Resolucion 1ºParcial 1C2021

Vista previa del material en texto

ANÁLISIS MATEMÁTICO II (284)
Docente: Verónica García Fronti
Cátedra: María José Bianco
1
RESOLUCIÓN
1º PARCIAL 
TEMA 1
2
EJERCICIO 1
3
a) Dada la siguiente función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 + ln(𝑦2 − 𝑥)
Determinar y graficar el dominio de la función. Indicar y justificar si el conjunto del dominio es un conjunto convexo.
Resolución
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹𝟐: 𝒙 ≥ 𝒚 ∧ 𝒚𝟐 > 𝒙
A
B
En el gráfico la zona de color azul oscuro indica los puntos
pertenecientes al dominio de la función dada.
El conjunto no es un conjunto convexo porque al unir a los
puntos A y B pertenecientes al dominio el segmento
comprendido entre ambos puntos no pertenece al dominio.
EJERCICIO 1
4
b) Dada la siguiente función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = ቐ
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
0 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Analizar su continuidad en el origen. 
1. 𝑓 0,0 = 0 Existe la función en el origen.
2. lim
𝑥,𝑦 →(0,0)
𝑓 𝑥, 𝑦 = lim
𝑥,𝑦 →(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
se presenta una indeterminación. 
Resolución
𝐿1 = lim
𝑥→0
lim
𝑦→0
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
= lim
𝑥→0
1 → 𝐿1 = 1
𝐿2 = lim
𝑦→0
lim
𝑥→0
𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
= lim
𝑦→0
−1 → 𝐿2 = −1
𝐿1 ≠ 𝐿2
Como los límites iterados o sucesivos son 
distintos se puede concluir que NO existe el 
límite doble de la función dada en el origen. 
Como no existe el límite doble en el origen puedo asegurar que la función no es continua en el origen y que 
presenta una DISCONTINUIDAD ESENCIAL
EJERCICIO 2
5
Resolución
a) Calcular el valor MINIMO de la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛( 𝑥1+𝑎 + 𝑦1+𝑏), en el punto 𝑃 = (2,1).
Donde 𝑎= anteúltimo número de su registro 𝑏= último número de su registro.
El valor mínimo de la derivada direccional en el punto (2,1) es el negativo de la norma del vector gradiente evaluado 
en ese punto.
Vector gradiente: ∇𝑓 𝑥, 𝑦 =
(1+𝑎)𝑥𝑎
𝑥1+𝑎+𝑦1+𝑏
;
(1+𝑏)𝑦𝑏
𝑥1+𝑎+𝑦1+𝑏
La norma del vector gradiente es: ∇𝑓 𝑥, 𝑦 =
(1+𝑎)𝑥𝑎
𝑥1+𝑎+𝑦1+𝑏
2
+
(1+𝑏)𝑦𝑏
𝑥1+𝑎+𝑦1+𝑏
2
𝜵𝒇 𝟐, 𝟏 =
(𝟏 + 𝒂)𝟐𝒂
𝟐𝟏+𝒂 + 𝟏𝟏+𝒃
𝟐
+
(𝟏 + 𝒃)𝟏𝒃
𝟐𝟏+𝒂 + 𝟏𝟏+𝒃
𝟐
RTA: El valor mínimo de la derivada direccional es: −
(𝟏+𝒂)𝟐𝒂
𝟐𝟏+𝒂+𝟏𝟏+𝒃
𝟐
+
(𝟏+𝒃)𝟏𝒃
𝟐𝟏+𝒂+𝟏𝟏+𝒃
𝟐
EJERCICIO 2
6
Resolución
b) Dada la siguiente función:𝑓 𝑥, 𝑦 = ቐ
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
0 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Analizar la existencia de la derivada parcial con respecto a x en el origen: 𝑓´𝑥 0,0 . Indicar su significado geométrico.
𝑓´𝑥 0,0 = lim
Δ𝑥→0
𝑓 0 + Δ𝑥, 0 − 𝑓(0,0)
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥→0
Δ𝑥2
Δ𝑥2
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥→0
1
Δ𝑥
La derivada parcial NO existe porque el limite no es finito.
La derivada parcial 𝒇´𝒙 𝟎, 𝟎 indica la pendiente de la recta tangente, en el punto (0,0), a la curva intersección 
entre la superficie z=f(x,y) y el plano y=0.
7
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de producción: 𝑞 = 𝐾𝛼𝐿𝛽 donde K y L representan las cantidades de los dos insumos utilizados
en la producción del bien final.
a) Calcular las Productividades Marginales. ¿Bajo qué condiciones son positivas y decrecientes?
Resolución
Al ser una función de producción: K ≥ 0, 𝐿 ≥ 0
Productividad marginal respecto a K: 𝑞´𝐾 = α𝐾
𝛼−1𝐿𝛽 > 0 Es positiva si 𝛼 > 0
Productividad marginal respecto a L: 𝑞´𝐿 = 𝛽𝐾
𝛼𝐿𝛽−1 > 0 Es positiva si β > 0
Para calcular cuando además de ser positivas son decrecientes se debe analizar cuando las derivadas segundas son
negativas:
Previamente se determinó: 𝛼 > 0 . 𝑞´´𝐾𝐾 = α 𝛼 − 1 𝐾
𝛼−2𝐿𝛽 < 0 si 0 < 𝛼 < 1
Previamente se determinó: β > 0. 𝑞´´𝐿𝐿 = 𝛽 𝛽 − 1 𝐾
𝛼𝐿𝛽−2 < 0 si 0 < 𝛽 < 1
Para que las productividadesmarginales sean positivas y decrecientes:
𝟎 < 𝜶 < 𝟏 y 𝟎 < 𝜷 < 𝟏
8
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de producción: 𝑞 = 𝐾𝛼𝐿𝛽 donde K y L representan las cantidades de los dos insumos utilizados
en la producción del bien final.
b) Determine el grado de Homogeneidad de la Función, utilizando el teorema de Euler. ¿Bajo qué condiciones la función
presenta rendimientos decrecientes a escala?
Resolución
De acuerdo con la tesis del Teorema de Euler:
𝐾 ∗ 𝑞´𝐾 + 𝐿 ∗ 𝑞´𝐿 = 𝑛 ∗ 𝑞 donde n es el grado de homogeneidad de la función.
Las productividades marginales son: 𝑞´𝐾 = α𝐾
𝛼−1𝐿𝛽 𝑞´𝐿 = 𝛽𝐾
𝛼𝐿𝛽−1
Al reemplazar:
𝐾α𝐾𝛼−1𝐿𝛽 + 𝐿𝛽𝐾𝛼𝐿𝛽−1 = 𝛼𝐾𝛼𝐿𝛽 + 𝛽𝐾𝛼𝐿𝛽 = (𝛼 + 𝛽)* 𝐾𝛼𝐿𝛽
𝑛 𝑞
Queda demostrado que la función de producción dada es homogénea de grado: 𝜶 + 𝜷
Si 𝟎 < 𝜶 + 𝜷 < 𝟏 la función presenta rendimientos decrecientes a escala.
9 EJERCICIO 4
Dada la función de producción 𝑞 = 8. 𝑥1
5
2. 𝑥2
3
5 . Donde 𝑥1 y 𝑥2representan las cantidades de los insumos utilizados. Siendo
los precios estos insumos 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 5
a) Hallar la ecuación de la trayectoria de expansión e indicar su significado económico. Graficar esquemáticamente.
Resolución
Cálculo de la trayectoria de expansión: 𝑇𝑆𝑇 Τ𝑥2 𝑥1 =
𝑝1
𝑝2
𝑇𝑆𝑇 ൗ
𝑥2
𝑥1 =
𝑞´𝑥1
𝑞´𝑥2
=
8 ∗
5
2 ∗ 𝑥1
3
2 ∗ 𝑥2
3
5
8 ∗
3
5
∗ 𝑥1
5
2 ∗ 𝑥2
−2
5
→ 𝑇𝑆𝑇 ൗ
𝑥2
𝑥1 =
25𝑥2
6𝑥1
Como 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 5:
La trayectoria de expansión es: 
𝟐𝟓𝒙𝟐
𝟔𝒙𝟏
=
𝟏
𝟓
→ 𝒙𝟐 =
𝟔
𝟏𝟐𝟓
𝒙𝟏
La trayectoria de expansión nos indica todos los puntos en donde se maximiza la producción sujeto a diferentes 
costos.
10
EJERCICIO 4
Dada la función de producción 𝑞 = 8. 𝑥1
5
2. 𝑥2
3
5 . Donde 𝑥1 y 𝑥2representan las cantidades de los insumos utilizados. Siendo
los precios estos insumos 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 5
b) ¿Cuál es el valor de la suma de las elasticidades parciales de producción? Desarrolle los cálculos realizados.
Resolución
Elasticidad de la producción con respecto a 𝑥1:
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
𝑥1
𝑞
∗ 𝑞´𝑥1→
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
𝑥1
8. 𝑥1
5
2. 𝑥2
3
5
∗ 8 ∗
5
2
∗ 𝑥1
3
2 ∗ 𝑥2
3
5 →
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
5
2
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
𝑥2
𝑞
∗ 𝑞´𝑥2→
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
𝑥2
8. 𝑥1
5
2. 𝑥2
3
5
∗ 8 ∗
3
5
∗ 𝑥1
5
2 ∗ 𝑥2
−2
5 →
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
3
5
La suma de las elasticidades es:
𝜠𝒒
𝜠𝒙𝟏
+
𝜠𝒒
𝜠𝒙𝟐
=
𝟓
𝟐
+
𝟑
𝟓
=
𝟑𝟏
𝟏𝟎
11
Dada la siguiente función de utilidad: U(x,y) = 𝑥1/3𝑦
En donde el siguiente sistema de ecuaciones define implícitamente a 𝑦 = 𝑦 𝑡 ; 𝑥 = 𝑥(𝑡). (Considere que se cumplen las condiciones 
de Cauchy- Dini): ቊ
𝑥𝑦 = 𝑡
𝑥𝛼+1 + (𝑦 − 1)2= 𝑡2
Siendo: 𝛼 = 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
a) Graficar las curvas de indiferencia cuando U=1, U=2 y U=3. Determinar si la función de utilidad dada es una función 
normal.
EJERCICIO 5
La función de utilidad dada es una función normal porque:
1. Sus curvas de nivel son decrecientes.
2. No se pueden cortar entre sí.
3. El nivel de la función aumenta en dirección noreste
4. Son funciones convexas al origen
12
Dada la siguiente función de utilidad: U(x,y) = 𝑥1/3𝑦. En donde el siguiente sistema de ecuaciones define implícitamente a 𝑦 = 𝑦 𝑡 ; 𝑥 =
𝑥(𝑡). (Considere que se cumplen las condiciones de Cauchy- Dini):
ቊ
𝑥𝑦 = 𝑡
𝑥𝛼+1 + (𝑦 − 1)2= 𝑡2
Siendo: 𝛼 = 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
b) Calcular la utilidad marginal respecto del tiempo
EJERCICIO 5
La derivada de la Utilidad con respecto al tiempo: 
𝒅𝑼
𝒅𝒕
=
𝝏𝑼
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝑼
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕
Ecuación 1
𝝏𝑼
𝝏𝒙
=
𝟏
𝟑
𝒙−𝟐/𝟑𝒚
𝝏𝑼
𝝏𝒚
= 𝒙𝟏/𝟑
Para calcular 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
; 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
trabajo con el sistema dado:
ቊ
𝑥𝑦 − 𝑡 = 0
𝑥𝛼+1 + (𝑦 − 1)2−𝑡2 = 0
ቊ
𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 − 𝑑𝑡 = 0
𝛼 + 1 𝑥𝛼𝑑𝑥 + 2 𝑦 − 1 𝑑𝑦 − 2𝑡𝑑𝑡 = 0
𝑦 𝑥
𝛼 + 1 𝑥𝛼 2 𝑦 − 1 ⋅
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
2𝑡
Aplicando Cramer resulta:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1 𝑥
2𝑡 2 𝑦 − 1
𝐽
=
2 𝑦 − 1 − 2𝑡𝑥
𝑦2 𝑦 − 1 − 𝑥 𝛼 + 1 𝑥𝛼
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑦 1
𝛼 + 1 𝑥𝛼 2𝑡
𝐽
=
𝑦2𝑡 − 𝛼 + 1 𝑥𝛼
𝑦2 𝑦 − 1 − 𝑥 𝛼 + 1 𝑥𝛼
Reemplazar en la Ecuación 1 todas las derivadas encontradas para determinar la expresión derivada de la utilidad con respecto al tiempo.
RESOLUCIÓN
1º PARCIAL 
TEMA 2
13
EJERCICIO 1
14
a) Dada la siguiente función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 5ln
3𝑥
𝑦
Determinar y graficarel dominio de la función. Indicar y justificar si el conjunto del dominio es un conjunto convexo.
Resolución
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹𝟐:
𝟑𝒙
𝒚
> 𝟎
El conjunto no es un conjunto convexo porque al unir a los
puntos A y B pertenecientes al dominio el segmento
comprendido entre ambos puntos no pertenece al conjunto.
A
B
EJERCICIO 1
15
b) Dada la siguiente función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = ቐ
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
0 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Analizar su continuidad en el origen. 
1. 𝑓 0,0 = 0 Existe la función en el origen.
2. lim
𝑥,𝑦 →(0,0)
𝑓 𝑥, 𝑦 = lim
𝑥,𝑦 →(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
se presenta una indeterminación. 
Resolución
𝐿1 = lim
𝑥→0
lim
𝑦→0
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
= lim
𝑥→0
1 → 𝐿1 = 1
𝐿2 = lim
𝑦→0
lim
𝑥→0
𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
= lim
𝑦→0
−1 → 𝐿2 = −1
𝐿1 ≠ 𝐿2
Como los límites iterados o sucesivos son 
distintos se puede concluir que NO existe el 
límite doble de la función dada en el origen. 
Como no existe el límite doble en el origen puedo asegurar que la función no es continua en el origen y que 
presenta una DISCONTINUIDAD ESENCIAL
EJERCICIO 2
16
Resolución
a) Calcule el valor MAXIMO de la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 7 𝑙𝑛( 𝑥3 + 𝑦1+𝑏), en el punto 𝑃 = (2,3).
Donde 𝑏= último número de su registro.
El valor máximo de la derivada direccional en el punto (2,3) es la norma del vector gradiente evaluado en ese punto.
Vector gradiente: ∇𝑓 𝑥, 𝑦 =
21𝑥2
𝑥3+𝑦1+𝑏
;
7(1+𝑏)𝑦𝑏
𝑥3+𝑦1+𝑏
La norma del vector gradiente es: ∇𝑓 𝑥, 𝑦 =
21𝑥2
𝑥3+𝑦1+𝑏
2
+
7(1+𝑏)𝑦𝑏
𝑥3+𝑦1+𝑏
2
𝜵𝒇 𝟐, 𝟑 =
21 ∗ 22
23 + 31+𝑏
𝟐
+
7(1 + 𝑏)3𝑏
23 + 31+𝑏
𝟐
RTA: El valor máximo de la derivada direccional es: 
21∗22
23+31+𝑏
𝟐
+
7(1+𝑏)3𝑏
23+31+𝑏
𝟐
EJERCICIO 2
17
Resolución
b) Dada la siguiente función:𝑓 𝑥, 𝑦 = ቐ
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
0 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Analizar la existencia de la derivada parcial con respecto a y en el origen: 𝑓´𝑦 0,0 . Indicar su significado geométrico.
𝑓´𝑦 0,0 = lim
Δ𝑦→0
𝑓 0, 0 + Δ𝑦 − 𝑓(0,0)
Δ𝑦
= lim
Δ𝑦→0
−(Δ𝑦)2
(Δ𝑦)2
Δ𝑦
= lim
Δ𝑦→0
−1
Δ𝑦
La derivada parcial en el origen NO existe porque el limite no es finito.
La derivada parcial 𝒇´𝒚 𝟎, 𝟎 indica la pendiente de la recta tangente, en el punto (0,0), a la curva intersección 
entre la superficie z=f(x,y) y el plano x=0.
18
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de producción: 𝑞 = 𝐾𝛼𝐿𝛽 donde K y L representan las cantidades de los dos insumos utilizados
en la producción del bien final.
a) Calcular las Productividades Marginales. ¿Bajo qué condiciones son positivas y decrecientes?
Resolución
Al ser una función de producción: K ≥ 0, 𝐿 ≥ 0
Productividad marginal respecto a K: 𝑞´𝐾 = α𝐾
𝛼−1𝐿𝛽 > 0 Es positiva si 𝛼 > 0
Productividad marginal respecto a L: 𝑞´𝐿 = 𝛽𝐾
𝛼𝐿𝛽−1 > 0 Es positiva si β > 0
Para calcular cuando además de ser positivas son decrecientes se debe analizar cuando las derivadas segundas son
negativas:
Previamente se determinó: 𝛼 > 0 . 𝑞´´𝐾𝐾 = α 𝛼 − 1 𝐾
𝛼−2𝐿𝛽 < 0 si 0 < 𝛼 < 1
Previamente se determinó: β > 0 𝑞´´𝐿𝐿 = 𝛽 𝛽 − 1 𝐾
𝛼𝐿𝛽−2 < 0 si 0 < 𝛽 < 1
Para que las productividadesmarginales sean positivas y decrecientes:
𝟎 < 𝜶 < 𝟏 y 𝟎 < 𝜷 < 𝟏
19
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de producción: 𝑞 = 𝐾𝛼𝐿𝛽 donde K y L representan las cantidades de los dos insumos utilizados
en la producción del bien final.
b) Determine el grado de Homogeneidad de la Función, utilizando la definición de homogeneidad. ¿En qué condiciones la
función presenta rendimientos constantes a escala?
Resolución
Para que sea homogénea la función de producción: 𝑓 𝑡𝐾, 𝑡𝐿 = 𝑡𝑛𝐾𝛼𝐿𝛽
𝑓 𝑡𝐾, 𝑡𝐿 = 𝑡𝐾 𝛼 𝑡𝐿 𝛽 = 𝑡 𝛼+𝛽(𝐾𝛼𝐿𝛽)
Queda demostrado que la función de producción dada es homogénea de grado: 𝜶 + 𝜷
Si 𝜶 + 𝜷 = 𝟏 la función presenta rendimientos constantes a escala.
20 EJERCICIO 4
Dada la función de producción 𝑞 = 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5. Donde 𝑥1 y 𝑥2representan las cantidades de los insumos utilizados y siendo los 
precios de los insumos 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 5.
a) Hallar la ecuación de la trayectoria de expansión e indicar su significado económico. Graficar esquemáticamente.
Resolución
Cálculo de la trayectoria de expansión: 𝑇𝑆𝑇 Τ𝑥2 𝑥1 =
𝑝1
𝑝2
𝑇𝑆𝑇 ൗ
𝑥2
𝑥1 =
𝑞´𝑥1
𝑞´𝑥2
=
8 ∗
1
4 ∗ 𝑥1
−3
4 ∗ 𝑥2
3
5
8 ∗
3
5
∗ 𝑥1
1
4 ∗ 𝑥2
−2
5
→ 𝑇𝑆𝑇 ൗ
𝑥2
𝑥1 =
5𝑥2
12𝑥1
Como 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 5:
La trayectoria de expansión es: 
𝟓𝒙𝟐
𝟏𝟐𝒙𝟏
=
𝟏
𝟓
→ 𝒙𝟐 =
𝟏𝟐
𝟐𝟓
𝒙𝟏
La trayectoria de expansión nos indica todos los puntos en donde se maximiza la producción sujeto a diferentes 
costos.
21
EJERCICIO 4
Dada la función de producción 𝑞 = 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5. Donde 𝑥1 y 𝑥2representan las cantidades de los insumos utilizados y siendo los 
precios de los insumos 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 5.
b) ¿Cuál es el valor de la suma de las elasticidades parciales de producción? Desarrolle los cálculos realizados.
Resolución
Elasticidad de la producción con respecto a 𝑥1:
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
𝑥1
𝑞
∗ 𝑞´𝑥1→
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
𝑥1
8. 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5
∗ 8 ∗
1
4
∗ 𝑥1
−3
4 ∗ 𝑥2
3
5 →
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
1
4
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
𝑥2
𝑞
∗ 𝑞´𝑥2→
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
𝑥2
8. 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5
∗ 8 ∗
3
5
∗ 𝑥1
1
4 ∗ 𝑥2
−2
5 →
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
3
5
La suma de las elasticidades es:
𝜠𝒒
𝜠𝒙𝟏
+
𝜠𝒒
𝜠𝒙𝟐
=
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟓
=
𝟏𝟕
𝟐𝟎
22
Dada la siguiente función de utilidad: U(x,y) = 𝑥1/3𝑦
En donde el siguiente sistema de ecuaciones define implícitamente a 𝑦 = 𝑦 𝑡 ; 𝑥 = 𝑥(𝑡). (Considere que se cumplen las 
condiciones de Cauchy- Dini):
ቊ
𝑥𝑦 = 𝑡
𝑥𝛼+1 + (𝑦 − 1)2= 𝑡2
Siendo: 𝛼 = 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
a) Graficar las curvas de indiferencia cuando U=1, U=2 y U=3. Determinar si la función de utilidad dada es una función 
normal.
EJERCICIO 5
La función de utilidad dada es una función normal porque:
1. Sus curvas de nivel son decrecientes.
2. No se pueden cortar entre sí.
3. El nivel de la función aumenta en dirección noreste
4. Son funciones convexas al origen
23
Dada la siguiente función de utilidad: U(x,y) = 𝑥1/3𝑦. En donde el siguiente sistema de ecuaciones define implícitamente a 𝑦 = 𝑦 𝑡 ; 𝑥 =
𝑥(𝑡). (Considere que se cumplen las condiciones de Cauchy- Dini):
ቊ
𝑥𝑦 = 𝑡
𝑥𝛼+1 + (𝑦 − 1)2= 𝑡2
Siendo: 𝛼 = 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
b) Calcular la utilidad marginal respecto del tiempo
EJERCICIO 5
La derivada de la Utilidad con respecto al tiempo: 
𝒅𝑼
𝒅𝒕
=
𝝏𝑼
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝑼
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕
Ecuación 1
𝝏𝑼
𝝏𝒙
=
𝟏
𝟑
𝒙−𝟐/𝟑𝒚
𝝏𝑼
𝝏𝒚
= 𝒙𝟏/𝟑
Para calcular 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
; 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
trabajo con el sistema dado:
ቊ
𝑥𝑦 − 𝑡 = 0
𝑥𝛼+1 + (𝑦 − 1)2−𝑡2 = 0
ቊ
𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 − 𝑑𝑡 = 0
𝛼 + 1 𝑥𝛼𝑑𝑥 + 2 𝑦 − 1 𝑑𝑦 − 2𝑡𝑑𝑡 = 0
𝑦 𝑥
𝛼 + 1 𝑥𝛼 2 𝑦 − 1 ⋅
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
2𝑡
Aplicando Cramer resulta:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
1 𝑥
2𝑡 2 𝑦 − 1
𝐽
=
2 𝑦 − 1 − 2𝑡𝑥
𝑦2 𝑦 − 1 − 𝑥 𝛼 + 1 𝑥𝛼
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑦 1
𝛼 + 1 𝑥𝛼 2𝑡
𝐽
=
𝑦2𝑡 − 𝛼 + 1 𝑥𝛼
𝑦2 𝑦 − 1 − 𝑥 𝛼 + 1 𝑥𝛼
Reemplazar en la Ecuación 1 todas las derivadas encontradas para determinar la expresión derivada de la utilidad con respecto al tiempo.
RESOLUCIÓN
1º PARCIAL 
TEMA 3
24
EJERCICIO 1
25
a) Dada la siguiente función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑙𝑛
1
𝑥𝑦
Determinar y graficar el dominio de la función. Indicar y justificar si el conjunto del dominio es un conjunto convexo.
Resolución
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹𝟐: 𝒙𝒚 > 𝟎
El conjunto no es un conjunto convexo porque al unir a los
puntos A y B pertenecientes al dominio el segmento
comprendido entre ambos puntos no pertenece al conjunto.
A
B
A
B
EJERCICIO 1
26
b) Dada la siguiente función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = ቐ
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
0 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Analizar su continuidad en el origen. 
1. 𝑓 0,0 = 0 Existe la función en el origen.
2. lim
𝑥,𝑦 →(0,0)
𝑓 𝑥, 𝑦 = lim
𝑥,𝑦 →(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
se presenta una indeterminación.Resolución
𝐿1 = lim
𝑥→0
lim
𝑦→0
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
= lim
𝑥→0
1 → 𝐿1 = 1
𝐿2 = lim
𝑦→0
lim
𝑥→0
𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
= lim
𝑦→0
−1 → 𝐿2 = −1
𝐿1 ≠ 𝐿2
Como los límites iterados o sucesivos son 
distintos se puede concluir que NO existe el 
límite doble de la función dada en el origen. 
Como no existe el límite doble en el origen puedo asegurar que la función no es continua en el origen y que 
presenta una DISCONTINUIDAD ESENCIAL
EJERCICIO 2
27
Resolución
a) Calcular el valor MÁXIMO de la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛( 𝑥1+𝑎 + 𝑦1+𝑏), en el punto 𝑃 = (4,2). 
Donde 𝑎= anteúltimo número de su registro 𝑏= último número de su registro. 
El valor máximo de la derivada direccional en el punto (4,2) es la norma del vector gradiente evaluado en ese punto.
Vector gradiente: ∇𝑓 𝑥, 𝑦 =
(1+𝑎)𝑥𝑎
𝑥1+𝑎+𝑦1+𝑏
;
(1+𝑏)𝑦𝑏
𝑥1+𝑎+𝑦1+𝑏
La norma del vector gradiente es: ∇𝑓 𝑥, 𝑦 =
(1+𝑎)𝑥𝑎
𝑥1+𝑎+𝑦1+𝑏
2
+
(1+𝑏)𝑦𝑏
𝑥1+𝑎+𝑦1+𝑏
2
𝜵𝒇 𝟒, 𝟐 =
(1 + 𝑎)4𝑎
41+𝑎 + 21+𝑏
2
+
(1 + 𝑏)2𝑏
41+𝑎 + 21+𝑏
2
RTA: El valor máximo de la derivada direccional es:
(1+𝑎)4𝑎
41+𝑎+21+𝑏
2
+
(1+𝑏)2𝑏
41+𝑎+21+𝑏
2
EJERCICIO 2
28
Resolución
b) Dada la siguiente función:𝑓 𝑥, 𝑦 = ቐ
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
0 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Analizar la existencia de la derivada parcial con respecto a y en el origen: 𝑓´𝑦 0,0 . Indicar su significado geométrico.
𝑓´𝑦 0,0 = lim
Δ𝑦→0
𝑓 0, 0 + Δ𝑦 − 𝑓(0,0)
Δ𝑦
= lim
Δ𝑦→0
−(Δ𝑦)2
(Δ𝑦)2
Δ𝑦
= lim
Δ𝑦→0
−1
Δ𝑦
La derivada parcial en el origen NO existe porque el limite no es finito.
La derivada parcial 𝒇´𝒚 𝟎, 𝟎 indica la pendiente de la recta tangente, en el punto (0,0), a la curva intersección 
entre la superficie z=f(x,y) y el plano x=0.
29
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de Utilidad: 𝑈 = 𝑥𝛿𝑦𝛾 donde x e y representan las cantidades consumidas de dos bienes. 
a) Calcular las Utilidades Marginales. ¿En qué condiciones son positivas y decrecientes? 
Resolución
Las cantidades consumidas son: 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
Las utilidades marginales son positivas:
𝑈´𝑥 = 𝛿𝑥
𝛿−1𝑦𝛾 > 0 si 𝛿 > 0
𝑈´𝑦 = 𝛾𝑥
𝛿𝑦𝛾−1 > 0 si γ > 0
Las utilidades marginales son decrecientes:
Previamente se determinó: 𝛿 > 0. 𝑈´´𝑥𝑥 = 𝛿 𝛿 − 1 𝑥
𝛿−2𝑦𝛾 < 0 si 0 < 𝛿 < 1
Previamente se determinó: γ > 0 𝑈´´𝑦𝑦 = 𝛾 𝛾 − 1 𝑥
𝛿𝑦𝛾−2 < 0 si 0 < 𝛾 < 1
Por lo tanto, las utilidades marginales son positivas y decrecientes cuando:
0 < 𝛿 < 1 y 0 < 𝛾 < 1
30
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de Utilidad: 𝑈 = 𝑥𝛿𝑦𝛾 donde x e y representan las cantidades consumidas de dos bienes. 
b) Determine el grado de Homogeneidad de la Función, utilizando el teorema de Euler. ¿En qué condiciones la función 
presenta rendimientos crecientes a escala?
Resolución
De acuerdo con la tesis del Teorema de Euler:
𝑥 ∗ 𝑈´𝑥 + 𝑦 ∗ 𝑈´𝑦 = 𝑛 ∗ 𝑈 donde n es el grado de homogeneidad de la función.
Las utilidades marginales son: 𝑈´𝑥 = 𝛿𝑥
𝛿−1𝑦𝛾 𝑈´𝑦= 𝛾𝑥
𝛿𝑦𝛾−1
Al reemplazar:
𝑥 ∗ 𝛿𝑥𝛿−1𝑦𝛾 + 𝑦 ∗ 𝛾𝑥𝛿𝑦𝛾−1 = 𝛿 + 𝛾 ∗ (𝑥𝛿𝑦𝛾)
Queda demostrado que la función de producción dada es homogénea de grado: 𝛿 + 𝛾
Si 𝛿 + 𝛾 > 𝟏 la función presenta rendimientos crecientes a escala.
31 EJERCICIO 4
Dada la función de producción 𝑞 = 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5. Donde 𝑥1 y 𝑥2representan las cantidades de los insumos utilizados y siendo los 
precios de los insumos 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 5.
a) Hallar la ecuación de la trayectoria de expansión e indicar su significado económico. Graficar esquemáticamente.
Resolución
Cálculo de la trayectoria de expansión: 𝑇𝑆𝑇 Τ𝑥2 𝑥1 =
𝑝1
𝑝2
𝑇𝑆𝑇 ൗ
𝑥2
𝑥1 =
𝑞´𝑥1
𝑞´𝑥2
=
8 ∗
1
4 ∗ 𝑥1
−3
4 ∗ 𝑥2
3
5
8 ∗
3
5
∗ 𝑥1
1
4 ∗ 𝑥2
−2
5
→ 𝑇𝑆𝑇 ൗ
𝑥2
𝑥1 =
5𝑥2
12𝑥1
Como 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 5:
La trayectoria de expansión es: 
𝟓𝒙𝟐
𝟏𝟐𝒙𝟏
=
𝟏
𝟓
→ 𝒙𝟐 =
𝟏𝟐
𝟐𝟓
𝒙𝟏
La trayectoria de expansión nos indica todos los puntos en donde se maximiza la producción sujeto a diferentes 
costos.
32
EJERCICIO 4
Dada la función de producción 𝑞 = 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5. Donde 𝑥1 y 𝑥2representan las cantidades de los insumos utilizados y siendo los 
precios de los insumos 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 5.
b) ¿Cuál es el valor de la suma de las elasticidades parciales de producción? Desarrolle los cálculos realizados.
Resolución
Elasticidad de la producción con respecto a 𝑥1:
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
𝑥1
𝑞
∗ 𝑞´𝑥1→
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
𝑥1
8. 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5
∗ 8 ∗
1
4
∗ 𝑥1
−3
4 ∗ 𝑥2
3
5 →
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
1
4
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
𝑥2
𝑞
∗ 𝑞´𝑥2→
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
𝑥2
8. 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5
∗ 8 ∗
3
5
∗ 𝑥1
1
4 ∗ 𝑥2
−2
5 →
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
3
5
La suma de las elasticidades es:
𝜠𝒒
𝜠𝒙𝟏
+
𝜠𝒒
𝜠𝒙𝟐
=
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟓
=
𝟏𝟕
𝟐𝟎
33
Dada la siguiente función compuesta: 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦
Donde el siguiente sistema de ecuaciones define implícitamente a x=x(u,v) y=y(u,v) (Considere que se cumplen las condiciones 
de Cauchy – Dini)
ቊ
𝑥 = 𝑢 + 3𝑢𝑣
𝑦 = 𝑣2 − 3𝑣 + 𝑢𝛼+1𝑣
Siendo 𝛼 = 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
a) Calcular las derivadas parciales: 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
EJERCICIO 5
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 3𝑥2 − 2𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑦 − 2𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 1 + 3𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
= 3𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= 𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= 2𝑣 − 3 + 𝑢𝛼+1
34
Dada la siguiente función compuesta: 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦
Donde el siguiente sistema de ecuaciones define implícitamente a x=x(u,v) y=y(u,v) (Considere que se cumplen las condiciones 
de Cauchy – Dini)
ቊ
𝑥 = 𝑢 + 3𝑢𝑣
𝑦 = 𝑣2 − 3𝑣 + 𝑢𝛼+1𝑣
Siendo 𝛼 = 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
a) Calcular las derivadas parciales: 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
(otra forma de resolverlo)
EJERCICIO 5
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 3𝑥2 − 2𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑦 − 2𝑥
Para calcular
𝜕𝑥
𝜕𝑢
, 
𝜕𝑦
𝜕𝑢
y 
𝜕𝑥
𝜕𝑣
, 
𝜕𝑦
𝜕𝑣
trabajo con el sistema.
1𝑑𝑥 − (1 + 3𝑣)𝑑𝑢 − 3𝑢𝑑𝑣 = 0
1𝑑𝑦 − 𝛼 + 1 𝑢𝛼𝑣𝑑𝑢 + −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1 𝑑𝑣 = 0
1𝑑𝑥 = 1 + 3𝑣 𝑑𝑢 + 3𝑢𝑑𝑣
1𝑑𝑦 = 𝛼 + 1 𝑢𝛼𝑣𝑑𝑢 − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1 𝑑𝑣
1 0
0 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1 + 3𝑣 3𝑢
𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼 − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
𝑑𝑢
𝑑𝑣
35
EJERCICIO 5
1 0
0 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1 + 3𝑣 3𝑢
𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼 − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
𝑑𝑢
𝑑𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
=
1 + 3𝑣 0
𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼 1
1 0
0 1
= 1 + 3𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
=
3𝑢 0
− −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1 1
1 0
0 1
= 3𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
=
1 1 + 3𝑣
0 𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼
1 0
0 1
= 𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼
𝜕𝑦
𝜕𝑣
=
1 3𝑢
0 − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
1 0
0 1
= − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
36
EJERCICIO 5
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 1 + 3𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
= 3𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= 𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
b) Expresar el diferencial primero de 𝑧 = 𝑓(𝑢, 𝑣) de acuerdo con lo obtenido en el punto anterior.
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 3𝑥2 − 2𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑦 − 2𝑥
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝑑𝑢 +
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝑑𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣
Reemplazo en:
Reemplazo en:
RESOLUCIÓN
1º PARCIAL 
TEMA 4
37
EJERCICIO 1
38
a) Dada la siguiente función: 𝑓 𝑥, 𝑦 =
ln(1−𝑥2−𝑦2)
𝑥𝑦
Determinar y graficar el dominio de la función. Indicar y justificar si el conjunto del dominio es un conjunto convexo.
Resolución
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹𝟐: 𝒙𝒚 ≠ 𝟎 ∧ 𝟏 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 > 𝟎
El conjunto del dominio no es un conjunto convexo porque
al unir a los puntos A y B pertenecientes al dominio el
segmento comprendido entre ambos puntos no pertenece al
dominio.
A
B
EJERCICIO 1
39
b) Dada la siguiente función: 𝑓 𝑥, 𝑦 = ቐ
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
0 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Analizar su continuidad en el origen. 
1. 𝑓 0,0 = 0 Existe la función en el origen.
2. lim
𝑥,𝑦 →(0,0)
𝑓 𝑥, 𝑦 = lim
𝑥,𝑦 →(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
se presenta una indeterminación. 
Resolución
𝐿1= lim
𝑥→0
lim
𝑦→0
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
= lim
𝑥→0
1 → 𝐿1 = 1
𝐿2 = lim
𝑦→0
lim
𝑥→0
𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
= lim
𝑦→0
−1 → 𝐿2 = −1
𝐿1 ≠ 𝐿2
Como los límites iterados o sucesivos son 
distintos se puede concluir que NO existe el 
límite doble de la función dada en el origen. 
Como no existe el límite doble en el origen puedo asegurar que la función no es continua en el origen y que 
presenta una DISCONTINUIDAD ESENCIAL
EJERCICIO 2
40
Resolución
a) Calcular el valor MÍNIMO de la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛( 𝑥1+𝑎 + 𝑦5), en el punto 𝑃 = (4,1). 
Donde 𝑎= anteúltimo número de su registro 
El valor mínimo de la derivada direccional en el punto (4,1) es el valor negativo de la norma del vector gradiente 
evaluado en ese punto.
Vector gradiente: ∇𝑓 𝑥, 𝑦 =
(1+𝑎)𝑥𝑎
𝑥1+𝑎+𝑦5
;
5𝑦4
𝑥1+𝑎+𝑦5
La norma del vector gradiente es: ∇𝑓 𝑥, 𝑦 =
(1+𝑎)𝑥𝑎
𝑥1+𝑎+𝑦5
2
+
5𝑦4
𝑥1+𝑎+𝑦5
2
𝜵𝒇 𝟒, 𝟏 =
(1 + 𝑎)4𝑎
41+𝑎 + 15
2
+
5 ∗ 14
41+𝑎 + 15
2
RTA: El valor mínimo de la derivada direccional es:−
(1+𝑎)4𝑎
41+𝑎+15
2
+
5∗14
41+𝑎+15
2
EJERCICIO 2
41
Resolución
b) Dada la siguiente función:𝑓 𝑥, 𝑦 = ቐ
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
0 𝑥, 𝑦 = (0,0)
Analizar la existencia de la derivada parcial con respecto a x en el origen: 𝑓´𝑥 0,0 . Indicar su significado geométrico.
𝑓´𝑥 0,0 = lim
Δ𝑥→0
𝑓 0 + Δ𝑥, 0 − 𝑓(0,0)
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥→0
Δ𝑥2
Δ𝑥2
Δ𝑥
= lim
Δ𝑥→0
1
Δ𝑥
La derivada parcial NO existe porque el limite no es finito.
La derivada parcial 𝒇´𝒙 𝟎, 𝟎 indica la pendiente de la recta tangente, en el punto (0,0), a la curva intersección 
entre la superficie z=f(x,y) y el plano y=0.
42
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de Utilidad: 𝑈 = 𝑥𝛿𝑦𝛾 donde x e y representan las cantidades consumidas de dos bienes. 
a) Calcular las Utilidades Marginales. ¿En qué condiciones son positivas y decrecientes? 
Resolución
Las cantidades consumidas son: 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
Las utilidades marginales son positivas:
𝑈´𝑥 = 𝛿𝑥
𝛿−1𝑦𝛾 > 0 si 𝛿 > 0
𝑈´𝑦 = 𝛾𝑥
𝛿𝑦𝛾−1 > 0 si γ > 0
Las utilidades marginales son decrecientes:
Del punto anterior 𝛿 > 0 𝑈´´𝑥𝑥 = 𝛿 𝛿 − 1 𝑥
𝛿−2𝑦𝛾 < 0 si 0 < 𝛿 < 1
Del punto anterior γ > 0 𝑈´´𝑦𝑦 = 𝛾 𝛾 − 1 𝑥
𝛿𝑦𝛾−2 < 0 si 0 < 𝛾 < 1
Por lo tanto, las utilidades marginales son positivas y decrecientes cuando:
0 < 𝛿 < 1 y 0 < 𝛾 < 1
43
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de Utilidad: 𝑈 = 𝑥𝛿𝑦𝛾 donde x e y representan las cantidades consumidas de dos bienes. 
b) Determine el grado de Homogeneidad de la Función, utilizando la definición de homogeneidad ¿En qué condiciones la
función presenta rendimientos decrecientes a escala?
Resolución
Para que sea homogénea la función de utilidad: 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑛𝑥𝛿𝑦𝛾
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝑥 𝛿 𝑡𝑦 𝛾 = 𝑡 𝛿+𝛾(𝑥𝛿𝑦𝛾)
Queda demostrado que la función de producción dada es homogénea de grado: 𝛄 + 𝜹
Si 𝟎 < 𝛄 + 𝜹 < 𝟏 la función presenta rendimientos decrecientes a escala.
.
44 EJERCICIO 4
Dada la función de producción 𝑞 = 𝑥1
1
2. 𝑥2
3
5 Donde 𝑥1 y 𝑥2representan las cantidades de los insumos utilizados y siendo los 
precios de los insumos 𝑝1 = 8 y 𝑝2 = 5.
a) Hallar la ecuación de la trayectoria de expansión e indicar su significado económico. Graficar esquemáticamente.
Resolución
Cálculo de la trayectoria de expansión: 𝑇𝑆𝑇 Τ𝑥2 𝑥1 =
𝑝1
𝑝2
𝑇𝑆𝑇 ൗ
𝑥2
𝑥1 =
𝑞´𝑥1
𝑞´𝑥2
=
8 ∗
1
2 ∗ 𝑥1
−1
2 ∗ 𝑥2
3
5
8 ∗
3
5
∗ 𝑥1
1
4 ∗ 𝑥2
−2
5
→ 𝑇𝑆𝑇 ൗ
𝑥2
𝑥1 =
5𝑥2
6𝑥1
Como 𝑝1 = 8 y 𝑝2 = 5:
La trayectoria de expansión es: 
𝟓𝒙𝟐
𝟔𝒙𝟏
=
𝟖
𝟓
→ 𝒙𝟐 =
𝟒𝟖
𝟐𝟓
𝒙𝟏
La trayectoria de expansión nos indica todos los puntos en donde se maximiza la producción sujeto a diferentes 
costos.
45
EJERCICIO 4
Dada la función de producción 𝑞 = 𝑥1
1
2. 𝑥2
3
5 y siendo los precios de los insumos 𝑝1 = 8 y 𝑝2 = 5:
b) ¿Cuál es el valor de la suma de las elasticidades parciales de producción? Desarrolle los cálculos realizados.
Resolución
Elasticidad de la producción con respecto a 𝑥1:
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
𝑥1
𝑞
∗ 𝑞´𝑥1→
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
𝑥1
8. 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5
∗ 8 ∗
1
2
∗ 𝑥1
−1
2 ∗ 𝑥2
3
5 →
Ε𝑞
Ε𝑥1
=
1
2
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
𝑥2
𝑞
∗ 𝑞´𝑥2→
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
𝑥2
8. 𝑥1
1
4. 𝑥2
3
5
∗ 8 ∗
3
5
∗ 𝑥1
1
4 ∗ 𝑥2
−2
5 →
Ε𝑞
Ε𝑥2
=
3
5
La suma de las elasticidades es:
𝜠𝒒
𝜠𝒙𝟏
+
𝜠𝒒
𝜠𝒙𝟐
=
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟓
=
𝟏𝟏
𝟏𝟎
46
Dada la siguiente función compuesta: 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦
Donde el siguiente sistema de ecuaciones define implícitamente a x=x(u,v) y=y(u,v) (Considere que se cumplen las condiciones 
de Cauchy – Dini)
ቊ
𝑥 = 𝑢 + 3𝑢𝑣
𝑦 = 𝑣2 − 3𝑣 + 𝑢𝛼+1𝑣
Siendo 𝛼 = 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
a) Calcular las derivadas parciales: 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
EJERCICIO 5
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 3𝑥2 − 2𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑦 − 2𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 1 + 3𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
= 3𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= 𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= 2𝑣 − 3 + 𝑢𝛼+1
47
Dada la siguiente función compuesta: 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦
Donde el siguiente sistema de ecuaciones define implícitamente a x=x(u,v) y=y(u,v) (Considere que se cumplen las condiciones 
de Cauchy – Dini)
ቊ
𝑥 = 𝑢 + 3𝑢𝑣
𝑦 = 𝑣2 − 3𝑣 + 𝑢𝛼+1𝑣
Siendo 𝛼 = 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜
a) Calcular las derivadas parciales: 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
(otra forma de resolverlo)
EJERCICIO 5
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 3𝑥2 − 2𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑦 − 2𝑥
Para calcular
𝜕𝑥
𝜕𝑢
, 
𝜕𝑦
𝜕𝑢
y 
𝜕𝑥
𝜕𝑣
, 
𝜕𝑦
𝜕𝑣
trabajo con el sistema.
1𝑑𝑥 − (1 + 3𝑣)𝑑𝑢 − 3𝑢𝑑𝑣 = 0
1𝑑𝑦 − 𝛼 + 1 𝑢𝛼𝑣𝑑𝑢 + −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1 𝑑𝑣 = 0
1𝑑𝑥 = 1 + 3𝑣 𝑑𝑢 + 3𝑢𝑑𝑣
1𝑑𝑦 = 𝛼 + 1 𝑢𝛼𝑣𝑑𝑢 − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1 𝑑𝑣
1 0
0 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1 + 3𝑣 3𝑢
𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼 − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
𝑑𝑢
𝑑𝑣
48
EJERCICIO 5
1 0
0 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
1 + 3𝑣 3𝑢
𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼 − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
𝑑𝑢
𝑑𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
=
1 + 3𝑣 0
𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼 1
1 0
0 1
= 1 + 3𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
=
3𝑢 0
− −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1 1
1 0
0 1
= 3𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
=
1 1 + 3𝑣
0 𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼
1 0
0 1
= 𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼
𝜕𝑦
𝜕𝑣
=
1 3𝑢
0 − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
1 0
0 1
= − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
49
EJERCICIO 5
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 1 + 3𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
= 3𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= 𝛼 + 1 𝑣𝑢𝛼
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= − −2𝑣 + 3 − 𝑢𝛼+1
b) Expresar el diferencial primero de 𝑧 = 𝑓(𝑢, 𝑣) de acuerdo con lo obtenido en el punto anterior.
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 3𝑥2 − 2𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2𝑦 − 2𝑥
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝑑𝑢 +
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝑑𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣
Reemplazar en:
Reemplazar en: