Material recopilado para el curso MA-1003

Vista previa del material en texto

Juan Félix Ávila Herrera 
CRESTOMAT¶IA DE
C¶ALCULO EN VARIAS VARIABLES
NOTA
Este material ha sido recopilado para ser usado en el curso MA{
1003 C¶alculo III. No tiene prop¶osito comercial y se proh¶³be su
utilizaci¶on para otros ¯nes.
2006
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
2
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
¶Indice General
1 Vectores y super¯cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Ecuaci¶on vectorial param¶etrica de rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Secciones c¶onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Traslaci¶on de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 Super¯cies cu¶adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.6 Cilindros oblicuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.7 Conos oblicuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.8 Super¯cies de revoluci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.9 Gr¶a¯cos de super¯cies en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1 Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2 L¶³mites, derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3 Curvatura de l¶³neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4 Tri¶angulo intr¶³nsico de una curva en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5 Resumen de f¶ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1 L¶³mites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3 Incrementos y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.6 Planos tangentes y rectas normales a las super¯cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.7 Primer examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.7.1 Parcial I del I-2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.7.2 Parcial I del II-2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.8 Ejercicios para el primer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.8.1 Super¯cies en el espacio R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.8.2 Curvas en el espacio R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.8.3 L¶³mites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.8.4 Derivadas direccionales y planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
4 ¶INDICE GENERAL
3.8.5 Regla de la cadena y derivaci¶on impl¶³cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
ÀÀÀ Hasta aqu¶³: materia del primer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.9 Puntos extremos de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.10 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.11 Extremos con ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.12 F¶ormula de Taylor para las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4 Integrales m¶ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.1 Integrales m¶ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.2 Evaluaci¶on de las integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.3 ¶Area y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.4 Gra¯caci¶on en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.5 Integrales dobles en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.6 ¶Area de una super¯cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.7 Aplicaciones de las integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
4.8 Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.9 Integraci¶on en coordenadas cil¶³ndricas y esf¶ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
4.10 Cambio de variables en integrales m¶ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
4.11 Segundo examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.11.1 Parcial I del I-2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.12 Ejercicios para el segundo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.12.1 M¶aximos y m¶³nimos relativos, puntos cr¶³ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.12.2 Multiplicadores de Lagrange, extremos con ligaduras . . . . . . . . . . . . . . 320
4.12.3 Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4.12.4 Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
ÀÀÀ Hasta aqu¶³: materia del segundo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
5 An¶alisis vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.1 Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.2 Integrales de l¶³nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
5.3 Independencia de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
5.4 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
5.5 Integrales de super¯cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5.6 El teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
5.7 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
5.8 Tercer examen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
5.8.1 Parcial III del I-2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
5.8.2 Parcial III del II-2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
5.8.3 Parcial III del I-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
5.9 Ejercicios para el tercer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
5.9.1 Integrales de l¶³nea y de super¯cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
5.9.2 Los teoremas de Green, Gauss y Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
ÀÀÀ Hasta aqu¶³: materia del tercer parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
¶INDICE GENERAL 5
6 Usemos Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.1 Fundamentos de ¶Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.1.1 Operaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.1.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
6.1.3 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
6.1.4 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
6.2 Factorizaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
6.2.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
6.2.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
6.2.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
6.3 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
6.3.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
6.3.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
6.3.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
6.4 Ecuaciones y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
6.4.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
6.4.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
6.4.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
6.5 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
6.5.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
6.5.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
6.5.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
6.6 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
6.6.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
6.6.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
6.6.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
6.7 Derivadas y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
6.7.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
6.7.2 Trabajando en el laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
6.7.3 Evaluaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
7 Usando Graphing Calculator mediante GenGCF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.1 Introducci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.2 >Qu¶e es Graphing Calculator y qu¶e es GenGCF? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.3 Ejemplos usando graphing calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
7.4 Conclusi¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
6 ¶INDICE GENERAL
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
Cap¶³tulo 1
Vectores y super¯cies
1.1 Vectores
² Algunas cantidades tales como el ¶area, el volumen, la longitud de arco, la temperatura y el
tiempo, s¶olo tienen magnitud y se pueden caracterizar completamente con un solo n¶umero real
(con una unidad de medida apropiada como cm2, cm3, cm, oC. Una cantidad de este tipo es
una cantidad escalar y el n¶umero real correspondiente se llama escalar.
² Conceptos como el de velocidad o el de fuerza poseen tanto magnitud como direcci¶on y a
menudo se representan por °echas o segmentos dirigidos, es decir, segmentos en los que se
se~nala un sentido y representan una direcci¶on. A un segmento dirigido tambi¶en se le llama
vector.
² Si un vector va de un punto P (el punto inicial) a un punto Q (el punto ¯nal), la direcci¶on se
indica colocando una peque~na °echa sobre el segmento PQ; el vector se denota as¶³ por
¡!
PQ.
Figura 1.1: Vectores
² La magnitud de ¡!PQ es la longitud de PQ y se denota por
¯̄̄¯̄̄¡!
PQ
¯̄̄¯̄̄
. Como en la Figura 1.1, para
denotar vectores cuyos extremos no se especi¯can, se usan letras de tipo negro (o negrillas)
tales como u o v. En escritos mecanogr¶a¯cos o manuscritos se puede usar la notaci¶on ¡!u o
¡!v .
² Los vectores que tienen la misma magnitud y direcci¶on son equivalentes. Si ¡¡!P1Q1 y ¡¡!P2Q2 son
dos segmentos orientados con la misma longitud y direcci¶on, diremos que representan el mismo
vector. Un segmento orientado tiene una ubicaci¶on particular. Un vector no.
7
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
8 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
² Entonces, los vectores pueden trasladarse de una posici¶on a otra mientras no se altere su
magnitud o su direcci¶on. Hay muchos conceptos f¶³sicos que se pueden representar con vectores.
² Por ejemplo, sup¶ongase que un avi¶on desciende con una velocidad constante de 160 km/h
y que la trayectoria del vuelo forma un ¶angulo de 20o con la horizontal. En la Figura 1.2
se representan estos dos hechos por un vector v de magnitud 160. El vector v es un vector
velocidad.
Figura 1.2: Avi¶on descendiendo
² Como un segundo ejemplo, supongamos que una persona levanta directamente hacia arriba un
peso de 5 kg. Esto se puede indicar por el vector F de magnitud 5 en la Figura 1.3. Un vector
Figura 1.3:
que representa una acci¶on de empujar o de tirar es un vector fuerza.
² Para representar la trayectoria de un punto que se mueve a lo largo de un segmento recto de A
a B se puede usar un vector
¡!
AB. Entonces, se dice que
¡!
AB es un desplazamiento del punto.
Como se ve en la Figura 1.4-(a), un desplazamiento
¡!
AB seguido de un desplazamiento
¡!
BC
lleva al mismo punto que el desplazamiento
¡!
AC solo. Por de¯nici¶on, el vector
¡!
AC es la suma
de
¡!
AB y
¡!
BC, y se escribe
¡!
AC =
¡!
AB +
¡!
BC. Como los vectores pueden ser trasladados de un
lugar a otro, cualquier par de vectores se puede sumar colocando el punto inicial de uno en el
punto ¯nal del otro y procediendo como en la Figura 1.4-(a).
² Si c es un n¶umero real y v es un vector, entonces cv se de¯ne como el vector cuya magnitud
es jcj veces la magnitud jjvjj de v y cuya direcci¶on es la misma que la de v si c > 0; o bien
la opuesta a la de v si c < 0. En la Figura 1.4-(c) se ilustra todo esto. El vector cv se llama
m¶ultiplo escalar de v.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.1. Vectores 9
Figura 1.4: Vectores
² Supongamos ahora que todos los vectores est¶an en un plano coordenado. Si ¡!PQ es un vector,
entonces, como se indica en la Figura 1.5-(a), hay muchos vectores equivalentes a
¡!
PQ; pero
hay ¶unico y s¶olo un vector equivalente a =
¡!
OA con el origen como punto inicial. El vector
¡!
OA
se llama vector de posici¶on de
¡!
PQ. As¶³, cada vector determina un ¶unico par ordenado de
n¶umeros reales, las coordenadas (a1; a2) del punto ¯nal de su vector de posici¶on.
Figura 1.5: Vector posici¶on
² Sean ¡!OA y ¡!OB dos vectores de posici¶on con puntos ¯nales A(a1; a2) y B(b1; b2), respectivamen-
te, y sea
¡!
OC con punto ¯nal C(a1 + b1; a2 + b2), como se ilustra en la Figura 1.5-(b). Usando
las pendientes puede demostrarse que O, A, C y B son los v¶ertices de un paralelogramo; es
decir: ¡!
OA+
¡!
OB =
¡!
OC
Entonces, el par ordenado determinado por
¡!
OA+
¡!
OB est¶a dado por (a1+ b1; a2+ b2). Tambi¶en
se puede demostrar que si c es un escalar, entonces el par ordenado, determinado por c
¡!
OA es
(ca1; ca2).
² Para evitar confusi¶on con la notaci¶on para intervalos abiertos o puntos, se usar¶ans¶³mbolos
como ha1; a2i o bien hb1; b2i para los vectores y se denotar¶an por a o b, respectivamente. Como
antes, los n¶umeros reales son escalares.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
10 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
² El espacio vectorial V2 de dimensi¶on 2 (o bidimensional) es el conjunto de todos los pares
ordenados hx; yi de n¶umeros reales, llamados vectores, sujetos a los siguientes axiomas:
1. Adici¶on de vectores. Si se tiene a = ha1; a2i y b = hb1; b2i, entonces a+b = ha1 + b1; a2 + b2i
2. Multiplicaci¶on de vectores por escalares. Si a = ha1; a2i y c es un escalar, entonces
ca = hca1; ca2i.
Los n¶umeros a1 y a2 en ha1; a2i son las componentes del vector. Entonces, para sumar dos
vectores, se suman las componentes correspondientes. Para multiplicar un vector por un escalar,
se multiplica cada componente del vector por el escalar.
² El vector cero 0 y el negativo ¡a de un vector a = ha1; a2i se de¯nen como sigue.
0 = h0; 0i ; ¡a = ¡ha1; a2i = h¡a1;¡a2i
² Un vector diferente de cero a = ha1; a2i en V2 se puede representar en un plano coordenado por
un segmento dirigido
¡!
PQ con cualquier punto inicial P (x; y) y con punto ¯nal Q(x+a1; y+a2).
² A veces se dice que ¡!PQ corresponde a a o que a corresponde a ¡!PQ. En la Figura 1.6, el s¶³mbolo
a se coloc¶o junto a varios segmentos dirigidos correspondientes a ha1; a2i. Si A es el punto con
coordenadas (a1; a2), el vector de posici¶on
¡!
OA de
¡!
PQ se llama tambi¶en vector de posici¶on de
ha1; a2i o vector de posici¶on del punto A.
Figura 1.6: Correspondencia
² Rigurosamente hablando, el segmento PQ en la Figura 1.6 representa al vector a = ha1; a2i;
sin embargo, por conveniencia, a veces se designa a
¡!
PQ como el vector a. Debe quedar claro
por el contexto si el t¶ermino vector se re¯ere a un par ordenado o a un segmento dirigido. El
vector cero 0 = h0; 0i queda representado por cualquier punto del plano.
− Ejemplo 1.1. Sean a = h¡1; 3i y b = h4; 2i.
1. Encontrar a+ b, ¡3
2
b, y 2a+ 3b.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.1. Vectores 11
2. Trazar los vectores de posici¶on de a, b, a+ b y ¡3
2
b.
Soluci¶on:
1. Aplicando la de¯nici¶on,
a+ b = h¡1; 3i+ h4; 2i = h¡1 + 4; 3 + 2i =
D
3; 5. . . .
E
Por otro lado
¡3
2
b = ¡3
2
h4; 2i =
D
¡6;¡3. . . . . . . . . .
E
Finalmente
2a+ 3b = 2 h¡1; 3i+ 3 h4; 2i = h¡2; 6i+ h12; 6i =
D
10; 12. . . . . . . .
E
2. Los vectores de posici¶on de a, b, a+ b y ¡3
2
b se muestran en la Figura 1.7.
Figura 1.7: Representaci¶on
² La magnitud jjPQjj de un vector ¡!PQ es la longitud del segmento PQ. A continuaci¶on se de¯ne
el an¶alogo de este concepto para vectores en V2.
² La magnitud jjajj de un vector a = ha1; a2i es jjajj =
q
a21 + a
2
2.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
12 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
² Si OA es el vector de posici¶on de ha1; a2i entonces jjajj es la longitud de ¡!OA. N¶otese que
jjajj ¸ 0 y jjajj = 0 si y s¶olo si a = 0.
− Ejemplo 1.2. Calcular la magnitud de h3;¡2i.
Soluci¶on:
jjajj = jjh3;¡2ijj =
q
9 + 4. . . . . . . =
q
13. . . :
(¤) Teorema: 1.1. Si P1(x1; y1) y P2(x2; y2) son dos puntos, entonces el vector a en V2 que
corresponde a
¡¡!
P1P2 est¶a dado por a = hx2 ¡ x1; y2 ¡ y1i.
Demostraci¶on: El vector
¡¡!
P1P2 y el vector de posici¶on de a = ha1; a2i son correspondientes,
necesariamente x2 = x1 + a1 y y2 = y1 + a2. Despejando a1 y a2, obtenemos entonces que
a = hx2 ¡ x1; y2 ¡ y1i.
− Ejemplo 1.3. Dados los puntos P (¡2; 3) y Q(4; 5), encontrar vectores a y b en V2 que co-
rrespondan a
¡!
PQ y
¡!
QP , respectivamente. Trazar
¡!
PQ,
¡!
QP , y tambi¶en los vectores de posici¶on
a y b.
Soluci¶on: de acuerdo con el Teorema, los vectores a y b son a =
D
4¡ (¡2); 5¡ 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
=
h6; 2i, b =
D
¡2¡ 4; 3¡ 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
=
D
¡6;¡2. . . . . . . . . .
E
.
En la Figura se muestran
¡!
PQ y
¡!
QP , junto con los vectores de posici¶on
¡!
OA y
¡!
OB de a y b,
respectivamente. N¶otese que b = ¡a.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.1. Vectores 13
(¤) Teorema: 1.2. Sean a, b y c en V2 arbitrarios. Entonces:
1. a+ b = b+ a
2. a+ (b+ c) = (a+ b) + c
3. a+ 0 = a
4. a+ (¡a) = 0
Demostraci¶on: Para la parte (1), supogamos que
a = ha1; a2i y b = hb1; b2i
Puesto que a1 + b1 = b1 + a1 y a2 + b2 = b2 + a2:
a+ b = ha1 + b1; a2 + b2i = hb1 + a1; b2 + a2i = b+ a:
El resto de la demostraci¶on se deja como ejercicio.
² La sustracci¶on de vectores, que se denota por ¡, se de¯ne como sigue. Sean a = ha1; a2i y
hb1; b2i. La diferencia a¡ b es a¡ b = a+ (¡b).
² Usando las de¯niciones se ve que
a¡ b = a+ (¡b) = ha1; a2i+ h¡b1;¡b2i = ha1 ¡ b1; a2 ¡ b2i :
Entonces, para encontrar a¡ b, basta restar las componentes de b de las componentes corres-
pondientes de a.
− Ejemplo 1.4. Suponga que a = h5;¡4i y b = h¡3; 2i. Halle a¡ b y 2a¡ 3b.
Soluci¶on:
a¡ b = h5;¡4i ¡ h¡3; 2i = h5¡ (¡3);¡4¡ 2i =
D
8;¡6. . . . . . .
E
Por otro lado:
2a¡ 3b = 2 h5;¡4i ¡ 3 h¡3; 2i = h10;¡8i ¡ h¡9; 6i =
D
19;¡14. . . . . . . . . . .
E
:
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
14 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.8: b+ (a¡ b) = a.
² Si a y b son vectores arbitrarios, entonces b+(a¡b) = a, es decir, a¡b es el vector que sumado
a b da a. Si se representan a y b por los vectores
¡!
PQ y
¡!
PR con el mismo punto inicial, como
en la Fig. 1.8, entonces
¡!
RQ representa a a¡ b.
² Al principio de esta secci¶on se us¶o el s¶³mbolo c¡!AB para denotar un vector que tiene la misma
direcci¶on que
¡!
AB si c > 0, o la opuesta si c < 0. A continuaci¶on se de¯ne el an¶alogo de este
concepto para vectores en V2.
² Dos vectores a y b diferentes de cero en V2 tienen la misma direcci¶on si b = ca para alg¶un
escalar c > 0 y la direcci¶on opuesta si b = ca para alg¶un escalar c > 0.
² Sean a = ha1; a2i y b = hb1; b2i. Si b = ca, entonces b1 = ca1 y b2 = ca2, y los vectores de
posici¶on
¡!
OA y
¡!
OB de a y b est¶an contenidos en una misma recta que pasa por el origen. M¶as
a¶un, si c > 0, entonces los puntos A y B est¶an en el mismo cuadrante (o sobre el mismo eje
coordenado positivo o negativo). Si c < 0, y A no est¶a en un eje coordenado, entonces A y B
se encuentran en cuadrantes diagonalmente opuestos. Por convenci¶on, se dir¶a que el vector 0
tiene todas las direcciones.
² Dos vectores a y b son paralelos si y s¶olo si b = ca para alg¶un escalar c. Entonces, dos vectores
a y b diferentes de cero son paralelos si tienen la misma direcci¶on o direcciones opuestas. El
siguiente teorema muestra la relaci¶on entre las magnitudes de a y de ca.
(¤) Teorema: 1.3. Si a es un vector y c es un escalar, entonces jjcajj = jcj jjajj.
² El teorema anterior implica que la longitud de un segmento dirigido que representa a ca es jcj
veces la longitud del segmento dirigido que representa a a.
² En el siguiente teorema se enuncian algunas propiedades de la multiplicaci¶on de vectores en V2
por escalares. En ¶el, a y b son dos vectores arbitrarios y c y d, dos escalares cualesquiera.
(¤) Teorema: 1.4.
1. c(a+ b) = ca+ cb
2. (c+ d)a = ca+ da
3. (cd)a = c(d a) = d(c a)
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.1. Vectores 15
4. 1a = a
5. 0a = 0 = c0
Demostraci¶on: Se deja como ejercicio.
² No es dif¶³cil recordar las propiedades enunciadas en el teorema anterior porque se parecen a
algunas propiedades conocidas de los n¶umeros reales.
² Los vectores i y j se usar¶an m¶as adelante:
i = h1; 0i ; j = h0; 1i
² Los dos vectores i y j tienen magnitud 1.
² Se pueden usar i y j para denotar de otra forma los vectores en V2 como se muestra en el
siguiente teorema.
(¤) Teorema: 1.5. Si a = ha1; a2i es un vector en V2 entonces a = a1i+ a2j.
Demostraci¶on: Se deja como ejercicio.
(¤) Teorema: 1.6. Si a es un vector diferente de cero, entonces puede de¯nirse un vector unitario
u con la misma direcci¶on que a por medio de u =
a
jjajj .
² NOTA: Todo lo que hemos estudiado hasta ahora se generaliza de forma natural para V3 y Vn.
² Dos de los conceptos importantes relacionados con dos vectoresa y b son el producto escalar,
que es desde luego escalar, y el producto vectorial, que es un vector.
² Sean a = ha1; a2; a3i y b = hb1; b2; b3i, el producto escalar de a y b es:
a ¢ b = a1b1 + a2b2 + a3b3:
² En el siguiente teorema se enuncian algunas de las propiedades del producto escalar para
cualesquiera vectores a, b y c, y cualquier escalar ¸.
(¤) Teorema: 1.7.
1. a ¢ a: = jjajj2
2. a ¢ b = b ¢ a
3. a ¢ (b+ c) = a ¢ b+ a ¢ c
4. (¸ a) ¢ b = ¸(a ¢ b) = a ¢ (¸ b)
5. 0 ¢ a = 0
² El producto escalar y el ¶angulo entre dos vectores est¶an estrechamente relacionados.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
16 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
² Sean a y b dos vectores diferentes de cero. Si b no es un m¶ul1iplo escalar de a y si ¡!OA y ¡!OB
son los vectores de posici¶on de a y b, respectivamente entonces el ¶angulo µ entre a y b (o entre¡!
OA y
¡!
OB) es el ¶angu1o AOB del tri¶angulo determinado por estos puntos.
² Si b = ca para un escalar c (es decir, si a y b son paralelos), entonces µ = 0 si c > 0 y µ = ¼ si
c < 0.
² Se dice que dos vectores a y b son ortogonales (o perpendiculares), si µ = ¼=2. Por convenci¶on,
se dice que el vector cero 0 es paralelo y tambi¶en perpendicular a todo vector a.
(¤) Teorema: 1.8. Si µ es el ¶angulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces
a ¢ b = jjajj jjbjj cos(µ)
² En el archivo \¶angulo entre dos vectores.nb", del disco compacto, se muestra como realizar
algunos de estos c¶alculos usando Mathematica.
− Ejemplo 1.5. Calcular el ¶angulo entre
a = h4;¡3; 1i y b = h¡1;¡2; 2i.
Soluci¶on: Aplicando el teorema tenemos:
cos µ =
a ¢ b
jjajj jjbjj =
2
p
26
39. . . . . . . .
o bien µ ¼ arccos(0:2615) ¼ 74:84o.
(¤) Teorema: 1.9. Dos vectores a y b son ortogonales si y s¶olo si a ¢ b = 0.
² Sean a = ha1; a2; a3i y b = hb1; b2; b3i dos vectores en V3, se de¯ne el producto vectorial de estos
vectores como:
a£ b =
¯̄̄̄
¯̄ i j ka1 a2 a3
b1 b2 b3
¯̄̄̄
¯̄
− Ejemplo 1.6. Encontrar a£ b para
a = h2;¡1; 6i y b = h¡3; 5; 1i.
Soluci¶on: Escribiendo
a£ b =
¯̄̄̄
¯̄ i j k2 ¡1 6¡3 5 1
¯̄̄̄
¯̄ = (¡1¡ 30)i¡ ( 2 + 18. . . . . . . . . )j + (10¡ 3)k
o bien a£ b = ¡31i ¡20j + 7k. . . . . . . . . . . . . . . =
D
¡31; ¡20; 7. . . . . . . . .
E
.
(¤) Teorema: 1.10. El vector a£ b es ortogonal a a y a b.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.2. Ecuaci¶on vectorial param¶etrica de rectas y planos 17
² En t¶erminos geom¶etricos el Teorema anterior implica que si dos vectores a y b diferentes de
cero corresponden a vectores no paralelos
¡!
PQ y
¡!
PR con el mismo punto inicial P , entonces
a £ b corresponde a un vector ¡!PS que es perpendicular al plano determinado por P , Q y R,
como se ilustra en la Fig. 1.9.
Se escribe entonces ¡!
PS =
¡!
PQ£¡!PR:
Figura 1.9: \Regla de la mano derecha".
La direcci¶on de
¡!
PS puede encontrarse usando la regla de la mano derecha que se ilustra en la
Figura. Concretamente, si µ denota el ¶angulo entre
¡!
PQ y
¡!
PR, y los dedos de la mano derecha
se curvan apuntando en el sentido de la rotaci¶on de un ¶angulo µ que lleve a
¡!
PQ a tener la
misma direcci¶on que
¡!
PR, entonces el pulgar extendido apunta en la direcci¶on de
¡!
PQ£¡!PR.
(¤) Teorema: 1.11. Si µ es el ¶angulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces
jja£ bjj = jjajj jjbjj sen(µ)
1.2 Ecuaci¶on vectorial param¶etrica de rectas y planos
² En esta secci¶on se describen las rectas y los planos mediante los conceptos vectoriales de
paralelismo y ortogonalidad, respectivamente. Se hace la suposici¶on de que las rectas y los
planos est¶an en un sistema de coordenadas rectangulares en tres dimensiones.
² Sean a = ha1; a2; a3i un vector diferente de cero en V3, P1(x1; y1; z1) un punto arbitrario y ¡!OA
el vector de posici¶on de a. Ver Fig. 1.10.
² La recta l que pasa por P1(x1; y1; z1) y es paralela a a se de¯ne como el conjunto de todos los
puntos P (x; y; z) tales que
¡¡!
P1P es paralelo a
¡!
OA, es decir,
¡¡!
P1P = t
¡!
OA para un escalar t:
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
18 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.10: Recta.
² En t¶erminos de vectores en V3,
hx¡ x1; y ¡ y1; z ¡ z1i = t ha1; a2; a3i = ha1t; a2t; a3ti :
Igualando las componentes y despejando x, y y z se obtiene8<: x = x1 + a1t;y = y1 + a2t;
z = z1 + a3t
para cualquier n¶umero real t.
² Estas son ecuaciones param¶etricas para la recta l, con t como par¶ametro. Los puntos P (x; y; z)
en l se obtienen variando t sobre todos los n¶umeros reales.
(¤) Teorema: 1.12. La recta que pasa por P1(x1; y1; z1) y es paralela a a = ha1; a2; a3i tiene
ecuaciones param¶etricas
x = x1 + a1t; y = y1 + a2t; z = z1 + a3t
− Ejemplo 1.7.
1. Encontrar ecuaciones param¶etricas para la recta l que pasa por P (5;¡2; 4) y es paralela
a a =
−
1
2
; 2;¡2
3
®
.
2. >En qu¶e punto l corta al plano xy?
3. Trazar el vector de posici¶on de a y la recta l.
Soluci¶on:
1. Para evitar las fracciones, utilizamos el vector b = 6a, o bien b =
D
3; 12;¡4. . . . . . . . . . . .
E
en vez
de a. De acuerdo con el Teorema, la recta l tiene ecuaciones param¶etricas
x = 5 + 3t. . . . . . . . ; y = ¡2 + 12t. . . . . . . . . . . . . ; z = 4¡ 4t; t 2 IR
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.2. Ecuaci¶on vectorial param¶etrica de rectas y planos 19
2. La recta corta al plano xy en el punto R(x; y; z) cuando z = 4¡ 4t = 0; es decir, si t = 1.
Usando las ecuaciones param¶etricas de la parte (1) se obtienen las coordenadas x y y de
R:
x = 5 + 3(1) = 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . y y = ¡2 + 12(1). . . . . . . . . . . . . . . . = 10:
Por lo tanto, R es el punto con coordenadas (8; 10; 0).
3. Para trazar la recta l se sit¶ua el punto P (5;¡2; 4) y el punto R(8; 10; 0) que se encontr¶o
en la parte (2). Haga el dibujo.
² Para hallar ecuaciones param¶etricas de la recta que pasa por dos puntos arbitrarios P1(x1; y1; z1)
y P2(x2; y2; z2), como se se usa el vector a correspondiente a
¡¡!
P1P2 o sea
a = hx2 ¡ x1; y2 ¡ y1; z2 ¡ z1i
Sustituyendo en el Teorema se obtienen las ecuaciones param¶etricas
x = x1 + (x2 ¡ x1)t; y = y1 + (y2 ¡ y1)t; z = z1 + (z2 ¡ z1)t
t 2 IR. Obs¶ervese que t = 0 da el punto P1, t = 12 da el punto medio de
¡¡!
P1P2 y t = 1 da el
punto P2.
² En el archivo \recta conociendo dos puntos.nb", del disco compacto, se muestra como realizar
algunos de estos c¶alculos usando Mathematica.
− Ejemplo 1.8. Hallar ecuaciones param¶etricas para la recta l que pasa por P1(3; 1;¡2) y
P2(¡2; 7;¡4).
Soluci¶on:
El vector a en V3 correspondiente a P1P2 es
a =
D
¡2¡ 3; 7¡ 1;¡4 + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
= h¡5; 6;¡2i :
Seg¶un el Teorema, la recta l tiene ecuaciones param¶etricas
x = 3¡ 5t. . . . . . . . ; y = 1 + 6t;. . . z = ¡2¡ 2t. . . . . . . . . . . ; t 2 IR
² Recordemos que, en IR3, tres puntos no alineados determinan un plano. El siguiente teorema
da una caracterizaci¶on en t¶erminos de un vector normal al plano.
(¤) Teorema: 1.13. El plano que pasa por P1(x1; y1; z1) y P2(x; y; z) y tiene el vector normal
a = ha1; a2; a3i, tiene como ecuaci¶on
a1(x¡ x1) + a2(y ¡ y1) + a3(z ¡ z1) = 0
o bien ha1; a2; a3i ¢ hx¡ x1; y ¡ y1; z ¡ z1i = 0 o m¶as concisamente a ¢ ¡¡!P1P2 = 0
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
20 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
− Ejemplo 1.9. Encontrar una ecuaci¶on del plano que pasa por el punto (5;¡2; 4) y tiene el
vector normal a = h1; 2; 3i.
Soluci¶on: Aplicando el Teorema obtenemos:
1(x¡ 5) + 2(y + 2) + 3(z ¡ 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0
lo cual se simpli¯ca a x+ 2y + 3z. . . . . . . . . . . . . . . . . ¡ 13 = 0.
² En el archivo \plano conociendo normal y un punto.nb", del disco compacto, se muestra como
realizar algunos de estos c¶alculos usando Mathematica.
− Ejemplo 1.10. Encontrar una ecuaci¶on del plano determinado por los puntos P (4;¡3; 1),
Q(6;¡4; 7) y R(1; 2; 2).
Soluci¶on: Los puntos P , Q y R determinan un plano que contiene al tri¶angulo. Los vectores
a y b correspondientes a
¡!
PQ y
¡!
PR son a =
D
2;¡1; 6. . . . . . . . . .
E
y b =
D
¡3; 5;1. . . . . . . . . .
E
.
El vector a £ b es normal al plano determinado por P , Q y R. En este caso, a £ b = ¡31i ¡
20j + 7k. Usando el punto P1 = P (4;¡3; 1) obtenemos la ecuaci¶on
¡31(x¡ 4)¡ 20(y + 3) + 7(z ¡ 1). . . . . . . . . . . . = 0
o bien ¡31x. . . . . . . . ¡ 20y + 7z + 57 = 0.
² En el archivo \plano conociendo 3 puntos.nb", del disco compacto, se muestra como realizar
algunos de estos c¶alculos usando Mathematica.
(¤) Teorema: 1.14. La gr¶a¯ca de toda ecuaci¶on lineal
ax+ by + cz + d = 0
es un plano con vector normal ha; b; ci.
² Para trazar m¶as f¶acilmente la gr¶a¯ca de un plano es conveniente encontrar la traza de la gr¶a¯ca
en cada plano coordenado, es decir, la recta de intersecci¶on del plano de la gr¶a¯ca con el plano
coordenado. Para encontrar la traza en el plano xy se sustituye z por 0, pues esto genera
los puntos de la gr¶a¯ca que est¶an en el plano xy. An¶alogamente, para encontrar la traza en
el plano yz o en el plano xz, se toma x = 0 o bien y = 0, respectivamente, en la ecuaci¶on
ax+ by + cz + d = 0.
− Ejemplo 1.11. Trazar la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on
2x+ 3y + 4z = 12
Soluci¶on: Hay tres puntos del plano que podemos ubicar f¶acilmente: los puntos de intersecci¶on
del plano con los ejes coordenados. Sustituyendo y y z por 0 en la ecuaci¶on obtenemos 2x = 12,
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.2. Ecuaci¶on vectorial param¶etrica de rectas y planos 21
Figura 1.11: Dibujando un plano.
o sea x = 6. Entonces, el punto (6; 0; 0) est¶a en la gr¶a¯ca. El n¶umero 6 es la coordenada x de
intersecci¶on de la gr¶a¯ca con el eje x.
An¶alogamente, sustituyendo x y z por 0 obtenemos que la coordenada y de la intersecci¶on de
la gr¶a¯ca con el eje y es 4, y por lo tanto, el punto (0; 4; 0) est¶a en la gr¶a¯ca. Reemplazando x
y y por 0 se obtiene el punto (0; 0; 3). La traza en el plano xy se encuentra sustituyendo z por
0 en la ecuaci¶on dada. Al hacerlo obtenemos 2x+ 3y = 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . , que tiene como gr¶a¯ca en
el plano xy a una recta con abscisa en el origen 6 y ordenada en el origen 4. Esta y las otras
trazas de la gr¶a¯ca en los planos xzy yz se indican en la Fig. 1.11.
² Dos planos con vectores normales a y b, respectivamente, son paralelos si a y b son paralelos,
y ortogonales si a y b son ortogonales.
− Ejemplo 1.12. Demostrar que las gr¶a¯cas de las ecuaciones 2x ¡ 3y ¡ z ¡ 5 = 0 y ¡6x +
9y + 3z + 2 = 0 son planos paralelos.
Soluci¶on: Las gr¶a¯cas son planos con vectores normales a =
D
2;¡3;¡1. . . . . . . . . . . . .
E
y b =D
¡6; 9; 3. . . . . . . . . .
E
. Como b = ¡3a, los vectores a y b son paralelos y entonces los planos son
paralelos.
− Ejemplo 1.13. Encontrar una ecuaci¶on del plano que pasa por P (5;¡2; 4) y es paralelo al
plano 3x+ y ¡ 6z + 8 = 0.
Soluci¶on: El plano 3x+ y ¡ 6z + 8 = 0 tiene un vector normal a =
D
3; 1;¡6. . . . . . . . . .
E
. Por lo
tanto, un plano paralelo a ¶este tendr¶a una ecuaci¶on de la forma 3x+ y ¡ 6z. . . . . . . . . . . . . . . . . + d = 0
para alg¶un n¶umero real d. Si P (5;¡2; 4) est¶a en este plano, entonces sus coordenadas satisfacen
la ecuaci¶on; es decir,
3(5) + (¡2)¡ 6(4) + d = 0
o bien d = 11. Esto nos da 3x+ y ¡ 6z + 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0.
− Ejemplo 1.14. Trazar la gr¶a¯ca de 3x+ 5z = 10.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
22 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Soluci¶on: La gr¶a¯ca es un plano ortogonal al plano xz cuya intersecci¶on con el eje x tiene
abscisa (o coordenada x) igual a 10
3
, y su intersecci¶on con el eje z tiene elevaci¶on (o coordenada
z) igual a 2. N¶otese que la traza en el plano yz tiene la ecuaci¶on 5z = 10 y por lo tanto, es una
recta paralela al eje y cuya intersecci¶on con el eje z tiene coordenada z igual a 2.
Figura 1.12: Gra¯cando un plano.
An¶alogamente, la traza en el plano xy tiene ecuaci¶on 3x = 10 y es una recta paralela al eje y
cuya intersecci¶on con el eje x tiene abscisa igual a 10
3
. La Fig. 1.12 muestra una parte de la
gr¶a¯ca y las trazas en los tres planos coordenados.
² Si una recta l est¶a dada param¶etricamente como
x = x1 + a1t; y = y1 + a2t; z = z1 + a3t
Si a1, a2, a3 son diferentes de cero, puede despejarse t de cada ecuaci¶on y obtener:
t =
x¡ x1
a1
=
y ¡ y1
a2
=
z ¡ z1
a3
² Resulta entonces que un punto P (x; y; z) est¶a en l si y s¶olo si se satisfacen estas ecuaciones,
llamadas forma sim¶etrica de la ecuaci¶on de l.
² La forma sim¶etrica no es ¶unica para una recta dada, pues en se pueden usar otros tres n¶umeros
b1; b2; b3 en vez de a1; a2; a3 con tal de que sean proporcionales a aqu¶ellos, y tambi¶en es posible
usar otro punto de l en lugar de (x1; y1; z1).
− Ejemplo 1.15. Encontrar la forma sim¶etrica de la ecuaci¶on de la recta que pasa por P1(3; 1;¡2)
y P2(¡2; 7;¡4).
Soluci¶on: El vector a correspondiente a
¡¡!
P1P2 es
a =
D
¡2¡ 3; 7¡ 1;¡4 + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E
=
D
¡5; 6;¡2. . . . . . . . . . . . .
E
:
La recta tiene la representaci¶on param¶etrica
x = 3¡ 5t; y = 1 + 6t; z = ¡2¡ 2t. . . . . . . . . . . ; t 2 IR:
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.3. Secciones c¶onicas 23
Despejando t de cada ecuaci¶on e igualando los resultados obtenemos la forma sim¶etrica:
x¡ 3
¡5 =
y ¡ 1
6
=
z + 2
¡2. . . . . . . .
1.3 Secciones c¶onicas
² La circunferencia: La circunferencia se de¯ne como el lugar geom¶etrico de un punto P (x; y)
que se mueve de modo que siempre se mantiene equidistante de un punto ¯jo. Esta distancia
constante se denomina radio, y el punto ¯jo se denomina centro de la circunferencia. As¶³,
usando esta de¯nici¶on, y llamando (h; k) al punto ¯jo y r al radio, tenemosp
(x¡ h)2 + (y ¡ k)2 = r
o bien, elevando al cuadrado, (x¡ h)2 + (y ¡ k)2 = r2.
² El c¶³rculo es una secci¶on c¶onica porque puede obtenerse al cortar cono con un plano tal como
se muestra en la Fig. 1.13.
Figura 1.13: C¶³rculo obtenido al cortar un cono.
Nota: En el archivo \c¶³rculo.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calcu-
lator.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
24 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
− Ejemplo 1.16. Hallar la ecuaci¶on de la circunferencia con centro en (2; 1) y que pasa por
(4; 8).
La ecuaci¶on quedar¶a determinada para esta circunferencia si podemos hallar h, k y r. Por la
informaci¶on dada, h = 2 y k = 1. Para hallar r, usaremos el hecho de que todos los puntos de
la circunferencia deben satisfacer su ecuaci¶on. El punto (4; 8) debe satisfacer la ecuaci¶on con
h = 2 y k = 1. As¶³:
( 4¡ 2. . . . . . . )2 + ( 8¡ 1. . . . . . . )2 = r2
Por esta relaci¶on obtenemos que r2 = 53. La ecuaci¶on de la circunferencia es (x¡2)2+(y¡1)2 =
53. . . .
² Si efectuamos las operaciones indicadas en la ecuaci¶on, podemos combinar los t¶erminos resul-
tantes para obtener
x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0
La ecuaci¶on se denomina ecuaci¶on general de la circunferencia. Esto nos dice que cualquier
ecuaci¶on que se pueda escribir en esa forma representar¶a una circunferencia.
² La par¶abola: se de¯ne como el lugar geom¶etrico de un punto P (x; y) que se mueve de modo
que est¶a siempre equidistante de una recta y de un punto dados. La recta dada se denomina
directriz, y el punto dado se denomina foco. La recta que pasa por el foco y que es perpendicular
a la directriz se denomina eje de la par¶abola. El punto medio entre la directriz y el foco es el
v¶ertice de la par¶abola.
Usando la de¯nici¶on, hallaremos la ecuaci¶on de la par¶abola cuyo foco es el punto (p; 0) y cuya
directriz es la recta x = ¡p. Con esta elecci¶on del foco y de la directriz, podremos hallar una
representaci¶on general de la ecuaci¶on de una par¶abola con su v¶ertice en el origen. De acuerdo
con la de¯nici¶on, la distancia desde un punto P (x; y) de la par¶abola hasta el foco (p; 0) debe
ser igual a la distancia desde P (x; y) hasta la directriz x = ¡p. La distancia desde P hasta
el foco se puede encontrar mediante la f¶ormula de la distancia. La distancia desde P hasta
la directriz es la distancia perpendicular, la cual se puededeterminar como la distancia entre
dos puntos pertenecientes a una recta paralela al eje x. Estas distancias est¶an indicadas en la
¯gura. As¶³,' tenemos p
(x¡ p)2 + (y ¡ 0)2 = x+ p
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.3. Secciones c¶onicas 25
Elevando al cuadrado los dos miembros de esta ecuaci¶on, tenemos
(x¡ p)2 + y2 = (x+ p)2
o bien x2 ¡ 2px+ p2 + y2 = x2 + 2px+ p2 Simpli¯cando, obtenemos
y2 = 4px
² La ecuaci¶on anterior se denomina forma est¶andar de la ecuaci¶on de una par¶abola cuyo eje
coincide con el eje x y cuyo v¶ertice es el origen. Se puede demostrar que esta curva es sim¶etrica
con respecto al eje x, porque (¡y)2 = 4px es lo mismo que y2 = 4px.
² La par¶abola es una secci¶on c¶onica porque puede obtenerse al cortar cono con un plano tal como
se muestra en la Fig. 1.14.
Figura 1.14: Par¶abola obtenida al cortar un cono.
Nota: En el archivo \parabola.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Cal-
culator.
− Ejemplo 1.17. Hallar las coordenadas del foco, la ecuaci¶on de la directriz y trazar la gr¶a¯ca
de la par¶abola y2 = 12x.
Figura 1.15: Par¶abola
Soluci¶on: Por la forma de la ecuaci¶on, sabemos que el v¶ertice est¶a en el origen. El coe¯ciente
12 nos indica que el foco es (3; 0). . . . . . . , porque 4p = 12. Adem¶as, esto signi¯ca que la directriz
es la recta x = ¡3. Ver Fig. 1.15.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
26 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
− Ejemplo 1.18. Si el foco est¶a a la izquierda del origen, con la directriz a la misma distancia
a la derecha, el coe¯ciente del t¶ermino en x ser¶a negativo. Esto nos dice que la par¶abola se
abre hacia la izquierda y no hacia la derecha, como es el caso cuando el foco est¶a a la derecha
del origen. Por ejemplo, la par¶abola
Figura 1.16: Par¶abola
y2 = ¡8x
tiene su v¶ertice en el origen, su foco en (¡2; 0) y su directriz es la recta x = 2. Por lo tanto,
4p = ¡8, o p = ¡2. La par¶abola se abre hacia la izquierda. Ver Fig. 1.16.
² Si escogemos como foco el punto (0; p) y como directriz la recta y = ¡p, hallaremos que la
ecuaci¶on resultante es
x2 = 4py
Esta es la forma est¶andar de la ecuaci¶on de la par¶abola cuyo eje coincide con el eje y, y
cuyo v¶ertice est¶a en el origen. Se puede demostrar su simetr¶³a con respecto al eje y, porque
(¡x)2 = 4py es igual a x2 = 4py.
x2 = 4py
y2 = 4px
Figura 1.17: Dos par¶abolas.
− Ejemplo 1.19. La par¶abola x2 = 4y tiene su v¶ertice en el origen, su foco en el punto ( 0; 1. . . . )
y su directriz es la recta y = ¡1. . . . . . . . . . .
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.3. Secciones c¶onicas 27
² La elipse: La elipse se de¯ne como el lugar geom¶etrico de un punto P (x; y) que se mueve de
modo que la suma de sus distancias a dos puntos ¯jos es constante. Ver Fig. 1.18. Estos dos
puntos ¯jos se denominan focos de la elipse. Llamando 2a a la suma ¯ja y tomando como focos
los puntos(c; 0) y (¡c; 0), por la de¯nici¶on de la elipse, tenemosp
(x¡ c)2 + y2 +
p
(x+ c)2 + y2 = 2a
² Si hacemos a2 ¡ c2 = b2, obtenemos:
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Figura 1.18: Elipse.
² Si hacemos y = 0, hallamos que las intersecciones con el eje x son (¡a; 0) y (a; 0). Estos dos
puntos se denominan v¶ertices de la elipse, y el segmento de recta comprendido entre ellos se
denomina eje mayor de la elipse.
² Si hacemos ahora x = 0, hallamos que las intersecciones con el eje y son (0;¡b) y (0; b). El
segmento de recta que une estos dos puntos se denomina eje menor de la elipse.
² Si escogemos los focos en el eje y, la ecuaci¶on est¶andar de la elipse con centro en el origen y eje
mayor en el eje y, es
y2
a2
+
x2
b2
= 1
² En este caso, los v¶ertices son (0; a) y (0;¡a), los focos son (0; c) y (0;¡c), y los extremos del
eje menor son (b; 0) y (¡b; 0).
² La elipse es una secci¶on c¶onica porque puede obtenerse al cortar cono con un plano tal como
se muestra en la Fig. 1.19.
Nota: En el archivo \elipse.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calcu-
lator.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
28 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.19: Elipse obtenida al cortar un cono.
− Ejemplo 1.20. La elipse
x2
25
+
y2
9
= 1
tiene sus v¶ertices en ( 5; 0. . . . ) y ( ¡5; 0. . . . . . . ).
Su eje menor est¶a comprendido entre (0; 3) y (0;¡3), como se ve en la ¯gura. Esta informaci¶on
se obtiene directamente de la ecuaci¶on, porque el 25 nos indica que a2 = 25, o a = 5. En la
misma forma tenemos que b = 3. Como sabemos a2 yb2, podemos hallar c2 por la relaci¶on
c2 = a2 ¡ b2. As¶³, c2 = 16, o c = 4. Esto nos dice a su vez que los focos de la elipse est¶an en
( 4; 0. . . . ) y ( ¡4; 0. . . . . . . ).
− Ejemplo 1.21. La elipse de la Fig. 1.20
x2
4
+
y2
9
= 1
tiene sus v¶ertices en (0; 3) y (0;¡3). El eje menor est¶a comprendido entre (2; 0) y (¡2; 0). Esto
se puede obtener directamente por la ecuaci¶on, porque a2 = 9 y b2 = 4. Cabr¶³a preguntar por
qu¶e escogemos a2 = 9 en este ejemplo y a2 = 25 en el ejemplo anterior. Como a2 = b2 + c2,
a es siempre mayor que b. As¶³, podemos decir en cu¶al de los ejes (x o y) est¶a el eje mayor,
observando cu¶al de los n¶umeros (en el denominador) es mayor, cuando la ecuaci¶on esta escrita
en la forma est¶andar. El n¶umero mayor corresponde a a2.
En este ejemplo, los focos son ( 0;
p
5. . . . . . . ) y ( 0;¡
p
5. . . . . . . . . . ).
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.3. Secciones c¶onicas 29
Figura 1.20: Gr¶a¯ca de la par¶abola.
² La hip¶erbola: La hip¶erbola se de¯ne como el lugar geom¶etrico de un punto P (x; y) que se
mueve de tal manera que la diferencia de las distancias a dos puntos ¯jos es constante. Estos
puntos ¯jos son los focos de la hip¶erbola. Suponiendo que los focos de la hip¶erbola est¶an en los
puntos (c; 0) y (¡c; 0) (ver la ¯g.) y que la diferencia constante es 2a, tenemos
Figura 1.21: Hip¶erbola.
p
(x+ c)2 + y2 ¡
p
(x¡ c)2 + y2 = 2a
² La ecuaci¶on de la hip¶erbola es
x2
a2
¡ y
2
b2
= 1
² Cuando se deduce esta ecuaci¶on, se tiene una de¯nici¶on de la relaci¶on entre a, b y c, que es
diferente de la de la elipse. Esta relaci¶on es c2 = a2 + b2.
² Haciendo y = 0, hallamos que las intersecciones con el eje x son (a; 0) y (¡a; 0), tal como
ocurri¶o con la elipse. Estos puntos se denominan v¶ertices de la hip¶erbola.
² Haciendo x = 0, hallamos que las soluciones para y son imaginarias, lo cual signi¯ca que no
hay puntos en la curva correspondientes al valor de x = 0.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
30 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
² Para encontrar el signi¯cado de b, despejaremos y en la ecuaci¶on x
2
a2
¡ y
2
b2
= 1. Obtenemos:
y = §bx
a
r
1¡ a
2
x2
Notamos que si se toman valores grandes para x, la cantidad bajo el radical se aproxima a 1.
As¶³, tenemos que para valores grandes de x,
y ¼ §bx
a
² Las rectas y = §bx
a
representa a dos rectas que pasan por el origen. La pendiente de una de
ellas es b=a y la de la otra es ¡b=a. Estas rectas se denominan as¶³ntotas de la hip¶erbola. Ver
¯g. 1.22.
Figura 1.22: As¶³ntotas
² Tiene un eje transverso de longitud 2a a lo largo del eje x, y un eje conjugado de longitud
2b a lo largo del eje y. Esto signi¯ca que a representa la longitud del semieje transverso, y
b representa la longitud del semieje conjugado. La relaci¶on entre a, b y c est¶a dada por la
ecuaci¶on x
2
a2
¡ y2
b2
= 1.
² Si el eje transverso est¶a en el eje y, y el eje conjugado est¶a en el eje x (ver Fig.1.23), la ecuaci¶on
de una hip¶erbola con centro en el origen es
y2
a2
¡ x
2
b2
= 1
² La hip¶erbola es una secci¶on c¶onica porque puede obtenerse al cortar cono con un plano tal
como se muestra en la Fig.
Nota: En el archivo \hiperbola.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing
Calculator.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.3. Secciones c¶onicas 31
Figura 1.23: Hip¶erbola con eje transverso en el eje y.
Figura 1.24: Hip¶erbola obtenida al cortar un cono.
− Ejemplo 1.22. La hip¶erbola
x2
16
¡ y
2
9
= 1
tiene sus v¶ertices en ( 4; 0. . . . ) y ( ¡4; 0. . . . . . . ). Su eje transverso est¶a comprendidoentre estos
v¶ertices. Su eje conjugado se extiende desde (0; 3) hasta (0;¡3). Como c2 = a2 + b2, hallamos
que c = 5, de donde resulta que los focos son los puntos (5; 0) y (¡5; 0). Trazando el rect¶angulo
y luego las as¶³ntotas, dibujamos la hip¶erbola desde cada v¶ertice hacia las as¶³ntotas (¯g.1.25).
De este modo, queda trazada la curva.
− Ejemplo 1.23. Lahip¶erbola
y2
4
¡ x
2
16
= 1
tiene sus v¶ertices en (0; 2) y (0;¡2) su eje conjugado se extiende desde (4; 0) hasta (¡4; 0). Los
focos son ( 0; 2
p
5. . . . . . . . . ) y ( 0;¡2
p
5. . . . . . . . . . . . ). Como 2a se extiende a lo largo del eje y, vemos que
las ecuaciones de las as¶³ntotas son y = §(a=b)x. Esta es una extensi¶on para el caso en que el
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
32 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.25: Gr¶a¯ca de la hip¶erbola.
Figura 1.26: Gr¶a¯ca de la hip¶erbola.
eje transverso est¶a en el eje y. La raz¶on a=b expresa simplemente la pendiente de la as¶³ntota
(ver la ¯g. 1.26).
1.4 Traslaci¶on de ejes
² Empecemos con el caso de dos variables. La ecuacion m¶as general de segundo grado en x y y
tiene la forma
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx+ 2Ey + F = 0 (1.1)
Si se pudiera factorizar (1.1) en la forma
(ax+ by + c)(dx+ ey + f) = 0
el conjunto de puntos consistir¶³a en dos rectas; si B = 0, A = C, el conjunto es un c¶³rculo; en
otro caso es una de las c¶onicas vistas ya.
² Se puede veri¯car, por ejemplo, que el conjunto de puntos de la ecuaci¶on
20x2 ¡ 24xy + 27y2 + 24x¡ 54y ¡ 369 = 0 (1.2)
obtenida y el de la ecuaci¶on
11x2 + 36y2 ¡ 369 = 0 (1.3)
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.4. Traslaci¶on de ejes 33
Figura 1.27:
obtenida son elipses id¶enticas. Ver Fig. 1.27. La diferencia en las ecuaciones se debe a sus
posiciones con respecto a los ejes de coordenados.
² Para hacer un estudio detalllado de los conjuntos representados por (1.1), como el (1.2), por
ejemplo, habr¶a que introducir alg¶un procediento para cambiar (1.2) en (1.3). Las operaciones,
que son dos, mediante las, cuales (1.2) se puede transformar en (1.3), se llaman justamente
transformaciones. El efecto general de ¶estas se puede interpretar as¶³: Cada punto (x; y) del
plano queda, ¯jo, pero cambia de nombre, esto es, de coordenadas, seg¶un una cierta ley dada
por las llamadas ecuaciones de la transformaci¶on.
² Traslaci¶on de los ejes de coordenadas. La transformaci¶on que mueve los ejes, de coorde-
nadas a una nueva posici¶on manteni¶endolos siempre paralelos a su posici¶on primitiva se llama
traslaci¶on.
Figura 1.28: Traslaci¶on de ejes.
² Nota: por comodidad usaremos u en lugar de x0 y v en lugar de y0.
² En la ¯gura 1.28, Ox y Oy son los ejes y O es el origen del sistema primitivo, en tanto que O0u
y O0v son los ejes y O0 el origen del nuevo sistema (trasladado).
² Cada punto del plano tendr¶a ahora dos pares de coordenadas: el primitivo, que consiste en las
distancias dirigidas de los ejes primitivos al punto, dadas en su orden apropiado, y el nuevo par
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
34 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
de coordenadas que consiste en las distancias dirigidas desde los nuevos ejes al mismo punto.
Para evitar errores, escribiremos las coordenadas de un punto referidas a un sistema primitivo
como A(a; b), por ejemplo, y las coordenadas referidas a un nuevo sistema como A(c; d)0. A
veces tambi¶en ser¶a c¶omodo, hablar de sistema sin tildes o con tildes (letras sin primas o con
primas).
² Si los ejes, junto con el origen O, se trasladan a una nueva posici¶on con el origen O0 de
coordenadas (h; k) respecto del primer sistema y si las coordenadas de un punto son (x; y) antes
de la traslaci¶on y (u; v)0 despu¶es de la traslaci¶on, entonces las ecuaciones de transformaci¶on son
x = u+ h; y = v + k: (1.4)
− Ejemplo 1.24. Mediante una traslaci¶on, transformar la ecuaci¶on
3x2 + 4y2 ¡ 12x+ 16y ¡ 8 = 0
en otra que carezca de t¶erminos de primer grado.
Soluci¶on: Hay dos formas de hacerlo.
Primera soluci¶on. Si se sustituyen los valores de x y y seg¶un la (1.4) en la ecuaci¶on dada, se
obtiene:
3(u+ h)2 + 4(v + k)2 ¡ 12(u+ h) + 16(v + k)¡ 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0
o bien
3u2 + 4v2. . . . . . . . . . . . . . + (6h¡ 12)u+ (8k + 16)v + 3h2 + 4k2 ¡ 12h+ 16k ¡ 8 = 0
La ecuaci¶on carecer¶a de t¶erminos de primer grado si
6h¡ 12. . . . . . . . . . . = 0; y 8k + 16. . . . . . . . . . . = 0
es decir, si h = 2 y k = ¡2. As¶³ que la traslaci¶on
x = u+ 2. . . . . . . ;
y = v ¡ 2. . . . . . .
reduce la ecuaci¶on dada a la
3u2. . . . . + 4v
2 ¡ 36 = 0
El conjunto que representa, una elipse, junto con el sistema primitivo y el nuevo, se muestran
en la ¯gura 1.29.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.4. Traslaci¶on de ejes 35
Figura 1.29: Traslaci¶on.
Segunda soluci¶on: Se pone la ecuaci¶on dada en la forma
3(x2 ¡ 4x) + 4(y2 + 4y) = 8
y se completan los cuadrados para obtener
3( x
2 ¡ 4x+ 4. . . . . . . . . . . . . . . . . ) + 4( y2 + 4y + 4. . . . . . . . . . . . . . . . ) = 8 + 3(4) + 4(4) = 36
o sea
3(x¡ 2)2 + 4(y + 2)2 = 36
La transformaci¶on x¡ 2 = u, y+2 = v o sea x = u+2, y = v¡ 2 reduce a 3u2+4v2¡ 36: = 0,
como antes.
² La otra forma de transformaci¶on de coordenadas es la de rotaci¶on de ejes coordenados. La
transformaci¶on que deja ¯jo el origen, pero hace girar los ejes de coordenadas un ¶angulo dado,
se llama rotaci¶on.
² Si con el origen ¯jo se giran los ejes en sentido contrario de las agujas del reloj un ¶angulo µ y si
las coordenadas de un punto P son (x; y) antes y (u; v)0 despu¶es de la rotaci¶on las ecuaciones
de transformaci¶on son:
x = u cos µ ¡ v sen µ
y = u sen µ + v cos µ
− Ejemplo 1.25. Transformar la ecuaci¶on
x2 +
p
3xy + 2y2 ¡ 5 = 0
girando los ejes de coordenadas 60o.
Soluci¶on: Las ecuaciones de transformaci¶on son
x = u cos 60o ¡ v sen 60o = 1
2
(u¡
p
3v)
. . . . . . . . . . . . . . . . .
y = u sen 60o + v cos 60o =
1
2
(
p
3u+ v)
. . . . . . . . . . . . . . . . .
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
36 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Llevando estos valores de x y y a la ecuaci¶on dada, se obtiene
1
4
(u¡
p
3v)2 +
1
4
p
3(u¡
p
3v)(
p
3u+ v) +
1
2
(
p
3u+ v)2 ¡ 5 = 0
o bien 5u2 + v2 = 10, que representa una elipse.
Figura 1.30: Rotaci¶on.
En la ¯gura 1.30 se muestra ¶esta junto con los sistemas primitivo y nuevo de coordenadas.
1.5 Super¯cies cu¶adricas
² En general, la traza (o corte) de una super¯cie en un plano es la l¶³nea de intersecci¶on de la
super¯cie con el plano. Para esquematizar una super¯cie se hace uso frecuente de las trazas.
Son de especial importancia las trazas en los planos coordenados. Estas tres l¶³neas se llaman
traza xy, traza yz y traza xz, y sus ecuaciones pueden encontrarse a partir de la ecuaci¶on de
la super¯cie tomando z = 0, x = 0 y y = 0, respectivamente.
− Ejemplo 1.26. Encontrar las trazas, en varios planos, de la super¯cie con ecuaci¶on z = x2+y2
y esquematizar la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on.
Soluci¶on: Para encontrar la traza yz tomamos x = 0 en la ecuaci¶on z = x2 + y2 y as¶³ z = y2.
Por lo tanto, la traza de la super¯cie en el plano yz es una par¶abola con v¶ertice en el origen
y que abre hacia arriba, como se muestra en la Figura Para encontrar la traza xz tomamos
y = 0 en z = x2 + y2, y obtenemos z = x
2
. . . . . . . . . . Por lo tanto, tambi¶en la traza en el plano
xz es una par¶abola. Para la traza xy, se toma z = 0 y resulta x
2 + y2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . La gr¶a¯ca
de esta ecuaci¶on consta de un solo punto, el origen. Ahora encontraremos las trazas en planos
paralelos al plano xy; es decir, planos con ecuaciones de la forma z = z0. Sustituyendo z por z0
en la ecuaci¶on dada, obtenemos x2+y2 = z0. Entonces, si z0 > 0, la traza en el plano z = z0 es
una circunferencia de radio
p
z0, En la Figura 1.31 se muestran varias de estas circunferencias.
Si z0 < 0, entonces x
2 + y2 = z0 no tiene gr¶a¯ca y por lo tanto, la super¯cie no tiene puntos
abajo del plano xy. Las trazas en planos paralelos al plano xz o al plano yz son par¶abolas.Por ejemplo, la traza en el plano y = 1 est¶a dada por la par¶abola z = x
2 + 1. . . . . . . . . . . . . . . . No se
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.5. Super¯cies cu¶adricas 37
Figura 1.31: Haciendo trazas.
representan estas par¶abolas pues las trazas circulares que se obtuvieron son su¯cientes para
mostrar la gr¶a¯ca. Se puede considerar que la super¯cie de este ejemplo fue generada haciendo
girar la par¶abola z = y2 en el plano yz, alrededor del eje z. Esta super¯cie se llama paraboloide
de revoluci¶on (o paraboloide circular).
Nota: En el archivo \z=x^2+y^2.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing
Calculator.
² Sea C una curva en un plano, y l una recta que no est¶a en un plano paralelo. El conjunto de
los puntos en todas las rectas paralelas a l que cortan a C se llama cilindro.
² La curva C es una directriz del cilindro y cada una de las rectas paralelas a l que pasan por C
es una generatriz del citado cilindro.
² El tipo com¶un de super¯cie cil¶³ndrica es el cilindro circular recto que se obtiene cuando C
es una circunferencia en un plano y l es una recta perpendicular al plano, como se ve en la
Figura 1.32.
² Aunque en la ¯gura el cilindro aparece cortado en sus extremos, las generatrices se extienden
inde¯nidamente. Como se ilustra en la Figura 1.32 (b), la directriz C de una super¯cie cil¶³ndrica
no tiene que ser una curva cerrada.
² Consideremos el caso en que la directriz C est¶a en el plano xy y tiene por ecuaci¶on y = f(x) para
alguna funci¶on f . Supongamos tambi¶en que las generatrices son paralelas al eje z. Entonces,
como se ilustra en la Figura 1.32-(c), un punto P (x; y; z) est¶a en el cilindro si y s¶olo si Q(x; y; 0)
est¶a en C; es decir, si y s¶olo si las dos coordenadas x, y de P satisfacen la ecuaci¶on y = f(x).
Por lo tanto, y = f(x) es una ecuaci¶on del cilindro adem¶as de ser la ecuaci¶on de la directriz en
el plano xy.
− Ejemplo 1.27. Esquematizar la gr¶a¯ca de x
2
4
+
y2
9
= 1 en tres dimensiones.
Soluci¶on: De acuerdo con los comentarios anteriores, la gr¶a¯ca es un cilindro con generatrices
paralelas al eje z. Comenzamos por trazar la gr¶a¯ca de (x2=4) + (y2=9) = 1 en el plano xy.
Esta elipse es la directriz C del cilindro. Todas las trazas en planos paralelos al plano xy son
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
38 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.32: Cilindro circular recto.
elipses congruentes con esta directriz. En la Figura 1.33 se muestra una parte de la gr¶a¯ca.
Figura 1.33: Cilindro el¶³ptico.
Nota: En el archivo \x^2 div 4 +y^2 div 9 =1.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando
Graphing Calculator.
− Ejemplo adicional 1.1. Esquematizar la gr¶a¯ca de y = x2 en tres dimensiones.
Soluci¶on: De acuerdo con los comentarios anteriores, la gr¶a¯ca es un cilindro con generatrices
paralelas al eje z. Comenzamos por trazar la gr¶a¯ca de y = x2 en el plano xy. Esta par¶abola
es la directriz C del cilindro. Todas las trazas en planos paralelos al plano xy son par¶abolas
congruentes con esta directriz. En la Figura 1.34 se muestra una parte de la gr¶a¯ca.
Nota: En el archivo \y=x^2.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Calcu-
lator.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.5. Super¯cies cu¶adricas 39
Figura 1.34: Cilindro el¶³ptico.
² La gr¶a¯ca de una ecuaci¶on que s¶olo contiene las variables y y z es un cilindro cuyas generatrices
son paralelas al eje x y cuya traza (directriz) en el plano yz es la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on dada.
An¶alogamente, la gr¶a¯ca de una ecuaci¶on que no contiene a la variable y es un cilindro con
generatrices paralelas al eje y y cuya directriz es la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on dada en el plano xz.
− Ejemplo 1.28. Esquematizar las gr¶a¯cas en tres dimensiones de las siguientes ecuaciones.
(a) y2 = 9¡ z (b) z = senx.
Soluci¶on: (a) La gr¶a¯ca es un cilindro con generatrices paralelas al eje x y que tiene como
directriz en el plano yz a la gr¶a¯ca de y2 = 9¡ z. En la Figura 1.35-(a) se muestra una parte
de la gr¶a¯ca (que es un cilindro parab¶olico).
Figura 1.35: Gr¶a¯cas.
(b) La gr¶a¯ca es un cilindro con generatrices paralelas al eje y y cuya directriz en el plano xz
es la gr¶a¯ca de la ecuaci¶on dada por z = senx. En la Figura 1.35-(b) aparece una parte de la
gr¶a¯ca.
Nota: En el archivo \y^2 = 9-z.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing
Calculator.
² Se sabe que, en dos dimensiones, la gr¶a¯ca de cualquier ecuaci¶on de segundo grado en x, y
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
40 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
es una secci¶on c¶onica (excepto en los casos degenerativos).
² En tres dimensiones, la gr¶a¯ca de una ecuaci¶on de segundo grado en x, y, z
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz| {z }+J = 0;
es una super¯cie cu¶adrica (excepto en los casos degenerativos). Restringiremos el an¶alisis de
las super¯cies cu¶adricas al caso en que los coe¯cientes D, E, F , G, H e I son todos cero, es
decir no consideraremos el caso en que haya t¶erminos mixtos.
² Hay tres tipos de super¯cies cu¶adricas:
{ elipsoides (la esfera es un caso particular de un elipsoide)
{ hiperboloides
{ y paraboides.
Los nombres provienen del hecho de que las trazas en los planos paralelos a los planos coorde-
nados son elipses, hip¶erbolas y par¶abolas, respectivamente.
² La gr¶a¯ca de la siguiente ecuaci¶on, en la que a, b y c son n¶umeros reales positivos, es unElipsoide
elipsoide.
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
² Las trazas del elipsoide x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 en los tres planos coordenados se indican en la
siguiente tabla:
Traza Ecuaci¶on de la traza Gr¶a¯ca
Traza xy
x2
a2
+
y2
b2
= 1 Elipse
Traza xz
x2
a2
+
z2
c2
= 1 Elipse
Traza yz
y2
b2
+
z2
c2
= 1 Elipse
² La Figura 1.36-(a) muestra una gr¶a¯ca t¶³pica de un elipsoide con sus trazas en los planos
coordenados.
² Para encontrar la traza en un plano arbitrario z = z0 paralelo al plano xy, sustituimos z por
z0 en la ecuaci¶on del elipsoide y as¶³
x2
a2
+
y2
b2
= 1¡ z
2
0
c2
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.5. Super¯cies cu¶adricas 41
Figura 1.36: Elipsoides.
² Si jz0j > c, entonces 1¡ z
2
0
c2
< 0 y no hay gr¶a¯ca. Por lo tanto, la gr¶a¯ca se encuentra entre los
planos z = ¡c y z = c.
² Si jz0j < c, entonces 1¡ z
2
0
c2
> 0 y por lo tanto, la traza en el plano z = z0 es una elipse, como
se ilustra en la Figura 1.36-(b). En la ¯gura tambi¶en se muestran las partes visibles de otras
trazas en planos paralelos al plano xy.
² Para un plano y = y0 paralelo al plano xz, tenemos la siguiente relaci¶on:
x2
a2
+
z2
c2
= 1¡ y
2
0
b2
La Figura 1.36-(b) muestra tambi¶en las partes visibles de varias de estas trazas (que son elipses)
para ¡b < y0 < b.
² Finalmente, tomando x = x0 con ¡a < x0 < a, vemos que las trazas en planos paralelos al
plano yz son elipses. (Estas elipses no est¶an en la Figura)
² Si a = b = c, la gr¶a¯ca es una esfera de radio a con centro en el origen. Ver 1.37.
Figura 1.37: Esfera.
² A veces las trazas en los tres planos coordenados son su¯cientes para indicar la forma general
de una super¯cie cu¶adrica, como en la Figura 1.36.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
42 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Nota: En el archivo \elipsoide con par¶ametros.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando
Graphing Calculator.
− Ejemplo 1.29. Elaborar la gr¶a¯ca de x
2
4
+
y2
9
+
z2
25
= 1
Soluci¶on: En este caso a = 2. , b = 3. , c = 5. . La traza sobre el plano xy es la elipse
x2
4
+
y2
9
= 1. La del plano xz es la elipse
x2
4
+
z2
25
= 1 y la del plano yz es
y2
9
+
z2
25
= 1. La
gr¶a¯ca de la traza en el plano xy se muestra en la Fig. 1.38.
Figura 1.38: Traza en el plano xy.
La gr¶a¯ca del parabolide se muestra en la Fig. 1.39.
Figura 1.39: Elipsoide
Nota: En el archivo \elipsoide.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing Cal-
culator.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.5. Super¯cies cu¶adricas 43
² La gr¶a¯ca de la siguiente ecuaci¶on, en la que a, b yc son n¶umeros reales positivos, es un
hiperboloide de un manto.
x2
a2
+
y2
b2
¡ z
2
c2
= 1
Figura 1.40: Hiperboloide de un manto
² Las trazas del hiperboloide x
2
a2
+
y2
b2
¡ z
2
c2
= 1 en los tres planos coordenadas se indican en la
siguiente tabla:
Traza Ecuaci¶on de la traza Gr¶a¯ca
Traza xy
x2
a2
+
y2
b2
= 1 Elipse
Traza xz
x2
a2
¡ z
2
c2
= 1 Hip¶erbola
Traza yz
y2
b2
¡ z
2
c2
= 1 Hip¶erbola
² La gr¶a¯ca est¶a en la Figura 1.41 junto con estas trazas.
² El eje z es el eje del hiperboloide. La traza en un plano z = z0 paralelo al plano xy tiene una
ecuaci¶on de la forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1 +
z20
c2
y es por lo tanto una elipse (v¶ease la Figura 1.41). Las trazas en los planos x = x0 bien
y = y0; es decir, en planos paralelos al plano yz o al plano xz, respectivamente, son hip¶erbolas
(verif¶³quese este hecho).
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
44 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.41: Hiperboloide de un manto
² Las gr¶a¯cas de
x2
a2
¡ y
2
b2
+
z2
c2
= 1 y ¡ x
2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
tambi¶en son hiperboloides de un manto, pero en el primer caso el eje del hiperboloide es el eje
y, y en el segundo, el eje del hiperboloide es el eje x. Por lo tanto, el t¶ermino negativo en estas
ecuaciones indica el eje del hiperboloide.
Nota: En el archivo \hiperboloide de un manto.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando
Graphing Calculator.
² El siguiente es un hiperboloide de otro tipo: hiperboloide de dos mantos
¡x
2
a2
¡ y
2
b2
+
z2
c2
= 1
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.5. Super¯cies cu¶adricas 45
² Las trazas en los planos coordenadas son las siguientes:
Traza Ecuaci¶on de la traza Gr¶a¯ca
Traza xy
x2
a2
+
y2
b2
= ¡1 No hay gr¶a¯ca
Traza xz ¡x
2
a2
+
z2
c2
= 1 Hip¶erbola
Traza yz ¡y
2
b2
+
z2
c2
= 1 Hip¶erbola
² Las intersecciones con el eje z tienen coordenadas z = §c y no hay intersecciones con el eje
x ni con el eje y. Como no hay traza en el plano xy, se ve si hay traza en un plano z = z0
paralelo al plano xy. Sustituyendo z por z0 en la ecuaci¶on dada se obtiene
¡x
2
a2
¡ y
2
b2
+
z2
c2
= 1 ¡! x
2
a2
+
y2
b2
=
z20
c2
¡ 1
Si jz0j > c, entonces la traza es una elipse, como se indica en la Figura 1.42. Las trazas en los
Figura 1.42: Hiperboloide de dos mantos.
planos paralelos al plano yz o al plano xz son hip¶erbolas (verif¶³quese este hecho). El eje z es
el eje del hiperboloide.
² Poniendo los signos negativos en otros t¶erminos se obtienen hiperboloides de dos mantos cuyo
eje es el eje x o el eje y. (>Qu¶e t¶erminos deben ser negativos en cada caso?) Ver Fig. 1.43.
Nota: En el archivo \hiperboloide de dos mantos.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando
Graphing Calculator.
² Un cono (de dos mantos) puede considerarse como un hiperboloide degenerativo que se obtiene
sustituyendo por 0 el n¶umero 1 en la ecuaci¶on de hiperboloide de uno o dos mantos. Esto da
la siguiente ecuaci¶on.
x2
a2
+
y2
b2
¡ z
2
c2
= 0
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
46 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.43: Hiperboloides de dos mantos con diferentes ejes.
² Las trazas en los planos coordenadas son las siguientes:
Traza Ecuaci¶on de la traza Gr¶a¯ca
Traza xy
x2
a2
+
y2
b2
= 0 El origen
Traza xz
x2
a2
¡ z
2
c2
= 0 Las rectas z = § c
a
x
Traza yz
y2
b2
¡ z
2
c2
= 1 Las rectas z = §c
b
y
² La traza en un plano z = z0 paralelo al plano xy tiene la ecuaci¶on
x2
a2
+
y2
b2
=
z20
c2
y por lo tanto es una elipse.
² Las trazas en los planos paralelos a los otros ejes coordenados son hip¶erbolas (verif¶³quese este
hecho).
² La gr¶a¯ca est¶a en la Figura 1.44. El eje z es el eje del cono.
Nota: En el archivo \cono de dos mantos.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando
Graphing Calculator.
² La gr¶a¯ca de la siguiente ecuaci¶on, en la que a, b y c son n¶umeros reales y a y b son positivos,
es un paraboide.
x2
a2
+
y2
b2
= cz (Note que z no est¶a al cuadrado)
El ejemplo 4.118 es un caso especial con a = b = c = 1. Si c > 0, entonces la gr¶a¯ca es
parecida a la que se muestra en la Figura 1.45 excepto que si a 6= b, entonces las trazas en
planos paralelos al xy son elipses en vez de circunferencias. Si c > 0, entonces el paraboloide
abre hacia arriba. El eje z es el eje del paraboloide.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.5. Super¯cies cu¶adricas 47
Figura 1.44: Cono.
Figura 1.45: Paraboloide
² Las gr¶a¯cas de las ecuaciones
x2
a2
+
z2
b2
= cy y
y2
a2
+
z2
b2
= cx
son paraboloides cuyos ejes son el eje y y el eje x, respectivamente. Ver Fig. 1.46.
Nota: En el archivo \paraboloide.gcf", del disco compacto, se ilustra esto usando Graphing
Calculator.
² La ecuaci¶on de un paraboloide hiperb¶olico est¶a dada por:
y2
a2
¡ x
2
b2
= cz
La Figura 1.47 muestra un croquis t¶³pico de esta super¯cie, con c > 0, la cual tiene la forma
de una silla de montar. Intercambiando x, y y z, se obtienen variantes.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
48 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.46: Paraboloides con diferenes ejes.
Figura 1.47: paraboloide hiperb¶olico.
² El paraboloide hiperb¶olico es la super¯cie cu¶adrica m¶as dif¶³cil de visualizar y se requiere mucha
pr¶actica para adquirir la habilidad de esquematizar la gr¶a¯ca. Trazas como las de la Figura
1.47 pueden ser ¶utiles. Obs¶ervese que la traza en el plano xy tiene como ecuaci¶on
y2
a2
¡ x
2
b2
= 0 o bien y = §a
b
x
y es un par de rectas que se cortan en el origen. Esta traza no aparece en la Figura 1.47.
² A continuaci¶on se presentan dos ejemplos que son casos especiales de super¯cies cu¶adricas; es
decir, los coe¯cientes tienen valores espec¶³¯cos.
Nota: En el archivo \paraboloide hiperb¶olico con eje z.gcf", del disco compacto, se ilustra esto
usando Graphing Calculator.
− Ejemplo 1.30. Esquematizar la gr¶a¯ca de
16x2 ¡ 9y2 + 36z2 = 144
e identi¯car la super¯cie.
Soluci¶on: Dividiendo ambos lados de la ecuaci¶on entre 144 obtenemos
x2
9. . . .
¡ y
2
16
+
z2
4
= 1
Las trazas en los planos coordenadas son las siguientes:
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.6. Cilindros oblicuos 49
Traza Ecuaci¶on de la traza Gr¶a¯ca
Traza xy
x2
9
¡ y
2
16
= 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hip¶erbola
Traza xz
x2
9
+
z2
4
= 1 Elipse
Traza yz
z2
4
¡ y
2
16
= 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hip¶erbola
Figura 1.48: Hiperboloide
La Figura 1.48 muestra la gr¶a¯ca de este hiperboloide de un manto cuyo eje es el eje y. Las
trazas en planos paralelos al plano xz son elipses y las trazas en planos paralelos al plano xy o
al plano yz son hip¶erbolas.
− Ejemplo 1.31. Esquematizar la gr¶a¯ca de y2 + 4z2 = x e identi¯car la super¯cie.
Soluci¶on: Las trazas son las siguientes:
Traza Ecuaci¶on de la traza Gr¶a¯ca
Traza xy y2 = x Par¶abola
Traza xz 4z2 = x Par¶abola
Traza yz y2 + 4z2 = 0 El origen
La traza en un plano x = x0 paralelo al plano yz tiene la ecuaci¶on y
2 + 4z2 = x0, que es una
elipse si x0 > 0. Las trazas en planos paralelos al plano xz o al plano xy son par¶abolas. La
super¯cie es un paraboloide cuyo eje es el eje x y su gr¶a¯ca est¶a en la Fig. 1.49.
1.6 Cilindros oblicuos
² Se llama super¯cie cil¶³ndrica a la super¯cie generada por una recta m¶ovil que se apoya con-
stantemente sobre una curva ¯ja, manteni¶endose paralela a una direcci¶on dada. Ver Fig. 1.50.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
50 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.49: Paraboloide
Figura 1.50: Cilindro oblicuo
² La recta m¶ovil se denomina generatriz y la curva ¯ja, directriz. A una posici¶on cualquiera de
la generatriz se le denomina elemento de la super¯cie cil¶³ndrica.
² Si la directriz fuera una circunferencia, una elipse, una par¶abola, etc., la super¯cie cil¶³ndrica
ser¶a, respectivamente, circular, el¶³ptica, parab¶olica, etc. Cuando la directriz es una recta, la
super¯cie generada es un plano, de donde se concluye que el plano es un caso particular de la
super¯cie cil¶³ndrica.
² Veamos como hallar la ecuaci¶on de una super¯cie cil¶³ndrica.
² Sean f1(x;y; z) = 0 y f2(x; y; z) = 0 las ecuaciones de la directriz (d) y a, b, c los componentes
del vector director de la generatriz (g).
² Llamemos con P (x; y; z) un punto de la super¯cie cil¶³ndrica y supongamos que Q(u; v; w) es la
intersecci¶on de la generatriz que pasa por P y la directriz. Como ha; b; ci es el vector director
de la generatriz, tenemos que existe t 2 IR tal que:8<: u = x+ atv = y + bt
w = z + ct
(1.5)
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.6. Cilindros oblicuos 51
² Como el punto Q pertenece a la directriz, se tiene:
f1(u; v; w) = 0; f2(u; v; w) = 0 (1.6)
² Sustituyendo (1.5) en (1.6), obtenemos:
f1(x+ at; y + bt; z + ct) = 0;
f2(x+ at; y + bt; z + ct) = 0
² Eliminando t de estas dos ¶ultimas ecuaciones obtenemos la ecuaci¶on del cilindro.
² En la pr¶actica, si los datos del problema son
f1(x; y; z) = 0
f2(x; y; z) = 0
ha; b; ci
la b¶usqueda de la ecuaci¶on se reduce a hacer las siguientes sustituciones
x! x+ at; y ! y + bt; z ! z + ct
y luego eliminar el par¶ametro t.
Figura 1.51: Cilindro oblicuo
² En el archivo \ecuaci¶on de un cilindro oblicuo con Eliminate.nb", del disco compacto, se muestra
como realizar algunos de estos c¶alculos usando Mathematica.
− Ejemplo 1.32. Determ¶³nese la ecuaci¶on de la super¯cie cil¶³ndrica que tiene como directriz
(ver Fig.1.52) la curva
x = z + 1; y = z2 + 2z + 1
y cuya generatriz (g) es paralela a una recta ¯ja con vector director h2; 1; 1i.
Soluci¶on:
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
52 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.52: Directriz
La ecuaci¶on de la directriz puede escribirse como
x = z + 1; y = (z + 1)2
Sean P (x; y; z) un punto cualquiera del cilindro en cuesti¶on. Hacemos entonces las sustituciones
x! x+ 2 ¢ t; y ! y + 1 ¢ t; z ! z + 1 ¢ t
y al hacer la sustituci¶on en la directriz obtenemos
x+ 2t = z + t+ 1;
y + t = (z + t+ 1)2
De la primera ecuaci¶on obtenemos t = z ¡ x+ 1. Al sustituirla en la segunda, obtenemos:
y + z ¡ x+ 1 = (z + z ¡ x+ 1 + 1)2
Simpli¯cando (<no es obligatorio!), obtenemos:
x2 ¡ 4xz + 4z2 ¡3x+ 7z ¡ y + 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0
que es la ecuaci¶on de la super¯cie cil¶³ndrica pedida. Ver cilindro en la Fig. 1.51.
− Ejemplo 1.33. Ded¶uzcase la ecuaci¶on de la super¯cie cil¶³ndrica que tiene como directriz (ver
Fig.5.50) la curva con ecuaci¶on param¶etrica:
x = t+ 1; y = t2; z = t
y generatriz paralela a la recta r: x = 2z, y = z.
Soluci¶on:
Empecemos convirtiendo la ecuaci¶on de la directriz de la forma param¶etrica a la forma carte-
siana. Para ello notamos que t = x¡ 1 y en virtud de esto obtenemos:
y = (x¡ 1)2 ; z = x¡ 1
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.6. Cilindros oblicuos 53
Figura 1.53: Directriz.
Busquemos ahora un vector director para la generatriz. Observamos que la generatriz pasa por
los puntos (0; 0; 0) y (2; 1; 1). El vector director de r es
D
2; 1; 1. . . . . . . .
E
.
Hacemos ahora las sustituciones x! 2t+ x, y ! t+ y y z ! t+ z:
t+ y = (2t+ x¡ 1)2; t+ z = 2t+ x¡ 1
Despejando de la primera ecuaci¶on t, obtenemos t = 1¡ x + z que sustituimos en la segunda
para obtener
1¡ x+ z + y = (¡1 + 2(1¡ x+ z) + x)2
Simpli¯cando, obtenemos: x
2 + 4z2. . . . . . . . . . . . ¡ 4xz ¡ x¡ y + 3z = 0.
− Ejemplo 1.34. (Adaptado del folleto del Prof. Manuel Calvo para c¶alculo III)
Hallar la ecuaci¶on del cilindro que tiene por directriz la circunferencia x2 + y2 = 9, z = 0
y generatrices paralelas a la recta resultante de la interersecci¶on de los planos con ecuaci¶on
z = 4y ¡ 2 y z = 3x+ 5. Ver Fig. 1.54.
z = 0
x2 + y2 = 9
z = 4y ¡ 2
z = 3x+ 5
Figura 1.54: Super¯ces involucradas.
Soluci¶on:
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
54 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Llamemos con P (x; y; z) a un punto cualquiera de la generatriz y Q(u; v; w) el punto de inter-
secci¶on de la generatriz con la directriz. Para hallar un vector director de la recta notamos que
(0; 7=4; 5) y (1; 5=2; 8) satisfacen las ecuaciones de los planos que determinan la generatriz, por
lo tanto, un vector director es
D
1; 3=4; 3. . . . . . . . . . .
E
o bien h4; 3; 12i. Se tiene entonces que:
u2 + v2 = 9; w = 0
x¡ u
4
=
y ¡ v
3
=
z ¡ w
12
de donde:
x¡ u = z
3
! u = x¡ z
3
; y ¡ v = z
4
;! v = y ¡ z
4
Introduciendo esos valores en u2 + v2 = 9 se tiene:³
x¡ z
3
´2
+
³
y ¡ z
4
´2
. . . . . . . . . . . . . .
= 9
o bien
144x2 + 144 y2 ¡ 96x z ¡ 72 y z + 25 z2 = 0
que es la ecuaci¶on de la super¯cie cil¶³ndrica pedida.
− Ejemplo 1.35. (Adaptado del folleto del Prof. Manuel Calvo para c¶alculo III)
Hallar la ecuaci¶on del cilindro que tiene por directriz la circunferencia x2+4xy+ y2 = 0, z = 0
y generatrices paralelas a la recta con vector director h2; 3; 4i.
Soluci¶on:
Figura 1.55: Cilindro y directriz.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.6. Cilindros oblicuos 55
Llamemos con P (x; y; z) a un punto cualquiera de la generatriz y Q(u; v; w) el punto de inter-
secci¶on de la generatriz con la directriz. Se tiene entonces que:
u2 + 4uv + v2 = 9; w = 0
x¡ u
2
=
y ¡ v
3
=
z ¡ w
4
de donde:
x¡ u = z
2
! u = x¡ z
2
; y ¡ v = 3z
4
;! v = y ¡ 3z
4
Introduciendo esos valores en u2 + 4uv + v2 = 9 se tiene:³
x¡ z
2
´2
+ 4
³
x¡ z
2
´µ
y ¡ 3z
4
¶
+
µ
y ¡ 3z
4
¶2
= 0
o bien
16x2 + 64x y + 16 y2 ¡ 64x z ¡ 56 y z + 37 z2. . . . . . . = 0
que es la ecuaci¶on de la super¯cie cil¶³ndrica pedida. En la Fig. 1.55 se muestran la gr¶a¯cas del
cilindro y su directriz.
² T erminamos esta secci¶on con el siguiente material complementario en el que se muestra
como reconocer si una ecuaci¶on representa una super¯cie cil¶³ndrica. Consid¶erense los siguientes
casos:
Ecuaci¶on
del
cilindro
¡! generatriz
directriz
² (Caso I) La ecuaci¶on s¶olo contiene dos variables. Conforme ya se vio, toda ecuaci¶on que contiene
s¶olo dos variables representa, en el espacio, una super¯cie cil¶³ndrica cuya generatriz es paralela
al eje correspondiente a la variable que falta en la ecuaci¶on.
² As¶³, la ¶ecuaci¶on y2 = 2z+4 representa una super¯cie cil¶³ndrica parab¶olica de generatriz paralela
al eje x y cuya directriz es la par¶abola y2 = 2z + 4, x = 0. Ver Fig. 1.56.
² (Caso II) La ecuaci¶on contiene tres variables. Se procede anulando en la ecuaci¶on una de las
variables, lo que equivale a cortar la super¯cie por uno de los planos coordenados. Sup¶ongase
que la secci¶on por el plano xy sea la curva que tiene por ecuaci¶on
f(x; y) = 0; z = 0
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
56 Cap¶³tulo 1. Vectores y super¯cies
Figura 1.56: Super¯cie cil¶³ndrica parab¶olica
Sea ha; b; 1i un vector director ¤ para la generatriz. Si (u; v; 0) es el punto de intersecci¶on entre
una generatriz y la curva directriz, entonces, (u; v; 0) debe satisfacer la recta:
x¡ u
a
=
y ¡ v
b
=
z
1
entonces tenemos que u = x ¡ az y v = y ¡ bz. La ecuaci¶on de la familia de las super¯cies
cil¶³ndricas que tiene esta curva por generatriz y como vector director de la directriz es:
f(x¡ az; y ¡ bz) = 0
Identi¯cando esta ecuaci¶on con la ecuaci¶on dada, esta representar¶a una super¯pie cil¶³ndrica si
es posible determinar valores compatibles para a, b yc.
− Ejemplo 1.36. Verif¶³quese si la ecuaci¶on:
x3 ¡ 3x2z + 3xz2 ¡ z3 + z ¡ y = 0 (1.7)
representa una super¯cie cil¶³ndrica. Ver Fig. 1.57.
Soluci¶on: Haciendo z = 0 obtenemos:
x3 ¡ y = 0; z = 0 (1.8)
La ecuaci¶on de la familia de las super¯cies cil¶³ndricas que tiene por generatriz la curva (1.8) y
ha; b; 1i como vector director es:
(x¡ az)3 ¡ (y ¡ bz) = 0
o bien
x3 ¡ 3ax2z + 3a2xz2 ¡ a3z3 + bz ¡ y = 0 (1.9)
¤Como los vectores directores son paralelos entre si, es siempre posible reducir uno de sus componentes a la unidad
y esto simpli¯ca bastante los c¶alculos.
 
 
 Juan Félix Ávila Herrera 
1.6. Cilindros oblicuos 57
Figura 1.57: Super¯cie cil¶³ndrica por identi¯car.
Identi¯cando las ecuaciones (1.9) y (1.7), se tiene:
¡3a = ¡3; 3a2 = 3; ¡a3 = ¡1; b = 1
Los valores a = 1 y b = 1, obtenidos de las dos ¶ultimas relaciones, veri¯can las dos primeras,
mostrando la compatibilidad del