A_Sem6

Vista previa del material en texto

����������
����������
Semana 6
Aritmética
Anual Virtual ADUNI Aritmética
Si queremos pasar un número a un tanto 
por ciento, se le debe multiplicar por 
100 %, ya que este es 1.
Ejemplos
• 
7
10
7
10
100 70= × =% %
• 
5
4
5
4
100 125= × =% %
• 
3
8
3
8
100 37 5= × =% , %
• 2 = 2×100 % = 200 %
Observación
• Las palabras de, del y de los nos 
indican en forma práctica una 
multiplicación.
• Las palabras es, son y será nos indica-
rán en forma práctica la igualdad.
• El m por n de A equivale a decir 
m
n
A× .
 
¡Tenga en cuenta que...!
semana
06
Regla de tanto por ciento I
DEFINICIÓN DEL TANTO POR CIENTO
Es un procedimiento aritmético que consiste en dividir una can-
tidad cualquiera en cien partes iguales y considerar tantas partes 
como se indiquen.
Gráficamente
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100 ... ...
100 partes iguales
2
100
2 partes iguales <>
a
100
a partes iguales <>
De la gráfica se observa que cada cantidad del cuadro representa 
1
100
 del total, a la cual llamaremos 1 por ciento y la denotaremos 
por 1%.
En general
El a por ciento equivale a decir 
a
a
100
= %
Nota
Los tantos por cientos se pueden expresar mediante fracciones.
Ejemplos
• 10
1
10
% = • 20
1
5
% = • 25
1
4
% =
• 40
2
5
% = • 50
1
2
% = • 60
3
5
% =
• 75
3
4
% = • 80
4
5
% = • 100 % =1
• 33 3
1
3
, %

= • 66 6
2
3
, %

= • 12 5
1
8
, % =
 
Material Didáctico Academia ADUNI
Al momento de calcular los porcentajes, 
el símbolo de % se cancela con un factor 
100.
Ejemplos
• 30 7 0 3 7 21% × = ( )( ) =
• 15 4 00 15 4 60% × = ( )( ) =
• 34 60 00 34 60 2040% × = ( )( ) =
Nota
No es lo mismo variación porcentual que 
variación de la cantidad.
Ejemplo
	 	 	 		inicio	 			final
 250 300
 
 50
• La variación de la cantidad es de 
50 unidades.
• La variación porcentual es
∆% % %= × =
50
250
100 20
 
¡Cuidado!
PORCENTAJE
Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una determinada 
cantidad.
Ejemplo
El 40 % de 320 se calcula
 
40 320 128%
tanto
por ciento
cantidad porcentaje
� �� �� ��� �� � �� ��× =
Operaciones con el tanto por ciento
1. a % N+b % N=(a+b) % N
 Ejemplos
 • 40 % (320)+20 % (320)=60 % (320)=192
 • 34 % A+28 % A=62 % A
 • B+20 % B=120 % B
2. a % N – b % N=(a – b) % N
 Ejemplos
 • 52 % (200) – 12 %(200)=40 % (200)=80
 • 18 % A – 5 % A=13 % A
 • B – 42 % B=58 % B
3. a % del b % del c % de N=a %×b %×c %×N
 Ejemplo
 • 20 % del 75 % de 40=20 %×75 %×40=6
VARIACIÓN PORCENTUAL (D%)
Nos indica en qué tanto por ciento aumenta o disminuye una can-
tidad respecto a su valor inicial.
Esquema
Variación de
la cantidad
Cantidad inicial Cantidad final
∆% %= ×
variación de la cantidad
cantidad inicial
100
Anual Virtual ADUNI Aritmética
Problemas resueltos
1. El 35 % del 70 % de A más el 20 % del 60 % de B 
es igual al 40 % del 80 % de B. ¿Cuál es el 49 % 
de A/B?
 Resolución
 35 %×70 % A+20 %×60 % B=40 %×80 % B
 35 %×70 % A+12 % B=32 % B
 35 %×70 % A=20 % B
 35
7
10
20% %× =A B
 
A
B
=
×
200
35 7
 Luego reemplazamos este valor en lo que nos 
piden.
 49 49
2 00
35 7
% %
A
B
= =
×




 49
2
5
%
A
B
=
2. En una fiesta, el 75 % son varones. Durante 
el transcurso de la fiesta llegan 50 varones y 
150 mujeres, de modo que ahora el nuevo nú-
mero de varones representa el 62,5 % de los 
asistentes. ¿Cuántas personas había inicial-
mente en la fiesta?
 Resolución
 Sea 100a la cantidad total de personas al inicio.
 
Inicio
75a
25a
100a
Final
75a+50
25a+150
100a+200
varones
mujeres
Total
llegan 50 varones
llegan 150 mujeres
 Del dato, al final tenemos
 75a+50=62,5 % (100a+200)
 75a+50=62,5a+125
 12,5a=75
 → a=6
 Por lo tanto, al inicio el total de personas era de 
100a=600.
3. ¿En qué tanto por ciento varía el área de un 
triángulo cuando su base aumenta en un 40 % 
y su altura disminuye en un 10 %?
 Resolución
 Para conocer en cuánto varía el área necesita 
conocer el área al inicio y al final.
 
Inicio Final
10b 9b
Disminuye en 10 % (10b)=b
Aumenta en 40 % (10a)=4a
10a 14a
Asumimos un valor 
convenientemente
 A inicio = =
10 10
2
50
a b
ab
( )
 A final = =
( )( )14 9
2
63
a b
ab
 Comparando la cantidad inicial y final, se ob-
serva que hay una variación del 13ab.
 Luego tenemos
 ∆% % %= × =
13
50
100 26
ab
ab
Academia ADUNI Material Didáctico
Práctica dirigida
1. ¿Qué tanto por ciento del 20% del 80% del 
140% de una cantidad es el 7 por 25 del 40% 
del 10% de la misma cantidad?
A) 5,5% B) 5 83, %

 C) 4,8% D) 5%
2. Miguel le dice a su hermano Ángel: Si tú tu-
vieras el 20% de dinero menos y yo tuviera un 
10% más de lo que tengo, entonces tendrías lo 
mismo que yo. Determine cuánto tiene Miguel 
si la diferencia entre lo que tienen cada uno 
es S/225.
A) S/150 B) S/420 C) S/580 D) S/600
3. ¿En qué tanto por ciento varía la expresión 
A B× si A disminuye en 36% y B aumenta en 
20%?
A) Aumenta en 8%.
B) Aumenta en 6%.
C) Disminuye en 10 %.
D) Disminuye en 4%.
4. Si la base de un triángulo aumenta en 25%, ¿en 
qué tanto por ciento tendrá que disminuir su 
altura para que su área no varíe?
A) 10 % B) 15% C) 18% D) 20 %
5. Un fabricante reduce en 20% el precio de venta 
de los artículos que fabrica con la intensión de 
que aumente en 20% en total de sus ingresos. 
Determine en qué tanto por ciento deben au-
mentar los artículos producidos en la fábrica.
A) 28,4% B) 50 % C) 36% D) 25%
6. En un seminario de Aritmética, de los que se 
inscribieron, el 80% son varones. Si faltan al 
seminario el 30% de las mujeres y solo asisten 
28 mujeres, determine cuántos alumnos asis-
tieron al seminario si ningún varón faltó.
A) 188 B) 220 C) 232 D) 248
Práctica domiciliaria
1. La edad de Mariano es el 40 % de la edad de 
Vladimir; la edad de Gabriel es el 75 % de la 
edad de Vladimir. Si la suma de las edades de 
los tres es de 86 años, halle la edad de Mariano.
A) 14 años B) 16 años C) 26 años D) 20 años
2. Del total de asistentes al teatro, el 40 % son ni-
ños; de estos, el 20 % vienen por primera vez al 
teatro, mientras que de los adultos, el 30 % vie-
ne por primera vez. ¿Qué tanto por ciento de 
los asistentes al teatro vienen por primera vez?
A) 10 % B) 50 %
C) 26 % D) 39 %
3. En el matrimonio de Luis, en un determinado 
momento, todos los varones sacaron a bailar 
a las mujeres, y se quedaron sin bailar el 24 % 
de las mujeres. ¿Qué tanto por ciento aproxi-
madamente son los varones respecto al total 
de asistentes?
A) 56,81% B) 43 18, % 
C) 67,8 % D) 40,75 %
4. Repentinamente, Alicia sale embarazada y su 
peso aumentó en un 20 % al terminar los 9 me-
ses de gestación. ¿Cuánto pesaba inicialmente 
si hoy pesa 90 kg?
A) 50 kg B) 70 kg
C) 75 kg D) 80 kg
5. Normalmente, el precio de un pasaje de Lima 
a Huancayo está S/20, pero por algún día festi-
vo los pasajes suben a S/48. ¿Cuál es la varia-
ción porcentual de los pasajes?
A) 40 % B) 140 %
C) 132 % D) 56 %
Anual Virtual ADUNI Aritmética
01 - B
02 - C
03 - B
04 - C
05 - A
06 - B
07 - A
08 - B
09 - A
10 - B
11 - C
12 - D
6. Al aumentar el precio de la entrada de un cine 
en un 20 %, la asistencia bajó en un 10 %. ¿En 
cuánto varió la recaudación?
A) Disminuye en un 8 %.
B) Aumenta en un 8 %.
C) Disminuye en un 10 %.
D) Aumenta en un 10 %.
E) Aumenta en un 12 %.
7. ¿Cuál es la variación porcentual del volumen 
de una caja si su altura y su ancho aumentan 
en 10 % y 20 %, respectivamente, mientras que 
el largo disminuye en un 30 %?
A) 7,6 % B) 76 %
C) 4,5 % D) 2 %
8. En un aula de la academia Aduni inicialmen-
te había 36 varones y 44 mujeres. Después, 
16 alumnos se retiran, por lo que la cantidad 
de varones disminuyó en 25 %. Halle cuántas 
mujeres deben ingresar para que ahora ellas 
representen el 75 % del total.
A) 28 B) 44
C) 40 D) 32
9. Hugo y Roberto, juntos, tienen S/10 000. Si el 
50 % de lo que tiene Roberto equivale al 75 % 
de lo que tiene Hugo, ¿cuánto tiene Roberto?
A) S/6000 B) S/5000C) S/4500 D) S/3500
10. En una reunión, el 40 % son varones y el resto 
mujeres. Si se retiran el 25 % de los varones y 
el 20 % de las mujeres, ¿qué tanto por ciento 
de los varones que se quedan son las mujeres 
que se fueron?
A) 30 % B) 40 % C) 25 % D) 75 %
11. Al comenzar el cumpleaños de Sybilla, la can-
tidad de mujeres era el 80 % de la cantidad de 
varones. Si luego de 2 horas se retiran el 20 % 
de los varones y llegan 70 mujeres, por lo que 
ahora la cantidad de varones representa el 
40 % del total de personas, ¿cuántas personas 
había al inicio?
A) 420 B) 320 C) 315 D) 240
12. Una bermuda tiene un descuento del 80 % por 
cierre de temporada de verano. ¿Cuánto costa-
ba inicialmente la prenda si ahora cuesta S/40?
A) S/80 B) S/140 C) S/120 D) S/200