RAZONAMIENTO MATÉMATICO Colegios Trilce

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Razonamiento
Matemático
5to grado – I
Bimestre
diceÍnIndice


 =

 =
 =
 =
 =
Pág
143
149
155
161
167
173
177
181
Matemática recreativa
Conteo de segmentos
Conteo de figuras 
Repaso
Sucesiones y arreglos literales 
Sucesión II 
Distribuciones numéricas 
Repaso general 
143 Razonamiento Matemático – 5to. grado
Matemática recreativa
Hola, bienvenido a esta hermosa familia "TRILCE",
seguro que estás muy contento. Juntos
desarrollaremos el curso de "Razonamiento
Matemático" de una forma divertida y didáctica.
El primer tema es "Matemática Recreativa", no
necesitas saber fórmulas complicadas, ni teoremas
complejos, solo un poco de ingenio y habilidad.
¿Estás preparado? SÍ NO
Problemas sobre palitos
1. Con doce palitos de fósforo se ha formado el siguiente arreglo:
Ahora, resuelve los siguientes retos que 
se te presentan a continuación:
Primer Reto: "Quita" dos palitos de fósforo, de tal manera que queden solo dos cuadra- 
dos. ¡Vamos, tú puedes!
144Razonamiento Matemático – 5to. grado
Segundo Reto: "Mueve" cuatro palitos de fósforo, de tal manera que formes tres
1
cuadrados iguales a los iniciales.
Ahora dice "mover"
y no quitar o sacar.
Reto Final: Moviendo cuatro palitos de fósforo de la figura inicial, forma diez 
cuadrados.
No deben quedar
palitos sueltos.
2. Con diez palitos de fósforo, forma uno.
Resolución
:
3. Moviendo un palito de fósforo, haz que la igualdad resulte verdadera.
Resolución
:
145 Razonamiento Matemático – 5to. grado
`4. Con dieciséis palitos de fósforo, forma nueve.
Resolución: 1
5. Con tres palitos de fósforo, forma cuatro.
Resolución
:
6. Con tres palitos de fósforo, forma seis.
Resolución
:
7. Con nueve palitos de fósforo, forma tres docenas.
Resolución
:
146Razonamiento Matemático – 5to. grado
8. Quita cinco palitos de fósforo, de tal manera que queden tres cuadrados solamente.
1
Resolución
:
9. Mueve dos palitos de fósforo de tal manera que el recogedor quede de la misma 
forma, pero el corazón fuera de él.
Resolución
:
10. Con cinco palitos de fósforo, forma dos triángulos equiláteros.
Resolución
:
1
1.
147 Razonamiento Matemático – 5to. grado
Tarea 
domiciliaria
Moviendo dos palitos de fósforo, cambia el arreglo de la figura I, por el arreglo de la
figura II.
I I I
2. ¿Cuántos palitos de fósforo debes mover como mínimo, para transformar la casa de la
figura I en la casa de la figura II?
( I ) ( I I )
Rpta.: 
3. Moviendo un palito de fósforo, forma cuatro.
148Razonamiento Matemático – 5to. grado
Rpta.: 
149 Razonamiento Matemático – 5to. grado
4. Con cinco palitos de fósforo, forma veintiuno.
1
Resolución
:
Rpta.: 
5. En la figura, quita cuatro palitos de fósforo para formar cinco cuadrados.
Resolución
:
Rpta.: 
Nº de Segmentos
De 1 parte
De 2 partes
De 3 partes
a; b; c
ab; bc; cd
abc
3
2
1
TOTAL 6
150Razonamiento Matemático – 5to. grado
Conteo de segmentos
Segmento es una porción de recta y es limitada,
el segmento AB se denota así: AB
B
A
⇒ Ejemplo 1:
¿Cuántos segmentos observas en la siguiente figura?
P E R U
Resolución:
1. Asignamos una letra minúscula a 
cada parte.
a b c
P E R U
2. Contamos los segmentos de una 
parte (simples).
a b c
P E E R R U
∴ Hay 3 segmentos.
3. Contamos segmentos de dos partes
(compuestos).
a b b c
P E R E R U
∴ Hay 2 segmentos.
4. Contamos segmentos de tres partes
(compuestos).
a b c
P E R U
∴ Hay 1 segmento.
5. Hallamos la suma.
Rpta.: El número total de segmentos es 6.
Pregunta a tu profesor si no hay
algún método corto para la
resolución de este problema.
⇒ Ejemplo 2 :
1 ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?
D
C E FB G
A H
Rpta.: 
Ejercicios para la 
clase
1. ¿Cuántos segmentos hay como máximo?
Resolución:
A B C D E F
Rpta.: 
2. Halla el número total de segmentos en:
Resolución:
E
S
R
C
Q
T
J A
P I V
Rpta.: 
3. Halla el número total de segmentos en:
Resolución: 1
D E F G H
C I 
J
B
K
A Ñ N M L
Rpta.: 
4. Halla el número total de segmentos, en el siguiente gráfico:
Resolución
:
Rpta.: 
5. Halla el número total de segmentos en la siguiente figura:
Resolución
:
Rpta.: 
6. Halla el número total de segmentos en la siguiente figura:
Resolución
:
Rpta.: 
1
7. ¿Cuántos segmentos hay en el siguiente gráfico?
Resolución:
Rpta.: 
Tarea 
domiciliaria
1. Halla el número total de segmentos en:
A B C D E
2. ¿Cuántos segmentos hay en el siguiente gráfico?
A
B
C D E F
3. ¿Cuál es el número total de segmentos?
1
A B C
N
D
M
E L
K J I H G F
4. Halla el número total de segmentos en:
A M I G O S
SUDOKU
Desafío
Completa el cuadro de tal manera que cada fila, columna y cuadrado de 3 × 2 
tengan los números del 1 al 6, sin repetirse.
2 6 4
4 3
5
4
1 2
6 2 1
155 Razonamiento Matemático – 5to. grado
Conteo de
figuras
Conteo de
triángulos
Observa el proceso de contar.
Ejemplo 1: En la siguiente figura, ¿cuántos triángulos como máximo observas?
1. 2. De una parte:
a b
c
a b
c 
d
3. De 2 partes: 4. De 4 partes:
a b
a b
a c 
c
d
2 triángulos 1 triángulo
• Hallamos la suma:
De 1 parte : a, b, c → 3
156Razonamiento Matemático – 5to. grado
De 2 partes : ab, ac → 2
De 4 partes : a b c d → 1
Total de triángulos: 6 triángulos
157 Razonamiento Matemático – 5to. grado
1
Ejemplo 2:
¿Cuántos triángulos hay como máximo en la siguiente figura?
Ahora te toca a ti.
1
2
3
∴ TOTAL =
Ejercicio para la 
clase
1. Calcula el máximo número de triángulos en el siguiente gráfico.
Resolución:
2. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?
Resolución:
3. Calcula el número total de triángulos, en el siguiente gráfico:
1
Resolución
:
4. Halla el número total de triángulos en:
Resolución
:
5. Halla el número total de triángulos en el siguiente gráfico:
Resolución
:
a
b c
d e
f
a
b c
d e
f
b c
b
e
d e
Nº de partes Nº de Rectángulos
1
2
3
a; b; c; d; e; f → 
→ 
→ 
TOTAL → 
Conteo de cuadriláteros
1 Observa el proceso de contar.
Ejemplo 1: ¿Cuántos rectángulos como máximo observas?
Resolución:
1. Se asigna una letra a cada parte. 2. Contamos los rectángulos de una 
sola parte (simples).
Hay rectángulos.
3. C o n t a m o s l o s r e c t á n g u
l o s que se forman con dos
partes (compuestos).
Hay rectángulos.
4. Contamos los rectángulos de tres 
partes (compuestos).
a
b c
d e
f
Hay rectángulos.
5. Contemos el total de rectángulos.
Ejercicios para la 
clase
1. ¿Cuántos cuadriláteros hay en el siguiente gráfico?
Resolución:
2. Halla el número total de rectángulos en:
Resolución: 1
3. Halla el número total de cuadrados en:
Resolución
:
4. Halla el número total de cuadrados en la siguiente torre:
Resolución
:
5. Halla el número total de rectángulos en:
Resolución
:
1 Tarea 
domiciliaria
1. ¿Cuántos cuadrados hay en el 
siguiente gráfico?
4. Halla el número total de cuadriláteros 
en:
2. ¿Cuántos triángulos hay?
5. Halla el número total de cuadrados
en:
3. ¿Cuántos rectángulos hay?
1. ¿Cuántas cifras se deben mover como 5. Quita ocho palitos de la figura, de tal
Repas
o
Hoy haremos un repaso de los tres
temas que hemos visto hasta ahora.
Si no has comprendido algunos problemas,
lo harás en este repaso. ¡APROVÉCHALO!
Ejercicios para la 
clase
mínimo para formar una verdadera
igualdad?
13 - 32 = 4
2. En la siguiente figura añade dos palitos
para que dé cero.
3. ¿Cuántos palitos se deben mover como
mínimo para obtener unaverdadera igualdad?
manera que queden dos cuadrados.
6. Coloca las cifras del 1 al 5 en los
círculos de la figura mostrada, (sin
repetirlas) de tal manera que la hilera
vertical y horizontal sumen lo mismo y
esta sea igual a 9. ¿Cuál es la cifra
que debe estar en el círculo central?
4. ¿Cuántos palitos se deben quitar como
mínimo para obtener solo cuatro cua-
drados iguales?
= 
12
1
7. Coloca las cifras del 1 al 9 en los círculos
de la figura mostrada, (sin repetirlos)
de tal manera que todas las hileras
formadas por tres círculos sumen lo
mismo y esta cantidad sea igual a 12.
¿Cuál es la cifra que debe estar en el
círculo central?
9. Halla el número total de triángulos que 
hay en la siguiente figura:
= 12
8. ¿Cuántos segmentos hay en la 
siguiente figura? 10. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura?
O
N T
R M
I 
U
L
L C
A ET R I U N F A
11. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente
figura? 13. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? 1
12. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente
figura?
14. Halla el número total de triángulos en la
figura mostrada:
15. ¿Cuántos triángulos hay en el gráfico mostrado?
1
Tarea 
domiciliaria
1. Con trece palitos de fósforo, forma
cuatro cuadrados iguales.
2. ¿Cuántos palitos se deben quitar como
mínimo, para que queden solo cinco
cuadrados iguales?
3. ¿Cuántas cifras se deben mover como mínimo para formar una verdadera igualdad?
1
32 - 23 = 1
4. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
El problema de los puentes de Königsberg
1 Desafío
En el siglo XVIII había una ciudad en Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy
Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las
orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de
sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola
vez por cada uno de ellos. ¿Es esto posible?
isla isla
Sucesiones y arreglos 
literales
Queridos amigos, el tema que
desarrollaremos hoy es uno de mis favoritos;
yo sé que también será de tu agrado, me
refiero, al tema de Sucesiones y Arreglos
Literales; pero ¿qué es una sucesión?
Veamos el concepto.
SuceSión
Es un conjunto ordenado de números de acuerdo a una ley de formación. Dichos 
números son los términos de la sucesión.
Por ejemplo, el siguiente conjunto ordenado de números:
2; 4; 6; 8; 10; ... tiene una ley de formación.
En efecto, si aumentamos en dos unidades a cada uno de los números, obtendremos el
número siguiente.
Por lo tanto: (2; 4; 6; 8; 10; . . . ) es una SUCESIÓN, donde los términos mantienen un orden y
se les nombra del modo siguiente:
2: primer término
4: segundo término
6: tercer término
8: cuarto término, etc.
Ahora veamos otra sucesión; 6; 10; 15; 21; ...
¿Podrías hallar el término que sigue?
Para resolver este problema, debemos encontrar la ley de formación, como se muestra a 
continuación:
6; 10; 15; 21;
...
+4 +5 +6 +7
Por lo tanto, el número que sigue deberá ser: 21 + 7; esto es 28.
ArregloS literAleS
1 Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Para 
encontrar
el criterio de ordenamiento de las letras en un problema dado, es necesario conocer
bien el abecedario, tener en cuenta la posición de cada letra y no se debe 
considerar
las letras compuestas "CH" y LL".
Por ejemplo: ¿Qué letra sigue?
A; C; F; J; ...
Este arreglo tiene cierto criterio de ordenamiento. En efecto, observemos lo siguiente:
A; C; F; J
B DE GHI
Entre "A" y "C" hay una letra intermedia; 
entre "C" y "F" hay dos letras intermedias; 
entre "F" y "J" hay tres letras intermedias.
Por lo tanto entre "J" y la letra que sigue deben haber cuatro letras intermedias.
A; C; F; J; ...
B DE GHI KLMN
Entonces la letra que sigue es: 
Nota: Se puede resolver el problema anterior de otra manera, lo único que necesitamos saber 
es la posición que ocupa cada letra del arreglo dado, en el abecedario.
A B C D E F G H I J K L M N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Recuerda que no se consideran
las letras compuestas "CH"
y "LL" en arreglos literales.
1Ejercicios para la 
clase
I. Encuentra el número que sigue en cada uno de los siguientes sucesiones:
1) 2; 4; 6; . . . 6) 2; 4; 8; 14; . . .
2) 18; 15; 12; . . . 7) 5; 3; 6; 4; 8; 6; 12; . . .
3) 2; 4; 8; 16; . . . 8) 1; 1; 2; 6; . . .
4) 24; 12; 6; . . . 9) 1; 2; 4; 8; 10; . . .
5) 22; 18; 13; 7; . . . 10) 2; 3; 4; 5; 8; 7; 16; . . .
II. Encuentra la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales:
1) A; D; G; J; . . . 2) B; D; G; I; L; . . .
3) C; E; I; Ñ; . . .
1
4) A; B; D; D; G; F; J; . . .
5) B; C; E; H; L; . . .
6) A; D; I; O; . . .
Tarea 
domiciliaria
I. Halla el número que sigue en cada una de las siguientes sucesiones.
Resolución:
1) 2; 7; 14; 23; . . .
Resolución:
2) 2; 6; 4; 12; 10; 30; . . .
Resolución:
3) 1; 1; 3; 3; 9; 5; 27; . . .
Resolución:
4) 2; 5; 7; 10; 12; 15; . . .
5) 2; 3; 6; 7; 14; 15; . . .
Resolución:
1
Resolución
:
6) 1; 4; 9; 16; 25; . . .
II. Halla la letra que sigue en cada uno de los siguientes arreglos literales.
Resolución
:
1) A; C; B; D; C; E; . . .
Resolución
:
2) B; D; F; H; . . .
Resolución
:
3) C; E; H; J; M; . . .
Resolución
:
4) A; Z; D; W; G; T; . . .
Cuadrado
1
5) A; B; D; H; . .
Resolución:
Resolución:
6) B; E; H; K; N; . .
Desafío
En un cuadrado debemos colocar los números del 1 al 9 sin repetir ninguno (uno en cada 
cuadro). Disponemos de las siguiente pistas:
Los vecinos del 1 suman 15. 
Los vecinos del 2 suman 6. 
Los vecinos del 4 suman 23. 
Los vecinos del 5 suman 16.
Sobre los vecinos del 6, 7, 8 y 9 no tenemos datos.
Un número es vecino de otro solo si la casilla en la que está comparte alguno de sus lados
con otra.
¿Qué número ocupará la casilla central?
?
I. Halla el número que sigue en cada sucesión:
Sucesiones II
En este capítulo veremos una gran "variedad
de sucesiones" y tenemos que encontrar
la ley de formación de cada una de ellas,
para luego hallar la solución que nos piden.
Ejercicios para la 
clase
1) 5; 9; 7; 11; 9; . . . 6) 2; 5; 10; 13; 26; . . .
2) 1; 1; 2; 4; 7; 11; . . . 7) 10; 20; 25; 50; 55; . . .
3) 26; 18; 11; 5; . . . 8) 1; 1; 2; 6; 24; 125; . . .
4) 1; 1; 3; 7; . . . 9) 3; 4; 8; 11; 12; 24; 27; . . .
5) 1; 3; 5; 15; 17; 51; . . . 10) 12; 15; 18; 21; 24; . . .
II. Halla el valor de "x + y" en cada una de las siguientes sucesiones:
1 1) 1; 1; 5; 2; 9; 4; 13; x; y; . . .
2) 3; 6; 9; 18; 21; x; y; . . .
3) 1; 3; 4; 12; 13; x; y; . . .
4) 2; 4; 9; 18; 23; x; y; . . .
5) 8; 9; 11; 15; 22; x; y; . . .
6) 2; 5; 6; 10; 15; x; y; . . .
7) 4; 3; 8; 6; 12; 9; 16; x; y; . . .
8) 12; 11; 17; 15; 22; 19; 27; 23; x; y; . . .
9) 31; 50; 35; 45; 39; 40; 43; 35; x; y; . . .
10) 100; 12; 90; 20; 80; 28; 70; 36; x;y; . . .
Tarea 
domiciliaria
1. ¿Qué número sigue?
Resolución:
2; 3; 5; 10; 8; 17; . . .
2. Halla "x + y" en: 1
Resolución:
66; 60; 30; 24; 12; x; y; . . .
3. ¿Qué número sigue?
Resolución
:
2; 2; 4; 12; . . .
4. Halla "x + y" en:
Resolución
:
5; 6; 4; 12; 13; 11; x; y; . . .
5. ¿Qué número sigue?
Resolución
:
1; 1; 4; 12; 27; . . .
SUDOKU
1 Desafío
Instrucciones:
Completa los tableros (subdivididos en 9 cuadrados), llenando las celdas vacías con los
números del 1 al 9 sin que se repita ninguna cifra, en cada fila, ni en cada
columna, ni en cada cuadrado. No necesitas sumar ni restar.
5 9 7 4 1
9 7 2 8
1 3 7
1 4
3 9 2 5
2 6
9 6 1 2
7 5 8 2 9
2 9 6
Vamos, tú puedes hacerlo.
Distribuciones numéricas
Observa cómo se han distribuido los números
en cada una de las siguientes figuras:
1 9 2 17 5 x
4 2 3 5 6 3
¿podrías hallar el valor de "x"?
Claro que sí, solo tenemos que buscar la relación que existe entre los demás números 
dados.
Veamos:
De la primera figura tenemos que: 4 × 2 + 1 = 9 y 
de la segunda figura tenemos que: 3 × 5 +2 = 17
Como verás, se ha encontrado una misma relación para las dos primeras figuras y esa relación 
se debe dar también en la tercera figura.
Por lo tanto; de la tercera figura tenemos que: x = 6 × 3 + 
5. Es decir, el valor de "x" es 23.
Ejercicios para la 
clase
I. Halla el valor de "x" en cada una de las siguientes distribuciones numéricas:
1) 4 12 3
2 14 7
3 x 5
2) 5 9 4
3 11 8
9 x 7
3) 13 8 19
x 3 8
10 5 11
1
4) 12 18 20
4 3 2
3 6 x
5) 4 5 2
7 1 3
5 2 x
6) 3 16 5
6 13 2
2 x 8
7) 4 3 2 10
2 5 4 6
5 6 10 20
8 2 5 x
8)
3 2 5
9 17 x
2 3 5 3 7 4
1
9) 10 16 x
2 3 5 2 3 5
4 1 3 2 5 2
10)
6 8
1 2 3 4 4 5
x
1 5 3
1 8 9
2 7 10
3 6
4 5
1 Desafío
JUGANDO CON LOS DOS
¿Puedes escribir todos los números de cero al diez utilizando cinco dos y los signos +, -, ×, ÷, 
además del paréntesis? Puedes empezar así:
0 = 2 – 
2 
– 
2
2 2
2
2 2 =
2
2
La habilidad mental
es un factor muy
importante de
la persona.
Repaso general
¿Cómo estás amiguito? Esta es nuestra
última clase del primer bimestre.
Siento una inmensa alegría al saber
que has aprendido mucho.
Hoy repasaremos los temas de: Matemática Recreativa,
Conteo de figuras I y II, Sucesiones I y II y Distribuciones.
Tienes que aprovechar al máximo, pues "ya se
viene" la evaluación bimestral. ¿Nervioso(a)?
No te preocupes que yo te acompaño.
Ejercicios para la 
clase
1. ¿Puedes quitar seis dígitos del siguiente arreglo para que te dé un total de 20?
1 1 1
7 7 7
9 9 9
Resolución
:
Rpta.:
2. Se tiene la siguiente cantidad de palitos de fósforos.
¿Podrías transformar los 16 palitos de fósforo en nueve sin quitar ninguno de ellos?
Además no puedes superponerlos.
Resolución:
3. ¿Cuántos triángulos hay en el siguiente gráfico?
Resolución:
4. Halla el número total de triángulos que tengan una
Rpta.
en su interior:
1
:
Resolución
:
Rpta.:
5. Halla el número total de triángulos en el siguiente gráfico:
Resolución
:
Rpta.:
6. Halla el número total de cuadrados en el siguiente gráfico:
Resolución
:
Rpta.:
7. Halla el número total de rectángulos:
Resolución
:
Rpta.:
1
8. Halla el número total de cuadriláteros:
Resolución
:
Rpta.:
9. Halla el número total de segmentos:
E A
Resolución:C
L T
I U
R
T Rpta.:A M I G O
10. ¿Qué números siguen en las siguientes sucesiones?
1; 5; 2; 10; 3; 15; 4; ; ; . . .
2; 4; 7; 12; 20; ; ; . . .
Resolución
:
Rpta.:
11. ¿Qué letras siguen en el siguiente arreglo literal?
Resolución
:
C; E; G; I; ; ; . . .
Rpta.:
12. ¿Qué número falta?
18 (48) 30 →
12 (30) 18 →
16 ( ) 20 →
Rpta.: 
13. ¿Qué número falta?
16 (9) 7 →
28 (16) 12 →
34 ( ) 14 →
Rpta.: 
1.
14. Halla el valor de "x":
1 3 8 2 →
1 2 10 →
4 4 x →
Rpta.: 
15. Halla el valor de "x":
5 3 1 →
2 4 1 →
1 1 x →
Rpta.: 
Tarea 
domiciliaria
¿Cuántos palitos se deben quitar como mínimo para que queden solo cuatro 
cuadrados iguales?
Resolución:
Rpta.:
2. Halla el número total de triángulos:
Resolución:
Rpta.:
3. ¿Qué número sigue en la siguiente sucesión?
Resolución:
6; 12; 8; 10; 10; 8; . . . . .
Rpta.:
4. ¿Qué letra 
continúa?
Resolución: 1
E; H; K; N;
Rpta.:
5. Halla el valor de "x".
2 4 6 3 5 3
40 36 x
5 2 4
6. ¿Cuántos segmentos hay en el siguiente gráfico?
Resolución:
1 2 3 4 5 6
Rpta.:
7. Halla el número de rectángulos en:
Resolución:
Rpta.:
8. Halla el total de triángulos en la siguiente figura:
1
Resolución:
Rpta.:
9. ¿Qué número sigue?
Resolución:
1; 2; 4; 7; 11; . . .
Rpta.:
10. ¿Qué número falta?
Resolución:
1 1 0 1 4 4
5 13 ?
1 2 4 8 1 2
Rpta.: