Ejercicios-Anillos1

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0.1 Ejercicios y Tarea 1 de Algebra I.
Ejercicio 0.1. Sea ϕ : A→ B un homomorfismo de anillos.
1. Muestre que Im(ϕ), la imagen de ϕ, es un subanillo de B.
2. Sea I C A un ideal de A. Muestre que si ϕ es sobreyectiva entonces ϕ(I) es un ideal
de B.
3. Muestre que si J es un ideal (resp. un subanillo) de B, entonces ϕ−1(J) es ideal (resp.
subanillo) de A.
Ejercicio 0.2. Sea M2(R) el anillo de matrices 2 x 2 con entradas en R. Muestre que el
subconjunto de matrices de la forma (
a 0
b 0
)
,
con a y b en R, es un ideal izquierdo pero no un ideal derecho de M2(R).
Ejercicio 0.3. Muestre que todo anillo contiene un ideal bilatero maximal.
Ejercicio 0.4 (Cuaterniones de Hamilton). Sea H el conjunto de matrices con coeficientes
complejos de la forma (
a+ bi c+ di
−c+ di a− bi
)
.
Verifique que H con suma por coordenadas y producto matricial es un anillo de división.
Ejercicio 0.5. Muestre que Mn(F ), el anillo de matrices n×n con coeficientes en un cuerpo
F , no contiene ideales bilateros no triviales. Vea además que este anillo no es un anillo de
división.
Ejercicio 0.6. Muestre que R[Z] es isomorfo a R[x, x−1], el conjunto de polinomios en las
variables x y x−1 (y además x · x−1 = 1).
Ejercicio 0.7. Muestre que todo ideal en Z es un ideal principal. Ademas muestre que
(a) ⊆ (b) si y solo si a divide a b.
Ejercicio 0.8. Sea X un conjunto cualquiera y F(X,R) el anillo de todas las funciones de
X a R equipado con suma y producto coordenada a coordenada. Vimos que F(X,R) es un
anillo. Sea Y ⊆ X.
1. Demuestre que IY = {f ∈ F(X,R) | f(x) = 0 ∀x ∈ Y } es un ideal de F(X;R).
2. Demuetre que si Y es un singleton, digamos Y = {x0}, entonces IY es un ideal maximal
de F(X,R).
3. Muestre que si Y es un singleton, entonces F(X,R)/IY es isomorfo como anillo a R.
Ejercicio 0.9. En este ejercicio vamos a mostrar que si k un cuerpo y H ≤ k∗ un subgrupo
finito del grupo multiplicativo de k, entonces H es ćıclico. Para ello
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1. Dado G un grupo finito, defina Exp(G) como el menor entero j tal que gj = 1 (clara-
mente Exp(G) ≤ |G|). Muestre que si G es un p-grupo Abeliano (i.e. |G| = pα),
entonces existe g ∈ G tal que ord(g) = Exp(G). (Ayuda, considere los homomorfismos
g 7→ gn.)
2. Muestre que si G es un grupo finito, entonces Exp(G) es igual al mı́nimo común
múltiplo de los ord(g) con g ∈ G.
3. Muestre mas generalmente que si G es un grupo Abeliano finito, entonces existe g ∈ G
tal que ord(g) = Exp(G). (Ayuda, use Sylow).
4. Use el hecho que p(x) = xExp(H) − 1 es un polinomio que se anula en todo H para
mostrar que H es ćıclico. (Ayuda, use que h ∈ H es raiz de p(x) si y solo si (x − h)
divide a p(x).)
0.2 Ejercicios y tareas Anillos 2
Si A es un anillo y a ∈ A, denotamos por (a) el ideal (izquierdo) generado por a.
1. (Enteros Gaussianos) Sea Z[i] = {a+ bi | a, b ∈ Z}.
(a) Son infinitos los primos en Z[i]? Argumente su respuesta.
(b) Encuentre un MCD entre 3 + 4i y 3− 3i.
(c) Muestre que Z[i]/(2 + 3i) es un cuerpo finito pero que Z[i]/(5) no es un cuerpo.
2. Dado un dominio de integridad A, introducimos la relación de equivalencia en X =
A× A \ {0} dada por (a, b) ∼ (c, d)⇔ ad = cb. En X/ ∼ definimos las operaciones.
(a, b) + (c, d) = (ad+ cb, bd)
(a, b)(c, d) = (ac, bd).
Muestre que X/ ∼ con estas operaciones es un cuerpo. (Este es el cuerpo de fracciones
de A y lo denotamos por Frac(A).) Además muestr
(a) La aplicación a 7→ (a, 1) induce un homomorfismo inyectivo de A en Frac(A).
(b) Si k es un cuerpo que contiene a (una copia isomorfa de) A, entonces k también
contiene a (una copia isomorfa de) Frac(A).
3. Sea d ∈ Z un entero que no es un cuadrado. Muestre que Z[
√
d], el subanillo de
C generado por Z y
√
d, coincide con {a + b
√
d | a, b ∈ Z}. Además, muestre que
Frac(Z[
√
d]) es isomorfo a {a+ b
√
d | a, b ∈ Q}.
4. Muestre que en un DFU existen los MCD y MCM.
5. Suponga que A es un dominio de ideales principales, y sean a, b ∈ A. Muestre que
d = MCD(a, b) si y solo si (d) = (a) + (b). Muestre que d = MCM(a, b) si y solo si
(d) = (a) ∩ (b).
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6. Sea w ∈ C tal que w3 = 1 y w 6= 1. Muestre que Z[w], el anillo generado por Z y
w en C, coincide con {a + bw | a, b ∈ Z}. Además, muestre que Z[w] es un dominio
Eculideano (Ayuda: muestre que la norma compleja es una valuación Euclideana).
7. Muestre que C[x, y], los polinomios complejos en 2 variables x e y, no son un dominio
de ideales principales.
8. Sea A un dominio Eculideano con valuación ν : A \ {0} → N. Muestre que A∗, los
elementos invertibles de A, son los elementos que realizan el mı́nimo de ν.
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