Examenes_y_practicas

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EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
145 
EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
PRIMER EXAMEN PARCIAL RESUELTO 
1.- Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición e indicar si se trata 
de una tautología, contradicción o contingencia. 
~ ~ ~q p s r s p q 
[(~q ↓ p) ↔ (s v r)] → [(~s Λ ~p) v q] 
F F V V V F V V F F F V V 
F F V F F V V V V F F V V 
F F V F V V F V F F F V V 
F F V V F F F V V F F V V 
V F V V V F V F F F F F F 
V F V F F V V V V F F F F 
V F V F V V F V F F F F F 
V F V V F F F F V F F F F 
F V F F V F V V F F V V V 
F V F V F V V V V V V V V 
F V F V V V F V F F V V V 
F V F F F F F V V V V V V 
V F F V V F V F F F V F F 
V F F F F V V V V V V V F 
V F F F V V F V F F V F F 
V F F V F F F V V V V V F 
Es una contingencia 
2.-En el siguiente diagrama de Veen sombrear 
C
C CA D C B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
D C 
A A 
B 
D C 
A 
CA D
ÁLGEBRA I 146 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.- Escriba el conjunto de verdad de la proposición de la pregunta 1 
p q r s [(~q ↓ p) ↔ (s v r)] → [(~s Λ ~p) v q] 
V V V V F F V V V F V V F F F V V 
V V V F F F V F F V V V V F F V V 
V V F V F F V F V V F V F F F V V 
V V F F F F V V F F F V V F F V V 
V F V V V F V V V F V F F F F F F 
V F V F V F V F F V V V V F F F F 
V F F V V F V F V V F V F F F F F 
V F F F V F V V F F F F V F F F F 
F V V V F V F F V F V V F F V V V 
F V V F F V F V F V V V V V V V V 
F V F V F V F V V V F V F F V V V 
F V F F F V F F F F F V V V V V V 
F F V V V F F V V F V F F F V F F 
F F V F V F F F F V V V V V V V F 
F F F V V F F F V V F V F F V F F 
F F F F V F F V F F F V V V V V F 
 
( ) ( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
P VVVV VVVF VVFV VVFF VFVF FVVV
FVVF FVFV FVFF FFVF FFFV FFFF
 
4.- Hallar las raíces quintas de la unidad 
A 
D C 
A 
B 
C 
C
CC B
C
C CA D C B
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
147 
 
1
2 2
cos sin cos72 sin 72 0.309 0.951
5 5
w i i i 
2
4 4
cos sin cos144 sin144 0.809 0.857
5 5
w i i i 
3
6 6
cos sin cos 216 sin 216 0.809 0.587
5 5
w i i i 
4
8 8
cos sin cos 288 sin 288 0.309 0.951
5 5
w i i i 
5
10 10
cos sin cos360 sin360 1
5 5
w i i 
5.- Si 
3 3
3 cos sin
4 4
4(cos sin )
2 cos sin
4 4
x i
y i
z i
Hallar 
xy
z
 
 
3 3
3 cos sin 4(cos sin )
4 4
2 cos sin
4 4
i i
xy
z
i
 
3 3
6 cos sin
4 4 4 4
3 3
6 cos sin
2 2
xy
i
z
xy
i
z
 
 
ÁLGEBRA I 148 
PRIMER EXAMEN PARCIAL PROPUESTO 
1.- Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición e indicar si se trata 
de una tautología, contradicción o contingencia. 
~ ~ ~ ~s p q r p r q 
 
2.- Escribir el conjunto de verdad de la proposición de la pregunta 1 
 
3.- En el siguiente diagrama de Venn sombrear 
C
C CA B C D 
 
4.- Determinar la validez del siguiente argumento 
P1: Si estudio no reprobaré ninguna materia 
P2: Apruebo todas las materias y obtengo un promedio mayor a 65% 
P3: Estudié 
………………………………………………. 
Q: Me gradué por excelencia 
 
5.- Si 
3 3
2 cos sin
2 2
7(cos 2 sin 2 )
3 cos sin
3 3
x i
y i
z i
 Hallar 
x
yz
 
A 
B 
C 
D 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
149 
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL RESUELTO 
1.- El conjunto 17 : ,S r s r s Z con adición y multiplicación 
definidas por: 17 17 , 17a b c d a c b d 
17 17 17 , 17a b c d ac bd ad bc es un anillo, 
demostrar la ley distributiva: a b c ab ac 
 
Solución 
 
17 17 17
17 17 17 17
a b c d e f
a b c d a b e f
 
17 17
( ) 17 ( ) ( ) ( ) 17
a b c e d f
a c e b d f a d f b c e
 
17( ) ( ( )) 17
( 17 ) ( 17 ) ( ) ( ) 17
17 17 17 17
ac ae bd bf ad af bc be
ac bd ae bf ad bc af be
a b c d a b e f
 
2.- Demostrar por inducción 
2
3
1
( 1)
2
n
i
n n
i 
2
3 3 3 3
1
( 1)
1 2 ........
2
n
i
n n
i n 
Si n = 1 
2
3 1(1 1)1
2
1 1
 
Si n = h 
2
3 3 3 3
1
( 1)
1 2 ........
2
n
i
h h
i h 
ÁLGEBRA I 150 
Si n = h+1 
2
3 3 3 3 3
1
( 1)( 2)
1 2 ........ ( 1)
2
n
i
h h
i h h 
Hay que demostrar que: 
2 2
3( 1) ( 1)( 2)( 1)
2 2
h h h h
h 
2 2
2 ( 1)( 2)( 1) ( 1)
2 2
h h h
h h 
2 2
2 ( 1)( 2)( 1) 1
2 2
h h h
h 
2 2
2 2 ( 1)( 2)( 1)
2 2
h h h
h lqqd 
3.- Con los dígitos (0,2,4,6,8) a) Cuántos números mayores a 30000 se pueden 
formar b) Cuántos menores a 60000 c) Cuántos menores a 1000 d) Cuántos sin 
restricciones. 
a) Si deben ser mayores a 30000 solamente los dígitos 4,6,8 pueden ir adelante, 
por tanto: 
4
43 3(4 3 2 1) 72P 
b) Los números menores a 60000 de 5 dígitos sólo admiten el 2 y el 4 por 
delante 
4
42 2(4 3 2 1) 48P 
Debemos añadir los numero comprendidos entre 1000 y 10000, en este caso 
solamente el cero no puede ir como primer dígito. 
4
34 4(4 3 2) 96P 
Además debemos añadir los números comprendidos entre 100 y 1000, estos 
son: 
4
24 4(4 3) 48P 
Los números entre 10 y 100 serán: 
4
14 4(4) 16P 
Y los números de un solo dígito incluyendo el cero son 5, entonces la cantidad 
total de números distintos menores a 60000 será: 
 
48 + 96 + 48 + 16 + 5 =213 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
151 
c) La cantidad total de números menores a 1000 será: 
48 + 16 + 5 = 69 
d) Sin restricciones tendremos, los comprendidos entre 10000 y 100000 
4
44 4(4 3 2 1) 96P 
Más todos los números menores a 10000 
96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 
 
4.- Resolver 
4 3 26 29 40 7 12 0x x x x 
4 3 229 40 7 12 0
6 6 6 6
x x x x 
Siendo el producto de dos de sus raíces igual a 2. 
 
Supongamos que las raíces son a,b,c,d y que cd=2 
29 40
(1);
6 6
a b c d ab ac ad bc bd cd 
7
; 2 1
6
abc abd acd bcd abcd ab 
20
1 2
3
17 17
( ) ( ) ( )( ) (3)
3 3
ac ad bc bd
a c d b c d a b c d
 
7
2 2 (2)
6
c d a b Sumando (1) + (2) se tiene 
29 7 6
3 3 2 (4)
6 6 3
a b a b 
Como 1 2ab y a b se tiene: 
2 2 1 0 ( 1 2)( 1 2) 0x x x x 
 
Reemplazando (4) en (3) 
217 172 2 0
6 6
c d como cd x x 
4 3
0
3 2
x x Por tanto las raíces serán: 
ÁLGEBRA I 152 
1 2 3 4
4 3
1 2 ; 1 2 ; ;
3 2
x x x x 
 
5.- Resolver 3 21 342 0x x 
q = 21 ; r = 342 
3 3
3 3 3 3 21342 ; 343
27 27
q
y z r y z 
2
3
1
3
2
342 343 ( 1)( 343) 0
1 1
343 7
t t t t
t y y
t z z
 
11 7 6 ; 6x y z x 
2 1 2
1 3 1 3
1 ( 7)
2 2 2 2
x w y w z 
2
1 3 7 7 3
3 4 3
2 2 2 2
x 
3 2 1
1 3 1 3
1 ( 7)
2 2 2 2
x w y w z 
3
1 3 7 7 3
3 4 3
2 2 2 2
x 
Las raíces son: 
1 2 36 ; 3 4 3 ; 3 4 3x x x 
 
SEGUNDO PARCIAL PROPUESTO 
1.- Si ( , , , ) : ,S a b b a a b Z con adición y multiplicación definidas por: 
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
( , , , )( , , , ) ( , , , )
a b b a c d d c a c b d b d a c
a b b a c d d c ac bd ad bc ad bc ac bd
 
Es un anillo, demostrar la ley asociativa. 
 
2.- Demostrar por inducción que: 
 1 2 3 4 5 6 ...... (2 1)(2 ) ( 1)(4 1)
3
n
n n n n 
 
3.- Se dispone de una colección de 20 libros y se desea saber de cuantas formas 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
153 
se pueden formar colecciones de: a) 8 libros b)12 libros incluyendo 1 c) 14 
libros excluyendo 1 d) 16 libros incluyendo 2 y excluyendo 1 e) con cuántos 
libros se pueden formar el máximo número de combinaciones y cuantos son 
4.- Resolver la ecuación 
4 3 22 27 6 4 0x x x x si dos raíces son 
iguales y de signo contrario. 
 
EXAMEN FINAL RESUELTO 
1) Resolver 
4 3 26 29 40 7 12 0x x x x 
Siendo igual a 2 el producto de dos de sus raíces 
 
4 3 229 40 7 2 0
6 6 6
x x x x 
2 ; 2 1abcd ab cd 
7
6
7
2 2 (1)
6
29
(2)
6
abc abd acd bcd
c d a b
a b c d
 
Sumando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos 
36
3 3 2
6
c d c d 
Como cd=-1 y c+d=2 se tiene la ecuación cuadrática 
2 2 1 0x x 
Cuyas raíces son: 
2 8
1 2
2
x 
Las otras dos soluciones se pueden hallar dividiendo 
4 3 2
2
2
29 40 7
2
176 6 6 2
2 1 6
x x x x
x x
x x
 
Cuyas raíces son: 
2 17 4 32 0
6 3 2
x x x x 
Siendo las cuatro raíces: 
ÁLGEBRA I 154 
1 2 3 4
4 3
1 2 ; 1 2 ; ;
3 2
x x x x 
2) Resolver mediante Cardano 3 26 17 36 0x x x 
 
6
2
3 3
q
p
 
1 6 17 36
2 1 4 9 18
1 2 5
1 0
1
 
La ecuación reducida cuyas raíces son menores en 2 unidadesque las de la 
ecuación original será: 3 5 18 0x x 
q=5 ; r=-18 
3 3
3 3
3 3
5 125
27 27 27
18
q
y z
y z r
 
2
2
125
18 0
27
125
18 18 4
27 18 18,5
2 2
t t
t
 
10,633 ; 2,633 ; 0,633 2,633 2y z x y z 
2 1 2
2
1 3 1 3
( 0,633) (2,633)
2 2 2 2
1 2,828 1 2 2
x w y w z
x i i
3 1 2
3
1 3 1 3
(2,633) ( 0,633)
2 2 2 2
1 2,828 1 2 2
x w z w y
x i i
 
Las raíces de la ecuación original son 2 veces mayores que las de esta ecuación, 
por tanto: 
1 2 34 ; 1 2 2 ; 1 2 2x x i x i 
 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
155 
3) Resolver mediante la solución de Descartes x
4
-3x
2
-6x-2=0 
 q=-3 ; r=-6 ; s=-2 
 k
6
+2qk
4
+(q
2
-4s)k
2
-r
2
=0 
 k
6
+2(-3)k
4
+((-3)
2
-4(-2))k
2
-(-6)
2
=0 
 k
6
-6k
4
+17k
2
-36=0 
 1 -6 17 -36 
4 1 -2 9 0 k
2
=4 ; k=2 
2l=q+k
2
-r/k ; 2m=q+k
2
+r/k 
2l=-3+4+6/2=4 ; 2m=-3+4-6/2=-2 
 l=2 ; m=-1 
 
x
2
+kx+l=0 ; x
2
-kx+m=0 
x
2
+2x+2=0 ; x
2
-2x-1=0 
2 4 8
2
x ; 
2 4 4
2
x 
1 2 3 41 ; 1 ; 1 2 ; 1 2x i x i x x 
 
 
 
4) Demostrar el siguiente determinante 
2 2 2
1
1 1
1
z y
z x x y z
y x
 
2
1
1 1(1 ) ( ) ( )
1
z y
z x x z z xy y xz y
y x
 
2 2 2
2 2 2
1
1
x z xyz yxz y
x z y
 
 
5) Hallar la matriz inversa de: 
1 6 2
3 1 0
1 1 1
A 
ÁLGEBRA I 156 
La matriz de cofactores será: 
1 0 3 0 3 1
1 1 1 1 1 1
6 2 1 2 1 6
1 1 1 1 1 1
6 2 1 2 1 6
1 0 3 0 3 1
1 3 2
4 3 7
2 6 19
 
La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores 
1 4 2
( ) 3 3 6 ; ( ) 15
2 7 19
Adj A Det A 
 
1
1 4 2
15 15 15
1 1 2
5 5 5
2 7 19
15 15 15
A 
 
 
EXAMEN FINAL PROPUESTO 
1) Resolver 
4 3 26 29 40 7 12 0x x x x 
Siendo igual a -1 el producto de dos de sus raíces 
 
2) Resolver mediante Cardano 3 5 18 0x x 
 
3) Resolver mediante la solución de Ferrari x
4
-3x
2
-6x-2=0 
 
4) Hallar el siguiente determinante 
1 2 2 0
1 1 0 3
0 2 1 4
0 7 1 0
 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
157 
 
5) Hallar la matriz inversa de: 
2 1 3
1 1 0
1 3 4
A 
 
PRÁCTICAS 
PRÁCTICA 1 
 
1. Mediante tabla de verdad demostrar que: 
 [~( ) (~ )] ~p q p q p 
2. Construya la tabla de verdad de: 
a) {(~ ) (~ )] ( ~ )p q r s p r 
b) [ ( ~ )] [(~ ) (~ )]r p q r q p s 
c) [(~ ) ( )] [( ~ ) ]r s q p p r s 
 luego indique si se trata de una tautología, contradicción o contingencia. 
3. Determinar el valor de verdad de los enunciados: 
a) Si 8 < 5 , entonces -2 > -7 
 
b) Una condición suficiente para que 8 + 2 = 9 - 1 es que 4 + 4 = 9 
c) a0 = 1 y (b)(b)(b)=3b 
4. Sea la proposición “Es necesario pagar 10 bolivianos y ser socio para 
entrar al teatro” ¿Cuál de las siguientes proposiciones es equivalente 
a la anterior? 
a) No ingresar al teatro o pagar 10 bolivianos y ser socio 
b) Pagar 10 bolivianos o ser socio, y no ingresar al teatro 
c) Pagar 10 bolivianos y ser socio, o no ingresar al teatro 
d) Pagar 10 bolivianos o ser socio, e ingresar al teatro 
Justificar la validez de las equivalencias con tablas de verdad. 
5. Sean A={-2,-1,0,1,2}, B={-1,0,1} 
a) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes 
proposiciones 
2 2
2
2
, , 4 17
, /1 1 2
4
x A y B x y
x
x A y B y
 
b) Negar estas proposiciones. 
ÁLGEBRA I 158 
6. Se tiene el siguiente circuito lógico: 
 
 
a) Determinar la proposición correspondiente. 
b) Simplificar y obtener la proposición resultante más simple del 
mismo. 
7. Se tiene el siguiente circuito lógico: 
 
a) Determinar la proposición correspondiente. 
b) Simplificar y obtener la proposición resultante más simple del mismo. 
 
8. Si A={1,2,3,4}, B={2,5}, C={3,4,7}, determínese (A B) x C 
 y (A x C) (B x C). 
9. Dados los conjuntos 
/ 0 5A x N x 
/ 2 6B x Z x 
Se define R A Bmediante ( , ) 2 0x y R y x 
q 
~q 
~q 
~p 
p 
~p 
q 
~q 
q 
p 
~p 
p 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
159 
a) Definir R por extensión. 
b) Representar A x B y R. 
 
10. Siendo 
A={x R/ x
2
-1<0} 
B={(-4,0]} 
C={x R/ 0<x<5} 
 Obtener [(A B) - C]
c
 y [(A B) Δ C]. 
11. Usando propiedades, demostrar que: 
a) A-(B-C)=(A-B) (A C) 
b) A [(A-B) B] (Ac Bc)c=A 
12. Una agencia de turismo efectúa una encuesta entre 5000 personas para 
determinar sus preferencias en concepto de viajes a Copacabana, 
Tarija y Santa Cruz, 2400 personas desean viajar por lo menos a 
Copacabana, 3000 personas desean viajar por lo menos a Santa Cruz, 
2100 personas desean viajar por lo menos a Tarija y Santa Cruz, 800 
personas desean viajar a Copacabana y Tarija, 1500 personas desean 
viajar a Santa Cruz y a Copacabana, 500 personas están dispuestas a 
realizar las tres excursiones. Haga el diagrama de Venn y determine: 
 
a) ¿Cuántas personas no realizarían excursión alguna? 
b) ¿Cuántas personas no mostraron interés por el viaje a Tarija? 
c) ¿Cuántas personas están dispuestas a realizar dos excursiones 
diferentes? 
 
13. En cada uno de los siguientes diagramas de Venn sombrear 
 
a) 
C
CC DCBA b) ( ) ( )
C CA C B D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
D 
B 
D 
A 
 
A B C 
ÁLGEBRA I 160 
PRÁCTICA 2 
1.Comprobar la validez del siguiente razonamiento 
P1: Si estudio, no reprobaré álgebra 
P2: No estudié y jugué baloncesto 
……………………………… 
Q: Reprobé álgebra 
 
2. Determinar la validez del siguiente argumento para cada una de las 
conclusiones propuestas.
1
 
 
P1 : Todos los matemáticos son personas interesantes. 
P2 : Algunos profesores venden seguros. 
P3 : Solamente las personas que no son interesantes se dedican a vender 
seguros. 
…………………………………………………… 
a) Los vendedores de seguros no son matemáticos. 
b) Algunas personas interesantes no son profesores. 
c) Algunos profesores no son personas interesantes. 
d) Algunos matemáticos son profesores. 
e) Algunos profesores no son matemáticos. 
f) Si Enrique es matemático, entonces no vende seguros. 
 
3.- De las siguientes relaciones 
2 2 2
1
2
2
2
3
( , ) / 4
( , ) / 1
( , ) / 3
R x y R x y
R x y R x
R x y R y x
 
 
 Graficar la relación 1 2 3R R R . 
 
4.- Sea la relación R definida en Z: ( , ) / 3 ,R a b a b k k Z 
Determinar si es una relación de equivalencia. 
 
5.-Determinar si las siguientes relaciones son funciones o no 
 
1 Seymour Lipschutz. MATEMATICAS FINITAS,Ed. McGraw-Hill Pag.48. Colección 
Shaum. 1972 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
161 
a) 
2 2
1 ( , ) / 7R x y Z y x 
b) 
2 2
2 ( , ) /R x y R y x 
c) 
2 2 2
3 ( , ) / 1R x y Q x y 
6.- Siendo A={-2,-1,1,3} representar y clasificar la función :f A Z , tal que 
la imagen de cada elemento de A es el residuo de su división por 3. 
 
7.- Con A={x,y,z}, sean , :f g A A dados por f={(x,y),(y,z),(z,x)}, 
g={(x,y),(y,x),(z,x)}. Determínese si existen: 
1 1 1 1 1 1 1, , , , ( ) , ,f g g f f g g f f g g f 
 
8.- Efectuar cada una de las operaciones indicadas. 
a) (5-3i)+(6i-3) b) 2(1-4i)-3(3-2i) 
 c) )34()34(
2
5
)34(
3
1
iii 
7.- Probar que: a) 
1 2 1 2z z z z 
b) 1 2 3 1 2 3z z z z z z . Generalice estos resultados 
8.- Demuestre la siguiente identidad: )(2
2
2
2
1
2
21
2
21 zzzzzz 
9.-.- Expresar en forma polar y exponencial los siguientes números complejos: 
a) 2+2i b)-1- i 3 c) –i d) -5 e) -4 3 +4i 
 f) 
2
3
+ i 
2
3
 
10.- Hallar: a) raíz cuadrada de 8+4 i 5 b) raíz cúbica de -11-2i , graficar la 
solución. 
ÁLGEBRA I 162 
14.- Resolver: a) izz 2 b) z4+81=0 
15.- Calcular: 
a) (i-2)[3(1+2i)-2(i-1)] b) 
2)1(
)21)(23)(21(
i
iii
 
c) 
50
31
1
i
i
 
 
PRÁCTICA 3 
1.- Mostrar que el conjunto de las raíces de la ecuación x
4 
- 1 = 0 con la 
operación multiplicación, tiene una estructura de grupo abeliano. Formar 
una tabla exponiendo la ley de composición interna „.‟ 
 
2.- Demostrar si los siguientes conjuntos {C, •} y {Q, •} (los números 
complejos y los racionalescon la operación producto ordinario) forman un 
grupo, si lo forman ¿son grupos abelianos? 
 
3.- Sabiendo que (Z
2
 , +, •) donde la suma y la multiplicación de se definen 
por : 
 
 (x, y) + (x‟, y‟) = ( x + x‟ , y + y‟) 
 (x, y) • (x‟, y‟) =( x x‟, 0 ) 
 
es un grupo abeliano, mostrar que (Z
2
 , +, •) es un anillo y clasificarlo. 
 
4.- Mostrar si ( 3) 3 : ( , )Q a b a b Q con las operaciones de 
suma y multiplicación ordinarias, tiene estructura de cuerpo. 
 
5.- El conjunto A = { (a,b,c,d) : a,b,c,d є Q } con adición y multiplicación 
definidas por: 
 
 (a,b,c,d) + (e,f,g,h) = ( a + e, b + f, c + g, d + h) 
 (a,b,c,d)(e,f,g,h) = (ae + bg, af + bh, ce +dg, cf + dh) 
 
Para todo (a,b,c,d),(e,f,g,h) de A es un anillo. Demostrar las leyes 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
163 
distributivas 
Inducción Matemática 
 
Demostrar por inducción matemática que: 
 
6.- (3
2n
 - 1) es divisible por 8. 
 
7.- 1 + 4 + 7 + · · · · · · · + (3n - 2) = 
 
 
8.- 1
3
 + 3
3
 + 5
3
 + · · · · · · · + (2n - 1)
3
 = n
2
(2n
2
 - 1) 
 
 
9.- 1
3
 + 2
3
 + 3
3
 + · · · · · · · + n
3
 = 
 
 
 
10.- (6
n + 1
 + 4) es divisible por 5. 
 
 
11.- (1 + 2 + 3 + · · · · · · · + n)
3
 = 1
3
 + 2
3
 + 3
3
 + · · · · · · · + n
3 
 
12.- 5
n
 - 2
n
 es divisible por 3. 
 
13.- Indicar el número de señales que se pueden hacer con tres banderas de 
diferentes colores tomando de uno en uno, de dos en dos y tres en tres. 
 
14.- ¿Cuantas placas de automóviles pueden fabricarse si cada placa contiene 2 
letras diferentes, seguidas de 3 dígitos diferentes?. Resolver el problema, si el 
primer digito no puede ser 0. (Considere el alfabeto con 28 letras) 
 
15.- ¿Cuántas diagonales tiene un dodecágono?. 
 
16.- Cuántos arreglos pueden hacerse con 18 libros, tomados de a 12 si: a) Se 
debe excluir en cada vez un determinado libro. b) Se debe incluir en cada vez 
un determinado libro. c) de debe incluir uno y excluir dos en cada selección. d) 
Sin restricciones 
 
ÁLGEBRA I 164 
17.- De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra 
NABUCODONOSOR. 
 
18.- Entre las estaciones de La Paz y Oruro hay 12 intermedias. ¿ Cuántas 
clases de boletos necesitará imprimir la Compañía de Ferrocarriles para los 
pasajeros?. 
 
19.- Con los dígitos pares incluido el cero. a) Cuántos números mayores a 
20000 se pueden formar. b) Cuántos mayores a 45000 c) Cuántos mayores a 
30000 y menores a 80000 d) Cuántos menores a 1000 e) Cuántos entre 1000 
y 10000 f) Sin restricciones 
 
PRÁCTICA 4 
2
 
Fuente:Algebra Superior de Hall and Knight 
1.- 
4 3 28 2 27 6 9 0x x x x siendo dos de sus raíces iguales y de signo 
contrario. 
2.- 
3 254 39 26 16 0x x x , estando las raíces en progresión geométrica. 
3.- 
3 232 48 22 3 0x x x , Estando las raíces en progresión aritmética. 
4.- 
4 3 22 21 22 40 0x x x x , Estando las raíces en progresión 
aritmética. 
5.- 
4 3 227 195 494 520 192 0x x x x , Estando las raíces en progresión 
geométrica. 
6.- 
4 3 23 10 4 6 0x x x x , siendo una raíz 
1 3
2
 
7.- Formar la ecuación cuyas raíces son: 1 2 ; 2 3 
8.- Formar la ecuación de octavo grado con coeficientes racionales una de 
cuyas raíces es: 2 3 1 
9.- Hallar la naturaleza de las raíces de la ecuación: 
4 23 12 5 4 0x x x 
10.- Si 
4 3 216 72 64 129 0x x x x Hallar el valor de ( 4)f x 
11.- Demostrar que la ecuación 
3 210 17 6 0x x x tiene una raíz 
comprendida entre 0 y -1 
12.- Resolver la ecuación 
4 3 26 12 10 3 0x x x x Sabiendo que tiene 
raíces iguales. 
 
2 Hall and Knigt. Algebra Superior Edit. Hispano Americana, 1948 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
165 
13.- Resolver la ecuación recíproca 
4 3 22 6 2 0x x x x 
14.- Resolver la ecuación recíproca 
5 4 3 25 9 9 5 1 0x x x x x 
15.- Eliminar el segundo término de la ecuación 
3 26 10 3 0x x x 
16.- Eliminar el segundo término de la ecuación 
4 3 24 2 4 2 0x x x x 
17.- Disminuir en 3 las raíces de la ecuación 
5 4 24 3 4 6 0x x x x 
18.- Resolver por Cardano 
3 228 9 1 0x x 
19.- Resolver por Cardano 
3 22 3 3 1 0x x x 
20.- Resolver por Cardano 
3 272 1720 0x x 
21.- Resolver por Ferrari y Descartes 
4 3 28 9 8 10 0x x x x 
22.- Resolver por Ferrari y Descartes 
4 3 22 7 8 12 0x x x x 
23.- Resolver por Ferrari y Descartes 
4 23 6 2 0x x x 
24.- Mediante aproximaciones de Horner encontrar una raíz de: 
3 23 5 7 0x x x 
25.- Mediante aproximaciones de Horner encontrar una raíz de: 
5 4 25 3 9 1 0x x x x 
 
PRÁCTICA 5 
 
1.- Considerando las siguientes matrices 
2 1 1
1 4 2
3 2 2
A 
3 2
3 5
1 1
B 
12 2 1
3 5 3
C 
 
2 4 5D 
1
7
3
E 
3 1 2 5
2 2 0 2
1 1 0 1
F 
 
3G 
2 1
1 3
H 
7 0 1
1 2 2
4 3 0
J 
Hallar cuando sea posible 
 
a) A+J b) (B•C)+A c) (C•B)+H d) D•E e) E•D f) J
T
-A 
g) G+(D•E) h) B+C i) J•F j) (H•C)+B k) (A•F) •J 
ÁLGEBRA I 166 
 
2.- Hallar los determinantes de las siguientes matrices 
1 2 3 4
1 3 4 5
1 4 5 6
1 5 6 7
A 
1 2 0 4
1 3 4 0
1 4 5 1
0 5 0 2
B 
0 2 1 1
1 3 0 1
2 2 1 6
1 1 0 7
C 
2 1 1 0
2 2 3 0
3 1 1 1
1 0 1 2
D 
 
3.- Verificar las siguientes identidades 
3
 
a) 
( )( )( )( )
x y z t
y z t x
x y z t x z y t x t y z x y z t
z t x y
t x y z
 
b) 
1
1
0
1
1
x y z t
y z x t
z t x y
t x y z
 
c)
3
2 2
2 2 ( )
2 2
x y z x x
y y x z y x y z
z z z x y
 
 
 
4.- Por el método de Gauss de la Matriz Aumentada y por el método de la 
adjunta hallar la inversa de las siguientes matrices 
 
 
3 Rojo Armando. ALGEBRA II. Edit. El Ateneo. Pag. 179 1985 
 EXÁMENES Y PRÁCTICAS 
 
167 
1 2 1
0 2 2
1 4 3
A 
3 0 4
1 2 1
2 1 3
B 
1 1 1
3 2 1
1 1 0
C 
5 2 1
1 2 3
1 2 1
D 
1 0 3 1
0 5 2 1
1 2 1 3
1 0 1 2
E 
 
5.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en forma matricial 
 
5 1
2 8 2
3 3
x y z
x y z
x y z
 
3 1
2 3 1
6 2
x y z
x y z
x y z
 
 
2 2
3 2 1
3
3 1
x y z
x y z w
x y z
x y z w
 
3 2 1
2 5 3
0
2 1
x y z w
x y z w
y z
x y z w
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA I 168 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 Ayres Frank, ÁLGEBRA MODERNA, Editorial McGraw Hill, Serie 
de Compendios Schaum. 1969. 
 
 Hall and Knigth. ÁLGEBRA SUPERIOR,(Teoría y Ejercicios) 
Editorial Hispano Americana , México. 
 
 DICT ISPJAE, LÓGICA INFORMATICA (Colectivo de autores del 
Instituto Superior José Antonio Echavarria) 
 
 Lazo Q. Sebastián, ÁLGEBRA MODERNA. Impresiones Soipa Ltda. 
 
 Rojo Armamdo ÁLGEBRA I Y II. Editorial El Ateneo 1966 
 
 Seymour Lipschutz. MATEMÁTICAS FINITAS, Editorial McGraw 
Hill, Serie de Compendios Schaum. 1966. 
 
 Seymour Lipschutz. ÁLGEBRA LINEAL, Editorial McGraw Hill, 
Serie de Compendios Schaum. 1968. 
 
 Seymour Lipschutz. TEORÍA DE CONJUNTOS Y TEMAS AFINES, 
Editorial McGraw Hill, Serie de Compendios Schaum. 1969.