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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América) FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Curso: Funciones Análiticas Semestre 2019-II Práctica Dirigida N°9 1. Desarrollar 5( ) sinf t t en serie de Fourier. 2. Demostrar que la función f(t)=C, es una función periódica de periodo T, para cualquier T>0 3. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at), para s diferente de cero, es una función periódica de t con periodo T/a 4. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, e integrable , demostrar que 1(t) (s)ds 2 t a a t a f f a también es periódica con periodo T. 5. Demostrar que si f(t) y g(t) son continuas por tramos en el intervalo / 2,T/ 2T y periódicas de periodo T, entonces la función /2 /2 1(t) (t s)g(s)ds T T h f T es continua y periódica con periodo T. 6. Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por 1 0 (t) 0 0 t f t , ( 2 ) ( )f t f t 7. Encontrar la serie de Fourier de la función f(t) definida f(t)=t para el intervalo , y ( 2 ) ( )f t f t 8. Encontrar la serie de Fourier de la función f(t) definida f(t)=t2 para el intervalo , y ( 2 ) ( )f t f t 9. Demostrar que si se aproxima una función f(t) por una serie finita de Fourier ( )kS t , entonces esta aproximación tiene la propiedad de ser el minimo error cuadrático medio. 10. Demostrar que el error cuadrático medio kE en una aproximación a f(t) por ( )kS t se reduce a /2 2 2 2 20 1/2 1 1(t) 4 2 T k k n n nT aE f dt a b T 11. Probar la siguiente desigualdad: /2 2 2 2 20 1/2 2 (t) 2 T k n n nT af dt a b T 12. Demostrar el teorema de Parseval: /2 2 2 2 20 1/2 1 1(t) 4 2 T k n n nT af dt a b T 13. Si na y nb son las sucesiones de los coeficientes de f(t) , demostrar que lim lim 0n nn na b . 14. Demostrar que si f(t) es una función continua por tramos y la integral del valor absoluto de f(t) es finita en el intervalo –T/2<t<T/2 entonces : /2 /2 0 0 /2 /2 lim ( )cos( ) lim ( )sin( ) 0 T T n n T T f t nw t dt f t nw t dt 15. Demostrar el siguiente teorema de diferenciación de las series de Fourier : Si f(t) es continua cuando / 2 / 2T t T con ( / 2) ( / 2)f T f T , y la derivada '(t)f es continua por tramos y diferenciable , entonces la serie de Fourier: 0 0 0 1 1(t) cos sin 2 n nn f a a nw t b nw t se puede diferenciar termino por termino para obtener: 0 0 0 1 ( ) sin cosn n n f t nw a nw t b nw t 16. Si f(t) es continua cuando / 2 / 2T t T con ( ) ( )f t T f t , Demostrar que la serie de Fourier 0 0 0 1 1(t) cos sin 2 n nn f a a nw t b nw t , se puede integrar termino por termino para obtener: 2 1 0 2 1 0 2 0 1 0 2 0 1 1 0 1 1( ) ( ) cos cos (sin sin ) 2 t n n nt f t a t t b nw t nw t a nw t nw t nw 17. Aproximar la función f(t)=t en el intervalo , , mediante una serie finita de Fourier de 5 terminos que sean diferentes de cero. Calcular el error cuadrático medio de la aproximación . 18. Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos funciones impares es una función par, y que el producto de una función par y una función impar es una función impar.
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