EJERCICIOS_DE_DINAMICA

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DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
CINEMATICA DE LA 
PARTICULA 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinemática de la Partícula 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 1 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
Si la montaña rusa empieza del 
reposo en A y su rapidez se 
incrementa en 
 at = (6 − 0.06s) m/s
2, 
determine la magnitud de su 
aceleración cuando pasa por el 
punto B donde s = 40 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
.
𝑑𝑠
𝑑𝑠
= (6 − 0.06𝑠) 
 
𝑣𝑑𝑣 = (6 − 0.06𝑠)𝑑𝑠 
 
∫ 𝑣 𝑑𝑣 =
𝑣
0
∫ (6 − 0.06𝑠)𝑑𝑠
𝑠
0
 
 
𝑣 = √12𝑠 − 0.06𝑠2 𝑚/𝑠 
 
Reemplazando 𝑠 = 40 𝑚, hallamos la velocidad 
𝑉𝐵 = √12(40) − 0.06(40
2) = 19.60 𝑚/𝑠 
 
Ahora hallamos el radio de curvatura 
𝑦 =
𝑥2
100
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
50
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
1
50
 
 
ρ =
[1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)
2]
3
2
| 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
|
=
[1 + (
𝑥
50
)2]
3
2
| 
1
50
|
 
 
Cuando x=30 
ρ =
[1 + (
30
50
)2]
3
2
| 
1
50
|
= 79.30 𝑚 
 
Aceleración: 
𝑎𝑡 = 6 − 0.06𝑠 = 6 − 0.06(40) = 3.6 𝑚/𝑠
2 
 
𝑎𝑛 =
𝑣2
ρ
=
19.602
79.30
= 4.842 𝑚/𝑠2 
 
Y la magnitud de la aceleración en B es 
𝑎 = √𝑎𝑡2 + 𝑎𝑛2 
𝑎 = √3.62 + 4.8422 
𝑎 = 6.03 𝑚/𝑠2 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinemática de la Partícula 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 1 CODIGO:130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
A partir del reposo el bote se 
desplaza alrededor de la 
trayectoria circular, ρ=50m, a una 
rapidez de 𝑣 = 0.8𝑡𝑚/𝑠, donde t 
está en segundos. Determine la 
magnitud de la velocidad y la 
aceleración cuando ha viajado 
20m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primero debemos encontrar el tiempo que demora 
en recorrer los 20m 
𝑑𝑠 = 0.8𝑡 𝑑𝑡 
 
∫ 𝑑𝑠
𝑠
0
= ∫ 0.8𝑡 𝑑𝑡
𝑡
0
 
 
𝑠 = 0.4𝑡2 
 
 Reemplazando s=20 y hallando el tiempo 
 
 𝑡 = 7.071 𝑠 
 
 Hallando la velocidad del bote en t=7.071 s 
 
𝒗 = 𝟎. 𝟖(𝟕. 𝟎𝟕𝟏) = 𝟓. 𝟔𝟓𝟕 𝒎/𝒔 
 
 La aceleración tangencial es 
 
 𝑎𝑡 = �̇� = 0.8 𝑚/𝑠
2 
 
 La aceleración normal se halla con la formula 
 
𝑎𝑛 =
𝑣2
ρ
=
5.6572
50
= 0.640 𝑚/𝑠2 
 
 La magnitud de la aceleración será: 
 
𝒂 = √𝒂𝒕
𝟐 + 𝒂𝒏
𝟐 = √𝟎. 𝟖𝟐 + 𝟎. 𝟔𝟒𝟐 
 
𝒂 = 𝟏. 𝟎𝟐𝟒 𝒎/𝒔𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinemática de la Partícula 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°:1 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
El automóvil viaja a una rapidez 
constante de 30 m/s. El conductor 
aplica entonces los frenos en A 
con lo cual su rapidez reduce a 
razón de 𝑎𝑡 = (−0.08𝑣)𝑚/𝑠
2, 
donde v esta en m/s. Determine 
la aceleración del automóvil un 
poco antes que pase por el punto 
C de la curva circular. Se requiere 
15s para que el automóvil recorra 
la distancia de A a C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
Usando: 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −0.08𝑣 
 
 
 
 
 
Usando v=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 30𝑒−0.08𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando t=15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La aceleración es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
CINETICA DE LA PARTICULA 
FUERZA-ACELERACION 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinética de la Partícula Fuerza-Aceleración 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 2 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
El embalaje tiene una masa de 80 
kg y lo remolca una cadena 
dirigida siempre a 20° desde la 
horizontal, como se muestra. Si la 
magnitud P se incrementa hasta 
que la grua comienza a deslizarse, 
determine la aceleración inicial 
del embalaje si el coeficiente e 
friccion estatica es μs = 0.5 y el de 
fricción cinetica es de μk =0.3 
 
 
 
 
Si la caja está a punto de deslizarse, entonces Ff = μsN = 0.5N 
y Ff’ = μkN’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
---1 
---2 
 
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 
P=353.29 N N=663.97 
 
La fuerza de fricción desarrollada entre la caja y su 
superficie de contacto es Ff = μkN = 0.3N ya que la 
caja se mueve 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinética de la Partícula Fuerza-Aceleración 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 2 CODIGO: 130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
Si el bloque A de 10 lb se desliza 
hacia abajo del plano a una 
velocidad constante cuando 
θ=30°, determinar su aceleración 
cuando θ=45° 
 
 
 
 
 
 
 
Los diagramas de cuerpo libre del bloque cuando 
θ=30° y θ=45° se muestran en la figura a y b 
Aquí, la fricción cinética Ff = μkN y Ff’ = μkN’ 
están obligados a actuar sobre el plano oponiéndose 
al movimiento del bloque que se dirige hacia abajo 
el plano para ambos casos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO 
Puesto que el bloque tiene una velocidad constante 
cuando θ=30° 
ax’ = a = 0 , también ay’ = 0, asi que escribimos: 
usando μk reemplazamos en la figura b 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinética de la Partícula Fuerza-Aceleración 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°: 2 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
La motocicleta de 800kg viaja a una rapidez 
constante de 80km/h cuesta arriba. 
Determine la fuerza normal que la 
superficie ejerce en sus ruedas cuando 
llega al punto A. Ignore su tamaño 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
Tenemos que averiguar el ángulo que forma el motociclista 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
TRABAJO Y ENERGIA DE LA 
PARTICULA 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Trabajo y Energía de la Partícula 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 3 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
La bola de 0.5 kg cuyo tamaño no 
importa, se lanza hacia arriba a 
través de la rampa circular vertical 
lisa por medio de un embolo de 
resorte comprimido 0.08m cuando 
s=0. Determine qué distancia se 
debe jalar s, y soltar de modo que 
la bola empiece a perder contacto 
con la rampa cuando θ=135° 
 
 
 
 
De las ecuaciones del movimiento: 
 
 
 
Por el principio de trabajo y 
energía: 
Aquí, el peso de la bola está 
siendo desplazada 
verticalmente por 
s=1.5+1.5sen45°=2.561 m 
Y por lo que se realiza trabajo negativo. 
La fuerza del resorte, está dada por: 
F=500(s+0.8) y el trabajo es positivo. 
 
Dado que la pelota está en reposo inicialmente 
TA=0, y aplicando las ecuaciones tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Trabajo y Energía de la Partícula 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 3CODIGO: 130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
Las canicas de 5 g de masa caen 
del punto de reposo en A a travez 
del tubo de vidrio y se acumulan 
en el recipiente en C. Determinar 
la distancia R del recipiente al 
extremo del tubo, y la rapidez a la 
cual las canicas caen en el 
recipiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por el principio de trabajo y 
energía tenemos: 
Para cuando la bola está a punto 
de salir del riel: 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el eje y 
𝑎𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 
9.81𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 
∫ 𝑎 𝑑𝑡 =
𝑡
0 ∫ 𝑑𝑣
𝑣
𝑣0
 
9.81𝑡 = 𝑣 
9.81𝑡 = 𝑣 
𝑣𝑑𝑡 = 𝑑𝑠 
∫ 𝑣 𝑑𝑡 =
𝑡
𝑡0 ∫ 𝑑𝑠
𝑠
0
 
9.81𝑡2
2
= 𝑠 + 2 
9.81𝑡2
2
− 2 = 𝑠 
Cuando s=0 
𝑡 = 0.6386𝑠 
 
 En el eje x 
𝑣𝑑𝑡 = 𝑑𝑠 
∫ 𝑣 𝑑𝑡 =
𝑡
𝑡0 ∫ 𝑑𝑠
𝑠
0
 
4.429𝑡 = 𝑠 
 
Cuando t=0.6386𝑠 
S=2.83=R 
 
Ahora aplicamos trabajo y energía en C para hallar su 
velocidad 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Trabajo y Energía de la Partícula 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°: 3 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
El ladrillo de 2 lb se desliza abajo del techo 
de modo que cuando está en A su 
velocidad es de 5 pies/s. Determine la 
rapidez del ladrillo justo antes de que deje 
la superficie en B, La distancia d de la pared 
hasta donde choca con el suelo. 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
Conservación de energía 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tenemos: 
 
 
 
 
Eje y: 
cuando y=0 
 
 
 
 
Eje X: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
IMPULSO Y CANTIDAD DE 
MOVIMIENTO DE LA 
PARTICULA 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cantidad de Movimiento de la Partícula 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 4 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
La masa de cada una de las 3 
bolas es m. Si la rapidez de A es v 
justo antes de una colisión directa 
con B, determine la rapidez 
después de la colisión. Coeficiente 
de restitución entre cada bola es 
e. Ignore el tamaño de cada bola. 
 
 
 
Conservación del Momento : Cuando la bola A 
golpea la bola B , tenemos 
 
Coeficiente de restitución 
 
Resolviendo la ecuaciones tenemos: 
 
Conservación del Momento : Cuando la bola B 
golpea la bola C , tenemos 
 
 
Coeficiente de restitución: 
 
 
 
Resolviendo las ecuaciones tenemos: 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cantidad de Movimiento de la Partícula 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 4 CODIGO: 130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
El tren se compone de una 
maquina E de 30 Mg y de los 
carros A, B y C, cuya masa es de 
15 Mg, 10 Mg y 8 Mg 
respectivamente, si las vías 
proporcionan una fuerza de 
tracción de F=30Kn, en las ruedas 
de la máquina, determine la 
rapidez del tren cuando t=30 s, a 
partir del punto de reposo. 
Además, determine la fuerza de 
acoplamiento horizontal en D 
entre la máquina E y el carro A. 
Ignore la resistencia al 
rodamiento. 
 
 
 
 
 
 
Principio de impulso y cantidad de movimiento 
Al referirse al diagrama de cuerpo libre del tren 
que se muestra en la Fig . a , podemos escribir: 
 
 
 
Utilizando este resultado y con referencia al 
diagrama de cuerpo libre del coche del tren 
muestra en Fig. b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cantidad de Movimiento de la Partícula 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°: 4 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
A la bola blanca A se le confiere una 
velocidad inicial de 
 (𝑣𝑎)𝑖 = 5 𝑚/𝑠. Si se choca directamente 
con la bola B(e=0.8), Determine la 
velocidad de B y el ángulo  justo después 
de rebotar en la banda en C(e’=0.6). Cada 
bola tiene una masa de 0.4 kg. 
 
 
 
SOLUCION 
- Durante el choque de A y B 
Conservación de la cantidad de movimiento 
 
 
 
 
 
Coeficiente de restitución 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desarrollando las ecuaciones tenemos: 
 
 
- Durante el choque de B y C 
Conservación de la cantidad de movimiento en el punto C eje Y 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de restitución en el eje X 
 
 
 
 
 
 
 
2.338 = (𝑣𝐵)3 cos  
Desarrollando tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
VIBRACIONES 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Vibraciones 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 5 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
 El sistema de resortes está 
conectado a una cruceta que 
oscila verticalmente cuando la 
rueda gira a una velocidad 
angular constante de 𝝎. Si la 
amplitud de la vibración de 
estado continuo es de 400 mm y 
cada uno de los resortes tiene 
una rigidez de k = 2500 N/m, 
determine los dos posibles 
valores de 𝝎 a que debe girar la 
rueda. La masa del bloque es de 
50 Kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En este caso: 𝑘𝑒𝑞 = 2𝑘 = 2(2500) =
5000 𝑁/𝑚 
 
 Por lo tanto, la frecuencia circular natural del 
sistema es: 
𝜔𝑛 = √
𝑘𝑒𝑞
𝑚
= √
5000
50
= 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
Entonces: 𝛿𝑂 = 0.2𝑚 y (𝑌𝑃)𝑚𝑎𝑥 = ±0.4 𝑚 
De modo que: 
(𝑌𝑃)𝑚𝑎𝑥 =
𝛿𝑂
1 − (
𝜔
𝜔𝑛
)
2 
 
±0.4 =
0.2
1 − (
𝜔
10
)
2 
 
𝜔2
100
= 1 ± 0.5 
 
Así: 
𝜔2
100
= 1.5 𝜔 = 12.2 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
O 
 
𝜔2
100
= 0.5 𝜔 = 7.07 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Vibraciones 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 5 CODIGO: 130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
El blanco de 3 kg se desliza libremente a lo 
largo de las guías horizontales lisas BC y DE, 
las cuales están “anidadas” en resortes, 
cada uno con rigidez de k= 9kN/m. Se 
dispara una bala de 60 gr con una 
velocidad de 900 m/s y se incrusta en el 
blanco, determine la amplitud y frecuencia 
natural de oscilación del blanco. 
 
 
 
 
 
 
 Solución 
Primero necesitamos conocer en qué caso de vibraciones nos 
encontramos en el siguiente problema, en nuestro caso estamos 
en vibraciones libre no amortiguada, ya que la bala solo actúa 
para dar velocidad y no se considera ningún otra fuerza externa 
senoidal ni hay amortiguamiento alguno, así que tenemos: 
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0 
Donde: 𝑤𝑛 = √
𝑘
𝑚
 
�̈� + 𝑤𝑛
2𝑥 = 0 
De donde tenemos la solución: 
𝑥 = 𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑛 𝑡 + ɸ) 
 
Ahora hallamos 𝑤𝑛 , como hay 2 resortes de 9000 N/m, entonces 
la constante elástica total es 2(9000N/m)=18000N/m. 
Así que la frecuencia natural circular del sistema es: 
𝑤𝑛 = √
𝑘
𝑚
= √
18000
3.06
= 76.7𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Hallamos la velocidad final, mediante la conservación de 
cantidad de movimiento: 
𝑚𝑏(𝑣𝑏) = (𝑚𝑏 + 𝑚𝑎)𝑣 
0.06(900) = (0.06 + 3)𝑣 
𝑣 = 17.65 
 
La ecuación que describe la oscilación del sistema es: 
𝑥 = 𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑛 𝑡 + ɸ) 
Pero en t=0, x=0, así que 0 = 𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛(ɸ) 
 
pero 𝐶 ≠ 0, así que 𝑠𝑒𝑛(ɸ) = 0, entonces ɸ = 0, así que 
tenemos: 
𝑥 = 𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛(76.7𝑡) 𝑚 
 
Derivamos la solución x en función al tiempo para hallar la 
velocidad: 
�̇� = 𝑣 = 70.6𝐶 ∗ 𝑐𝑜𝑠(76.7𝑡) 𝑚/𝑠 
 
Pero tenemos que v=17.65 cuando t=0, de allí afirmamos que: 
17.65 =70.6𝐶 ∗ 𝑐𝑜𝑠(0) 
𝐶 = 0.2301 𝑚 = 230 𝑚𝑚 
 
Siendo C la amplitud, y Wn la frecuencia natural. 
Rpta: 
La amplitud del sistema es: 230 mm 
La frecuencia natural del sistema es: 76.7 rad/s 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Vibraciones 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°: 5 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
 
- Un carrito que pesa 75N está unido a tres 
resortes y rueda sobre un plano 
inclinado, según se indica la figura. Las 
constantes de los resortes son 𝑘1 =
80 𝑁/𝑚, 𝑘2 = 90 𝑁/𝑚 y 𝑘3 = 270 𝑁/
𝑚. Si se desplaza el carrito hacia arriba 
del plano inclinado una distancia de 
55mm a partir de su posición de 
equilibrio y se suelta con una velocidad 
inicial de 350 mm/s hacia la parte 
superior del plano cuando t=0, 
determinar 
a) El periodo, la frecuencia y la 
frecuencia natural 
b) Posición del carrito en función del 
tiempo 
 
 
 
 
a) Equilibrio 
𝐹1 = 𝐾1𝑥1 𝐹2 = 𝐾2𝑥2 𝐹3 = 𝐾3𝑥3 
 
 
 
𝐾1𝑥1 + 𝐾2𝑥2 − 𝐾3𝑥3
− 𝑚𝑔 sin 15 = 0 
 
 
 
 Desplazando 55mm hacia arriba 
∑ 𝐹 ↗= 𝑚�̈� 
𝐾1(𝑥1 − 𝑥) + 𝐾2(𝑥2 − 𝑥) − 𝐾3(𝑥3 + 𝑥) − 𝑚𝑔 sin 15 = 𝑚�̈� 
(𝐾1𝑥1 + 𝐾2𝑥2 − 𝐾3𝑥3 − 𝑚𝑔 sin 15) − (𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3)𝑥 = 𝑚�̈� 
�̈� +
(𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3)
𝑚
𝑥 = 0 
𝑤𝑛
2 =
(𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3)
𝑚
 𝑓 =
𝑤𝑛
2𝜋
 𝑇 =
1
𝑓
 
𝑤𝑛
2 =
440
5.097
 𝑓 =
9.291
2𝜋
 𝑇 =
1
1.479
 
𝑤𝑛 = 9.291
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 𝑓 = 1.479 𝐻𝑧 𝑇 = 0.695 𝑠 
 
b) Desarrollando la ecuación diferencial tenemos: 
𝑥 = 𝐴 sin 𝑤𝑛𝑡 + 𝐵 cos 𝑤𝑛𝑡 
𝑥 = 𝐴 sin(9.291𝑡) + 𝐵 cos(9.291𝑡) … . . . (1) 
𝑣 = �̇� = 9.291𝐴 cos(9.291𝑡)
+ 9.291𝐵 sin(9.291𝑡) … … (2) 
 
- Cuando t=0 y x = 55mm en (1) 
55 = 𝐴(0) + 𝐵(1) 
𝐵 = 55 
 
- Cuando t=0 y v=350mm/s en (2) 
350 = 9.291(𝐴)(1) − 9.291(55)(0) 
𝐴 = 37.671 
𝑥(𝑡) = 37.671 sin(9.291𝑡) + 55 cos(9.291𝑡) 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
CINEMATICA DEL SOLIDO 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinemática del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 6 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
La barra AB tiene el movimiento 
angular que se muestra. Determine 
la aceleración del collarín en C en 
este instante 
 
 
 
 
 SOLUCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinemática del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 6 CODIGO:130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
si el volante A gira con una 
velocidad angular de ωA=10 rad/s, 
determine la velocidad angular de 
la rueda B en el instante que se 
mueve. 
 
 
 
 
 
 
Rotación alrededor de un eje fijo con referencia a las figuras A y 
B 
 
Movimiento del Plano General: La ubicación de la IC para la 
barra de CD se indica en la figura c . desde 
la geometría de esta figura , obtenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, la velocidad angular de la varilla de CD puede 
determinarse a partir 
 
Entonces: 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinemática del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°: 6 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
 
 
SOLUCION 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
INERCIA DEL SOLIDO 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Inercia del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 7 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
Determine el momento de inercia de masa 
del péndulo con respecto a un eje 
perpendicular a la página que pasa por el 
punto O. La masa de la barra es de 10 kg y 
la de la esfera es de 15 kg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
Determinamos el momento de inercia respecto al punto O de la 
barra OA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinamos el momento de inercia respecto al punto O del 
circulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumamos los 2 momentos de inercia y obtenemos 
∑ 𝐼𝑂 = 5.2725 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Inercia del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 7 CODIGO: 130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
Determine el momento de inercia 
del ensamblaje con respecto a un 
eje perpendicular a la página y 
que pasa por el punto O. El peso 
específico del material es ɣ=90 
lb/pie3. 
 
 
 
Primero hallaremos el momento de inercia en el 
centro de gravedad del sólido, del cual podemos 
distinguir en la figura 2 solidos distintos, uno de 1 
pie de ancho, y otro de 0.25 pies de ancho, así que 
lo sumaremos los dos momentos de inercia en el 
centro de gravedad 
 
 
 
 
 
Mediante el teorema, podemos mover el momento 
de inercia al punto O como nos indica el problema, 
asi que aplicamos la formula y obtenenmos el 
momento en el punto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Inercia del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°: 7 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
Determine el momento de 
inercia de masa de la 
placa con respecto a un 
eje perpendicular a la 
página que pasa por el 
punto O. La masa del 
material por unidad de 
área es de 20 kg/m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
Dividiremos el problema en 2 partes: 
Hallamos el momento de inercia respecto al punto O de 
cada parte 
 
 
 
 
- Momento de inercia de la figura 1 
 
 
 
 
 
 
- Momento de inercia de la figura 2 
 
 
 
 
 
Restando los momentos de inercia 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
CINETICA DEL SOLIDO 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinética del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 8 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
La carretilla de mano tiene una 
masa de 200kg y centro de masa 
en G. Determine las reacciones 
normales de cada uno de las dos 
ruedas en A y B si se aplica una 
fuerza de P=50N a la manivela. 
Ignore la masa de las ruedas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinética del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 8 CODIGO: 130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
El embalaje tiene una masa de 50 kg y 
descansa sobre la plataforma inclinada 
de la carretilla. Determine la 
aceleración mínima que hará queel 
embalaje se voltee o se deslice con 
respecto a la carretilla. ¿Cuál es la 
magnitud de esa aceleración? 
 
 
 
 
 Ecuaciones de movimiento : Se supone que la caja se 
desliza , a continuación, Ff = μs N = 0.5N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolviendo las ecuaciones 1, 2 y 3 
 
 
 
 
Como x<0.3, la caja se desliza y no se voltea 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Cinética del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°: 8 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
La masa del disco es de 20 kg y en 
principio gira en el extremo del puntal 
a una velocidad angular de w=60 
rad/s. Si luego se coloca contra la 
pared, donde el coeficiente de fricción 
cinética es k=0.3, Determine el 
tiempo requerido para que se detenga 
el movimiento ¿Cuál es la fuerza en el 
puntal BC durante este tiempo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumatoria de fuerzas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumatoria de momentos respecto a B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
TRABAJO Y ENERGIA DEL 
SOLIDO 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Trabajo y Energía del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 9 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
 
La escalera de 30 lb se coloca contra la 
pared a un ángulo de =45° como se 
muestra. Si se suelta desde el punto de 
reposo, determine su velocidad angular en 
el instante justo antes que =0. Ignore la 
fricción y suponga que la escalera es una 
barra delgada uniforme 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SOLUCION 
 
 
 
Energía cinética en el 
punto 1: T=0 
 
 
Momento de inercia de la barra 
 
 
 
 
Energía Cinética en el punto 2: 
 
 
 
 
 
 
 
Trabajo del Peso: 
 
 
 
Principio de Trabajo y Energía 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Trabajo y Energía del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 9 CODIGO: 130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
Si la barra de 6 kg se suelta desde el punto 
de reposo θ=30°, determine su velocidad 
angular cuando θ=0°. El resorte conectado 
tiene una riguidez de k=600N/m, con una 
longitud no alargada de 300 mm. 
 
 
 
 Energía potencial : Con referencia 
al punto cero en la Fig a, la energía 
potencial gravitatoria de la varilla en 
las posiciones ( 1 ) y ( 2 ) es: 
 
 
 
El alargamiento del resorte, cuando la varilla se encuentra 
en las posiciones ( 1 ) y ( 2 ) 
 
 
Así, la energía potencial elástica del resorte inicial y final es: 
 
 
 
 
 
 
 
Asi: 
 
 
 
Puesto que la varilla está inicialmente en reposo , T=0 
 
 
Conservación de la energía: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Trabajo y Energía del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°: 9 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
El carrete pesa 150 lb y su radio de 
giro kO=2.25 pies. Si se enrolla una 
cuerda alrededor de su núcleo 
interno y el extremo se jala con una 
fuerza horizontal de P=40 lb, 
determine su velocidad angular 
después de que el centro O ha 
recorrido 10 pies a la derecha. El 
carrete comienza a moverse del 
reposo y no se desliza en A cuando 
rueda. Ignore la masa de la cuerda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
La velocidad en el punto O es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuanto se ha desplazado P cuando el centro O se ha desplazado 10 pies 
a la derecha aplicando semejanza de triángulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
El momento de inercia del carrete es 
 
 
 
Principio de trabajo y energía 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gal lo 
Escuela Profesional de Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
A 
GRUPO 1 
 
IMPULSO Y CANTIDAD DE 
MOVIMIENTO DEL SOLIDO 
 
Integrantes 
 
Clave 
1.1Gonzales Torres, Jorge Luis (ret irado) 
1.2Sanchez Vásquez, Nixon Alex 
1.3Fernández Rubio, Alex Shamir 
1.4Gomez Julca, Carlos Rafael Joseph 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Impulso y Cantidad de Movimiento del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Sánchez Vásquez Nixon Alex 
CONTROL DE LECTURA N°: 10 CODIGO: 138503B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.2 
 
El cilindro de 50 kg tiene una 
velocidad angular de 30 rad/s 
cuando se pone en contacto con 
la superficie horizontal en C. Si el 
coeficiente de fricción cinética es 
c=0.2, determinar cuánto 
tiempo le llevara al cilindro dejar 
de girar ¿Que fuerza se desarrolla 
en el brazo AB durante este 
tiempo? El eje que pasa a través 
del cilindro está conectado a dos 
eslabones simétricos. Para el 
cálculo, ignore el peso de los 
eslabones 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION 
 
Trazamos diagrama de 
cuerpo libre: 
 
 
 
 
 
 
 
Hallamos el momento de inercia del cilindro: 
 
 
 
Principio de Impulso y cantidad de movimiento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Impulso y Cantidad de Movimiento del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Fenández Rubio Alex Shamir 
CONTROL DE LECTURA N°: 10 CODIGO: 130438G FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.3 
 
La raqueta de tenis de 1.25 lb tiene su 
centro de gravedad en G y un radio de giro 
con respecto a G de kG=0.625 pie. 
Detwerminar la posición P donde la bola 
debe ser golpeada de modo que no se 
sienta “ninguna sensación de aguijoneo” 
en la mano que sostiene la raqueta, es 
decir, que la fuerza horizontal ejercida por 
la raqueta en la mano sea cero 
 
 
 
 
 
 
Principio del impulso y cantidad de movimiento : Aquí, vamos a 
suponer que la raqueta de tenis esta inicialmente en reposo y 
gira alrededor del punto A con una velocidad angular de ω 
inmediatamente después de ser golpeado por la pelota, que 
ejerce un impulso de ∫ 𝐹 𝑑𝑡 en la raqueta. El momento de inercia 
de la raqueta alrededor de su centro de gravedad es : 
 
 
 
Desde la raqueta sobre el punto A 
 
 
 
 
 
 
Y 
 
 
Resolviendo las ecuaciones tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
DINÁMICA 
Ing.Msc Yrma Rodríguez Llontop 
TEMA: Impulso y Cantidad de Movimiento del Solido 
NOTA: 
ALUMNO: Gómez Julca Carlos Rafael Joseph 
CONTROL DE LECTURA N°: 10 CODIGO: 135129B FECHA: 23/03/2015 CLAVE: 1.4 
 
 
El volante A de 30lb tiene un radio de 
giro con respecto a su centro de 4 pulg. 
El disco B pesa 50 lb y esta acoplado al 
volante por medio de una banda que no 
se desliza en sus superficies de 
contacto. Si un motor proporciona una 
par de torsión en sentido contrario al 
de las manecillas de reloj de M= 50t 
lb.pie, donde t está en segundos, 
determine el tiempo requerido para 
que el disco alcance una velocidad 
angular de 60 rad/s a partir del reposo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUCION