DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN CON MÁS DE UNA VARIABLE

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DISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIÓN CON MÁS DE UNA VARIABLE 
INDEPENDIENTE 
 
INTRODUCCIÓN 
 
En este capítulo se estudiarán modelos matemáticos que en forma general se pueden 
representar por: 
 
C​(x,t)​ ; C​(x,y)​ ; C​(x,y,t) 
 
ANALOGÍAS ENTRE FORMAS ESPECIALES DE LA ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE 
CALOR Y LAS ECUACIONES DE DIFUSIÓN DE MATERIA 
 
a) En estado no estacionario sin flujo se tienen las siguientes ecuaciones 
a1) para transferencia de calor en sólidos, (sin flujo) y si reacción química 
 
 ​o en forma general​ δt
δT = α δx2
δ T2 Tδt
δT = α 2 
 
a2) para transferencia de materia 
 
Dt
DCA C= DAB ×
2
A + (− )RA 
 
δt
δCA + v* C CA − DAB ×
2
A = (− )RA 
 
 
Sin flujo y sin reacción química 
 
δt
δCA = D CAB
2
A 
 
 
b) Estado estacionario con flujo y sin reacción química 
b1) para transferencia de materia 
 
δt
δCA + v* C CA − DAB ×
2
A = (− )RA 
C Cv* A − DAB ×
2
A = 0 
 
C Cv* A = DAB ×
2
A 
T Tv = ɑ ×
2
 
 
 
b2) Ecuación análoga a:la ecuación de distribución de temperaturas, con convección 
forzada 
 
T Tv = α × 2 
 
c) Estado estacionario sin flujo y sin reacción química 
 
c1) para transferencia de materia 
 
δt
δCA + v* C CA − DAB ×
2
A = (− )RA 
 
0 C2 A = 
c2) Análoga a la distribución de temperaturas en estado estacionario sin flujo y sin 
reacción química 
0 T2 = 
 
EVAPORACIÓN EN ESTADO NO ESTACIONARIO 
 
 
 
Deducir una ecuación para la velocidad a la que un líquido se evapora en el seno de 
un gas B en un tubo de longitud infinita. 
El nivel del líquido se mantiene en todo momento en la posición z = 0 
El sistema se encuentra a temperatura y presión constantes A y B forman una 
mezcla ideal, por lo tanto la concentración total C es constante 
El modelo se asume también que el gas B es insoluble en el líquido A 
La ecuación de continuidad sin reacción química, viene dada por: 
 
 
δt
δCA + NA = (− )RA 
 
δt
δCA + NA = 0 
 
La transferencia de materia solamente se desarrolla en la dirección Z, en régimen 
transitorio 
 
−δt
δCA = NA 
 
 (1)−δt
δCA = δz
δNA
 
 
De igual manera la ecuación de continuidad para B 
 
δt
δCB + NB = RB 
Sin reacción química 
 
δt
δCB + NB = 0 
−δt
δCB = NB 
Y considerando la transferencia solamente en la dirección z 
−δt
δCB = δz
δNB 
 
De las ecuaciones de continuidad para A y B 
 
−δt
δ(C +C )A B = δz
δ(N +N )A B 
 
−δt
δC = δz
δN 
Una de las condiciones del modelo es que la presión y la temperatura son 
constantes y por lo tanto la concentración total es constante 
 
δt
δC = 0 
Lo que implica que la densidad de flujo molar total para el sistema binario N, 
también es constante 
 
δz
δN = 0 
 
N = NA + NB = NA0 + NB0 
 
Considerando la ley de fick en z = 0 
 
 D │NA0 = xA0 × (N N )A0 + B0 − C AB δz
δxA
z=0 
 
en z= 0, la densidad de flujo molar de B es 0 
 
N D │NA0 = xA0 A0 − C AB δz
δxA
z=0 
 
 reordenando 
 
 │NA0 = 1 −xA0
−C DAB
δz
δxA
z=0 
 
Para cualquier valor de z, la densidad de flujo molar total es constante 
 
N = NAz + NBz = NA0 + NB0 
 
NAz + NBz = NA0 
 
En la ecuación de densidad de flujo molar de a evaluada en z = 0 
 
 
 │NAz + NBz = 1 −xA0
−C DAB
δz
δxA
z=0 
 
En la ecuación de densidad de flujo molar de A, del análisis de Fick para cualquier 
valor de z 
 
 D NAz = xA × (N N )Az + Bz − C AB δz
δxA 
 D NAz = xA × │( 1 −xA0−C DAB δzδxA z=0) − C AB δzδxA 
 
 │ D NAz = − xA 1 −xA0
C DAB
δz
δxA
z=0 − C AB δz
δxA
 
 
Que es ecuación resultante del análisis de la ley de Fick, reemplazando en la 
ecuación de continuidad de A 
 
 
 
(1)−δt
δCA = δz
δNA
 
 
 
δt
δCA = δδz x │ D ( A 1 −xA0C DAB δzδxA z=0 − C AB δzδxA) 
 
C δt
δxA = δδz x │ D ( A 1 −xA0C DAB δzδxA z=0 − C AB δzδxA) 
 
δt
δxA = δδz x │ D ( A DAB1 −xA0 δzδxA z=0 − AB δzδxA) 
Ecuación diferencial de segundo orden respecto de la posición z y de primer orden 
respecto del tiempo, cuyas condiciones límite son: 
 
t = 0 x​A​ = 0 (z=z) 
 z = 0 x​A​ = x​A0 
 z = ∞ x​A​ = 0 
Ecuación en la cual se adimensionaliza la fracción molar y se aplica un método de 
resolución de ecuación diferencial parcial en la cual se engloba en solamente una variable 
independiente los parámetros z y t, que es realidad es una longitud adimensional 
 
 ​y X = XAXA0 Z =
z
t√4DAB
 
Introduciendo una variable 𝝋 en el desarrollo del planteamiento del mecanismo para obtener 
de la ecuación diferencial total 
 
− │φ = 2
1 xA0
1− xA0 δz
δxA
z=0 
 
 
Se genera la ecuación diferencial siguiente 
 
δZ2
δ X2 + 2 (Z )− φ δZ
δX = 0 
 
Que ya se la puede escribir en términos de derivadas totales 
 
 
dZ2
d X2 + 2 (Z )− φ dZ
dX = 0 
Cuyas nuevas condiciones límite para resolver y encontrar la solución particular de la 
ecuación diferencial son: 
 
Z=0 X = 1 
Z= ∞ X = 0 
 
Resolviendo por integración directa, para una primera integración, en la cual: 
 
GdZ
dX = 
La ecuación diferencial se plantea como 
 
0 dZ
dG + 2 (Z )− φ G = 
sI 
 ​y (Z )− φ = l Z l d = d 
0 l G dl
dG + 2 = 
 
Qué integrando, se obtiene 
 
eG = c1 −l
2
 
 
dl
dX = ec1 −l
2
 
Integrando nuevamente 
 ​(la solución general)X = c1 ∫
l
0
dl e−l
2
+ c2 
para las condiciones límite 
 
 ; l − ; X Z = 0 = φ = 1 
 
 ​(A)1 = c1 ∫
−φ
0
dl e−l
2
+ c2 
 
; l ; X Z = ∞ = ∞ = 0 
 
0 = c1 ∫
∞
0
dl e−l
2
+ c2 
 
 ​(B)0 = c1 2
√π + c2 
 
de las ecuaciones (A) y (B), se obtienen las constantes 
c1 = 1
dl − ∫
−φ
0
e−l2
 
2
√π
 
y 
 
c2 = − 2
√π 1
dl − ∫
−φ
0
e−l2
 
2
√π
 
 
La solución particular: 
 
X = 1
dl − ∫
−φ
0
e−l2
 
2
√π
∫
l
0
dl e−l
2
− 2
√π 1
dl − ∫
−φ
0
e−l2
 
2
√π
 
 
 
X =
− −( 2√π)( 2√π)
dl − ∫
−φ
0
e−l2
 
2
√π
∫
l
0
dl e−l
2
− 2
√π 1
dl − ∫
−φ
0
e−l2
 
2
√π
 
 
dl X = − 1
− dl + 12√π ∫
−φ
0
e−l2
 
2
√π ∫
l
0
e−l
2
+ 1
− dl + 12√π ∫
−φ
0
e−l2
 
 
 X = 
1 − dl2√π ∫
l
0
e−l2
1 − dl 2√π ∫
−φ
0
e−l2
 
 X = 1 − erf l
1 −erf (−φ) 
 
 X = 1 − erf l
1 + erf (φ) 
 
finalmente 
 
 xAxA0 = 1 + erf (φ) 
1 − erf (Z−φ)