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PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
1)1) Con los datos de la figura P6-1 calcule el desnivel entre los Con los datos de la figura P6-1 calcule el desnivel entre los puntos A y B y la puntos A y B y la cota delcota del
punto B.punto B.
SOLUCION:SOLUCION:
 ΔΔABAB = DH * cotg = DH * cotg фф + hi - lm + hi - lm
ΔΔABAB = Di * sen = Di * sen фф * cotg * cotg фф + hi + hi – – lm lm
ΔΔABAB = Di * cos = Di * cos фф +hi +hi – – lm lm
ΔΔABAB = = 154,32 * cos (85˚32ˈ) + 1,60 –154,32 * cos (85˚32ˈ) + 1,60 – 2,543 2,543
ΔΔABAB = 11,075 m = 11,075 m
 ΔΔABAB = Q = Q BB - Q  - Q AA
Q Q BB = = ΔΔABAB + Q + Q AA
Q Q BB = 11,075 + 1035,243 = 11,075 + 1035,243
Q Q BB = 1046,318 m = 1046,318 m
DH = Di * senDH = Di * sen фф ΔΔABAB = DH * cotg = DH * cotg фф + hi - lm + hi - lm ΔΔABAB = Q = Q BB - Q  - Q AA
2) En el proceso de nivelación de los vértices de una triangulación se requiere calcular el
desnivel entre dos puntos separados una distancia de 1230,436 m, por lo que se hace
necesario calcular el error por curvatura y refracción (eCr).
Con los datos de la figura P6-2 calcule la cota del punto B libre del eCr.
DATOS: SOLUCION:
 D= 1230,436 m
 ф = 98˚ 32ˈ12ˈˈ
 K =0,16
 Ls = 4,0 m
 hi =1,57
 Ecr =? y Q B =?
Ecr =


Ecr = (1- 0,16)(1230,436)
2
2 ()
Ecr = 0,0998 m
- ΔAB = DH * cotg ф + hi – lm
ΔAB = (1230,436)*cotg (98˚ 32ˈ12ˈˈ) + 1,57 – 4,0
ΔAB = - 187,12 m
- ΔAB = Q B - Q A
Q B = ΔAB + Q A
Q B= -187,12 + 1254,326
Q B= 1067,206 m
- Lectura verdadera = 1067,206 – 0,0998 = 1067,1062 m
Ecr =


ΔAB = DH * cotg ф + hi - lm
ΔAB = Q B - Q A
3) Calcule el desnivel y la distancia entre los puntos A y B mostrados en la figura P6-3.
SOLUCION:
- lb = lbΔ + lbi
2
lb = 5 + 0
2
lb = 2,5
- ΔAB =hi – lb
ΔAB = 1,52 – 2,5
ΔAB = - 0,98
- ΔAB = D *tanα + hi – lm
D = ΔAB – hi + lm
tanα
D = -0,98 – 1,52 + 5
tan (38˚20ˈ)
D = 3,16 m
Nivelación geométrica simple desde
el extremo: ΔAB =hi - lb
lb = lbΔ + lbi
2
ΔAB = D *tanα + hi – lm
4) Los datos de la tabla anexa corresponden a una nivelación por taquimetría realizada con
un teodolito que mide ángulos cenitales. Si la cota del punto de estación es 1570,431 y la
altura del instrumento es 1,545, calcule las cotas de los puntos visados.
Est. PV ˂H ˂V LS Lm Li  Obs
A
h=1,545
Q =1570,431
1 87˚06ˈ 1,565 0,523
2 91˚02ˈ 2,496 1,875
3 95˚16ˈ 3,256 2,431
4 79˚21ˈ 2,341 1,582
B 86˚45ˈ 2,676 1,876
B
h=1,600
A 93˚15ˈ 1,243 0,443
5 91˚42ˈ 1,635 1,000
6 82˚16ˈ 2,042 1,000
7 89˚54ˈ 3,581 2,000
SOLUCION:
1. ΔA1 = KHcosϕsenϕ + Hi – lm
ΔA1 =100*(1,565 – 0,523)*cos87˚6ˈ*sen87˚6ˈ + 1,545 – 1,044 = 5,77
2. ΔA2 = KHcosϕsenϕ + Hi – lm
ΔA2 =100*(2,496 – 1,875)*cos91˚02’*sen91˚02’ + 1,545 – 2,186 = -1,76
3. ΔA3 = KHcosϕsenϕ + Hi – lm
ΔA3 =100*(3,256 – 2,431)*cos95˚16’*sen95˚16’ + 1,545 – 2,844 = -8,84
4. ΔA4 = KHcosϕsenϕ + Hi – lm
ΔA4 = 100*(2,341 – 1,582)*cos79˚21’*sen79˚21’ + 1,545 – 1,962 = 13,37
B. ΔAB = KHcosϕsenϕ + Hi – lm
ΔAB = 100*(2,676 – 1,876)*cos86˚45’*sen86˚45’ + 1,545 – 2,276 = 3,797
A. ΔBA = KHcosϕsenϕ + Hi – lm
ΔBA =100*(1,243 – 0,443)*cos93˚15’*sen93˚15’ + 1,6 – 0,843 = -3,77
lm=
 

ΔAB =KHcosϕsenϕ + hi – lm
-K= 100
-H=ls – li
-hi = 1,545
-lm= hilo medio
5. ΔB5 = KHcosϕsenϕ + Hi – lm
ΔB5 =100*(1,635 – 1)*cos91˚42’*sen91˚42’ + 1,6 – 1,318 = -1,6
6. ΔB6 = KHcosϕsenϕ + Hi – lm
ΔB6 =100*(2,042 – 1)*cos82˚16’*sen82˚16’ + 1,6 – 1,521 = 13,97
7. ΔB7 = KHcosϕsenϕ + Hi – lm
ΔB7 =100*(3,581 – 2)*cos89˚54’*sen89˚54’ + 1,6 – 2,791 = -0,92
PV lm Δ  COTA
1 1.044 5.77 1576.201
2 2.186 -1.76 1568.671
3 2.844 -8.84 1561.591
4 1.962 13.37 1583.801
B 2.276 3.797 1574.228
A 0.843 -3.77 1566.661
5 1.318 -1.6 1568.831
6 1.521 13.97 1589.401
7 2.791 -0.92 1569.511
5) Demuestre analíticamente que bajo las condiciones impuestas en la figura inferior, el
desnivel entre A y B no queda afectado por el error de inclinación del eje de colimación.
Suponga:
a) Una inclinación (+) del eje de colimación.
b) Las lecturas desde E1 y E2 fueron tomadas con el mismo instrumento.
c) Las distancias E1-A y E2-B son iguales.
SOLUCION:
I. Lm =Lb
ΔE1A = LA
ΔE1A = Hi – (la – e1)
II. ΔE2B = hi – lb
ΔE2B = hi – (lb – e1)
Dtanα +`Hi – lb = Hi – lb
Dtanα = 0
Tanα = 0
Arctg 0 = α
α = 0
III. ΔAB = hi – (lA-e1) = Hi – (lb-e1)
ΔAB = la – e1 = lb – e1
ΔAB = lb = la
 Luego es horizontal y con medidas a una misma distancia de cada punto el error por
colimación se elimina.
6) Calcule los desniveles parciales y las cotas compensadas de la nivelación de la figura P6-
6.
EST P.V. L(+) L(-) ΔP COTA
E1 BM-1
1
2.851
2.164 0.747
175.321
176.068
E2 1
2
0.852
1.573 -0.721
176.068
175.347
E3 2
3
1.943
1.073 0.87
175,347
176,217
E4 3
BM-2
2.124
1.270 0.854
176.217
177.071
7) Calcule el error de cierre y las cotas compensadas de la nivelación de la tabla anexa.
Utilice los métodos de compensación estudiados.
Est. PV Dist. P. Dist. Ac. LAT LINT LAD Horiz Cotas
E1
BM-1 0.00 2.851 175,321
2 20.00 2.435
3 40.00 2.104
E2
3 0.852
4 40.00 1.053
5 65.00 1.425
6 55.00 1.573
E3
6 1.943
7 80.00 1.510
8 80.00 1.073
E4
8 2.124
9 60.00 1.872
10 60.00 1.541
BM-2 80.00 1.270 177,079
SOLUCION:
 Compensación proporcional a la distancia nivelada:
 


     
 


     



     
 


     
 ERROR DE CIERRE = 177.071-177.079 = -0.008m = -8mm
 TOLERANCIA=15√  = ± 11,42mm
 Error de cierre ˂Tolerancia
Est. PV Dist.
P.
Dist.
Ac.
LAT LINT LAD Horiz Cotas
Calculadas
Comp Cotas
compensadas
E1 BM-1
2
3
20.00
40.00
0.00
20.00
60.00
2.851
2.435
2.104
178.172 175.321
175.737
176.068
---
---
0.0008
175.321
175.737
176.069
E2 3
4
5
6
40.00
65.00
55.00
100.00
165.00
220.00
0.852
1.053
1.425
1.573
176.92 176.068
175.867
175.495
175.347
0.0008
0.0008
0.0008
0.003
176.069
175.868
175.496
175.350
E3 6
7
8
80.00
80.00
300.00
380.00
1.943
1.510
1.073
177.29 175.347
175.780
176.217
0.003
0.003
0.00524
175.350
175.783
176.222
E4 8
9
10
BM-2
60.00
60.00
80.00
440.00
500.00
580.00
2.124
1.872
1.541
1.270
178.341 176.217
176.469
176.800
177.071
0.00524
0.00524
0.00524
0.008
176.222
176.474
176.805
177.079
∑=580 ∑=7.77 ∑=6.02 177,079
1,75 -0.008
8) En la nivelación de un perfil que pasa por debajo de una estructura existente, se localizo
un punto de referencia en el borde inferior de una viga, tal y como se muestra en la
figura P6-8. Calcule las cotas de los puntos 1, 2, 3.
SOLUCION:
 COTA CONOCIDA=254,328
254,328 – 3,875 (Vista atrás desde E2) = 250,453(Vista Adelante desde E1)
 Puesto que la mira apoyada en la cota conocida está en posición invertida
254,328 – 3,250 = 251,078
 Luego calculamos las cotas que nos piden:
LB - ΔAB = La (l1,l2,l3)
1 250.453 – (Vista atrás=2.461) = 247.492
2 254.328 - (Vista atrás=3.250) = 251.078 - 2.137 = 251.078
3 251.078+ (Vista atrás=3.185) = 252.126 - 2.763 = 249.363
Q A = ΔAB + Q B