MAT 103 EXAMENES RESUELTOS

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MAT 103 
EXAMENES RESUELTOS 
 
Julio Cesar Uberhuaga Conde 
1ra EDICION 
2012 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 1 -
 
 
 
PRIMEROS EXAMENES PARCIALES 
TEMAS: 
CAPITULO 1: MATRICES Y DETERMINANTES 
CAPITULO 2: SISTEMAS DE ECUACIONES 
LINEALES 
 
 
INDICE 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2007 ............................................................................ - 2 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2008 ........................................... - 7 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I / 2008 ........................................................................... - 11 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE INVIERNO 2008 ....................................... - 15 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2008 .......................................................................... - 18 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2009 ......................................... - 21 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I/2009 ............................................................................. - 24 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2009 .......................................................................... - 27 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2010 ......................................... - 30 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I / 2010 ........................................................................... - 33 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE INVIERNO 2010 ....................................... - 36 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2010 .......................................................................... - 41 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2011 ......................................... - 44 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I / 2011 ........................................................................... - 48 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE INVIERNO 2011 ....................................... - 50 - 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2011 .......................................................................... - 53 - 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 2 -
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2007 
 
 1. Hallar la inversa de la matriz D si: D A B= ⋅ donde las matrices A y B están generadas 
 por: 
 
5
3 3
0
 
A
 
i ji j si
i jsi
−
×
≤ ⋅ 
=  > 
 
5
3 3
0
 
B
 
i ji j si
i jsi
×
≥ ⋅ 
=  < 
 
 
Solución: Primero generemos las matrices A y B : 
 
Para A vemos por la condición de jisi > 0 , es una matriz triangular superior: 










=
333231
232221
131211
A
aaa
aaa
aaa










=
33
2322
131211
00
0
a
aa
aaa










=
−
−−
−−−
5
55
555
3*300
3*22*20
3*12*11*1










=
−
−−
−−
5
55
55
3*300
3*22*20
321
 
Para B vemos por la condición de jisi < 0 , es una matriz triangular inferior: 










=
333231
232221
131211
B
bbb
bbb
bbb










=
333231
2221
11
0
00
bbb
bb
b










=
3*32*31*3
02*21*2
001*1
555
55
5










=
3*32*33
02*22
001
555
55 
Hallamos D con el producto de A por B : 




















==
−
−−
−−
3*32*33
02*22
001
3*300
3*22*20
321
B*AD
555
55
5
55
55
 










++
+++
=
−−−
−−−−−
−−−−−
3*3*3*32*3*3*33*3*3
3*3*3*22*3*3*22*2*2*23*3*22*2*2
3*3*32*3*32*2*23*32*21*1
D
555555
5555555555
5555555555
 










++
+++
=
3*32*33
3*22*22*222
322111
D  










=
963
684
343
D 
Hallamos la inversa por el método de la adjunta: 
 
Calculemos el determinante por el método de CHIO: 
 
963
684
343
 D = = 
963
002
343
 − aplicando cofactores en la segunda fila: 
 2212 fff →+− 
( ) ( )3*69*42 
96
34
 12 D 
12 −=−−= +  36 D = 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 3 -
 
Hallemos la matriz de cofactores: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 

















−−−
−−−
−−−
=
+++
+++
+++
 
84
43
 1 
64
33
 1 
68
34
 1
 
63
43
 1 
93
33
 1 
96
34
 1
 
63
84
 1 
93
64
 1 
96
68
 1
332313
322212
312111
C  










−
−−
−
=
860
61818
01836
C 
La matriz adjunta será: ( ) tCadj =D : ( )










−
−−
−
=
860
61818
01836
Dadj 
Finalmente la inversa de D será: ( )D
 D 
1
D
1
adj=− : 










−
−−
−
=−
860
61818
01836
36
1
D 1 
 
 
 2 Dadas las matrices 





−
−
=
413
132
A y 





=
010
001
B encuentre las matrices C y D 
 provenientes de realizar operaciones elementales de modo que: CAD=B 
 
Solución: Como C y D son matrices que provienen de realizar operaciones elementales estas deben 
ser cuadradas. Analizamos su tamaño de modo que sean conformables con A : 
 
32333222 BDAC ×××× = 
Vayamos realizando operaciones elementales en la matriz A hasta obtener B: 
 






−
−
413
132
 = 





−
−
413
11011
 = 





− 413
101
 = 





−110
101
 = 





010
101
 = 





010
001
 
1123 fff →+ 11
11
1
ff → 2213 fff →+− 332 CCC →+ 331 CCC →+− 
Aplicando las operaciones elementales realizadas a la matriz A en la matriz identidad obtendremos 
las matrices elementales: 
 
Ahora vemos que la matriz C como se multiplica por izquierda es el producto de las matrices 
elementales de operaciones realizadas por filas. 
 
Para C: 






10
01
  





=
10
31
1E ; 








=
10
0
11
1
2E ; 





−
=
13
01
3E 
123C EEE=  



















−
=
10
31
10
0
11
1
13
01
C  










−
=
11
2
11
3
11
3
11
1
C 
 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 4 -
 
Ahora vemos que la matriz D como se multiplica por derecha es el producto de las matrices 
elementales de operaciones realizadas por columnas. 
 
Para D: 
 










100
010
001
  










=
100
110
001
1E ; 










=
100
010
101
2E 
 
21D EE=  




















=
100
010
101
100
110
001
D  










=
100
110
101
D 
 
Comprobando: CAD=B  





=
















−
−










− 010
001
100
110
101
413
132
11
2
11
3
11
3
11
1
 
 
 3 Hallar los valores de “x” que hacen que la matriz F sea singular: 












=
x
x
x
x
F
100
530
035
001
 
 
Solución:Una matriz A es singular si 0A = , hallemos el determinante de la matriz F por el 
método de CHIO: 
 
100
530
035
001
 
x
x
x
x
F = 
100
533
035
0010
 
2
x
xx
xx
−
−
= Aplicando cofactores en la primera fila: 
 112 CCxC →+− 
 
( ) 
10
53
035
 11 
2
21
x
xx
x
F −
−
−= + seguimos realizando el proceso de CHIO pero como trabajamos con el 
 
termino 1 en la anterior reducción es aconsejable seguir con este por la característica de la matriz: 
 
( ) 
10
53
035
 11 
2
3
x
xx
x
F −
−
−= 
10
503
305
 1 2
2
x
xx
xx
−−
−−
−= aplicando cofactores en la tercera fila: 
 
113
223
3 fff
ffxf
→+−
→+−
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 5 -
 
 
 
 
 
 
 
( )








−−
−−
−−= + 
53
35
 111 
2
2
32
xx
xx
F ( )( ) ( ) ( )( )222 3511 xx −−−−= operando la diferencia de cuadrados: 
 
( )( )xxxxF 3535 22 +−−−= igualando a cero para que sea singular: ( )( ) 03535 22 =+−−− xxxx 
 
Resolviendo tenemos cuatro soluciones: 
 
 
2
29+3=x ; 
2
29−3=x ; 
2
29+3−=x ; 
2
29−3−=x 
 
 
 4 Discutir en el sistema de ecuaciones los valores de “a” que logran que el sistema sea: 
 a) Consistente determinado, b) Consistente indeterminado, c) Inconsistente. 
 
( )
( )
( ) 44422
42244
34224
=++−
=−++
+=+−+
zyxa
zayx
azyax
 
 
Solución: Escribiendo la ecuación es su forma matricial: 
 
 









 +
=




















−
−
−
4
4
3
4422
2244
4224 a
z
y
x
a
a
a
  BAX= primero hagamos que exista solución única 
para lo cual igualamos a cero el determinante de la matriz de coeficientes y obtendremos los valores 
de a: 
 
=A 
4422
2244
4224
 
−
−
−
a
a
a
( )
 
26
4
22
40
62260
4224
 
2
a
a
aa
a
−−−
−−
−
= aplicando cofactores en la primera 
columna 
 
331
221
4
22
fff
a
fff
→+−−
→+−
 
( ) ( ) 2614
6226
 14A 2
11
aa
aa
−−−
−−
−= + ( ) ( ) ( )( )[ ]22 1462264 −−−−−= aaa ( ) ( )( )21426264 −−+−−= aaa 
 
 
( )( ) ( )( ) ( )( )( )aaaaaaaaa +−−=−−=−+−+−−= 3338926412426264A 22 igualado a cero: 
 
tenemos: 3=a ; 3−=a reemplazando estos valore en nuestra matriz aumentada y luego 
 
escalonando vemos que comportamiento toma el sistema de ecuaciones 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 6 -
Para 3=a : 
 
 










−=










−
−=










0000
2000
6444
2000
2000
4444
4444
4444
6444
 inconsistencia 
331
221
fff
fff
→+−
→+−
 332 fff →+− 
 
Para 3−=a : 
 










−
−
−
=










−
−
−
=










−
−
−
8000
4440
0484
412120
4440
0484
4448
4844
0484
 
 
331
221
2 fff
fff
→+
→+−
 3323 fff →+− 
 
Podemos concluir que: 
 
a) Consistente determinado 33 −≠∧≠ aa 
b) Consistente indeterminado ∃ a 
c) Inconsistente 33 −=∧= aa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
inconsistencia
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 7 -
 
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2008 
 
 
 1 Si A y B son matrices cuadradas de orden n y poseen inversa demostrar: 
 
( ) ( ) ( ) ( )BAABABAABA 11 +−=−+ −− 
 
Solución: Partimos de la igualdad: ( ) ( ) ( ) ( )BAABABAABA 11 −+=−+ −− 
Distribuyendo 
1A − ( ) ( ) ( )[ ]BAAABABAABA 111 ⋅−⋅+=−+ −−− 
Sabemos que: IAAAA 11 =⋅=⋅ −− ( ) ( ) ( )[ ]BAIBABAABA 11 ⋅−+=−+ −− 
Distribuyendo ( )BA + ( ) ( ) ( ) ( ) BABAIBABAABA 11 ⋅⋅+−⋅+=−+ −− 
Distribuyendo BA 1 ⋅− ( ) ( ) ( ) BABBAABABAABA 111 ⋅⋅−⋅⋅−+=−+ −−− 
Aplicando IAA 1 =⋅ − ( ) ( ) ( ) BABBIBABAABA 11 ⋅⋅−⋅−+=−+ −− 
Aplicando BIIB ⋅=⋅ ( ) ( ) ( ) BABIBBABAABA 11 ⋅⋅−⋅−+=−+ −− 
Aplicando convenientemente IAA 1 =⋅− ( ) ( ) ( ) BABAABBAIBAABA 111 ⋅⋅−⋅⋅−+⋅=−+ −−− 
Factorizando 
1AB −⋅ ( ) ( ) ( ) ( )BAABBAIBAABA 11 +⋅⋅−+⋅=−+ −− 
Factorizando ( )BA + por derecha ( ) ( ) [ ] ( )BAABIBAABA 11 +⋅⋅−=−+ −− 
De nuevo IAA 1 =⋅ − ( ) ( ) [ ] ( )BAABAABAABA 111 +⋅⋅−⋅=−+ −−− 
 
Factorizando 
1A − por derecha ( ) ( ) ( ) ( )BAABABAABA 11 +−=−+ −− 
 
 
 2 Hallar la forma general de las matrices cuadradas de orden 2 que satisfagan: IA2 = . 
 
Solución: Sea 





=
dc
ba
A multiplicando por si misma 





++
++
=











=
2
2
2A
dbcdcac
bdabbca
dc
ba
dc
ba
 
 
Como es la forma general de una involutiva: IA2 =  





=





++
++
10
01
2
2
dbcdcac
bdabbca
 
Igualando elemento por elemento: 
12 =+bca  
b
a
c
2
1−= 
0=+ bdab  ( ) 0=+ dab  0≠b  ad −= 
0=+ dcac  ( ) 0=+ dac 0=c ∨ ad −= 
12 =+ dbc  
b
d
c
2
1−= 
Concluimos que: 
b
a
c
2
1−= ; ad −= ; aa = ; bb = . 
 
 








−−= a
b
a
ba
21A { }0IR −∈∀b
IR∈∀a
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 8 -
 
 
 
 
 3 Encuentre por el método de operaciones elementales (matriz triangular) el determinante de: 
4 6 2 8
0 2 0 0
A
3/ 2 7 / 2 1/ 2 1
4 1 3 8
− 
 − =
 −
 −  
 
Solución: Escalonando la matriz obtendremos una matriz equivalente: 
4 6 2 8
0 2 0 0
3/ 2 7 / 2 1/ 2 1
4 1 3 8
− 
 − 
 −
 − 
4 6 2 8
0 2 0 0
3 7 1 2
4 1 3 8
− 
 − →
 −
 − 
1 13 3 6
0 2 0 0
3 7 1 2
1 6 2 6
− 
 − →
 −
 − − 
1 13 3 6
0 2 0 0
0 46 10 16
0 7 5 0
− 
 − →
 − −
 − 
 
3 32 f f→ 
3 1 1
3 4 4
f f f
f f f
− + →
− + →
 
1 3 3
1 4 4
3 f f f
f f f
− + →
− + →
 
2 3 3
2 4 4
 23
7 / 2
f f f
f f f
+ →
+ →
 
1 13 3 6
0 2 0 0
0 0 10 16
0 0 5 0
− 
 − →
 − −
 − 
1 13 3 6
0 2 0 0
0 0 10 16
0 0 0 8
− 
 − →
 − −
 
 
 
 3 4 41/ 2 f f f− + → 
El determinante será el producto de la diagonal principal: 
 
( ) ( )( )( ) B 1 2 10 8= − −  B 160= 
Analizamos la operaciones realizadas, se multiplico por un escalar 3 32 f f→ por lo tanto 
 
 B 2 A =  80A = 
 
 4 Sabiendo que 
2 4 3
A= 0 1 1
2 8 1
 
 
 
 − 
 , ( )x , ,t x y z= . Resolver x A xt t⋅ = 
Solución: Aplicando traspuesta al sistema: x A xt t⋅ =  A x x
t ⋅ =  ( )A I x 0t − ⋅ = 
El sistema homogéneo será: 
2 4 3 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
2 8 1 0 0 1
t
x
y
z
      
      − ⋅ =      
      −      
  
1 0 2
4 0 8 0
3 1 2
x
y
z
   
   ⋅ =   
   −   
 
Analizamos la matriz de coeficientes: 
1 0 2
1 2
 4 0 8 1 0
4 8
3 1 2
= ⋅ =
−
 la inversa existe 
 
 
0
0
0
x
y
z
   
   =   
       
MAT 103 EXAMENES RESUELTOSING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 9 -
 
 
 
 
 5 Sea 
0 1 0
A= 1 0 2
0 2 0
 
 − − 
  
 y ( ) ( ) 1B I A I A −= − + , verificar que 1B Bt− = 
 
Solución: Construimos la matriz B: ( )
1 0 0 0 1 0 1 1 0
I A 0 1 0 1 0 2 1 1 2
0 0 1 0 2 0 0 2 1
−     
     − = − − − =     
     −     
 
( )
1 0 0 0 1 0 1 1 0
I A 0 1 0 1 0 2 1 1 2
0 0 1 0 2 0 0 2 1
     
     + = + − − = − −     
          
  ( ) 1
5 1 2
1
I A 1 1 2
6
2 2 2
−
− − 
 + =  
 − − 
 
1 1 0 5 1 2 4 2 4
1 1
B 1 1 2 1 1 2 2 4 4
6 6
0 2 1 2 2 2 4 4 2
− − − − −     
     = ⋅ = −     
     − − − − − −     
  
t
4 2 4
1
B 2 4 4
6
4 4 2
− 
 = − − − 
 − − 
 
Multiplicando: t
4 2 4 4 2 4 1 0 0
1 1
B B 2 4 4 2 4 4 0 1 0 I
6 6
4 4 2 4 4 2 0 0 1
− − −     
     ⋅ = − − − − = =     
     − − − − −     
  
1B Bt− = 
 
 6 En el sistema: 
1
1
ax y z
x ay z b
x y az
+ + =
+ + =
+ =
, determinar los valores de a y b de manera que el 
 sistema sea: a) Determinado, b) Indeterminado, c) Inconsistente. 
 
Solución: En forma matricial el sistema es: 
1 1 1
1 1
1 1 1
a x
a y b
a z
     
     =     
          
  BAX= primero hagamos 
que exista solución única para lo cual igualamos a cero el determinante de la matriz de coeficientes y 
obtendremos los valores de a: 
 
=A 
1 1
 1 1 
1 1
a
a
a
( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1 0 1 1
1 1
 1 1 0 1 1 1 1 2
1 1
1 1 1 1
a a a
a
b a a a a a a
a a
− −
+
= = − − = − = − +
−
 
Igualado a cero tenemos: 1a = ; 2a = − , reemplazando en la matriz aumentada y luego escalonando 
vemos que comportamiento toma el sistema de ecuaciones 
 
Para 1a = : 
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 1
1 1 1 1 0 0 0 0
b b
   
   = −   
      
 inconsistencia 
 
1 2 2
1 3 3
f f f
f f f
− + →
− + → 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 10 -
 
 
Para 2a = − : 
2 1 1 1 0 3 3 3 0 0 0 2
1 2 1 0 3 3 1 0 3 3 1
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
b
b b b
− − +     
     − = − − = − −     
     − − −     
 
 3 2 2
3 1 12
f f f
f f f
− + →
+ → 
2 3 3f f f+ → 
Resumiendo: 
 
a) Sistema determinado baa ∀−≠≠ ,2,1 
b) Sistema indeterminado 11 =∧= ba ; 22 −=∧−= ba 
c) Sistema inconsistente 11 ≠∧= ba ; 22 −≠∧−= ba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
inconsistencia 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 11 -
 
 
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I / 2008 
 
 
 1 Calcular 
2 2
X Y− siendo 
2 1
1 2
X Y
 
+ =  − 
; 
0 1
3
1 0
X Y
 
− =  
 
 
 
Solución: Se presenta un sistema de ecuaciones en el cual las incógnitas son X , Y : 
2 1
.................(1)
1 2
0 1
3 ..................(2)
1 0
X Y
X Y
  
+ =  −  

  − =    
 
 
Sumando (1) y (2): 
2 1 0 1
3
1 2 1 0
X X
   
+ = +   −   
  
2 2
4
2 2
X
 
=  − 
  
1 11
1 12
X
 
=  − 
 
 
Reemplazando X en (1): 
1 1 2 11
1 1 1 22
Y
   
+ =   − −   
  
3 11
1 32
Y
 
=  − 
 
 
La expresión pedida será: 2 2
1 1 1 1 3 1 3 11 1 1 1
1 1 1 1 1 3 1 32 2 2 2
X Y X X Y Y
       
− = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅       − − − −       
 
 
2 2
2 0 10 01
0 2 0 104
X Y
    
− = −    
    
  2 2
2 0
0 2
X Y
− 
− =  −  
 
 
 2 Hallar las matrices elementales P y Q tal que: P A Q D⋅ ⋅ = , donde: 
 
3 4 2
= 4 5 1
2 1 7
A
 
 − 
 − 
 
1 0 0
= 0 7 0
0 0 2
D
 
 − 
 − 
 
 
Solución: Realizamos operaciones elementales a la matriz A: 
 
3 4 2 1 5 5 1 5 5 1 5 5 1 5 5
= 4 5 1 0 7 15 0 7 15 0 7 15 0 7 15
2 1 7 2 1 7 0 11 17 0 0 46 / 7 0 0 2
A
− − − −         
         − → − → − → − → −         
         − − − − −         
 
 
3 1 1f f f− + → 1 3 32 f f f− + → ( ) 2 3 311/ 7 f f f+ → ( ) 21 f− 1 2 25C C C− + → 
 3 2 2
2 f f f− + → ( ) 37 / 23 f 
1 3 35C C C+ →
1 0 0 1 0 0
0 7 15 0 7 0
0 0 2 0 0 2
A D
   
   → − → − =   
   − −    
 
( ) 1 3 315/ 7 C C C+ → 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 12 -
 
 
De acuerdo con las operaciones elementales se generan las matrices elementales:
 
 
 
6 5 4 3 2 1 1 2 3
E E E E E E AF F F D= , donde: 6 5 4 3 2 1P E E E E E E= y 1 2 3Q F F F= 
 
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0
0 0 7 / 23 0 0 1 0 11/ 7 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1
P
−           
           = − −           
                       
 
 
1 5 0 1 0 5 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 15 / 7
0 0 1 0 0 1 0 0 1
Q
−     
     =      
          
 
 
 
23 0 23
1
= 0 23 46
23
14 11 1
P
− 
 − 
 − −  
, 
1 5 40 / 7
0 1 15 / 7
0 0 1
Q
− − 
 =  
   
 
 
 
 3 Hallar el valor de “ a ” de tal modo que la matriz F sea no singular, si esta cumple con la 
 ecuación G F A⋅ = , donde: 
 
2 1 1
= 3 4 2
1 2 4
G
− 
 − − 
 − 
 
3 4 5
= 2 1 8
1 1 2 7
A
a a a
− 
 − 
 + − + 
 
 
 
Solución: Aplicamos la operación determinante a la ecuación dada: G F A⋅ =  G F A⋅ = 
Calculamos el determinante de G y A por la regla de CHIO: 
 
( ) ( ) ( )3 1
2 1 1 0 3 7
3 7
 = 3 4 2 0 2 14 1 1 3 14 7 2
2 14
1 2 4 1 2 4
G
+
− −
−
− − = − = ⋅ − = ⋅ − − − ⋅
−
− −
  28G = − 
 3 2 23 f f f− + → 
 3 1 12 f f f− + → 
( ) ( )2 2
3 4 5 11 4 27
11 27
 = 2 1 8 0 1 0 1 1 29 16
3 1 10 1
1 1 2 7 3 1 1 10 1
A a
a a
a a a a a a
+
−
− = − = − ⋅ − = − +
− −
+ − + − − −
´ 
 2 1 12C C C+ → 
 2 3 38C C C+ → 
Reemplazando los dos valores: ( ) ( )28 29 16F a− ⋅ = − +  ( )1 29 16
28
F a= +
 
 
Para que F sea no singular: 0F ≠  ( )1 29 16 0
28
a + ≠  
16
29
a ≠ −
 
 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 13 -
 
 
 4 Hallar los valores de “ p ” y “ q ” tal que el sistema de ecuaciones 3 4 tAX pX X B+ = − + sea 
 consistente, consistente indeterminado e inconsistente. 
44 
45 
2 3 3
= 3 2 3
3 3 2
p
A p
p
− − 
 − − 
 − − 
 ; [ ]= 2 2 2 4 0B q q+ − + 
 
Solución: Ordenamos la ecuación dada y reemplazamos sus valores: 
( ) 3 4 tA p I X B + + =   
2 3 3 3 4 0 0 2 2
3 2 30 3 4 0 2 4
3 3 2 0 0 3 4 0
p p q
p p X q
p p
 − − +  +     
      − − + + = − +      
      − − +      
 
1
2
3
5 4 3 3 2 2
3 5 4 3 2 4
3 3 5 4 0
p x q
p x q
p x
+ − − +     
     − + − = − +     
     − − +     
  Se tiene un sistema: C X D⋅ = 
 
Calculamos el determinante de C por la regla de CHIO: 
 
( )
( )
( )5 4 3 3 5 7 0 5 7 5 7 0 5 7
 = 3 5 4 3 0 5 7 5 7 0 5 7 0 
3 3 5 4 3 3 5 4 3 3 5 1
p p p p p
C p p p p
p p p
+ − − + − + + − +
− + − = + − + = +
− − + − − + − − +
  
 3 2 2f f f− + → 2 3 3C C C+ → 1 3 3C C C+ → 
 
( ) ( )2
5 7 0 0
 0 5 7 0 5 7 5 2
3 3 5 2
p
C p p p
p
+
= + = + −
− − −
  Consistente: C 0≠  
7
5
p ≠ − ,
2
5
p ≠ Analizamos la matriz aumentada [ ]C D⋮ para 7
5
p = − : 
 
3 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 2
3 3 3 2 4 0 0 0 4 2 0 0 0 6
3 3 3 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2
q q q
q q
q q
− − − + − − − + − − − +     
     − − − − + → − + →     
     − − − − − − −     
 inconsistencia 
331
221
fff
fff
→+−
→+−
 3 2 22 f f f− + → 
Analizamos la matriz aumentada [ ]C D⋮ para 2
5
p = : 
 
6 3 3 2 2 0 9 9 2 2 0 0 0 6
3 6 3 2 4 0 9 9 2 4 0 9 9 2 4
3 3 6 0 3 3 6 0 3 3 6 0
q q
q q q
− − + − +     
     − − − + → − − + → − − +     
     − − − − − −     
 inconsistencia 
3 1 1
3 2 2
2 f f f
f f f
+ →
− + →
 2 1 1f f f+ → 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 14 -
 
 Analizando los resultados obtenidos: 
 
 
 Consistente C 0≠ : IR∀ ∈q , 7
5
p ≠ − ,
2
5
p ≠ 
 Consistente determinado ( )CRango n< : ,p q∃ ∃/ / 
 Inconsistente ( ) ( )C D CRango Rango≠⋮ : 7 2
5 5
p p= ∨ = , IR∀ ∈q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 15 -
 
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE INVIERNO 2008 
 
 
 1 Dadas las matrices 
4 2 4
A
3 1 1
− 
=  − 
 y 
2 1 2
B
3 2 4
 
=  − 
 encontrar las matrices P y Q 
 tal que A y B sean equivalentes y verifiquen que: PAQ=B. 
 
 
Solución: Como P y Q son matrices que provienen de realizar operaciones elementales estas deben 
ser cuadradas. Analizamos su tamaño de modo que sean conformables con A : 
 
2 2 2 3 3 3 2 3
P A Q B× × × ×= 
 
Vayamos realizando operaciones elementales en la matriz A hasta obtener una matriz H y 
realizamos operaciones elementales B hasta llagar a la misma matriz H: 
 
4 2 4 4 2 4 0 2 8 0 1 4 0 1 4
A H
3 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 0 1
− − − − −         
= → → → → =         − − − − − − − − −         
 
 1 2 2f f f− + → 2 1 14 f f f+ → ( ) 11/ 2 f− 1 2 2f f f+ → 
2 1 2 2 1 2 0 1 14 0 1 14 0 1 4
B H
3 2 4 1 0 8 1 0 8 1 0 1 1 0 1
− − −         
= → → → → =         − − − − − − − − −         
 
 1 2 22 f f f− + → 2 1 12 f f f+ → 1 3 37C C C− + → 2 3 310C C C+ → 
 
De forma matricial se tiene: 4 3 2 1E E E E A=H 
; 2 1 1 2F FBD D =H 
 
Igualando ambas ecuaciones: 4 3 2 1 2 1 1 2E E E E A=F FBD D 
despejando la matriz B: 
 
1 1 1 1
1 2 4 3 2 1 2 1F F E E E E AD D =B
− − − −  
1 1
1 2 4 3 2 1P=F F E E E E
− −
 , 
1 1
2 1Q=D D
− − : 
 
Aplicando las operaciones elementales realizadas a las matrices en la matriz identidad obtendremos 
las matrices elementales: 
 
1 0 1 2 1 0 1/ 2 0 1 4 1 0
P
2 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1
− −           
=            −           
 
 
1 01
P
3 22
 
=  −  
 
1 0 0 1 0 7
Q 0 1 10 0 1 0
0 0 1 0 0 1
   
   = −   
       
 
1 0 7
Q 0 1 10
0 0 1
 
 = − 
   
 
 
 2 Hallar el valor de “ k ” para que los determinantes de las siguientes matrices sean iguales: 
3 3
8 : 
A 3 : 
3 : 
k si i j
si i j
si i j
×
+ =
= >
 <
 
3 3
1 : 
B 3 : 
3 : 
k si i j
si i j
si i j
×
− =
= >
 < 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 16 -
 
 
Solución: Generando las matrices y calculando su determinante:
 
8 3 3
A 3 8 3
3 3 8
k
k
k
+ 
 = + 
 + 
 
1 3 3
B 3 1 3
3 3 1
k
k
k
− 
 = − 
 − 
 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
8 3 3 0 5 3 8 / 3
1 11 / 3
 A 3 8 3 0 5 5 3 5 
1 1
3 3 8 3 3 8
k k k
k
k k k k
k k
+ − + − +
− − +
= + = + − + = +
−
+ +
 
 
( )
3 2 2
3 1 1
8 / 3
f f f
k f f f
− + →
− + + → 
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 A 3 5 1 11 / 3 5 14k k k k= + + + = + +
 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 3 3 0 4 3 1 / 3
1 2 / 3
 B 3 1 3 0 4 4 3 4 
1 1
3 3 1 3 3 1
k k k
k
k k k k
k k
− − − − −
− − +
= − = − − − = −
−
− −
 
 
( )
3 2 2
3 1 1
1 / 3
f f f
k f f f
− + →
− − + → 
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 B 3 4 1 2 / 3 4 5k k k k= − + + = − +
 
 
Por condición del problema:
 
 A B =
 
 ( ) ( ) ( ) ( )2 25 14 4 5k k k k+ + = − +
 
 
 ( ) ( ) ( )25 14 4k k k+ + = −
 
 
2 219 70 8 16k k k k+ + = − +
 
 27 54k = −
 
 2k = −
 
 
 3 Sea 
0 1 0
A= 1 0 2
0 2 0
 
 − − 
  
 y ( )( ) 1B I A I A −= − + , demostrar que 1B Bt− = 
 
Solución: Construimos la matriz B: ( )
1 0 0 0 1 0 1 1 0
I A 0 1 0 1 0 2 1 1 2
0 0 1 0 2 0 0 2 1
−     
     − = − − − =     
     −     
 
( )
1 0 0 0 1 0 1 1 0
I A 0 1 0 1 0 2 1 1 2
0 0 1 0 2 0 0 2 1
     
     + = + − − = − −     
          
  ( ) 1
5 1 2
1
I A 1 1 2
6
2 2 2
−
− − 
 + =  
 − − 
 
1 1 0 5 1 2 4 2 4
1 1
B 1 1 2 1 1 2 2 4 4
6 6
0 2 1 2 2 2 4 4 2
− − − − −     
     = ⋅ = −     
     − − − − − −     
  
t
4 2 4
1
B 2 4 4
6
4 4 2
− 
 = − − − 
 − −  
 
Multiplicando: t
4 2 4 4 2 4 1 0 0
1 1
B B 2 4 4 2 4 4 0 1 0 I
6 6
4 4 2 4 4 2 0 0 1
− − −     
     ⋅ = − − − − = =     
     − − − − −     
  
1B Bt− = 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 17 -
 
 
 
 4 Para que valores de “ a ” y “b ”el sistema sea: 
 a) Determinado, b) Indeterminado, c) Inconsistente. 
 
 ( )
( )
3 2 9
2 4 3 4
7 2 2 23
9 6 1 27
+ − =
+ + =
+ + − = −
+ + + = −
x y z
x y z
x y a z b
x y a z b
 
6 
Solución: Escribiendo el sistema en su forma matricial 
 
 
3 2 1 9
2 4 3 4
7 2 2 23
9 6 1 27
x
y
a b
z
a b
−   
    
    =    − −
     + −   
  BAX= , escalonado la matriz aumentada: [ ]A B⋮ 
 
3 2 1 9 1 2 4 5 1 2 4 5
2 4 3 4 2 4 3 4 0 8 11 6
 
7 2 2 23 7 2 2 23 0 16 26 12
9 6 1 27 9 6 1 27 0 24 37 18
a b a b a b
a b a b a b
− − − − −     
    −     → →
     − − − − + − −
     + − + − + − −     
 
2 1 1f f f− + → 
1 2 2
1 3 3
1 4 4
2
7
9
f f f
f f f
f f f
− + →
− + →
− + →
 
2 3 3
2 4 4
2
3
f f f
f f f
− + →
− + →
 
1 2 4 5 1 2 4 5
0 8 11 6 0 8 11 6
 
0 0 4 0 0 4
0 0 4 0 0 0 0
a b a b
a b
− − − −   
   − −   →
   + − + −
   + −   
 
3 4 4f f f− + → 
 
Los valores críticos son 4a = − ; 0b = 
 
Si 4a ≠ − existe la inversa de la matriz de coeficientes  Solución única 
 
Si 4 0a b= − ∧ = se tienen menos ecuaciones que incógnitas  Infinitas soluciones 
 
Si 4 0a b= − ∧ ≠ se tiene una inconsistencia  no existe solución 
 
Podemos concluir que: 
 
a) Consistente determinado 4a b≠ − ∧ ∀ 
b) Consistente indeterminado 4 0a b= − ∧ = 
c) Inconsistente 4 0a b= − ∧ ≠ 
 
 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 18 -
 
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2008 
 
 
 1 En una matriz A se realizan las siguientes operaciones elementales en el orden dado: 
 1) 1 3f f↔ , 2) ( )1 2 25f f f− + → , 3) ( )1 3 33f f f− + → . Obteniéndose la matriz 
 
1 3 1
= 0 11 3
0 7 2
B
− 
 − 
 − 
. Se pide hallar la inversa de la matriz A utilizando matrices elementales.
 
 
Solución: Las operaciones elementales generan lo siguiente: 3 2 1E E E A B=  
 1 
 1
3 2 1
A
B E E E A I
−
− =
�����
 
 1 1
3 2 1A B E E E
− −= , calculamos 1B − con operaciones elementales llevando B a la identidad: 
1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 0 1 0 0 1 0 0
= 0 11 3 0 4 1 0 4 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0
0 7 2 0 7 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
B
− − − −             
             − → − → − → → → →             
             − −             
 
3 2 2f f f− + → 2 3 32 f f f− + → 3 2 24 f f f+ → 2 1 1f f f+ → 3 1 13 f f f− + → 2 3f f↔ 
 
Al realizar las operaciones tenemos: 6 5 4 3 2 1F F F F F F B I=  
 1
6 5 4 3 2 1B F F F F F F
− = , hallamos las 
matrices elementales realizando las operaciones elementales en la matriz identidad: 
 1
1 0 0 1 0 3 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2
0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 4 0 1 0 0 1 1 0 2 3
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 7 11
B
−
− −             
             = − = −             
             − −             
 
 
 1
1 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1
0 2 3 0 1 0 5 1 0 0 1 0
0 7 11 3 0 1 0 0 1 1 0 0
A
−
−       
       = − −       
       − −       
  1
2 1 0
3 2 1
11 7 2
A
−
− 
 = − 
 −  
 
 
 2 De una matriz 3 3A × se conocen los siguientes elementos: 11 1a = ; 13 3a = − ; 21 3a = ; 23 5a = ; 
 32 1a = . Conociendo que la matriz adjunta de A es igual a 
21 5 2
2 10 14
5 5 10
− − 
 − − 
 − − − 
. 
 Encontrar la matriz A y su determinante. 
 
Solución: La matriz Aserá: ( ) 1 A A adj A −=    , ( )
2
 A adj A= , entonces calculamos el 
determinante de ( )adj A : 
( )
21 5 2
 2 10 14 2100 20 350 100 1470 100 60
5 5 10
adj A
− −
= − − = − + + + + + = −
− − −
 
 ( )2 60A adj A= − , un número elevado al cuadrado nunca puede ser negativo:  A∃/ 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 19 -
 
 
 
 3 Dada la matriz 
2 2
2 2
2 2
k
A k
k
 
 =  
  
 , hallar el valor de “ k ” tal que la matriz ( ) ( )tB A I A I= − + + 
 sea no singular. 
 
Solución: Trabajando en la ecuación dada: ( ) ( )tB A I A I A I A I= − + + = − + +  2B A= 
Aplicando la operación de terminante a la ecuación: 
3 2 A B = , para que Bsea no singular 
bastara analizar los valores de A para que sea no singular: 
( ) ( )
2
2
2 2 0 2 2 / 2
 A 2 2 0 2 2 2 4 0
2 2 2 2
k k k
k k k k k
k k
− −
= = − − = − + ≠  2; 4k k≠ ≠ − 
( )
3 2 2
3 1 1
 
/ 2
f f f
k f f f
− + →
− + →
 
 
 4 Hallar los valores de “ p ” tal que el sistema de ecuaciones ( ) 2 tt t tX A p X B = − +  sea 
 consistente, consistente indeterminado e inconsistente. 
 
 
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
 
 =  
  
 
4
2
p
B
p
− 
 =  
  
 
 
Solución: Aplicado la traspuesta a la ecuación: ( )2AX p X B= − +  ( )2A p I X B − − =  
1 1 1 2 0 0 4
1 1 1 0 2 0 2
1 1 1 0 0 2
p p
p X
p p
 −  −     
      + − =      
      −      
  
1
2
3
1 1 1 4
1 1 1 2
1 1 1
p x p
p x
p x p
− −     
     − =     
     −     
 
 
Se tiene un sistema: C X B⋅ = , calculamos el determinante de C : 
 
( )( )( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 1
 = 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1
1 1 1
p
C p p p p p p p
p
−
− = − − − + + − − = − +
−
  
  Consistente: 0C ≠  2p ≠ , 1p ≠ − 
Analizamos la matriz aumentada [ ]C B⋮ para 2p = : 
 
1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1 2 0 0 0 0
1 1 1 2 0 0 0 0
   
   →
   
      
 ( )CRango n<  ∞ soluciones 
331
221
fff
fff
→+−
→+−
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 20 -
 
 
Analizamos la matriz aumentada [ ]C D⋮ para 1p = − : 
 
2 1 1 5 0 3 3 3 0 0 0 6
1 2 1 2 0 3 3 3 0 3 3 3
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1
− −     
     − → − → −
     
− − − − − −          
 inconsistencia 
3 1 1
3 2 2
2 f f f
f f f
+ →
− + →
 2 1 1f f f+ → 
 Analizando los resultados obtenidos: 
 
 
 Consistente : 2p ≠ , 1p ≠ − 
 Consistente indeterminado : 2p = 
 Inconsistente : 1p = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 21 -
 
 
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2009 
 
 
 1 Dadas las matrices 
2 1 3
A
3 4 1
− 
=  − 
 y 
1 1 1
B
2 3 4
− 
=  − 
 encontrar las matrices P y Q 
 tal que A y B sean equivalentes y verifiquen que: PAQ=B. 
 
Solución: Como P y Q son matrices que provienen de realizar operaciones elementales estas deben 
ser cuadradas. Analizamos su tamaño de modo que sean conformables con A : 
 
2 2 2 3 3 3 2 3
P A Q B× × × ×= 
Vayamos realizando operaciones elementales en la matriz A hasta obtener una matriz H y 
realizamos operaciones elementales B hasta llagar a la misma matriz H: 
 
2 1 3 2 1 3 0 11 11 0 1 1 0 1 1 1 0 1
A H
3 4 1 1 5 4 1 5 4 1 5 4 1 0 1 0 1 1
− − − − −           
= → → → → → =           − − − − −           
 
 1 2 2f f f− + → 2 1 12 f f f− + → ( ) 11/11 f 1 2 25 f f f+ → 1 2f f× 
 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1/5 1 0 1
B H
2 3 4 0 5 6 0 1 6/5 0 1 6/5 0 1 1− − − −         
= → → → → =         − − − − −         
 
 1 2 22 f f f− + → ( ) 21/5 f− 2 1 1f f f− + → 
( )
( )
1 3 3
2 3 3
6 / 5
1/ 5
C C C
C C C
+ →
+ → 
De forma matricial se tiene: 5 4 3 2 1E E E E E A=H 
; 3 2 1 1 2F F FBD D =H 
 
Igualando ambas ecuaciones: 5 4 3 2 1 3 2 1 1 2E E E E E A=F F FBD D 
despejando la matriz B: 
 
1 1 1 1 1
1 2 3 5 4 3 2 1 2 1
F F F E E E E E AD D =B− − − − −  
1 1 1
1 2 3 5 4 3 2 1
P=F F F E E E E E− − − , 
1 1
2 1
Q=D D− − : 
 
Aplicando las operaciones elementales realizadas a las matrices en la matriz identidad obtendremos 
las matrices elementales: 
 
1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1/11 0 1 2 1 0
P
2 1 0 5 0 1 1 0 5 1 0 1 0 1 1 1
−               
=                − −               
 
 
7 11
P
1 811
− 
=  −  
 
1 0 0 1 0 6 / 5
Q 0 1 1/ 5 0 1 0
0 0 1 0 0 1
−   
   = −   
       
 
1 0 6 / 5
Q 0 1 1/ 5
0 0 1
− 
 = − 
  
 
NOTA: No es la única solución. 
 
 2 Sea una matriz B generada por la regla: 
3 3
* * 
B 
 
ij
k i j si i j
b i j si i j
i j si i j
×
 = 
  = = + >  
  − <  
, se pide encontrar el 
 valor de “ k ” tal que la matriz A sea singular si se conoce: A B Ik= + . 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 22 -
 
 
Solución: Generando la matriz A de orden 3: 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 2
A 0 1 0 3 4 1 0 1 0 3 5 1
0 0 1 4 5 9 0 0 1 4 5 10
b b b k k
b b b k k k k
b b b k k
− − − −         
         = + = − + = −         
                   
 
Sacando su determinante: 
( )3 3
2 1 2
 A 3 5 1 100 30 4 40 10 30 100 26 80
4 5 10
k
k k k k k k k
k
− −
= − = − + − − − − = − + 
Igualando a cero se hallaran los valores de k para que la matriz sea singular: 
3100 26 80 0k k− + = , Usando Newton Rapson para encontrar la raíz: 
( )
( )1 '
i
i i
i
f k
k k
f k
+ = − , ( ) 3100 26 80f k k k= − +  0.29342k = 
 
 3 En el siguiente sistema de ecuaciones, se pide encontrar el valor de “m” tal que el sistema sea: 
 consistente determinado, consistente indeterminado o inconsistente. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 7 5 1
2 1 4 1 2 1
4 5 7 2 5 0
mx m y m z m
m x m y mz m
mx m y m z
+ − + − = −
− + − + = +
+ − + − =
 
 
Solución: Escribiendo el sistema en su forma matricial: 
 
3 3 7 5 1
2 1 4 1 2 1
4 5 7 2 5 0
m m m x m
m m m y m
m m m z
− − −     
     − − = +     
     − −     
  BAX= primero hagamos que exista solución única 
para lo cual igualamos a cero el determinante de la matriz de coeficientes y obtendremos los valores 
de m: 
 
=A 
3 3 7 5 2 1 2 1
 2 1 4 1 2 2 1 4 1 2 2 1 4 1 2 
4 5 7 2 5 4 5 7 2 5 4 5 7 2 5
m m m m m m
m m m m m m m m m m
m m m m m m m m m
− − − − −
− − = − − = − − −
− − − − − −
 
 
3 1 1f f f− + →
 
=A ( )
1 0 0
1 1
 2 1 1 1 2
3 7 2 5
4 3 7 2 5
m m m m m
m m
m m m
− − = − = − +
− − − −
− − − −
 
Igualado a cero tenemos: 0m = ; 2m = − reemplazando estos valores en la matriz aumentada 
y luego escalonando vemos que comportamiento toma el sistema de ecuaciones 
 
Para 0m = : 
0 7 5 1 0 7 5 1
1 1 0 1 1 1 0 1
0 7 5 0 0 0 0 1
− − − − − −   
   − − → − −   
   − −   
 inconsistencia 
 
1 3 3
f f f− + → 
 
1 2 2
1 3 3
2
 
C C C
C C C
− + →
− + →
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 23 -
 
 
Para 2m = − : 
6 13 7 3 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2
5 9 4 1 5 9 4 1 0 11 11 9 0 11 11 9
8 17 9 0 8 17 9 0 0 15 15 16 0 0 0 41/11
− − − − − − − − − − − − − − − −       
       − − − − → − − − − → →       
       − − − − − −       
 
 
2 1 1f f f− + → 1 2 2
1 3 3
5
8
f f f
f f f
− + →
− + →
 
2 3 3
15
11
f f f− + → 
 
Podemos concluir que: 
 
Consistente determinado 0 2m m≠ ∨ ≠ − 
Consistente indeterminado ∃ m 
Inconsistente 0 2m m= ∨ = − 
 
 
 4 En el sistema de ecuaciones de la forma: 
tX A B= , que condición deben cumplir a , b y c 
 tal que el sistema sea consistente indeterminado, siendo: 
 
X
x
y
z
 
 =  
  
 
2 3 5
A 1 1 5
3 5 21
− 
 = − − 
 − 
 [ ]B a b c= 
Solución: Aplicando traspuesta al sistema: 
tX A B=  
tA X Bt ⋅ = 
 
El sistema será: 
2 1 3
3 1 5
5 5 21
x a
y b
z c
−     
     − ⋅ =     
     − −      
 
Escalonando la matriz aumentada: 
 
2 1 3 1 2 8 1 2 8 1 2 8
3 1 5 3 1 5 0 5 19 3 2 0 5 19 3 2
5 5 21 5 5 21 0 5 19 5 5 0 0 0 2 3
a a b a b a b
b b a b a b
c c c a b c a b
− − − − − − − − − −       
       − → − → − − → − −       
       − − − − − − + − +       
 2 1 1
f f f− + →
 1 2 2
1 3 3
 3
5
f f f
f f f
+ →
− + →
 2 3 3
f f f+ →
 
 
Para que el sistema sea consistente indeterminado el numero de ecuaciones debe ser menor al 
 
número de incógnitas entonces: 2 3 0c a b− + = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
inconsistencia
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 24 -
 
 
 
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I/2009 
 
 1 Dada la matriz 
3 1 4
6 3 2
9 1 5
A
− 
 =  
 − 
, se pide hallar por medio de operaciones elementales dos 
 matrices, una triangular inferior “ L ” y otra triangulas superior “U ”, tal que se cumpla: 
 
A L U= ⋅ 
 
Solución: Nos piden hallar la factorización de la matriz, aplicamos 3 operaciones elementales por filas 
y tres por columnas obteniendo una matriz diagonal: 
 
 
3 1 4 3 1 4 3 1 4
6 3 2 0 5 6 0 5 6
9 1 5 0 4 17 0 0 61/ 5
− − −     
     = → − → −
     
− − −          
A , esta es una matriz triangular superior 
 1 2 2
1 3 3
2
3
f f f
f f f
− + →
− + →
 ( ) 2 3 34 / 5 f f f− + → 
 
Donde se realizo la siguiente operación: 3 2 1E E E A U= 
1 1 1
1 2 3A E E E U
− − −=  1 1 11 2 3L E E E
− − −= 
 
Como se trata de operaciones elementales de múltiplo de una fila con otra sus operaciones inversas 
son inmediatas, solamente se cambia de signo al múltiplo escalar: 
 
 
1 0 0 1 0 0 1 0 0
2 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 3 0 1 0 4 / 5 1
L
     
     =      
          
  
1 0 0
2 1 0
3 4 / 5 1
L
 
 =  
  
 ; 
3 1 4
0 5 6
0 0 61/ 5
U
− 
 = − 
 − 
 
 
 
 2 Dada la matriz ( )
1 1 1
10 2
7 3 1
adj A k
− 
 = − 
 − − 
 y sabiendo que: ( )det 2A = . Hallar el valor de “ k ” 
 y la matriz A. 
 
 
Solución: Para la matriz A: 
 
 ( ) 2 2 30 14 7 6 10 6 20 2= = − − + + + − = − =A adj A k k k  4k = 
 
Usando la formula: ( ) 1
1 1 1
1 1
10 4 2
 2
7 3 1
A adj A
A
−
− 
 = = − 
 − − 
, aplicando inversa a esta ecuación: 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOSING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 25 -
 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 
1 1 1 2 1 3
 1 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
4 2 10 2 10 4
1 1 1 
3 1 7 1 7 3
1 1 1 1 1 11
 2 1 1 1 
3 1 7 1 7 34
1 1 1 1 1 1
1 1 1 
4 2 10 2 10 4
t
A A adj A
+ + +
− + + +
+ + +
 − − 
− − − − − − − 
 − −
 = = − − −   − − − − 
 − − − − −
 − − 
 
 
 
2 4 2 2 4 6
1 1
4 6 10 4 6 8
2 2
6 8 14 2 10 14
t
A
   
   = =   
      
  
1 2 3
2 3 4
1 5 7
A
 
 =  
  
 
 
 3 Sabemos que la matriz 
ij
X x =   , satisface la ecuación: A X B⋅ = , en donde: 
 
1 2 6
2 2 1 4
2 2 1
A B I
− 
 = − =  
 − 
. Hallar la matriz X . 
 
Solución: De la ecuación: A X B⋅ =  1X A B−= ⋅ , calculamos la inversa de A por la adjunta 
 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3 1
3 1 3 2 3 3
1 4 2 4 2 1
1 1 1 
2 1 2 1 2 2
2 6 1 6 1 21 1
1 1 1 
2 1 2 1 2 2 1 24 16 12 8 4
2 6 1 6 1 2
1 1 1 
1 4 2 4 2 1
t
A adj A
A
+ + +
+ + +−
+ + +
 
− − − − − 
 − −
 = = − − −
− −− − − + +  
 − − − − −
   
 
 
 1
9 6 6 9 10 14
1 1
10 11 2 6 11 8
39 39
14 8 5 6 2 5
t
A
−
− − −   
− −   = − − − = −   
   − − −   
 , B se calcula de la ecuación dada: 
 
1 2 6
2 2 1 4
2 2 1
B I
− 
 − =  
 − 
 
1 2 6 1 0 0
1
2 1 4 0 1 0
2
2 2 1 0 0 1
B
 −    
    = +    
    −    
  
1 1 3
1 1 2
1 1 1
B
− 
 =  
 − 
, calculamos X 
 
 
1
9 10 14 1 1 3
1
6 11 8 1 1 2
39
6 2 5 1 1 1
X A B
−
− − −   
−    = ⋅ = −   
   − − −   
  
15 5 7
1
3 25 4
39
3 1 17
X
 
 = − − 
  
 
 
 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 26 -
 
 
 4 Hallar el valor de “ x ” que hacen que F sea singular: 
1
2
3
4
x x x x
x x x x
F
x x x x
x x x x
+ 
 + =
 +
 + 
 
 
Solución: Lo que tenemos que hacer es encontrar el determinante de la matriz y ver que valores 
hacen que esta sea singular (igual a cero el determinante). 
 
 
Para hallar el determinante se usara el método de CHIO: 
 
1 1 0 0 4 1 0 0 0
2 2 2 5
 
3 3 3 5
4 4 4 5
x x x x
x x x x x x x x x x x x
F
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
+ −
+ + +
= = =
+ + +
+ + +
 
 4 1 1f f f− + → 1 4 44C C C+ → desarrollando por la primera fila 
( )1 1
2 5 2 0 4 2 0 0
 1 1 3 5 3 5 3 7 
4 5 4 5 4 7
x x x
F x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
+
+ −
= − + = + = +
+ + +
 
 3 1 1f f f− + → 1 3 32C C C+ → desarrollando por la primera fila 
 
( ) ( ) ( ) [ ]1 1 23 7 2 1 2 3 4 7 7 2 12 25 0
4 7
x x
F x x x x
x x
+ +
 = − = + + − = + = +
 
 
Para que sea singular: 
12
25
x = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 27 -
 
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 II / 2009 
 
 1 Hallar las matrices P y Q , tal que las matrices A y B dadas sean equivalentes, es decir 
 expresar en la forma PAQ B= . 
 
2 3 1
1 2 1
A
 
=  − 
 
3 1 1
2 2 1
B
 
=  − − − 
 
 
Solución: Como P y Q son matrices que provienen de realizar operaciones elementales estas deben 
ser cuadradas. Analizamos su tamaño de modo que sean conformables con A : 
 
2 2 2 3 3 3 2 3
P A Q B× × × ×= 
 
Vayamos realizando operaciones elementales en la matriz A hasta obtener una matriz H y 
realizamos operaciones elementales B hasta llagar a la misma matriz H: 
 
2 3 1 1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 0 1/ 7
1 2 1 1 2 1 0 7 3 0 1 3/ 7 0 1 3/ 7
A H
−         
= → → → → =         − −         
 
 2 1 1f f f+ → 1 2 2f f f+ → ( ) 21/ 7 f 2 1 15 f f f− + → 
3 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0
2 2 1 2 2 1 0 4 1 0 1 1/ 4 0 1 1/ 4
B
− − −         
= → → → →         − − − − − − − −         
 
 2 1 1f f f+ → 1 2 22 f f f+ → ( ) 21/ 4 f− 1 2 2C C C+ → ( ) 1 3 31/ 7 C C C− + → 
1 0 1/ 7 1 0 1/ 7
0 1 1/ 4 0 1 3/ 7
B H
− −   
→ → =   
   
 
 ( ) 2 3 35/ 28 C C C+ → 
De forma matricial se tiene:
 4 3 2 1
E E E E A H= ; 3 2 1 1 2 3F F F BD D D H= 
 
Igualando ambas ecuaciones: 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3E E E E A F F F BD D D= despejando la matriz B: 
 
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 3 2 1 3 2 1F F F E E E E AD D D B
− − − − − − =  
1 1 1
1 2 3 4 3 2 1P F F F E E E E
− − −= , 
1 1 1
3 2 1Q D D D
− − −= : 
 
Aplicando las operaciones elementales realizadas a las matrices en la matriz identidad obtendremos 
las matrices elementales: 
 
1 1 1 0 1 0 1 5 1 0 1 0 1 1
0 1 2 1 0 4 0 1 0 1/ 7 1 1 0 1
P
− −             
=              − −             
 
 
10 11
8 27
P
− 
=  − − 
 
1 0 0 1 0 1/ 7 1 1 0
0 1 5 / 28 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
Q
−     
     = −     
           
 
1 1 1/ 7
0 1 5/ 28
0 0 1
Q
− 
 = − 
  
 
 
NOTA: No es la única solución. 
 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 28 -
 
 
 
 2 Dadas las matrices: 
1
3 3
* , 
 , 
0 , 
k
ij
i j si i j
A a i si i j
si i j
−
×
  =
  = = >  
  <  
 y 3 3
* , 
 , 
0 , 
k
ij
i j si i j
E e i si i j
si i j
×
  =
  = = >  
  <   
 Se pide: a) Hallar el valor de INk ∈ tal que la traza de A E⋅ sea igual a 47, b) Con el valor del 
 inciso a) hallar el valor del determinante E A⋅ . 
 
Solución: Generamos las matrices dadas donde “ i ” indica la fila y “ j ” la columna: 
 
1
11 12 13
1
3 3 21 22 23
1
31 32 33
1*1 0 0
2 2*2 0
3 3 3*3
k
k
k
a a a
A a a a
a a a
−
−
×
−
  
  = =   
      
,
 
11 12 13
3 3 21 22 23
31 32 33
1*1 1 1
0 2* 2 2
0 0 3*3
k
k
k
e e e
E e e e
e e e
×
  
  = =   
     
 
 
a) Realizamos el producto 
1 2 1 1
1 1 2 1
1 0 0 1 1 1 1 1 1
2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 0 0 3 3 3 3*2 9 3
k k k k
k k k k
A E + + +
+ + +
     
     ⋅ = = + +     
     + +      
 
 
La traza será: ( ) 2 1 2 112 2 3 47k ktr A E + +⋅ = + + =  2 1 2 1 3 3 2 1 2 12 3 35 2 3 2 3k k+ + + ++ = = + = +  1k = 
 
b) Calculamos: E A E A⋅ = ⋅
 
, como la matrices son triangulare sus determinantes serán el 
 
producto de la diagonal principal: 1*2 *3 1*2*3 6
k k
A = = =
 
, 
1 1 2 2 1*2 *3 1*2 *3 36k kE + += = =
 
 
 36 6E A⋅ = ⋅  216E A⋅ = 
 
 
 3 Si se conoce que ( )
5 7 11
11 11 11
1 19 11
adj A
− 
 = − 
 − − 
, se pide hallar A. ¿Sera única?: 
 
Solución: Para la matriz A: ( ) ( )2
5 7 11 5 7 11
 11 11 11 16 4 0 11 16 12 4 4
1 19 11 4 12 0
A adj A
− −
= = − = = ⋅ − ⋅
− −
 
 
2
 1936A =
 
 44A= ± por lo tanto existirán dos valores para la matriz A 
 
 
Usando la formula: ( ) 1
5 7 11
1 1
11 11 11
 
1 19 11
A adj A
A A
−
− 
 = = − 
 − − 
, aplicando inversa a esta ecuación: 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 29 -
 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 
1 1 1 2 1 3
 1 2 1 2 2 2 3
2
3 1 3 2 3 3
11 11 11 11 11 11
1 1 1 
19 11 1 11 1 19
7 11 5 11 5 71
 1 1 1 
19 11 1 11 1 19 
7 11 5 11 5 7
1 1 1 
11 11 11 11 11 11
t
A A adj A A
A
+ + +
− + + +
+ + +
 − − 
− − − − − − − 
 − −
 = = − − −   − − − − 
 − − − − −
 − − 
 
 
Para los dos valores de 44A = ± se tendrá: 
 
88 132 220 88 132 44
1 1
132 44 88 132 44 176
 
44 176 132 220 88 132
t
A
A A
−   
   = − − = −   
   − −   
  
 1
2 3 1
3 1 4
5 2 3
A
− 
 = − 
 −  
, 
 2
2 3 1
3 1 4
5 2 3
A
− − 
 = − − 
 − −  
 
 4 Que condiciones deben cumplir las constante a , b y c , tal que la matriz sea no singular. 
 
2
2
2
a a b a c
F b a b b c
c a c b c
− + + 
 = + − + 
 + + −  
 
Solución: Calculamos F
 
: 
2
 2 
2
a a b a c
F b a b b c
c a c b c
− + +
= + − +
+ + −
, realizamos el desarrollo de La Place por la primera fila:
 
( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 32 2 2 1 1 1 
2 2
b b c b a b c b a b
F a a b a c
c b c c a c c a c b
+ + +− + + + + −= − − + + − + + −
+ − + − + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )2 2 2 8 2 2 2F abc a b c c a b a b b c c a a b b c c a b a c= − + + + + + + + + + + + + + +
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 8F b a c b a c b a c a b c c a b abc= + + + + + + + + + −
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 4F b a c b a c b a c a b c c a b abc= + + + + + + + + + −
 
( )( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4F b a c b a c a b abc bc ab abc ac a c abc b c abc= + + + + + + + + + + + + −
 
( )( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2F b a c b a c a b bc ab ac a c b c abc abc= + + + + + + + + + + +
 
( )( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2F b a c b a c a b ab a c abc ac b c bc abc= + + + + + + + + + + +
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2F b a c b a c a ab b ac bc c ac b bc ab= + + + + + + + + + + +
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2F b a c b a c a c a b b a b c= + + + + + + + +
 
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 4F b a c b a c a c a b b c a b a c b c= + + + + + + + = + + +
 
El determinante debe ser diferente de cero: 0F ≠
 
 ( )( ) ( )4 0a b a c b c+ + + ≠ 
 
 a b≠ − , a c≠ − , b c≠ − 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 30 -
 
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE VERANO 2010 
 
 1 Sea la matriz 
2 3 4
A 6 2 2
4 1 3
 
 = − 
 − − 
 se pide expresarla en la forma: A=L D U⋅ ⋅ , donde L es una 
 matriz triangular inferior, D es una matriz diagonal distinta de la identidad y U es una matriz 
 superior. 
 
Solución: Nos piden hallar la factorización de la matriz, aplicamos operaciones elementales: 
0
2 3 4 2 3 4 2 3 4
A 6 2 2 0 7 14 0 7 14 U
4 1 3 0 7 11 0 0 3
     
     = − → − − → − − =     
     − − − −     
 
 1 2 2
1 3 3
3
2
f f f
f f f
− + →
− + →
 
2 3 3f f f− + → 
Matricialmente: 0 3 2 1U =E E E A , despejando A: 
1 1 1
1 2 3 0
A=E E E U− − −
 
 
La matriz L está dada por:
 
1 1 1
1 2 3
1 0 0 1 0 0 1 0 0
L=E E E 3 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 2 0 1 0 1 1
− − −
     
     =      
          
  
1 0 0
L= 3 1 0
2 1 1
 
 
 
  
, 

 
1 0 0 2 3 4 1 0 0 2 0 0 1 3 / 2 2
A= 3 1 0 0 7 14 3 1 0 0 7 0 0 1 2
2 1 1 0 0 3 2 1 1 0 0 3 0 0 1
         
         − − = −         
                   
 
 
1 0 0
L= 3 1 0
2 1 1
 
 
 
   
; 
2 0 0
D= 0 7 0
0 0 3
 
 − 
   
; 
1 3 / 2 2
U= 0 1 2
0 0 1
 
 
 
  
 
 
 
 2 En una matriz A se realizan las siguientes operaciones elementales en el orden indicado, 
 obteniéndose la matriz B : 
2 3 4
B= 5 2 3
4 2 1 1k k k
− 
 − − 
 − − + 
 
1 2
1 3 3
2 2
1) 
2) 2
3) 3
f f
f f f
f f
×
+ →
→
 
a) Hallar el valor de “ k ” tal que la matriz A sea no singular, 
b) Para el valor de 1k = , halle la inversa de la matriz A sin encontrar esta. 
 
Solución: a) La matriz B está dada por: 3 2 1B=E E E A  
1 1 1
1 2 3
A=E E E B− − −
 
 
0 1 0 1 0 0 1 0 0 2 3 4 5 2 3
1
A= 1 0 0 0 1 0 0 1/ 3 0 5 2 3 6 9 12
3
0 0 1 2 0 1 0 0 1 4 2 1 1 3 24 6 21 3 27k k k k k k
− − −         
         − − = −         
         − − − + − − +          
 
Sacando el determinante a la matriz: 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 31 -
 
5 2 3 5 2 3 5 2 3
1 1 1
 A 6 9 12 6 9 12 2 3 4 
3 27 3
3 24 6 21 3 27 3 24 6 21 3 27 8 2 7 9k k k k k k k k k
− − − − − − 
 = − = − = − 
 − − + − − + − − + 
 
( )1 A 7 40 0
3
k= − ≠
 
 
7
40
k ≠
 
b) Si 
1 1 1
1 2 3
A=E E E B− − − sacando la inversa a esta ecuación: 
1 1
3 2 1
A =B E E E− − 
Encontramos la inversa de B por la adjunta para 1k = : 
1
7 1 11 7 10 1
1 1
B = 10 8 11 1 8 14
33 33
1 14 11 11 11 11
t
−
− − − −   
   − − − = −   
   − −    
 1
7 10 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
1
A = 1 8 14 0 3 0 0 1 0 1 0 0
33
11 11 11 0 0 1 2 0 1 0 0 1
−
− −       
       −       
       − −       
  
1
30 5 1
1
A = 24 29 14
33
33 11 11
−
− − 
 − 
 −  
 
 
 3 Encontrar las condiciones que deben cumplir los valores de x , y , z de modo que la matriz 
 sea no singular: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A
a x a y a z
b x b y b z
c x c y c z
 − − −
 
 = − − −
 
− − −  
 
 
Solución: Calculando el determinante de la matriz por CHIO: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
 A 2 2 2 2 2 2 
2 2 2 2 2 2
a x a y a z a x a y a z
b x b y b z b xb a xa b yb a ya b zb a za
c xc a xa c yc a ya c zc a zac x c y c z
− − − − − −
= − − − = − − + − − + − − +
− − + − − + − − +− − −
 
1 2 2
1 3 3
f f f
f f f
− + →
− + → 
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
 A 2 2 2 2 2 2 
2 2 2
a x a y a z a x a y a z
a b a c x a b y a b z a b a b a c x a b y a b z a b
x a c y a c z a c b c b c b c
− − − − − −
= − − − − − − − − = − − − − − − − −
− − − − − − − − −
 
2 3 3f f f− + →
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 2
 A 2 2 2 
1 1 1
a x a y a z
a b a c b c x a b y a b z a b
− − −
= − − − − − − − − −
 
1 2 2
1 3 3
C C C
C C C
− + →
− + →
 
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 22 2
 A 2 2 2 
1 0 0
a x a x y x y a x z x z
a b a c b c x a b y x z x
− − − − − − −
= − − − − − − −
 
, desarrollando
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 32 -
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 22 2
 A 
2 2
a x y x y a x z x z
a b a c b c
y x z x
− − − − − −
= − − −− −
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 A 2 
1 1
a x y a x z
a b a c b c x y x z
− − − −
= − − − − −
− −
 ( )( )( )( ) ( )( ) A 2 a b a c b c x y x z y z= − − − − − − 
Igualando a cero tenemos los valores que hacen que la matriz sea singular, por lo tanto para x , y , 
z tenemos: 
x y≠ ∨ x z≠ ∨ y z≠ 
 
 4 En el siguiente sistema de ecuaciones dado, discutir los valores de “ a ” y “ b ” que logran que el 
 sistema sea: a) Consistente determinado, b) Consistente indeterminado, c) Inconsistente. 
( )
( )
( )
4 2 2 4 3
4 4 2 2 2 2
2 2 4 4 4
x a y z b
x y a z b
a x y z
+ − + = +
+ + − = +
− + + =
 
 
Solución: Escribiendo y ordenando el sistema en su forma matricial: 
 
2 2 4 4 4
4 2 2 4 3
4 4 2 2 2 2
a x
a y b
a z b
−     
     − = +     
     − +     
  BAX= primero hagamos que exista solución única 
para lo cual igualamos a cero el determinante de la matriz de coeficientes y obtendremos los valores 
de m: 
=A ( ) ( )2
2 2 4 4
 4 2 2 4 8 3 3
4 4 2 2
a
a a a
a
−
− = − +
−
 
Igualado a cero tenemos: 3a = ; 3a = − reemplazando estos valores en la matriz aumentada y 
luego escalonando vemos que comportamiento toma el sistema de ecuaciones 
 
Para 3a = : 
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 3 0 0 0 1 0 0 0 1
4 4 4 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0
b b b
b b
     
     + → − → −     
     + −     
 inconsistencia 
 
1 2 2
1 3 3
f f f
f f f
− + →
− + →
 
2 3 3f f f− + → 
Para 3a = − : 
8 4 4 4 0 12 12 4 8 0 0 0 3 9
4 8 4 3 0 12 12 1 0 12 12 1
4 4 8 2 2 4 4 8 2 2 4 4 8 2 2
b b
b b b
b b b
− − + +     
     − + → − − + → − − +     
     − + − + − +     
 
 3 1 1
3 2 2
2 f f f
f f f
+ →
− + →
 
2 1 1f f f+ → 
 
Podemos concluir que: 
Consistente determinado 3a ≠ ∨ 3a ≠ − ; b∀ 
Consistente indeterminado 3 1a b= ∧ = ∨ 3 3a b= − ∧ = − 
Inconsistente 3 1a b= ∧ ≠ ∨ 3 3a b= − ∧ ≠ − 
 
 
inconsistencia 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 33 -
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 I / 2010 
 
 
 1 Hallar los valores de “ x ” y “ y ” en los enteros tal que las matrices A y B sean equivalentes, 
 luego hallar las matrices P y Q , siendo Q distinta de la identidad, tal que PAQ B= . 
 
2 1 1
3 2 1
A
− 
=  − 
 
3 0
0 5
x
B
y
 
=  
 
 
 
Solución: Como P y Q son matrices que provienen de realizar operaciones elementales estas deben 
ser cuadradas. Analizamos su tamaño de modo que sean conformables con A : 
 
2 2 2 3 3 3 2 3
P A Q B× × × ×= 
 
Vayamos realizando operaciones elementales en la matriz A hasta obtener una matriz similar a B: 
2 1 1 0 7 / 3 5 / 3 3 2 1 3 1 2 3 3 2
3 2 1 3 2 1 0 7 / 3 5 / 3 0 5 / 3 7 / 3 0 5 7 / 3
A
− − − − −         
= → → → →         − − − − −         
 
 ( ) 2 1 12/ 3 f f f− + → 1 2f f× 2 3C C× 23C 33C 
3 3 6 3 0 6 3 0
0 5 7 0 5 7 0 5
x
A
y
−     
→ → =     − −     
  6x = , 7y = − 
 1 2 2C C C+ → 
De forma matricial se tiene:
 2 1 1 2 3 4
E E AF F F F B=  PAQ B=  2 1P E E= , 1 2 3 4Q F F F F= : 
 
Aplicando las operaciones elementales realizadas a las matrices en la matriz identidad obtendremos 
las matrices elementales: 
 
0 1 1 2/ 3
1 0 0 1
P
−   
=    
   
 
 
0 31
3 23
P
 
=  − 
 
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 0 3 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0 3 0 0 1
Q
       
       =        
               
 
1 1 0
0 0 3
0 3 0
Q
 
 =  
  
 
 
 2 Dada la matriz ( )
2 16 19
14 1 16
11 19 18
adj B k
 
 = − + 
 − 
, si se conoce el valor del siguiente determinante: 
 ( )( ) 4 107adj adj B = . Se pide hallar el valor de “ k ” y encontrar la matriz B . 
 
Solución: De la ecuación: ( ) 2 B adj B=
 
 ( ) ( )( ) 2 adj B adj adj B= : 
 
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 3
2 16 19
1 16 14 16 14 1
 14 1 16 2 1 16 1 19 1 
19 18 11 18 11 19
11 19 18
k k
adj B k
+ + ++ − − += − + = − + − + −
− −
−
 
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 34 -
 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 18 18 304 16 252 176 19 266 11 11 12337 173adj B k k k= + + − − − + − − = −
 
( ) 2 412337 173 107k− =
 
 ( ) ( )2 212337 173 107 12337 173 107 0k k− − − + =  
888
173
k = ,
23786
173
k = 
 
Usando la formula: ( ) 1
2 16 19
1 1
14 1 16
 
11 19 18
B adj B k
B B
−
 
 = = − + 
 − 
, aplicando inversa a esta ecuación: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 
1 1 1 2 1 3
 1 2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
1 16 14 16 14 1
1 1 1 
19 18 11 18 11 19
16 19 2 19 2 161
 1 1 1 
19 18 11 18 11 19 
16 19 2 19 2 16
1 1 1 
1 16 14 16 14 1
t
k k
B B adj B B
adj B
k k
+ + +
− + + +
+ + +
 + − − + 
− − − − − 
 
 = = − − −   − − 
 
 − − −
 + − − + 
( )
 
 2
18 322 428 255 11 18 322 649 237 19
1 1
 649 173 214 428 173 298
 
237 19 298 2 226 255 11 214 2 226
t
k k k k
B B B
adj B B
k k k k
+ − + − −   
   = − − = − −   
   − − + − +   
 
 
 
 ( )( ) 4 B adj adj B=
 

 4 4 107B =
 
 ( )( ) 2 22 2 107 107 0B B− + =  107B = ± 
 
Con el valor de 
888
173
k = y el determinante tenemos dos soluciones: 
 
18 888 /173 322 649 237 19 888 /173
1
428 173 298
107
255 11 888 /173 214 2 888 /173 226
B
⋅ + − − ⋅ 
 = − − ±
 − ⋅ ⋅ +  
 
71690 /173 649 24129 /173
1
428 173 298
107
34347 /173 214 40874 /173
B
− 
 = − − ±
   
Con el valor de 
23786
173
k = y el determinante existen dos valores que no son solución. 
 
 3 Encontrar la matriz X en la ecuación XA B= , donde A E F= ⋅ , siendo las matrices E y F 
 generadas por: 
 
3 2
2 
2 
2 
i j si i j
E i j si i j
si i j
×
+ < 
 = + > 
 =  
2 3
3 
3 
4 
i j si i j
F i j si i j
si i j
×
− > 
 = − < 
 =  
4 5 3
3 2 6
B
− 
=  −  
 
Solución: Generamos las matrices dadas donde “ i ” indica la fila y “ j ” la columna: 
 
11 12
3 2 21 22
31 32
2 2 2*1 2
2 2 2*1 2
2 3 2*1 3 2* 2
i j si i j e e
E i j si i j e e
si i j e e
×
+ < +     
     = + > = = +     
     = + +      
 3 2
2 4
4 2
5 7
E ×
 
 =  
   
 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 35 -
 
11 12 13
2 3
21 22 23
3 
4 1 3*2 1 3*3
3 
3* 2 1 4 2 3*3
4 
i j si i j
f f f
F i j si i j
f f f
si i j
×
− > 
− −    = − < = =     − −   =  
 2 3
4 5 8
5 4 7
F ×
− − 
=  − 
 
Realizamos el producto 3 3 3 2
2 4 28 6 44
4 5 8
4 2 26 12 46
5 4 7
5 7 55 3 89
A E F E× ×
−   
− −    = ⋅ = = = − −    −   −   
 
De la ecuación XA B= , para encontrar X despejamos:
 
1
X B A
−= ⋅
 Calculamos :
 
1
A
−
 por la adjunta: 
( ) 1 1
 
A adj A
A
− =
( ) ( ) ( )( )1 1 1 2 1 3
28 6 44
12 46 26 46 26 12
 26 12 46 28 1 6 1 44 1 
3 89 55 89 55 3
55 3 89
A
+ + +
−
− − − −
= − − = − + − + − −
− −
−
 
 0A =
 
 
1
A
−
 no existe, por lo tanto: X no existe 
 
 4 Cuales son las condiciones que deben cumplir “ x ”, “ y ”, “ z ” tal que la matriz G sea no 
 singular: 
( )
( )
( )
22 2
22 2
22 2
x x y z yz
G y y z x xz
z z x y xy
 − −
 
 = − −
 
− −   
Solución: Desarrollando los binomios calculamos G
 
: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
 2 
2
x x y yz z yz x x y z yz x x y z yz
G y y z zx x xz y y z x xz y y z x xz
z z x xy y xy z z x y xy z z x y xy
− + − − − − − −
= − + − = − − = − − −
− + − − − − − −
 
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
 1 0 
1 0
x x y z yz x yz x yz
G y y z x xz x y z y xz x y z y x xz yz
z z x y xy z xy z x xy yz
− − −
= − − − = − + + = − + + − −
− − − − −
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
 0 0 
0 0
x yz x yz
G x y z y x y x x y z x y z y x z x y x z
z x z x x z y z x y
= − + + − + − = − + + − − + −
− + − + −
Realizamos el desarrollo de La Place por la segunda columna: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 2 2 2 2 2 1 y x z y x z zG x y z y x z x x y z y x z x
z x y z x y y
+ + − + + −= − + + − − − = + + − −
+ − + + −
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 21 
1
z
G x y z y x z x x y z x y z y x z x x y z z y
y
−
= + + − − + + = + + − − + + −
−
 
Para que sea no singular: 0G ≠
 
 ( )( )( )( )( )2 2 2 0x y z y x z x x y z z y+ + − − + + − ≠ 
 
 
2 2 2 0x y z+ + ≠ , y x≠ , z x≠ , 0x y z+ + ≠ , z y≠ 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 36 -
 
 
 
 
 
PRIMER EXAMEN PARCIAL MAT 103 CURSO DE INVIERNO 2010 
 
 1 Si A y B son matrices cuadradas de orden n y poseen inversa demostrar: 
( ) ( ) ( ) ( )BAABABAABA 11 +−=−+ −− 
 
Solución: Partimos de la igualdad: ( ) ( ) ( ) ( )BAABABAABA 11 −+=−+ −− 
Distribuyendo 
1A − ( ) ( ) ( )[ ]BAAABABAABA 111 ⋅−⋅+=−+ −−− 
Sabemos que: IAAAA 11 =⋅=⋅ −− ( ) ( ) ( )[ ]BAIBABAABA 11 ⋅−+=−+ −− 
Distribuyendo ( )BA + ( ) ( ) ( ) ( ) BABAIBABAABA 11 ⋅⋅+−⋅+=−+ −− 
Distribuyendo BA 1 ⋅− ( ) ( ) ( ) BABBAABABAABA 111 ⋅⋅−⋅⋅−+=−+ −−− 
Aplicando IAA 1 =⋅ − ( ) ( ) ( ) BABBIBABAABA 11 ⋅⋅−⋅−+=−+ −− 
Aplicando BIIB ⋅=⋅ ( ) ( ) ( ) BABIBBABAABA 11 ⋅⋅−⋅−+=−+ −− 
Aplicando convenientemente IAA 1 =⋅− ( ) ( ) ( ) BABAABBAIBAABA 111 ⋅⋅−⋅⋅−+⋅=−+ −−− 
Factorizando 
1AB −⋅ ( ) ( ) ( ) ( )BAABBAIBAABA 11 +⋅⋅−+⋅=−+ −− 
Factorizando ( )BA + por derecha ( ) ( ) [ ] ( )BAABIBAABA 11 +⋅⋅−=−+ −− 
De nuevo IAA 1 =⋅ − ( ) ( ) [ ] ( )BAABAABAABA 111 +⋅⋅−⋅=−+ −−− 
 
Factorizando 
1A − por derecha ( ) ( ) ( ) ( )BAABABAABA 11 +−=−+ −− 
 
 2 Hallar la forma general de las matrices cuadradas de orden 2 que satisfagan: IA2 = . 
 
Solución: Sea 





=
dc
ba
A multiplicando por si misma 





++
++
=











=
2
2
2A
dbcdcac
bdabbca
dc
ba
dc
ba
 
 
Como es la forma general de una involutiva: IA2 =  





=





++
++
10
01
2
2
dbcdcac
bdabbca
 
Igualando elemento por elemento: 
 
12 =+bca  
b
a
c
2
1−= 
0=+ bdab  ( ) 0=+ dab  0≠b  ad −= 
0=+ dcac  ( ) 0=+ dac 0=c ∨ ad −= 
12 =+ dbc  
b
d
c
2
1−= 
Concluimos que: 
b
a
c
2
1−= ; ad −= ; aa = ; bb = . 
 
 








−−= a
b
a
ba
21A { }0IR −∈∀b
IR∈∀a
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 37 -
 
 
 
 3 Hallar la inversa de la matriz D si: B*AD = donde las matrices A y B están generadas 
 por: 
 



>
≤



=
−
×
ji
ji
si
siji
 0
 *
A
5
33 



<
≥



=×
ji
ji
si
siji
 0
 *
B
5
33 
 
Solución: Primero generemos las matrices A y B : 
Para A vemos por la condición de jisi > 0 , es una matriz triangular superior: 










=
333231
232221
131211
A
aaa
aaa
aaa










=
33
2322
131211
00
0
a
aa
aaa










=
−
−−
−−−
5
55
555
3*300
3*22*20
3*12*11*1










=
−
−−
−−
5
55
55
3*300
3*22*20
321
 
Para B vemos por la condición de jisi < 0 , es una matriz triangular inferior: 










=
333231
232221
131211
B
bbb
bbb
bbb










=
333231
2221
11
0
00
bbb
bb
b










=
3*32*31*3
02*21*2
001*1
555
55
5










=
3*32*33
02*22
001
555
55 
Hallamos D con el producto de A por B : 




















==
−
−−
−−
3*32*33
02*22
001
3*300
3*22*20
321
B*AD
555
55
5
55
55
 










++
+++
=
−−−
−−−−−
−−−−−
3*3*3*32*3*3*33*3*3
3*3*3*22*3*3*22*2*2*23*3*22*2*2
3*3*32*3*32*2*23*32*21*1
D
555555
5555555555
5555555555
 










++
+++
=
3*32*33
3*22*22*222
322111
D  










=
963
684
343
D 
Hallamos la inversa por el método de la adjunta: 
Calculemos el determinante por el método de CHIO: 
 ( ) ( )2 1
3 4 3 3 4 3
4 3
 D 4 8 6 2 0 0 2 1 2 4*9 6*3
6 9
3 6 9 3 6 9
+= = − = − − = −  36 D = 
 2212 fff →+− 
 
Hallemos la matriz de cofactores: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 

















−−−
−−−
−−−
=
+++
+++
+++
 
84
43
 1 
64
33
 1 
68
34
 1
 
63
43
 1 
93
33
 1 
96
34
 1
 
63
84
 1 
93
64
 1 
96
68
 1
332313
322212
312111
C  










−
−−
−
=
860
61818
01836
C 
MAT 103 EXAMENES RESUELTOS ING. JULIO UBERHUAGA C. 
 
 - 38 -
 
La matriz adjunta será: ( ) tCadj =D : ( )










−
−−
−
=
860
61818
01836
Dadj 
Finalmente la inversa de D será: ( )D
 D 
1
D
1
adj=− : 










−
−−
−
=−
860
61818
01836
36
1
D 1
 
 
 4 Dadas las matrices 





−
−
=
413
132
A y 





=
010
001
B encuentre las matrices C y D 
 provenientes de realizar operaciones elementales de modo que: CAD=B 
 
Solución: Como C y D son matrices que provienen de realizar operaciones elementales estas deben 
ser cuadradas. Analizamos su tamaño de modo que sean conformables con A : 
 
32333222 BDAC ×××× = 
Vayamos realizando operaciones elementales en la matriz A hasta obtener B: 
 






−
−
413
132
 = 





−
−
413
11011
 = 





− 413
101
 = 





−110
101
 = 





010
101
 = 





010
001
 
1123 fff →+ 11
11
1
ff → 2213 fff →+− 332 CCC →+ 331 CCC →+− 
Aplicando las operaciones elementales realizadas a la matriz A en la matriz identidad obtendremos