
en el plano, sólo tienes que ubicar el 
valor que ocupa la posición de las 
abscisas sobre el eje de las “x”, y 
sobre el mismo desplazarte el valor 
correspondiente de la ordenada en 
forma vertical. 
Forma gráfica 
28 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Si observas bien la gráfica, lograrás identificar que el conjunto de parejas ordenadas forman una 
parábola abierta hacia arriba, esta gráfica es otra forma distinta como puede ser representada una 
función, ahora, ¿cómo identificar gráficamente una función? 
 
Una prueba muy sencilla y básica para determinar si una gráfica es una función o no, es la prueba de la 
recta vertical. ¿En qué consiste? En trazar una recta vertical sobre la gráfica y si ésta corta solo una 
vez a la gráfica entonces se trata de una función. 
En la gráfica anterior traza una 
línea recta vertical sobre la misma 
e identificarás que como solo corta 
una vez a la gráfica se trata de una 
función. 
 
Según sea el caso una función se 
puede representar mediante las 
distintas formas mencionadas 
anteriormente y a través de la 
práctica lograrás identificar con 
mayor facilidad una función 
representada en cualquier forma. 
29 
Supón que en el país de México la demanda diaria por persona es de 1.5 botellas plásticas, si en el año 
en curso se estima una población promedio de 109, 000, 000, ¿cuántas botellas plásticas se desechan 
diariamente en el país? Representa la relación anterior en sus distintas formas y determina si se trata de 
una función. 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
La relación anterior está proporcionada en forma 
verbal. La forma algebraica que le corresponde 
queda determina bajo las siguientes condiciones: 
 
 
Considera la variable “y” como el número de 
botellas que se desechan diariamente y la 
variable “x” el número de habitantes, entonces, la 
ecuación queda como sigue: y = 1.5 x, o f(x) = 
1.5 x. 
 
 
Ahora, con la ecuación anterior puedes calcular 
la cantidad de botellas por número de habitantes, 
los datos que obtengas los puedes ir 
acomodando en la tabla de valores. 
Solución: 
30 
http://www.google.com/search?q=historia+eruptiva+de+los+volcanes&hl=es&safe=active&rls=com.microsoft:es-mx:IE-SearchBox&rlz=1I7RNWN_es&sa=X&tbo=p&tbs=tl:1,tl_num:100&ei=uU5NS5TTI4vYsgO0tNjXAw&oi=timeline_navigation_bar&ct=timeline-navbar&cd=3&ved=0CDQQywEo
La pregunta hecha en las instrucciones se responde con la tabla de valores, para la cantidad de 
109,000,000 habitantes en México, diariamente se desechan aproximadamente 163,500,500 botellas 
plásticas. 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
El conjunto de parejas ordenadas obtenida es el siguiente: 
{(1, 1.5), (2, 3), (3, 4.5), (4, 6), (5, 7.5), (6, 9), (7, 
10.5)…(109,000,000, 163, 500,000)} 
 
 
Ahora en el plano cartesiano localiza y marca con un punto 
cada una de las parejas ordenadas anteriores, si los puntos 
tienen alguna característica en particular indica de qué 
figura geométrica se trata, además aplica la prueba de la 
vertical para determinar si se trata de una relación funcional 
o no. 
f(x) = 1.5 x 
Habitantes Botellas 
1 1.5 
2 3 
3 4.5 
4 6 
5 7.5 
6 9 
7 10.5 
…
 
…
 
109,000,000 163,500,000 
Sabías que… 
México ocupa el segundo lugar en el mundo de desechos de 
PET. Con una demanda anual de 790,000 Toneladas.1 
1. Fuente: www.ecoce.org.mx 
31 
http://www.google.com/search?q=historia+eruptiva+de+los+volcanes&hl=es&safe=active&rls=com.microsoft:es-mx:IE-SearchBox&rlz=1I7RNWN_es&sa=X&tbo=p&tbs=tl:1,tl_num:100&ei=uU5NS5TTI4vYsgO0tNjXAw&oi=timeline_navigation_bar&ct=timeline-navbar&cd=3&ved=0CDQQywEo
http://www.google.com/search?q=historia+eruptiva+de+los+volcanes&hl=es&safe=active&rls=com.microsoft:es-mx:IE-SearchBox&rlz=1I7RNWN_es&sa=X&tbo=p&tbs=tl:1,tl_num:100&ei=uU5NS5TTI4vYsgO0tNjXAw&oi=timeline_navigation_bar&ct=timeline-navbar&cd=3&ved=0CDQQywEo
http://www.ecoce.org.mx/
Si observas bien la sucesión de puntos, éstos forman 
una línea recta oblicua y al aplicar la prueba de la 
vertical descubres que se trata de una relación 
funcional ya que al aplicar la prueba de la vertical, la 
recta sólo corta un punto de la gráfica. 
 
 
El estudio de este ejemplo ha sido sólo considerando 
al país, pero, si se considera todo el mundo, 
¿cuántas botellas plásticas se desecharán 
diariamente? 
 
 
Este ejemplo muestra muy bien la situación en 
cifras de la contaminación de botellas plásticas, 
es importante que consideres el tiempo que éstas 
tardan en degradarse (de 500 a 1000 años) para 
tomar más conciencia del consumo que haces de 
estas, considerando los riesgos que conllevan y 
que perjudican al planeta y a tu salud. ¡El mundo 
es hermoso, descúbrelo, protégelo y disfrútalo! 
Tú puedes ayudar a reciclar. 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
(1, 1.5) 
(2, 3) 
(3, 4.5) 
(4, 6) 
(5, 7.5) 
(6, 9) 
(7, 10.5) 
(8, 12) 
(9, 13.5) 
(109,000,000, 163,500,00) 
y 
x 
6 5 4 3 8 9 2 109, 000, 000 1 ... 7 0 
5 
9 
12 
13 
14 
. . . 
1163,500,000 
4 
8 
11 
3 
7 
10 
2 
6 
1 
32 
http://www.google.com/search?q=historia+eruptiva+de+los+volcanes&hl=es&safe=active&rls=com.microsoft:es-mx:IE-SearchBox&rlz=1I7RNWN_es&sa=X&tbo=p&tbs=tl:1,tl_num:100&ei=uU5NS5TTI4vYsgO0tNjXAw&oi=timeline_navigation_bar&ct=timeline-navbar&cd=3&ved=0CDQQywEoEn cada una de las siguientes representaciones determina si la relación es o no funcional. 
 
a) El siguiente conjunto de datos muestra la relación entre la cantidad total de miembros de una familia 
y el número de mascotas que tienen en casa. A={(3, 0), (5, 6), (2, 4), (7, 8), (2, 1), (7, 3), (4, 3), (8, 7)} 
 
b) La siguiente tabla muestra la temperatura c) El contorno de una naranja gigante cuyas 
 registrada en la semana. Medidas se muestran en la gráfica. 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Actividad 1 
 
Instrucciones: realiza lo siguiente. 
Día Temperatura 
Lunes 26º 
Martes 18º 
Miércoles 29º 
Jueves 30º 
Viernes 29º 
Sábado 28º 
Domingo 20º 
33 
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
d) 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
e) El triple del número de pupitres aumentado en 10 unidades es el cuadrado del número de alumnos 
disminuido en 4 unidades. 
 
 
f) Si en Michoacán se desechan 150 toneladas de botellas plásticas PET diariamente, representa 
gráficamente el desecho de botellas plásticas en el Estado. Considera el peso de cada botella 
plástica como 33.33 g y el número de habitantes en el Estado de 3,964,009. 
34 
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
Actividad 2 
 
Instrucciones: realiza lo siguiente. 
En cada una de las siguientes representaciones determina si la relación es o no funcional. 
 
a)El siguiente conjunto de datos muestra la relación de los votos a favor o en contra entre dos 
candidatas para reina de la primavera en la preparatoria, los resultados obtenidos en los grupos 
fueron los siguientes: (Verónica, Cecilia) = {(-2, 6), (0, 4), (2, 2), (4, 0), (6, -2), (8, -4), (10, -6), (12, -8)} 
 
b)La siguiente tabla muestra el sueldo c) El contorno de una lámpara se muestra en 
 de un maestro por horas laboradas la gráfica siguiente. 
Horas 
laboradas 
Sueldo 
Maestro 
1 $40 
2 $80 
3 $120 
4 $160 
5 $200 
6 $240 
7 $280 
35 
d) 
Semana 1 / Sesión 1 / Lunes 
e) La ecuación 3x – 9y = 15 muestra la relación que existe entre la edad de Pedro (x) y la edad de 
Juan (y). 
 
 
f) En tu casa, investiga el número de botellas plásticas que cada miembro de tu familia desecha 
diariamente y representa la relación entre cada miembro de tu familia con la cantidad de botellas 
desechadas mediante cualquiera de todas las formas anteriores. 
36 
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
1.1.2. Dominio y rango de una función 
 
1.2. Operaciones con funciones 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
37 
Al finalizar la sesión 2, serás capaz de: 
 
 
• Identificar el conjunto de valores que componen al dominio y rango de una relación o función a través 
de la regla de correspondencia. 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
38 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
Factorización 
Recuerda: 
Una expresión algebraica puede ser expresada en forma factorizada para fines prácticos dentro de los 
cuales se puede mencionar la obtención de raíces en una ecuación o desigualdad. Existen diferentes 
tipos de factorización como los siguientes: 
FACTOR COMÚN 
 
1) Obtén el máximo común múltiplo de los coeficientes y agrega la literal que se repite en todos los 
términos con el menor exponente. 
 
2) El coeficiente del término común divide cada uno de los coeficientes de los términos de la 
expresión algebraica y se restan los exponentes de las literales semejantes con las del término 
común. 
 
Ejemplo: Factoriza por factor común la expresión: 12x4y3 – 8x3y2 + 4x2y = 
 
 Máximo común múltiplo de: 12 8 4 2 
 6 4 2 2 
 3 2 1 M.C.M. = 2 x 2 = 4 
 
Literales que se repiten en todos los términos y de menor exponente son: x2y 
Entonces, el término común de la expresión 12x4y3 – 8x3y2 + 4x2y es: 4x2y cuya factorización resulta: 
 12x4y3 – 8x3y2 + 4x2y = 4x2y (3x2y2 – 2xy + 1) 39 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Obtén la raíz cuadrada del primer término. 
 
2) El signo es positivo cuando todos son positivos, Negativo, cuando el término central es negativo. 
 
3) Obtén la raíz cuadrada del tercer término. 
 
4) Verifica que el doble de la multiplicación de las raíces obtenidas sea el término central. 
 
 
Ejemplo: Factoriza 49 x4y4 + 42 x2y2 + 9 
 
 Raíces: 7x2y2 3 
 
 Verifica: 2 (7x2y2) (3) = 42 x2y2 
 
 
Por lo tanto la factorización de la expresión es 49 x4y4 + 42 x2y2 + 9 = (7x2y2 + 3)2 
Son tres términos. 
El primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta. 
40 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
DIFERENCIA DE CUADRADOS x2 – y2 = (x + y) (x – y) 
 
 
 
 
 
1) Obtén la raíz cuadrada del primer y segundo término. 
2) Entre paréntesis expresas la suma de las raíces, multiplicada por la resta de las mismas raíces. 
 
Ejemplo: Factoriza 225 x6 – 121y2 
 
 Raíz: 15x3 11y = (15x3 + 11y) (15x3 – 11y) 
Se identifica ya que sólo son dos términos y ambos tienen raíz cuadrada exacta. 
TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO CON TÉRMINO COMÚN x2 + ax + b 
 
 
 
 
1) Obtén la raíz cuadrada del primer término. 
 
2) Encuentra dos números cuya suma o resta coincida con el coeficiente del término central y cuya 
multiplicación corresponda al tercer término. 
 
Ejemplo: Factoriza m2 + 17m + 30 
 
 15 + 2 = 17 y 15 x 2 = 30, entonces, 15 y 2 son los números 
 
 Por lo tanto, la factorización de m2 + 17m + 30 es (m +15) (m + 2) 
Se identifica ya que el primer o tercer término no tiene raíz cuadrada exacta. 
41 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA acx2 + (bc + ad)xy + bdy2 
 
1) Encuentra dos números cuya multiplicación coincida con el primer término de la expresión. 
 
2) Encuentra dos números cuya multiplicación coincida con el segundo término de la expresión. 
 
3) Verifica si los números que encontraste satisfacen la expresión, multiplica medios y súmalo a la 
multiplicación de los extremos. 
 
 3º (ax + by) (cx + dy) 
 
 + bc xy El producto de los medios sumado 
 + ad xy__ con el producto de los extremos 
 (bc + ad)xy 
 
Ejemplo: Factoriza 15w2 + 21w + 6 
 
 (5w + 2) (3w + 3) 
 
 + 6w El producto de los medios sumado 
 _ + 15w__ con el producto de los extremos 
 + 21w 
 
Por lo tanto, la factorización de la expresión 15w2 + 21w + 6 es (5w + 2) (3w + 3) 
42 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
Ecuación Lineal 
Recuerda: 
Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad en donde las variables involucradas tienen grado 
uno. 
Para determinar el valor de una variable en una 
ecuación, conociendo la otra, sustituyes dicho 
valor en la ecuación y despejas la incógnita. 
 
Por ejemplo: Sea 3x + y = 7 con x = 2, 
 
 Despeja “y” y = 7 – 3x 
 Sustituye x = 2 y = 7 – 3(2) 
 Simplificas y = 7 – 6 
 y = 1 
Con una incógnita Con dos incógnitas 
Para obtener el valor de la variable en una 
ecuación, despejas la incógnita y listo: 
 
Por ejemplo: Sea 3x – 8 = 7 
 
 Despeja “x” 3x = 7 + 8 
Simplificas 3x = 15 
Obtienes “x” x = 15/3 
 x = 5 
43 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
Desigualdades 
Recuerda: 
Los elementos del conjunto de los números reales pueden ordenarse mediante una relación denotada 
por los símbolos “<” (menor que) y “>” (mayor que). 
Encuentra el intervalo que satisface la siguiente 
desigualdad: | 2(3x + 2) – 8 | >8 
 
Realiza el producto |6x + 4 – 8| > 8 
Simplificas |6x – 4 | > 8 
Aplicas propiedad viii –8 < 6x – 4 > 8 
Sumas 4 a cada miembro –4 < 6x > 12 
Divides entre 6 cada miembro –4/ 6 > x > 2 
Simplificas –2/ 3 > x > 2 
Tomando a, b y x e R, 
 
i.a < b si y sólo si b – a es positivo 
ii.a > b si y sólo si a – b es positivoiii.a ≤ b si y sólo si a < b o a = b 
iv.a ≥ b si y sólo si a > b o a = b 
v.|a| = a si a ≥ 0 y 
vi. –a si a > 0 
vii.|x| < a si y sólo si –a < x < a a > 0 
viii.|x| > a si y sólo si x > a o x < –a a > 0 
Ejemplo: 
44 
 
Instrucciones: realiza lo que se te pide en cada ejercicio. 
 
 
1. Identifica el polinomio y factoriza según corresponda 
 
 
a) 2x2 – x – 15 
b) 9a2 + 12ab + 4b2 
c) 8x5y2z – 24x3y2 + 16x4y 
d) 25w4y2 – 49x6 
 
 
2. Obtén las raíces de la siguiente ecuación: x2 + x - 12 = 0 
 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
45 
El maíz era un alimento básico de las culturas 
indígenas americanas muchos siglos antes de que 
los europeos llegaran a América. 
 
En las civilizaciones maya y azteca jugó un papel 
fundamental en las creencias religiosas, en sus 
festividades y en su nutrición.”2. 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
Maíz 
maíz transgénico 
2. Fuente: www.inforural.com.mx 
• ¿Por qué crees que el gobierno haya decidido importar maíz? 
• ¿Qué proporción de maíz correspondería a cada habitante del país actualmente? 
• ¿Qué relación existe entre la cantidad de maíz producido y el número de habitantes respecto 
al precio de la tortilla? 
Además de los 24 millones de toneladas de maíz 
que anualmente produce México, actualmente el 
gobierno mexicano importa cerca de 11 millones 
de toneladas de maíz de E.U. mezclado con 
variedades transgénicas. 
“Los primeros cultivos de maíz aparecieron en México hace por lo menos 8 mil 700 años. 
Sabías que… 
46 
http://www.inforural.com.mx/
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
1.1.2. Dominio y rango de una función 
Efectivamente los factores de la producción de maíz y la cantidad de habitantes en el país afectan a la 
economía y por defecto al precio de la tortilla. El gobierno incluso ha tomado la decisión de importar 
maíz, parece irónico que siendo el maíz desde hace miles de años un cultivo muy importante para 
México llegue al punto de importarlo y además transgénico. 
 
Si anualmente en el país se producen aproximadamente 24 millones de toneladas de maíz y la 
cantidad promedio de habitantes es de 109 millones, ¿cuánto maíz le correspondería a cada 
habitante al año? ¿cuánto al día? 
 
La porción al año por habitante sería de 220 Kg de maíz y por día vendría siendo 602 g. por habitante. 
Como te habrás dado cuenta, entre la producción de maíz y el número de habitantes en el país existe 
una relación de correspondencia, en este caso a cada habitante le corresponden 602 g de maíz, la 
relación además se estableció entre dos conjuntos, uno, A = {la cantidad de granos de maíz 
producidos anualmente en México} y el otro, B = {el número de habitantes en México}, dichos 
conjuntos pueden ser representados mediante números, A={0, 1, 2, 3, … 24} (toneladas en millones) y 
B = {1, 2, 3, … 109} (en millones). 
 
Los elementos que componen al primer conjunto se le conoce como el dominio de la 
relación o función y a los elementos que componen el segundo conjunto es conocido 
como el contradominio, rango o recorrido de la relación o función. 
47 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
En donde el dominio corresponde a los datos del maíz y el 
rango al de los habitantes. De lo que concluyes que el 
conjunto de valores del dominio es: D = {0.6, 1.2, 1.8, 2.4, 3…. 
65, 618, 000} y el del rango es: R = {1, 2, 3, 4, 5, … 109. 000. 
000}. 
 
Además, recuerda que los valores proporcionados en las 
tablas se pueden representar mediante parejas ordenadas, de 
tal manera que la información anterior queda de la forma: 
 
{(0.6, 1), (1.2, 2), (1.8, 3), (2.4, 3), (3, 5), … (65,618,000, 109, 
000,000)}. 
Maíz Habitantes 
0.6 Kg 1 
1.2 Kg 2 
1.8 Kg 3 
2.4 Kg 4 
3 Kg 5 
… … 
65.62 Ton 109 millones 
Como ya lo sabes, la correspondencia entre ambos conjuntos se puede representar mediante una 
tabla, el ejercicio anterior quedaría de la siguiente forma: 
Del conjunto de parejas ordenadas proporcionadas, el dominio lo componen los primeros elementos de 
cada pareja y el rango lo componen los segundos elementos de las parejas. 
 
Por lo tanto, agrupas los primeros elementos que forman las parejas ordenadas para obtener el 
dominio: D= {0.6, 1.2, 1.8, 2.4, 3…. 65, 618, 000} y agrupas el segundo elemento de cada pareja 
ordenada para obtener el rango: R = {1, 2, 3, 4, 5, … 109. 000. 000}. 
48 
Ahora bien, cada pareja ordenada la puedes 
ubicar en el plano cartesiano mediante la 
representación de un punto, si ubicas cada pareja 
ordenada del conjunto anterior obtienes la 
siguiente gráfica la cual representa una línea 
recta cuyo inicio es el punto (0.6, 1) y su final es 
el punto cuyas coordenadas son (65, 618, 000, 
109, 000, 000). 
 
 
Para determinar el dominio y rango en una 
gráfica necesitas ubicar los valores que toma en 
“x”, y cuales en “y”; en este caso ubicaste 
fácilmente el punto de inicio y el final de la 
gráfica, además como ésta representa una recta 
entonces hay una continuidad en los valores que 
toma en “x” y en “y”, por lo que puedes lograr 
concluir que el dominio está dado por el intervalo 
D = {x e R / 0.6 ≤ x ≤ 65,618,000} y el rango por el 
intervalo: R = {y e R / 1 ≤ y ≤ 109, 000, 000}. 
 
Fuera de esos valores ya no hay gráfica. 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
49 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
¿Cómo calcular el dominio y rango de una relación funcional o no, dada su ecuación? 
 
Ejemplo 1: 
 
 Obtén el dominio y rango de: 6x2 – 7x – 20 = y 
 
Podrás observar que, como la ecuación es un polinomio, nada restringe a la variable “x” y por lo tanto 
puede tomar cualquier valor de los números reales. De tal manera que el dominio (cuyo conjunto está 
compuesto por los valores que, la relación funcional o no, toma en el eje de las “x”) está compuesto por 
todos los números reales y por defecto los valores de la variable dependiente serán también números 
que se encuentran dentro del conjunto de los reales, de lo cual concluyes que el rango está formado 
también por el conjunto de los números reales. 
 
Por lo tanto D = { x e R} y R = {y e R}. 
 
 
Ejemplo 2: 
 
 Obtén el dominio y rango de: 
 
 
La ecuación está dada por una fracción, como sabes, una fracción no está definida si su denominador es 
cero, por lo que el denominador está restringido y por lo tanto la variable “x”, ¿bajo que valores en “x” 
quedaría indefinida la función? 
2076
12
)(
2 

xx
xf
50 
Para obtener los valores de “x”, es necesario que iguales a cero el denominador y obtengas las raíces 
del mismo: 
 
 
 Para obtener las raíces factorizas 6x2 – 7x – 20 = 0 
 (2x – 5)(3x + 4) = 0 
 Despejas “x”: 2x – 5 = 0 3x + 4 = 0 
 Obtienes las raíces: 2x = 5 3x = – 4 
 x = 5 / 2 x = – 4 / 3 
 
 
Entonces, las raíces que obtuviste son los valores que “x” no puede tomar ya que con esos valores la 
función no está definida. Al conocer estos valores puedes determinar el dominio de la función, te queda 
como sigue: D = { x e R/ x ≠ 5/2  x ≠ – 4/3}. 
 
 
Con respecto al rango, el valor que nunca puede tomar “y” es el cero. Por lo tanto el rango 
corresponde a R = {y e R / y ≠ 0}. 
 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
51 
Ejemplo 3: 
 
 Obtener el dominio y rango de: 
 
 
La ecuación está dada por una raíz, la cual como has de recordar el radicando debe ser mayor igual a 
cero para obtener un número real, por lo que 4x – 6 ≥ 0, ahora determina los valores que puede tomar 
“x” , para eso despeja “x” en la desigualdad anterior: 
 
 4x – 6 ≥ 0 
 4x ≥ 6 
 x ≥ 6/4 
 x ≥ 3/2 
 
 
Entonces el dominio de la relación, funcional o no, corresponde al conjunto de números D = { x e R / x ≥ 
3/2}, ahora, con respecto al rango, el conjunto de números está dado por R = { y e R / y ≥ 0 }. 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
64)(  xxf
52 
Si se tienen variasfunciones, entre estas se pueden realizar algunas operaciones como suma, resta, 
multiplicación, división y composición de lo que resulta otra función. 
 
Sean f(x)= 6x2 – 8x – 8 y g(x) = 2x – 4 dos funciones, 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
1.2. Operaciones con funciones 
SUMA DIFERENCIA PRODUCTO COCIENTE COMPOSICIÓN 
(f+g)x = f(x)+g(x) (f-g)x = f(x)–g(x) (f•g)x = f(x)•g(x) g(x)≠0 (f○g)x = f(g(x)) 
Dominio de la 
suma de funciones: 
Df ∩ Dg 
Dominio de la resta 
de funciones: 
Df ∩ Dg 
Dominio del producto 
de funciones: 
Df ∩ Dg 
Dominio del cociente 
de funciones: 
Df ∩ Dg 
Dominio de la 
composición 
 de funciones: 
(f+g)x =(6x2–8x–8) 
+ (2x – 4) 
 
(f+g)x=6x2–6x–12 
(f-g)x =(6x2–8x–8) 
– (2x – 4) 
 
(f-g)x =6x2–10x–4 
(f•g)x =(6x2–8x–8) 
• (2x – 4) 
 
(f•g)x=12x3-40x2 
+16x+32 
)(
)(
xg
xf
x
g
f






42
886 2








x
xx
x
g
f
42
)42)(23(








x
xx
x
g
f
23 





xx
g
f
8)42(8 
)42(6)( 2


x
xxgf 
83216 
)16164(6)( 2


x
xxxgf 
12011212)( 2  xxxgf 
53 
La gráfica de las funciones f(x)= 6x2 – 8x – 8 y 
g(x) = 2x – 4 son las siguientes: 
 
 
Una parábola y una recta. 
 
 
El dominio y rango de f(x) son: 
Dominio = {R} 
Rango = {x e R / -10.7 ≤ x } 
 
El dominio y rango de g(x) son: 
Dominio = {R} 
Rango = {R} 
 
 
Ahora, observa el cambio y comportamiento de las 
gráficas que resultan de las operaciones hechas 
con las funciones anteriores. 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
54 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
SUMA DIFERENCIA PRODUCTO COCIENTE COMPOSICIÓN 
(f+g)x=6x2–6x–12 (f-g)x =6x2–10x–4 
(f•g)x=12x3-40x2 
+16x+32 23 





xx
g
f 12011212)( 2  xxxgf 
55 
Los factores principales que afectan a la pobreza alimentaria del hombre son los precios elevados de los 
alimentos, menores ingresos y el desempleo, fruto de la crisis económica. “El hambre es el signo más 
cruel y tangible de la pobreza”, en el recuadro gris se observan muy bien los porcentajes de hambre que 
hay en todo el mundo según la FAO. 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
Hambre 
56 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
La tabla de valores siguiente muestra la 
relación de pobreza de habitantes por estado 
en México en 2005, además con un agregado 
en porcentajes estatal y nacional. 
 
Con esos datos representa gráficamente la 
relación de habitantes en pobreza por estado 
y determina el dominio y rango de la relación. 
ENIGH ENIGH ENIGH CONAPO 
% Nacional 
pobreza 
alimentaria 
% Estatal pobreza 
alimentaria 
Personas en 
pobreza 2005 
Población promedio 
2005 
Aguascalientes 0.8 14.9 159,017 1,069,423 
Baja California 0.2 1.3 37,017 2,822,478 
Baja California 
Sur 0.1 4.8 24,285 509,524 
Campeche 0.8 19.8 150,656 758,987 
Coahuila 1.1 8.6 215,403 2,515,416 
Colima 0.3 8.9 50,556 569,727 
Chiapas 10.8 46.8 2,017,517 4,312,067 
Chihuahua 1.5 8.5 278,033 3,256,512 
Distrito Federal 2.5 5.4 473,627 8,815,319 
Durango 2 24.2 368,179 1,524,078 
Guanajuato 4.9 18.7 924,182 4,940,605 
Guerrero 7 41.5 1,308,907 3,154,988 
Hidalgo 3.2 25.4 602,263 2,369,307 
Jalisco 3.9 10.8 735,437 6,782,676 
México 10.7 14.3 1,999,076 14,016,823 
Michoacán 4.9 23.0 923,473 4,016,934 
Morelos 0.9 10.6 172,410 1,620,871 
Nayarit 0.9 17.0 163,098 958,587 
Nuevo Léon 0.8 3.6 152,804 4,221,981 
Oaxaca 7.1 37.6 1,337,597 3,553,231 
Puebla 7.7 26.5 1,436,555 5,420,091 
Querétaro 1.1 12.5 200,097 1,598,089 
Quintana Roo 0.7 11.0 124,586 1,130,652 
San Luis Potosí 3.3 25.5 620,093 2,435,543 
Sinaloa 1.9 13.6 358,363 2,632,273 
Sonora 1.2 9.5 229,170 2,413,074 
Tabasco 3 28.2 566,720 2,006,277 
Tamaulipas 1.7 10.3 311,433 3,035,926 
Tlaxcala 1 17.8 191,452 1,073,525 
Varacruz 10.6 27.6 1,990,503 7,201,126 
Yucatán 1.8 18.0 328,387 1,826,750 
Zacatecas 1.5 20.7 286,478 1,384,006 
99.9 18,737,374 103,946,866 57 
La relación queda representada gráficamente como sigue: 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
Solución: 
0
2,000,000
4,000,000
6,000,000
8,000,000
10,000,000
12,000,000
14,000,000
16,000,000
A
gu
as
ca
lie
n
te
s
B
aj
a 
C
al
if
o
rn
ia
B
aj
a 
C
al
if
o
rn
ia
 S
u
r
C
am
p
ec
h
e
C
o
ah
u
ila
C
o
lim
a
C
h
ia
p
as
C
h
ih
u
ah
u
a
D
is
tr
it
o
 F
e
d
e
ra
l
D
u
ra
n
go
G
u
an
aj
u
at
o
G
u
e
rr
er
o
H
id
al
go
Ja
lis
co
M
é
xi
co
M
ic
h
o
ac
án
M
o
re
lo
s
N
ay
ar
it
N
u
ev
o
 L
éo
n
O
ax
ac
a
P
u
eb
la
Q
u
er
é
ta
ro
Q
u
in
ta
n
a 
R
o
o
Sa
n
 L
u
is
 P
o
to
sí
Si
n
al
o
a
So
n
o
ra
Ta
b
as
co
Ta
m
au
lip
as
Tl
ax
ca
la
V
ar
ac
ru
z
Yu
ca
tá
n
Za
ca
te
ca
s
C
an
ti
d
ad
 
Estados 
ENIGH Personas en
pobreza 2005
CONAPO Población
promedio 2005
El dominio de esta relación corresponde al conjunto de los estados que pertenecen a la República 
Mexicana = {Aguascalientes, Baja California, Baja California Sur, Campeche, Coahuila, Chiapas, 
Chihuahua, Distrito Federal, Durango, Guanajuato, Guerrero, Hidalgo, Jalisco, México, 
Michoacán, Morelos, Nayarit, Nuevo León, Oaxaca, Puebla, Querétaro, Quintana Roo, San 
Luis Potosí, Sinaloa, Sonora, Tabasco, Tamaulipas, Tlaxcala, Veracruz, Yucatán, 
Zacatecas}. 
58 
Una manera simplificada de escribir el dominio de la relación anterior es la siguiente D = 
{Estados de la república Mexicana}. 
 
 
El rango corresponde al conjunto de habitantes con pobreza alimentaria según el estado R = {159017, 
37017, 24285, 150656, 215403, 50556, 2017517, 278033, 473627, 368179, 924182, 1308907, 602263, 
735437, 1999076, 923473, 172410, 163098, 152804, 1337597, 1436555, 200097, 124586, 620093, 
358363, 229170, 566720, 311433, 191452, 1990503, 328387, 286478}. 
 
 
En 2005 el 18% de la población mexicana vivían en condición de pobreza alimentaria, actualmente las 
cifras han aumentado juntamente con la población, ¿por qué no invertir en el campo si la tierra trabajada 
proporciona como fruto el alimento que el mexicano necesita? 
 
 
Como pudiste observar en este ejemplo, el dominio y el rango de la relación agruparon los 
elementos según alguna característica particular que poseían, y conforme a la correspondencia 
entre los elementos de ambos conjuntos representaron gráficamente los datos identificando más 
rápidamente el estado con mayor población de habitantes y aquel que posee mayor población de 
habitantes en condiciones de pobreza alimentaria. 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
59 
Obtén el dominio y rango de las siguientes relaciones a través de la tabla de valores incluye las 
parejas ordenadas y su gráfica correspondiente, además determina si la relación es funcional o no. 
 
 
1)3x3 – 4x + 7 = y 2) 3) 
 
 
Representa mediante diagrama de flechas la siguiente correspondencia y obtén el dominio y rango de 
la relación. 
 
1){(verde, sandia), (rojo, fresa), (amarillo, plátano), (morada, uva), (anaranjado, mandarina), (verde, 
uva), (amarillo, guayaba), (amarillo, mango), (rojo, manzana)} 
 
 
Realiza las operaciones de suma, resta, multiplicación y composición entre las funciones f(x) = 6x – 1 
y g(x) = 3x2 – 2x. 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
Actividad 3 
 
Instrucciones: revisa la información que se proporciona y realiza lo que se te pide. 
30912
54
)(
2 


xx
x
xfxxf 53)( 
60 
Semana 1 / Sesión 2 / Martes 
Actividad 4 
 
Instrucciones: revisa la información que se te proporciona y realiza lo que se te pide. 
Obtén el dominio y rango de las siguientes relaciones a través de la tabla de valores incluye las parejas 
ordenadas y su gráfica correspondiente, además determina si la relación es funcional o no. 
 
 
1)8x3 – 2x2 + 2 = y 2) 3) 
 
 
Representa mediante diagrama de flechas la siguiente correspondencia y obtén el dominio y rango de la 
relación. 
 
1){(canicas, niños), (muñecas, niñas), (carritos, niños), (trompo, niños), (comiditas, niñas), (matatena,niñas), (memorama, niñas), (cuerda, niñas), (memorama, niños)} 
 
 
Realiza las operaciones de suma, resta, multiplicación y composición entre las funciones f(x) = 5x – 3 y 
g(x) = 6x2 + x. 
164
7
)(
2 

x
xfxxf 24)( 
61 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
1.3. Clasificación de las funciones y sus propiedades 
 
 1.3.1. Funciones Algebraicas y Trascendentes 
 1.3.2. Funciones Continuas y Discontinuas 
62 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Al finalizar la sesión 3, serás capaz de: 
 
 
• Identificar las funciones algebraicas y trascendentes mediante su expresión algebraica y gráfica. 
 
• Distinguir las funciones continuas de las discontinuas a través de su gráfica. 
63 
 
 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Recuerda: 
 
• Una expresión algebraica es uno o un conjunto de términos (agrupación de números con letras) 
relacionados entre sí mediante signos de suma o resta. Éstas expresiones se clasifican según 
algunas características, por ejemplo: 
 
 En cuanto a la cantidad de términos que posee la expresión 
 
• Monomio –5 x2 1 término 
• Binomio 3 + 8x 2 términos 
• Trinomio x + 7y – 3 3 términos 
• Polinomio cuando posee dos o más términos 
 
 En cuanto al grado de la expresión (el exponente mayor de cualquiera de las variables) 
 
• Primer grado 3x + 8y 
• Segundo grado 4x2 – 2 y + 1 
• Tercer grado y3 + 5x – 9 
• Etc. 
 
64 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Recuerda: 
 
•El lenguaje verbal se puede representar en forma algebraica según su expresión, por ejemplo: 
Lenguaje verbal Lenguaje 
algebraico 
Un número x 
Otro número y 
Más n unidades + n 
Es equivalente, es igual, es = 
N unidades elevadas a un número nx 
La suma de dos números 
El producto de dos números 
El cociente de dos números 
El cuadrado de un número 
El doble de la suma de dos números 
La raíz cuadrada de un número 
El cubo de la diferencia de dos números 
El triple de un número 
La diferencia del cubo de dos números 
ba 
))((,, babaab 
ba
b
a
b
a
,,
2a
 ba 2
a
 3ba 
a3
33 ba 
“Un número multiplicado por la suma del 
cuádruple de otro número aumentado en 
ocho unidades es el doble del otro número.” 
 
Su correspondiente forma algebraica es: 
x(4y + 8)= 2y 
 
Un número x 
multiplicado por () 
la suma + 
del cuádruple 4 
de otro número y 
aumentado + 
en ocho unidades 8 
es = 
el doble 2 
del otro número y 
65 
Un funciones trigonométrica es una razón trigonométrica que depende de la magnitud de un ángulo. 
La gráfica de cada una de las funciones trigonométricas es la siguiente: 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Recuerda: 
y = sen x 
y = cos x 
y = tan x 
y = cot x 
y = sec x 
y = csc x 
66 
Instrucciones: realiza los siguientes ejercicios. 
 
 
1. Convierte a texto verbal la ecuación 3x2 – 6x + 8 = 2y. 
 
 
2. Clasifica las siguientes expresiones respecto al número de términos que poseen: 
a) 3x 
b) 5y2 + 3y -5 
c) 16x2 + 8xy – 7y2 – 3 
 
 
3. Clasifica las siguientes expresiones respecto a su grado: 
a) y3 + 10x +6 
b) 5x2 – 8y + 7 
c) 25x + 15 
 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
67 
Ser humano 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
“La causa de la causa es la causa de lo causado”, el ser humano, desde su concepción es 
considerado como una persona humana bajo el fundamento de que éste es causado por dos seres 
humanos, es decir, es fruto de la relación entre un hombre y una mujer, según el Director del Centro 
Mexicano de Ginecología y Obstetricia SC, Carlos Fernández del Castillo Sánchez; pero, muchos 
otros, bajo otras perspectivas disfrazan la realidad para no sentirse mal y lo bautizan con un 
nombre a su favor. 
Sabías que… 
68 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Cuando te empezaste a formar en el vientre de tu 
mamá, en un principio eras una sola célula, la cual 
se formó al ser fecundado el óvulo por el 
espermatozoide y que recibe el nombre de cigoto. 
 
•¿Cómo es posible que ahora seas 
todo un caballero o toda una dama? 
•¿Qué ha ocurrido en ese lapso de tiempo? 
Tu cuerpo quedó formado a partir de la octava semana, estabas del tamaño 
de una nuez cuando todos tus atributos esenciales ya se distinguían. 
69 
En la sección “Explora” has visto las etapas de desarrollo de un bebé en el vientre de su mamá, cada 
etapa recibe un nombre según alguna particularidad del crecimiento del bebé, de la misma manera se 
clasifican las funciones, según ciertas características, dicha clasificación te ayudará a trabajarlas mejor a 
distinguirlas e identificarlas. En la vida cotidiana existen muchas situaciones en las cuales se pueden 
observar y describir funciones, por ejemplo: 
 
 
a) Los economistas utilizan mucho las funciones en su forma gráfica para visualizar el 
comportamiento de la misma en cuanto a la demanda y la oferta y apreciar el punto de equilibrio 
entre ambas variantes. 
 
 
b) En la meteorología usan las funciones en su forma gráfica porque les interesa saber el 
comportamiento de la temperatura respecto a las horas del día y así apreciar la temperatura 
máxima y la mínima durante el día. 
 
 
c) En química, para determinar las propiedades y características de una sustancia se sirven de las 
funciones en su forma gráfica al relacionar la variante de la temperatura, la presión, cantidad, 
etc. 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
1.3. Clasificación de las funciones 
70 
 1.3.1. Funciones algebraicas y trascendentes 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Al tomar el ejemplo de la sección “Explora” es admirable percibir el crecimiento del ser humano y 
maravillarse de su formación, en un principio es una sola célula, la célula tiene un tamaño aproximado 
de 10 mm, ¡súper pequeñísimo!, la célula se reproduce sucesivamente y conforme ésta se reproduce 
el tamaño del ser humano aumenta, aunque el útero materno es un límite, pero cuando la madre da a 
luz a su hijo, éste continúa creciendo hasta cierta etapa, si fuiste atento seguramente estarás de 
acuerdo en que el ser humano desde el comienzo de la formación de su cuerpo está en relación a 
múltiples fenómenos, situaciones, etc. 
 
 
El devenir, por ejemplo, es uno de los sucesos que afectan más al ser humano, este devenir se 
manifiesta en el tiempo y crecimiento de la persona, a continuación se muestra una tabla con datos 
aproximados del tamaño en relación con el tiempo (en edad) de una persona, desde el vientre de la 
madre hasta la adolescencia. 
71 
Relación Tiempo-tamaño 
en el vientre materno 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Tiempo (edad) Tamaño (cm) 
1 73.5 
2 84.9 
3 93.7 
4 100.8 
5 107.1 
6 112.8 
7 118.3 
8 123.7 
9 128.9 
10 133.8 
11 138.8 
12 145.6 
13 
14 
15-18 
151.2 
157.1 
164.2 
Tiempo del feto Tamaño 
4 semanas 2-4 mm 
8 semanas 29-38 mm 
12 semanas 9-10 cm 
14 semanas 12 cm 
16 semanas 14 cm 
20 semanas 20 cm 
22 semanas 22 cm 
24 semanas 24 cm 
26 semanas 30 cm 
28 semanas 40 cm 
30 semanas 42 cm 
32 semanas 44 cm 
34 semanas 46 cm 
36 semanas 48-50 cm 
Relación Tiempo-tamaño 
Niña - adolescente 
Funciones Algebraicas 
72 
Los datos proporcionados en la tabla de relación tiempo-tamaño de un bebé en el seno materno no se 
puede representar mediante una ecuación algebraica ya que los valores de las variantes no tienen nada 
en común, en cambio, para la tabla de relación tiempo-tamaño de la niña-adolescente se puede 
obtener un estimado y puede ser representada mediante la siguiente ecuación: y = 6x + 75 en donde la 
variable “x” representa el tiempo en edad y la variable “y” representa el tamaño. Esta ecuación sólo es 
válida hasta la edad de 15 años. 
 
 
Si observas bien la tabla, la correspondencia que existe entre los elementos de cada conjunto es única 
por lo que se trata de una relación funcional. 
 
 
La particularidad de la ecuación de esta función es que se trata de una ecuación algebraica 
polinomial. Esta clase de funcionesalgebraicas las hay de diferentes tipos, se les considera a 
aquellas que se obtienen con las operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación y 
división, además de la potenciación y radicación. 
 
 
Otras funciones tales, como la polinomial, que también pertenecen al conjunto de las algebraicas son las 
racionales e irracionales, las cuales se distinguen según su ecuación. 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
73 
Tipos de funciones algebraicas: 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Funciones 
Algebraicas 
1) Polinomiales 
3) Irracionales 
2) Racionales 
Están expresadas siempre bajo la forma de 
una polinomio. El Dominio y Rango son los R. 
cbxaxxf n )(
cx
bax
xf


)(
bxxf n )(
Están expresadas siempre bajo la forma de 
una fracción de polinomios. El dominio y 
rango se restringe por el denominador que 
tiene que ser diferente de cero. 
Están expresadas siempre bajo la forma que 
implica un radical. El dominio y rango se 
restringe por el radicando que tiene que ser 
mayor igual a cero. 
74 
Algunas aplicaciones de las funciones algebraicas: 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
1) Polinomiales 3) Irracionales 2) Racionales 
•Dibujo, para elaborar un 
diseño en dimensiones 
proporcionadas. 
 
•Arquitectura, para una 
construcción proporcional. 
 
•Tecnología Industrial, en la 
fabricación de cajas de metal, 
etc. 
 
•Ingeniería petrolera, para 
calcular la caída de presión 
en un depósito de petróleo. 
•Tecnología médica, para 
calcular la concentración de un 
medicamento en la sangre. 
 
•Arquitectura, para la 
construcción de puentes. 
 
•Construcción, para determinar 
el número de obreros que se 
necesitan para edificar una 
construcción en cierto tiempo. 
 
•Ingeniería mecánica, para 
calcular la velocidad de un 
objeto a partir de su distancia 
recorrida en cierto tiempo. 
•Tecnología nuclear, para 
calcular la velocidad de 
protón. 
 
•Ingeniería civil, para calcular 
la velocidad máxima en una 
curva sin derrapar. 
 
•Tecnología de la iluminación, 
para determinar la intensidad 
de una fuente lumínica. 
 
•Química, para calcular la 
distancia de capas de iones 
en un cristal de cloruro de 
sodio. 
75 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Ejemplo 1: 
Si retomas el ejemplo de la relación tiempo-tamaño en la forma de su ecuación f(x) = 6x + 75, la gráfica 
correspondiente es del tipo: 
Ecuación: 
f(x) = 6x + 75 
Edad 
“x” 
Tamaño 
f(x) 
1 81 
2 87 
3 93 
4 99 
5 105 
6 111 
7 117 
8 123 
9 129 
10 135 
11 141 
12 147 
13 153 
14 159 
15 165 
La función lineal en el intervalo [1, 15] 
es una línea recta. 
Funciones Algebraicas Polinomiales 
76 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Ejemplo 2: 
Considera la ecuación cuadrática g(x) = 5x2 – 8x + 6, grafica e identifica su forma. 
Ecuación: 
g(x) = 5x2 – 8x + 6 
 
“x” g(x) 
-4 106 
-3 63 
-2 30 
-1 7 
0 -6 
1 -9 
2 -2 
3 15 
4 42 
La función cuadrática es una parábola. 
77 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Ejemplo 3: 
Ecuación: 
h(x) = x3 + 3x2 + 2x – 1 
 
“x” h(x) 
-4 -25 
-3 -7 
-2 -1 
-1 -1 
0 -1 
1 5 
2 23 
3 59 
4 119 
La función de tercer grado es una cúbica. 
Considera la ecuación de tercer grado h(x) = x3 + 3x2 + 2x – 1, 
grafica e identifica su forma. 
78 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Ejemplo 4: 
 
Ecuación: 
 
“x” f(x) 
-8 -52.3 
-7 -44.78 
-6 -37.38 
-5 -30.14 
-4 -23.16 
-3 -16.6 
-2 -10.75 
-1 -6.33 
0 -5.5 
1 -19 
2 Indeterminado 
3 83 
4 69.5 
5 70.3 
6 74.75 
7 80.6 
La función racional está 
representada mediante una 
fracción, cuyo denominador está 
en términos de la variable 
independiente. 
Funciones Algebraicas Racionales 
Considera la siguiente ecuación racional 
grafica e identifica su forma. 2
118
)(
2



x
x
xf
2
118
)(
2



x
x
xf
79 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Ejemplo 5: 
 
Ecuación: 
 
“x” f(x) 
2.33 0 
3 1.41 
4 2.23 
5 2.83 
6 3.32 
7 3.74 
Funciones Algebraicas Irracionales 
Considera la siguiente ecuación irracional , grafica e identifica su forma. 73)(  xxf
73)(  xxf
33.2
73
073
3
7




x
x
x
x
Este tipo de función está representada por medio 
de un radical, el cual restringe los valores de la 
variable independiente, en este caso resulta lo 
siguiente: 
La función irracional representa 
la mitad de una parábola. 
80 
Retomando el ejemplo de la sección “Explora”, ¿qué ha ocurrido en el lapso de la fecundación hasta 
el nacimiento del bebé? La primer célula se reproduce en dos células idénticas, éstas también se 
vuelven a reproducir en dos idénticas cada una, y así sucesivamente hasta alcanzar un máximo de 
4,000 millones de células en su nacimiento (a este tipo de fenómeno se le conoce como Mitosis). 
 
La reproducción sucesiva de estas células es un incremento progresivo el cual se puede representar 
mediante una ecuación y según su forma tanto gráfica como en su ecuación se distingue y se clasifica 
como una función exponencial. 
 
 
 
 
 
Dicha función exponencial pertenece al conjunto de las funciones trascendentes, las 
cuales poseen la particularidad de involucrar razones trigonométricas, trigonométricas 
inversas, así como las logarítmicas y las exponenciales. 
 
 
Este tipo de funciones pueden distinguirse en cuanto a su ecuación y representación gráfica. A 
continuación se describen algunas reseñas para identificar la ecuación del tipo de funciones 
trascendentes. 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Funciones Trascendentes 
81 
Tipos de funciones trascendentes: 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Funciones 
Trascendentes 
1) Exponenciales 
3Trigonométricas 
2) Logarítmicas 
Están expresadas mediante una base 
numérica y cuya potencia involucra la 
variable independiente. xxf 2)( 
)13log()(  xxf
 xcos)( xf
Están expresadas mediante la función 
logaritmo aplicada a la variable 
independiente. 
Están representadas a través de las 
funciones trigonométricas. 
82 
Algunas aplicaciones de las funciones trascendentes: 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
1) Exponenciales 3)Trigonométricas 2) Logarítmicas 
•Biología, la reproducción de 
la célula y de las bacterias. 
 
•Química, para determinar la 
edad de un fósil, a través de 
la desintegración 
radiactiva. 
 
•Meteorología, para calcular 
la presión atmosférica. 
 
•Demográfica, el crecimiento 
o disminución de la 
población. 
•Sismología, la medición de los 
sismos se hace a través de la 
fórmula de Richter la cual 
involucra la función logarítmica. 
 
•Ingeniería acústica, para medir 
la intensidad del sonido. 
 
•Química, para calcular la 
acidez o alcalinidad de las 
sustancias. A través del PH. 
 
•Economía, para calcular el 
capital en cierto tiempo de una 
inversión con cierto interés. 
•Ingeniería mecánica, para 
calcular velocidades y 
distancias de un proyectil. 
 
•Electricidad, para calcular el 
voltaje efectivo. 
 
•Arquitectura, para la 
construcción. 
 
•Para el control del tráfico 
aéreo a través del cálculo de 
la altura del cielo raso. 
83 
Lo importante en esta sesión es que aprendas a identificar los tipos de funciones a través de su 
ecuación, a continuación se muestra un ejemplo de cada tipo de función con su gráfica respectiva, más 
adelante retomarás cada tipo de función en particular para observar sus propiedades y características, 
así como para aprender a graficar cada una de ellas, en esta sesión no te detengas en eso, ya que no 
es propio de este tema. 
 
Sólo identifica a través de la ecuación el tipo de función y trata de familiarizarte con la forma de su 
gráfica pues cada una es única. 
 
Para lograr resolver uno de los ejemplos de aplicación de las funciones mencionadas anteriormente es 
necesario que aprendas primero lo que en esta semana se te proporciona, más adelante tratarás y 
resolverás problemas de tu interés. 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles84 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Ejemplo 1: 
Si retomas el ejemplo de la reproducción de la célula fecundada, la ecuación que representa éste 
fenómeno natural es f(x) = 2x. Su gráfica queda de la siguiente manera: 
Ecuación: 
f(x) = 2x 
“x” f(x) 
1 2 
2 4 
3 8 
4 16 
5 32 
6 64 
7 128 
8 256 
9 512 
Funciones Trascendentes Exponenciales 
85 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Ejemplo 2: 
Ecuación: 
h(x) = log (2x – 5) 
“x” h(x) 
2.6 -0.69 
3 0 
4 0.477 
5 0.699 
6 0.845 
7 0.954 
8 1.041 
9 1.114 
10 1.176 
Funciones Trascendentes Logarítmicas 
Grafica la ecuación logarítmica h(x) = log (2x – 5) 
e identifica su forma. 
86 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Ejemplo 3: 
Ecuación: 
g(x) = cos 3x 
Radianes 
“x” 
g(x) 
-2 1 
-3/2 0 
- -1 
-/2 0 
0 1 
/2 0 
 -1 
3/2 0 
2 1 
Funciones Trascendentes Trigonométricas 
Grafica la ecuación trigonométrica g(x) =cos 3x e identifica su forma. 
87 
 1.3.2. Funciones continuas y discontinuas 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Ya has visto un tipo de clasificación de funciones, fácil de identificar mediante su ecuación, otro tipo de 
clasificación es respecto al comportamiento gráfico, ¿qué nombre reciben aquellas funciones o 
relaciones cuya gráfica implica un solo trazo? ¿y cómo se llaman aquellas donde ocurre lo contrario? 
 
 
Las gráficas que no presentan ningún punto aislado, saltos o interrupciones y que están 
hechas de un solo trazo en un intervalo determinado son llamadas funciones continuas. 
 
Las gráficas que presentan algún punto aislado, saltos o interrupciones, es decir, que no están 
hechas de un solo trazo n un intervalo determinado, son llamadas funciones discontinuas. 
 
 
A partir de estos dos conceptos fácilmente es posible identificar en la gráfica el tipo de función que se 
trata, al retomar las gráficas de las funciones algebraicas y trascendentes anteriores, a través de sus 
gráficas puedes identificar si se trata de una función continua o discontinua, compara tus conclusiones 
con la siguiente clasificación. 
88 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
2
118
)(
2



x
x
xf
h(x) = x3 + 3x2 + 2x – 1 
Continua 
Discontinua 
Continua 
73)(  xxf
Continua 
f(x) = 2x 
Continua 
h(x) = log (2x – 5) 
g(x) = cos 3x 
Continua 
g(x) = 5x2 – 8x + 6 
Continua Continua 
f(x) = 6x + 75 
89 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Una manera distinta en que se puede representar gráficamente una función discontinua es la 
siguiente: 
Ejemplo: 
Grafica la función definida por secciones f(x) en el intervalo [-2, 4]. Indica el comportamiento de la 
gráfica en los intervalos de la tabla según la gráfica. 
4234
20 1 
021 
 )(
2
2




xxx
x
xx
xf
“x” f(x) 
-2 5 
-1 2 
0 1 
1 -1 
2 -1 
3 0 
4 3 
Intervalos Comportamiento 
[-2, 0] Continua 
(0, 2] Continua 
[2, 4] Continua 
[-2, 4] Discontinua 
Discontinua 
90 
Relaciona cada situación o fenómeno con la forma funcional que le corresponde para ser expresada 
mediante una ecuación. 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
a. Crecimiento exponencial de la población. 
 
b. Grado de un terremoto. 
 
c. Elaboración de una caja con dimensiones 
proporcionadas en una sola variable. 
 
d. Altura del cielo raso a través de la función 
trigonométrica. 
 
e. Razón de concentración de un 
medicamento en la sangre. 
 
f. Velocidad de un protón. 
( ) x3 + 9x2 + 16.25x = y 
 
( ) sen a = cateto opuesto / hipotenusa 
 
( ) 
 
( ) R = log x 
 
( ) 5x = y 
 
( ) 
m
KE
v
2

50
3
)(
3
2



t
tt
tC
Con este ejercicio pudiste reafirmar los conocimientos aprendidos en clase acerca de la 
clasificación de las funciones y sus propiedades. 
91 
a) Convierte el siguiente texto a lenguaje algebraico. 
b) Identifica el tipo de función. 
c) Escoge dos ejercicios y traza la gráfica de cada una. 
d) Determina su comportamiento gráfico y especifica si se trata de una función continua o 
discontinua. 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
Actividad 5 
 
Instrucciones: para cada uno de los siguientes ejercicios realiza lo que se te indica en cada inciso. 
 
1) El doble de un número es la raíz cuadrada de la suma de otro número al cuadrado más el otro 
número aumentado en cinco unidades. 
 
2) El logaritmo del doble de un número más ocho unidades es otro número. 
 
3) Un número multiplicado por la resta del triple de otro número menos cinco unidades es el cuádruple 
del otro número. 
 
4) Un número es la tangente del doble de otro número más seis unidades. 
 
5) El cubo de un número más el triple del cuadrado del mismo número menos el mismo número más 
siete unidades es otro número menos cuatro unidades. 
 
6) Un número es cuatro unidades elevadas a otro número más nueve unidades. 
92 
Semana 1 / Sesión 3 / Miércoles 
a) Convierte el siguiente texto a lenguaje algebraico. 
b) Identifica el tipo de función. 
c) Traza la gráfica de cada una. 
d) Determina su comportamiento gráfico y especifica si se trata de una función continua o 
discontinua. 
Actividad 6 
 
Instrucciones: para cada uno de los siguientes ejercicios realiza lo que se te indica en cada inciso. 
 
1) El triple de un número es la raíz cuadrada de la resta de otro número con diez unidades. 
 
2) El logaritmo de un número menos ocho unidades es otro número. 
 
3) Un número multiplicado por la resta del doble de otro número menos siete unidades es el séxtuple 
del otro número. 
 
4) Un número es el coseno del doble de otro número menos nueve unidades. 
 
5) La quinta potencia de un número más el doble del mismo número más siete unidades es otro 
número menos seis unidades. 
 
6) Un número es tres unidades elevadas a otro número menos cuatro unidades. 
93 
1.3.3. Funciones Crecientes y Decrecientes 
1.3.4. Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
94 
Al finalizar la sesión 4, serás capaz de: 
 
 
• Determinar si una función es creciente o decreciente en el análisis de la ecuación y a través de su 
interpretación gráfica. 
 
• Identificar si una función es inyectiva, sobreyectiva y/o biyectiva a través del análisis de su 
ecuación. 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
95 
Recuerda: 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Los elementos que componen al primer conjunto se le conoce como el dominio de la relación o 
función y a los elementos que componen el segundo conjunto es conocido como el contradominio, 
rango o recorrido de la relación o función. 
Dominio: 
Animal 
Vegetal 
Humana 
Rango e Imagen: 
Jirafa 
Árbol 
Niña 
Flor 
Perro 
Bebé 
Borrego 
Rango: 
a 
b 
c 
d 
e 
Dominio: 
1 
2 
3 
4 
Imagen: 
a 
b 
c 
e 
96 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Las funciones se clasifican según su ecuación y gráfica como sigue: 
Funciones 
Trascendentes 
1) Exponenciales 
3Trigonométricas 
2) Logarítmicas 
xaxf )(
)13log()(  xxf
 xcos)( xf
Funciones 
Algebraicas 
1) Polinomiales 
3) Irracionales 
2) Racionales 
cbxaxxf n )(
cx
bax
xf


)(
bxxf n )(
Continuas 
no presentan ningún 
punto aislado, saltos o 
interrupciones 
Discontinuas 
presentan algún 
punto aislado, saltos 
o interrupciones 
Recuerda: 
97 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Instrucciones: dadas las siguientes funciones, determina el dominio y el rango. 
4014
)
54)


x
b
xa
2
2
12x
24
 
 y
98 
Condición Física 
• ¿Qué necesita Arturo para ganar la carrera?¿qué harías tú si estuvieras en su lugar? 
• Si Arturo se prepara y aún así, no gana la carrera, ¿qué logros habrá alcanzado? 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Arturo quiere participar en la carrera de 1, 000 m que se realizará en su ciudad, el gobierno la organiza 
para fomentar el deporte en los jóvenes y despertar en ellos el interés por las riquezas naturales que hay 
en el país. Arturo tiene todo un mes para prepararse, su meta es ganar la carrera pues desde hace años 
ha deseadomuchísimo salir de su pueblo y conocer más a México. 
99 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
 1.3.3. Funciones crecientes y decrecientes 
Para poder ganar una carrera es necesario prepararse y estar en muy buena condición para resistir y 
mantenerse compitiendo hasta el fin, seguramente habrás contestado igual a esta pregunta de la 
sección “Explora”, Arturo tiene que prepararse, y ¿cómo se tiene que preparar? ¿psicológicamente, 
pensando solamente en que va a ganar y lo conseguirá? O ¿comiendo mucho para tener suficientes 
fuerzas? ¿descansando todo el tiempo para ahorrarse energías? ¿cómo? 
 
 
La mejor preparación que puede tener, es a través de una sana alimentación, ciertamente que implicará 
un sacrificio para él porque dejará de consumir los pequeños antojos (nieve, papitas, refresco, pizza…) 
con que se deleitaba durante el día, además que le será necesario ejercitarse físicamente, es decir, 
dedicarle diariamente un tiempo al ejercicio, correr, caminar, etc. Y, lo más, más importante es mantener 
ese ritmo diariamente hasta el día de la competencia. 
 
 
Supón que el mes de preparación pasó ya y Arturo diariamente llevaba una bitácora de tiempos y días 
de ejercicio, la siguiente tabla muestra los resultados que obtuvo. 
100 
Como notarás en la tabla anterior, Arturo no hizo ejercicio todos los días, lo cual evidentemente le afecta 
en la condición que día a día adquirió, y en la última semana intentó duplicar su esfuerzo justo antes del 
día de la carrera. 
 
 
Si analizas la primer semana, su condición física se fue incrementando constantemente, es decir, tuvo un 
crecimiento en cuanto a los tiempos de ejercicio, si se expresan los tiempos de la primer semana en 
lenguaje algebraico, su ecuación corresponde a y = 2x + 8, en donde la variable “x” representa el día (1, 
2, 3…7) y la variable “y” representa el tiempo dedicado al ejercicio físico. 
Días de la semana 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo 
Semana 1 10’ 12’ 14’ 16’ 18’ 20’ 22’ 
Semana 2 19’ 19’ 19’ 19’ 
Semana 3 10’ y 8’ 22’ 24’ 26’ 28’ 26’ 24’ 
Semana 4 22’ 20’ 9’ 27’ 81’ 
T
ie
m
p
o
 
101 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Como ya lo descubriste en la tabla anterior, en la primer semana los tiempos crecieron ya que hubo un 
aumento constante diario, a dicho fenómeno se le conoce como función creciente, por lo tanto la función 
y = 2x + 8 se le considera una función creciente. 
A través de los valores de la tabla lograste identificar que la función anterior era una función creciente, 
pero, en caso de que se tenga la interpretación gráfica ¿cómo saber si se trata de una función creciente? 
 
 
Para responder la pregunta anterior grafica la función, observa y analiza su comportamiento en el plano 
cartesiano. 
Puedes concluir que una función creciente es aquella cuyos valores en 
un intervalo determinado se incrementan, es decir, para cualquier valor 
del dominio x1 y x2 e D y R, en donde x1<x2, la imagen obtenida para 
cada uno mantiene la relación f(x1) < f(x2). 
102 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Semana 1 Tiempo 
Lunes 10’ 
Martes 12’ 
Miércoles 14’ 
Jueves 16’ 
Viernes 18’ 
Sábado 20’ 
Domingo 22’ 
La tabla de la Semana 1 y su respectiva gráfica 
son las siguientes: 
Si observas bien la gráfica, conforme aumentan 
los valores del dominio, sus respectivas imágenes 
se incrementan también, por lo tanto a través de 
la gráfica puedes deducir que se trata de una 
función creciente. 
103 
Al analizar la segunda semana de ejercicios de Arturo es fácil concluir que fue la semana más floja, ya 
que de 7 días sólo 4 tomó tiempo para hacer sus ejercicios y los días que los hizo no tuvo ningún 
incremento en cuanto al tiempo dedicado, se mantuvo siempre estable, sin crecimiento, dicho de 
manera matemática, los tiempos se mantuvieron constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cómo queda representada la relación tiempo-días de la segunda semana si la conviertes a 
texto algebraico? 
 
 
La relación queda representada bajo la función y = 19 en el intervalo Martes-Viernes, tal ecuación en 
dicho intervalo es una función constante, se trata de una función constante. 
 
 
¿Cómo identificar una función algebraica polinomial constante en su interpretación gráfica? 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo 
Semana 2 19’ 19’ 19’ 19’ 
104 
La tabla y gráfica de la función constante es la 
siguiente: 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Semana 2 Tiempo 
Lunes 
Martes 19’ 
Miércoles 19’ 
Jueves 19’ 
Viernes 19’ 
Sábado 
Domingo 
Si observas bien la gráfica, conforme aumentan 
los valores del dominio, sus respectivas imágenes 
se mantienen constantes, por lo tanto a través de 
la gráfica puedes deducir que se trata de una 
función constante. 
105 
Al analizar la tercer semana de ejercicios de Arturo, el primer día optó por tomar doble tiempo de 
ejercicio, primero 10’ y luego 8’, el resto de los días hasta el jueves fue incrementando su tiempo, pero, 
al finalizar la semana sus tiempos fueron disminuyendo de manera constante. 
 
 
 
 
 
 
 
En el intervalo de Martes a Viernes, la forma algebraica de la relación queda determinada por 2x – 10 
= y, en el intervalo Viernes a Domingo, la ecuación que represente dicha relación es y = 66 – 2x. En 
esta última ecuación, la cual se trata de una función lineal, los tiempos disminuyen, y cuando esto 
ocurre la función recibe el nombre de función decreciente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo 
Semana 3 10’ y 8’ 22’ 24’ 26’ 28’ 26’ 24’ 
Puedes concluir que una función decreciente es aquella cuyos valores 
en un intervalo determinado disminuyen, es decir, para cualquier valor 
del dominio x1 y x2 e D y R, en donde x1<x2, la imagen obtenida para 
cada uno invierte la relación f(x1) > f(x2). 
106 
La tabla y gráfica de la función son las siguientes: 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Semana 3 Tiempo 
Lunes 10’ y 8’ 
Martes 22’ 
Miércoles 24’ 
Jueves 26’ 
Viernes 28’ 
Sábado 26’ 
Domingo 24’ 
Si observas bien la gráfica, conforme aumentan 
los valores del dominio en el intervalo Viernes-
Domingo, sus respectivas imágenes disminuyen, 
por lo tanto a través de la gráfica puedes deducir 
que se trata de una función decreciente. 
107 
Al analizar la cuarta semana de ejercicios de Arturo puedes observar que estuvo muy variada como la 
semana 3, al principio los tiempos decrecieron, y después de un día de reposo se intensifica al final de 
la misma con un crecimiento exponencial. 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cómo queda representada la relación tiempo-días de la cuarta semana si la conviertes a texto 
algebraico? 
 
 
La relación en el intervalo Lunes- Martes queda representada bajo la función y = 66 – 2x, la cual ya se 
mencionó que es una función lineal decreciente, por otra parte en el intervalo de Jueves a Sábado la 
relación queda determinada bajo la ecuación y = 3x – 23, dicha función es del tipo trascendente 
exponencial. 
 
 
La gráfica correspondiente a esta semana queda determinada como sigue: 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo 
Semana 4 22’ 20’ 9’ 27’ 81’ 
108 
La tabla y gráfica de la función son las siguientes: 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
Semana 4 Tiempo 
Lunes 22’ 
Martes 20’ 
Miércoles 
Jueves 9’ 
Viernes 27’ 
Sábado 81’ 
Domingo 
Si observas bien la gráfica, conforme aumentan 
los valores del dominio en el intervalo Jueves-
Sábado, sus respectivas imágenes se 
incrementan, por lo tanto a través de la gráfica 
puedes deducir que se trata de una función 
creciente. 
109 
Semana 1 / Sesión 4 / Jueves 
 1.3.4. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas 
En esta sección se trata de analizar tanto los elementos del dominio como los del rango e imagen de 
una función, a través de estos es posible clasificar de una nueva