Matemáticas básicas para economistas_ Cálculo ( PDFDrive com )

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MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA
ECONOMISTAS
VOLUMEN 2
CÁLCULO
MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA
ECONOMISTAS 2
CÁLCULO
Con notas históri
as y 
ontextos e
onómi
os
SERGIO MONSALVE
EDITOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Cataloga
ión en la publi
a
ión Universidad Na
ional de Colombia
Matemáti
as bási
as para e
onomistas: 
on notas históri
as y 
ontextos e
onómi
os
/ ed. Sergio Monsalve. - Bogotá : Universidad Na
ional de Colombia. Fa
ultad de
Cien
ias E
onómi
as, 2009
4 v.
In
luye referen
ias bibliográ�
as
Contenido : v. 0. Fundamentos. � v. 1. Algebra lineal. � v. 2. Cál
ulo. �
v. 3. Optimiza
ión y dinámi
a
ISBN 978-958-719-304-6 (v. 0). - ISBN 978-958-719-305-3 (v. 1). -
ISBN 978-958-719-306-0 (v. 2). - ISBN 978-958-719-307-7 (v. 3)
1. Matemáti
as 2. Modelos e
onómi
os 3. Matemáti
as para e
onomistas
4. Álgebra lineal 5. Cál
ulo 6. Optimiza
ión matemáti
a 7. Programa
ión diná-
mi
a
I. Monsalve Gómez, Sergio, 1962-, ed.
CDD-21 510.2433 / 2009
Matemáti
as Bási
as para
E
onomistas 2: Cál
ulo
©Sergio Monsalve Gómez
©Fernando Puerta
©Universidad Na
ional de Colombia
©Fa
ultad de Cien
ias E
onómi
as
Primera Edi
ión, 2009
ISBN: 978-958-719-306-0
Diseño de 
arátula
Ángela Pilone Herrera
Corre
ión de estilo
Humberto Beltrán
Diseño de páginas interiores y
armada ele
tróni
a
Nathalie Jiménez Millán
Impresión:
Editorial Universidad Na
ional de
Colombia
Colaboradores del autor:
Fran
is
o Lozano
Es
uela de E
onomía
Universidad Na
ional de Colombia,
Bogotá
Fernando Puerta Es
uela de
Matemáti
as
Universidad Na
ional de Colombia,
Medellín
Índi
e general
1. Le
ión 1
El método de límites 1
1. Su
esiones y el 
on
epto de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Propiedades de las su
esiones 
onvergentes . . . . . . . . . . . . 15
3. Límite de una fun
ión de una sola variable . . . . . . . . . . . . 28
4. Tres 
lases espe
iales de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
a. Límites unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
b. Límites al in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
. Límites in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Continuidad de una fun
ión de una sola variable . . . . . . . . 53
6. Fun
ión 
ontinua en un 
onjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7. Continuidad de las fun
iones trigonométri
as . . . . . . . . . . 67
8. Teoremas importantes para fun
iones 
ontinuas . . . . . . . . . 72
9. Límite y 
ontinuidad de una fun
ión de dos variables . . . . . . 80
10. Elementos bási
os de topología en R2 . . . . . . . . . . . . . . . 88
11. Contexto e
onómi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
a. Una nota sobre los 
on
eptos de fun
ión y fun
ión 
on-
tinua en el análisis e
onómi
o . . . . . . . . . . . . . . . 101
b. Algunas fun
iones dis
ontinuas en el análisis e
onómi
o 103
2. Le
ión 2
La derivada 117
1. De�ni
ión de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2. Reglas de deriva
ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3. El teorema de la fun
ión inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
a. Fun
iones trigonométri
as inversas . . . . . . . . . . . . 150
b. Derivadas de las fun
iones trigonométri
as inversas . . . 152
4. El teorema de la fun
ión implí
ita . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5. Fun
iones exponen
iales y logarítmi
as, y sus derivadas . . . . . 161
6. La diferen
ial (in�nitesimales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7. Derivadas de orden superior y polinomios de Taylor . . . . . . . 180
vii
viii Matemáti
as Bási
as para E
onomistas 2: Cál
ulo
8. La no
ión de derivada en fun
iones de dos variables . . . . . . . 187
a. Las derivadas para fun
iones de dos variables: derivadas
par
iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
b. El diferen
ial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9. El ve
tor gradiente y la derivada dire
ional . . . . . . . . . . . 197
10. Regla de la 
adena para fun
iones de dos variables . . . . . . . 203
11. Fun
iones implí
itas para fun
iones de dos variables . . . . . . 206
12. Derivadas par
iales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 208
13. Contexto e
onómi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
a. De�ni
ión de marginalidad en e
onomía . . . . . . . . . 215
b. Una apli
a
ión de la no
ión de marginalidad en e
ono-
mía: La do
trina del 
osto de oportunidad . . . . . . . . 216
. Cara
terísti
as marginales de algunas fun
iones del aná-
lisis e
onómi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3. Le
ión 3
Elementos bási
os de la teoría de la optimiza
ión 243
1. Valores extremos de una fun
ión de una sola variable . . . . . . 244
2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3. Apli
a
iones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . 256
4. Grá�
a de una fun
ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5. Valores extremos de una fun
ión de dos variables . . . . . . . . 289
6. Contexto e
onómi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
a. Una nota sobre el individualismo metodológi
o . . . . . 303
b. Una nota sobre la �revolu
ión� marginalista . . . . . . . 304
. Ejemplos de ra
ionalidad y marginalismo . . . . . . . . 307
d. Una nota a
er
a de los debates sobre marginalismo y
ra
ionalidad en la teoría de la �rma . . . . . . . . . . . 325
4. Le
ión 4
La integral 337
1. La antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
2. La regla de integra
ión por partes para antiderivadas . . . . . . 343
3. La regla de la 
adena para antiderivadas: integra
ión por susti-
tu
ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
4. La regla de fra
iones par
iales para antiderivadas . . . . . . . 350
5. Antiderivadas de algunas fun
iones bási
as . . . . . . . . . . . . 352
6. Antideriva
ión y teoría bási
a de e
ua
iones diferen
iales . . . . 355
7. Sumas y series: una primera aproxima
ión . . . . . . . . . . . . 364
a. Sumas �nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
b. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8. La integral de�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Matemáti
as Bási
as para E
onomistas 2: Cál
ulo ix
9. Propiedades de la integral de�nida . . . . . . . . . . . . . . . . 388
10. El teorema del valor medio para integrales . . . . . . . . . . . . 393
11. El teorema fundamental del Cál
ulo . . . . . . . . . . . . . . . 398
12. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
13. La no
ión de integral en fun
iones de dos variables: la integral
doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14. Cambio de variables en la integral doble . . . . . . . . . . . . . 422
15. Contexto e
onómi
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
a. Toma de de
isiones bajo riesgo: La hipótesis de la utili-
dad esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
b. Una medida del riesgo y ejemplos de toma de de
isiones
bajo riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
. Toma de de
isiones bajo in
ertidumbre . . . . . . . . . . 439
d. Algo más sobre la 
ríti
a a la toma de de
isiones maxi-
mizando la utilidad esperada . . . . . . . . . . . . . . . 440
Bibliografía 455
Respuestas 477
Índi
e alfabéti
o 510
La 
ien
ia se ha 
onstruido para satisfa
er
iertas ne
esidades de nuestra mente;
ellanos des
ribe.
Y aunque tiene 
ierta rela
ión 
on el mundo real,
esa rela
ión es muy, muy 
ompleja.
Robert J. Aumann
(Premio Nobel de E
onomía 2005)
Sergio Monsalve le dedi
a este esfuerzo a
su profesor de matemáti
as Jairo Charris
A la memoria de Juan Alonso, Jorge Diego, Nan
y y Adriana
Presenta
ión general
Este libro es el resultado de varios años de trabajo de los autores 
omo profe-
sores de matemáti
as y/o e
onomía para las Fa
ultades de Cien
ias y Cien
ias
E
onómi
as de las universidades Na
ional (sedes Medellín y Bogotá), Externa-
do de Colombia y Ponti�
ia Javeriana, y su objetivo 
entral es exponer algunos
de los elementos fundamentales del lenguaje matemáti
o que deberían ser 
o-
munes a todos los estudiantes de e
onomía de nuestras épo
as. Pensando en
esto, hemos optado por es
ribir el texto en 
uatro volúmenes: en el volumen 0
(Fundamentos) presentamos los requisitos matemáti
os que el estudiante debe
llenar para a
eder más 
ómodamente al 
orpus total; el volumen 1 
onsiste
en las no
iones bási
as del álgebra lineal; el volumen 2 en las no
iones bási
as
del 
ál
ulo diferen
ial e integral, y el volumen 3 en las no
iones bási
as de la
teoría de la optimiza
ión y de la dinámi
a.
En 
ada uno de los 
uatro volúmenes hemos dividido los temas tratados a
través de le
iones 
on un tratamiento matemáti
o riguroso y sin referen
ia a
apli
a
ión e
onómi
a alguna. Todas estas le
iones presentan, además, notas
históri
as que esperamos ayuden a trazar el devenir de los 
on
eptos mate-
máti
os que se desarrollan al punto. Por tanto, aquellos que 
onsideran que
un 
urso de matemáti
as bási
as para e
onomistas debería ser solo eso y no
un 
urso 
on apli
a
iones, estarán aquí servidos. Sin embargo, para aquellos
que di�eren de esta postura metodológi
a y pedagógi
a hemos también se-
parado la se
ión �nal de 
asi todas las le
iones para el �
ontexto e
onó-
mi
o�. Pero esta no es una se
ión ordinaria de apli
a
iones a la e
onomía:
es, por el 
ontrario, una aproxima
ión 
oherente a problemas 
entrales en
la teoría e
onómi
a, y una orienta
ión para el estudiante atento y dis
ipli-
nado. Por ejemplo, en el volumen 1 apare
en dis
usiones sobre los modelos
lineales fundamentales de la teoría e
onómi
a: el modelo walrasiano de Cas-
sel, el modelo insumo-produ
to de Leontief, el modelo de equilibrio general
de von Neumann, el modelo sra�ano, la teoría de juegos de von Neumann
y Morgenstern, el modelo �keynesiano� lineal IS-LM, y el análisis de a
tivi-
dades de Koopmans. En el volumen 2 se en
uentran, entre otras dis
usio-
nes, notas históri
as y de 
ontexto del problema de la ra
ionalidad, de la re-
xiii
xiv Matemáti
as Bási
as para E
onomistas II: Cál
ulo
volu
ión marginalista y de la 
omunión entre ra
ionalidad y marginalismo;
en el volumen 3 apare
en tres de las visiones modernas más importantes sobre
el 
omportamiento e
onómi
o: el modelo keynesiano IS-LM no-lineal de Hi
ks,
el modelo walrasiano de Arrow y Debreu, y los modelos de intera
iones e
o-
nómi
as y so
iales. El objetivo en 
ada uno de estos análisis es el problema
e
onómi
o por sí mismo y las 
onse
uen
ias que el desarrollo lógi
o de las hi-
pótesis y las herramientas matemáti
as entregan para dis
usión tanto a nivel
teóri
o-
on
eptual 
omo de políti
a e
onómi
a. En ningún 
aso se 
entra en
las herramientas matemáti
as que están siendo utilizadas.
En de�nitiva, este trabajo es una invita
ión a 
omenzar a entender el poten
ial
y, sobre todo, los límites de la herramienta matemáti
a tradi
ional en la teo-
ría e
onómi
a; es una invita
ión a entender que las matemáti
as tradi
ionales
están mejor diseñadas y adaptadas a las 
ien
ias exa
tas 
omo la físi
a, pero
quizás no para el estudio de los fenómenos so
iales y e
onómi
os, y esto inten-
tamos resaltarlo en el texto 
uando presentamos numerosos ejemplos tomados
de la físi
a, de la quími
a, o de la biología. Pero aunque estamos 
onven
idos
de que las matemáti
as son más 
laras que 
ualquier otro lenguaje y de que
en numerosas o
asiones muestran lo que no podría lograrse por introspe
ión,
probablemente el verdadero aporte de ellas a las 
ien
ias so
iales y e
onómi
as
úni
amente podrá ser evaluado por las genera
iones futuras; no antes y, por
supuesto, no ahora. Solo que en ese 
amino no deberíamos seguir ni la moda
del día, ni la aproba
ión o desaproba
ión de nuestros 
olegas. En su lugar, nos
debería preo
upar al
anzar más y más 
laras 
omprensiones de lo que su
ede
en los fenómenos e
onómi
os que enfrentamos día a día, y si estas u otras ma-
temáti
as son un me
anismo apropiado para lograrlo, habríamos avanzado un
paso más en este propósito.
Una palabra �nal. Algunos tienen la 
reen
ia de que no hay manual ni texto,
por bueno que sea, que pueda relevarnos de la le
tura de los artí
ulos originales
y de los textos 
lási
os; y que nadie debería permitirse que �le 
uenten� lo que
di
en los es
ritos originales. Pero 
reemos que esta es una opinión, por lo me-
nos, falaz. Claro está que es ideal poder leer los textos originales y los 
lási
os.
Sin embargo, el estudiante que apenas se insinúa en 
ualquier área del 
ono-
imiento, requiere de esquemas y de puntos de referen
ia para poder avanzar
on mayor seguridad y 
onsisten
ia; posteriormente, una vez haya adquirido
ierta madurez y entendimiento, es absolutamente ne
esario que re
urra, ahora
sí, a los textos 
lási
os y a los originales. Comenzando por esta estrategia, un
estudiante que 
omien
e por esta estrategia 
orrerá, 
reemos, un menor riesgo
de 
onfundirse o, lo que sería fatal, de extraviarse de�nitivamente.
Por último, ha sido un honor para quien esto es
ribe, haber podido realizar en
ompañía de su antiguo profesor de matemáti
as de la Universidad Na
ional de
Colombia, sede Medellín, Fernando Puerta, los volúmenes 0 y 2 de este texto.
Presenta
ión general xv
Agrade
emos a las Fa
ultades de Cien
ias y Cien
ias E
onómi
as de la Uni-
versidad Na
ional de Colombia, en parti
ular a los profesores Carlos Andrés
Álvarez (Coordinador de Publi
a
iones de la Fa
ultad de Cien
ias E
onómi
as)
y Gustavo Jun
a (Dire
tor de la maestría en E
onomía de la misma Fa
ultad).
También a la Fa
ultad de E
onomía de la Universidad Externado de Colom-
bia, y al Departamento de Matemáti
as de esta universidad. De igual manera
a aquellos de los que re
ibimos sugeren
ias y 
omentarios: Diego Arévalo, Ju-
lián Arévalo, Os
ar Benavides, Catalina Blan
o, Lina Cañas, Angéli
a Chappe,
Lola Coba, Luis Jorge Ferro, Jorge Gallego, Norma Gómez, Carlos Augusto
Jiménez, Cres
en
io Huertas, Norman Maldonado, Juliana Mon
ada, Eduar-
do Mantilla, Ángela Ospina, Diego Pardo, Sergio Parra, Carolina Peláez, Lida
Quintero, Aida Sofía Rivera, María Cristina Rodríguez, Diego Rojas, Mar
ela
Rubio, Renata Sama
á, Alejandra Sán
hez, Humberto Sarria, Biviana Suárez,
Jennifer Taborda, María del Pilar Tejada, Ana Tamayo, Hé
tor Use
he y Mi-
guel Zárate. Un agrade
imiento del editor al Ban
o de la Repúbli
a por su
apoyo en la realiza
ión de estudios de e
onomía a nivel de do
torado (Univer-
sity of Wis
onsin-Madison y The Hebrew University of Jerusalem). También
a Maribel Romero, Santiago Sierra, Danny Sierra, Dora Millán y Nathalie Ji-
ménez, por su pa
iente digita
ión de nuestros difí
iles manus
ritos. Pero, por
en
ima de todo, a nuestras familias que son el gran aliento y nuestra razón de
ser.
Sergio Monsalve
Bogotá D.C., febrero de 2008
Nota del editor para el volumen 2
Este segundovolumen de �Matemáti
as bási
as para e
onomistas� tiene 
omo
objetivo presentar las ideas 
entrales del 
ál
ulo (la derivada y la integral)
que son tan importantes a todo estudiante serio de e
onomía en los tiempos
de hoy. De forma similar a los otros volúmenes, hemos querido a
ompañar la
presenta
ión matemáti
a formal del Cál
ulo 
on notas históri
as, y 
on los
ontextos e
onómi
os de 
ada �nal de le
ión.
La le
ión 1 (�El método de límites�) es, 
abe advertir, la que quizás requerirá
más de la apli
a
ión, dis
iplina y 
on
entra
ión del estudiante, puesto que
allí hemos dispuesto las no
iones primarias del 
ál
ulo que, 
on seguridad,
son las más difí
iles para un estudiante no enseñado a pensar formalmente.
De nuevo, 
omo lo dijimos en la Nota de Editor del Volumen 1, sugerimos
respetuosamente al profesor o instru
tor del 
urso de pregrado de Cál
ulo,
no presentar todas las demostra
iones de los teoremas, sino sólo unas po
as,
aunque sí ha
er énfasis en su 
omprensión y en la 
orre
ta apli
a
ión de ellos
a través de ejemplos y ejer
i
ios. Y esto, por supuesto, es apli
able para las
otras tres le
iones del texto.
Una de las 
ara
terísti
as prin
ipales que distingue a este libro, es que se han
in
luido en 
ada una de las 
uatro le
iones, tanto el análisis de una sola va-
riable, 
omo el análisis de dos variables, y hemos pedido extenderlo en los
ejer
i
ios al 
aso de más de dos variables. Esto se ha he
ho así porque 
onsi-
deramos que no hay razón alguna para que nuestros estudiantes de e
onomía
no puedan ha
er este tránsito de esa manera. No existe razón para que 
uando
se haya estudiado el 
on
epto de 
ontinuidad en una variable, no se haga el
paso a estudiar el mismo 
on
epto en dos variables; de igual forma, en el 
aso
de la derivada ordinaria y las derivadas par
iales, o en el 
aso de la integral
ordinaria y las integrales dobles. Esperamos que esta propuesta así presentada
sea a
eptada por los do
entes en
argados de este 
urso.
Varias adverten
ias de nota
ión, no sólo para este, sino también para los otros
tres volúmenes. Los números 
on expresión de
imal se es
riben utilizando el
punto (.) para separar la 
antidad entera de la de
imal. No se re
urre a la
nota
ión, también 
omún, de la 
oma (,). Utilizamos la nota
ión � para in-
di
ar que una demostra
ión ha �nalizado, la nota
ión N para indi
ar que un
xvii
xviii Matemáti
as Bási
as para E
onomistas 2: Cál
ulo
ejer
i
io (o ejemplo) ha terminado, y los asteris
os para indi
ar que un ejer
i
io
propuesto puede ser �difí
il� ((∗) para los ejer
i
ios �difí
iles� y (∗∗) para los
�muy difí
iles�).
Entregamos ahora este volumen 2 (Cál
ulo) de la 
ole
ión 
on la esperanza de
que sirva bien al propósito de formar un nuevo y mejor e
onomista en nuestro
país, a
ogiendo el llamado de una so
iedad que lo re
lama más serio, más
profundo, más estru
turado, y también (muy fundamentalmente) más riguroso.
Prólogo
Por: Eduardo Mantilla P.
En esta obra se re
ogen las experien
ias didá
ti
as de los autores en la ense-
ñanza de la matemáti
a, espe
ialmente en las 
arreras de 
ien
ias e
onómi
as,
tomando 
omo eje 
entral el trabajo de varios años del profesor Sergio Mon-
salve.
Los textos he
hos a partir de los apuntes de 
lase tienen el en
anto de traslu
ir
la manera de trabajar del maestro. Su aproxima
ión a los temas. Su parti
ular
manera de de
ir las 
osas para ha
erlas 
omprensibles a los estudiantes. Su
forma de a
er
arse al 
ono
imiento. A qué le da prela
ión. Un texto he
ho
así es 
omo una radiografía del alma pedagógi
a del maestro. Por eso es tan
importante que no se pierdan las experien
ias de quienes trabajan bien, para
que otros las aprove
hen e, inspirados en ellas adelanten su labor do
ente y
imenten su forma
ión 
omo edu
adores.
Esta obra re�eja una forma de ha
er las 
osas de manera atra
tiva y rigurosa
y, en 
uanto a su 
ontenido, 
ompleta para las 
arreras de 
ien
ias e
onómi
as.
Sus autores logran darle unidad y sabor en un trabajo dispendioso para ellos
y útil para quienes tienen a su 
argo asignaturas de matemáti
as que aquí
pueden sele
ionar los temas que les sean ne
esarios, 
on la seguridad de que
están bien tratados y son a
esibles para los estudiantes.
Al ver la totalidad de la obra resalta el enorme trabajo que signi�
ó para el
profesor Monsalve y sus 
ompañeros re
oger, ordenar y reelaborar sus expe-
rien
ias y presentarlas 
omo lo ha
en. Para quien esto es
ribe, es espe
ialmente
atra
tivo el manejo de los temas geométri
os que tan buenos resultados dan
desde el punto de vista formativo y para la 
omprensión general de la materia.
La presenta
ión de modelos e
onómi
os y las notas históri
as son herramien-
tas formidables para mostrar y dar un 
ontexto al devenir de los 
on
eptos
matemáti
os y su utiliza
ión por parte de la e
onomía.
Los autores mere
en feli
ita
iones y el re
ono
imiento de la 
omunidad univer-
sitaria por haberse 
omprometido en tamaña tarea, y por la forma 
uidadosa
en que lo hi
ieron. Por lo bien que les quedó, y por lo útil que será para las
futuras promo
iones de estudiantes. Ojalá esta obra sea probada por otros
maestros que, en la prá
ti
a, son los que 
on su fre
uente utiliza
ión, 
ali�
an
la ex
elen
ia de este tipo de trabajo.
xix
Le
ión 1
El método de límites
Introdu
ión
El método matemáti
o de límites se desarrolló 
omo resultado de una labor
persistente de más de dos mil años (desde los antiguos griegos hasta el siglo
XIX), sobre problemas que no podían resolverse mediante métodos aritméti
os,
ni algebrai
os, ni de geometría. La idea fundamental del método de límites es
simple: para determinar el valor exa
to de 
ierta magnitud, primero se 
ons-
truye una serie de aproxima
iones a ella, 
ada una más exa
ta que la anterior;
y luego del examen de estas 
antidades, es de
ir, del pro
eso de aproxima
ión,
determinamos el valor de la magnitud.
¾Qué problemas fundamentales impulsaron el método de límites y su formu-
la
ión de�nitiva? Los matemáti
os del siglo XVII gradualmente des
ubrieron
que un gran número de problemas prá
ti
os se redu
ían a dos tipos: el primero,
dibujar la tangente a una 
urva de movimiento dada (este problema de tangen-
tes 
ondu
iría al 
on
epto de derivada); y el segundo problema, era en
ontrar
el área barrida por una 
urva en movimiento, que se 
ono
ía enton
es 
omo
problema de 
uadraturas, y que 
ondu
iría al 
on
epto de integral. En ambos
problemas estaba profundamente impli
ado el método de límites.
Y aunque el 
on
epto de límite tuvo su formula
ión rigurosa de�nitiva duran-
te el siglo XIX a través de las de�ni
iones introdu
idas por Augustin Louis
Cau
hy (1821) y Karl Weierstrass (1861), ya desde los antiguos griegos, los
matemáti
os operaban 
on 
on
eptos similares que eran, tal vez, menos 
laros
(el método de �exhaus
ión de áreas�
1
de Eudoxio y Arquímedes y las parado-
jas de Zenon, que ilustraremos adelante, son ejemplos de esto). El 
on
epto
de límite que tenemos hoy en día resultó del desarrollo del análisis matemá-
ti
o y fue, al mismo tiempo, el medio para estable
er y 
lari�
ar, sobre bases
1
El término �exhaus
ión�, no existe en 
astellano. Pero, de existir, signi�
aría �agotar�
el área.
1
2 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
sólidas, mu
hos logros previos: fue el resultado de más de veinti
uatro siglos
de esfuerzos.
En esta le
ión y en las próximas, des
ubriremos en detalle las ideas bási
as en
la solu
ión a los dosproblemas 
entrales del Cál
ulo (la derivada y la integral) y
en
ontraremos que entre estas ideas está, muy fundamentalmente, la de límite.
1. Su
esiones y el 
on
epto de límite
Ya habíamos men
ionado arriba que a menudo su
ede que uno debe aproximar-
se a 
ierto resultado a través de pasos. Por ejemplo, para 
al
ular el área del
ír
ulo de radio 1, los griegos utilizaban métodos de aproxima
iones a través de
áreas de polígonos (internos y externos) de n lados 
uyas áreas sí 
ono
ían, y en
este pro
eso aseguraban una �su
esión� de valores que �
ondu
ían� al valor π.
Con este tipo de pro
edimiento obtenían un número an para 
ada número na-
tural n y, por ende, una �su
esión� in�nita de números a1, a2, a3, . . . , an, . . ..
El 
on
epto de límite de una su
esión que introdu
iremos, no es más que, pre-
isamente, la respuesta a la pregunta: ¾ha
ia dónde van los números an 
uando
n 
re
e? Pero, primero, es ne
esario que 
omen
emos a formalizar lo que vamos
a entender por �su
esión�. Para ello, estudiemos las dos situa
iones siguientes:
a) Supongamos que A es el siguiente 
onjunto �ordenado� de números:
A =
{
1,
1
2
,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·
}
Como puede verse allí, los elementos de A están ordenados de tal forma
que a 
ada uno de ellos se le puede asignar un número natural y vi
eversa.
De esta manera se estable
e una fun
ión uno-a-uno entre el 
onjunto
N = { 1, 2, 3, . . . } y A así:
1 −→ 1 , 2 −→ 1
2
, 3 −→ 1
3
, · · · , n −→ 1
n
, · · ·
b) Y si 
onsideramos otro 
onjunto �ordenado� de números tal 
omo
A′ =
{
1
2
,
2
3
,
3
4
, · · · , n
n+ 1
, · · ·
}
también a 
ada uno de estos podemos asignarle un número natural y
vi
eversa:
1 −→ 1
2
, 2 −→ 2
3
, 3 −→ 3
4
, · · · , n −→ n
n+ 1
, · · ·
Le
ión 1: El método de límites 3
Estos dos ejemplos sugieren 
ómo podemos de�nir de manera formal el 
on-
epto intuitivo, de lo que en adelante entenderemos por �su
esión�:
De�ni
ión 1. (Su
esión de números reales)
Una fun
ión f(·) 
uyo dominio2 es el 
onjunto de todos los números naturales
N y 
uyo rango es un sub
onjunto de R se denominará una su
esión de números
reales. Al valor f(n ) de la fun
ión se le llamará término n-ésimo de la su
esión.
Nota 1.
Como, según esta de�ni
ión, toda su
esión tiene 
omo dominio a N , éste a
ve
es se omite, y enton
es se denotará una su
esión es
ribiendo la fórmula de
su término n-ésimo entre llaves de la siguiente forma:
{ f(n ) }n∈N o { an }n∈N donde f(n ) = an; o, simplemente, { an } 3
Ejemplo 1.
Ejemplos de su
esiones son los siguientes:
a) { an } = {n } = { 1, 2, 3, 4, . . .}
b) { an } =
{
1
n2
}
=
{
1,
1
4
,
1
9
,
1
16
, . . .
}
) { an } =
{
1
n2 + 1
}
=
{
1
2
,
1
5
,
1
10
, . . .
}
d) { an } = {
√
n } = { 1, √2, √3, √4, . . .} N
Para observar el 
omportamiento de los términos de una su
esión se a
os-
tumbra dibujarlos sobre una re
ta numéri
a o en un plano 
artesiano (
o-
mo 
ualquier fun
ión real) 
omo se ve en las �guras 1 y 2 
on las su
esiones
{ an } =
{
1
n
}
y { an } =
{
n
n+ 1
}
, respe
tivamente.
2
Para el 
on
epto de dominio de una fun
ión, ver volumen 0 (Fundamentos).
3
De he
ho, el dominio de una su
esión puede ser 
ualquier sub
onjunto in�nito de N.
Por ejemplo, si an =
1
n−2 , enton
es podemos 
onsiderar a los naturales n > 2 
omo
su dominio. Sólo que en todos estos 
asos, siempre es posible �reenumerar la su
esión�
de tal manera que el primer término 
orresponda a la imagen del número natural 1.
Por ejemplo, en el 
aso de la su
esión anterior, observe que los términos de ésta no
ambian si en su lugar es
ribiéramos la su
esión an =
1
n
on n ∈ N.
4 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
Figura 1: Su
esión { an } = { 1n }
a)
0 112
1
3
1
4
1
5
b b b b b b
b)
n
an
1
1 2 3 4 5
b
b
b
b
b
Figura 2: Su
esión { an } = { nn+1 }
a)
0 112
2
3
3
4
4
5
b b b bb b
b)
n
an
1
1 2 3 4 5
b
b
b
b
b
Para 
omenzar nuestro análisis de las su
esiones, es 
onveniente re
urrir a
ierto número de de�ni
iones que nos ayudarán a 
ara
terizarlas.
De�ni
ión 2. (Su
esiones monótonas)
a) Se di
e que la su
esión { an } es 
re
iente si an+1 ≥ an para todo n.
b) Se di
e que la su
esión { an } es de
re
iente si an+1 ≤ an para
todo n.
) Si una su
esión es 
re
iente o de
re
iente, se di
e que es monótona.
d) Se di
e que la su
esión { an } es 
re
iente estri
ta si an+1 > an para todo
n (�gura 3b).
e) Se di
e que la su
esión { an } es de
re
iente estri
ta si an+1 < an para
todo n (�gura 3
).
f) Si una su
esión es 
re
iente estri
ta o de
re
iente estri
ta, se di
e que es
monótona estri
ta.
Le
ión 1: El método de límites 5
a) Su
esión no monótona: ni
re
iente ni de
re
iente
n
an
b
b
b
b
b
b
b) Su
esión 
re
iente estri
ta
n
an
b
b
b
b
b
) Su
esión de
re
iente estri
ta
Figura 3
n
an
b
b
b
b
b
b
Ejemplo 2.
Determinemos si las siguientes su
esiones son 
re
ientes (estri
tas), de
re
ien-
tes (estri
tas), o no son ni 
re
ientes ni de
re
ientes:
a) { an } =
{
1
n
}
, b) { an } = {n } ; 
) { an } = { (−1 )n }
Solu
ión.
a) Ya que n < n + 1, enton
es
1
n
>
1
n+ 1
; es de
ir, an > an+1. Luego la
su
esión de�nida por an = 1/n es de
re
iente estri
ta (�gura 1).
b) Observemos que n < n+1; es de
ir, an < an+1. Luego la su
esión de�nida
por an = n es 
re
iente estri
ta.
) Observemos que a1 = −1, a2 = 1 y a3 = −1. Por lo tanto, la su
esión
de�nida por an = (−1)n no es ni 
re
iente ni de
re
iente.
Ejemplo 3.
Mostremos que { an } =
{
n+ 1
2n+1
}
es de
re
iente estri
ta (�gura 4).
6 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
Solu
ión.
Veamos que an > an+1 para todo n ≥ 1; es de
ir, que n+ 1
2n+1
>
n+ 2
2n+2
. Pero
esto es equivalente a 2n+2(n+1 ) > 2n+1(n+2 ) o también a que 2(n+1 ) >
n + 2 ó 2n > n, lo 
ual es 
ierto para todo n ≥ 1. Por tanto, la su
esión es
de
re
iente estri
ta. N
Figura 4: {an} = { n+12n+1 }
n
an
b
b
b
b
b
b
1 2 3 4 5 6
Continuamos ahora 
on una de�ni
ión adi
ional de 
ara
teriza
ión para las
su
esiones. La siguiente es la no
ión de su
esión a
otada.
De�ni
ión 3. (Su
esiones a
otadas)
a) Se di
e que la su
esión { an } es una su
esión a
otada superiormente si
existe un número real M tal que an ≤M para todo n. A este número
M se le llama una 
ota superior de la su
esión.
b) Se di
e que la su
esión { an } es una su
esión a
otada inferiormente si
existe un número P tal que P ≤ an para todo n. A este número P se
le llama una 
ota inferior de la su
esión.
) Se di
e que la su
esión { an } es una su
esión a
otada si es a
otada
superior e inferiormente
4
.
b b b b b
anP M
ota inferior
ota superior
4
Notemos que si { an } tiene una 
ota superior (o inferior), enton
es tiene in�nidad
de 
otas superiores (o inferiores). A la menor de estas 
otas superiores, si { an } es
a
otada superiormente, se le llama el extremo superior de { an } y se denota sup{ an }.
Si es a
otada inferiormente, a la mayor de las 
otas se le llama extremo inferior de
{ an } y se denota inf{ an }(volumen 0 (Fundamentos)).
Le
ión 1: El método de límites 7
Ejemplo 4.
a) La su
esión de�nida por an = 1/n es a
otada superior e inferiormente
puesto que 0 ≤ an ≤ 1 para todo n.
b) La su
esión de�nida por an = n es a
otada inferiormenteporque an ≥ 1
para todo n. Sin embargo, esta su
esión no es a
otada superiormente
porque para todo M ∈ R existe n ∈ N tal que n > M ¾Cuál puede ser
este n? N
Una vez se tiene 
abalmente entendido el 
on
epto de su
esión y algo de su
omportamiento general, el paso siguiente es tratar de 
apturar el 
on
epto
mismo de límite. En el 
aso de la su
esión { 1n }, es inmediato notar que 
ada
término es menor que el anterior, y todo pare
e indi
ar que la su
esión se
aproxima a 
ero a medida que n aumenta; es de
ir, la diferen
ia entre
1
n y 0
es �muy pequeña� si n es �muy grande�. De manera similar, es bien 
laro que
ada término de la su
esión { nn+1 } es mayor que el anterior y pare
iera que
esta su
esión se aproximara a 1; es de
ir, la diferen
ia entre 1 y di
hos términos
pare
e disminuir 
ada vez más, a medida que n aumenta. Y en efe
to es así,
pues observamos que:
1− 1
2
=
1
2
, 1− 2
3
=
1
3
, 1− 3
4
=
1
4
, · · · , 1− 1000
1001
=
1
1001
, · · ·
y para el n-ésimo elemento se tiene
1− n
n+ 1
=
1
n+ 1
En estos dos ejemplos hemos expresado la idea fundamental de �aproxima
ión�
que es la misma de �límite� de una su
esión de números, y estamos ya prepa-
rados para la de�ni
ión formal de la idea de que una su
esión an 
onverge a
L si la diferen
ia entre an y L se va ha
iendo 
ada vez más pequeña a medida
que n va aumentando.
De�ni
ión 4. (El 
on
epto de límite de una su
esión)
Se di
e que el límite de la su
esión {an} es L 
uando n tiende a in�nito, y se
denota
l´ım
n→∞an = L (o an → L 
uando n→∞) (�gura 5)
si para 
ada ǫ > 0 existe N ∈ N tal que 
uando n ≥ N se tiene que
| an − L | < ǫ
Una su
esión que tiene límite se di
e que es 
onvergente. De lo 
ontrario, se
di
e que es divergente.
8 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
Figura 5
b bb bb bb bbb bbb b
( )
a2 anan−1a1 an+1
LL− ǫ L+ ǫ
a3a4
Nota 2.
Obsérvese que | an − L | < ǫ signi�
a que an está a una distan
ia menor que ǫ
de L; esto es equivalente a de
ir, re
ordando las propiedades del valor absoluto,
que L− ǫ < an < L+ ǫ; o que an ∈ (L− ǫ, L+ ǫ).
Ejemplo 5
Demostremos, utilizando la de�ni
ión anterior, que, efe
tivamente,
l´ım
n→∞
n
n+ 1
= 1 (�gura 2).
Solu
ión
Demostrar que l´ım
n→∞
n
n+ 1
= 1 es equivalente a probar que dado 
ualquier
ǫ > 0, existe N ∈ N tal que 
uando se tenga n ≥ N , también se tendrá que∣∣∣∣ nn+ 1 − 1
∣∣∣∣ < ǫ
Ahora bien: ∣∣∣∣ nn+ 1 − 1
∣∣∣∣ < ǫ si, y sólo si,
∣∣∣∣ n− (n+ 1 )n+ 1
∣∣∣∣ < ǫ;
si, y sólo si,
∣∣∣∣ −1n+ 1
∣∣∣∣ < ǫ; si, y sólo si 1n+ 1 < ǫ;
si, y sólo si,
1
ǫ
< n+ 1; si, y sólo si n >
1
ǫ
− 1
Así que dado ǫ > 0 se puede tomar N 
omo el entero positivo estri
tamente
superior a
1
ǫ
− 1; esto es (utilizando la fun
ión �mayor entero 
ontenido en�)
que
N ≡
[[
1
ǫ
− 1
]]
+ 1
De esta manera se 
umple que para todo n, si n ≥ N enton
es
∣∣∣∣ nn+ 1 − 1
∣∣∣∣ < ǫ,
que es lo que queríamos demostrar.
Le
ión 1: El método de límites 9
Ejemplo 6.
Sea an =
(−1 )n
n
+ 2 para n ∈ N (�gura 6). Probemos que
l´ım
n→∞ an = 2.
Solu
ión
Aquí se tiene que
a1 = 1 , a2 =
1
2
+ 2 , a3 = −1
3
+ 2 , · · · , a2n = 1
2n
+ 2 , · · · ;
y, por tanto,
| an − 2 | =
∣∣∣∣ (−1 )nn
∣∣∣∣ = 1n
Así que, dado ǫ > 0, basta es
oger un N tal que
1
N
< ǫ (por ejemplo,
N =
[[
1
ǫ
]]
+ 1) para tener que si n ≥ N , enton
es | an − 2 | < ǫ. Es de-
ir, l´ım
n→∞an = 2.
Figura 6: Su
esión { an } = { (−1)
n
n
+ 2 }
n
an
2
b
b
b
b
b
b
1 2 3 4 5 6
Ejemplo 7. (El límite de una su
esión 
onstante es la 
onstante)
Sea an = λ para n = 1, 2, 3, . . ., donde λ ∈ R es �jo. Para ǫ > 0 se tiene
que | an−λ | = 0 < ǫ si n = 1, 2, 3, . . .. Así que | an−λ | < ǫ para n ≥ 1; es
de
ir, l´ım
n→∞an = λ. N
Ejemplo 8.
Dada la su
esión {0.7, 0.67, 0.667, 0.6667, 0.66667, 0.666667, · · · } demos-
tremos que l´ım
n→∞ an =
2
3
= 0.666666. . . (�gura 7).
10 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
Figura 7
n
an
2
3
b
b
b
b
b b
1 2 3 4 5 6
Solu
ión
Aquí, ∣∣∣∣ 0.7− 23
∣∣∣∣ = 130 ,
∣∣∣∣ 0.67− 23
∣∣∣∣ = 1300 ,
∣∣∣∣ 0.667− 23
∣∣∣∣ = 13000 ...
y, en general, para el n-ésimo término se tiene que∣∣∣∣ 0.666 · · · 667 − 23
∣∣∣∣ = 13( 10 )n
Pero es fá
il ver que
1
3( 10 )n
<
1
n
para todo n ∈ N; enton
es, para ǫ > 0
dado, tomemos N ∈ N tal que 1N < ǫ. Así, si n ≥ N , enton
es∣∣∣∣ 0.666 . . . 67− 23
∣∣∣∣ = 13( 10 )n < 1n ≤ 1N < ǫ
Por lo tanto, para todo ǫ > 0, existe N ∈ N tal que si n ≥ N enton
es∣∣ an − 23 ∣∣ < ǫ. N
Ejemplo 9.
Para probar que l´ım
n→∞( 1 −
1
2n
) = 1, tomemos ǫ > 0, y elijamos un N ∈ N tal
que N >
1
ǫ
. Enton
es, para todo n ≥ N se tiene que n > 1
ǫ
. Como
1
2n
<
1
n
,
para todo n ∈ N, enton
es 1
2n
< ǫ o, equivalentemente, | 1 − 1
2n
− 1 | < ǫ.
Así, l´ım
n→∞( 1−
1
2n
) = 1.
Le
ión 1: El método de límites 11
Ejemplo 10. (La primera paradoja de Zenon)
En el siglo V a.C., el �lósofo griego Zenon de Elea propuso 
ierto número de
paradojas bus
ando probar que el movimiento era imposible. Estas paradojas
sobre el movimiento ilustran, pre
isamente, los problemas 
on la no
ión ma-
temáti
a de límite de una su
esión y, fundamentalmente, 
on el 
on
epto de
in�nito. La primera paradoja de Zenon, por ejemplo, estable
e que un 
orredor
nun
a puede llegar al �nal de su traye
to (meta) pues, primero, debe 
ubrir
la mitad de la distan
ia; luego la mitad de la distan
ia restante; después debe
ubrir la mitad de la distan
ia que resta; y así su
esivamente. El 
orredor de-
bería re
orrer una distan
ia que es
1
2 +
1
4 +
1
8 +
1
16 + · · · , y Zenon aseguraba
que el tiempo requerido para 
ubrir un número in�nito de distan
ias tendría
que ser in�nito. Sin embargo, el 
on
epto de límite nos permite entender esta
aparente paradoja. En efe
to, sea
a1 =
1
2
a2 =
1
2
+
1
4
=
1
2
+
(
1
2
)2
a3 =
1
2
+
1
4
+
1
8
=
1
2
+
(
1
2
)2
+
(
1
2
)3
.
.
.
an =
1
2
+
1
4
+ · · · + 1
2n
Observemos que, enton
es,
an − 1
2
an =
(
1
2
+
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
)
−
(
1
4
+
1
8
+ · · ·+ 1
2n
+
1
2n+1
)
=
1
2
− 1
2n+1
y así, despejando an, se obtiene que
an =
1
2
− 1
2n+1
1
2
= 1− 1
2n
y, por tanto, l´ım
n→∞an = 1 (ejemplo 9), que es la distan
ia total 
ubierta. Luego
el método de límites a�rma que el 
orredor, efe
tivamente, sí llegará a la meta.
Ejemplo 11. (Su
esiones divergentes)
Podría ser 
laro que las su
esiones divergentes abundan. El le
tor puede mos-
trar que las su
esiones
a) { an } = {n }
12 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
b) { an } = {
√
n }
) { an } = { (−1 )n } = {−1, 1, −1, 1, . . . }
son todas divergentes: las dos primeras 
re
en in�nitamente y la ter
era os
ila
entre 1 y �1, pero no se aproxima a ningún número real en parti
ular (�gura
8).
Figura 8: Su
esión {an} = {(−1)n}
n
an
1
-1 1 2 3 4 5 6
b
b
b
b
b
b
Una 
ara
terísti
a fundamental de los números reales se estable
e en el si-
guiente teorema que nos da 
ondi
iones su�
ientes para que una su
esión sea
onvergente:
Teorema 1. (Una propiedad fundamental de los números (Weiers-
trass (1877)
5
))
Una su
esión monótona y a
otada es 
onvergente; es de
ir, tiene límite (�gura
9).
Figura 9
|b bb b b b b
a1 a2 a3 an
L
Demostra
ión
Sin pérdida de generalidad, asumamos quela su
esión { an } es 
re
iente y
a
otada. El 
aso en que es de
re
iente y a
otada es similar. Por el axioma
de 
ompletez de los números reales (volumen 0 (Fundamentos)), existe L =
sup{ an }. Sea ǫ > 0 
ualquiera; enton
es existe N ∈ N tal que aN > L− ǫ (en
otro 
aso, L no sería el extremo superior de la su
esión y lo sería L− ǫ). Pero
omo an ≥ aN para n ≥ N , enton
es, si n ≥ N , an > L−ǫ o, equivalentemente,
5
Weierstrass, en 
onferen
ias no publi
adas, daría una prueba rigurosa de este teorema.
Le
ión 1: El método de límites 13
| an − L | < ǫ, pues es 
laro que también an < L + ǫ por la misma de�ni
ión
de L. Así, hemos probado que el extremo superior (sup) de la su
esión es,
exa
tamente, el límite de ésta. �
Ejemplo 12.
Consideremos la su
esión { an } =
{
n
n+ 1
}
. Veamos que es monótona 
re-
iente y a
otada y que, por lo tanto, tiene límite.
Solu
ión.
Observemos que 0 <
n
n+ 1
< 1 para todo n; luego la su
esión es a
otada infe-
riormente por 0 y superiormente por 1. Además, an =
n
n+ 1
<
n+ 1
n+ 2
= an+1
para todo n, puesto que esto es equivalente a n(n + 2 ) < (n + 1 )2, y esto,
a su vez, a n2 + 2n < n2 + 2n+ 1, lo 
ual es 
ierto para todo n ≥ 1. Luego
la su
esión es 
re
iente estri
ta. Por el teorema 1, es enton
es 
onvergente: en
efe
to, habíamos visto que esta su
esión 
onverge a 1.
Ejemplo 13.
Mostremos que la su
esión bn =
5− n
2 + 3n
es de
re
iente (es de
ir, que bn ≥ bn+1)
y a
otada inferiormente. Dado ǫ > 0 
ualquiera, hallemos N tal que si n ≥ N ,
enton
es | bn − (−13 ) | < ǫ.
Solu
ión.
Probémoslo por redu
ión al absurdo, suponiendo lo 
ontrario de lo que que-
remos probar y lleguemos a una 
ontradi
ión. Es de
ir, supongamos ini
ial-
mente que bn+1 > bn para 
ierto n ∈ N, o, lo que es lo mismo, que
5− (n+ 1 )
2 + 3(n + 1 )
>
5− n
2 + 3n
Enton
es obtenemos, después de un po
o de álgebra elemental, que
−2 > 15, y esta es, pre
isamente, la 
ontradi
ión; por lo tanto,
bn ≥ bn+1 para todo n ∈ N.
Ahora: esta su
esión es a
otada inferiormente por −13 , pues (nuevamente por
redu
ión al absurdo) si existiera n ∈ N tal que
5− n
2 + 3n
< −1
3
14 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
enton
es tendríamos la misma desigualdad 15 < −2, que es una 
ontradi
ión.
Así, la su
esión bn =
5− n
2 + 3n
está a
otada inferiormente por −13 . Finalmente,
observemos que, de he
ho, −13 es el límite de la su
esión, porque
∣∣∣∣ 5− n2 + 3n −
(
−1
3
) ∣∣∣∣ < ǫ
es equivalente (después de otro pequeño viaje por el álgebra elemental) a
n >
17 − 6ǫ
9ǫ
y, si elegimos N =
[[
17− 6ǫ
9ǫ
]]
+ 1, enton
es para todo n ≥ N se tendrá
que | bn − (−13 ) | < ǫ. Por lo tanto, la su
esión bn =
5− n
2 + 3n
, efe
tivamente,
onverge a −13 . N
Infortunadamente, el re
ípro
o del teorema 1 no es 
ierto. Para ello tenemos
el siguiente ejemplo:
Ejemplo 14.
La su
esión { an } =
{
1, −1
2
,
1
3
, −1
4
,
1
5
, · · · ,
}
es 
onvergente (
on límite 
ero), a
otada superiormente por 1 e inferiormente
por −1, pero no es monótona (�gura 10).
Figura 10: {an} = { (−1 )
n−1
n
}
n
an
b
b
b
b
b
b
1 2 3 4 5 6
Le
ión 1: El método de límites 15
Ejer
i
ios 1
1) Determine si las siguientes su
esiones son (o no) monótonas e indique
uál podría ser su límite (no pruebe aquí esto último):
a)
{
1
1 + n
}
b)
{
2(−1 )n
n+ 1
}
)
{ √
n
n+ 1
}
d)
{
1 +
1
n
+
(−1 )n
n2
}
Un ejer
i
io 
onveniente en este punto, es tabular los primeros 10 térmi-
nos de 
ada una de estas su
esiones y observar su 
omportamiento en un
grá�
o.
2) Dada la su
esión an =
n− 1
n+ 1
, en
uentre N ∈ N para el 
ual se tenga que:
a) | an − 1 | < 0.01 si n ≥ N (es de
ir, en
uentre N a partir del
ual an está a menos de una 
entésima de 1).
b) | an − 1 | < 0.001 si n ≥ N.
¾Cuál 
ree usted que es el límite de la su
esión?
3) a) Muestre que la su
esión del problema anterior es 
re
iente estri
ta
y a
otada superiormente y, por tanto, 
onvergente. Pruebe que el
límite es 1, utilizando la de�ni
ión ǫ, N .
b) Pruebe que l´ım
n→∞ (
5− n
n+ 1
) = −1 utilizando la de�ni
ión ǫ, N . ¾Esta
su
esión es monótona? ¾Es a
otada?
) Similar al ejer
i
io anterior pero ahora para la su
esión
{
2(−1)n
n+ 1
}
.
2. Propiedades de las su
esiones 
onvergentes
Las siguientes son propiedades de las su
esiones 
onvergentes que nos permi-
ten ha
er de ellas herramientas útiles para el análisis matemáti
o. La primera
(teorema 2) es, realmente, un re
ípro
o par
ial del teorema 1 anterior.
Teorema 2.
Una su
esión { an } 
onvergente es a
otada; es de
ir, existe una 
onstante M
tal que | an | ≤M para todo n.
16 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
Demostra
ión
Sea L = l´ım
n→∞ an. Enton
es para ǫ = 1 existe N ∈ N tal que |an − L| < 1 para
n ≥ N . Así que |an| = |an − L + L| ≤ |an − L| + |L| < 1 + |L| para n ≥ N .
Basta enton
es tomar M = máx{|a1|, . . . , |aN−1|, 1 + |L|} (�gura 11). �
Figura 11: Ilustra
ión del teorema 2
b bb bb bb bbb b bbb
( )
a2a3 aN0 aN−1 a1 = MaN+1
LL− 1 L+ 1
La siguiente propiedad (teorema 3), aunque aparentemente obvia, es impor-
tante ha
erla explí
ita:
Teorema 3. (Uni
idad del límite)
El límite de una su
esión { an }, si existe, es úni
o.
Demostra
ión.
Supongamos que l´ım
n→∞an = L1 y l´ımn→∞an = L2. Enton
es dado ǫ > 0, existe
N ∈ N tal que si n ≥ N , enton
es | an − L1 | < ǫ y | an − L2 | < ǫ. Por
onsiguiente,∣∣L1 − L2 ∣∣ = ∣∣ ( an − L2 )− ( an − L1 ) ∣∣ ≤ ∣∣ an − L2 ∣∣+ ∣∣ an − L1 ∣∣ < 2 ǫ
Luego |L1−L2 | < 2ǫ , y 
omo esto último es 
ierto para todo ǫ > 0, enton
es
L1 = L2
6
. �
La siguiente propiedad (teorema 4) es, en o
asiones, también 
onveniente 
o-
no
erla:
Teorema 4.
Si { an } tiene límite L, enton
es { | an | } tiene límite |L | (�gura 12).
Demostra
ión.
Sea ǫ > 0. Enton
es existe N ∈ N tal que si n ≥ N , se tiene que | an − L | <
ǫ. El resultado se obtiene de la desigualdad del valor absoluto (volumen 0:
Fundamentos) ∣∣ | an | − |L | ∣∣ ≤ ∣∣ an − L ∣∣ �
6
Para a
larar el porqué de esto último, suponga, por el 
ontrario, que L1 6= L2, y tome
ǫ = |L1−L2|
2
. Enton
es tendríamos |L1 −L2| < 2ǫ = 2
(
|L1−L2|
2
)
= |L1−L2|, y esto es
una 
ontradi
ión.
Le
ión 1: El método de límites 17
Figura 12
bb bb b b b bbb
( ) ( )
a1 a2 a3 |a1||a2|an |L|L |an|
L |L|0
N N
Nota 3.
a) El re
ípro
o del teorema 4 es, en general, falso. Consideremos, por ejem-
plo, la su
esión an = 2(−1 )n. Esta su
esión no tiene límite ya que
{ an } = {−2, 2, −2, 2, . . . , }
es de
ir,
an =
{
−2 si n es impar
2 si n es par
y, por tanto, os
ila entre −2 y 2. Pero | an | = | 2(−1 )n | = 2 es una
su
esión 
onstante y, en 
onse
uen
ia, 
onvergente:
l´ım
n→∞ | an | = 2
b) Si L 6= 0,
l´ım
n→∞ | an | = |L | no ne
esariamente impli
a l´ımn→∞ an = L,
omo puede verse en el ejemplo anterior. Sin embargo, es fá
il mostrar
que si L = 0, enton
es se tendrá que
l´ım
n→∞an = 0 si, y sólo si, l´ımn→∞ | an | = 0 N
El siguiente es el teorema fundamental para el 
ál
ulo efe
tivo de límites y nos
muestra que este 
on
epto respeta las opera
iones aritméti
as bási
as:
Teorema 5. (Álgebra de límites de su
esiones)
Si l´ım
n→∞an = L y l´ımn→∞ bn = M , enton
es
a) l´ım
n→∞( an ± bn ) = L±M
b) l´ım
n→∞an · bn = L ·M
18 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
) l´ım
n→∞
an
bn
=
L
M
si M 6= 0
Demostra
ión
(Úni
amente demostraremos las partes a) (
aso suma) y b) (
aso produ
to)
delteorema. La parte 
) se deja 
omo ejer
i
io para el le
tor).
a) Puesto que dado ǫ > 0, existe N ∈ N tal que si n ≥ N tendremos que
| an − L | < ǫ2 , y | bn −M | < ǫ2 , enton
es
| ( an + bn )− (L+M ) | ≤ | an − L |+ | bn −M | < ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ;
es de
ir,
l´ım
n→∞( an + bn ) = L+M
b) Partamos de la igualdad
an · bn − L ·M = an · bn − L · bn + L · bn − L ·M
= bn · ( an − L ) + ( bn −M ) · L (1)
Sea ǫ > 0. Como la su
esión { bn } es a
otada (teorema 2), existe K > 0
tal que | bn | ≤ K para todo n ∈ N. Ahora: puesto que an → L, enton
es
para
ǫ
K existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N se tiene que | an−L | < ǫK .
Así, si n ≥ N , enton
es
| bn · ( an − L ) | = | bn | | an − L | ≤ (K )
( ǫ
K
)
= ǫ
Por tanto, para todo ǫ > 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N , se tendrá
que | bn · ( an − L ) | ≤ ǫ; es de
ir, l´ım
n→∞ bn · ( an − L ) = 0. Por un
argumento similar, l´ım
n→∞( bn −M ) · L = 0. Luego, de (1) y la parte a)
anterior, se obtiene que
l´ım
n→∞an bn − LM = 0
o, equivalentemente,
l´ım
n→∞an bn = LM
) Para esta parte, es
riba
an
bn
− L
M
=
Man − Lbn
Mbn
=
M(an − L)− L(bn −M)
Mbn
y aplique la 
ondi
ión (teorema 2) de que la su
esión {bn} es a
otada. �
Le
ión 1: El método de límites 19
Teorema 6. (Un límite muy útil)
Si k es 
ualquier entero positivo, enton
es
l´ım
n→∞
1
nk
= 0
Demostra
ión
(La prueba utiliza el método de indu
ión matemáti
a (volumen 0: Fundamen-
tos)).
a) Veamos que el resultado es 
ierto para k = 1. Sea ǫ > 0 y N un número
natural mayor que 1/ǫ. Enton
es para todo n ≥ N , se tiene que n > 1/ǫ
y, por tanto, 1/n < ǫ para todo n ≥ N . Esto signi�
a que l´ım
n→∞ 1/n = 0.
b) Ahora veamos que si el resultado es 
ierto para k, también es 
ierto para
k+1. Pero esto es inmediato utilizando la parte b) del teorema 5 ya que
l´ım
n→∞
1
nk+1
= l´ım
n→∞
1
n
· l´ım
n→∞
1
nk
= (0)(0) = 0 �
Figura 13: {an} = { 1nk }
n
an
b
b
b
b
b
b
Ejemplo 15.
a) l´ım
n→∞
(
3 +
1
n
)
= l´ım
n→∞ 3 + l´ımn→∞
1
n
= 3 + 0 = 3
b) l´ım
n→∞
4
1 + n
= 4 l´ım
n→∞
1
n
1
n
+ 1
= 4
l´ım
n→∞
1
n(
l´ım
n→∞
1
n
)
+ 1
= 4 · 0
0 + 1
= 0
20 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
)
l´ım
n→∞
(
1 +
1
n
)(
2 +
n
n+ 1
)
= l´ım
n→∞
(
1 +
1
n
)
· l´ım
n→∞
(
2 +
n
n+ 1
)
=
[
1 + l´ım
n→∞
1
n
] [
2 + l´ım
n→∞
n
n+ 1
]
= (1 + 0 )

 2 + l´ım
n→∞
1
1 +
1
n


=

2 + 1
1 + l´ım
n→∞
1
n

 = 3
d) l´ım
n→∞
1 + n
n2
= l´ım
n→∞
[
1
n2
+
1
n
]
= l´ım
n→∞
1
n2
+ l´ım
n→∞
1
n
= 0 + 0 = 0
Ejemplo 16.
l´ım
n→∞
n2 − n
2n2 + n
= l´ım
n→∞
1− 1
n
2 +
1
n
=
l´ım
n→∞
(
1− 1
n
)
l´ım
n→∞
(
2 +
1
n
) = 1− l´ımn→∞
1
n
2 + l´ım
n→∞
1
n
=
1− 0
2 + 0
=
1
2
Ejemplo 17.
l´ım
n→∞
2n2 − 3n + 1
n2
= l´ım
n→∞ 2−
3
n
+
1
n2
= l´ım
n→∞ 2− l´ımn→∞
3
n
+ l´ım
n→∞
1
n2
= 2
Ejemplo 18.
Cal
ulemos l´ım
n→∞
1− 3n2 − 5n3 + 4n4
n4 + (n + 1 )2
.
Solu
ión.
Como podemos indu
ir de los ejemplos anteriores, lo más 
onveniente en estos
asos de fra
ión de polinomios en n, es dividir el numerador y el denominador
por n elevada a la máxima poten
ia que aparez
a en la fra
ión (en este 
aso,
n4), así:
l´ım
n→∞
1− 3n2 − 5n3 + 4n4
n4 + (n+ 1 )2
= l´ım
n→∞
1
n4
− 3
n2
− 5n + 4
1 + 1n2 +
2
n3 +
1
n4
Le
ión 1: El método de límites 21
=
l´ım
n→∞
(
1
n4
− 3
n2
− 5n + 4
)
l´ım
n→∞
(
1 + 1n2 +
2
n3 +
1
n4
)
=
l´ım
n→∞
1
n4
− l´ım
n→∞
3
n2
− l´ım
n→∞
5
n + l´ımn→∞ 4
l´ım
n→∞ 1 + l´ımn→∞
1
n2
+ l´ım
n→∞
2
n3
+ l´ım
n→∞
1
n4
=
4
1
= 4 N
Ahora: a diferen
ia del 
omportamiento 
onvergente de algunas su
esiones,
existen otras que no tienen un 
omportamiento tan regular, pero que, de todas
maneras, mere
en un tratamiento espe
ial debido a la informa
ión que 
onlle-
van.
De�ni
ión 5. (Extensión de la no
ión de límite)
a) Se di
e que una su
esión { an } diverge a +∞ si supera 
ualquier número,
por grande que éste sea, a partir de un N ∈ N en adelante. Esto se es
ribe
(abusando de la nota
ión)
l´ım
n→∞an = +∞ (o an → +∞ 
uando n→∞)
Formalmente, se di
e que l´ım
n→∞an = +∞ si para 
ada M > 0 existe
N ∈ N tal que si n ≥ N , enton
es an ≥M .
b) Análogamente, se tiene que l´ım
n→∞an = −∞ (y se di
e que {an} diverge
a −∞) si, y sólo si, para todo M < 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N ,
enton
es an < M .
Teorema 7. (Comportamiento asintóti
o)
Supongamos que l´ım
n→∞an = L, (L 6= 0) y que l´ımn→∞ bn = 0. Enton
es:
a) l´ım
n→∞
an
bn
= +∞, si L > 0 y bn > 0 para todo n; o si L < 0 y bn < 0
para todo n.
b) l´ım
n→∞
an
bn
= −∞, si L > 0 y bn < 0 para todo n; o si L < 0 y bn > 0
para todo n.
Demostra
ión.
[Ver ejer
i
io 
omplementario 36 al �nal de la le
ión℄. �
22 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
Ejemplo 19.
Cal
ulemos l´ım
n→∞
an
bn
si, para todo n, an = 8 y bn =
1
n2
.
Solu
ión.
Observemos que
l´ım
n→∞
8
1
n2
= l´ım
n→∞ 8n
2 = +∞
porque para 
ada M > 0 existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N , 8n2 ≥
M : basta tomar N =
[[√
M
8
]]
+ 1. Sin embargo, para 
al
ular este límite
pudimos haber apli
ado dire
tamente el teorema 7 en su parte a): en efe
to,
omo l´ım
n→∞ an = 8 y l´ımn→∞ bn = 0 a través de valores positivos, enton
es,
dire
tamente,
l´ım
n→∞
an
bn
= +∞
Ejemplo 20.
Cal
ulemos l´ım
n→∞
an
bn
si an = −2 + 3
n2
y bn =
1
n
.
Solu
ión.
Observemos que
l´ım
n→∞
−2 + 3
n2
1
n
= l´ım
n→∞
−2n2 + 3
n
= −∞
porque para 
ada M < 0 existe N ∈ N tal que para todo n ≥ N , −2n
2 + 3
n
<
M (de he
ho,
−2n2 + 3
n
< M es equivalente a 2n2 +Mn− 3 > 0; por tanto,
podemos tomar N igual a
[[
−M+√M2+24
4
]]
+1). Pero también, por el teorema
7 en su parte b), puesto que l´ım
n→∞ an = −2 y l´ımn→∞ bn = 0 a través de valores
positivos, obtenemos de inmediato que
l´ım
n→∞
an
bn
= −∞
(Observemos que, aquí, an < 0 sólo 
uando n ≥ 2; pero esto no invalida la
apli
a
ión del teorema 7, pues para el 
on
epto de límite es su�
iente estudiar
el 
omportamiento de la su
esión para valores grandes de n). N
Continuando 
on nuestro estudio de las su
esiones de números, presentamos
ahora un 
on
epto 
entral en la 
omprensión 
abal del método de límites: es
el 
on
epto de subsu
esión.
Le
ión 1: El método de límites 23
De�ni
ión 6. (Subsu
esión)
Se di
e que una su
esión { bk } es una subsu
esión de la su
esión { an } si existe
una su
esión estri
tamente 
re
iente de números naturales n1 < n2 < n3 < · · ·
tal que bk = ank para todo k = 1, 2, ... .
Observemos que, en parti
ular, toda su
esión es subsu
esión de sí misma: basta
tomar nk = k para k = 1, 2, ... .
Ejemplo 21.
En
ontremos una subsu
esión de 
ada una de las siguientes su
esiones:
a) { an } = {n } = { 1, 2, 3, 4, . . .}
b) { an } =
{
1
n2
}
=
{
1,
1
4
,
1
9
,
1
16
, . . .
}
) { an } =
{
1
n2 + 1
}
=
{
1
2
,
1
5
,
1
10
, . . .
}
d) { an } = {
√
n } = { 1, √2, √3, √4, . . .}
Solu
ión.
a) La su
esión de números pares { 2, 4, 6, 8, . . . } es una subsu
esión de la
su
esión {n }.
b) La su
esión
{
1
4
,
1
16
,
1
36
,
1
64
, . . .
}
es una subsu
esión de la su
esión
{
1
n2
}
.
) Lasu
esión
{
1
10
,
1
26
,
1
50
, . . .
}
es una subsu
esión de la su
esión
{
1
n2 + 1
}
.
d) La su
esión { 1,√4,√7,√10,√13, . . . } es una subsu
esión de la su
esión
{√n }. N
Si 
omprendemos bien los 
on
eptos de subsu
esión y de límite, puede no ser
sorprendente el siguiente resultado:
Teorema 8.
Una su
esión 
onverge a L si, y sólo si toda subsu
esión de ella también 
on-
verge a L.
24 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
Demostra
ión.
a) Supongamos que la su
esión { an } 
onverge a L. Enton
es para 
ada
ǫ > 0 existe N ∈ N tal que 
uando n ≥ N se tiene que | an−L | < ǫ. Sea
K ∈ N tal que nK ≥ N ; si k > K, enton
es nk > nK ≥ N ; por tanto,
| ank − L | < ǫ. Luego toda subsu
esión de { an } 
onverge a L.
b) La segunda parte es inmediata porque una su
esión es subsu
esión de sí
misma. �
Y el último resultado de esta se
ión es una 
ara
terísti
a fundamental de los
números que se expresa mediante el método de límites:
Teorema 9. (Teorema Bolzano (1817)-Weierstrass (1877))
Toda su
esión a
otada tiene una subsu
esión 
onvergente.
Demostra
ión.
Asumamos que la su
esión { an } es a
otada: −M ≤ an ≤ M para un 
ierto
M > 0. Si { an } está 
onstituida sólo por un número �nito de términos que se
repiten, enton
es la subsu
esión formada por uno de estos números servirá a
nuestros �nes. En 
aso 
ontrario, supongamos que { an } está 
onformada por
un número in�nito de términos diferentes.
Enton
es en al menos uno de los intervalos S1 = [−M, 0 ] o
S2 = [ 0,M ] existen in�nitos términos de la su
esión { an }. Supongamos que
esto o
urre en S2. Podemos ahora subdividir S2 en dos intervalos S3 = [ 0,
M
2 ]
y S4 = [
M
2 ,M ], uno de los 
uales, al menos, tiene in�nitos términos de la
su
esión { an }. Supongamos que es S3. De la mima forma podemos subdividir
S3 en otros dos intervalos S5 = [ 0,
M
4 ] y S6 = [
M
4 ,
M
2 ], y es
oger, por ejemplo,
S6 y repetir el argumento una y otra vez (�gura 14). Claramente,
S2 ⊇ S3 ⊇ S6 ⊇ · · ·
Y así, por 
onstru
ión, la interse
ión de todos estos 
onjuntos es un solo nú-
mero L que es, obviamente, el límite de una subsu
esión de términos de { an }
es
ogidos 
onvenientemente en los 
onjuntos S2, S3, S6, · · · . �
Figura 14
[ ℄[ ℄[ ℄
M
4
M
20 M
Le
ión 1: El método de límites 25
Ejemplo 22.
a) La su
esión { an } = { (−1 )n } tiene la subsu
esión de términos pares
{ 1 } 
onvergiendo a 1, y la subsu
esión de términos impares {−1 } 
on-
vergiendo a −1; pero ella misma no es 
onvergente.
b) La su
esión de�nida por { an } = { 1n } si n es par y {an} = {−3} si
n es impar, tiene varias subsu
esiones 
onvergentes a pesar de no ser
onvergente por sí misma. Entre ellas están { bn } = { 12n } y la su
esión
onstante { cn } = {−3 }.
Ejemplo 23. (Una versión moderna del método de �exhaus
ión� de
Eudoxio (s. IV a.C.) y Arquímedes (s. III a.C.))
Es a Eudoxio y a Arquímedes a quienes les debemos las ideas originales de
los pro
esos del 
ál
ulo de áreas (método de exhaus
ión) y, en general, de
los métodos de límites. Uno de estos resultados fue el 
ál
ulo del área de un
segmento parabóli
o mediante métodos geométri
os. Las ideas 
entrales de
ellos, en nota
ión moderna, se en
uentran a 
ontinua
ión.
Supongamos que queremos 
al
ular el área limitada por la parábola 
on e
ua-
ión y = x2; por el eje X; y por la línea re
ta x = 1 (�gura 15 a)).
a)
Figura 15: Método de exhaus
ión
x
y y = x2
1
1
n
( 1
n
)2
( 2
n
)2
( 3
n
)2
2
n
3
n
· · ·
b)
x
y y = x2
y =
√
x
1
1
1
3
1
3
1
3
La matemáti
a elemental no nos permite, de ninguna forma, resolver este pro-
blema. El método de límites, en su lugar, es ade
uado para ha
erlo 
omo ve-
remos enseguida.
Solu
ión
Dividamos el intervalo [ 0, 1 ] a lo largo del eje X en n partes iguales en los
puntos 0, 1n ,
2
n , . . .,
n−1
n , 1. Sobre 
ada una de estas partes 
onstruyamos un
re
tángulo 
uyo lado izquierdo se extienda hasta la parábola. Como resultado
apare
e un sistema de re
tángulos sombreados (�gura 15 a)). Si queremos
26 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
en
ontrar el área A bajo la parábola, una aproxima
ión es la suma de las áreas
de los re
tángulos
Sn = 0
(
1
n
)
+
(
1
n
)2( 1
n
)
+
(
2
n
)2( 1
n
)
+ · · ·+
(
n− 1
n
)2( 1
n
)
=
12 + 22 + · · ·+ (n− 1 )2
n3
=
n(n+ 1 )( 2n + 1 )
6n3
=
1
3
+
1
6n2
+
1
2n
(¾Sabe el le
tor el porqué de la ter
era igualdad? (ver indu
ión matemáti
a,
volumen 0: Fundamentos)). Cuando n 
re
e inde�nidamente, los re
tángulos
se van ha
iendo 
ada vez más �nos (delgados) y Sn se aproxima a la idea que
tenemos del área A bajo la parábola; es de
ir, A = l´ım
n→∞Sn =
1
3 . Así, el área
bajo la parábola es igual a la ter
era parte del 
uadrado de lado 1 (�gura 15
b)).
Ejemplo 24. (Apli
a
ión del método de límites a un problema de la
Físi
a)
Experimentalmente, Galileo Galilei [1564-1642℄ estable
ió que la distan
ia s
ubierta en el tiempo t por un 
uerpo que 
ae libremente en el va
ío puede
expresarse mediante la fórmula s = 12gt
2
, donde g = 9.8
m
s
2
es la 
onstante
de a
elera
ión gravita
ional en la Tierra. Determinemos la velo
idad de este
uerpo, t0 segundos después de haber partido.
Solu
ión.
Supongamos que el 
uerpo pasa a través de 
ierto punto en el tiempo t0 y
estudiemos lo que le su
ede, un instante después, en el tiempo t0 +
1
n , donde
n ∈ N. Claramente, la distan
ia 
ubierta aumentará, pasando de una distan
ia
re
orrida ini
ialmente s0 =
1
2gt
2
0 en el tiempo t0, a la distan
ia 
ubierta en el
tiempo t0 +
1
n dada por
sn =
1
2
g
(
t0 +
1
n
)2
=
1
2
gt20 +
gt0
n
+
g
2n2
Así, el in
remento en distan
ia durante el lapso
1
n
será
sn − s0 =
[
1
2
gt20 +
gt0
n
+
g
2n2
]
−
[
1
2
gt20
]
=
gt0
n
+
g
2n2
La velo
idad promedio durante el mismo lapso
1
n
será enton
es
sn − s0
1
n
=
gt0
n
+
g
2n2
1
n
= gt0 +
g
2n
Le
ión 1: El método de límites 27
Ha
iendo tender n a in�nito (es de
ir, 
al
ulando el límite 
uando
n → ∞ de las velo
idades promedio) nos aproximamos a lo que podríamos
entender 
omo �velo
idad instantánea del 
uerpo en el tiempo t = t0�; así, esta
velo
idad es
v( t0 ) = l´ım
n→∞
[
gt0 +
g
2n
]
= gt0
Es de
ir, la velo
idad del 
uerpo en 
ualquier momento es dire
tamente pro-
por
ional al tiempo trans
urrido desde que 
omenzó a moverse. Nuevamente,
observemos que ninguna herramienta de la matemáti
a elemental nos hubie-
se permitido estable
er este resultado, al que el método de límites se adapta
perfe
tamente.
Ejer
i
ios 2.
1) Cal
ule los siguientes límites (indi
ando los teoremas utilizados) y dibuje
los diez primeros términos de las su
esiones:
a) l´ım
n→∞
n2 + 1
n2 − 1 b) l´ımn→∞
n+ 1
3n
) l´ım
n→∞
1
n(n+ 1 )
d) l´ım
n→∞
3 + 2 3
√
n
3
√
n
e) l´ım
n→∞
n2 + 1
n3
f) l´ım
n→∞
n−1 − 5n−3
4n−1 + 6n−2
2) (Teorema del sándwi
h) Sean {an}, {bn} y {cn} tres su
esiones tales
que an ≤ cn ≤ bn a partir de un N en adelante. Demuestre que si
l´ım
n→∞an = A, l´ımn→∞ bn = B y l´ımn→∞ cn = C enton
es A ≤ C ≤ B. Y a
partir de este resultado, 
on
luya que si A = B enton
es A = B = C.
3) Evalúe los siguientes límites:
a) l´ım
n→∞(
√
n2 + 1 − √n2 − 1 ) [Indi
a
ión: Ra
ionali
e de la siguiente
forma:
√
n2 + 1−√n2 − 1
= (
√
n2+1−√n2−1 ) (√n2+1+√n2−1 )
(
√
n2+1+
√
n2−1 ) =(n2+1 )− (n2−1 )
(
√
n2+1+
√
n2−1 )
= 2
(
√
n2+1+
√
n2−1 ) y tome límite 
uando n→∞ ℄
b) l´ım
n→∞
√
n(
√
n+ 1−√n )
) l´ım
n→∞
senn
n
[Indi
a
ión: Utili
e el teorema del sándwi
h (ejer
i
io 2
anterior) y el he
ho de que | senn| ≤ 1 para todo n℄
28 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
4) Demuestre que la su
esión l´ım
n→∞(
1
3
)n = 0. [Indi
a
ión: Por indu
ión
matemáti
a (volumen 0: Fundamentos) muestre que 0 < (
1
3
)n ≤ 1
n
para
todo n ≥ 1, y aplique el teorema del sándwi
h (ejer
i
io 2, arriba)℄.
5) a) Demuestre que si l´ım
n→∞an = L, l´ımn→∞ bn = M , y an ≥ bn para n
su�
ientemente grande, enton
es L ≥ M . [Indi
a
ión: L − M =
(L−an)−(M−bn)+(an−bn) ≥ (L−an)−(M−bn) > −ǫ−ǫ = −2ǫ
para n su�
ientemente grande℄
b) Pruebe que lo mismo es 
ierto si an > bn para n su�
ientemente
grande.
6) Demuestre que si l´ım
n→∞an = +∞, enton
es l´ımn→∞
1
an
= 0. Re
ípro
amente,
si l´ım
n→∞an = 0 
on an > 0 para n su�
ientemente grande, enton
es
l´ım
n→∞
1
an
= +∞. Dé algunos ejemplos (ojalá no triviales) que ilustren
este resultado. ¾Será 
ierto este resultado si 
ambiamos +∞ por −∞, y
an > 0 por an < 0?
7) Demuestre que si a es 
onstante, enton
es:
a) l´ım
n→∞a
n = +∞ si a > 1. [Indi
a
ión: Como a > 1 enton
es a =
1 + h para h > 0; luego an = (1 + h)n = 1 + nh +
n(n− 1)
2
h2 +
· · ·+ hn ≥ 1 + nh; y tome el límite 
uando n→∞℄
b) l´ım
n→∞a
n = 0, si | a | < 1. [Indi
a
ión: Utili
e la parte a), y el ejer
i
io
6 anterior℄
) ¾Qué su
ede si | a | = 1? ¾Y si a < −1? Dé algunos ejemplos que
ilustren este resultado.
8) Imitando lo realizado en el ejemplo 23, 
al
ule el área a
otada superior-
mente por la parábola 
on e
ua
ión y = x2, por el eje X y por la re
ta
x = b 
on b > 0, y pruebe que es igual a b3/3.
3. Límite de una fun
ión de una sola variable
Con el 
on
epto de límite de su
esiones de números reales a la mano, dar el
paso al 
on
epto de límites de fun
iones de variable real 
ontinua es muy fá
il
y, desde el punto de vista 
on
eptual, natural. De he
ho, detrás de todo está
la idea de que una variable matemáti
a x es la imagen abstra
ta de pro
esos
Le
ión 1: El método de límites 29
dis
retos tales 
omo la aproxima
ión de una su
esión de números a su límite
x. 7
De�ni
ión 7. (Límite mediante su
esiones)
Dada una fun
ión de variable real f : Df −→ R, se di
e que L ∈ R es el límite
de f(·) 
uando x tiende a a, y se es
ribe
l´ım
x→a f(x ) = L (ó f(x )→ L 
uando x→ a)
si para toda su
esión { an } 
onvergente a a (
on an 6= a, an ∈ Df para todo
n) se tiene que
l´ım
n→∞ f( an ) = L
De manera semejante a 
omo se estable
ió para los límites de su
esiones, se
tienen los siguientes teoremas:
Teorema 10 (Uni
idad del límite)
Si l´ım
x→a f(x ) = L1 y l´ımx→a f(x ) = L2, enton
es L1 = L2.
Demostra
ión.
Esto es una 
onse
uen
ia inmediata de la de�ni
ión 7 y del teorema 3 sobre
uni
idad del límite para su
esiones. �
Teorema 11. (Álgebra de límites fun
ionales)
Si l´ım
x→a f(x ) = L y l´ımx→a g(x ) = M , enton
es
a) l´ım
x→a [f(x )± g(x ) ] = L±M
b) l´ım
x→a f(x )g(x ) = L ·M
) l´ım
x→a
f(x )
g(x )
=
L
M
, siempre que M 6= 0
Demostra
ión.
Tomemos una su
esión 
ualquiera { an } que 
onverja ha
ia a, 
on an 6= a,
an en los dominios de las fun
iones f(·) y g(·). Enton
es, por de�ni
ión,
l´ım
n→∞ f( an ) = L, l´ımn→∞ g( an ) = M
7
Sin embargo, advertimos que este no es el 
amino históri
amente seguido por el Cál
u-
lo. Originalmente, fue el 
on
epto de límite para fun
iones de variable 
ontinua el
que surgió primero (ver teorema 13 adelante) de la mano de Weierstrass en 1861. La
presenta
ión que aquí se ha
e (primero la variable dis
reta, y luego la 
ontinua) es re-
lativamente moderna, y lo hemos he
ho así porque la 
onsideramos pedagógi
amente
más 
onveniente.
30 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
y, por tanto, por el teorema 5 (Álgebra de Límites de Su
esiones),
a) l´ım
n→∞ [f( an )± g( an )] = L±M b) l´ımn→∞ f( an ) · g( an ) = L ·M
) l´ım
n→∞
f( an )
g( an )
=
L
M
Luego, por de�ni
ión,
a) l´ım
x→a[f(x )± g(x )] = L±M b) l´ımx→a f(x ) · g(x ) = L ·M
) l´ım
x→a
f(x )
g(x )
=
L
M
�
Ejemplo 25.
Si f(x ) = c para 
ada x (donde c es 
onstante), enton
es para todo a,
l´ım
x→a f(x ) = c
Ejemplo 26.
Demostremos que si n ∈ N, enton
es
a) l´ım
x→ax
n = an b) l´ım
x→a
1
xn
=
1
an
para a 6= 0
Solu
ión.
Es 
laro que l´ım
x→ax = a. Ahora bien: la fun
ión f(·) de�nida por f(x ) = x
n
se puede 
onsiderar 
omo el produ
to de n-ve
es la fun
ión g(x ) = x. Luego,
apli
ando de forma reiterada el teorema 11 b) obtenemos la demostra
ión. Para
la parte b), el literal 
) del mismo teorema 11 es su�
iente. N
Ejemplo 27.
Demostremos que si m ∈ Q y a > 0, enton
es l´ım
x→ax
m = am. El resultado es
similar para a < 0 
uando los términos involu
rados estén bien de�nidos8.
Solu
ión.
Sea { an } una su
esión 
ualquiera tal que { an } → a 
uando n→∞. Enton
es
( amn − am ) = ( an − a )( am−1n + am−2n a+ am−3n a2 + · · · + am−1 )
8
Es 
onveniente anotar aquí que si m = p/q 
on p ∈ Z, q ∈ N enton
es am = (a1/q)p
donde a1/q es la raíz q-ésima de a > 0 (volumen 0: Fundamentos (le
ión 4) para el
resultado que garantiza la existen
ia de esta raíz, a partir de los axiomas que de�nen
a los números reales).
Le
ión 1: El método de límites 31
Pero 
omo { an }, por ser 
onvergente, es a
otada, enton
es existe un M > 0
tal que, para n su�
ientemente grande,
[ am−1n + a
m−2
n a+ a
m−3
n a
2 + · · ·+ am−1 ] ≤M (¾por qué?)
Luego, | amn −am | ≤M | an−a |; así, si ǫ > 0 es dado, es
ogemos N ∈ N tal que
si n ≥ N , enton
es | an− a | < ǫ
M
; de esta manera | amn − am | < M(
ǫ
M
) = ǫ.
Ejemplo 28.
Cal
ulemos los siguientes límites:
a) l´ım
x→4
(4x
3
2 + 5x
5
2 + 6) b) l´ım
x→2
(
1
x
− 1
x2
)
) l´ım
x→−2
2 + 5x
x3 − 4x2 d) l´ımx→3
x3 − 27
x− 3
Solu
ión.
a) l´ım
x→4
(4x
3
2 + 5x
5
2 + 6) = 4 l´ım
x→4
x
3
2 + 5 l´ım
x→4
x
5
2 + 6 = 4( 4 )
3
2
+5( 4 )
5
2 + 6 = 198
b) l´ım
x→2
(
1
x
− 1
x2
)
=
1
2
− 1
4
=
1
4
) l´ım
x→−2
2 + 5x
x3 − 4x2 =
l´ım
x→−2
2 + 5 l´ım
x→−2
x
l´ım
x→−2
x3 − 4 l´ım
x→−2
x2
=
2 + 5(−2 )
−8− 4( 4 ) =
1
3
d)
l´ım
x→3
x3 − 27
x− 3 = l´ımx→3
(x− 3 )(x2 + 3x+ 9 )
x− 3 = l´ımx→3 x
2 + 3x+ 9 = 27 N
Otro de los teoremas fundamentales en 
uanto a la evalua
ión de límites, es el
siguiente, del 
ual ya tendríamos su versión en términos de su
esiones:
Teorema 12. (Teorema del sándwi
h)
Sean f(·), g(·), h(·) fun
iones tales que f(x ) ≤ g(x ) ≤ h(x ) para todo x
en un intervalo alrededor de x = a, ex
epto posiblemente en x = a. Si
l´ım
x→a f(x ) = l´ımx→ah(x ) = L
enton
es
l´ım
x→a g(x ) = L
32 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
Demostra
ión.
Sea { an } una su
esión que tiende a a, 
on an en un intervalo alrededor de
a, pero an 6= a para todo n su�
ientemente grande. Enton
es
l´ım
n→∞ f( an ) = l´ımn→∞h( an ) = L
Ahora: 
omo f( an ) ≤ g( an ) ≤ h( an ) para todo n, su�
ientemente grande,
enton
es, por el teorema del sándwi
h para su
esiones (ejer
i
io 2, Ejer
i
ios
2), l´ım
n→∞ g( an ) = L; es de
ir,
l´ım
x→a g(x ) = L �
Ejemplo 29.
Cal
ulemos los siguientes límites:
a) l´ım
x→0
x sen
1
x
b) l´ım
x→0+
√
x sen
1
x
Solu
ión.
a) Como −|x | ≤ x sen 1
x
≤ |x | para todo x ∈ R, y
l´ım
x→0
|x | = 0 = l´ımx→0
−|x |, enton
es, por el teorema del sándwi
h, se tiene
que l´ım
x→0
x sen
1
x
= 0 (�gura 16).
b) Como −√x ≤ √x sen 1
x
≤ √x para todo x > 0, y
l´ım
x→0+
√
x = 0 = l´ım
x→0+
−√x, enton
es el teorema del sándwi
h impli
a
que l´ım
x→0+
√
x sen
1
x
= 0 (�gura 17).
Figura 16
x
y
f(x) = x sen
1
x
y = x
y = −x
Le
ión 1: El método de límites 33
Figura 17
x
y
f(x) =
√
x sen
1
x
y =
√
x
y = −√x
El siguiente teorema es, de he
ho, la de�ni
ión 
lási
a de límite de una fun
ión
real, dada por Weierstrass en 1861. Sin embargo, dados nuestros desarrollos en
teoría de su
esiones de números reales, es ahora una 
onse
uen
ia de estos.
Teorema 13. (De�ni
ión ǫ , δ de límite (Weierstrass (1861)))
l´ım
x→a f(x ) = L
si, y sólo si, dado un número ǫ > 0 (
ualquiera), existe un δ > 0 (dependiente
de ǫ) tal que
| f(x )− L | < ǫ siempre que 0 < |x− a | < δ
f( x )
aa− δ a+ δ
L
L− ǫ
L+ ǫ
x
y
Figura 18
Demostra
ión.
a) (Demostra
ión de �=⇒�) Supongamos en primer lugar que l´ım
x→a f(x ) =
L; es de
ir, que para 
ualquier su
esión {an} en el dominio de f(·) tal
que, l´ım
n→∞an = a, an 6= a, se 
umple que l´ımn→∞ f( an ) = L. Si existiese
34 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
ǫ > 0 tal que para todo δ > 0 se 
umpliera que | f(xδ )− L | ≥ ǫ para
algún xδ, donde 0 < |xδ − a | < δ, enton
es, en parti
ular, para todo
n ∈ N se 
umpliría que | f(xn )− L | ≥ ǫ, para algún xn, donde 0 <
|xn − a | < 1n . Pero si |xn − a | < 1n para todo n, enton
es l´ımn→∞xn = a
y, por hipótesis, se tendría que l´ım
n→∞ f(xn ) = L, lo que es absurdo ya
que | f(xn )− L | ≥ ǫ. Así que debe o
urrir que, para todo ǫ > 0, existe
δ > 0 tal que | f(x )− L | < ǫ, para todo x donde 0 < |x− a | < δ.
b) (Demostra
ión de �⇐=�) Supongamos ahora que para todo ǫ > 0 existe
δ > 0 tal que para todo x, 0 < |x − a | < δ impli
a | f(x) − L | < ǫ.
Debemos probar que para toda su
esión {an} ⊂ Df 
on an 6= a para
todo n, si l´ım
n→∞ an = a, enton
es l´ımn→∞ f(an) = L. Sea pues {an} ⊂ Df
on an 6= a y l´ım
n→∞an = a, y sea además ǫ > 0. Por hipótesis, existe
δ > 0 tal que para todo x,
0 < |x− a | < δ impli
a | f(x)− L | < ǫ (1)
Como l´ım
n→∞an = a, para el δ > 0 en
ontrado, existe N ∈ N tal que
n ≥ N impli
a | an − a | < δ (además 0 < | an − a | < δ pues an 6= a
para todo n). Y enton
es, por (1), se 
umple que | f( an ) − L | < ǫ.
Así que para todo ǫ > 0 hemos hallado N ∈ N tal que n ≥ N impli
a
| f( an ) − L | < ǫ, lo que signi�
a que l´ım
n→∞ f( an ) = L, que era lo que
queríamos probar. �
Ejemplo 30.
Mostremos, a manera de ilustra
ión sobre 
ómo opera la de�ni
ión ǫ, δ de
límite, que l´ım
x→1
(2x+ 3) = 5 (�gura 19).
Figura 19
x
y
1
5
f( x ) = 2x+ 3b
Solu
ión.
Queremos mostrar que dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que | ( 2x + 3 ) − 5 | < ǫ
siempre que 0 < |x − 1 | < δ. Observemos que | ( 2x + 3 ) − 5 | < ǫ si, y sólo
Le
ión 1: El método de límites 35
si, | 2x− 2 | < ǫ ; y esto, si, y sólo si, |x− 1 | < ǫ2 . Por tanto, podemos tomar
δ = ǫ2 , y 
on éste 
umplimos la 
ondi
ión de la de�ni
ión ǫ, δ del teorema 13.
Este resultado se ilustra numéri
amente en las siguientes tablas:
x 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999
f(x) = 2x+ 3 4.8 4.98 4.998 4.9998 4.99998
x 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001
f(x) = 2x+ 3 5.2 5.02 5.002 5.0002 5.00002
Ejemplo 31. (Método grá�
o)
Mostremos, utilizando la de�ni
ión ǫ, δ, que l´ım
x→4
√
x = 2 (�gura 20a).
Figura 20a
x
y
4
2
f(x) =
√
x
b
Solu
ión.
Queremos mostrar que dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que |√x− 2 | < ǫ siempre
que 0 < |x− 4 | < δ. Observemos, primero, que
|√x− 2 | < ǫ si, y solo si 2− ǫ < √x < 2 + ǫ
a) Consideremos ini
ialmente el 
aso 0 < ǫ < 2. De a
uerdo 
on la �gura
20b), si tomamos el intervalo (2− ǫ, 2 + ǫ), y bus
amos sus preimágenes,
en
ontramos que apare
e un intervalo alrededor de 4 de la forma ((2 −
ǫ)2, (2 + ǫ)2). Si es
ribimos 4 − δ1 = (2 − ǫ)2 y 4 + δ2 = (2 + ǫ)2, vemos
que δ1 = 4ǫ− ǫ2 y δ2 = 4ǫ+ ǫ2. Claramente, δ1 < δ2 y enton
es podemos
onstruir un intervalo simétri
o alrededor de 4 si es
ogemos δ ≡ δ1 =
4ǫ − ǫ2. Así, si x ∈ (4 − δ, 4 + δ), enton
es |√x − 2| < ǫ, y habríamos
probado la hipótesis para el 
aso en que 0 < ǫ < 2.
36 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
Figura 20b: Método grá�
o de 
al
ular el δ, dado el ǫ.
x
y
4
2
(2 + ǫ)2
2 + ǫ
2− ǫ
(2− ǫ)2
> > >
∨
∨
∨
>
∨
b
b) Ahora: Si ǫ ≥ 2, enton
es para 0 < ǫ′ < 2 tomamos δ = 4ǫ′ − ǫ′2 > 0.
Por tanto, por lo expuesto en a),
0 < |x− 4 | < δ impli
a |√x− 2 | < ǫ′
y así, |√x − 2 | < ǫ, pues ǫ′ < ǫ. Luego dado ǫ > 0 
ualquiera, existe
δ > 0 tal que
0 < |x− 4 | < δ impli
a |√x− 2 | < ǫ
lo que signi�
a que
l´ım
x→4
√
x = 2.
Este resultado se ilustra numéri
amente en las siguientes tablas:
x 3.9 3.99 3.999 3.9999
f(x) =
√
x 1.974841 1.997498 1.999749 1.999975
x 4.2 4.1 4.01 4.001
f(x) =
√
x 2.049390 2.024845 2.002498 2.000249
Ejer
i
ios 3
1) a) Utilizando la de�ni
ión ǫ, δ de límite, demuestre, utilizando, si lo
onsidera útil, el método grá�
o ilustrado en el ejemplo 31, que
l´ım
x→ax
2 = a2.
b) Pruebe inmediatamente, utilizando a), que l´ım
x→a(9x
2− 1) = 9a2 − 1.
) Dado ǫ = 0.01, determine un δ > 0 tal que si 0 < |x − 1 | < δ,
enton
es | ( 9x2 − 1 )− 8 | < ǫ.
Le
ión 1: El método de límites 37
2) Demuestre que si l´ım
x→a f(x ) = b, enton
es l´ımx→a | f(x ) | = | b |. [Indi
a
ión:
Re
uerde que
∣∣ |x | − | y | ∣∣ ≤ |x − y | para todo x, y ∈ R℄. Ilustre este
resultado 
on algún ejemplo.
3) [El 
on
epto de límite respeta el orden de los números℄ Pruebe que si
f(x) ≤ g(x) para x en un intervalo alrededor de 
ierto número a, y los
límites l´ım
x→a f(x), l´ımx→a g(x) existen, enton
es l´ımx→a f(x) ≤ l´ımx→a g(x).
4) En los siguientes ejer
i
ios 
al
ule (o 
ompruebe) el límite y, 
uando
sea apli
able, señale los teoremas de límites utilizados. [Indi
a
ión: En
algunos de estos ejer
i
ios, una fa
toriza
ión o ra
ionaliza
ión ade
uada
a
lara el 
ál
ulo del límite. Este tipo de ejemplos bus
a, bási
amente,
resaltar que para el 
ál
ulo de un límite, no es importante 
ono
er el
valor de la fun
ión en el punto a, sino sólo en sus ve
indades. En 
asos
omo estos se ha
e muy 
onveniente 
ono
er las reglas bási
as del álgebra
ordinaria (volumen 0: Fundamentos, le
ión 2)℄.
a) l´ım
x→2
x2 − 4√
x−√2 = 8
√
2 b) l´ım
x→0
√
x+ 2−√2
x
) l´ım
x→2
3
√
x− 3√2
x− 2 = 3
3
√
4 d) l´ım
x→−1
2x2 − x− 3
x3 + 2x2 + 6x+ 5
e) l´ım
y→x
xn − yn
x− y = nx
n−1
f) l´ım
x→y
xn − yn
x− y
g) l´ım
x→3
x2 − 7x+ 12
x− 3 = −1 h) l´ımx→1
x
|x | = 1
i) l´ım
x→−1
x
|x | = −1 j) l´ımx→0
x
|x |
* 5) Utilizando la de�ni
ión de límite mediante su
esiones, demuestre que
l´ım
x→0
sen(1/x) no existe. [Indi
a
ión: Ini
ialmente, asuma que 
onverge
a un punto a 
on 0 ≤ a < 1 y 
onstruya la su
esión an = 2/(π(1 +
4n)) para n ∈ N; luego 
on
luya que an → 0 pero que siempre se tiene
que sen(1/an) = 1, y esto es una 
ontradi
ión. Estudie luego el 
aso
a = 1 ¾Por qué no debería 
onsiderar otros 
asos?℄. ¾Podría dibujar esta
fun
ión? Re
urra al 
omputador para obtener una grá�
a de la fun
ión,
si lo 
onsidera ne
esario.
4. Tres 
lases espe
iales de límites
El 
on
epto de límite, en sí mismo, exige mu
ho sobre el 
omportamiento de
una fun
ión. Por eso, en o
asiones es 
onveniente tener otros 
on
eptos 
er
anos
38 Matemáti
as bási
as para e
onomistas 2: Cál
ulo
al de límite que nos permitan avanzar en el análisis 
on menos requerimientos,