CE2-7 Cap 15 (8aEd-Analisis dominio s))

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Análisis de circuitos en el dominio s
Capítulo 15
Hayt (8ª Ed)
Introducción
	Así como se crearon los modelos de impedancias para R, L y C al utilizar fasores en el dominio de las frecuencias, se hará lo mismo en el dominio de s (frecuencias compleja), de modo que se puedan aplicar de nuevo las técnicas de análisis vistas desde los circuitos de CD.
	El otro aspecto importante es la denominada función de transferencia, que se usará para predecir la respuesta de un circuito ante diversas funciones de entradas.
15.1 Z(s) y Y(s)
	Los modelos para R, L y C en el dominio de s, salen de aplicar la Transformada de Laplace a las relaciones V-I, para R, L y C.
Resistencia en el dominio de s
La ley de Ohm es:		v(t) = R i(t)
Aplicando la TL:		V(s) = R I(s)
Así:				Z(s) = V(s) / I(s) = R
Nota: La “impedancia” equivalente de R en el dominio s es R
Inductancia en el dominio s
Algunas Transformadas de Laplace son:
Modelo en serie del inductor en el dominio s
	De las ecuaciones anteriores se tiene:
V(s) = LsI(s) – Li(0–) = Z(s)I(s) – Li(0–) 
Que puede verse como una impedancia Z(s) en serie con una fuente de voltaje, quedando el modelo en serie de la figura (b)
Modelo en paralelo del inductor en el dominio s
	Si se despeja I(s) se tiene:
Que corresponde a una admitancia Y(s) en paralelo con una fuente de corriente, dando lugar al modelo paralelo de la figura 
Solución usando wolfram alpha
	Meterse a la página: http://www.wolframalpha.com/
	Dar la operación que se quiere realizar:
 inverse laplace tranform
	Escribir la función que se quiere transformar
	 (2s)(s+9.5)/((s+8)(s+0.5))-2
	Esperar el resultado.
	Modelo paralelo del capacitor en el dominio s
	Aplicando la TL a i = C dv/dt, se tiene:
I(s) = C[sV(s) – v(0–)] = sCV(s) – Cv(0–)
Que equivale al paralelo de YC(s)=sC con una fuente de corriente con valor –Cv(0–) como se muestra en la figura (b)
	Modelo serie del capacitor en el dominio s
	Despejando V(s) se tiene:
Que equivale a una impedancia Z(s) en serie con una fuente de voltaje dando lugar al modelo serie de la figura 
Ejemplo 15.2. 
Obtenga vC(t) en el circuito de la figura (a) si vC(0–) = –2V.
Solución
Primero se pasa el circuito al dominio s.
Pinten el circuito usando el modelo en paralelo del Capacitor.
NOTA: Se puso Zc en vez de Yc 
Solución:
Ahora resolvemos el circuito (usando nodos) Obtener su ecuación.
Su ecuación de nodo es:
Use su calculadora o el Wolfram 
Alpha para despejar Vc = V. 
Obtenga v(t) usando cualquiera de las ecuaciones y la TIL.
	En resumen:
	Se puede observar que los modelos obtenidos para L y C, uno es el dual del otro.
En las secciones 15.2 Análisis de Nodos y de mallas en el dominio s y 15.3 Técnicas adicionales de análisis de circuitos, se ve que todas las técnicas de análisis vistas anteriormente como:
Mallas, nodos, divisores de voltaje y de corriente, transformación de fuentes, Thévenin, Norton, superposición, linealidad, conversión D↔Y
se siguen aplicando en el dominio de s.
por lo que no las volveremos a ver.
En otras palabras, TE TOCA HACER LA TAREA.
Fin de la clase
15.4 Polos, ceros y funciones de transferencia
	La función de transferencia es muy útil ya que:
La señal de salida se obtiene de multiplicar la entrada por H(s) y obtener su transformada inversa de Laplace.
Contiene mucha información útil sobre el circuito, como los valores de s donde la función se anula (CEROS) o se hace infinita (POLOS).
	En el ejemplo visto
	Se puede ver que no tiene CEROS y que tiene un POLO en 
 s = –1/RC, donde la función tiende a infinito.
	Las frecuencias en las que H(s) tiene un cero o un polo se conocen como Frecuencias Críticas.
15.5 Convolución
Toda la sección (15.5) la usa el autor para dar formalidad al “Teorema de Convolución” y explicar su uso, el cual es una forma de obtener la respuesta de un circuito y se puede resumir en lo siguiente:
Para obtener la función de salida {v(t) o i(t)} de un circuito sólo hay que hacer tres cosas:
Obtenga L(Función de excitación)
Multiplique H(s) por L(Función de excitación) y
Saque su L–1
	Al final de las presentaciones se anexa la sección 15.5 por si alguien quiere ravisarla.
El plano de la frecuencia compleja
	Aun con las nuevas calculadoras, no siempre es sencillo resolver un circuito en la frecuencia compleja usando las técnicas vistas .
	El plano de las frecuencias complejas es una técnica gráfica que ayuda a dar información sobre el comportamiento del circuito.
	Cada parte del plano representa un tipo de respuesta
	Una gráfica completa es tridimensional.
Ejemplo 15.11. Dibuje la admitancia de la combinación en serie de una resistencia de 3 W y un inductor de 1 H.
Solución:
La admitancia es:		Y(s) = 1/(s+3)
Cuya magnitud es:		|Y(s)| = 1/ (s+3)2+w2
Para esbozar la gráfica tenemos que:
	 en s=(-3, 0), la |Y| se hace infinito y
	 cuando |s| → ∞, la |Y| → 0
Esto genera una especie de “volcán” como se muestra en la figura
	Las gráficas se pueden visualizar usando el “modelo de la membrana elástica”
	Una vez que se tiene la superficie, la información más relevante se obtiene de la forma de su intersección con los planos s = 0 y w = 0, como se muestra en las figuras
	La primera nos muestra la variación de |Y| respecto a w.
	A la ubicación de los ceros y de los polos de H(s) en el plano s, se le llama CONSTELACIÓN DE POLOS Y CEROS y ayuda a visualizar la forma de la gráfica al utilizar el modelo de la membrana elástica y así sacar la forma como variará la función de transferencia con la frecuencia.
Ejemplo. Esboce |Z|vs w para
Trazar su constelación de polos y ceros
Imaginarse el modelo de la membrana elástica
Imaginarse el borde del corte de la membrada con el plano s = 0
Bosquejar la gráfica de |Z| vs w 
Para la función
Su constelación de polos y ceros es:
Y su gráfica de Membrana Elástica:
Trazada sólo para s < 0 y jw >0 
El bosquejo de la gráfica de |Z| vs w se obtiene de la intersección de la membrana elástica con el plano s = 0.
Para bosquejarla mejor, se evalúa en algunos puntos, como s = 0 e ∞. En este caso: |Z|s=0 = 2, |Z|s→∞ = 13 quedando:
15.7 Respuesta natural y el plano s
	La última técnica que se verá para obtener la respuesta de un circuito se basa en que la respuesta tiene dos partes:
	La respuesta natural o transitoria (sin fuentes)
	Y la respuesta forzada (cuando t → ∞)
	Siendo:
F(t) = F(t)natural + F(t)forzada
	Ambas respuestas se pueden obtener fácilmente de la función de transferencia H(s).
	La respuesta natural se saca en las frecuencias donde habría una respuesta aún sin haber una excitación, y esto sólo puede ocurrir en los POLOS de la función H(s), ya que en esos puntos, F=(0)(∞) es una indeterminación.
	La respuesta forzada se obtiene de resolver el circuito sin transitorios (sin switches) y esto puede hacerse en el dominio del tiempo o en el dominio s según convenga. 
15.5 Convolución
	Definición: Si la entrada a un sistema N es la función forzada x(t), y su salida es la función y(t), entonces,
	donde h(t) es la respuesta a impulso de N.
	Se denota como:	y(t) = x(t)*h(t)
	y se lee x(t) convolucionada con h(t)
	Si se aplica la transformada de Laplace al teorema de convolución se obtiene:
L {f1(t)*f2(t)} = F1(s)∙F2(s)
Este resultado puede leerse como:
La transformada inversa del producto de dos transformadas es la convolución de las transformadas inversas
Ejemplo 15.9: Obtenga v(t) si V(s) = 1/[(s+a)(s+b)]
Solución: 
Sean: 		V1=1/(s+a) 	y 	V2=1/(s+b) 
Entonces:	v1(t)=e–atu(t) 	y 	v2(t)=e–btu(t) 
Entonces:	 v(t)= L –1(V1∙V2) = v1(t)*v2(t)
Así:
O lo que es lo mismo:
NOTA: Este resultado ya se había obtenido por fracciones parciales.
La función de transferencia H(s) y la función impulso unitario d(t).
	Si la respuesta al impulso unitario d(t) de un sistema es h(t), entonces, la transformada de Laplace de h(t) es la funciónde transferencia H(s) del sistema.
	Esto es:
h(t) ↔ H(s)
	Este resultado facilita la evaluación de H(s).
Ejemplo 15.10. Determine la respuesta a impulso del circuito (a) y utilícela para calcular vo(t) cunado vi(t)=6e-tu(t)
Solución:
En el circuito (b) se muestra la fuente de alimentación d(t) a la entrada y en el (c) se muestra en el dominio de la frecuencia
Trabajando en el dominio s se tiene que 
H(s) = Vo(s)/Vi(s) = Vo(s)/1 = Vo(s)|vi=d(t)
Generalizando: 	 H(s) = Vo(s)|vi=d(t)
Continuando con el problema, por división de voltaje:
Vo(s)|vi=d(t) = 2 / (2/s + 2) ↔ H(s) =s / (s + 1)
Ahora bien, si vi(t) = 6e-tu(t) ↔ Vi(s) = 6/(s+1) 
Por lo tanto:
Vo(s) = Vi(s)H(s)= [6/(s+1)][s/(s+1) = 6s/(s+1)2 = 6/(s+1)-6/(s+1)2
Y aplicando la transformada inversa se tiene:
vo(t) = 6e-t (1 – t) u(t)