Ejercicios Propuestos de Espacios Vectoriales

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ESPACIOS VECTORIALES
Coloque V o F; según considere sea Verdadero o Falso, respectivamente.
1) ( , +, . , ) es un espacio vectorial.---2)Todo subconjunto de un espacio vectorial, es un subespacio vectorial.----
3) Un conjunto de vectores es Linealmente Dependiente, si al expresar como C.L de ellos el vector nulo, lo podemos
hacer de dos o más formas.----
4) Si 1 1 + 2 2 + ⋯+ = , entonces los “r” vectores son L.I.----
5) Si en R4, tomo tres vectores entonces este conjunto de vectores es L.I.---
6) Si en R4, tomo tres vectores linealmente independientes, entonces estos vectores generan R4.------
7) Un subconjunto de vectores linealmente independiente puede contener dos vectores proporcionales. ----
8) Todo subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independiente es a su vez LI. ----
9) Un sistema generador de un EV no puede contener el mismo número de vectores que una base del espacio. ----
10) El rango de una base de un espacio vectorial coincide con la dimensión de dicho espacio. ----
11) Si A= {u, v,w} son vectores de R3, entonces A es necesariamente un conjunto generador de R3. -----
12) Si el vector u es combinación lineal de los vectores v y w, entonces w es combinación lineal de u y v. ----
13) Si un SEV de R3 no contiene a ninguno de los vectores de la base canónica de R3, entonces V =  0 . ------
14) La dimensión del espacio vectorial real M3×2(R) es 3+ 2.-----
15) El conjunto  Tx AAMAS  /22 es un subespacio vectorial de M2×2(R) de dimensión 3.----
16) No existen sistemas generadores de R4 formados por 6 vectores.-----
17). Todo sistema libre de un espacio vectorial real V, es base de V.___
18) Si S = {(a + c, a − b, b + c, 0)/a, b, c " R}, entonces dimS = 3.____
19) Si {u1, u2, . . . , un}y {v1, v2, . . . , vm} son dos bases distintas de un mismo espacio ve
20) Los vectores de R4 siguientes: (1, 2, 1, 0); (1, 3, 3, 1); (1, 4, 6, 4); (1, 5, 10, 5); (1, 6, 15, 15) son linealmente
independientes.___
21) El conjunto   0/,, 22  yxzyxS es un subespacio vectorial de R3.____
22) Un conjunto de vectores {u1, u2, u3, u4} es linealmente independiente si para
a = b = c = d = 0 se tiene: a · u1 + b · u2 + c · u3 + d · u4 = 0 . _____
23) Sea   acbdadcbaS  ;0/,,, Entonces dimS = 2.-----
24) Si en R5, tomo 4 vectores linealmente independientes, entonces estos generan un Hiperplano de R5.----
25) Una recta que pasa por el origen en R3, es un subespacio de dimensión uno.----
26) Las coordenadas de cada vector del espacio V, respecto de cada base del espacio V, son únicas.-----
27) El vector coincide con el vector de coordenadas en Rn, si en Rn tomamos como base la canónica.-----
28) Si S1 y S2 son subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial real V, entonces 21 SS  es también
subespacio vectorial de V.
29) Si F y G son subespacios de un EV, entonces ∩ ; + ; son SEV de V.-----
30) En la suma directa entre + , cada vector tiene al menos dos sumas para un mismo vector.----
31)Si A={ 1, 2, 3} y B={ 1, 2, 3, 4, 5}, entonces espacio generado por A es un subconjunto del espacio
generado por B. ---------
32) Si dos espacios son generados por distinta cantidad de vectores, entonces no pueden tener la misma dimensión.-
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33) Un conjunto de vectores generan V, entonces al colocarlos como filas de una matriz a dichos vectores y llevarlos
a la forma escalonada, los vectores no nulos forman una base de V.------
34) Si A= { 1, 2, . . . , } son vectores de Rn. Entonces el espacio generado tiene dimensión igual o menor a r. -----