ECONOMETRIA FINAL

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Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Econometría
Clase 1
Pérez Rojo, Flavio
14 Marzo, 2020
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Contents
1 Introducción
2 Fundamentos Estadísticos
3 Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
4 Propiedades de MCO y violación de supuestos
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Tipos de datos
Se reconocen tres tipos:
Corte transversal. Observación de muchos individuos o
entidades en un momento del tiempo.
Series de tiempo. Observación de un individuo o entidad a
lo largo del tiempo.
Panel. Observación de muchos individuos o entidades a lo
largo del tiempo.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Tipos de relaciones
Pueden darse dos tipos
Determinística. El azar no está involucrado en el desarrollo
de los estados. Un modelo determinístico producirá siempre la
misma salida a partir del mismo estado inicial.
Estadística/empírica.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Elementos básicos
Una variable aleatoria (v .a.) es aquella que toma un valor
númerico que será determinado por un experimento y cuya
naturaleza es incierta. La v .a. se presenta con una letra
mayúscula y la realización de la v .a. se presenta con una letra
minúscula.
Una función de distribución de probabilidad (f .d .p.)
asigna probabilidades a las realizaciones de la v .a.
Una función de masa de probabilidad es la distribución de
probabilidad para v .a. discretas. Existe una probabilidad para
un valor espéci�co, o un conjunto de valores.
Una función de densidad de probabilidad es la distribución
de probabilidad para v .a. continuas. Existe una probabilidad
para un rango de valores.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Elementos básicos
Una función de distribución conjunta especi�ca la
probabilidad conjunta de observar realizaciones de dos o más
variables aleatorias: fX ,Y (X = x ,Y = y)
Una función de distribución condicional especi�ca la
probabilidad de observar una variable dado que otra se ha
realizado: fY (Y jX = x)
Una función de distribución marginal especi�ca la
probabilidad de observar una v .a : fX (X )
La relación entre estas distribuciones es
fY (Y jX = x) =
fX ,Y (X = x ,Y = y)
fX (X jY = y)
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Medidas de tendencia central
Indican hacia que valor tienden con más frecuencia las
realizaciones de una v .a. en múltiples experimentos
La media equivale al promedio ponderado por las
probabilidades de todos los posibles valores de una v .a.. Esta
es la medida sugerida para una muestra simétrica.
E (X ) = µ
La moda es el valor que se observa con mayor frecuencia.
Esta es medida más apropiada para variables nominales o
categóricas.
La mediana equivale al valor medio que separa en dos a la
distribución. Esta medida es la más adecuada para
información asimétrica o categórica. Asimismo, se sugiere
emplear esta medida cuando existen outliers.
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Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Medidas de dispersión
Indican como se alejan los datos respecto de la media
La varianza mide la dispersión o distancia de la información
con respecto a la valor esperado de la v .a
Var(X ) = E [(X � µ)2]
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
El rango intercuantil equivale a la distancia entre los
cuantiles 25% y 75% de la muestra.
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Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Medidas de asociación
Indican el grado de asociación entre dos o más v .a.
La covarianza equivale a la asociación entre los desvios de
cada variable respecto de su media. Si las variables no tienen
a coindicir en sus desvíos respecto de la media, la covarianza
será baja
Cov(X ,Y ) = E [X � µX ][Y � µY ]
El coe�ciente de correlación estandariza los desvíos de la
media de las variables aleatorias.
ρX ,Y =
Cov(X ,Y )
σX σY
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Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Supuestos
Sea el siguiente modelo
Y = β1 + β2X1 + ...+ βNXN + e = X β+ e
Los supuestos del MRLC son
Lineal en parámetros
Regresores no estocásticos
Exogeneidad: E (ejX ) = 0
Perturbaciones esféricas:
E (e2t jX ) = σ2, 8t = 1, ...,N (Homocedasticidad)
Cov(ei , ej jX ) = 0, 8i 6= j (No autocorrelación)
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Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Supuestos
Rango completo
Modelo correctamente especi�cado
Forma funcional correcta
No omisión de variables relevantes
No inclusión de variables irrelevantes
Normalidad en las perturbaciones:
ejX � N(0, σ2)
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Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios
Considerando el modelo bivariado Y = β1 + β2X + e, los
estimadores obtenidos por MCO son
bβ1 = Y � bβ2X , bβ2 = ∑(Xt�X )(Yt�Y )∑(Xt�X )2
Con valor esperado y varianza
E (bβ1) = β1, Var(bβ1) = σ2 ∑Xt 2n∑(Xt�X )2
E (bβ2) = β2, Var(bβ2) = σ2n∑(Xt�X )2
Y con el estimador de la varianza s2 = ∑be2t /(N � 2)
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios
Considerando el modelo multivariado Y = βX + e, los
estimadores obtenidos por MCO son
bβ = (X 0X )�1X 0Y
Con valor esperado y varianza
E (bβ) = β, Var(bβ) = σ2(X 0X )�1
Y con el estimador de la varianza s2 = be0be/(N �K )
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Descomposición de suma de cuadrados (K=2)
La suma al cuadrado total es SST = ∑(Yt � Y )
La suma al cuadrado explicada es SSE = bβ22 ∑(Xt � X )
La suma al cuadrado residual es SSR = ∑be2t
El ajuste del modelo es
R2 =
SSE
SST
= 1� SSR
SST
El ajuste del modelo penalizando regresores es
R
2
= 1� SSR/(T �K )
SST/(T � 1) = 1� (1� R
2)
T � 1
T �K
Si hay intercepto entonces: R2 = ρ2X ,Y
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Introducción
Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Propiedades
El teorema de Gauss-Markov sostiene que los estimadores de
MCO tienen la menor varianza dentro de la clase de los
estimadores lineales e insesgados. Por ello se dice que el estimador
MCO es el mejor estimador linealmente insesgado: MELI
La consistencia de los estimadores se da cuando a medida que
aumenta la muestra el estimador tiende al parámetro que pretende
estimar
P lim[bβ] = β, P lim[s2] = σ2
La normalidad asintótica de los estimadores sostiene que cuando
la muestra tienda a valores muy grandes el los estimadores de
MCO presentan una distribución normal.
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Fundamentos Estadísticos
Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC)
Propiedades de MCO y violación de supuestos
Violación de supuestos
Problemas MCOSesgado Ine�ciente Inconsistente
1. Modelo Incorrectamente especi�cado
1.1. Omisión de variable relevante x x
1.2. Inclusión de variable irrelevante x
2. Multicolinealidad (imperfecta) x
3. Residuos no esféricos
3.1. Heterocedasticidad x
3.2. Autocorrelación x
4. Endogeneidad x x
5. Regresores no estocásticos
5.1. X y e dependientes x
5.2. Correlación parcial x
5.3. Correlación contemporánea x x
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Econometría
Clase 2
Pérez Rojo, Flavio
Abril, 2020
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Contents
1 Inferencia y Pruebas de hipótesis
2 Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
3 Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Prueba de hipótesis
Consideremos el siguiente modelo
C = β0 + β1Y
d + e
La teoría keynesiana a�rma que el ingreso disponible afecta
positivamente al consumo. Pero, ¿estadísticamente ese efecto será
grande o pequeño? Para ello hay que realizar preguntas de
inferencia sobre β1.
En especí�co, nos interesa probar la siguiente hipótesis H0 : β1 = 0
El tipo de test será distinto dependiendo de la hipótesis
anternativa (H1). En ese sentido, podemos tener 2 tipos de
hipótesis alternativa
Hipótesis a una cola: H0 : β1 < 0 o H0 : β1 > 0
Hipótesis a dos colas: H0 : β1 6= 0
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Prueba de hipótesis a 1 cola derecha
En este caso tenemos:
H0 : β1 = 0
H1 : β1 > 0
Grá�camente
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Prueba de hipótesis a 1 cola izquierda
En este caso tenemos:
H0 : β1 = 0
H1 : β1 < 0
Grá�camente
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Prueba de hipótesis a 2 colas
En este caso tenemos:
H0 : β1 = 0
H1 : β1 6= 0
Grá�camente
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Normalidad
Asumimos que los errores e tienen una distribución normal
e � N(0, σ2I )
Dado que los estimadores de MCO son combinaciones lineales de
Y , entonces seguirán una distribución normal, de manera que
β1 � N(bβ1, σ2/ ∑(x � x)2)
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Regla de decisión
En el análisis econométrico, los test son, en su mayoría a dos colas.
Esto quiere decir que analizaremos lo siguiente
H0 : β1 = 0
H1 : β1 6= 0
El rechazo o no rechazo de la hipótesis nula dependera de
estadístico y del valor crítico asociado. El estadístico para la
prueba de hipótesis se contruye de la siguiente manera:
tbβ1 = bβ1�β1s .d .(bβ1)
Comparamos este valor contra el valor crítico que es extraído de la
tabla t-student t(1�α/2),donde α es el nivel de signi�cancia y es
�jado por el investigador. Usualmente se ulitiza
α = (10%, 5%, 1%).
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
p-value
Este valor indica el menor nivel de signi�cancia con el cual
podemos rechazar H0
p � value = 2xF
 
�j
bβ1
s.d .(bβ1) j,N �K
!
donde F (.) es la función de distribución acumulada de la t-student
y K es el número de parámetros.
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Error tipo I, error tipo II, tamaño y potencia
Error tipo I: Rechazar la hipótesis nula siendo esta verdadera
Error tipo II: No rechazar la hipótesis nula siendo falsa
H0 es verdadera H0 es falsa
Rechazar H0 Error tipo I(α) Decisión correcta
No rechazar H0 Decisión correcta Error tipo II (β)
La probabilidad de cometer el Error tipo I se denomina nivel de
signi�cancia de un test y está simbolizado por α. Su otro nombre
es �Tamaño�de un test:
α = Pr[Rechazar H0 j H0 es verdadera]
Asimismo, el complemento de la Probabilidad de cometer Error
Tipo II se denonima "Potencia" y está simbolizado por λ
λ = 1-Pr[No rechazar H0 j H0 es falsa]
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
¿Cómo es la regla de decisión?
Si el estadístico es mayor al valor crítico de tabla, entones
rechazamos la nula, si es menor, no rechazamos la nula
jtbβ1 j > t(1�α/2), Rechazamos H0 con α% de signi�cancia
jtbβ1 j < t(1�α/2), No rechazamos H0 con α% de signi�cancia
Si el test fuera a una sola cola, la regla de decisión es similar.
Dependiendo del valor crítico podemos, nuetra conclusión de
rechazar o no rechazas la hipótesis nula puede cambiar
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
El test F
La prueba de hipótesis del test F es tal que
H0 : Rβ� q = 0,
H1 : Rβ� q 6= 0,
donde R es una matriz JxK de valores no estocásticos, β es el
vector de parámetros y q es un vector Jx1 de valores no
estocásticos. Bajo H0, la siguiente expresión sigue una distribución
F de Fisher con J grados de libertad en el numerador y N �K
grados de libertad en el denomimador
F[J ,N�K ] =
(Rβ� q)0[R(s2X 0X )R 0]�1(Rβ� q)
J
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
El test F
La regla para la comprobación de H0 es
F > F1�α(J,N �K ), Rechazamos H0 con α% de signi�cancia
F < F1�α(J,N �K ), No rechazamos H0 con α% de signi�cancia
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
El test F: aplicación 1- prueba de signi�cancia conjunta
La prueba de signi�cancia conjunta es tal que en un modelo
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ...+ βKXK + e
Y la hipótesis nula
H0 : β1 = β2 = ... = βK = 0
En este caso, el test F guarda una relación directa con el R2
F[K�1,N�K ] =
R2/(K � 1)
(1� R2)/(N �K )
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
El test F: aplicación 2 - modelos restricto e irrestricto
Considerar un modelo irrestricto tal que
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3...+ βKXK + e
Ahora considerar un modelo restricto donde β1 = 0 y β2 = 0
(Y = β0 + β3X3...+ βKXK + ε), se puede construír el test F de
forma tal que
F[K�1,N�K ] =
(R 2�R 2� )/J
(1�R 2)/(N�K ) ,
Donde R2 es obtenido de la regresión irrestricta, R2� es obtenido
del modelo restricto, y J es el número de coe�cientes restringidos.
También puede obtenerse el test F de la siguiente manera
F[K�1,N�K ] =
(bε0bε�be0be)/(K�1)be0be/(N�K ) ,
donde bε0bε es la SCR del modelo restricto mientras que be0be es la
SCR del modelo irrestricto.
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Perturbaciones no esféricas y MCG
En el modeloasumiremos que Var(e) = V 6= σ2I
Los estimadores siguen siendo insesgados pero con una nueva
varianza Var(bβ) = (X 0X )�1XVX (X 0X )�1
Replantearemos al modelo premultiplicandolo por una matriz P
que cumple P 0P = σ2V�1 y obtenemos
bβMCG = (X 0V�1X )�1X 0V�1Y
Var(bβMCG ) = (X 0V�1X )�1
Teorema de Aitken: para el modelo de perturbaciones no esféricas,
el estimador MCG es el de menor varianza dentro de la clase de
estimadores lineales e insesgados.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Heterocedasticidad
Se presenta cuando la varianza de los términos de
perturbación no es la misma para cada individuo o unidad de
análisis.
Es frecuente pensar que la varianza de los errores está
relacionada con una o más de las variables exógenas.
Por el lado de corte transversal, podría pensarse que el
consumo es más variable para las personas de ingresos altos
debido a sus mejores capacidades de ahorro, mientras que
para los individuos de ingresos bajos, la variación es pequeña.
Por el lado de series de tiempo, la variabilidad de los errores
puede ser mayor en periodos de mayor inestabilidad
económica.
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Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Tests de Heterocedasticidad
El test de White
Considerar una regresión de la forma
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + e
White Propone una regresión auxiliar tal que
be2 = α0 + α1X1 + α2X2 + α3X1X2 + α4X 21 + α5X 22 + u
H0: Homocedasticidad
H1: Heterocedasticidad
El estadístico de White es
W = N � R2aux
Y se compara contra valores críticos de una {2.
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Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Tests de Heterocedasticidad
El test de Breusch-Pagan-Godfrey
Considerar una regresión de la forma
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + e
White Propone una regresión auxiliar tal que
be2bσ2 = α0 + α1X1 + α2X2 + α3Z1 + α4Z2 + � � �+ u
H0: Homocedasticidad
H1: Heterocedasticidad
El estadístico de White es
BPG = SCE/2
Y se compara contra valores críticos de una {2.
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Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Tests de Heterocedasticidad
Otros tests
Test de Goldfeld-Quandt: Divide la muestra en dos secciones,
una de baja varianza y una de alta varianza. Si existe diferencia
signi�cativa en la SCR de la estimación de cada submuestra, existe
evidencia de heterocedasticidad
Test de Harvey: Similar al test de BPG. No obstante, varia la
forma funcionalde la regresión auxiliar
Test de Glejser: Similar al test de BPG. No obstante, varia la
forma funcionalde la regresión auxiliar
Test de efectos ARCH: Son test LM que identi�can si la varianza
no es constante. Si se rechaza la hipótesis nula de ausencia de
efectos ARCH, puede argumentarse que hay heterocedasticidad.
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Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Correción de Heterocedasticidad
Mínimos cuadrados generalizados factibles. Debemos realizar
una conjetura de la forma de la heterocedasticidad.
Varianzas corregidas de White: Considerando
Var(bβ) = T�1(T�1X 0X )�1Q�(T�1X 0X )�1 con
Q� = T�1XVX y utilizamos S0 = T�1 ∑be2xtx 0t de tal forma
que plim(S0)=plim(Q�)
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Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Autocorrelación
Esto ocurre cuando la covarianza entre los términos de
perturbación no es cero.
Es más común en series de tiempo debido a la alta
persistencia de las series macroeconómicas
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Tests de Autocorrelación
El test de Durbin-Watson
Considerar una regresión de la forma
Y = β0 + β1X1 + e
El estadístico de DW es
DW = ∑(bet�bet�1)2
∑be2t = 2(1� bφ)
donde bφ es el parámetro de una regresión sin intercepto entre bet ybet�1.La regla de decisión del test de DW es
DW �! 0 Hay autocorrelación positiva
DW �! 4 Hay autocorrelación negativa
DW �! 2 No hay autocorrelación negativa
Este test solo detecta aucotorrelación de orden 1
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Tests de Autocorrelación
El test de Breusch-Godfrey
Considerar una regresión de la forma
Y = X β+ e
BG proponen una regresión auxiliar tal que
bet = α1bet�1 + α2bet�2 + � � �+ αqbet�q + Xα+ u
El estadístico es tal que
BG = (N � q)R2�
Donde R2� corresponde a la segunda ecuación.
El estadístico se compara contra valores críticos de una {2.
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Tests de Autocorrelación
Otros tests
ACF-PACF
Ljung-Box: QLB = n(n+ 2)∑hk=1
bρ2k
n�k
donde n es el tamaño de la muestra, bρk es la autocorrelación
de la muestra de orden k y h es el número de rezagos que se
están probando. La región crítica para el rechazo de H0: Los
datos se distribuyen de forma independiente, contra H1: Los
datos no se distribuyen de forma independiente es QLB > {2.
Box-Pierce: QBP = n∑hk=1 bρ2k
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Correción de Autocorrelación
Estimación en primeras diferencias de las variables
Estimación por MCG: Cochrane-Orcutt y Prais-Winsten
Estimación de Newey-West
Procedimiento de Hildreth�Lu
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Correción de Autocorrelación
Estimación por MCG
Si consideramos que los errores siguen un proceso AR(1)
et = φet�1 + ut , podemos obtener la matriz P que garantiza
P 0P = Ω�1 siendo esta matriz
bV =
26666664
q
1� φ2 0 0 � � � 0 0
�φ 1 0 � � � 0 0
0 �φ 1 � � � 0 0
...
...
...
...
...
0 0 0 � � � �φ 1
37777775
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Correción de Autocorrelación
Estimación de Newey West
Proponen un estimador de las varianzas y covarianzas bV :
bV =
2666664
bγ0 bγ1 bγ2 � � � bγn�1bγ1 bγ0 bγ1 � � � bγn�2bγ2 bγ1 bγ0 � � � bγn�3
...
...
...
. . .
...bγn�1 bγn�2 bγn�3 � � � bγ0
3777775
donde bγj = (1� jq+1 ) 1n ∑nt=j+1 betbet�j si 0 � j � q y bγj = 0 si
j > q, donde q son los rezagos usados en la estimación.
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCOProcesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
MIN
El supuesto de rango completo de la matriz no se cumple y, por
ende, no es posible calcular (X 0X )�1.
El efecto es un incremento sustancial de la varianza de los
estimadores.
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
MIN: Detección
Presencia de estadísticos t bajos y estadístico de signi�cancia
conjunta F alto.
Los estimadores cambian abruptamente al aumentar las
observaciones
Índice de condición de rango: IC =
p
λmax/λmin donde λ es
un valor propio de la matriz (X 0X ). Si IC > 20 se tiene MIN.
Factor de In�ación de Varianza: VIF = 1/(1� R2Z ) donde R2z
se obtiene de la regresión entre Z , variable que puede generar
MIN, y el resto de explicativas. Si VIF > 10 entonces hay
MIN.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
MIN: Corrección
Regresión Ridge: Se multiplica a la diagonal de la matriz XX́
por un escalar λ obteniendo el estimadorbβRIDGE = (X 0X + λI )�1X 0Y . Este estimador sería sesgado
pero tiene menor varianza que el de MCO.
Método de reducción de dimensiones.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Endogeneidad
La endogeneidad se puede presentar cuando hay un error en la
medición de las variables. Por ejemplo, cuando utilizamos
variables proxy para capturar variables inobservables.
Asimismo, en la mayoría de modelos se presenta la causalidad
simultánea
Por último, se puede dar cuando omitimos variables que están
correlacionadas con los regresores
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
Variables instrumentales
Supongamos que tenemos una variable Z tal que cumple las
condicones de relevancia (cov(Z ,X ) 6= 0) y exogeneidad
(Cov(Z , e) = 0), planteamos un estimador consistente
bβIV = SYZSXZ
donde SYZ es la covarianza muestral entre Y y Z , mientras que
SXZ es el análogo entre X y Z .
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
VI
Veri�cación de instrumentos relevantes: Utilizamos la F de
Staiger y Stock.
Validez de la exogeneidad de los instrumentos: Utilizamos el
test de Sargan y su generalización para errores robustos en el
test J de Hansen.
Test de Endogeneidad: Utilizamos el estadístico H de
Hausman.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Perturbaciones no esféricas
Multicolinealidad imperfecta nociva
Endogeneidad
MCO2E
El estimador de variables instrumentales puede interpretarse como
el resultado de un procedimiento en dos etapas.
1 Regresionamos por MCO al regresor endógeno contra el resto
de regresores y los instrumentos que cumplen las condiciones
de relevancia y exogeneidad. Luego, calculamos la predicción.
2 Usamos a la predicción en vez de los regresores que generan
endogeneidad y estimamos por MCO. El estimador MCO será
consistente
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Series de Tiempo
Considerar un modelo autoregresivo de orden uno:
yt = φyt�1 + et
donde ahora las observaciones corresponden a realizaciones de un
proceso que evoluciona a través del tiempo. Una pregunta
pertinente es si los supuestos del MRLC se cumplen.
1 Linealidad en parámetros X
2 Exogeneidad estricta
3 No multicolinealidad X
4 Perturbaciones esféricas X
5 Regresor no estocástico
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Exogeneidad estricta
El supuesto de exogeneidad estricta plantea que para cualquiera
que sea s:
E (et jys ) = 0 8s, t = 1, ...,T
Asumamos que este supuesto se cumple y evaluemos sus
implicancias para el caso en que s = t � 1.
1 E (etyt�1) = E (E (etyt�1jyt�1)jyt�1) =
E (yt�1(et jyt�1)jyt�1) = 0
2 Cov(et , yt�1) = E (etyt�1)� E (et )E (yt�1) = 0
Ambas implicancias se mantienen ¿Donde reside el problema?
Calculemos la esperanza en tiempo corriente:
E (etyt ) = E ((φyt�1 + et )et )
E (etyt ) = φyt�1E (et ) + E (e2t )
E (etyt ) = σ2
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Exogeneidad estricta
Ahora iterando el PGD un periodo adelante:
yt+1 = φyt + et+1
Podemos observar que yt es una variable regresora de yt+1. En
este caso se sigue cumpliendo que
E (et+1yt ) = 0
Sin embargo, hemos probado que
E (etyt ) = σ2
Entonces, se viola el supuesto de exogeneidad estricta que
establece E (et jys ) = 0 8s, t = 1, ...,T .
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Regresor no estocástico
Estudiemos las implicancias del comportamiento del regresor.
Iteremos el PGD algunos períodos hacia atrás:
yt�1 = φyt�2 + et�1
yt�2 = φyt�3 + et�2
...
y2 = φy1 + e2
Luego reemplacemos estas relaciones encontradas iterativamente
yt = φty1 +∑T�1i=0 φ
i et�i
El proceso autoregresivo es una acumulación de choques aleatorios.
En ese sentido, el regreso no es �jo, y representa la acumulación de
otros choques.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Insesgadez
Al obtener el estimador de MCO:
bφ = φ+ ∑Tt=2 yt�1et
∑Tt=2 y 2t�1
Evaluamos el sesgo tomando valor esperado:
E (bφ) = φ+ E �∑Tt=2 yt�1et
∑Tt=2 y 2t�1
�
Como el numerador no es independiente del denominador, pues
contiene a yt�1, la cual es una variable aleatoria, podemos a�rmar
que el estimador de MCO es sesgado. El tamaño del sesgo es
Sesgo = E
�
∑Tt=2 yt�1et
∑Tt=2 y 2t�1
�
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Consistencia
Aún podemos encontrar esperanza invocando la ley de los grandes
números. Aplicamos el operador plim:
p lim(bφ) = φ+ p lim�∑Tt=2 yt�1et
∑Tt=2 y 2t�1
�
= φ+ p lim T
�1 ∑Tt=2 yt�1et
p lim T �1 ∑Tt=2 y 2t�1
Donde,
p limT�1 ∑Tt=2 yt�1et �! E (yt�1et ) = 0
p limT�1 ∑Tt=2 y2t�1 �! q < ∞
A partir de ello, podemos llegar a
p lim(bφ) = φ
Sin embargo, dicho resultado estará condicionado a la talla de la
muestra
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Procesos estocásticos y seriesde tiempo
Un proceso estocástico es una función con dos argumentos
X (t,ω), ωeΩ donde ω es el espacio muestral. El indexador t
representa el tiempo. Ω es el conjunto de todas las posibles
secuencias de observaciones que pueden ser generadas por el
proceso.
Para un t �jo decimos que X (t, .) es una variable aleatoria y para
un ω �jo decimos que X (.,ω) es la realización del proceso, i.e.,
una serie de tiempo.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Estacionariedad fuerte y débil
Estacionariedad débil o en covarianzas o de segundo orden: El
proceso Yt es estacionario en covarianzas si sus dos primeros
momentos son invariantes con el tiempo.
Estacionariedad fuerte o estricta: El proceso Yt es fuertemente
estacionario si, para cualesquiera valores j1,j2,...,jn, la distribución
conjunta de (Y1,Yj1 ,Yj2 ...,Yjn ) no depende del tiempo
Ergodicidad: Un proceso es ergódico si es asintóticamente
independiente, esto es, si dos variables aleatorias cualesquiera que
están lo su�cientemente alejadas casi no están correlacionados.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
De�niciones
Primer momento: E (yt ) = E (yt+k ) = µ
Segundo momento: Var(yt ) = Var(yt+k ) = σ2
Autocovarianzas:
Cov [yt � µ, yt+k � µ] = E [(yt � µ)(yt+k � µ)] = γk
Autocorrelación: Corr(yt , yt�k ) =
γk
γ0
= ρk
Operador de rezagos: Lyt = yt�1 =) Lkyt = yt�k
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Modelos de series de Tiempo
Ruido Blanco
yt = et , et � N(0, σ2)
Primer momento
E (yt ) = 0
Segundo momento
Var(yt ) = σ2
Covarianzas
Cov(yt , yt�k ) = E (ytyt�k ) = E (etet�k ) = 0
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Modelos de series de Tiempo
AR(1)
yt = φyt�1 + et , et � N(0, σ2)
Iterando hacia atrás dy reemplazando términos, obtenemos:
yt = φty1 +∑T�1i=0 φ
i et�i
Empleando el operador de rezagos L tal que Lyt = yt�1, podemos
reescribir el modelo AR(1) así:
(1� φL)yt = et
yt = ∑∞i=0 φi et�i
Que es la misma representación que la anterior cuando t �! ∞ y
jφj < 1
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Modelos de series de Tiempo
AR(1)
Asumiendo un proceso estacionario, jφj < 1,
El primer momento
E (yt ) = φE (yt�1) + E (et )
E (y) = φE (y) + E (et )
E (y) = 11�φE (et ) �! E (y) = 0
El segundo momento
Var(yt ) = Var(φyt�1 + et )
Var(y) = φ2Var(y) + Var(et )
Var(y) = 1
1�φ2Var(et ) �! Var(y) =
1
1�φ2 σ
2
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Modelos de series de Tiempo
AR(1) con media
yt = δ+ φyt�1 + et , et � N(0, σ2)
Primer momento
E (yt ) = δ+ φE (yt�1) + E (et )
E (y) = δ+ φE (y) + E (et )
E (y) = δ1�φ +
1
1�φE (et ) �! E (y) =
δ
1�φ = µ
Segundo momento
Var(yt ) = Var(δ+ φyt�1 + et )
Var(y) = φ2Var(y) + Var(et )
Var(y) = 1
1�φ2Var(et ) �! Var(y) =
1
1�φ2 σ
2
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Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Modelos de series de Tiempo
MA(1)
yt = et + θet�1, et � N(0, σ2)
Que puede ser expresado como
yt = (1+ θL)et
Primer momento
E (yt ) = E (et ) + θE (et�1)
E (y) = 0
Segundo momento
Var(yt ) = Var(et + θet�1)
Var(y) = θ2Var(et�1) + Var(et )
Var(y) = σ2(1+ θ2)
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Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Modelos de series de Tiempo
ARMA(p,q)
En general, cualquier serie de tiempo estacionaria puede expresarse
utilizando una combinación lineal de WN:
AR(p): yt = φ1yt�1 + φ2yt�2 + ...+ φpyt�p + et
MA(q): yt = et + θ1et�1 + θ2et�2 + ...+ θqet�q
La forma más general de estos procesos se denomina modelos
ARMA.
Un modelo ARMA(p,q) tiene la forma
yt = φ1yt�1 + φ2yt�2 + ...+ φpyt�p + et + θ1et�1 + θ2et�2 +
...+ θqet�q
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Modelos de series de Tiempo
ARMA(p,q)
Los modelos anteriores pueden escribirse así:
AR(p): (1� φ1L� φ2L2 � ...� φpLp)yt = et
MA(q): yt = (1+ θ1L+ θ2L2 + ...+ θqLp)et
ARMA(p,q): (1� φ1L� φ2L2 � ...� φpLp)yt =
(1+ θ1L+ θ2L2 + ...+ θqLp)et
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Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Estacionariedad e Invertibilidad
Estacionarieda: Todo proceso AR(1) puede ser llevado a un
modelo MA(∞)
yt = φyt�1 + et
(1� φL)yt = et
yt = ∑∞i=0 φi et�i
Si y solo si jφj < 1,se cumple la condición de estacionariedad
Invertibilidad: Todo proceso MA(1) puede ser llevado a un
modelo AR(∞)
yt = et + θet�1
yt = (1+ θL)et
et = ∑∞i=1 �θiyt�i
Si y solo si jθj < 1,se cumple la condición de invertibilidad
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Estacionariedad e Invertibilidad
Estacionariedad: Todo proceso AR(p) puede ser llevado a un
modelo MA(∞)
yt = φ1yt�1 + φ2yt�2 + ...+ φpyt�p + et
(1� φ1L� φ2L2 � ...� φpLp)yt = et
Φ(L)yt = et
si las raíces de Φ(L) están fuera del círculo unitario
Invertibilidad: Todo proceso MA(q) puede ser llevado a un
modelo AR(∞)
yt = et + θ1et�1 + θ2et�2 + ...+ θqet�q
yt = (1+ θ1L+ θ2L2 + ...+ θqLp)et
yt = Θ(L)et
si las raíces de Θ(L) están fuera del círculo unitario
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Determinación del orden ARMA
Autocorrelación Simple (ACF-FAS) En el rezago k, es la
autocorrelación entre los valores de las series que se
encuentran a k intervalos de distancia. Nos Permite identi�car
el orden AR de una serie
Autocorrelación Parcial (ACF-FAP) En el retardo k, es la
autocorrelación entre los valores de las series que se
encuentran a k intervalos de distancia, teniendo en cuenta los
valores de los intervalos intermedios. Nos Permite identi�car
el orden MA de una serie
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Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Determinación del orden ARMA
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Descomposición de una serie de tiempo
Toda serie de tiempotiene la siguiente representación fundamental:
Multiplicativa
yt = Ct � Tt � St � It
o tomando logartimos
Aditiva
yt = Ct + Tt + St + It
Donde Ct es el componente cíclico, Tt es el componente
tendencial, St es el componente estacional, It es el componente
irregular
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Descomposición de una serie de tiempo
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Descomposición de una serie de tiempo
¿Cómo calculamos dichos componentes?
Los componentes St e It
Census X-13
Tramo/Seats
Los componentes Ct y Tt son calculados con �ltros
estadísticos
Hodrick�Prescott
Baxter-king
Christiano-Fitzgerald
Modelo espacio-estado: Filtro de Kalman
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Inferencia y Pruebas de hipótesis
Detección de incumplimiento de supuestos de MCO
Procesos estocásticos en Series de Tiempo I
Propiedades en Series de Tiempo
Análisis de procesos estocásticos
Metodología de Box-Jenkins
1 Pasos previos: Desestacionalizar la serie y tomar primeras
diferencias
2 Analizar el correlograma y proponer un modelo
3 Estimación del modelo
4 Veri�cación: analizamos el correlograma de los residuos y si
aun existe correlación en los residuos regresamos al paso 2
5 Proyectamos el modelo
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Econometría
Clase 3
Pérez Rojo, Flavio
Abril, 2020
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Contents
1 Procesos estocásticos en series de tiempo II
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
2 Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Causalidad y descomposición de Wold
Sea un proceso ARMA(p, q)
Φ(L)yt = Θ(L)et
será causal si existe una solución de la forma siguiente
yt = Φ(L)�1Θ(L)et = Ψ(L)et
donde Ψ(L) = 1+ ψ1L+ ψ2L
2 + ... y ∑∞j=0 ψj < ∞. Para que
exista Φ(L)�1 el proceso debe ser estacionario.
Todo proceso que es covarianza estacionario puede representarse
por
yt = ∑∞j=0 ψjet ,
la cual se conoce como representación de Wold y consiste en un
polinomio MA(∞)
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Ejemplo
Sea un proceso ARMA(p, q)
yt = 2+ 1.3yt�1 � 0.4yt�2 + et � et�1
(1� 1.3L+ 0.4L2)yt = (1� L)et
Para determinar si es estacionario e invertible debemos hallar las
raíces de Φ(L) y Θ(L). Es decir, debemos resolver
1� 1.3z + 0.4z2 = 0^ 1� c =
donde (z1, z2) = (2, 1.25) y c = 1. Como las raíces z están fuera
del círculo unitario entonces el proceso es estacionario, pero no es
invertible dado que la raíz c está en el círculo unitario.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Modelos no estacionarios
Tendencia determinística
Es un proceso donde la variable crece alrededor de una tendencia y
no existe mayor incertidumbre acerca de la evolución de la variable.
yt = c + δt + et
Para volver estacionaria la serie y poder estimar modelos
realizamos un proceso de detrending
Tendencia estocástica
Este proceso evoluciona a través del tiempo, pero existe
incertidumbre acerca del comportamiento de dicha evolución
yt = c + yt�1 + et
Para volver estacionaria la serie y poder estimar modelos
realizamos un proceso de di¤erencing
¿Cómo diferenciar a qué tipo de serie nos enfrentamos?
Test de raíz unitaria
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Test de raíz unitaria
Imaginemos que tenemos el siguiente modelo
yt = c + φyt�1 + et
y realizamos el siguiente contraste
H0 : φ = 1
H1 : φ < 1
Los resultados indicarían que si,
Rechazamos H0: la serie es estacionaria
No rechazamos H0: la serie es un random walk
El estadístico de prueba es
t =
bφ�1
s .d .(bφ)
¿Qué sucede con nuestro contraste bajo H0? Tendremos un
problema serio...
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Test de raíz unitaria
Si estimamos el modelo por MCO, obtendremos:
bφ = ∑Tt=2 yt�1yt
∑Tt=2 y 2t�1
= ∑
T
t=2 yt�1(φyt�1+et )
∑Tt=2 y 2t�1bφ = φ+ ∑Tt=2 yt�1+et
∑Tt=2 y 2t�1
! bφ� φ = T �1/2 ∑Tt=2 yt�1+et
T �1 ∑Tt=2 y 2t�1
Luego, por la ley de los grandes números (Hamilton (1994) pp.
216)
T 1/2(bφ� φ) d�! N(0, 1� φ2)bφ d�! N(φ,T�1(1� φ2))
Pero, bajo H0
bφ d�! N(1, 0)
Lo cual no tiene sentido, ¿cómo obtenemos los valores críticos?
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Test de raíz unitaria
Al respecto, Phillips (1987) demostró que bajo la hipótesis de raíz
unitaria, se presentan las siguientes convergencias:
T�2 ∑Tt=2 y2t�1
d�! σ2
R 1
0 W
2(r)dr
T�2 ∑Tt=2 yt�1et
d�! σ2
R 1
0 W (r)dW (r)
Donde W (r) denota un movimiento browniano (Proceso de
Wiener) de�nido en el intervalo unitario.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Test de raíz unitaria
En general, los tests de raíz unitaria son sesgados hacia la
izquierda y pueden presentar diversas especi�caciones de
componentes determinísticos (constante, tendencia, constante y
tendencia, quiebre en constante, etc.) y los valores críticos serán
más negativos a medida que agregamos mayores componentes.
El p-value ya no tiene sentido por que la distribución ya no es
normal
Asimismo, dado que bajo H0 se presentan distorsiones, el criterio
de rechazo incorpora sólo una cola
Estadístico < Valor crítico: Rechazo H0
Estadístico > Valor crítico: No rechazo H0
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
El test de Dickey-Fuller (DF)
El base a estas distribuciones, se pueden construir los test
propuestos por Dickey and Fuller (1979, 1981). En particular, estos
autores proponen 2 test:
T (bφ� 1) = T �1 ∑Tt=2 yt�1+et
T �2 ∑Tt=2 y 2t�1
d�!
R 1
0 W (r )dW (r )R 1
0 W
2(r )dr
tbφ = T �1 ∑Tt=2 yt�1+etbσ(T �2 ∑Tt=2 y 2t�1)1/2 d�!
R 1
0 W (r )dW (r )
(
R 1
0 W
2(r )dr )1/2
Donde W(r) denota un movimiento browniano (Proceso de
Wiener) de�nido en el intervalo unitario.
Una característica peculiar de este test es que considera que los
errores son i .i .d . Sin embargo, hay dos tests que relajan este
supuesto.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
El test de Dickey-Fuller aumentado (ADF)
Este test a diferencia del anterior tiene el objetivo de controlar la
autocorrelación del error de una forma paramétrica. Se formula de
la siguiente manera
∆eyt = φ0eyt�1 +∑ki=1 bi∆eyt�i + et
Donde,φ0 = φ� 1, ey es la serie descontada de componentes
determinísticos y k es el número de rezagos seleccionados de
acuerdo a algún criterio de selección.
En este caso, el contraste es distinto. Ahora utilizamos el
estadístico t pero considerando
H0 : φ0 = 0
H1 : φ0 < 0
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Selección de rezagos
Criterios de información
kaic =argminfkg log(s
2
ek ) +
2k
T
kbic = argminfkg log(s
2
ek ) +
log(T )k
T
El criterio AIC/BIC suele escoger un mayor/menor nivel de rezagos
al óptimo por ende se tiene un problema de tamaño/potencia.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Selección de rezagos
Criterios de información modi�cados
kmic = argminfkg log(s
2
ek ) +
CT [bτT (k )+k ]
TbτT (k) = (s2ek )�1bφ20 ∑Tt=2 y2t�1
donde el modelo MAIC utiliza CT = 2 mientras que el MBIC
utiliza CT = log(T ).
Ng y Perron (2001) recomiendan el MAIC mientras que la ventaja
del MBIC es que considera la posible dependencia de bφ20 con k.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Test de raíz unitaria
El problema de los tests DF y ADF es que adolecen de potencia.
En el ideal buscamos una potencia del 100 %, osea rechazar una
hipótesis nula que efectivamente es falsa el 100 % de las veces. Sin
embargo, en estos tests la potencia es baja.
Informalmente hablando, la potencia de estos test puede ser
mucho menos que el 100 %, imaginemos 50 %, esto implica que
solo el 50 % de las veces rechazaríamos una hipótesis falsa.
Por esta razón se desarrollaron más test de raíz unitaria
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Los tests Z de Phillips y Perron
A diferencia del test ADF, en estos tests se controla la
autocorrelación pero de manera semiparamétrica.
En este caso, estiman
yt = ψ0zt + φyt�1 + et
y utilizan los residuos bet para construir un estimador de σ2
bσ2 = s2 = T�1 ∑be2t + 2T�1 ∑kτ=1 ω(τ, k)∑Tt=τ+1 betbet�τ
ω(τ, k) = 1� τk+1
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Los tests Z de Phillips y Perron
Con este estimador los estadísticos Z convergen a los tests de DF .
Zbφ = T (bφ� 1)� 0.5(s2�bs2e )T �2 ∑Tt=2 y 2t�1 d�!
R 1
0 W (r )dW (r )R 1
0 W
2(r )dr
Zt = (bses )tbφ � 0.5(s2�bs2e )(T �2 ∑Tt=2 y 2t�1)1/2 d�!
R 1
0 W (r )dW (r )
(
R 1
0 W
2(r )dr )1/2
donde bs2e es la primera varianza estimada.
Estos tests presentan una distorsión de size cuando existe
autocorrelación AR y MA pero es más marcada en el segundo caso.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Otros tests de raíz unitaria
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin (1992): Test KPSS .
Aquí H0 es estacionariedad.
Stock (1999) y Perron Ng (1996): Tests M. Para su
implementación requieren la estimación de ADF
Elliot, Rothenberg y Stock (1996) y Ng-Perron (2001): Test
ADFGLS . Se traba en el marco local a la unidad utilizando
datos transformados por un proceso GLS generando una
ganancia de potencia
Dufour y King (1991) y ERS (1996): Test de punto factible
óptimo
Perron (1989,1997), Zivot y Andrews (1992), Perron y
Rodríguez (2003): Tests con cambio estructural. La mala
especi�cación de los componentes determinísticos genera el
rechazo de H0 de raíz unitaria
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Series integradas
Una vez que detectamos que existe presencia de raíz unitaria,
procedemos a diferenciar la serie (calcular la tasa de crecimiento).
yt �! ∆yt�1
Ahora probamos la existencia de raíz unitaria en las diferencias, es
decir en ∆yt .
Si yt tenía raíz unitaria y su diferencia ∆yt no tiene raíz unitaria, se
dice que yt es integrada de orden 1.
yt �! I (1)
Cuando una serie no requiere de tomar diferencias para que sea
estacionaria se dice que es integrada de orden 0. Siguiendo el
ejemplo anterior, ∆yt seria integrada de orden cero:
∆yt �! I (0)
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
ARIMA
Una vez que detectamos que la serie es una marcha aleatoria (tiene
raíz unitaria), la serie requiere ser diferenciada. Si buscamos
proyectar la serie en diferencias y empleamos un modelo ARMA, en
realidad vamos a estimar un modelo ARIMA, donde: (i) AR,
proceso autoregresivo; (ii) I, número de integraciones; y (iii) MA,
proceso de medias moviles
En el tema anterior cuando estimamos un modelo ARMA(1,1)
yt = c + φyt�1 + et + θet�1
en realidad estabamos estimando un modelo ARIMA(1,1,1) del
PBI porque tomabamos primeras diferencias:
∆PBIt = c + φ∆PBIt�1 + et + θet�1
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Ciclos económicos
Los ciclos económicos existen bajo el supuesto de rigideces
nominales en la producci´on de las �rmas. El ciclo económico se
de�ne como:
yt = log(Yt )� log(Y t )
Donde Yt es el PBI observado y Y t es el PBI potencial o PBI de
precios �exibles. Grá�camente, los ciclos económicos tienen la
siguiente forma
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
El PBI potencial
El objetivo es estimar el PBI potencial Y t que es una variable no
observable. Esto se puede hacer a través de distintos métodos:
1 Tendencia Lineal
2 Tendencia Cuadrática
3 Filtro Hodrick-Prescott
4 Filtro Baxter-King
5 Filtro Christiano-Fitzgerald
6 Filtro de Kalman
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Tendencia lineal
Este sencillo método consiste en estimar una tendencia lineal en el
logaritmo del PBI desestacionalizado.
Primero se estima la ecuación:
log(Yt ) = c + δt + et
Luego, se procede a eliminar el componente tendencial mediante la
resta de la constante y la tendencia:
log(Y t ) = log(Yt )� bc � bδt
Finalmente el ciclo económico es calculado como la resta entre
log(Yt ) y la tendencia calculada
log(Y t ) = log(Yt )� log(Y t )
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Tendencia cuadrática
El procedimiento es equivalente al caso anterior, pero con una
tendencia cuadrática. Primero se estima la ecuación:
log(Yt ) = c + δt2 + et
Luego, se procede a eliminar el componente tendencial mediante la
resta de la constante y la tendencia:
log(Y t ) = log(Yt )� bc � bδt2
Finalmente el ciclo económico es calculado como la resta entre
log(Yt ) y la tendencia calculada
yt = log(Yt )� log(Y t )
Pérez Rojo, Flavio Econometría
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Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Filtro Hodrick-Prescott
El �ltro de Hodrick-Prescott (HP) calcula la tendencia de una serie
minimizando la siguiente función.
minτ
h
∑Tt=1(log(Yt )� τt )2 + λ ∑Tt=1[(τt+1 � τt )� (τt � τt�1)]
i
Donde τt = log(Y t ) y λ es el parámetro de suavizamiento.
Cuando λ ! 0, τt = log(Yt ), es decir la misma serie
Cuando λ ! ∞, τt es una tendencia lineal
El parametro λ tiene las siguientes especi�caciones:
λ = 100 para series anuales
λ = 1600 para series trimestrales
λ = 14400 para series mensuales
Pérez Rojo, Flavio Econometría
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Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Filtro Hodrick-Prescott
En síntesis el �ltro considera un componente irregular I (0) y un
componente tendencial que es I (2)
Algunas desventajas de este �ltro:
Los componentes irregular (cíclico) y tendencial (potencial)
son no correlacionados entre ellos, lo cual es incompatible con
la teoría de los ciclos económicos
La serie consideradaes I (2), lo cual es incompatible con datos
de PBI, por ejemplo
El componente irregular es ruido blanco. No necesariamente
el componente cíclico del PBI es ruido blanco
El parámetro λ está especi�cado ad-hoc, no existe un
estimador e�ciente de los valores que debe tomar
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Filtro Baxter-King
Calcula la tendencia de una serie empleando procesos
moving-average.
Minimiza la discrepancia entre el �ltro �ideal� y la
aproximacion estadística a través de rezagos.
Más rezagos, mayor precisión pero se pierden observaciones.
Establece un orden en la periodicidad de los ciclos entre 6 a
32 trimestres
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Filtros HP-BK
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Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Filtros HP-BK
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Filtro Christiano-Fitzgerald
Emplea procesos moving-average
En su versión simétrica emplea rezagos para aproximarse al
�ltro �ideal� y pierde observaciones. En su versión asimétrica
emplea toda la muestra. Las diferencias no son mayores, pero
en el caso asimétrico se ganan observaciones.
Requiere establecer si la serie es estacionaria o no. Empleando
un test de raíz unitaria puede determinarse si es estacionaria,
en dicho caso se especi�ca que la serie es I (1)
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Inferencia en Procesos Estocásticos
Ciclos económicos
Filtro de Kalman
Es un algoritmo que forma predicciones de factores latentes,
basándose en sus medias condicionales, y luego las actualiza
en forma sistemática conforme sean dispuestas más medidas
de las variables observadas
El algoritmo del �ltro posee una estructura recursiva
En general, bajo el supuesto que los parámetros son
conocidos, deviramos el algoritmo. Sin embargo, podemos
estimar los parámetros por máxima verosimilitud.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Modelos VAR
Es uno de los modelos más �exibles y fáciles para el análisis de las
series de tiempo multivariadas.
Sims (1980) fue su creador
Es utilizado para describir el comportamiento dinámico de
series económicas y �nancieras, y para hacer buenas
predicciones
Es utilizado para inferencia estructural y análisis de política
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Modelos VAR
Sea Yt = (y1t , y2t , ..., ynt )0 un vector de n series de tiempo. El
VAR de p rezagos toma la forma
Yt = c +Π1Yt�1 +Π2Yt�2 + � � �+ et , et � WN(0,Σ)
En este modelo cada variable tiene los mismos regresores.
Asimismo, se evita la endogeneidad debido a que se utiliza rezagos
de las endógenas.
Π(L)Yt = c + et ,Π(L) = In �Π1L�Π2L2 � ...�ΠpLp
El modelo VAR(p) será estable si las raíces del polinomio Π(L)
caen fuera del círculo unitario o tienen módulos mayores a uno.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Representación de Wold
Considerando el VAR(p) estacionario, entonces la inversa de Π(L)
existe
Yt = Π(L)�1c +Π(L)�1et
Yt = µ+Ψ(L)et = µ+∑∞k=0 Ψk et�k
donde limk!∞ Ψk = 0.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Estimación
Considerando el VAR(p) estacionario, entonces el modelo puede
ser estimado ecuación por ecuación por MCO sin perder e�ciencia
relativa a MCG. Entonces tenemos los siguientes resultados
bΠ = [bΠ1, bΠ2, ..., bΠp ]bet = Yt � bΠZtbΣ = (T � n(p + 1))�1 ∑Tt=1 betbe0t
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Selección de rezagos
Empleamos criterios de seleccion:
Akaike (AIC): ln jbΣ(p)j+ 2T�1pn2
Schwarz (BIC): ln jbΣ(p)j+ T�1 ln(T )pn2
Hannan-Quinn (HQ): ln jbΣ(p)j+ 2T�1 ln(ln(T ))pn2
AIC suele sobreestimar mientras que BIC y HQ estiman el rezago
consistentemente si el verdadero rezago es igual o menor al
máximo planteado.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Causalidad a la Granger
Si una variable o un grupo de variables, y1, ayuda a predecir otra
variable o grupo de variables, y2, entonces y1 causa a la Granger a
y2; caso contrario, y1 falla en causar a la Granger a y2.
Notacionalmente, y1 falla en causar a la Granger a y2 si para todo
s > 0 el MSE de una predicción de y2,t+s basado en
(y2,t , y2,t�1, ...) es igual al MSE de una predicción de y2,t+s basado
en (y2,t , y2,t�1, ...) y (y1,t , y1,t�1, ...)
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Ejemplo
Podemos pensar en un esquema neokeynesiano (NK) de la forma
yt = Eyt+1 + 1σ (it � Eπt+1) + e
y
t
πt = βEπt+1 + κyt + eπt
it = ρ+ φππt + φy yt + e
i
t
Donde yt es la brecha del producto, πt es la in�ación e it es la
tasa de interés. Asimismo, eyt son los choques de demanda, e
π
t son
los choques de oferta y eit son los choques de política monetaria.
Para estudiar el impacto de los choques sobre la actividad
económica, i .e movimientos de eyt , e
π
t y e
i
t , podemos seguir dos
caminos:
Estimar el modelo NK y simular choques
Estimar un modelo de estructural de vectores autoregresivos
(SVAR) y simular choques
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
SVAR
Forma estructural
Se denominan estructurales debido a que provienen de alguna
teoría económica y buscan capturar los choques que describen un
modelo macroeconómico estimándolos directamente de los datos.
Un modelo SVAR bivariado en su forma estructural con un rezago
tiene la siguiente forma compacta:
BYt = γ0 +zYt�1 + εt , εt � i .i .d .N(0,D)
y la siguiente forma extensiva�
1 b12
b21 1
� �
yt
πt
�
=�
γ10
γ20
�
+
�
γ11 γ12
γ21 γ22
� �
yt�1
πt�1
�
+
�
εyt
επt
�
, D =
�
σ2y 0
0 σ2π
�
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
SVAR
Forma reducida
Los errores exógenos son independientes y son interpretados como
errores estructurales. El SVAR(1) puede obtenerse la forma
reducida de la siguiente forma
Yt = B�1γ0 +B
�1zYt�1 +B�1εt
Yt = c +ΦYt�1 + et , et � N(0,Ω)
y la siguiente forma extensiva�
yt
πt
�
=
�
c1
c2
�
+
�
φ11 φ12
φ21 φ22
� �
yt�1
πt�1
�
+
�
eyt
eπt
�
,
Ω =
�
var(eyt ) cov(e
y
t , e
π
t )
cov(eπt , e
y
t ) var(e
π
t )
�
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
SVAR
Estacionariedad e identi�cación
El modelo reducido será estacionario si las raíces de la matriz Φ
están fuera del círculo unitario
det(I2 �Φλ) = 0
Los parámetros de la forma estructural no se pueden obtener en
base a los de la forma reducida. Por ejemplo, en el caso de un
rezago y dos variables se tiene 10 parámetros estructurales (2
varianzas y 8 coe�cientes) mientras que hay 9 parámetros
reducidos (3 varianzas-covarianzas y 6 parámetros). Es necesario
añadir algún tipo de restricción sobre los parámetros.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
SVAR
Representación MA
Si recordamos los modelos ARMA, una especi�cación AR
estacionaria puede convertirse en un modelo MA in�nito.
Aplicando esta misma idea al modeloSVAR reducido, el cual
asumimos que es estacionario
Yt = c +ΦYt�1 + et
(1�ΦL)Yt = c + et
Yt = (1�Φ)�1c +∑∞i=0 Φi et�i
Yt = η +∑∞i=0 Ψi et�i
Donde la pontencia i representa multiplicaciones sucesivas de la
matriz Φ.
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
SVAR
Representación MA estructural
A partir de la representación MA reducida se puede obtener la
estructural reemplazando B�1εt = et
Yt = η +∑∞i=0 ΨiB�1εt�i
Yt = η +∑∞i=0 Θi εt�i , Θi = ΨiB�1�
yt
πt
�
=
�
η1
η2
�
+
"
θ
(0)
11 θ
(0)
12
θ
(0)
21 θ
(0)
22
# �
εyt
επt
�
+"
θ
(1)
11 θ
(1)
12
θ
(1)
21 θ
(1)
22
# �
εyt�1
επt�1
�
+
"
θ
(2)
11 θ
(2)
12
θ
(2)
21 θ
(2)
22
# �
εyt�2
επt�2
�
+ � � �
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Estimación de los modelos SVAR
El procedimiento debe ser el siguiente
1 Estimar Φ usando los datos
2 Estimar Ψi usando bΦ
3 Estimar B en base a las igualdades que da el modelo SVAR
4 Dado bB y bΨi estimar Θk
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Análisis de los modelos SVAR
Proveen fundamentalmente dos tipos de análisis:
Interacción entre series (Análisis histórico)
Proyecciones (Análisis a futuro)
El primer punto es el más empleado para estudiar fenómenos
macroeconómicos y evaluar políticas. Al respecto, los modelos
VAR proveen tres herramientas:
Funciones de impulso respuesta (IRF): comportamiento de las
variables frente a los choques
Descomposición de la varianza del error de predicción
(FEVD): comportamiento de las proyecciones de las variables
tomando en cuenta el tamaño del choque
Descomposición histórica (HD): evolución histórica de los
choques y su rol en los ciclos económicos.
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
IRF
Si nos interesa el efecto contemporáneo de un choque de demanda
sobre el PBI, calculamos la derivada:
∂yt
∂επt
= θ
(0)
12
Si nos interesa el efecto un periodo después:
∂yt+1
∂επt
= ∂yt∂επt�1
= θ
(1)
12
En general, si nos interesa el efecto en un período s después
∂yt+s
∂επt
= ∂yt∂επt�s
= θ
(s)
12
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
IRF
Si nos interesa el efecto en el largo plazo debemos utilizar la matriz
de impacto de largo plazo de�nida como:
Θ(1) =
�
θ11(1) θ12(1)
θ21(1) θ22(1)
�
=
"
∑∞s=0 θ
(s)
11 ∑
∞
s=0 θ
(s)
12
∑∞s=0 θ
(s)
21 ∑
∞
s=0 θ
(s)
22
#
En nuestro modelo los choques no son permanentes debido a que
asumimos que el modelo es estacionario.
Para veri�carlo podemos emplear un test de raíz unitaria para cada
serie. Luego, si no rechazamos la nula diferenciamos la serie y la
introducimos al modelo. Por otro lado, podemos hacer un
detrending de las series e introducir el componente cíclico en el
modelo.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Signi�cancia de las IRF
Dado que estamos trabajando con datos reales, tenemos márgenes
de error para medir la signi�cancia de los resultados. En el
contexto del análisis de las IRF, la signi�cancia se ve a través de
sus bandas de con�anza. La interpretación es así:
Si en un periodo particular la IRF junto con las bandas de
con�anza se encuentran solo en el cuadrante positivo se dice
que dicho choque positivo es signi�cativo.
Si en un periodo particular la IRF junto con las bandas de
con�anza se encuentran solo en el cuadrante negativo se dice
que dicho choque negativo es signi�cativo.
Si en un periodo particular la IRF se encuentra en un
cuadrante pero las bandas de con�anza se encuentran en los
cuadrantes positivo y negativo, dicho choque no es
signi�cativo.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
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Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
FEVD
Determina la proporción de la variabilidad de los errores de
predicción de yt y πt en el tiempo t + s basado en la información
disponible en t que está dada por la varianza de los choques
estructurales entre t y t + s
La varianza del error de predicción en el período t + s es
var(yt+s � byt+s jt ) = σ2y �(θ(0)11 )2 + � � � (θ(s�1)11 )2�+
σ2π
�
(θ
(0)
12 )
2 + � � � (θ(s�1)12 )2
�
= σ2y (s)
La proporción asociado al error εy y επ es respectivamente:
ρ1,1(s) =
σ2y
�
(θ
(0)
11 )
2+���(θ(s�1)11 )2
�
σ2y (s)
; ρ1,2(s) =
σ2π
�
(θ
(0)
12 )
2+���(θ(s�1)12 )2
�
σ2y (s)
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Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
SVAR
Series I(1) no cointegradas
En este caso, los modelos deben estimarse en primeras diferencias
y los choques son hacia las tasas de crecimiento. Sin embargo,
también podemos encontrar los impactos de un choque en t al
nivel de las variables en t + s partiendo de
yt+s = yt�1 + ∆yt + ∆yt+1 + � � �+ ∆yt+s
∂yt+s
∂επt
= ∂yt�1∂επt
+ ∂∆yt∂επt
+ ∂∆yt+1∂επt
+ � � �+ ∂∆yt+s∂επt
∂yt+s
∂επt
= ∑sk=0 θ
(k )
12
En este caso, el impacto del choque de in�ación al nivel del
producto es igual a la suma acumulada del impacto deε επt sobre
∆y hasta el horizonte s. Entonces, el impacto de largo plazo es
lims�!∞
∂yt+s
∂επt
= θ12(1)
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Precisiones
Problema de identi�cación.
El modelo SVAR no puede estimarse. Se requiere estimar
primero el modelo VAR reducido y luego estimar el modelo
SVAR.
El análisis en los VAR reducidos es cuestionable debido a que
los choques están correlacionados. Esto implica que no puede
analizarse las implicancias de las políticas macro. Para este
caso se emplean los modelos SVAR.
Los modelos SVAR en su forma reducida se emplean
solamente para proyecciones
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
Metodos de especi�cación
Restricciones de corto plazo (se le suele llamar identi�cación
recursiva, Cholesky u ortogonal)
Restricciones de largo plazo (Blanchard-Quah)
Restricciones basadas en la teoría
Restricciones de signo
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
IRF
Ejemplo corto plazo
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
IRF
Ejemplo restricciones de signo
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
FEVD
Ejemplo corto plazo
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Procesos estocásticos en series de tiempo II
Análisis Multivariado
Modelos VAR
Modelos SVAR
FEVD
Ejemplo restricciones de signo
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
Econometría
Clase 4
Pérez Rojo, Flavio
Abril, 2020
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
Contents
1 Cointegración
2 Econometría Financiera
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
Cointegración
La teoría económica a menudo sugiere que ciertas variables
económicas o �nancieras, usualmente no estacionarias, tienen una
relación económica a largo plazo.
Así puede a�rmarse que entre dos series no estacionarias puede
existir una relación que sea estacionaria o cointegran.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
Cointegración
La hipótesis de ingreso permanente (PIH) implica cointegración
entre el consumo y el ingreso.
La paridad de poder de compra (PPP) implica la cointegración
entre los tipo de cambio nominal y precios extranjeros y nacionales.
La ecuación de Fisher implica cointegración entre nominal, tasas
de interés e in�ación.
La hipótesisde expectativas de la estructura temporal implica la
cointegración entre los tipos de interés nominales a diferentes
vencimientos
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
Ejemplo 1
Consumo Keynesiano
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
Ejemplo 2
Tasas de interés
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
Cointegración
Dos series no estacionarias de orden a y b son cointegradas de
orden b si presentan una combinación lineal que es integrada de
orden a� b. Sea Yt = (y1t , y2t , � � � , ynt )0 un vector de n series de
tiempo I (1). Yt cointegra si existe un vector β = (β1, β2, � � � , βn)0
tal que
β0Yt = β1y1t + � � �+ βnynt � I (0)
La combinación lineal está motivada por teoría económica y
consiste en una relación de equilibrio de largo plazo.
Series de tiempo I (1) con una relación de equilibrio de largo plazo
no se pueden desviar mucho de un equilibrio porque las fuerzas
económicas intercederán para restaurar la relación de equilibrio.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
Cointegración
Normalización. Para identi�car únicamente un vector de
cointegración β consideramos β = (1,�β2, ...,�βn)0 para que
β0Yt = y1t � β2y2t � � � � βnynt = ut donde ut � I (0). En el
equilibrio ut = 0 y la relación de equilibrio de largo plazo es
y1t � β2y2t � � � � βnynt .
Múltiples relaciones de cointegración. El vector Yt debe tener
0 < r < n vectores de cointegración linealmente independientes.
Tendencias comunes. Si Yt cointegra con 0 < r < n vectores de
cointegración entonces hay n-r tendencias estocásticas I (1)
comunes
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
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Regresión Espurea
Se da cuando todas las variables son I (1) y no cointegran. Es
decir, no hay ninguna combinación lineal que sea I (0).
Considere Yt = (y1t ,Y 02t )
y1t = bβ2Y 02t + but
Debido a que y1t no cointegra con Y 02t el verdadero valor de bβ2 es
cero y la regresión es espurea dado que bu � I (1)
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Cointegración
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Regresión Espurea
Phillips (1986)
bβ2 no converge en probabilidad a cero. En cambio, converge a una
variable aleatoria con distribución no-normal que no
necesariamente está centrada en cero.
Los estadísticos t usuales para testear que β2 es cero divergen a a
medida que T �! ∞. Por ende, usar la inferencia asintótica usual
y una muestra grande implicará que parezca que Yt cointegra.
El R2 converge a uno a medida que T �! ∞. El modelo aparenta
tener un buen ajuste pese a que está mal especi�cado.
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Cointegración
Econometría Financiera
Cointegración
Los tests de cointegración abordan dos situaciones:
Hay un vector de cointegración. Engle y Granger (1986)
desarrollan un test de dos etapas basado en los residuos
usando técnicas de regresion. Existen dos casos
Cuando el vector de cointegración es pre-especi�cado
Cuando el vector de cointegración es estimado
Hay 0 < r < n vectores de cointegración. Johansen (1988)
desarrolla un procedimiento secuencial para determinar la
existencia de cointegración y determinar el número de vectores
de cointegración basándose en técnicas de máxima
verosimilitud.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
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Engle y Granger
El procedimiento consiste en dos etapas
Obtener los residuos de la relación de cointegración β0Yt = ut
Realizar un test de raíz unitaria para determinar si ut es I (0)
Las series cointegran si el residuo no tiene raíz unitaria. En ese
sentido, la hipótesis nula es que las series no cointegran.
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Cointegración
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Engle y Granger
Vector de cointegración pre-especi�cado
Sea β el vector pre-especi�cado los residuos son
ut = β
0Yt
Las hipótesis a testear son
H0 : ut = β0Yt � I (1) no cointegran
H1 : ut = β0Yt � I (0) si cointegran
Cualquier test de raíz unitaria puede ser utilizado. Los tests más
usados son ADF y PP pero también se puede utilizar los tests ERS
y Ng-Perron que son los más potentes
El residuo de la relación de cointegración puede incluir
componentes determinísticos; por ende, los tests deben
considerarlos.
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Cointegración
Econometría Financiera
Engle y Granger
Vector de cointegración pre-especi�cado
Debido a que β no es conocido debe ser estimado pero para ello
debe normalizarse.
Engle y Granger consideran estimar el vector de cointegración β2
normalizado por MCO
y1t = γ0Dt + β
0
2Y2t + ut
donde Dt son términos determinísticos y testeamos la raíz unitaria
de but sin considerar componentes determinísticos.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
Engle y Granger
Valores críticos
Phillips y Ouliaris argumentan que el error ut sigue una
distribución Dickey-Fuller bajo la hipotesis nula de no
cointegración solo en el caso en que β es conocido.
Si el valor de β no es conocido, como pasa en la práctica, entonces
la distribución cambia y sigue la distribución de Phillips y Ouliaris
Debido al fenómeno de regresión espurea bajo la hipótesis nula, las
distribuciones asintóticas dependen de
Términos determinísticos en la regresión utilizada para estimar
β
El número de variables
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
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Cointegración
Estimaciones basadas en regresiones
Stock (1987) y Phillips (1991) muestran que
T (bβ2 � β2) converge en distribución a una variable aleatoria
no normal no necesariamente centrada en cero. Por ende, la
fórmula para calcular su varianza es incorrecta y los errores
estándar de MCO son no correctos
El estimador de MCO de β2 es super consistente pese a que
sea correlacionado con ut . Por lo cual, no existe
asintóticamente sesgo de simultaniedad
El estimador de MCO de β2 puede ser sustancialmente
sesgado y no e�ciente en muestras pequeñas
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
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Cointegración
DOLS de Stock y Watson (1993)
Proponen un método para estimar un estimador consistente,
asintóticamente normal y e�ciente del vector de cointegración
(Mínimos cuadrados dinámicos: DOLS) y una fórmula para
obtener su varianza asintótica. El procedimiento consiste en
1. Aumentar a la regresión con rezagos y adelantos de ∆Y2t
y1t = γ0Dt + β
0
2Y2t +∑
p
j=�p ψ
0
j∆Y2t�j + ut
2. Los errores estándar válidos para los elementos individuales debβ2,DOLS está dado por las desviaciones estándar de MCO
multiplicado por
� bσ2uclrv (ut )�1/2,donde bσ2u es el estimador de MCO yclrv(ut ) es cualquier estimador consistente de largo plazo.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
Econometría Financiera
VECM
Si las series son no estacionarias podemos aplicar el VAR a las
series en diferencias si no cointegren o un VECM (Modelo de
correción de errores vectorial) si cointegran.
Si existen relaciones de cointegración en un modelo VAR y no se
aplica un VECM, se incurrirá en un error de variable omitida
relevante, generando sesgos en la estimación.
Considerando el vector Yt = (y1t , y2t )0 I (1) y que β = (1,�β2)0
representa el vector de cointegración, Engle y Granger (1987)
muestran que la cointegración implica un VECM
∆y1t = c1 + α1(y1t�1 � β2y2t�1) +∑2i=1 Φ1i (L)∆yit + e1t
∆y2t = c2 + α2(y1t�1 � β2y2t�1) +∑2i=1 Φ2i (L)∆yit + e1t
A través de un VECM puede establecerse la existencia de
causalidad a la Granger.
Pérez Rojo, Flavio Econometría
Cointegración
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El VAR cointegrado
Considerar el siguiente modelo VAR
Yt = ΦDt +Π1Yt�1 + � � �+ΠpYt�p + et
Transformamos dicho modelo en su forma VECM
∆Yt = ΦDt +ΠYt�1 + Γ1∆Yt�1 + � � �+ Γp�1∆Yt�p+1 + et
donde Π = ∑pi=1 Πi � I y Γk = �∑
p
j=k+1 Πi para
k = 1, 2, ..., p � 1
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Cointegración
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El VAR cointegrado
En el VECM el único término que incluye términos I (1) es ΠYt�1
y para que ∆Yt sea I (0) entonces ΠYt�1 debe ser también I (0).
Es decir, ΠYt�1 debe contener las relaciones