Traducion Teorema de Peano

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2.2 El teorema de Peano
Teorema 2.2.1. (Peano). Sea E un espacio de Banach de dimensión finita.
 Considere una aplicación continua (como E en esta afirmación tiene dimensión finita, la condición "acotada" presente en el teorema de Picard es redundante). Entonces existe una solución del problema de cauchy correspondiente a f con valores iniciales , definido en el intervalo , donde .
Prueba: Por el teorema de aproximación de Weierstrass, existe una secuencia de polinomios 
 que convergen uniformemente a f. No hay pérdida en suponer que
 : = ≤ M.
De hecho, defina la secuencia de polinomios () como := . donde ( ) es la secuencia de reales dada por si > M, := 1, en caso contrario. A partir de esto, tenemos
 ≤ . ≤ M, ∀ (t, x) ∈ .
Como uniformemente, tenemos que || |f| también de manera uniforme, es decir, M. Entonces el límite uniforme
.
Por consiguiente, de ahora en adelante supondremos sin pérdida que
≤ M, ∀ (t, x) ∈ .
Como cada es es definido en un compacto, es Lipschitz. Así, por El teorema de Picard, existe una solución única del problema de Cauchy
Recordemos que la familia {} es equicontinua y equilibrada, ya que:
,
lo que también implica el equilibrio, porque
Del mismo modo, tenemos por el Teorema de Ascoli-Arzelá que () tiene una subsecuencia uniformemente convergente en un cierto . Para simplificar la notación, llamaremos a simplemente , de . Demostremos que tal es la solución local del problema
De hecho,
La expresión anterior va uniformemente a cero cuando hacemos que tienda a , la primera parcela porque converge uniformemente a y la segunda porque converge uniformemente a y es uniformemente continua. En ambos gráficos, también utilizamos el hecho de que el intervalo de integración es limitado. Por tanto, la secuencia que converge a también converge a que por la unicidad del límite implica que y por consiguiente es la solución de nuestro problema de Cauchy original.