Matematica 4 Unidad 5 Alumno

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UNIDAD
82
5 GEOMETRÍA
AMÉRICA Y SUS PRIMERO
S HABITANTES
TEMA 1 TEMA 2 TEMA 3 TEMA 4 TEMA 5
Aportes de la geometría 
a la comprensión del 
entorno físico 
Elementos básicos 
de la geometría
Subconjunto de rectas: 
segmentos y rayos
Ángulo. Elementos: 
vértice, lados, notación
Medición de ángulos
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TEMA 6 TEMA 7 TEMA 8 TEMA 9
Clasificación de los ángulos 
según sus medidas
Rectas paralelas y secantes. 
Perpendiculares. Oblicuas
Desafío matemático Evaluación
Los primeros habitantes 
de América desarrollaron 
conocimientos de Geometría 
que aplicaron a la arquitectura, 
la decoración de cerámicas, 
los telares y otros objetos 
utilitarios y decorativos. En 
nuestro país perduran ejemplos 
de estos objetos en la artesanía, 
especialmente en la que realizan 
los nivaclé en sus tejidos de 
fibras y pigmentos vegetales. En 
esta unidad conoceremos más 
acerca de las figuras geométricas 
y sus elementos. 
Reflexionaremos además 
sobre el valor de la humildad.
Contesta:
• ¿Qué tipo de artesanías cono-
ces?
• ¿Cuáles son las formas 
geométricas que más observa-
mos en las artesanías nativas?
Busca en la lámina estas figuras 
geométricas y marca las que halles:
 Triángulo Círculo
 Rombo Rectángulo
 Cuadrado Pentágono
Elige una de las figuras 
geométricas de la lámina y 
señala los siguientes elementos: 
ángulos, rectas y vértices.
Detalle, poncho de lana, cultura chulupí. Pilcomayo, 1939. 
Acervo Museo Etnográfico Andrés Barbero.
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Reconoce la importancia de los aportes de la geometría en la comprensión del entorno físico. Lee, com-
prende y utiliza vocabulario y notación adecuados al contexto.
Aportes de la geometría a la comprensión 
del entorno físico
 ¡Jugamos! 
Nos ubicamos en el comienzo del laberinto. Seguimos las instruc-
ciones y descubrimos a qué fruta lleva el recorrido que realizamos. 
Cada flecha representa avanzar un cuadro en la dirección indicada:
INICIO
La geometría 
La geometría es la disciplina de las matemáticas que estudia las figuras 
planas y los cuerpos del espacio. 
Tiene una amplia variedad de usos, tanto en las ciencias como en la 
vida cotidiana. Sin la geometría, los arquitectos no podrían planificar una 
casa o un edificio, ni los ingenieros podrían calcular cuánta arena, ce-
mento y ladrillos serán necesarios para construirla. Además, sirve para 
orientarnos en el mundo, viajar, dibujar mapas y muchas cosas más.
Si sabes más que tus 
compañeros, ayúdalos a 
aprender sin ser presumido. 
¡Sé humilde y colabora con 
los demás!
TEMA
1
 CLASE 41
La palabra Geometría proviene 
del griego geo, que significa 
tierra, y metron, que significa 
medida.
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APLICO LOS CONCEPTOS
1. Marco con una X los casos en que se requiere usar la geometría. 
a. ( ) Dividir la cuenta en el restaurante. 
b. ( ) Calcular cuántos metros de tela se necesitan para hacer un vestido. 
c. ( ) Diseñar y armar una caja de cartón. 
d. ( ) Preparar el presupuesto para los gastos del mes. 
e. ( ) Determinar cuántos litros de agua se necesitan para llenar una piscina. 
f. ( ) Calcular cuántas baldosas son necesarias para cubrir el piso de una habitación. 
2. Identifico qué formas geométricas aparecen en los siguientes objetos y las nombro. 
• 
 
• 
 
• 
 
• • • 
 3. Dibujo un paisaje usando únicamente líneas rectas y círculos.
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Comprende el problema planteado en el enunciado. Concibe un plan de solución al problema plantea-
do. Ejecuta el plan de solución. Examina la solución obtenida empleando: punto, segmento y recta. Lee, 
comprende y utiliza vocabulario y notación adecuados al contexto.
TEMA
2
 CLASE 42
Elementos básicos de la geometría
 Trabajamos con 
Seguimos estos pasos:
1. Tomamos una hoja de papel y la doblamos. 
2. Luego desdoblamos y doblamos de nuevo de otra forma. 
3. Volvemos a desdoblar y observamos las marcas del papel. ¿Qué 
figuras geométricas se pueden reconocer? Describimos.
Podemos reconocer varias figuras geométricas, como rectángulos, cua-
drados y triángulos. Ahora veremos sus elementos.
Punto, recta y plano
Dos puntos del plano determi-
nan una única recta. 
Si tres o más puntos están sobre 
una misma recta se dice que 
son colineales.
Tres puntos no alineados deter-
minan un plano.
Escucha y aprovecha las 
correcciones que te ha-
gan. Con humildad, serás 
cada vez mejor persona.
P
D
E
F
A B
C
B
A
C r
• El punto podemos pensarlo como la 
marca que deja un lápiz sobre el papel 
cuando lo apoyamos y no dibujamos 
ningún trazo. En un plano existen infini-
tos puntos. Estos se simbolizan con un 
círculo pequeño y se los pueden nombrar 
con letras mayúsculas, como el punto A 
de la figura.
• La recta es una sucesión infinita de pun-
tos que se extiende en una dirección. 
Usamos una regla para trazar una recta, 
pero es importante tener en cuenta que 
en Geometría las rectas no terminan 
nunca, son infinitas. Una recta que pasa 
por los puntos B y C se simboliza BC, o 
usando una letra minúscula en cursiva.
• El plano es una superficie plana com-
puesta por infinitos puntos. Al igual que 
las rectas es infinito, no tiene frontera. 
Se simboliza mediante una letra mayús-
cula en cursiva o usando tres puntos no 
alineados que se encuentren en él. En la 
figura, por ejemplo, podemos referirnos 
al plano P o al plano DEF.
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APLICO LOS CONCEPTOS
1. Trazo las rectas que pasan por los puntos dados.
a. La recta AB 
b. La recta AC 
c. La recta BD 
d. La recta EF 
2. Asocio cada figura con un concepto geométrico: punto, recta o plano.
 
3. Observo la figura y completo.
A
C
E
F n
m
Q
D
G
B
a. La recta contiene al punto E.
b. Las rectas m y n se cortan en el punto .
c. El punto no está sobre ninguna de las rectas.
d. La recta m también se puede simbolizar como .
e. El plano que contiene a las rectas m y n se llama .
B
A
C
E
F
D
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Comprende el problema planteado en el enunciado. Concibe un plan de solución al problema plantea-
do. Ejecuta el plan de solución. Examina la solución obtenida empleando: punto, segmento, recta. Lee, 
comprende y utiliza vocabulario y notación adecuados al contexto.
TEMA
3
Subconjunto de rectas: segmentos y rayos
 ¡Cacería de rectas!
A nuestro alrededor existen muchos objetos con partes rectas; 
por ejemplo: el borde de este libro, las vigas del techo o el borde 
del pizarrón. ¿Puedes encontrar más ejemplos? Hacemos una lista 
observando nuestra aula y luego comparamos con las de nuestros 
compañeros.
Segmento de recta y rayos 
Un segmento de recta es la porción de recta que consiste en los puntos 
comprendidos entre dos puntos A y B dados. Se simboliza AB y los pun-
tos A y B se denominan extremos del segmento. Un segmento se puede 
medir, tiene inicio y fin. Es por esto que los segmentos tienen longitud. 
Su medida se simboliza AB,sin la raya encima.
Si cortamos una recta en uno de sus puntos, obtenemos dos semirrectas, 
también llamadas rayos. Los rayos tienen un punto inicial pero no tienen 
punto final. Se simbolizan con una flecha que indica el sentido, es decir, 
cuál es el punto inicial y hacia cuál punto se prolonga. En la figura, al cortar 
la recta CE en el punto D se obtienen los rayos DC y DE .
A
B C D E
D E
C D
SÍMBOLO SE LEE FIGURA
AB Rayo AB 
A B
AB Segmento AB A B
AB Longitud del segmento AB Es un número
 CLASE 43
Los segmentos de recta forman 
los lados de la mayor parte de 
figuras geométricas que se 
estudian en geometría: triángu-
los, cuadriláteros, pentágonos, 
entre otros.
¡Dios ama a las 
personas humildes!
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APLICO LOS CONCEPTOS
1. Debajo de cada figura escribo si se trata de una recta, un rayo o un segmento. Además, escribo en símbolos.
 R
S
O
P
Y
Z
 
2. Contesto las siguientes preguntas.
a. ¿Cuántos extremos tiene un segmento?
b. ¿Cuántos extremos tiene un rayo?
c. ¿Cuántos extremos tiene una recta?
 
3. Pareo cada frase con el concepto correspondiente.
Apunto a una sola dirección.
No tengo inicio ni fin. 
Puedes medirme.
4. Dibujo.
UNA RECTA UN RAYO UN SEGMENTO
RECTA
RAYO
SEGMENTO
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Comprende el problema planteado en el enunciado. Concibe un plan de solución al problema plantea-
do. Ejecuta el plan de solución. Examina la solución obtenida empleando elementos de los polígonos: 
lados, ángulos y vértices. Lee, comprende y utiliza vocabulario y notación adecuados al contexto.
TEMA
4
Ángulo. Elementos: vértice, lados, notación
 Descubrimos los ángulos con el 
Sobre una cartulina de color colocamos dos 
tiras de papel blanco y clavamos un pinche 
como muestra la figura. Hacemos variar 
la apertura entre las tiras y respondemos: 
¿Cuál es el menor espacio posible? ¿Cuál es 
el mayor? Medimos con el transportador. 
Un ángulo consiste en dos rayos (o segmentos) que tienen en común 
uno de sus extremos. A los ángulos que empleamos se los denomina 
sexagesimales, ya que provienen del número 60. Los ángulos que traba-
jamos se miden en grados. 
Elementos de un ángulo 
O
B
A
lado
lado
vértice
En la figura se observa el ángulo formado por los rayos OA y OB .
El punto en común se denomina vértice del ángulo y los segmentos 
que lo forman se llaman lados. 
Para nombrar un ángulo, se usa el símbolo seguido de un punto de 
uno de los rayos, el vértice y un punto del otro rayo. Se ubica la letra que 
corresponde al vértice en el medio. El ángulo de la figura, por ejemplo, se 
simboliza AOB. 
También se puede simbolizar empleando solo la letra del vértice, por 
ejemplo O.
 CLASE 44
Los antiguos sumerios fueron 
los primeros en emplear grados 
para medir ángulos y definieron 
un grado como el ángulo que se 
obtiene al dividir un círculo en 
360 partes iguales.
En la actualidad, para medirlos 
se emplea un transportador.
No presumas de tus 
logros. ¡Agradece 
por ellos!
ángulo
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APLICO LOS CONCEPTOS
1. En la figura nombro los puntos, señalo las partes del ángulo y escribo en símbolos.
El ángulo se simboliza o bien .
2. Para cada polígono nombro sus vértices y escribo en la tabla el nombre de todos sus ángulos.
FIGURA ÁNGULOS
 3. Encuentro ángulos en distintos objetos de la vida cotidiana, como por ejemplo el ángulo de las esqui-
nas, de las puertas u otros.
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Comprende el problema planteado en el enunciado. Concibe un plan de solución al problema plantea-
do. Ejecuta el plan de solución. Examina la solución obtenida empleando elementos de los polígonos: 
lados, ángulos y vértices. Lee, comprende y utiliza vocabulario y notación adecuados al contexto.
TEMA
5
Medición de ángulos
 Trabajamos con 
En cartulina de colores trazamos y recortamos círculos.
Luego los dividimos en partes iguales, como se muestra en las 
siguientes figuras:
Si la medida en ángulos de un círculo completo es 360°, analizamos 
cada caso y determinamos la medida en grados de cada sector.
Uso del transportador
Para medir los ángulos se emplea el transportador.
El punto marcado con cero se ubica sobre el vértice del ángulo y se 
hace coincidir uno de los lados del ángulo con la parte recta del transpor-
tador. Luego se observa el número que indica el otro lado del ángulo. Se 
acostumbra medir los ángulos en sentido antihorario, es decir, contrario 
a las manecillas del reloj.
En la figura, el ángulo AOB mide 40°.
En símbolos, se escribe: m AOB = 40° y se lee: «la medida del ángulo 
AOB es igual a 40 grados».
 CLASE 45
El transportador es un instru-
mento que nos permite medir 
ángulos mayores a 0° y menores 
o iguales a 180°.
La mayoría de los transporta-
dores tienen una escala doble; 
es importante observar dónde 
está marcado el grado cero y 
empezar a contar desde ahí.
Si cometes errores, 
reconócelos y trata de 
solucionarlos . ¡Sé humilde!
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APLICO LOS CONCEPTOS
1. Observo la figura y completo las medidas de los ángulos.
A
B
CDEF
G
a. m AOB = 
b. m AOC = 
c. m AOD = 
d. m AOE = 
e. m AOF = 
f. m AOG = 
2. Mido con el transportador y anoto las medidas de los ángulos indicados.
a. m AOB = 
b. m AOC = 
c. m AOD = 
d. m AOE = 
e. m EOF = 
f. m FOA = 
g. m BOD = 
h. m COE = 
F
O
D
C
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Comprende el problema planteado en el enunciado. Concibe un plan de solución al problema plantea-
do. Ejecuta el plan de solución. Examina la solución obtenida empleando: punto, segmento y recta. Lee, 
comprende y utiliza vocabulario y notación adecuados al contexto.
TEMA
6
Clasificación de los ángulos según sus medidas
 Medimos ángulos en el 
Con gomas elásticas formamos ángulos de distintas medidas en el 
geoplano y luego los medimos con el transportador.
 
• ¿Cuál es el valor más pequeño posible de un ángulo?
• ¿Cuánto mide un ángulo totalmente abierto (plano)?
• ¿Cuánto mide el ángulo que forma un muro con el suelo?
Ángulos rectos, agudos y obtusos 
En la tabla se observa la clasificación de los ángulos según sus medidas.
RECTO AGUDO OBTUSO
Mide 90°
Mide entre 
0° y 90°
Mide entre 
90° y 180° 
 
 CLASE 46
Un ángulo llano mide 180°. Sus 
lados están sobre una misma 
recta.
Herramientas de medición
En geometría se emplean dis-
tintas herramientas para trazar 
y medir las figuras. Entre ellas 
están el compás, la regla, el 
transportador y la escuadra.
Pide ayuda cuando la 
necesitas. 
El ángulo recto puede estar en cualquier orientación lo importante es 
que el ángulo interior sea 90°.
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APLICO LOS CONCEPTOS
1. Observo la figura y respondo.
AE B
CD
40º50º
90º
a. ¿Qué tipo de ángulo es BAC según su medida?
b. ¿Es CAD un ángulo recto?
c. ¿Cuánto mide el ángulo CAE? ¿Qué tipo de ángulo es?
d. ¿A cuánto es igual la suma de las medidas de los ángulos BAC, CAD y DAE?
e. ¿Cuánto mide el ángulo BAE? ¿Qué tipo de ángulo es?
2. Mido los ángulos, anoto sus medidas y luego contesto.
A
D
E
F
B
C
a. ¿Qué ángulos miden menos de 90°? 
b. ¿Qué ángulos miden más de 90°? 
c. ¿Qué ángulos miden exactamente 90°? 
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Comprende el problema planteado en el enunciado. Concibe un plan de solución al problema plantea-
do. Ejecuta el plan de solución. Examina la solución obtenida empleando: rectas paralelas, perpendicu-
lares y oblicuas. Lee, comprende y utiliza vocabulario y notación adecuados al contexto. 
TEMA
7
Rectas paralelas y secantes. Perpendiculares. Oblicuas 
 Trabajamos con y 
Seguimos los siguientes pasos para trazar una recta perpendicular 
a una recta dada a través de un punto externo a ella. 
1. Trazamos primero una recta y el punto A; luego un círculo con 
centro en el punto A que corte a la recta en dos puntos (B y C).
2. Colocamos el compás en el punto B y trazamos un arco que pase 
por el punto A.
3. Repetimos el paso anterior con el compás en el punto C.
Los trazos realizados se cortan en el punto D. Unimos los puntos A y D 
con una línea recta.
A A A A
D D
B B B BC C C C
 CLASE 47
El humilde sabe 
pedir perdón y… 
¡perdonar!
Rectas
PARALELAS Y SECANTES PERPENDICULARES OBLICUAS
Definición
Dos rectas del plano son 
paralelas si no tienen 
ningún punto en común, 
es decir, nunca se cortan. 
Si las rectas se cortan, son 
secantes.
Cuando dos rectas se 
cortan y forman entre sí un 
ángulo de 90 grados (án-
gulo recto) se dice que son 
rectas perpendiculares. 
Dos rectas son oblicuas 
si se cortan, pero no son 
perpendiculares, es decir, 
forman entre sí un ángulo 
distinto a 90°.
Ejemplo
A B
C D
E F
G
H
I J
K
K
Símbolo AB � CD EF � GH IJ KL
Lectura AB es paralela a CD EF es perpendicular a GH IJ es oblicua a KL
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APLICO LOS CONCEPTOS
1. Observo la gráfica e identifico.
r S
m
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a. Dos rectas paralelas
 
b. Dos rectas perpendiculares 
c. Dos rectas oblicuas 
2. Marco la opción correcta.
a. Dos rectas perpendiculares forman entre sí un ángulo igual a:
 45° 180° 90° 0°
b. Dos rectas paralelas:
 Se cortan en un único punto. No se cortan nunca.
c. Dos rectas son oblicuas si:
 Forman un ángulo de 90°. Se cortan sin formar un ángulo de 90°. No se cortan.
3. Dibujo en los recuadros.
Dos rectas oblicuas Dos rectas perpendiculares Dos rectas paralelas
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 CLASE 49
DESAFÍO MATEMÁ
TICO 
1. Lee cada planteamiento, analiza y marca la respuesta correcta con una X. 
a. Para confeccionar un paraguas se requiere cortar 8 triángulos iguales. 
 ¿Cuánto debe medir el ángulo de cada triángulo en la parte superior 
 del paraguas?
 135°
 45°
 90°
 180°
b. ¿Con qué medida de ángulo se deben cortar los pedazos de una torta circular para que 12 personas 
 reciban porciones del mismo tamaño?
 15°
 60°
 20°
 30°
c. Si se dibuja un triángulo y se nombra a sus vértices A, B y C y luego, con el transportador, se miden sus 
ángulos internos, ¿a cuánto es igual la suma de los tres ángulos?
 360º
 60º
 180º
 90º
 
d. Observa las figuras y determina cuál tiene un solo par de lados paralelos.
 A
 B
 C
 D
 E
Una sola 
respuesta es 
la correcta.
A C D EB
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 CLASE 50
ME AUTOEVALÚO
1. Respondo con verdadero o falso, a partir de la siguiente figura.
a. ( ) El punto B está sobre AC. 
b. ( ) El punto D está sobre AC.
c. ( ) Los puntos A, B y C están sobre una misma recta.
d. ( ) El punto C es el vértice del ángulo CBD.
e. ( ) El ángulo ABD es agudo. 
f. ( ) El punto B es el extremo de BD.
g. ( ) A y C son los extremos de AC.
2. Completo el crucigrama.
Horizontales
1. Si dos rectas se cortan y forman entre sí 
un ángulo recto, entonces son...
7. Es un ángulo que mide entre 90° y 180°.
8. Es un ángulo que mide menos de 90°.
9. Es un ángulo que mide exactamente 90°.
11. Es una superficie infinita sobre la cual 
podemos trazar puntos, rectas, rayos, 
segmentos y otras formas geométricas.
12. Si tres puntos están sobre ella, enton-
ces los puntos son colineales.
13. Tiene un punto inicial pero no tiene 
punto final.
Verticales
2. Instrumento que se utiliza para medir 
ángulos.
3. Dos rectas que no se cortan son...
4. Son dos rectas que se cortan, pero no 
son perpendiculares.
5. Tiene dos extremos y puede medirse.
6. Está formado por dos lados y un vértice.
10. Es la marca que deja la punta de un lá-
piz sobre el papel.
BA
D
10
4
6
75
9
11
8
13 12
1
2
3
C
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