Técnicas de Conteo y Probabilidad

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S05.s1 - Taller DE Ejercicios Tarea EDYP UTP HHBL 2021
Estadística descriptiva y probabilidades (Universidad Tecnológica del Perú)
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S05.s1 – TALLER DE EJERCICIOS_TAREA_EDYP_UTP_HHBL_2021
1. Señala las principales técnicas o estrategias de conteo.
La principales técnicas o estrategias de conteo son las siguientes:
· Principio de Adición
· Princio de mutiplicación
· Diagrama de Arbol
· Análisis combinatorio: Permutación y combinación
2. ¿Qué es una permutación?
Se le llama permutación a cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dato. Un ordenamiento de r de éstos objetos se denomina permutación
r o permutación de n objetos tomados r a la vez. La siguiente fórmula aplica…
· Si existen n elementos diferentes disponibles. (No aplica si algunos elementos
son iguales)
· Se selecciona r de los n elementos
· Los reordenamientos de los mismos elementos se consideran secuencias diferentes
3. ¿qué es una combinación?
La combinacion es una tecnica de conteo que permite calcular el número de arreglos que pueden realizarse con todos o con una parte de los elementos de un solo conjunto, en donde no interesa el orden de los elementos entre sí.
Fórmula:
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4. ¿A qué se llama experimento aleatorio?
Un experimento aleatorio es aquél en el que si lo repetimos con las mismas condiciones iniciales no garantiza los mismos resultados. Así, por ejemplo, al lanzar una moneda no sabemos si saldrá cara o cruz, al lanzar un dado no sabemos qué número aparecerá, la extracción de las bolas de sorteos, loterías, etc. son experiencias que consideramos aleatorias puesto que en ellas no podemos predecir los resultados.
5. ¿A qué se llama espacio muestral?
El espacio muestral es una parte del espacio probabilístico. Como su propio nombre indica, está formado por los elementos de la muestra. Al contrario, el espacio probabilístico engloba todos los elementos. Incluso aunque no salgan recogidos en la muestra. El espacio muestral se denota con la letra griega Ω (Omega). Está compuesto por todos los sucesos elementales y/o compuestos de la muestra y, por tanto, coincide con el suceso seguro. Es decir, aquel suceso que siempre va a ocurrir.
6. ¿Qué es un evento?
Es un resultado particular de un experimento aleatorio. Asimismo, podemos decir que, en términos de conjuntos, un evento es un subconjunto de espacio muestral. Por otro lado, es representado por las primeras letras del alfabeto.
7. ¿Qué es una probabilidad?
La probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que un suceso aleatorio ocurra, esta expresado en una cifra entre una posibilidad total y cero imposibilidades absolutas. Asimismo, se pueden expresar en porcentajes entre el 100% o el 0%.
8. Define:
a. Unión de eventos.
Es una operación donde el resultado este compuesto por todos los elementos no repetidos que dos o mas conjuntos tienen en común y no en común. Por otro lado, esta denotado por A ∪ B.
b. Intersección de eventos.
Es una operación cuya resultante está formada por los sucesos no repetidos y usuales de 2 o más conjuntos. Es decir, está formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Dicho evento A ∩ B se verifica cuando ocurren simultáneamente Ay B.
9. ¿A qué se llaman eventos independientes?
Se llaman eventos independientes cuando no depende de otro evento o
 (
suceso
que 
 
establezca
su 
 
resultado.
Por
 
lo
cual, 
 
teniendo
eventos
 
independientes,
 
un
 
resultado
 
no
 
afecta
 
al
 
segundo
 
resultado
 
del
 
otro
 
evento.
)
a. Determina la probabilidad de obtener un valor de 5.
SOLUCIÓN:
Espacio muestral:	Ω={1,2,3,4,5,6 }
Número de casos totales:	6=¿ n (Ω )=6
· Definiendo el evento:
A: Obtener un valor de 5.
A={5 } A=¿ n ( A )=1
· Calculando la probabilidad:
a . P( A )= n ( A) 	1	0.1667
n(Ω )= 6 =
a. Determina la probabilidad de obtener un valor de 3.
SOLUCIÓN:
Espacio muestral:	Ω={1,2,3,4,5,6 }
Número de casos totales:	6=¿ n (Ω )=6
· Definiendo el evento:
B: Obtener un valor de 3.
B={3 } B=¿ n ( B)=1
· Calculando la probabilidad:
b . P ( B)= n( B) 	1	0.1667
n (Ω)= 6 =
b. Determina la probabilidad de obtener un valor de 6.
SOLUCIÓN:
Espacio muestral:	Ω={1,2,3,4,5,6 }
Número de casos totales:	6=¿ n (Ω )=6
· Definiendo el evento:
C: Obtener un valor de 6.
C={6} C=¿ n (C)=1
· Calculando la probabilidad:
c . P (C )= n (C ) 	1
0.1667
n(Ω )=6 =
c. Determina la probabilidad de obtener un valor par.
SOLUCIÓN:
Espacio muestral:	Ω={1,2,3,4,5,6 }
Número de casos totales:	6=¿ n (Ω )=6
· Definiendo el evento:
D: Obtener un valor par.
D={2,4,6 } D =¿ n ( D )=3
· Calculando la probabilidad:
d . P ( D )= n ( D )	3	0.5
n(Ω) = 6 =
d. Determina la probabilidad de obtener un valor mayor que 3.
SOLUCIÓN:
Espacio muestral:	Ω={1,2,3,4,5,6 }
Número de casos totales:	6=¿ n (Ω )=6
· Definiendo el evento:
E: Obtener un valor mayor que 3.
E={4,5,6} E=¿ n (E )=3
· Calculando la probabilidad:
e . P ( E)= n ( E) 	3	0.5
n( Ω)= 6 =
Sobre la base del problema anterior, supóngase que el ingeniero, el administrador y el contador, tengan la probabilidad de fallar en sus labores sean del 3%, 6% y 8%, respectivamente. (Se cumplen todos los demás enunciados).
Solución según nuevos datos:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tenga éxito?
· Eventos independientes:
Caso: Éxito de un proyecto
· Se definen los siguientes eventos:
A = El ingeniero de software falle en su labor. B = El administrador falle en su labor.
C = El contador falle en su labor. D = El proyecto no tenga éxito.
P ( A )=3 %=0.03=¿ P( Ac )=1−0.03=0.97 P ( B)=6 %=0.06=¿ P( Bc)=1−0.06=0.94 P (C )=8 %=0.08=¿ P (Cc )=1−0.08=0.92
D
Ac
¿
Cc
(¿¿ c )=P ( Ac ∩ Bc ∩Cc)=P ¿
P ¿
Reemplazando:
D
(¿¿ c )=0.97∗0.94∗0.92=0.838856
P ¿
Respuesta: La probabilidad de que el proyecto tenga éxito es de 0.838856
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto no tenga éxito?
Solución:
D
P(¿¿ c )=0.838856
¿
D
( D )=1−P (¿¿ c )
P ¿
Reemplazando:
P ( D )=1−0.838856=0.161144
Respuesta: La probabilidad de que el proyecto no tenga éxito es 0.161144.
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Si las probabilidades son del 20% y 80%, respectivamente, determina la nueva probabilidad.
Solución:
· Sean los eventos:
D = {Viajar a Disney} P = {Encontrar a primo} → P(P) = 0.8
D	∩	P = {Viajar y encontrarse con su primo} → P (D ∩	P) = 0.2
Piden:	P( D )= P (D ∩ P) = 0.2 =0.25
P	P (P )	0.8
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)Respuesta: La probabilidad de que haya viajado a Disney, dado que se encontró con su primo, es 0.25.
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)
Esta vez, la empresa tiene en la misma área: 24 chicas(M) y 16 chicos(H), entre los cuales hay 04 chicas zurdas y 06 chicos zurdos.
Responde los mismos enunciados.
Solución:
· Organización de datos:
	
	Zurdos (Z)
	Diestros (D)
	Tota l
	Chico s (H)
	6
	10
	16
	Chica s (M)
	4
	20
	24
	Total
	10
	30
	40
a) Halle la probabilidad de que sea zurdo sabiendo que es chico.
P( Z∣H )= P(Z∩ H )= 6 / 40
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P( Z∣H )= 3
8
P(H )
16 / 40
b) Halle la probabilidad de que sea chico sabiendo que es zurdo.
P( H∣Z )= P(H ∩Z )= 6 / 40
P( H∣Z )= 3
5
P(Z)
10 / 40
c) Halle la probabilidad de que sea chico o zurdo.
P( H∣Z )=P ( H )+ P (Z )−P(H ∩ Z) P( H∣Z )= 16 + 10 − 6 = 20
40	40
P( H∣Z )= 20
40
40	40
d) ¿Qué sea Chico y sea Zurdo son eventos independientes?
P ( H ∩ Z )=P ( H ) P( Z )
 6 ≠ 16 ( 10 )
40	40 40
Respuesta: No son independientes.
Eventos independientes
Caso: Éxito de un proyecto
Solución:
Se definen los siguientes eventos:
A= El ingeniero de software falle en su labor.B = El administrador falle en su labor. C = El contador falle en su labor
O= El proyecto no tenga é�ito.
P(A) = 2% = 0.02 => P(A') = 1 • 0.02 = 0.98 P(B) : 5% = O.OS => P(B') = 1 • O.OS = 0.95 P(C) = 7% = 0.07 => P(C') = 1 • 0.07 = 0.93
1.P(De) = P(Ae n Be íl ce) = P(Ae).
P(Be).P(Ce)
P(DC) - 0.98 · 0.95 · 0.93 - 0.86583
ILa problbllk11d de que el proyecto tenp éxito es de 0.86583
2. P(D) = 1 - P(D') = 1 - 0.86583 = 0.13417
I L1 problbllld1d de que el proyecto no ten11 éxito es de 0.13417
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11
Sobre la base del problema anterior, supóngase que el ingeniero, el administrador y el
 
contador, tengan la probabilidad de fallar en sus labores sean del 3%, 6% y 8%,
 
respectivamente.
 
(Se
 
cumplen
 
todos
 
los
 
demás
 
enunciados).
)
Si las probabilidades son del 20% y 80%, respectivamente, determina la nueva probabilidad.
Los colaboradores de una empresa en el área de calidad se distribuyen así: son 17 chicas (M) y 13
chicos (H) y también se sabe que hay 3 chicas y 4 chicos zurdos (Z).
a) Halle la probabilidad de que sea zurdo sabiendo que es chico.
b) Halle la probabilidad de que sea chico sabiendo que es zurdo
c) Halle la probabilidad de que sea chico o zurdo.
d) ¿Que sea Chico y sea Zurdo son eventos independientes?
Esta vez, la empresa tiene en la misma área: 24 chicas(M) y 16 chicos(H), entre los cuales hay 04 chicas zurdas y 06 chicos zurdos.
Responde los mismos enunciados.