S02 s1 - Ejercicios resueltos

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1 Estadística Descriptiva 
 
 
 SEMANA 2 
 
 
Estadística Descriptiva y Probabilidades 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
1. Un equipo de ingenieros de transporte tomó una muestra aleatoria de las velocidades (km/h) 
registradas por 30 vehículos en el trayecto Lima - Chiclayo, con el fin de establecer nuevos 
límites máximos de velocidad para una carretera. Los datos de la muestra son siguientes: 
 
90 99 104 99 119 98 95 112 95 120 
100 96 116 96 114 108 98 118 100 106 
114 100 112 106 100 115 111 105 114 97 
 
 
Construya la tabla de frecuencias para la muestra presentada, indicando los valores de las 
frecuencias absolutas, acumuladas y relativas. También calcule la marca de clase para cada 
intervalo. Use la regla de Sturges para calcular el número de intervalos. 
 
Paso 1: Calcular el número de intervalos k = 1 + 3.322 log (30) = 5.9 k = 6 
Paso 2: Calcular el rango de los datos R = Xmax – Xmin = 120 – 90 = 30 
Paso 3: Calcular la amplitud del intervalo c = R / k = 30 / 6 = 5 
Adicional: Paso 4: Construir los intervalos 
 
• Límite inferior del primer intervalo = Xmin = 90 
• Límite superior del primer intervalo = 90 + 5 = 95 
• Límite inferior del segundo intervalo = 95 
• Establecer el valor de cada frecuencia absoluta para cada intervalo. 
 
90 99 104 99 119 98 95 112 95 120 
100 96 116 96 114 108 98 118 100 106 
114 100 112 106 100 115 111 105 114 97 
 
 
2 Estadística Descriptiva 
 
 
 SEMANA 2 
 
Velocidad (Km/h) N° de vehículos 
(fi) 
Frecuencia relativa 
porcentual (hi%) 
Frecuencia 
acumulada (Fi) 
Frecuencia relativa 
acumulada (Hi) 
[90 ; 95> 1 0.03=3% 1 3% 
[95 ; 100> 9 0.3=30% 10 33% 
[100 ; 105> 5 17% 15 50% 
[105 ; 110> 4 13% 19 63% 
[110 ; 115> 6 20% 25 83% 
[115 ; 120] 5 17% 30 100% 
Total 30 100% 
 
Algunas interpretaciones adicionales: 
f2: 9 vehículos registraron una velocidad entre un valor mínimo de 95 Km/h y menor a 100 Km/h 
h4: la probabilidad que 4 vehículos registren una velocidad entre un valor mínimo de 105 Km/h y 
menor a 110 Km/h es 0.13 
h5%: el 20% de la muestra de vehículos registraron una velocidad entre un valor mínimo de 110 
Km/h y menor a 115 Km/h 
H2: la probabilidad que 4 vehículos registren una velocidad entre un valor mínimo de 90 Km/h y 
menor a 100 Km/h es 0.33 
F3: 15 vehículos de la muestra registraron una velocidad entre un valor mínimo de 90 Km/h y menor 
a 105 Km/h 
 
2. 98 estudiantes han sido admitidos al programa de servicio militar voluntariado de la fuerza 
armada del Perú, el departamento de recursos humanos ha registrado la estatura de los nuevos 
estudiantes y los ha organizado en una tabla de frecuencias que se puede visualizar a continuación. 
Clase X fi hi % Fi Hi % Xi 
Clase 
 
Variable 
(altura) 
Frecuencia 
absoluta 
fi (militar) 
Frecuencia 
relativa h% 
Frecuencia 
Absoluta 
Acumulada 
Fi 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
H % 
 
Marca de 
clase 
1 [1.5 > 4 
2 [1.6 > 35 
3 29 
4 
5 10 
 
Completar el cuadro y realizar el histograma, polígono y Ojiva 
Solución: 
3 Estadística Descriptiva 
 
 
 SEMANA 2 
 
Histograma: recuerde que para construir el histograma en el eje Y se considera los valores de la 
frecuencia absoluta o la frecuencia relativa, mientras que en el eje X se considera los intervalos 
de clase o bien los valores de la marca de clase. 
Las barras del histograma son juntas y se intersecta en el punto donde cada intervalo corresponda 
con su frecuencia absoluta o frecuencia relativa. 
Polígono: para construir el polígono use las marcas de clase que coincide con el punto medio de 
cada barra del histograma, seguidamente una todos los puntos de tal manera que este polígono 
sea cerrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ojiva: para construir la ojiva se considera en el eje Y las frecuencias absolutas acumuladas o las 
frecuencias relativas acumuladas, en eje X se consideras los intervalos de clase o bien las marcas 
de clase. Finalmente, la ojiva resulta de la unión de los segmentos de recta los puntos de 
intersección del límite superior de cada intervalo. 
En el primer intervalo [3.3 3.8> tiene como frecuencia absoluta acumulada un 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: no olvide colocar todo el elemento de un gráfico estadístico 
 
Histograma y Ojiva: Estatura 
40 
30 
20 
10 
0 
35 
29 
20 
4 
10 
1.5-1.6 1.6-1.7 1.7-1.8 1.8-1.9 1.9-2 
 Estatura 
Ojiva: Estatura 
98 
90 
80 
70 
60 
50 
40 
30 
20 
10 
88 
68 
39 
4 
1.5-1.6 1.6-1.7 1.7-1.8 1.8-1.9 1.9-2 
ESTATURA 
Fr
e
cu
en
ci
as
 A
b
so
lu
ta
 
FR
EC
U
EN
C
IA
 A
B
SO
LU
TA
 A
C
U
M
U
LA
D
A
 
4 Estadística Descriptiva 
 
 
 SEMANA 2 
 
3. En aula 401 de la sede Central de la Universidad Tecnológica del Perú hay 40 alumnos 
matriculados en el curso de estadística y probabilidades. El docente del curso tiene el registro de 
notas de la 1era práctica calificada y decide realizar una representación tabular de estas notas que 
se muestran a continuación 
 
5 6 7 8 9 9 10 10 
11 11 12 12 12 13 13 13 
13 14 14 14 14 15 15 15 
16 16 16 16 16 16 16 16 
16 17 17 17 17 17 17 17 
 
Use K=7 para representar los datos en una tabla de frecuencias (K: Número de intervalos) 
• ¿Qué porcentaje de alumnos tuvieron menos de 11 y una nota mayor igual a 11? 
• Interprete 𝑓2, ℎ4, 𝐻3. 𝐹4 
 
Solución: 
 
Para dar respuesta a las preguntas se comienza por construir la tabla de frecuencias. 
Paso Previo: 
1) Método Libre ya que K=7 es dato del problema 
Paso1: R, hallar el rango: → 𝑅 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 
𝑅 = 17 − 5 = 12 
Paso2: K, hallar el número de intervalos de clase: 𝑀 es dato del problema K=7 
Paso3: A, Calcular Amplitud o ancho del intervalo de clase 
𝐶 =
12
7
= 1.7142 → 𝐴 = 2 
Redondeamos a 2 debido a que los datos originales tienen un decimal 
Construcción de la tabla 
5 6 7 8 9 9 10 10 
11 11 12 12 12 13 13 13 
13 14 14 14 14 15 15 15 
16 16 16 16 16 16 16 16 
16 17 17 17 17 17 17 17 
 
Comience el primer intervalo con el menor de los datos originales, esto será el primer límite 
5 Estadística Descriptiva 
 
 
 SEMANA 2 
 
inferior [05, a este valor sume el ancho del intervalo (A=2) y consiga el primer límite superior 
abierto 7>. 
Para el segundo intervalo comience con el límite superior del primer intervalo, pero ahora se 
considera cerrado [7. repita esta secuencia consecutivamente hasta el último intervalo. 
Realice el conteo para cada intervalo: tenga en cuenta que “[“es un intervalo cerrado y “>” es un 
intervalo abierto. 
 
Clase X fi hi % Fi Hi % Xi 
Clase 
 
Variable 
(Notas) 
Frecuencia 
absoluta 
fi (alumno) 
Frecuencia 
relativa h% 
Frecuencia 
Absoluta 
Acumulada 
Fi 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada 
H % 
 
Marca de 
clase 
1 [ 05 07> 2 5.0% 2 5.00% 6 
2 [ 07 09> 2 5.0% 4 10.00% 8 
3 [ 09 11> 4 10.0% 8 20.00% 10 
4 [11 13> 5 12.5% 13 32.50% 12 
5 [13 15> 8 20.0% 21 52.50% 14 
6 [15 17> 12 30.0% 33 82.50% 16 
7 [17 19> 7 17.5% 40 100.00% 18 
 
a) H3: el 20% de los estudiantes tienen una nota menor a 11 12.5%+20%+30%+17.5%=80% 
de los alumnos tienen una nota mayor a 11. 
b) a diferencia de las interpretaciones de nuestra diapositiva (en términos de probabilidades) 
aquí interpretaremos de acuerdo a los porcentajes: 
 
𝑓2: 2 estudiantes de un total de 40 tienen una nota de 7 a menos de 9 en la 1era práctica del curso 
de estadística descriptiva y probabilidades 
ℎ4:
el 12.5% de los estudiantes tienen una nota de 11 a menos de 13 en la 1era práctica del curso 
de estadística descriptiva y probabilidades 
𝐻3 ∶ el 20% de los estudiantes tienen una nota de 05 a menos de 11 en la 1era práctica del curso 
de estadística descriptiva y probabilidades 
𝐹4: 13 estudiantes de un total de 40 tienen una nota de 05 a menos de 13 en la 1era práctica del 
curso de estadística descriptiva y probabilidades