3 1 Leyes de movimiento de Newton

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116 CAPÍTULO 13 CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: FUERZA Y ACELERACIÓN
13
EJEMPLO 13.1
El embalaje de 50 kg mostrado en la figura 13-6a descansa sobre una 
superficie horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética es �k � 0.3. 
Si el embalaje se somete a una fuerza de tracción de 400 N como se 
muestra, determine su velocidad en 3 s a partir del punto de reposo. 
SOLUCIÓN
Si utilizamos las ecuaciones de movimiento, podemos relacionar la 
aceleración del embalaje con la fuerza que ocasiona el movimien-
to. La velocidad del embalaje se determina entonces por medio de 
cinemática. 
Diagrama de cuerpo libre. El peso del embalaje es W � mg � 
50 kg (9.81 m>s2) � 490.5 N. Como se muestra en la figura 13-6b, 
la magnitud de la fuerza de fricción es F � �kNC y actúa hacia la 
izquierda, puesto que se opone al movimiento del embalaje. Se 
supone que la aceleración a actúa horizontalmente, en la direc-
ción x positiva. Existen dos incógnitas, o sea, NC y a. 
Ecuaciones de movimiento. Con los datos mostrados en el dia-
grama de cuerpo libre, tenemos 
400 cos 30° 0.3 50; (1)
490.5 400 sen 30° 0; (2)
Al resolver la ecuación 2 para NC y sustituir el resultado en la 
ecuación 1, y al resolver para a se obtiene 
NC � 290.5 N 
a � 5.185 m>s2
Cinemática. Observe que la aceleración es constante, ya que la 
fuerza aplicada P también lo es. Como la velocidad inicial es cero, 
la velocidad del embalaje en 3 s es 
15.6 m s
0 0 5.185 3
 Resp.
Fig. 13-6
NOTA: también podemos utilizar el procedimiento alternativo de 
trazar el diagrama de cuerpo libre y el diagrama cinético del emba-
laje, figura 13-6c, antes de aplicar las ecuaciones de movimiento.
PP �� 400 400 NN
3030��
((aa))
30�
400 N
490.5 N
F � 0.3 NC
NC
(b)
y
x
a
30�
400 N
490.5 N
F � 0.3NC
NC (c)
�
50a
PROBLEMA RESUELTO 12.1
Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano horizontal. Determine la mag-
nitud de la fuerza P que se requiere para dar al bloque una aceleración de 10
ft/s2 hacia la derecha. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el
plano es �k � 0.25.
SOLUCIÓN
La masa del bloque es
m � � � 6.21 lb � s2/ft
Se tiene que F � �kN � 0.25N y que a � 10 ft/s2. Al expresar que las fuer-
zas que actúan sobre el bloque son equivalentes al vector ma, se escribe
y� �Fx � ma: P cos 30° � 0.25N � (6.21 lb � s2/ft)(10 ft/s2)
P cos 30° � 0.25N � 62.1 lb (1)
�x�Fy � 0: N � P sen 30° � 200 lb � 0 (2)
Al resolver (2) para N y sustituir el resultado en (1), se obtiene
N � P sen 30° � 200 lb
P cos 30° � 0.25(P sen 30° � 200 lb) � 62.1 lb P � 151 lb 
200 lb
�
32.2 ft/s2
W
�
g
PROBLEMA RESUELTO 12.2
Un bloque de 80 kg descansa sobre un plano horizontal. Determine la mag-
nitud de la fuerza P requerida para dar al bloque una aceleración de 2.5 m/s2
hacia la derecha. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano
es �k � 0.25.
SOLUCIÓN
El peso del bloque es
W � mg � (80 kg)(9.81 m/s2) � 785 N
Se tiene que F � �kN � 0.25N y que a � 2.5 m/s2. Al expresar que las fuer-
zas que actúan sobre el bloque son equivalentes al vector ma, se escribe
y� �Fx � ma: P cos 30° � 0.25N � (80 kg)(2.5 m/s2)
P cos 30° � 0.25N � 200 N (1)
�x�Fy � 0: N � P sen 30° � 785 N � 0 (2)
Al resolver (2) para N y sustituir el resultado en (1), se obtiene
N � P sen 30° � 785 N
P cos 30° � 0.25(P sen 30° � 785 N) � 200 N P � 535 N 
P
30°
200 lb
=
P
30°
N
F
W = 200 lb
ma
m = 6.21 lb⋅s2/ft
P
30°
80 kg
=
P
30°
N
F
W = 785 N
ma
m = 80 kg 
700
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PROBLEMA RESUELTO 12.5
La plomada de un péndulo de 2 m describe un arco de círculo en un plano
vertical. Si la tensión de la cuerda de estos puntos es cinco veces el peso de
la plomada en la posición que se indica, determine la velocidad y la acelera-
ción de la plomada en esa posición.
SOLUCIÓN
El peso de la plomada es W � mg; la tensión en la cuerda corresponde con-
secuentemente a 2.5 mg. Al recordar que an apunta hacia O y suponiendo
que at en la forma que se muestra, se aplica la segunda ley de Newton y se
obtiene
�o�Ft � mat: mg sen 30° � mat
at � g sen 30° � �4.90 m/s2 at � 4.90 m/s2o
�r�Fn � man: 2.5 mg � mg cos 30° � man
an � 1.634 g � �16.03 m/s2 an � 16.03 m/s2r
Puesto que an � v2��, se tiene v2 � �an � (2 m)(16.03 m/s2)
v � �5.66 m/s v � 5.66 m/s (arriba o abajo)
PROBLEMA RESUELTO 12.6
Determine la rapidez máxima de la curva de una autopista de radio � � 400
ft que tiene un ángulo de peralte � � 18°. La rapidez máxima de la curva
peraltada de una autopista es aquella a la cual un automóvil debe viajar para
que no exista fuerza de rozamiento lateral en sus neumáticos.
SOLUCIÓN
El automóvil se traslada en una trayectoria circular horizontal de radio �. La
componente normal an, de la aceleración apunta hacia el centro de la trayec-
toria; su magnitud es an � v2��, donde v es la velocidad del automóvil en ft�s.
La masa m del auto es W�g, donde W es su peso. Puesto que no se va a ejer-
cer fuerza de fricción lateral sobre el automóvil, la reacción R del camino se
presenta perpendicular al mismo. Al aplicar la segunda ley de Newton
se escribe
�x�Fy � 0: R cos � � W � 0 R � �co
W
s �
� (1)
z� �Fn � man: R sen � � �
W
g
�an (2)
Al sustituir R de (1) en (2), y recordar que an � v2��,
�
co
W
s �
�sen � � �
W
g
� �
v
�
2
� v2 � g� tan �
Al sustituir � � 400 ft y � � 18° en esta ecuación, se obtiene
v2 � (32.2 ft/s2)(400 ft) tan 18°
v � 64.7 ft/s v � 44.1 mi/h
G
30°
2 m
O
m
=
T = 2.5 mg
W = mg
man
n
t
mat
30°
n
y
W
R
man
 = 18° 90°
 = 18°
 = 18°
=
q
q
q
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Gerardo
Resaltar
138 CAPÍTULO 13 CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: FUERZA Y ACELERACIÓN
13
*13-48. El bloque B de 2 kg y el cilindro A de 15 kg están 
conectados a una cuerda que pasa por un agujero en el 
centro de una mesa lisa. Si al bloque se le imprime una 
rapidez de v � 10 m>s, determine el radio r de la trayecto-
ria circular a lo largo de la cual se desplaza. 
•13-49. El bloque B de 2 kg y el cilindro A de 15 kg están 
conectados a una cuerda que pasa por un agujero en el 
centro de una mesa lisa. Si el bloque se desplaza a lo largo 
de una trayectoria circular de radio r � 1.5 m, determine la 
rapidez del bloque.
r
A
v
B
Probs. 13-48/49
13-50. En el instante mostrado, el proyectil de 50 kg viaja 
en el plano vertical a una rapidez de v � 40 m>s. Determine 
el componente tangencial de su aceleración y el radio de 
curvatura � de su trayectoria en este instante. 
13-51. En el instante mostrado, el radio de curvatura de 
la trayectoria vertical del proyectil de 50 kg es � � 200 m. 
Determine la rapidez del proyectil en este instante. 
r
30�
Probs. 13-50/51
*13-52. Determine la masa del Sol, si sabe que su dis-
tancia a la Tierra es de 149.6 (106) km. Sugerencia: use la 
ecuación 13-1 para representar la fuerza de gravedad que 
actúa en la Tierra.
•13-53. La masa del auto deportivo es de 1700 kg y viaja 
horizontalmente a lo largo de una pista inclinada 20° la 
cual es circular y tiene un radio de curvatura � � 100 m. 
Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la 
pista es �s � 0.2, determine la rapidez máxima constante a 
la cual puede viajar el automóvil sin que se deslice cuesta 
arriba. Ignore el tamaño del auto. 
13-54. Con los datos del problema 13-53, determine la 
rapidez mínima a que el automóvil puede circular alrede-
dor de la pista sin que se deslice cuesta abajo. 
� 20�u
Probs. 13-53/54
13-55. El dispositivo mostrado se utiliza para recrear la 
experiencia de ingravidez en un pasajero cuando llega al 
punto A, � � 90°, a lo largo de la trayectoria. Si la masa del 
pasajero es de 75 kg, determine la rapidez mínima que 
deberá alcanzar cuando llegue a A de modo que no ejerza 
una reacción normal en el asiento. La silla está conecta-
da con un pasador al brazo BC de modo que siempre esté 
sentado en posición recta. Durante el movimiento su rapi-
dez se mantiene constante. 
*13-56. Un hombre de 75 kg de masa se sienta en lasilla conectada por medio de un pasador al brazo BC. Si 
el hombre siempre está sentado en posición recta, deter-
mine las reacciones horizontal y vertical de la silla en el 
hombre en el instante � � 45°. En este instante su rapidez 
es de 6 m>s, la cual se incrementa a 0.5 m>s2. 
B
A
C
u
10 m
Probs. 13-55/56
PROBLEMAS
Gerardo
Resaltar
Gerardo
Resaltar
717Problemas12.49 Una piloto de 54 kg vuela un jet de entrenamiento en una media
vuelta vertical de 1.200 m de radio de manera que la velocidad del jet dismi-
nuye a razón constante. Si se sabe que los pesos aparentes de la piloto en los
puntos A y C son respectivamente de 1.680 N y 350 N, determine la fuerza que
ejerce sobre ella el asiento del jet cuando éste se encuentra en el punto B.
12.50 Un bloque B de 250 g se encuentra dentro de una pequeña ca-
vidad cortada en el brazo OA, que gira en el plano vertical a razón constante
de tal modo que v � 3 m/s. Si se sabe que el resorte ejerce una fuerza de mag-
nitud P � 1.5 N sobre el bloque B, y sin tomar en cuenta la fuer-
za de fricción, determine el intervalo de valores de 
 para los cuales el bloque
B está en contacto con la cara de la cavidad más cercana al eje de rotación O.
Figura P12.49
A
B
C
1.200 m
A
B
O
v
q
900 mm
Figura P12.50
12.51 Una curva en una pista de carreras tiene un radio de 1000 ft y
una rapidez máxima de 120 mi/h. (Vea en el problema resuelto 12.6 la defi-
nición de velocidad máxima.) Si se sabe que un automóvil de carreras co-
mienza a derrapar sobre la curva cuando viaja a una rapidez de 180 mi/h, de-
termine a) el ángulo 
 del peralte, b) el coeficiente de fricción estática entre
las llantas y la pista bajo las condiciones prevalecientes, c) la rapidez mínima
a la cual el mismo automóvil podría pasar la curva sin dificultades.
Figura P12.51
θ
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Gerardo
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13
F13-7. El bloque descansa a una distancia de 2 m del cen-
tro de la plataforma. Si el coeficiente de fricción estática 
entre el bloque y la plataforma es �s � 0.3, determine la 
velocidad máxima que el bloque puede alcanzar antes de 
que comience a deslizarse. Suponga que el movimiento 
angular del disco se incrementa lentamente. 
2 m
z
F13-7
F13-8. Determine la rapidez máxima a que el jeep puede 
viajar sobre la cresta de la colina sin que pierda contacto 
con la carretera. 
r � 250 pies
F13-8
F13-9. Un piloto pesa 150 lb y vuela a una rapidez cons-
tante de 120 pies>s. Determine la fuerza normal que ejerce 
en el asiento del avión cuando está en rizo invertido en A. 
El rizo tiene un radio de curvatura de 400 pies. 
A
400 pies
F13-9
F13-10. El auto deportivo se desplaza a lo largo de una 
carretera con una inclinación de 30° y cuyo radio de cur-
vatura es de � � 500 pies. Si el coeficiente de fricción está-
tica entre las llantas y la carretera es �s � 0.2, determine 
la velocidad segura máxima sin que se deslice. Ignore el 
tamaño del automóvil. 
u � 30�
r � 500 pies
F13-10
F13-11. Si la velocidad de la bola de 10 kg es de 3 m>s 
cuando está en la posición A, a lo largo de la trayectoria 
vertical, determine la tensión en la cuerda y el incremento 
en su rapidez en esta posición. 
O
A
2 m
3 m/s
u � 45�
F13-11
F13-12. La masa del motociclista es de 0.5 Mg y su estatu-
ra no se toma en cuenta. Pasa por el punto A a una rapidez 
de 15 m>s, la cual se incrementa a un ritmo constante de 
1.5 m>s2. Determine la fuerza de fricción resultante ejerci-
da por la carretera en las llantas en este instante. 
A
rA � 200 m
F13-12
PROBLEMAS FUNDAMENTALES
 13.5 ECUACIONES DE MOVIMIENTO: COORDENADAS NORMALES Y TANGENCIALES 137
Gerardo
Resaltar
Gerardo
Resaltar
716 Cinética de partículas: segunda 
ley de Newton
12.47 La porción mostrada de una pendiente para tobogán está con-
tenida en un plano vertical. Las secciones AB y CD tienen los radios de cur-
vatura que se indican en la figura, mientras que la sección BC es recta y forma
un ángulo de 20° con la horizontal. Si el coeficiente de fricción cinética en-
tre el trineo y la pendiente es de 0.10 y la rapidez del trineo es de 25 ft/s 
en B, determine la componente tangencial de la aceleración del trineo a) justo
antes de llegar a B, b) justo después de pasar C.
12.46 En el transcurso de una persecución a alta velocidad, un auto-
móvil deportivo de 2.400 lb que viaja a una rapidez de 100 mi/h apenas pierde
contacto con el camino cuando alcanza la cresta A de una colina. a) Deter-
mine el radio de curvatura � del perfil vertical del camino en A. b) Utilizando
el valor de � que se encontró en el inciso a), determine la fuerza que ejerce
el asiento de un conductor de 160 lb que conduce un automóvil de 3.100 lb,
cuando este último, viajando a rapidez constante de 50 mi/h, pasa por A.
Figura P12.46
A
r
Figura P12.47
A
D
60 ft
140 ft
B
C
40 ft
12.48 Una serie de pequeños paquetes, cada uno con una masa de 
0.5 kg, se descarga desde una banda transportadora como se muestra en la fi-
gura. Si el coeficiente de fricción estática entre cada paquete y la banda trans-
portadora es de 0.4, determine a) la fuerza ejercida por la banda sobre el pa-
quete justo después de haber pasado el punto A, b) el ángulo 
 que define al
punto B donde los paquetes se deslizan por primera vez con respecto a la banda.Figura P12.48
250 mm
1 m/s
A
B
θ
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