211885209-Cap-14-Oscilaciones-ejercicios-Resueltos-resnick-Halliday

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• 
OSCILACIONES. 
CAPITULO: 15 . 
PROBLEIIAS 
1.~ Un blQque de ~. O kg estira un resorte 1 6 CM • part i r de su 
posici6n no detor.ada . S. quita el bloque y s e susplnde uv 
cuerpo de 0.50 kg del _i.Mo resorte. Si entonces .e suel t. 
el resorte. ¿eu'l es s u periodo de MoviMiento? 
~: MI * ~ kg. Xl a 0.16 M. m z 0.5 ka. 
Solyci6n: El periodo de Moví.iento de un resort~ 81: 
T*;:211.!f. (1) 
Po~ la ley de Hooke s .b.~o l que: 
-348-
o, 
p"ro (J) 
De Jd~ ec ua c ion e s (2) y (3) obte neao s 
lo:: .. "'1&/ 111 ~ " 11 9.8/0.16 ~ 2"S kg /a 
luego d e la ecua c i 6 n ( 1 ) t ena.os: 
T • 2 J o.s , .. " 0.2"8 seg. 
• 
T ~ 0.2"8 seg. 
2.· Una masa de 2.0 kg . e .us pe nd e d e un re so rte. Un c uerpo de 
300 " . u spendi do a bajo de l a ma sa , e stira e l resorte 2 .0 
Si se quita e l cuer po de 300 g Y 
se pone a o sc ilar l a a asa , encontr a r el pe r iodo del ~ovi 
.j ento. 
Soluc i6n : [.1 periodo es: 
Lo co nst ... nte k •• ob tien e de: 
"...!!.&.-. " ( M • . ), k • • 
• • • 
, 
,,~ 2 . 000 • .80 k 
• "0/3 
Reemplazando valores en (1): 
,j 2000 11 
T :: 2 2000 x 990 ,. l 
T " 0. 73 s eg. 
"0/3 o • 
" 0.73 lIeg. 
.-. _. -.. -.. -. --. r . 
. . , 
L. 
-349-
3.- Un pequeno cuerpo de masa 0.10 kg está ejecu ta ndo ~n ~ovi 
miento arm6nico simple de amplitu d 1.0 m y p~riodo 0.20 seg 
(a) ¿Cuál es el valor máximo de la f uerza que obrat sobre 
él? (h) Si las oscilaciones son producidas m o ~iante un re 
sorte, ¿cuál es la c onstante de fuerza del r es orte? 
Soluci6n: 
. ) 
1 
• f 
m.;;O.lkg. 
... "X "1 m 
.h 
T " 0.2 seg. 
" ? 
K " c te 
f • T " 2lf ff 
, 
98.69 kg/seg 
, 
= (98.69)(lm) kg/seg 
r
máx 98.69N 
, 
h) S i las osci laciones son ~oducidas mediante un r esorte 
r 
r 
. K. dond e k 
K. • kA mh • h 
k r 99.69 A 1 
N 
k " 9B.69 
• 
• o'" 
, 
• 
~.- Un cuerpo oscila con movimiento arm6nico simple d e acuerdo 
con la eeuaci6n 
x " 6.0 cos(3lft ~ ~ )m. 
3 
Calcular (a) la elon ga e i 6n , (b) la velocidad y ( e ) la a eel~ 
raci6n par a el ti e mpo t " 2 seg. Encontrar ta mb i é n (d) l a 
fase, (e) la fr e cu encia v , y (f ) el periodo del movimiento. 
Solución: 
(a) l a ecuación d e la elongación en el movimiento arm6nico 
simple e s: 
x=Acos(oottÓ) (1) 
En el problema para t " 2 seg. tenemos : 
-)50-
ot .. 6 c os ( 3 JI t + ft 1 3) " 5 cos(3ft ot 2 • ft 1 3) " 3111 
lb ) l. velocid oad ser.i ; 
d. • 
• - ~ 
, 
• Jo se n( 3l1 t • 11/3) ~ 
" ~ [" serd611 + . ,,] ~ 
~ g, J3 ... /seg. 
Col 
" 
a c e lerac i ón serA; 
d. d ' 
• • " ~ • 
" 
(3 11 ) C:0 5 (3JI't • 11 13 ) 
" " 
, , 
~ ". . /seg 
( d) Y (e) Ellnaulo de fase 6 y la frecuencia angular w se 
obtie nen identifi c an do tlr.inos en lal ecuaciones (1) y 
( 2 ); de donde; 
6 " 11/3 rad., w " 3 11 rad /s eg . 
(d) El periodo es ; T " 211/ w " 2 'lV311 " 0.1i6 le, . 
Rpt ... : ( .) • ~ l. _ (d) 
e b) • ~ - 9Ilfi./ug. 
Co) 21. 
, 
. /sea • • 
(d) • • ./3 ud 
( e) w "311 rad/.e, 
(E) t z 0 . 66 .&, . 
, 
~ 
" 
• • d 
5.- Una poart1euloa ejecuta un .ovi.iefl~o ar.6nieo l i na.l con res 
pa c to al punto x " O; para t " O tie ne una alongoaeión ot " 
0.37 c . y una .aloeidad caro . Si la freeu aDeia del lIIovi 
. 'anto e. de 0.25/se" datar_i nar (a ) el pe riodo, (b) la 
frecuencia anlular. (e) la a.plitvd. (d) la elo ngación para 
u n ti e.po t (arbitrario). (e) la v-eloeidad para el tie . po 
t (arbit rario), (f) la .eloeidad .1oti.a. (al l. aceleración 
.¡oti.a. (h) la elon,aeión para t " 3.0 saa, e (i) la •• loci 
dad para t " 3.0 seg . 
So lución : f " 0.25 H2 
.) T :: 1 
• 
1 
0. 25 
T .. sel. 
. , 
b) 
" 
dl 
. ) 
fl 
hl 
il 
-351-
" 
, ,. 
T • 
_. 
• • 
• T " 
• r ad /s e g. • • , 
, 
• 
, 
• 
, , eos( wt . , ) . c uando 
• • 
, oo . ., par a , • 
• • 
, , • 
)( ( t ) . , 
e o s (w t) 0 . 37 ( 
, 
" 
• • 
, 
• , 
• • 
, 
d. 
rr • • • ., " . ., 
• • 
., 
" . 
., 
• )sen • • (0.3 7 )( , 
• • - 0 . 58 • ". , 
, 
• • 
, 
.h 
• • 0. 58 ... 
c uand o tie ne f t) '" 
. / , • 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • 
v ~ Aws e n wt 
d v '" a '" Ay 2eos y t 
" 
'" Ay 
, 
• 
• ... • 0 . 37 • ( , 
0.9 1 c~ /s 
, 
• ... • 
J 
Ae os y t 
0 . 37 eos [ ~ ( 3l] 
O 
( O. S8 ) s en ( • , ) , 
- 0. 58 s e n( 3 , , 
0 . 5 9 c _/ s 
) , 
• 
, . O l a e lon g aci 6 n 
O 
0. 3 7 
• , 
• 0. 9 1 
. / , J 
-352-
~ - "o~ pdrticulas ejecutan ~ovi.ientos ar~6nicos simples de la 
~i~m~ amplitud y fre c ~encia lobre la misma linea recta. Se 
cru~an una con la otra cuando eatán moviéndos e en sentido o 
puesto ca da ve~ que ~ elonga c i6n es la mitad de su ampli 
tud. ¿cuAl es la dif~ren cia de fase ent re ellas? 
Soluciono tn la figura se muestra la soluci6n gr~fica del 
proble.a, P y Q son las dos partlculas y se en 
(u entra que la dIferencia de fase es : Soluci6n 
¡,[¡alít i ca s abellos que 11 y W son iguales. 
p 
• O O H 
" 
• 
, 00' w< 
-------
( D 
" 
• 
, 0' ( w! • 
" 
(2) 
pero 
" 
• 
" 
• ,/2 ( dato) 
d. 
" 
ec uaci6n O, obten~mos 
co s wt = 1 /2 , se n wt = JI 
( 2): 
, 
co& wt .,¡-;;;. de la e c ua c i 6 n 
11 / 2 = A(cos li t co s 6 _ s e n wt sen6 ) , d e do nde: 
, 
, 
• , 00' , -
.fi 
"""'2 s e n , . 
O 
Reso l viendo l a e c uac i 6 n d e se gu nd o g ra d o obte nem os: 
Rpta : 
,. - Un bl~que se e ncu e ntr a en una superfi cie hor izo nta l q u e se 
está mo v ien do ho r izon t alme n te co n un mo v imien t o a rm ón i co 
- JSJ-
ar~5n¡co si~~ l e de fr~c uen ci a dos osc i laciones P?I' segundo. 
El coefi c iente de roza. le nto est ~ tico enll'e el bl o que y el 
plano es de 0.50 . 
tud para que el bloque no deslice sobre l a s~perf~ciel 
Dat o s: r ~ .... :.: ose/seg. u 0.5 
Soluci5n: l.a sup e rficie hu~! 
zo ntal s e mueve co n Dovimien 
to armóni c~ ~imple . Como e l 
bloque eltá en equ i librio re s 
pecto a la sueprficie horizo~ 
',--< < ' ' :..:;..;¡ , ....................... 
-, 
tal, la fricción e n tre ista y el blo que ser ti i gual a .L;¡ 
fuerza restauradora. 
r " umg % k x k " (umg)/x 
La frecuencia será: 
f • 
de donde: 
Rpta: A " 3.1 
-, 
11. 10 •. 
8.- Un bloque se encuentra sobre un imbolo q ue se esti Moviend o 
ver t i c alDente con un movimiento arm6nico ~ imple de periodo 
1.0 seg. (a) ¿Para qué amplitud del moví.i e nto se separará n 
el bloque y el émbolo? (b) Si el imbolo tiene una aDplitud 
de 5 . 0 . nI, ¿cuil ser á la frecuencia • .1xi.4 para la cual el 
bloque y el émbolo estarán en contacto continuamente? 
Solución: 
( a) Para uque se cUlllpla dicha condición la fuerza restaUI ·l 
dora debe ser igual al peso del bloque. 
kx : mg _- __ - ____ (l) 
de do nde k " mg/x por otro lado sabemos que el peri o do p •. 
T • 
" 
jf ----------- (2) 
T • , . .g;; mg/x • 2nJf 
T' 
.' • ,. , d , d ond e : • :-4-" , • 0.2S m. 
" '" 
-354-
(b) Cu ~ nd o la a.pl i tud es ~ c m, l a f r ecuen c i a ser~: 
f 
Rpt., : ( . ) 
, 
'" 
• 
)98,0 = 1.'1 osc/se t . 
(b) f = 1.12 osc/seg . 
9. - Un relorte un iform e, c uy a longi t ud al no e s ta r d ef o r ma d o e s 
1, tiene una const a nte de fuer z a k . El re sorte se co r ta en 
do s partes, c u yas l o n~ i tud e s no d e formad as s on 1 1 y 11' 
siend o 11 = n1 2 y n e s u n en te r o. ¿C u¡le s so n l a s co nstar. 
tes de fue r za correspondientes k 1 y k '] e n fu nc iÓn de n y dr 
k7 Verificar el result a do para n = 1 Y n : ~. 
SolyciÓn: 
Si se toman ambo s r esortes como s i e st uvi e s e n oo nectados en 
serie: , 
k 
pero: 1 1 k'1 
k, • 
luego e n (a) 
par a, 
k 
n = 1 
• 
, 
• 
, 
k, k, 
• 
" 
k , 
l,k1 l'1 k '] 
, I 
, 
• , 
, 
k, 
"', 
1 n t 1 
k = ~ 
, 
------
=~ 
" 
r; = • 
(' ) 
-
, 
" 
k • ~ , 
" 
indi c ¡nd o no s qu e el resor te ha sido cortado por la mi to d . 
n = en 
: k(n+l) 
" 
-355-
", • 
, 
", • "o • , I • 
" 
• m 
f 
, , , 
." • • • • , 
" " 
k m 
, . , 
.uestr~ en l~ Fig. 1S-22. La s s uper fi c i e s c ar ec e n de ro za -
lIiento . Si los resor t e. t ie ne n re . pec t iy a ~ .n te co n St ~ n l es 
ciÓn de • e s : 
, 
tI an'logo eléctrico de este si'tella es una conexiÓn de 40. 
capacitore. en paralelo). 
m 
501uci6n: L~ fuerza r necesaria para estirar un re sorte e-
quivalente al ~ostrado en la fl1ura ser': 
r • 
" 
--------
(1) d, don4e: 
r 
• • k 
pero • • 
" 
• 
" 
---- --- DI 
(ver fil. 2) 
r 
, 
r 
" 
- 356-
r 
. ~ 
3 ~L ~m~s que la frecue n cia es: 
f:2~jf 
• 
Rccmplaz~n d o k por su valor obtene mos el resul t ~do . 
11. Los res ortes se fijan a hora a m y a so portes f i j os ~o 
mo se ~up.st r a e n la rig. 15-23. De ~ os trar que la f r ecuen -
cia d, osc ila ción e n e s t e c as o es: 
, ~ , j', . 
.,..-; 111 
(tI anilogo eléctrico de est e 
~istema es und conex i ó n d e dos 
~a pac'tore~ e n serie). 
Solución; 
La cons tante de un resorte estA dada po r: 
k " r , 
m 
; •. ,,"¡.:-; 
, :". , . .' 
... ,- , . 
. ~~- ". :-:,': 
k, 
Las fuerzas necesa rias para comprimir l os resortes 1 y 2 
serin; 
r, " k x , , y r, . 
Para deformarse ambos resortes a la vez deber i aplicarse u-
na fuer:.a. 
Co mo ambos resortes se deforaan igualmente. 
" 
~ 
" 
~ , 
Luego: r 
", 
k 2 lx • 
r , k, , ~ • ~ • • , , 
Lo frecuencia será: 
, Jf ~ , 1, • " f . 
" 
,. 
• 
12. Las frecuencias de vibraci6n de los ~tomos en los s61idoa , 
" a temperaturas normales, son del orden de 10 Iseg, l~ag! 
nese que los ~tomos estuvieran co nectados entre s~ mediante 
resortes. Supóngase que un solo átomo de plata vibra con 
esta fr~~~n"cia y que t o do s los otros ~to.os se encuentran 
-357-
en reposo. Calcular entonces la const ant e de fUArta de un 
solo resorte. Una 1101 de pl~td 
con tiene 6.02 x 1 0 23 átomos. 
tiene un a lIasa de 108 g Y 
" ~! f" lO/ses. 
N 
• Sol%i6n: 
1011 gr 
" 6.01 x 
(peso molecular de la plata) 
2J 10 átomo & ?or m~l 
• 
La frecuencia de vibraci6n de un át o mo de plata será: 
f (1) 
donde m es la masa 
1 
T, 
d. un át o mo de plata: 
m • 
, 
N 
o Ii . O 2 
23 
x 10 Atomos/mol 
Reemplazando en (1) el valor de Ii y despejando k tenelios: 
• 
, 2 
"n f M 
k" H 
o 
" 110 lit/m 
Rpt. : 10: " 710 III t / •. 
13. [1 extrello de una de las r a.as de un di apa s6n que ejec uta 
lIovi.iento armónic o s imp le de frecuencia 1000/ s e g tiene u -
na amplitud d e 0. 40 mm. No tomando en cu enta e l am orti gu~ 
.iento, encontra r (d ) la .¡xi.a dcele r a ción y la IIIAxi .ll a ve 
l oc id ad de la punta de la rama, y ( b ) la velocidad y la a-
celeración de la punt a de la ra ma cua ndo tie ne una elo nga-
ción de 0.20 111111. 
Solución: 
(a) Como la nenergia me c' n i c a t ot a l se conserv a te ndr emos: 
de dond e : 
, 
2' mv 
d, 
po r otro lado s a bemos q ue; 
------ ( 1) 
f " ~ • ./f ------- (2) 
De la s e c ua cio nes (1) y ( 2 ) ob te nem os: 
V : • 2n f J,,2_ x 2 ---- ( l ) . d o nde : 
-358-
v = v • 
• h cuando K = O 
v = '+ 2' fA = t 211(1000)~ x 10 - ~ m~x • 
'+ d 11 m/seg.; 
Ld a c eleraci6n se rj : 
• • 
d. 
" 
d. 
d, 
d, 
-- .. 
d' 
- -- (Ij) 
2 2 
lb) Cuando x = 0.2 
= ~ 1600 w m/ seg 
-2 
mm. = 2 x 10 m, de las ecuacio nes 
.Rpt.a: (. ) VIII~X = t 0.8 "m/seg . 
2 
III/Ies 
, 
• • • 1 .600 • • h 
(b) • • • 
0.5611 • .. /." , 
, 
mIse, 
, 
• • • BOO • 
111. Un relorte de constante de fuer~a 19.6 nt/ m s e en cuentra 
suspe ndid o verticalmente. De su extremo libre se suspende 
un c uerpo de 0.20 kg de .asa y se suelta. Sup6 ngllse que el 
r esorte estaba sin esti r ar ant .. s de q ue .. 1 c ue r po SI SOlta-
ra. y encuént rese qu é ca nt idad ba j ar¡ e l cu e rpo a pa rti r de 
la poaici6n inicial. Ha l l a r tamb i é n l a frec u e nc ia y a.pli-
tud del movi.i e nco ar.6nico ai. p le r es u lt a n t e. 
Solvci6n: 
Como e l s istem a es co n s e -
vat iv o la ene r gla mec l ni ca 
total ae cons er v a r!. luego: 
1 2 
'2 kx " .g x (1) 
La am p l itud ser¡: 
~ - c2,--,x,-,!0-¡"C,y,,-!,"",8C 
x ~ k - 19.6 
la frecuencia es: 
• 0.2 111. 
• 
-359-
r • )1 9.6 " O. , 1., e.g.s 
• 
Rpta: 
.. " 0.2 1ft. f " 1.6 C. g., 
15. Un bloque de 35 . 6 nt estA suspendido d e un resorte que tie-
ne una constante de fU OI I'l:.1I de 526 nt/m Se ~i,para co n tra 
el bl oque , desde abajo, una b ala q ue pesa O. ~ ~5 nt con una 
velocidad de 1 52 mlseg, la cua l queda ahogada en e l bloque. 
(a) Encontrar la amplitud del movimiento arm6nie o s imple r~ 
!! \J lt"ot •. (b) ¿Qué fra cci6 n d, la e neril . cinética or igi -
nal d , la bala queda alma c enada en e l oscilador arm6 ni co? \ 
¿Se pierde energía en este pr oc eso? Explique su res puesta. 
So luci6n: 
K " 526 N/ .. 
P " 35.6N 
Pa " O.ijij5 N 
v 1 52 mIs 
a) Cantidad de lIovílllento 
an te s del c hoque 
IlISV B • • 
, 
• ., ' . • • , , , 
" 
• lIasa d. lo bala 
• • lIIasa d.1 bl oque 
• 
, . 
• • 
" 
• v e locidad d. lo b a la 
• 
o IV 
Ca ri~\da d d , mov i miento des -
,pués del choque-
------
O, 
inici a l 
Y
s 
~ v.loc idad de l bloqu e inicia l 
" . 
• 
.. 
de h b , l a fin al 
de l b loq ue fin a l 
Y, '" O ( repas o) 
Co~o des pu é s - el i ~ pa cto l a bala q u ed a in c res t .d a en e l b I o 
que : y ' ~ v' , , 
e n (t); ma Ya = Y'(m S t m3 ' 
do n d e v' es t Olla d o j u sto el, la pos i c i 6 n d e e qu i l i b r i o l u e go 
" . 
-360-
" 
-eVe 8 
., 
" , , 
., • m 
" 
, 
" 
• , 
-'-
• 
, 
m" 
Taltlbién: 
donde w 
• , , , 
w 
donde: 
• • 
(0.~IIS)( lS 2) 
0 .1I~5 t 3S.6 
1 . 9 mIs. 
• 
, <-
mh 
, j~T 
• hT : v jP!/a 
'T " • 
, 
bloq . 
, 
, , (1. 9) j 0.~1I5 9.' 
, , 0.16 • 
.fj 
,k 
• 35.6 
• 52 • 
• , 
" 
, 0.15e 
b) ~a fracci6n de enera!a ci n~t ica: f[k 
, 
4k del oscilador 
• 
, 
t: k de la bala 
1/2 kx 2 donde: x ~ a mplitud: A 
• 
, 
1 , 
'2 II V k : con3tante d e l resor te 
reempla~ando valores: 
" (526)(0.16)2 
0.1I ~ 5 x ( 1 52)2 
9 . , 
f t: k o r i gi na l ~ 1 .2 \ 
:: 0.0 1 2e 
16. Po r lo que se r e fiere a l a s o s cilac i o n es v er tical e s puede 
considerarse que un a utoll6vi l está mo n ta do sobr e un rc ~~r r~ 
Los muelles de un ci e r to au t o se aj us tan de t a l manera que 
las vibraciones t ienen u na f recue ncia 3 por seg undo. ¿C uá l 
es la constante de fuerza del re sorte s i el auto pe3a 3200 
lb ? ¿Cuá l será la frecuen ci a de vibr a ci6n cuando viajan en 
) b ? 
I'lHO S r 
:ijQlyci6 r)! 
- 36 1-
J c , p. s .• 
(~l La [ ,'ecllencia » e e"pl'e ~ a p~ :' ),l <),.:u;,<;\ón 
f 
, k d, dono e k 
, , 
, f , 
" 
r 
" 
, >. , 
• 
IOU.J/..t ' f J c . p. s ' , , J , 200 j to , auto 
Sglución; 
( a) LilI frecuenc i ill 5" ex p r esa por 1 .. e <: u"cl ó " : 
k ' 
, . 
10 T t 
, 
3 , 200/32 ~ 3 , 60 ;;) ~ l b/ p1g. 
w, o', 
(b) Cuando v a n en el auto 5 p d s aj ero»o cad~ un o co n un pes o 
medi o de 1 60 lb , la ma s a tot a l que sobra e l res ort e ~e · 
rá ; 
• M 3 , 200 5 ( 1 6 0 ) 
'" 
, , slug , 32 
,. frecull ncia se1".1 : 
1 f , 
'" 
Rpt 11 : 
,Á, !... } . 6 0 0 x , , 
2 1 25 
(a) k " 3,600 n" lb/plg. i(b) f " 2.61 c.p.s. I 
2. 61 C • p. s 
11. La esca la de una balan:r;a de 1"esorte t ie ne lo pl g. Y se le e 
deOa32 lb. Se encuent1"ilI que un paquete colgado de la ba 
la nza oscila vertic a lme nte con una fre c uen c ia de 2 oscila· 
ci ones po r segundo, ¿Cuánto pesa el p" quete? 
.IIll9..<' r 32 lb ( fuerza máxima) 
" 
, 
" 
pl, (elongaoci6n lI¡¡xima) 
f , , e . p. s . 
So l .;" ..é.ll: El pes o 
11 " mg 
Ld f recue ncia es: 
f " -.!. , , 
d,' paquete e s: 
, 
. , 2T 4 ~ f 
-36 2-
Lu e go: W ~ 111& " kg / (~,ff2l 
o btenellloa la const~n t e del re sor te 
(2) 
k ~ r/x ; 32/(~/12l lb/pie. 
M ee~pl~~ando valores en (2) obte ne.os: 
w = 32 x 1 2 x 32 19 ~ lb 2 1 2. 9 
.. X 11 X 2 
• 
18. Partiendo d. la te. 15 - 17 para la co nse rva ci6n de la ene r gia , 
(con 1/2 kA t t) obtener la elongaciOn en funció n de l tie. 
po .ediante inteer. ci 6n d e l~ te. 15 - 18. Co~p.ra r con la 
t c. 15-18 . / 
Sohci6 0 : 
Sab eaos que 
de donde ~ 
1 111., 2 t 1 10, 2 2 , , 
• • - - - - (1) 
pode.os tOlllar v con si g no positivo o neJativo. La ecuaci ó n 
(I) se con"ie" t c en: 
y sabhnd o que 
o lo q"e es l o lIi. ao: 
JI " A co .( wt + 6) 
19. Cu ando 1. elo na.ción e. la .itad d e le .~pljtud . ¿q ua frac-
ció n de t~ eoerat. t otal ee cin¡tica y qu' f re ce ión e. po -
tencial en el ao_t.tento ar.6nt co sj.ple7 ¿ P ~re qui elonga-
ción la e n e rat •••• ttad cintt ica y .i t .d potencia17 
Sglyci6o: (a) La fracción de energta cin 'tica e.: 
do nd e: 
, 
t 
• 
- )6)-
1 , 
1"1 ,' ~ , x·' ) 
par" ; x = Al ? • 
r. kA 2 ¡2 
ReemplaZIIL\do \/"loros en ( 1 ) o bt"n c mos: 
, 31<,, 216 J J , 
"/ 5\ e _,-__ • Ju ego K • E K . do E. r kA n 
, 
" 
L. e nel'g!1I pot"f'nci al se rá : 
K , 
" 
• r - -- ---- ( ') 
u = E - ~ : ~ _ JE/4 = [ / 4 6 U = 2 5\ de L. 
(b) Sabeoo:; q u e : 
U ,. 
, 
(J) , 
E , , kx 2 ) ( , ) U • • , , , 
I gu alan d o las ec uac iones (3) y (4 ) obt e nemos: 
, 
k. 
, 
kA' AJ2 ,- • d. do nd e: • • ..,---• 
Kpt " : (. ) , • , 5\ U • 15' E 
(b) • • " V2/2 
20 . (al Oemostrar que en un m o Yi~i. nt o a rm 6 n ico s i~ p le l •• ne r-
gla potenc ial m.dia es i g ual. l a ene r g!a ciné t ica media 
cuando el promedio .e t o ma co n respec t o al tiempo pa ra un 
periad, del movimi ent o , y q ue c ada promedio es ig ual a 
] 
1/4 kA (v6as e la f i g . 15 - 9a) . (b) De mostrar q ue cu.nd o .1 
promedio se to~a co n r es pe cto 1 la pos i c i 6n en e l trans c ur -
so ce un ciclo, la e nergia potencial Media es igual 11 
1/6 kA 2 Y que la e nerg!a cinitica media .5 igual a 1/310,,2 
(véase 1. fig. 15-9b). ( e) Explicar flsica me nte por qui 
so n diferentes los dos resultados anteriores (a y b). 
l .• ' 
., 
• 
, 
, 
t 
o 
~1.1!S..lkn : 
" 
, 
, 
, 
, 
-)64-
--,..,- ~ 
, , 
, 
-,.--
, ' 
Kt U ,. K~ - 1/2 kA2 ., E 
' , , 
" 
, 
, , 
, 
, 
, , 
'. L' 
, 
T/2 
, 
" , 
• , 
, 
, 
, 
t , 
\~ 
\ ~}> 
¡\+& 
\ 
" 
-. 
I , 
",,' 
• 
u • U"'" wt 
" 
• JI: ,. Km,1x 
, 
, , 
"'" 
w' 
, . 
, , 
, 
, 
, 
, 
K m.1x " U m1x _1/ 2 kA • E ~I 
", / 
• 
\ / 
~ , f i ,i"> \ 
;-,* / \ ~"" / 
x 
o 
(a) Cuand 'J el prollledio se toma con respecto al tiempo e n el 
trans~urso de un periodo del mo v i_ient o , ~e pide demos-
tr ar. 
u ~ K :! kA 2 donde : 
. . ~ . 
u'" . 5 .1 valor medio de U, y Km es el valor lIIe-
dio de le 
p.,,. Jflfinici6n e l ... alor medio eS : 
" 
U •• 
, 
coo wt, • U 
.h 
[, . 
pero 
'" , 1....!!.!. ] 
-]65-
u 
• 
1 r ~ [, 
" T t IIIAx 
O 
" ~~('] .. - " :;"" : ... . ) , ., 
U. 
Por otro l¡¡do: 
pero K • 
mU 
; .!. kA'] , 
, 
'" 
, 
m 
.---- tl) 
de las ecuaciones (1) y ( 2 ) ohlene~os: 
U ;.!. k A l 
m , 
1" 
lb) Cuando ., promedio ,. t o .. a 10m ,:, ~<;ree to 
~ toda 00 " ¡ " 1 ,~ , .. pide demo!>' o _ _ 
U 1 kA :< 1 kA 2 , ., 
• 6 ID 
1 f A 
A 
U ~ , .21 !. ~ " . - , 
m , - (-A ) Ud x ? A A 2 o y. 
- A 
~ _ A J A K d X lIA 1 , , ~ m, ! ~ o 
• 
, 
-
']A 1\ '] 
-A 
• ~ ! },; (A2 - . ' ) 
2!).: 1 ~ " ' IC.' ) "j , ., • -• I 
• 
• 
,. po,iei6!1 
( e ) Los r e su lt a d o s de ( a ~ j ¡ le r e ntes p Ol' que ,, 110 
e s el ea~ r bo de e n e r ei n ~." uAid a J ~ e ti e.po y el o t r o e s 
e l camb i o de e n e r e I ~ ~~.' un l d~~ de l o n e i tu d . 
-366-
21. (~) De mo~trar que l a . r e laci on es generalea para al periodo 
y la frecuencia de cUalq u iar movi mi ento arm &n ico si~pl. son: 
T = 211 V 
~ 
• 
• 
y 
• 
v • 
(b) Demostrar que l a . r e l a ci on.s , a n e r a las para el periodo 
y la frecuencia d. un lII ov i .i e nto a r món i co angular simple 
c u~lqui e r~ s o n: 
T • 2~ rf y v • 
$01ucI6n: 
(a) El periodo en un .ovl. i a nto ar.ónico ai.ple es: 
Sabem o s también que: , 
x~Aco s (wt"'6) (2) 
d 2 x 2 
•• --,-" - AII COII (wt ... 6 ) 
" 
(3) 
d e las ecua c ion e s (2) y (3) obtene~o.: 
- a' .... 1uelo 101 -v--;;; 
T" 2f1Jr. y 
(b) Proce diendo en t orna anl1o l ~ qu e e n (a) y sabiendo que 
Q z Q . .... coa ( wt ... 6 j ¡ 
• • 
" 
Dbtenalllos: T ,. 211¡-:-r 
23. Un pindulo si .pl a da 1.00 111 d e lo ngi tud ha c e 100 oscilacio 
Da s completas en 204 seg e n cierto lugar. ¿C uAl 
lo r de la ~celeraci6n de la gravedad en es e punto? 
Solución: 
es el va 
Encontrar e mo . el per iodo de un péndulo simple , l a co.po n e~ 
te tangencial es la f uerza re s tauradora que obra sob r e m y 
-)67-
que tiende a regresarla a 
.u posiciÓn de equlibrio. 
Su valor es: 
r~-lIIgsenQ ----- (t) 
la ~longaci6n según el 
arco es x : LQ y para in-
gulos pequenos es casi Uf' 
~ovimiento rectilíneo. 
~oniendo que sen Q T 9 
So 
" , 
, 
" , . 
, , 
.' ..t' .. ...... 
" <e 
r ~ - mg Q : - !1 x = _ kx ( c dr'act erl s ticd del lIIo vimient o 
L 
armónico simple). 
El perlodo es: 
! = 2l! ~= 
Despej3ndo 
" 
g r3vedad, 
,,_ 2 L , , 
.1 , • 120"1100) , 
Rpta: 
-~-- - (2) 
... lo ec uacion (1) obtenemos: 
• 9."9 .. /lI eg 
, 
9."Q ./ .... , 
, 
• • 
2". ¿Cull es la longitud de un péndulo simple cuyo periodo ea , 
exaCt3m .. nt e de 1 seg en un lugar en d o nde g = 9.8 1 m/se g ? 
Sol !,!%i60: 
S. sa be : , • 
"/. 
" 
9. e 1 • l' 1 . -'-'-,- • 
.' 
" 
, 
1 : 0 . 21.18 m. 
11 s 2 " .8 cm ! 
25. Demostrar que la mixima t e nsiÓn d e la cu erda de un péndulo 
simple, cuando la a mp litud Qm es p e q u e na, es mg(1 t Q! l. 
¿En qué posición del p é ndul o es mlx i ma la ten s i Ón? 
Soluci6n: 
Co ~o "1 ~iste.a es conservatorio 1 , energfa total s e c on se r 
1 .,,' ~ • t mg L(t - cos 9) : _gL(t - c o s 9111 ) 
es decir: 
, , 
2 mL w t meL( t - cos Q) & mg L(t - c o s Qm) 
-)68-
de donde: 
, 
" 
: ~ (cos Q - cos , l 
• 
------ )( 1) 
Aplicando l~ segunda l e y de Newt on: 
2 
g : mw L -------- (2) 
Reempla¡o;~ndo (1) en (2) tendremos: 
T = mg (3 co" g 
LiI posición en 
dT 3 d9"= - m, I:en 
2 cos g ) -------- ---- (3) 
m 
la coal T es máxima se obtiene; 
, 
" 
O , d, dond e 
, O 
• 
,2 
T mgO .. 2 co", 'm l ; pero '0' , " 
1 - (_m_l ... 2 
" l m 
" 
m 
, 
26. (a) ¿Cuál es la f r ec ue ncia d e o n pé nd u l o si mple d e 2.0 m de 
longit od? (b) S up o niend o p eq u e ~ a s a mpli t udes, ¿cu á l s eria 
s u frecu en c ia en 
rriba a ra¡o;6n de 
en c aída libre? 
Soluc i 6n: 
un el e v"'dor q u e 
2 2.0 mls eg ? (e) 
fue ra a c e leran do hacia a 
¿Cuá l sería s u f r ecu e nc i a 
(a) La f re c uencia es : 
.2. j.s 
'" 2 
-1 
= 0. 3 5 s e g 
(b) Cua ndo el elevador a cel e ra ha c i a a r r iba la bo l a del p é~ 
dul o tiene u n pes o aparente (P)y es su co mponent e t a n-
.¡enc i a J la q u e or igina el mov imien t o arm6nico simple . 
- 369-
El p e so apa r ent e será : 
P - IIlg " ma, p = m(8 t a) 
La f uerza re s taur a dora es : 
• 
p , 
" " 
p • r , ". -
, , 
r , . (, • a);.e/L , - k. 
,. f re c uencia s erá: 
1 
2i f ' 
. ) . ) 
- - - - ( 1) 
1 ) 9.8,+ 2 - 1 f = 2i = 0 . 39 s eg 
Cua nd o e l pénd ulo es tA en c a lda libre a = - g . 
P = m(g - g) " O, co mo no hay fu e rza restauradora no existi 
rá en est e caso movimi e nt o armóni co simp l e, y la frecuenc i a 
ser á nula. 
Rpta : (. ) 
(b) 
f " 0 .35 s e g- 1 
- 1 f " ( .39 s e g f = O 
28. ¿Cuál es el periodo de un péndulo formado a r ticulif'\oo un" 
regla de 1 !!Iet ro dO' modo que puede gi ra r librement e alr'ede-
dar de un e j e hori zo ntal que pasa po r su e x tremo? ¿Por un e 
je e n la mñrca 65 cm? ¿Por uno en la ,lIarca 60 cm? 
Soluci6n: 
El momen to restuur~dor 
para una elongación a:~ 
gul a r 9 es (paril áng:.t-
los pequeilo s ). 
, , M,d oo. , , 
- M,' 
, 
" 
donde k , ligd 
, 
"O 
'" 
di sta nci a d. 1. 
articulaci6n .1 cen-;:ro 
" 
masa Sabemos t alllb i"n 
,. 01 problema 21 vj mo fc' 
p 
, 
q ... e : Y , la 
que: 
t 2w J- ~: 2WJ-.i.:.(~~~~. = 2Wjf 
T " 2 J M~d 
-37 0 -
uando la regla estA a rticulada d e s u extremo: 
• ~ 2 l;j~~:j~ k · 1 ,- .-a 
1 . 6~ s eg . 
l n el s e g u ndo c a so: d ~ 0.65 - 0 . 5 ~ O . l~ m. 
El mome n to de ine r c i a resp e c t o a e s ta n ueva a rt ic u l a ci6n se 
~b tiene aplicando el te o r em a de 5 t ei mer. 
x Hd
2 
+ Icrn • HI O . 15 l 2 + HL2 / 1 2 o . l OE- H. 
T 2 n)' 1 ~ 
" gd 
2 /; 0. 1 06 H 
n H x 9. 8 x 0 . 1 5 :. 1. 85seg . 
En el te r c e r c a so: d. 0. 6 - 0. 5·0.1 rn 
.. 
0.0935 H 
,~ obtien e T • 2 , 3 2 seg. 
RpTal IT • 1. 6~ s e g, 1 .85 seg , y 2.32 seg.1 
29 . D"mostrar qu e si se mont a u na regl a u nifo rm e , d e l on g it ud 
1 , de maner a que p ueda girar alre de dor de un e j e ho r i ~ontal 
perp e ndicular a l a r e g l a a un a di stanc ia d del c en t r o de ma 
s a, e l periodo tie n e un valor mínimo c uand o 
d ~ 1/...¡12'. 0. 2891. 
~oluciÓD: 
El mom ento de in e rcia de la r egla respect o a un eje situado 
~ u na distancia d e su centro de ma ,a e s: 
¡:Icm+ Md2 " t Hd 2 • 
Sa bemos que el p e rio do es: 
" , 12 {L 
..¡ 12 Sd 
La condici6n para que T sea un mi nim o es que: 
~:: O 
dd y que: 
> O 
dT 
dd 'H 
el! dee il: 
-3 11 -
d 
• 
l. '1 _ O. d :Lf Jli 
[~12~'~'---,-~,~'~'J < O 1 'g d • 
Al ohte ner d'1T/dd'1 , encontramos que e s una cantidad mayor 
que ~ero , con lo que se demuestra que el ~prlodo es un mIni 
'0. 
Otra manera de d e terminar que es un mI nim o es: 
Pa ra d < [./ 112 dT Idd < O 
d ;> [. / v"'i"2 dr/ad> O 
lo que demuest r a que se produce un .¡ oimo: 
3 1. Un aro c ircular de r a d io ., pie s y peso a lb s se c u elga en 
un clavo horiton t al. Ca) ¿Cull es su frecuencia de osc ila-
c16n para un movimiento d e pequena amplit u d7 (b) ¿Cu'l es 
la l o ngitud d.l péndulo si.pIe equivalent.? 
Soluci6n: (a ) La frecuencia es: 
f : "2 ~ I (1) 
per o 1 • HR 2 
MR 2 3 2MR 1 
1 f < 
'. 
-, 
: 0.47 ,eg 
, 
" 
, 
" 
(b) La l o ngitud del péndulo simple equivale nte se obtiene 
igualando los periodos: 
T • '1 n¡z¡;, y T • ,. JI/Mgd 
donde: , I 
'1HR '1 
d. <-- • 
--¡¡¡¡-Kd • 2R . 
, 
• 
, 
• 
, pies 
Rpt a: , .) f : 0.4" seg- 1 
'b) L 4 pies 
32. Una es fera s61ida d e 2 . 0 kg de ~asa y O.JO ~ de di~metro e! 
ta suspendida de un al ambre. Encontr~r el pe riodo de osei 
'. 
-312 -
laci6n angular para pequ@nos desplazamiento s si el momento 
de rotaci6n que se r equiere para torcer el alambre es de 
-, 6.0 x 10 nt-m/rad i ! n . 
~: 11 ~ :1 kg, D '" 0.3 DI. 
k '" 6.0 x 1 0- 3 n t -m / r a d i$n 
Solud6n: 
[1 ala~br e torcido e jerce sob r e 
l a esf@ra $611da un mo_e nto re s 
taurador. 
,. 
- kO ( 1) 
SabeDlos taDlb i i n qu e : 
,. 1 • • " l-} 
" 
-- (2 ' 
, ¿ 
Luego: 
-
kO • ¡.E....! , • 
,, ' 
" 
, -
• 
M- 2k 
0 - 0.3 
k ( 
" 
1 
Por a ~~ l ogla co n e l mov imi e nto a rm6 n i co si mp le lin eal : 
T :c 2" VIik ---- --- (3) 
per o ¡ :: 2HR 2 /5, 
T • !2~~,~.~(~O~.~'~/'~',-' T = 211 -:- x \5 x 6.0 x 10- 3 
Rpta: 11" 1 0.87 seg.1 
= 1 0.87 seg 
J3. [1 balancl n de un reloj ~·ib ra con una amplitud angular de 
radia n es y un per iodo de 0 . 50 s eg. Enc ontra r (a) la m! 
xillla veloc·1dad angular del balancin. (b) la velocidad IIngu -
lar del bala ncl n cuando su desplaza.iento es de ,,/2 radi a 
nes, y ( e ) la aceleración a ngular del balanc!n cuando su 
de spla zaDll e nt o es de "/~ r adi anes. 
So},ución: 
(al SabeDlos que g • " cos( ~ t • ~) 
• • o 
(1) 
v =~; - g w sen (w" ,1 -- -- - - ( 2 ) dt .. .1x o o 
donde ~ 
o 
de (2): 
" 2n /T ~ 2 "/0 . 5" 12.56 rad /s eg. 
w • 
... x 12 . 56 " 39.~4 rad/seg. 
lb) Cuand o g " 11/2, 
• 
-)71 
,,, 
• 11 COS (w , • 
" 
d, donde ," • 
" "" 
o , 
~: O 
" 
o,. 
'O' • - , 12 . 
" 
• V1/. 
" 
" 
... o 
~ 3~. 1 1 rad/s eg . 
(c) Cuando g Jlj ~ • 9 ~ g (.o~ 1 " t t 6) 
m4x o 
11 / 4 =- 11': 0::;( 10< t + 16 ' ), 
o 
, <;os( "tt6 ) 
o 
,', , cos (w .) =~ ..: - O " 
, 
• 
" 
... o o 
31 rlld/seg 
, 
• -
Rpt. : ,. ) 
" 
- 3 9.4" rad/seg. 
.h 
'b) 
" 
• 3 4 .12 rad/flOlg 
,. ) a 
" 
r ad/se g 
, 
" 
• 
" 
3~. Los electro nes en un o$cl loscop io s o n desv iado por la De 
ci6n de dos camp os eléctrico. mutuame nte perpendiculares d ~ 
mane r ll tal , que en un tie mpo c ualqui era " el de~~ l azam i en­
to estA dad o por 
j( ~ A ~os 10f t . y:: A cos( .. ( t a l. 
(al Describir la trayec toria de 10$ el e ctr one~ y de t ermina r 
s u t!cuaci6n cua ndo Cl =- O°. ( b) cuand o 
d o :: 90° , 
501uc16n: ( a ) c uand o a =- 0° , X 
Y =- A cos (Io< 1 t O) 
A COS \l l 
: ,&"C O $ 10/ 1 
(e) Cuan-
(1) 
(1) 
La ec ua c i6n ~e l a t r ay ectori a se obt i ene e l i mina ndo t d e 
la s ecu a ciones (1 ) Y (2) : 
encon t ra ~ os x ~ y (ecuaci6n d e u na rec ta d e ~5 c de pend i e " -
te) . 
(b) cuand ., Q:: 30c , x :: " cos ( wt ' J) 
y :: A c o, (w t t 30 C ) 
~ "( c a ' wt C05 3 0 - se n wt s.n 30 ) 
y z ,\(J:JCOS wt - sen wt ) /2 
'" ) 
de las " ~ u a c ¡ o n es ( 3) y ( ~ ) y s ab i en d o qu e : 
, 
"y 
se n wt ~ J"'í " x2 ob t enetaos : 
, 
X'j t ~ x ,, 2 ~ O ( ec uaci ó n de u na elipse) 
-3H-
(:':) CUdn!:-!) 290° , It '" A cos wt 
y : A COS (wt ~ 90) '" A sen wt 
la~ cC~dcio nes (5) y (6) obteflemos: 
,O) 
,O) 
d, 
, 
, 
2 , 2 
+ Y '" A (cos wt ~ 2 2 se n wt) : A (ecu,ci6n 
fer e ncí"l, 
• 
de una circun-
~o , si la .'SS de un resorte .5 no es inslgnific,nte pero es p! 
quefla compdrada con la M,sa • del objeto sus pendid o del re-
sor te, el periodo del movi$ient o es T '" 2 J( •• m /J)/k. De-
o 
.ost ra r este ¡'esultado. (Sugerencia: 1.., condici6n 111.11« m 
es equiv,lente a la suposic i6n de que el resorte se e.tira 
unifor.e.ente en la direcci6n de . u longitud. ) 
Sol uci6n: EJ period o del sistema serA: 
donde" es la .esa oscila 
t oria efectiva del Silte-
", . 
En cualqui er inst a nte c a -
da elenento de la .as a • 
del bloque tiene i g ual ve 
locidad y por esta ra~6n 
contribu )e total. e n t e a la 
fIIasa Olcilator i , . f ect iv a v 
del sist e.a, no a s l el r esort e porque en este en un ins ta n-
te cualqui era su veloc ida d e n c a da pa r te es d i f er e nte, va -
riando desd e c ero e n la pa r t e supe r ior, hasta un a ve locidad 
v, igual a la q ue t i e ne el bl o q ue e n ese i n st a nt e. 
Encontr.refllos l a co n t r i buc i6 n del reso r t e. l a nasa e f e cti-
va , analitando s u e nergía c i n ét ica. 
pletane nte un i f orme t e ndr e mos: y ' '" cy diferenciand o obte-
v' '" c v , para u n e l e . ento de lo ngi tud dy ' , la ener -
BIa cinética es: 
Sust ituyend o las do s ecuaciones anteriore3 e integrando: 
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1 
, 
l u ego 1" ",as('l ef,, ~'t lV" del sistema .s er i : 
H ~ .. t 
m , 
,-
• 
• 
Re e mpl a ~a n do M e n ( 1 ) o bt e n emu s que el p e rio d o e s: 
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