14 ÁLGEBRA

Vista previa del material en texto

SEMESTRAL COLEGIO SACO OLIVEROS 
LOS OLIVOS I PRO I I 5TO AÑO DE SECUNDARIA 7
ÁLGEBRA _SEMANA_ 07
FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN
Es el proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica racional entera es presentada como el producto de dos o más factores primos.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide exactamente, por lo cual también es llamado divisor.
Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel polinomio que no se puede descomponer en otros factores. Racionales dentro del mismo campo.
Ejemplo:
El proceso
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab	es una multiplicación.
En cambio el proceso
x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)		es una factorización
Donde:
(x + a) y (x + b) son factores primos.
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
I. Factor Común Monomio
Consiste en extraer la parte que se repite en todos los términos para lo cual se extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente.
Ejemplo:
Factorizar:	 
	
E = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2
El factor común monomio será x2y2. Ahora dividiremos cada uno de los términos cada uno de los términos entre dicho factor común, para lo que queda en el polinomio. Luego de dicho proceso se tendrá:
II. Factor Común Polinomio
Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajo los siguientes criterios:
A) De acuerdo al número de términos
Ejemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.
B) De acuerdo a los coeficientes de los términos:
Ejemplo: 
Factorizar:		E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12
Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y en forma ordenada.
En cada uno de los tres grupos:
E = x6(x4 + y4) + y8(x4 + y4)
Factor Común Polinomio (x4 + y4). Ahora dividamos cada agrupación entre el factor común polinomio.
Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores, tiene un único divisor que es sí mismo
Esta expresión tendrá 2 factores primos
III. Método de los productos notables o identidades
Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.
Recordemos los siguientes:
A) Trinomio Cuadrado Perfecto
A2 2AB + B2 = (A B)2
Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.
Ejemplo:
Luego, es T.C.P.
B) Diferencia de Cuadrados
A2 – B2 = (A + B) (A – B)
Ejemplos:
1. Factorizar:	x4 – 4b2
Resolución:
Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)
2. Factorizar:	x2 + 2xy + y2 – z6
Resolución:
x2 + 2xy + y2 – z6 (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3)
C) Suma o Diferencia de Cubos	
A3 B3 = (A B) (A2 AB + B2)
Ejemplo:
Factorizar:		27x3 – 8
Resolución:
(3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)
IV. ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar expresiones trinomios o aquella que adopten esa forma: 
Ax2m + Bxmyn + Cy2n
Ejemplos:
Factorizar:	
a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28
(a + b)2 + 3(a + b) – 28 (a + b + 7) (a + b – 4)
V. ASPA DOBLE
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: 
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
Ejemplos:
1. Factorizar:
La expresión factorizada es:
(5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)
2. Factorizar:
La expresión factorizada es:
(3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)
VI. ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:	Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E. 
Regla:
1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente, se calcula la suma del product6o en aspa.
2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomio
Ejemplo:
Factorizar
VII. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Con éste método se busca uno o más factores binomios primos
Consideraciones:
1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).
2. 
Los demás factores se encuentran al efectuar: 
3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:
Ejemplo:
Factorizar:		
P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6
Posibles ceros = (1, 2, 3, 6)
Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini
		
R = 0: lo que significa que es un cero y luego un factor es:
Luego:	
P(x) = (x +1) (x2 – 5 x + 6)
 x –3
 x –2
 P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2)
VIII. MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS
Se inspecciona el dato, comparándolo con alguna identidad conocida, la mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para constituir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato, naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen. Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.
Ejemplo:
Factorizar:
 x4 + 64y4
 x4 + 64y4 + 16x2y2 – 16x2y2
 x4 + 16x2y2 + 64y4 – 16x2y2
 (x2 + 8y2)2 – (4xy)2
Donde:
(x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy)
AUTOEVALUACIÓN ………………………………………………….
1. La cantidad de factores primos del siguiente polinomio en :
Representa el día de fecha de pago mensual del recibo de internet de Pablo. Además, la empresa de internet da una tolerancia a sus clientes de 7 días hábiles. Si hoy es jueves 2 de cierto mes y Pablo no cancelo el recibo de internet, ¿Qué día le cortaran el servicio?
A. miércoles 15
B. viernes 10
C. lunes 13
D. martes 14
2. La cantidad de factores primos lineales del polinomio en :
Nos indica la cantidad de hojas que tiene que escribir Jorge de una fórmula del tema de productos notables. Si la tarea consiste en rellenar toda la hoja, ¿Cuántas páginas en total escribió Jorge?
A. 4
B. 3
C. 6
D. 8
3. Kiara recolecta de un bosque manzanas, al llegar a su casa reparte manzanas a cada uno de sus sobrinos. Al día siguiente utiliza manzanas para preparar un pie. Al final, la cantidad de manzanas que le queda se expresa como un polinomio , ¿Cuál será uno de los factores primos al factorizar al polinomio en ?
A. 
B. 
C. 
D. 
4. Se desea ampliar una piscina de forma rectangular de metros de ancho y metros de largo:
· metros al ancho
· metros al largo
Si el área que ocupa esta piscina ampliada es: 
Calcule el perímetro de la nueva piscina rectangular.
A. 
B. 
C. 
D. 
5. Indique la cantidad de factores que tiene el polinomio:
Al factorizarlo en .
A. 16
B. 3
C. 15
D. 4
6. Se tiene dos circunferencias de radios y , donde el polinomio representa la diferencia positiva de las áreas de las circunferencias. Calcule la suma de los factores primos del polinomio si se sabe que .
A. 
B. 
C. 
D. 
7. El polinomio se descompone en 2 factores primos lineales de la forma y donde . El polinomio se puede descomponer 2 factores irreductibles en de la forma y . Calcule el valor de .
A. 3
B. 2
C. 
D. 0
8. Un comerciante vende un promedio de artículos a la semana a un precio unitario de soles; por cada ingreso de 1 sol en el precio, el comerciante pierde un cliente. Si es el ingreso obtenido por la venta de estos artículos, determine y , donde es el número aumentos, es el precio y es la cantidad vendida. 
A. 
B. 
C. 
D. 
9. Wanda tiene ahorrado soles y Cosmo tiene soles. Cierto día asisten a un centro comercial y comprar un televisor que tiene un costo de soles, ambos juntan el dinero que han ahorrado y pagan dicho televisor, después compran un equipo de sonido valorizado en soles. ¿Cuánto dinero les quedará en total después de dichas compras? Exprese dicho monto en factores primos.
A. 
B. 
C. 
D. 
10. Una de las películas más esperadas en el año 2021 por los fanáticos de Marvel fue: , cuya taquilla tuvo una recaudación de millones de USD. Además, representa la cantidad de factores algebraicos del polinomio: factorizado en . ¿Cuál fue dicha recaudación?
A. 1.863 miles de millones USD
B. 1.873 miles de millones USD
C. 1.883 miles de millones USD
D. 1.893 miles de millones USD
11. Sea ; , la expresión matemáticaque representa el volumen del paralelepípedo rectangular de base cuadrada, mostrado en el gráfico:
Si las dimensiones del paralelepípedo son los factores primos lineales del polinomio . Calcule , si y . Además 
A. 
B. 
C. 
D. 
12. Factorice el polinomio sobre :
E indique la cantidad de factores primos.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
13. La cantidad de factores primos lineales al factorizar el polinomio en :
Representa, en miles, la cantidad de camisetas que vende y produce la empresa y la suma de factores primos representa el ingreso de dicha empresa. ¿Cuál es la cantidad de camisetas y dicho ingreso de la empresa? 
A. 3000; 
B. 5000; 
C. 4000; 
D. 4000; 
14. El crecimiento anual de un animal en un tiempo está representado por el polinomio donde el polinomio . Si el polinomio es factorizable sobre . ¿Cuál será el crecimiento de dicho animal en el tercer año?
A. 10
B. 13
C. 12
D. 11
15. La cantidad de factores primos del polinomio en nos indica la cantidad de carros que tiene Gianluca. El día de su cumpleaños le regalan el doble de los que ya tiene, ¿Cuántos carros en total tiene Gianluca después de su cumpleaños?
A. 6
B. 4
C. 12
D. 9
PRACTICA DOMICILIARIA………………………………….
1. El método del factor común se aplica en polinomios donde sus términos tienen una o más variables y/o constantes comunes. Por ejemplo el polinomio se puede factorizar en , ¿Cuántos factores primos lineales tiene?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
2. La factorización del polinomio en se puede aplicar el método de las identidades de los productos notables, donde uno de los factores primos es …
A. 
B. 
C. 
D. 
3. El polinomio se puede expresar como una multiplicación de factores primos, Dicha factorización se puede expresar en , indique cuantos factores primos tiene el polinomio .
A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
4. Se tienen los siguientes polinomios:
Calcule la suma de factores primos del polinomio , si se sabe que:
A. 
B. 
C. 
D. 
5. Factorice el polinomio en :
Indique como respuesta la suma de factores primos lineales.
A. 
B. 
C. 
D. 
6. A finales del año 1990, las edades de los hermanos Juan, María y José eran respectivamente. Si consideramos que las edades de estos hermanos después de años, a partir de 1990, son los factores primos del polinomio . Indique la suma de las edades del menor y mayor de los hermanos en términos de .
A. 
B. 
C. 
D. 
7. Sea el número de monedas que se tiene. Al agrupar las monedas en cantidades de se obtiene de forma exacta grupos; además . Calcule .
A. 
B. 
C. 
D. 
8. Un fabricante de artesanías vende un aproximado de artículos de cierto modelo a un precio de 15 soles la unidad. Por cada incremento de 2 soles en el precio, el fabricante deja de vender 3 artículos. Si consideramos que el ingreso , donde es el número de aumentos. Calcule la cantidad de artículos en aumentos.
A. 
B. 
C. 
D. 
9. Se tiene dos esferas de radios: y , donde ; además es el polinomio que representa la diferencia positiva de los volúmenes de las esferas. Calcule el factor primo cuadrático del polinomio:
A. 
B. 
C. 
D. 
10. Factorice el polinomio:
En los racionales e indique la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos.
A. 9
B. 3
C. 7
D. 5
ÁLGEBRA _SEMANA_ 08
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Igualdad 
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2x + 3 = 5x − 2
Una igualdad puede ser: 
· Falsa:	2x + 1 = 2 · (x + 1)     
	2x + 1 = 2x + 2   
 1≠2.
· Cierta:	2x + 2 = 2 · (x + 1)     
2x + 2 = 2x + 2    
2 = 2
Identidad 
Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.
2x + 2 = 2 · (x + 1)     
2x + 2 = 2x + 2    
2 = 2
Ecuación
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.
x + 1 = 2        
 x = 1 
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros.
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.
Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
2x − 3 = 3x + 2    
x = −5
Reemplazando: 
2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2        
					− 10 −3 = −15 + 2        
		 −13 = −13 
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
Tipos de ecuaciones según su grado
5x + 3 = 2x +1        Ecuación de primer grado.
5x + 3 = 2x2 + x  	Ecuación de segundo grado.
5x3 + 3 = 2x +x2      Ecuación de tercer grado.
5x3 + 3 = 2x4 +1     Ecuación de cuarto grado.
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCOGNITA
Forma general de una ecuación polinomial de grado “n”:
RAIZ DE UN POLINOMIO
Sea: 
Diremos que “” es una raíz de un polinomio P(x) si y solo si P() = 0
Consecuencia: es raíz de P(x) si y solo si (x - ) es factor de P(x)
Ejemplo: Sea P(x) = x3 – 2x2 – x + 2
Se observa que: 
P(-1) = 0; P(1) = 0; P(2) = 0. 
Luego, -1; 1; 2 son raíces de dicho polinomio. Por lo tanto: (x + 1), (x – 1), (x – 2) son factores de dicho polinomio.
RAÍZ MULTIPLE
“” es raíz de multiplicidad “k” de P(x):
Ejemplo: P(x) = (x – 2)3 (x + 3)2 (x – 1)
Entonces, tenemos que:
* 2 es raíz de multiplicidad 3
* -3 es raíz de multiplicidad
* 1 es raíz simple.NOTA:	Un método práctico para hallar las raíces de un polinomio es factorizar al polinomio e igualar cada factor a cero.
Ejemplo: Determinar las raíces de:
			P(x) = (x + 2)3 (x – 5)2 (x – 8)
Solución:
Igualando cada factor a cero.
x = 8 es una raíz simple
x = 5 es raíz de multiplicidad 2 o raíz doble.
x = -2 es raíz de multiplicidad tres o raíz triple.
TEOREMA DE CARDANO
Sea la ecuación polinomial de grado “n”
Cuyas raíces son: x1; x2; x3;…; xn
SUMA DE RAÍCES
SUMA DE PRODUCTOS BINARIOS
SUMA DE PRODUCTOS TERNARIOS
PRODUCTO DE RAÍCES
Ejemplo 1: P(x) = 2x2 – x + 7
			 (+) (-) (+)
Ejemplo 2: P(x) = 3x3 + 6x + 8
 P(x)= 3x2 + 0x2 + 6x + 8
 	 (+) (-) (+) (-)
Ejemplo: P(x) = 2x7 + 3x6 + x3 – 6 
 P(x) = 2x7 + 3x6 +0x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x – 6 
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
Todo polinomio de grado 1 posee al menos una raíz compleja.
Corolario: Todo polinomio de grado “n” posee exactamente “n” raíces entre complejas y reales.
Ejemplo:	P(x) = x3 – 5 Tiene 3 raíces 
 	P(x) = x20 Tiene 20 raíces 
Ejemplo 
Resolver: (x – 2)3 (x + 1)2 (x – 5) = 0
- RAÍCES:
 	x1 = 2; x2 = 2; x3 = 2; x4 = -1; x5 = -1; x6 = 5
- SOLUCIONES: 2; -1; 5
 	 C.S. = 2;-1;5
Se deduce que:
 # RAÍCES # SOLUCIONES
	
TEOREMA (DE PARIEDAD DE RAÍCES)
Sea P(x) un polinomio de grado “n”, n N, entonces se cumplen los siguientes teoremas: 
I. Si P(x) es un polinomio de coeficientes reales y una raíz es
 
entonces la otra raíz es 
.
Ejemplo: 	
* Si una raíz es 3+2i entonces la otra raíz es 3-2i.
* Si una raíz es (-i) entonces la otra es (i).
II. 
Si P(x) es un polinomio, de coeficientes racionales y una raíz es entonces, la otra raíz de P(x) es 
Ejemplos:
2 + 2 - 
 
III. 
Si P(x) es de coeficientes racionales , donde una raíz es , entonces, otras raíces de P (x) son: ; ; -.
Ejemplo:
				
Ejercicio: 
Si P(x) = x5 – 3x4 + ax + b. Tiene como raíces a 1 +i y 1 + . Hallar “b”, si a, b R
Solución:
Por el teorema de la paridad de raíces:
Por teorema de Cardano: 
Por el teorema de Cardano:
MATERIAL DE CLASE
1. Si 2 es una solución de la ecuación indique el producto de las otras raíces.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
2. Al resolver la siguiente ecuación polinomial:
Indique la cantidad de soluciones, raíces y la raíz de mayor multiplicidad respectivamente.
A) 4; 12; 4
B) 3; 3; 4	
C) 3; 12; 0
D) 4; 12; 0
3. Para celebrar el día del maestro, los alumnos de la academia deciden comprarle algunos regalos a su profesor favorito, el profesor de álgebra. El número de regalos que compraran y el costo de cada regalo, en decenas de soles, está representado por el número de raíces reales y complejas respectivamente de la siguiente ecuación polinomial:
¿Cuánto dinero gastaran los alumnos?
A) 2520 soles	
B) 162	0 solesC) 1140 soles	
D) 1720 soles
4. La edad de Diego es a la edad de Lourdes como 5 es a 1. Si la edad de Diego es años donde con , son elementos del conjunto solución de la ecuación ¿cuántos años le falta a Lourdes para obtener el DNI azul? 
A. 8 años
B. 5 años
C. 2 años
D. 7 años
5. En la siguiente ecuación polinomial:
Cuyas raíces son y , calcule el valor de 
A. 23
B. 24
C. 25
D. 26
6. La ecuación en 
Tiene dos raíces opuestas. El precio de un celular es cientos de soles. Determine cuánto debería pagar Diego, si le realizan un descuento del sobre dicho pago.
A. 720 soles
B. 640
C. 740
D. 820
7. Cierto día Javier le pregunta a su compañera de universidad, Roxana, por su edad, a lo que ella le contesta: “Los años que tengo coincide con el mayor valor de en el polinomio en el cual una de sus raíces es el cuádruple de la otra”. Al día siguiente, Javier le dice: “Ya sé cuál es tu edad, la mía es el cuadrado de la raíz restante de tu polinomio”. ¿Cuántos años es mayor Javier que Roxana?
A. 5 años
B. 8
C. 4
D. 6
8. La casa de Juan tiene tres patios planos de forma cuadrada. Los valores numéricos de las longitudes de la cantidad de metros de los lados de los tres patios son las raíces del polinomio Si el hijo de Juan, Juancito, quiere hallar el área total de los tres patios juntos como parte de una tarea escolar, ¿qué medida encontró Juancito?
A. 53 
B. 80
C. 61
D. 48
9. Si a, b y c son las raíces de
Calcule:
A. 36
B. 42		
C. 24
D. 50
10. Si es una raíz de ,, donde m y n representan las edades en años de Carla y Carlos respectivamente, halle la suma de cifras de la mayor edad entre Carla y Carlos.
		A) 6	
		B) 7	
		C) 8 	
		D) 9	
11. La edad de Anita, en años, es ; donde es una raíz del polinomio . Si es otra raíz de , calcule la edad de Anita.
		A) 26	
		B) 27	
		C) 28 
		D) 25
12. Halle la suma de las inversas de las raíces de la ecuación .
A. 0,5
B. 5
C. 3
D. 1,2
13. Dada la ecuación bicuadrada:
Indique el valor de verdad de las siguientes preposiciones:
I. El valor de a es 12.
II. La ecuación tiene dos soluciones enteras.
III. La ecuación tiene dos soluciones no reales.
IV. La suma de soluciones es -1.
A) FFVV	
B) VVVV	
C) VFVV
D) VFVF	
14. Hallar el polinomio mónico de grado mínimo con coeficientes enteros que tiene como raíces a , , 2 y , además la suma de sus coeficientes es cero. De como respuesta el termino independiente.
A. 	
B. 	
C. 
D. 	
15. Determine el polinomio mónico de menor grado posible y con coeficientes reales que tiene como raíces a los números y 
A. 
B.
C.
D.
PRÁCTICA DOMICILIARIA…………………………………
1. En la siguiente ecuación polinomial:
		Cuyas raíces son . Indique el valor de:
A) 8	
B) 11
C) 21
D) 18
2. Una raíz del polinomio es . Indique el producto de todas las raíces.
A. 
B. 
C. 
D. 
3. El número reproductivo básico permite determinar cuándo una enfermedad infecciosa puede dar lugar a un brote epidémico. Si (la infección puede llegar a propagarse ampliamente), si (la infección desaparece tras un largo periodo); estudiando un modelo matemático de la Rubeola se obtuvo un ; donde y son raíces de . Halle y su repercusión.
A. , la infección tiende a propagarse.
B. , la infección tiende a desaparecer.
C. , la infección tiende a desaparecer.
D. , la infección tiende a propagarse.
4. En la ecuación de raíces y , indique el valor de
A. 
B. 
C. 
D. 
5. Si y son raíces del polinomio , halle la suma de la tercera raíz y el valor de .
A. 
B. 1
C. 
D. 3
6. Al resolver la siguiente ecuación polinomial:
Indique la cantidad de soluciones, la suma de soluciones, la cantidad de raíces y la raíz de menor multiplicidad respectivamente.
	A) 4; -4; 15; 2	
	B) 3; 4; 16; 0
	C) 4; 4; 12; 1		
	D) 4; -4; 16; -3
7. Si el polinomio Mónico de tercer grado es tal que y tiene como raíces a –1 y 2, halle .
A) 2	
B) 3	
C) 4	
D) 5
8. La siguiente ecuación bicuadrada:
		Cuyas raíces son .
		Calcule el valor de la siguiente expresión:
A) 1	
B) -1	
C) 4	
D) 0
9. Si las soluciones positivas de la ecuación bicuadrada:
representan las edades en años de los hijos de Martha, halle la diferencia de las edades de los hijos de Martha. Además .
A) 2 años	
B) 7 años 	
C) 6 años
D) 4 años
10. José es dueño de una casa de cambios y para proteger sus ganancias contrata a la compañía FENIX para que le fabriquen una caja fuerte de acero, esta caja debe tener la forma de un paralelepípedo rectangular recto con volumen de 10800 y la suma de sus aristas es igual a 68 . Si y son las aristas de dicha caja y a la vez son las raíces del polinomio además la compañía cobra 5000 dólares por metro cuadrado de acero, ¿cuánto tendrá que pagar José por su caja fuerte?
A. 1435 dólares
B. 1500 dólares
C. 1650 dólares
D. 5100 dólares
ÁLGEBRA _SEMANA_ 09
SISTEMA DE ECUACIONES – DETERMINANTES
DEFINICIÓN: es aquel sistema de 2 o más ecuaciones para 2 o más incógnitas las cuales verifican simultáneamente el conjunto solución.
Métodos de resolución de un sistema de 2 o 3 ecuaciones con 2 o 3 incógnitas.
0. Igualación
0. Sustitución
0. Reducción ( el más común)
0. Determinantes
0. Matrices
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
El siguiente es un sistema de ecuaciones:
Este sistema esta conformado por 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Resolver un sistema significa encontrar; valores de las incógnitas que las satisfagan simultáneamente.
En nuestro ejemplo; al resolver el sistema; tales valores de las incógnitas son:
x = 2		e	y = -3
¿Podemos comprobar?
Claro que si; podemos reemplazar estos valores en cada una de las ecuaciones del sistema.
En (1) :	2(2) + (-3) = 1	 1 = 1
En (2) :	5(2) – (-3) = 13	 13 = 13 
¡Comprobado!
Al conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen a las ecuaciones del sistema, se le llama SOLUCIÓN COMÚN O 
CONJUNTO SOLUCIÓN.
MÉTODO DE REDUCCIÓN.-
Procedimiento a seguir:
1. Preparamos las ecuaciones del sistema; eliminando signos de colección; reduciendo términos semejantes; suprimiendo denominadores y transponiendo términos; hasta que el sistema tenga la siguiente forma:
Donde x e y son las únicas incógnitas y a, b, c , d, e y f son los coeficientes.
2. Aplicando las propiedades de ecuaciones; hacemos que los coeficientes de la incógnita que se desea eliminar; sean números opuesto en ambas ecuaciones. Por ejemplo; luego de aplicar las propiedades de ecuaciones el sistema debe quedar así:
Donde los coeficientes de “y” son 4 y -4; respectivamente.
3. En seguida sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones; eliminándose los términos con incógnitas “y”
4. La ecuación que resulta solo tiene a “x”, como incógnita, lo cual procedemos a despejar.
5. El valor de “x”; hallado en el paso anterior se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema; de donde despejamos ahora “y”.
Ejemplos:	Resolver el sistema:
Solución:	Si multiplicamos (2) por 2, tendremos los términos en y con coeficientes opuestos:
2x – 2y = -2 ……	(3)
Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (3)
Despejamos x de la nueva ecuación: 
Reemplazamos el valor de x obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema:
 	Respuesta: La solución común que satisface al sistema es x = 5 e y = 6
	
Determinante de orden 2.- Es el desarrollo de una matriz cuadrada que presenta dos filas y dos columnas y cuya representación matemática y desarrollo es:
		 Ds : Diagonal Secundaria
 = a1 b2 – a2 b1
 Dp : Diagonal principal
Ejemplo: El desarrollo de:
 2 = , es :
2 = Dp – Ds = 5(-5) – (-3)(4)
2 = -25 + 12 = -13 2 = -13
Determinante de orden de tres.- Es el desarrollo de una matriz cuadrada de 3 filas y 3 columnas; su representación matemática es:
3 = 
Y su desarrollo por menores complementarios; es:
3 = a1 - b1 + c1 
ó también 
3 = 	a1 (b2 c3 – b3 c2)-b1 (a2 c3 – a3 c2)+ c1 (a2b3 - a3b2)
Ejemplo: Calcular:
Desarrollando
 3 = 2 + 3 + 1 
 3 = 2 (1 + 6) + 3 (-4 + 10) + 1 (12 + 5)
 3 = 14 + 18 + 17 
 3 = 49
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
CON DOS INCÓGNITAS
Dado el sistema lineal:
a1 x + b1 y = c1 .............. ()
a2 x + b2 y = c2 .............. (ß)Su resolución por la regla de Kramer teniendo en cuenta que:(a1 b2 – a2 b1 0)
es:
Donde:
x = Determinante de x
y = Determinante de y
s = Determinante del sistema
Ejemplo 1.- Calcular “x” en el sistema:
5x – 3y = 11 .............. ()
4x - 5y = 1 ..............(ß)
Solución:
De acuerdo a la teoría:
 x = 4 	Rpta.
Ejemplo 2.- Calcular “y” en el sistema:
 -7 x + 5y = -45 ................. ()
 4x - 3y = 26 ................. (ß) 
Solución
Para el cálculo de “y” tenemos:
 y = -2 Rpta. 
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN
1. Si: x, y R y s 0 el sistema es compatible determinado, y hay una solución única.
2. Si: x = 0; y = 0 y s = 0, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
3. Si x 0; y 0 y s = 0, el sistema es incompatible, no tiene solución
.
Ejemplo: Dado el sistema
	2x + ky = 5 k ........... ()
	5x – 4 y = -27 ……….. (ß)
para que valor de “K”; es incompatible
Solución
Calculando “x”, vemos que:
Para que no exista solución debe cumplirse que:
-5 k – 8 = 0 k = 	 Rpta.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
CON TRES INCÓGNITAS
Dado el sistema lineal:
a1 x + b1 y + c1 z = d1 .............. ()
a2 x + b2 y + c2 z = d2 .............. (ß)
a3 x + b3 y + c3 z = d3 .............. ()
Su resolución por la regla de KRAMER, (donde s 0) es:
= 
= 		 	
Ejemplo 1: Calcular el valor de “y” en el sistema:
	 5 x – 2y + 3 z = 6 	..............	(1)
	 7x + 3y – 4 z = 6	..............	(2)
	-2 x + 4y + 3 z = 5	..............	(3)
Solución
Por determinantes, se tendría:
y = 
 y =1 Rpta.
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN:
1. Si: x, y, z R y s 0, el sistema es compatible determinado.
2. Si x = 0 ; y = 0; z = 0 y s = 0, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
3. Si x 0; y 0, y s 0, el sistema es incompatible, no tiene solución:
Ejemplo: Dado el sistema:
-2k x – 3 y + (k + 5) z = 13	..........	(1)
 x + y - z = 0	...........	(2)
 3 x – 2 y + 2 z = 10	...........	(3)
¿Para que valor de “k”; el sistema es compatible indeterminado?
Solución
Calculando “x” vemos que:
De donde:
x = 
Para que sea compatible indeterminado:
X = 
1) –10 k – 20 = 0 K = -2
2) –5 k - 10 = 0 K = -2
 k = -2 Rpta.
MATERIAL DE CLASE
1. Supongamos que, en una región del centro de la ciudad con calles de sentido único, los promedios de vehículos que entran o salen de intersecciones por minuto se muestran en este diagrama:
Sea los promedios de los vehículos que entran o salen de cada una de las cuatro intersecciones que se muestran en el diagrama por minuto. ¿Cuáles son los valores de ?
A. 
	
	
	
	
	16
	1
	11
	34
B. 
	
	
	
	
	11
	1
	16
	34
C. 
	
	
	
	
	34
	1
	16
	11
D. 
	
	
	
	
	16
	1
	34
	11
2. Eitri realiza sus trabajos de orfebrería, con dos tipos de aleaciones: Uno de tipo que contiene 60% de oro, cuyo precio por gramo es de 70 soles y el otro del tipo que contiene 90% de oro, cuyo precio por gramo es de 110 soles. Si Eitri invirtió 24 400 soles en elaborar una placa recordatoria que contenía 204 gramos de oro, calcule el número de gramos de cada tipo de aleación que usó para hacer dicha placa.
A. 
B. 
C. 
D. 
3. La federación peruana de futbol compró 200 prendas deportivas entre pares de medias, shorts y camisetas, gastando 7500 dólares. El costo de un par de medias es de 16 dólares, un short cuesta 50 dólares y una camiseta cuesta 80 dólares. Además, la cantidad de pares medias es igual a la cantidad de shorts y camisetas juntos. ¿Cuántos shorts se compraron?
A. 70
B. 60
C. 100
D. 30
4. En un jardín hay 22 árboles entre naranjos, limoneros y membrillos. El doble del número de limoneros más el triple del número de membrillos, es igual al doble de naranjos. Además, sabemos que el número de naranjos es el doble del número de limoneros. ¿Cuántos limoneros hay en el jardín?
A. 12 
B. 4
C. 8
D. 6
5. Se tiene cubos metálicos de diferentes pesos y de colores azul, blanco y crema. Los cubos de un mismo color tienen el mismo peso. Si dos cubos azules pesan tanto como tres cubos blancos y seis cubos azules pesan igual que cuatro cubos cremas más dos cubos blancos, ¿Cuántos cubos blancos pesan lo mismo que una docena de cubos cremas?
A. 21
B. 23
C. 20
D. 18
	
6. Resuelva el siguiente sistema
E indique la terna del conjunto solución.
A. 
B. 
C. 
D. 
7. El menor valor entero positivo que adopta para que el sistema de variables e :
Admita una solución, representa la cantidad de dados que tiene Javier. ¿Cuál será la máxima cantidad de puntaje que se podrá obtener Javier al lanzar los dados?
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24 
8. Dado el sistema lineal en e :
No admite soluciones; además, el valor absoluto de representa la cantidad de hermanos que tiene Kevin, hijo de Shirley y Paul. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio de Shirley y Paul?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 5
9. Juan quiere vender televisores a S/ 1800, además se tiene el sistema dado en e :
Donde representa la suma de todos los valores reales que admite . ¿Cuánto ganara Juan, si cada televisor le costó S/ 500?
A. 14300
B. 15600
C. 26000
D. 13000
10. Dos números y , distintos entre sí, son tales que si al número se le suma su recíproco resulta igual al número , aumentado en 6 y, recíprocamente, si al número se le suma su recíproco resulta el número , aumentado en 6. Si el producto de dichos números es , calcule la suma de los cuadrados de y .
A. 34
B. 35
C. 37
D. 38
11. Fiorella es una ingresante del ciclo 2021 - II, el cual, como premio por el esfuerzo, su padre le da como propina: soles, donde e se obtienen al resolver el siguiente sistema:
¿cuánto recibió Fiorella de propina?
A. S/ 250
B. S/ 233
C. S/ 223 
D. S/ 220
12. Edgar cumplirá el próximo mes 26 años, exactamente hace una década tenía años, donde:
En un día como hoy, ¿cuántos años tendrá Edgar dentro de años?
A. 29 años
B. 30 años
C. 28 años
D. 31 años
13. El valor absoluto de la determinante:
Representa el dinero de Juan, si él quiere comprar ciertos productos detallados a continuación:
	PRODUCTO
	PRECIO UNITARIO EN SOLES
	3 cajas de ají de 6 unidades
	S/ 4 cada ají
	10 six packs de Pilsen
	S/ 3 cada botella o lata de cerveza
	8 paquetes de chorizo de 5 unidades
	S/ 16 cada paquete de chorizo
	50 unidades de pan ciabatta
	S/ 1 cada pan 
¿podrá comprar todos los productos?
A. No, le faltaría 50 soles.
B. Si, le sobraría 50 soles. 
C. No, le faltaría 10 soles.
D. Si, le sobraría 10 soles.
14. La cantidad de soluciones del sistema homogéneo:
Representa el número de comidas que recibe al día un estudiante de un colegio nacional, si dicho colegio tiene 4 salones (por turno) de 23 alumnos, ¿Cuántas comidas se reparten en total en una semana? Además, las clases escolares son de lunes a viernes en tres turnos. 
A. 276 
B. 1380
C. 1656
D. 460
15. Siendo un número real, que satisface al sistema:
No posee solución si y solo si, es:
I. Un número par.
II. Un número múltiplo de 3.
III. Un número natural.
IV. Un número entero.
¿Cuáles son correctas?
A. I; IV
B. Solo IV
C. II; IV
D. Todas 
PRACTICA DOMICILIARIA………………………………………
1. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 personas entre hombres adultos, mujeres adultas y niños. Una de las personas del grupo dice lo siguiente: “contando el número de niños, este resulta ser la tercera parte del total de hombres y mujeres”, otra persona le responde: “si hubiera acudido una mujer más, entonces la cantidad de hombres y mujeres que van a la excursión serian iguales”. ¿Cuántos hombres fueron a la excursión?
A. 5
B. 7
C. 6
D. 8
2. En un concurso de marinera se repartirán S/ 144 000 en ocho premios: un premio mayor; tres segundos premios y cuatro terceros premios. Cada tercer premio equivale a la cuarta parte de cada segundo premio, mientras que el premio mayor es igual a la suma de los otros siete premios menos S/ 64 000. Calcule la suma del monto del premio mayor y del segundo premio.
A. S/ 64 000
B. S/ 118 000
C. S/ 46 500
D. S/ 66000
3. Tommy, Esaud y Darwin tienen chipitas, respectivamente cada uno. Cierto día los 3 juegan y obtiene los siguientes resultados:
I. 1er juego: los 3 tienen en total 9 chipitas.
II. 2do juego: Tommy gana el doble de chipitas que tenía al inicio y Darwin tiene la misma cantidad inicial, entre los dos tienen en total chipitas.
III. 3er juego: Esaud y Darwin mantienen la cantidad inicial de chipitas y juntos tienen chipitas.
¿Cuántos chipitas tenía inicialmente Darwin?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4. Mike tiene 70 manzanas y decide regalar manzanas a cada uno de sus amigos. Siendo 
¿Cuántas manzanas le quedará a Mike, si se comió manzanas?
A. 15 manzanas
B. 12 manzanas
C. 24 manzanas
D. 18 manzanas
5. Claudia vendío panetones por campaña navideña, ofreciendo 3 tipos diferentes de panetones; panetón en bolsa, en caja y en lata. La ganancia de cada tipo de panetón fue 3, 6 y 9 soles, respectivamente. Determine la ganancia en la venta de panetones en bolsa, sabiendo que la ganancia total es igual a S/ 240, la ganancia por la venta de panetones en bolsa con la ganancia de la tercera parte de los panetones en lata es igual a S/ 90 y se vendió tantos panetones en caja como la mitad del total del número de panetones en bolsa y lata.
A. S/ 60
B. S/ 120
C. S/ 30
D. S/ 90
6. Resuelva el siguiente sistema
E indique la terna del conjunto solución.
A. 
B. 
C. 
D. 
7. La suma de valores que asume representa la pérdida anual en millones de soles de una empresa de telecomunicaciones, ¿Cuáles son sus costos totales, si sus ventas ascienden a 27 000 000? Además, el sistema:
Tiene una solución.
A. 32 millones de soles
B. 28 millones de soles
C. 42 millones de soles
D. 36 millones de soles
8. Dado el sistema de ecuaciones lineales en :
El menor valor que puede asumir en el conjunto de los números naturales para que el sistema admita solución única, es…
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9. El valor de para que el sistema:
Admita infinitas soluciones, representa el precio de un churro de manjar blanco o crema pastelera, si los días martes y jueves hay una promoción de 2x1, ¿Cuánto gastaré si me llevo 8 churros, sabiendo que hoy es jueves? 
A. S/ 50
B. S/ 30
C. S/ 40
D. S/ 20
10. Javier tiene tamales para vender, cierto día un cliente le compra tamales, donde:
¿Cuántos tamales le queda al final a Javier después de vender?
A. 1021	B. 0	C. 2	D. 2021
ÁLGEBRA _SEMANA_ 10
NÚMEROS REALES – DESIGUALDADES
El sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por con dos operaciones internas llamadas:
1) Adición (+) : (a,b) = a+b
2) Multiplicación (.) : (a,b) = a.b
 			 y una relación de orden “<”
 (<, se lee “menor que”); el cual satisface los siguientes axiomas.
I. AXIOMAS DE LA ADICIÓN
A1: 	Ley de clausura
 	 a, b a + b 
A2: 	Ley conmutativa
 	 a, b a + b = b+a
A3: 	Ley Asociativa 
 	 a, b, c 
(a + b ) + c = a + ( b + c )
A4: 	Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
	Existe un valor único , denotado por “0” (0, se lee cero) tal que 
	 a : a + 0 = a = 0 + a
A5:	Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo
	 a , existe un valor único denotado por -a tal que:
 a : 
a + (-a) = 0 = (-a) + a
II. AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN 
M1:	Ley de clausura
	 a, b a.b 
M2:	Ley conmutativa
	 a, b a.b = b.a
M3:	Ley Asociativa: a, b, c ( a . b ) . c = a . ( b . c )
M4:	Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo
	Existe un valor único , denotado por “1” 
( 1, se lee uno ) tal que 
	 a : a.1 = a = 1.a
M5:	Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo
	 a / a 0; existe un valor único denotado por a - 1 tal que 
a. a - 1 = 1 = a - 1. A
III. AXIOMAS DE LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA ADICIÓN
	 a, b, c 
D1: 	Distributividad por la izquierda
	a ( b + c ) = a b + a c
D2: 	Distributividad por la derecha
	( a + b ) c = ac + bc
AXIOMAS DE ORDEN
IV. 
O1 =	Ley de Tricotomía 
Dados a y b ; se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones:
	a < b
	a = b
	b < a
O2 =	Ley Transitiva, a, b, c , 
se cumple Si; a < b b < c 
 a < c
O3 =	Ley de la Monotonía 
i) 
 a, b, c ; 
si a < b a + c < b + c
ii) 
Si a < b 0 < c ac < bc
iii) 
Si a < b c < 0 bc < ac
AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE IGUALDAD DE LOS NÚMEROS REALES 
V. 
 a, b, c , se cumple 
1) 
Dicotomía: a = b a b
2) Reflexividad: a = a
3) Simetría: a = b b = a
4) Transitividad: 
Si : a = b b = c a = c
5) Unicidad de la adición 
Si: a = b a+c = b+c
6) Unicidad de la multiplicación 
Si: a = b a.c = b.c
VI. AXIOMAS DEL SUPREMO 
Todo conjunto A de números reales (A 0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.
RECTA REAL (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA)
La recta real es una recta geométrica de infinitos puntos donde cada uno de los puntos establece una correspondencia biunívoca con los números reales, esto nos permite visualizar una relación de orden < (menor que) entre dos o más cantidades, como ilustra la gráfica adjunta.
 
(#s reales)
La relación a < b al graficarla en la recta real nos indica que la cantidad “a” se encuentra a la izquierda de la cantidad “b”. 
Con respecto a la recta geométrica debemos tener en cuenta lo siguiente:
1. “0” (cero), es el origen de la recta real, no tiene signo.
2. Los números negativos son menores que cero.
3. El cero es menor que cualquier número positivo.
4. El conjunto A denotado por 
A = x / a < x < b 
Se denomina “intervalo abierto” sobre el eje real y tiene dos representaciones matemáticas
X < a; b > ó x ] a ; b [
Se lee: “ x pertenece al intervalo abierto “a” coma “b”
5. El conjunto B, denotado por 
B = x / c x d 
Donde los extremos c y d están incluidos, se llama “intervalo cerrado” sobre el eje real y se lee: “x pertenece al intervalo cerrado “c” coma “d” ”, se denota como: 
x [ a ; d ]
6. El valor absoluto de un número real “a” denotado por |a| satisface la siguiente regla de correspondencia.
|a
| = 
7. La distancia entre dos puntos “a” y “b” sobre el eje real es: 
|a - b|
Respecto a los números reales podemos hacer la siguiente clasificación:
 +
(Reales positivos)
+
(Reales negativos)
 Racionales ( Q+ )
· Enteros ( Z+ )
· Fraccionarios ( F+ )
 Irracionales ( I+ )
 Racionales ( Q- )
· Enteros ( Z- )
· Fraccionarios ( F- )
 Irracionales ( I- )
0 (cero real)
PRINCIPALES CONJUNTOS NUMÉRICOS 
A.- El conjunto de los Números naturales, denotado por N, donde: N = 1, 2, 3, ........
B.-	El conjunto de los Números enteros, denotado por Z, donde:
Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
C.-	El conjunto de los Números racionales, denotado por Q, donde:
Q = x/x= , p y q son enteros
		 (q 0)
D.-	El conjunto de los Números irracionales, denotado por I, donde:
I = x/x tiene representación decimal infinita no periódica
E.-	El conjunto de los Números Reales, denotados por , donde: 
 = x/x es racional ó irracional
F.-	El conjunto de los Números Complejos, denotado por C, donde:
C = x / x = a + b i ; a b 
i es la unidad imaginaria donde:
 i = ; tal que: i2 = -1
G.-	El conjunto de los Números enteros positivos denotados por Z+, donde:
 Z+ = 1 , 2 , 3 , ............ 
H.-	El conjunto de los Números Enteros positivos incluido el cero, denotado por 
Z0+ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ........ 
Asimismo, ampliando se tendrían los siguientes conjuntos:
Q+, +, Q -, -, 0+, 0 -, Q0 -, etc. 
DESIGUALDADES
Son relaciones de comparación entre dos o más cantidades reales de diferente valor.
Ejemplo; si:
La edad de Juan es: 20 años
La edad de Pedro es :30 años
La edad de Luis es: 50 años
Se tendrá las siguientes relaciones
1º.-	La edad de Juan es menor que la edad de Pedro.
2º.-	La edad de Luis, es mayor que la edad de Pedro.
3º.- 	La edad de Juan es menor que la edad de Luis. 
Intuitivamente estamos comparando magnitudes reales de una mismaespecie. Las desigualdades solo se verifican en el campo de los números reales que asociado a la recta real podemos observar:
RECTA NUMÉRICA REAL
 #s (-) : R-	 #s (-) : R+
 -1 -3 -1 0 1 2 3
-
+ 
 
-
- 
origen
unidad
Que para cada número real le corresponde un único punto de la recta real y recíprocamente para cada punto de la recta real, le corresponde un único número real.
La correspondencia bionívoca entre números reales y puntos de una recta real nos ayuda a dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales. Para la gráfica adjunta.
-
+
a
b
A
B 
o
La relación a b (se lee: a menor que b) significa que al punto A le corresponde el número real “a” y se encuentra a la izquierda del punto B al cual le corresponde el número real “b”.
AXIOMAS DE RELACIÓN DE ORDEN
01:	Orden de Tricotomia.- a, b R se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades.
	a b a = b b a
Ejm: 
Dado los números reales: -6; 3; -3 y 4; se cumple que:
a) – 6 -3 b) 3 4 c) – 6 4 
d) – 3 4
02 : Orden Transitivo.- a, b, c R
Si : 	a b b c a c
Ejm: En la recta real:
+
-12 -2 0 6 8 
-
-12 - 2 - 2 8 -12 8
03 : Orden de la Monotonía.- 
 a, b, c R
i) Ley aditiva
Si : a b a + c b + c
ii) Ley Multiplicativa
Si : c R+ a b a c b c 
Si : c R- a b b c a c
RELACIONES MATEMÁTICAS QUE EXPRESAN DESIGUALDADES
1.- “a” es menor que “b” (a b)
	a b a – b 0
2.- “a” es mayor que “b” (a b) 
	a b a – b 0
3.- “a” es mayor o igual que “b” (a b)
 a b a b a = b
4.- “a” es menor o igual que “b” (a b)
 a b a b a = b
CLASES DE DESIGUALDADES
De acuerdo a su estructuración matemática, estas pueden ser:
A.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS. - Son aquellas que se verifican en el campo de los números reales y a su vez pueden ser numéricas o literales. Ejemplos:
i) Numéricas 	ii) Literales
a) 7 0		a) x2 -2	
b) 9 2		b) –5 (x – 2)4
c) - 0		c) x6 + y6 0 
B.- DESIGUALDADES RELATIVAS. - Estas desigualdades se conocen también con el nombre de inecuaciones y se caracterizan por que se verifican para un conjunto de valores denominados conjunto solución y su representación se visualiza en la recta real.
Ejemplos:
a) La inecuación: 4 x – 3 5
Se verifica para todo valor de x mayor que dos (x 2)
Su representación gráfica en la recta real sería de la siguiente forma:
0 2
+
-
b) La inecuación: x2 – 25 0 se verifica para todo x, tal que:
X -5 x 5
Su representación gráfica en la recta real, seria de la siguiente forma:
-
0 
+
 5 
-5 
x -5 x 5
Más adelante analizaremos la solución explícita de los diferentes tipos de inecuaciones que se presentan.
El conjunto solución de una inecuación se expresa mediante intervalos.
INTERVALO.- Es el conjunto de valores x pertenecientes a la recta real, limitado en sus extremos por los elementos a y b, tal que a b; a y b pueden o no pertenecer al conjunto de valores x. 
CLASES DE INTERVALO
Intervalo abierto:
i. a ; b = x/a x b ; a b 
ii. ] a ; b [ = x/a x b ; a b 
Su representación gráfica es:
a x b
a b 
-
0 
+
el cual expresa: x a ; b 
Intervalo cerrado:
[ a , b ] = x / a x b ; a b 
su representación gráfica es:a x b
+
0 
a b 
-
con lo cual: x [ a ; b] 
Intervalos Mixtos
a) a ; b ] = x / a x b ; a b)a x b
+
0 
a b 
Con lo cual : x a ; b ]
b) [a ; b = x / a x b ; a b a x b
a b 
+
0 
De donde : x [a ; b 
c) - ; a ] = x /- x a ; - a
- x a
-
+
0 a
De donde : x - ; a ]
d) [a ; = x / a x ; a )
a x 
a 0
+
De donde: x [a ; 
PROPIEDADES GENERALES DE LAS DESIGUALDADES
1. Si a los dos miembros de una desigualdad, se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no se altera.
Si :	 a b a c b c 
2. Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una cantidad positiva el signo de la desigualdad no se altera
MATERIAL DE CLASE
1. Sean los intervalos:
Halle: 
A. 
B. 
C. 
D. 
2. Mariela es amiga de los enamorados Lorena y Oscar, los tres se comunican mediante el WhatsApp, Mariela se conecta a dicha red social desde las 3 pm hasta las 10 pm, Lorena lo hace desde la 1 pm hasta las 6 pm y de 8 pm hasta las 11 pm, mientras que Oscar se conecta desde las 2:15 pm hasta las 4:45 y luego desde las 9:45 pm hasta las 11 pm. ¿Cuántas horas podrán comunicarse los tres juntos, vía WhatsApp, aquel día?
A. 2 h		
B. 3 h		
C. 4 h		
D. 5 h
3. Tomas tiene años de casado con Paola, su hijo Jairo desea saber dentro de cuantos años cumplirán sus bodas de plata. Si es el mayor elemento entero de la variación:
Cuando el valor de 
A. 21 años
B. 22 años
C. 20 años
D. 19 años
4. Un profesor de álgebra de una reconocida casa de estudios deja el siguiente ejercicio a sus alumnos: “calcule la variación de cuando ”. 4 de sus alumnos dieron las siguientes respuestas:
¿Quién dio la respuesta correcta?
A. Polo
B. Pantro
	Pantro
	
	Pepe
	
	Pipo
	
	Polo
	
C. Pipo
D. Pepe
5. Astrid formuló una relación que permite calcular las ganancias, en soles, de su nuevo producto (postres) mediante la función , donde representa la cantidad de postres vendidos. Se quiere determinar la ganancia por la venta de postres sabiendo que representa la cantidad de valores enteros de . Además: 
.
A. 15 soles
B. 20 soles
C. 60 soles
D. 80 soles
6. Sea un número positivo no mayor que 7. Si Alondra multiplica los números y calcule el mínimo valor del producto de dichos números.
A. 
B. 
C. 
D. 
7. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por , donde es el precio en soles del artículo que produce esta compañía. Si durante el mes de marzo el precio de dicho artículo puede variar desde 100 hasta 250 soles, ¿Cuál es el ingreso máximo que podría obtener durante ese mes?
A. 50 000 soles
B. 80 000 soles
C. 90 000 soles
D. 100 000 soles
8. Al finalizar la temporada 2020 – 2021, Paolo tiene goles en el campeonato y Gianluca tiene goles en el . Si y son representados por el menor y mayor valor entero que toma , donde:
¿Cuál es la diferencia de goles de Gianluca y Paolo, siendo ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. Si: , hallar el mínimo valor de la siguiente expresión:
A. 
B. 2
C. 
D. 1
10. Determine el máximo valor de , tal que:
Si a y b son números reales negativos.
A. 1	
B. 0		
C. 
D. 
11. Robert, un maestro pintor, es contratado para pintar un terreno de forma rectangular de perímetro 180 metros; además por cada metro cuadrado que pinte, Robert ganara 12 soles. ¿cuál será la máxima ganancia que puede generar Robert al pintar dicho terreno?
A. 2025 soles
B. 20250 soles
C. 24300 soles
D. 2430 soles
12. Si y , , halle la suma de los dos menores múltiplos de 4 y que sean valores enteros de:
A. 28	
B. 40	
C. 49	
D. 36	
13. Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples, aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas, pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Si e son dos números reales tales que , ¿cuál es el menor valor que puede tomar ?
A. 
B. 
C. 
D. 
14. Dado positivo, calcule el área de un jardín de forma triangular donde la base es el mínimo valor de metros yla altura esel mínimo valor entero de metros.
A. 48 
B. 24
C. 18
D. 16
15. Si , además: . Determine el mayor valor de en:
A. 		
B. 
C. 
D. 
16. En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por  {\displaystyle \mathbb {R} }) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos.Se tiene la siguiente expresión real:
halle la variación de cuando .
A. 
B. 
C. 
D. 
TAREA
1. Se sabe que el menor y mayor valor entero de representa la hora en la que empezó un examen y la duración (en minutos) de dicha prueba respectivamente. Si se cumple que ∧ . Indique la hora exacta en la que terminó el examen.
A. 2:42 pm
B. 2:41 pm
C. 12:41 pm
D. 4:41 pm
2. Dado el siguiente conjunto
Determine el conjunto .
A. [-2; 5>
B. <3; 5>
C. [-2; 3>
D. 
3. Si y , halle la longitud de uno de los intervalos del conjunto: .
A. 15	
B. 16	
C. 17	
D. 19
4. Si la suma de tres cantidades reales positivas y diferentes es 30, indique el mayor valor entero que puede tomar su producto.
A. 100
B. 1001
C. 1000
D. 999
5. Un intervalo (del latín inter-vallum, no, pausa) es un subconjunto {\displaystyle I\subset \mathbb {R} }. {\displaystyle v\in I}Específicamente, un intervalo es un subconjunto conexo de la recta real  {\displaystyle \mathbb {R} }. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real. ¿Cuál es la longitud del intervalo al que pertenece cuando ?
A. [-5; 6]
B. [-3; 4>
C. <; 13]
D. [2; 13>
6. Si , halle el intervalo de .
A. 
B. 
C. 
D. 
7. Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples, aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas, pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Sabiendo que , hallar el intervalo de variación .
A. 
B. 
C. 
D. 
8. Calcule el menor valor de:
Cuando 
A. 1	
B. 4	
C. 3/2	
D. 2	
9. Si e son dos números reales tales que , ¿cuál es el menor valor que puede tomar ?
A. 
B. 
C. 
D. 
10. Si: . Calcule la variación de:
A. 8	
B. 	
C. 
D. 
î
í
ì
-
=
-
=
+
2
y
4
x
5
18
y
4
x
3
î
í
ì
-
=
-
=
+
)
2
(
..........
1
y
x
)
1
(
.........
17
y
2
x
15
0
x
3
2
y
2
x
2
17
y
2
x
=
+
-
=
-
=
+
5
x
=
6
y
17
y
2
5
17
y
2
x
=
®
=
+
=
+
2
1
2
1
2
b
b
a
a
A
=
 
5
3
 
4
 
5
 
-
-
 
c
b
a
 
c
b
a
 
c
b
a
 
3
3
3
 
2
2
2
 
1
1
1
3
3
 
2
2
c
b
 
c
b
 
3
3
 
2
2
c
a
 
c
a
 
3
3
 
2
2
b
a
 
b
a
 
 
1
3
5
 
 
2
1
4
 
 
1
 
3
2
 
-
-
-
-
=
D
3
 
1
3
 
 
2
1
 
-
-
-
 
1
5
 
 
2
4
 
-
-
 
3
 
 
 
4
 
5
1
-
;
b
a
b
a
b
c
b
c
 
b
a
 
b
a
 
b
c
 
b
c
 
x
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
 
1
1
2
2
 
1
1
s
x
-
-
=
=
D
D
=
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
 
1
1
 
2
2
 
1
1
s
y
b
a
b
a
c
a
c
a
b
a
 
b
a
 
c
a
 
c
a
 
y
-
-
=
=
D
D
=
13
52
12
25
3
55
 
5
4
 
 
3
5
 
 
5
1
 
3
11
x
-
-
=
+
-
+
-
=
-
-
-
-
=
\
1
2
20
21
180
182
 
3
-
 
4
 
 
5
 
7
-
 
26
 
4
 
45
7
y
-
=
-
+
-
=
-
-
=
m
8
K
5
K
 
7
K
 
5
8
K
 
27
k
 
20
 
4
5
 
 
k
2
 
 
4
27
k
k
5
x
-
-
=
-
-
+
-
=
-
-
-
=
5
8
-
s
x
x
D
D
=
=
 
3
3
3
 
2
2
2
 
1
1
1
 
3
3
3
 
2
2
2
 
1
1
1
c
b
a
 
c
b
a
 
c
b
a
 
c
b
d
 
c
b
d
 
c
b
d
 
 
3
3
3
 
2
2
2
 
1
1
1
 
3
3
3
 
2
2
2
 
1
1
1
c
b
a
 
c
b
a
 
c
b
a
 
c
d
a
 
c
d
a
 
c
d
a
 
=
y
s
y
D
D
 
3
3
3
 
2
2
2
 
1
1
1
 
3
3
3
 
2
2
2
 
1
1
1
c
b
a
 
c
b
a
 
c
b
a
 
d
b
a
 
d
b
a
 
d
b
a
 
z
=
s
z
D
D
)
34
(
3
)
13
(
2
)
25
(
5
)
47
(
3
)
13
(
6
)
38
(
5
3
4
2
 
4
3
7
3
2
5
3
5
2
 
 
4
6
7
 
3
6
5
 
y
+
+
+
-
=
-
-
-
-
-
=
253
253
102
26
125
141
78
190
=
+
+
+
-
2
 
2
3
 
1
1
1
 
 
5
k
3
2k
2
 
2
10
 
 
1
1
0
 
 
5
k
3
13
 
x
-
-
+
-
-
-
-
+
-
=
5)
(
 
5)
(k
 
(5)
 
3
 
(0)
 
k
 
2
10)
(
 
5)
(k
 
(10)
 
3
 
(0)
 
13
x
-
+
+
+
-
-
+
+
+
=
10
 
-
 
5k
-
20
 
-
 
10k
-
25
 
-
 
k
 
5
 
-
 
15
50
 
-
 
k
 
10
30
=
-
0
0
Î
Î
Ù
Ù
Ú
Intervalo cerrado
Intervalo abierto
#s negativos
#s positivos
A
B
a
0
c
d
b
-
8
+
8
(
)
0
x
x
x
P
-
ï
î
ï
í
ì
<
-
³
0
a
si
;
a
0
a
si
;
a
q
p
1
-
2
3
2
ceros
Posibles
(
)
(
)
x
 P
incipal de
Coef. 
Divisores 
x
de P
T. indep. 
Divisores 
x
Pr
0
=
1
6
 
Divisor de
Divisores 
eros
Posibles c
±
=
N
n
a
a
x
a
x
a
x
a
x
P
n
n
n
n
Î
Ù
¹
=
+
+
+
+
=
-
-
0
/
0
.....
.
)
(
0
2
2
1
1
0
N
n
,
0
a
;
0
a
.....
x
a
x
a
x
a
)
x
(
P
n
2
n
2
1
n
1
n
0
Î
¹
=
+
+
+
+
=
-
-
0
)
x
(
P
)
x
(
P
de
raíz
es
"
α
"
=
Û
0
q
;
q
)
α
x
(
P
)
x
(
)
x
(
k
)
x
(
¹
×
-
=
Û
}
8
x
0
)
8
x
(
5
x
0
)
5
x
(
5
x
0
)
5
x
(
2
x
0
)
2
x
(
2
x
0
)
2
x
(
2
x
0
)
2
x
(
6
5
4
3
2
1
=
«
=
-
þ
ý
ü
=
«
=
-
=
«
=
-
ï
þ
ï
ý
ü
-
=
«
=
+
-
=
«
=
+
-
=
«
=
+
0
a
;
0
a
.....
x
a
x
a
x
a
)
x
(
P
n
2
n
2
1
n
1
n
0
¹
=
+
+
+
+
=
-
-
0
1
n
3
2
1
1
a
a
x
......
x
x
x
S
-
=
+
+
+
+
=
0
2
n
1
N
3
2
2
1
2
a
a
x
x
......
x
x
x
x
S
+
=
+
+
+
=
-
0
3
4
3
2
3
2
1
3
a
a
......
x
x
x
x
x
x
S
-
=
+
+
=
0
n
n
n
3
2
1
n
a
a
)
1
(
x
......
x
x
x
S
-
=
=
2
7
x
x
*
2
1
2
1
x
x
2
1
2
1
=
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
+
*
3
8
x
x
x
*
2
3
6
x
x
x
x
x
x
*
0
3
0
x
x
x
3
2
1
3
1
3
2
2
1
3
2
1
-
=
=
+
=
+
+
=
-
=
+
+
*
3
2
6
x
....
..........
x
x
x
*
0
x
x
....
..........
x
x
x
x
*
2
3
x
.....
..........
x
x
7
3
2
1
7
6
3
2
2
1
7
2
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
=
+
+
+
-
=
+
+
+
*
M
[
]
)
2
)
x
(
P
:
Nota
(
0
³
,
1
i
,
R
b
,
a
;
bi
a
-
=
Î
+
bi
a
-
[
]
,
2
)
x
(
P
0
³
;
I
b
Q
a
;
b
a
Î
Î
+
b
a
-
5
1
3
+
-
1
3
+
[
]
,
4
)
x
(
P
0
³
I
b
;
a
;
b
a
Î
+
b
a
-
b
a
+
3
2
+
3
2
3
2
3
2
-
-
+
-
-
2
?
x
2
1
x
2
1
x
i
1
x
i
1
x
5
4
3
2
1
=
-
=
®
+
=
-
=
®
+
=
1
x
3
x
4
3
x
x
x
x
x
5
5
5
4
3
2
1
-
=
®
=
+
=
+
+
+
+
4
4
3
4
4
2
1
2
)
1
(
2
b
b
)
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
i
1
)(
i
1
(
b
x
x
x
x
x
5
4
3
2
1
-
=
-
=
Þ
-
=
-
-
+
-
+
Þ
-
=
î
í
ì
=
-
=
+
)
2
........(
13
y
x
5
)
1
(
.......
1
y
x
2
î
í
ì
=
+
=
+
)
2
(
.........
f
ey
dx
)
1
(
.........
c
by
ax