Geometría - Teoría y Práctica [Fernando Alva Gallegos]

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Geometría
TEORÍA Y PRACTICA
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V/U-A_
SAN MARCOS
AÑO 2003
Hecho el depósito legal, Ley N° 26905.
REG. N° 15013298-1075
Prohibida la reproducción parcial o total de la obra, 
sin la previa autorización escrita del Editor de la misma.
Aníbal Jesús Paredes Galván - Editor
Jr. Natalio Sánchez 220 - Ofic. 304 - Jesús María
Impreso en Perú____________________ Printed in Perú
Composición, diagramación y montaje:
Editorial San Marcos
RUC 10090984344
PROLOGO DEL AUTOR
El hecho de contar con un libro que llegue al lector que necesiíaaprender; al lector que quiere 
profundizar sus conocimientos y al que se interesa por la investigación, fu e lo que me impulsó a 
escribir el presente. Y esta tarea, concluida hoy, me permite poner al alcance de alumnos y colegas 
un trabajo que, en mucho, cumple el objetivo propuesto.
En primer lugar, la teoría se desarrolla de manera sencilla, sin descuidar la rigurosidad 
en la secuencia lógica de Postulados y Teoremas. En este sentido hago primar lo básico sobre lo 
secundario, para que el alumno se dé cuenta por s í solo de lo mínimo que necesita saber para 
enfrentar con éxi lo un problema, desterrando así la idea de que la Geometría consiste en memorizar 
más y más propiedades.
Luego, los problemas resueltos se presentan distribuidos de menor a mayor grado de 
dificultad; hecho que el lector mismo notará. Para ello, en los capítulos iniciales, generalmente, 
se han propuesto hasta tres bloques bien diferenciados. Además, se demuestran muchas 
propiedades, en form a de problemas.
A parte del curso completo de Geometría elemental (Plana y del Espacio), se desarrollan 
otros temas de suma importancia, como los de Máximos y Mínimos, Introducción a la Geometría 
Analítica, Vectores, Isometrías, construcciones con regla y compás. Asimismo se dedica uncapítulo 
a temas selectos, en el cual se muestran las demostraciones de propiedades importantes.
De otro lado, al fina l de algunos capítulos el lector encontrará algunos comentarios 
relacionados con historias, anécdotas y aportes importantes de personajes ilustres.
Al concluir, hallará un conjunto de problemas propuestos y ordenados por capítulos, con 
clave de respuestas. Seguro que el presente libro contribuirá bastante en el aprendizaje y 
preparación de los alumnos, así como, instrumento de desarrollo en clase, de los colegas, me 
despido a la espera de recibir sugerencias para mejorar futuras ediciones, con un gran 
agradecimiento al Sr. Aníbal Paredes Galvcin, por la confianza depositada en mi persona; 
asimismo, a todos aquellos cuyo aporte en el tipeo de textos y gráficos ha sido de suma importancia.
Fernando M. A Iva Gallegos
INTRODUCCION
El denominador común del origen de la Geometría, en cada una de las antiguas 
civilizaciones fue su afán de medir las tierras, su inclinación por las edificaciones descomunales 
y su gran debilidad por la Astrología; con la cual, al tratar de predecir acontecimientos y 
situaciones a través de los astros, condujo inevitablemente hacia el desarrollo vertiginoso de la 
Astronomía, con su repercusión fructífera para su progreso geométrico.
Los griegos erigieron, sobre todo con Euclides, el edificio geométrico racional, reemplazan­
do la observación y la experiencia por las deducciones racionales, partiendo de definiciones, 
axiomas y postulados, por un proceso deductivo.
Para tener una referencia del orden en que fueron apareciendo los sabios que enriquecieron 
el conocimiento geométrico, en la era de la cultura Griega, tenemos :
ThalesdeM ileto(640A.C.): Fundósu uEscuelade 
Matemática y Filosofía ” llamada escuela Jónica. 
Su más importante contribución, es el teorema que 
lleva su nombre:
AB DE 
BC “ EF
Pitágoras (569-500 A .C .): Fue el discípulo más ilustre de la Escuela Jónica, formando 
luego la famosa Escuela Pitagórica, cuyo lema era : uLos números rigen el Mundo”. Su
contribución más importante, es el teorema call­
eado a los triángulos rectángulos :
a2 + b2 = c 2
Aristóteles (384-322 A.C.), tuvo una casi directa contribución en el progreso de la 
Geometría, orientando a los investigadores de la ciencia matemática y facilitando el 
descubrimiento de los errores científicos.
Euclides (330-275 A.C), de quien no se sabe mucho sobre su biografía. La mayor parte de 
su vida la pasó en Alejandría y enseñó en el Museum que ahí se fundó. Es realmente con él, 
que la Geometría alcanza la jerarquía de una verdadera ciencia, reuniendo todos los 
conocimientos conocidos en su obra inmortal: u Los Elementos "
En esta época de oro de la Escuela de Alejandría, aparecieron además Arquímedes y 
Apolonio.
5
La obra que más repercusión ha tenido en el pensamiento científico de todas los tiempos, es 
a no dudarlo, "Los Elementos", Porque lo que él hizo no fue precisamente reunir todo el 
conocimiento geométrico de su época o resumirlo, sino más bien, seleccionar de todo ese mar 
de cuestiones geométricas sólo aquéllas que, de acuerdo a un plan cuidadosamente pre- 
estructurado, formaron un verdadero sistema, justamente con las nuevos aportes que él incorporó 
a esta ciencia.
Gran parte de su contenido proviene sobre todo de los pitagóricos y de Eudoxio; pero la 
abstracción, ese afán de hacer primar el conocimiento puro sobre lo utilitario, por un lado y el 
riguroso método deductivo por otro, fueron influencia de Platón y de Aristóteles, respectivamen­
te, doble influencia que, en la mente diáfana de Euclides, hace de conocimientos antes dispersos 
un perfecto sistema racional.
En "Los Elementos" cuya aparición pertenece al siglo III A. C., Euclides sistematizó todas 
las propiedades geométricas hasta entonces conocidas en forma tan completa y lógica, que los 
tratados de Geometría hasta muchos siglos posteriores, estuvieron todos basados en é l , con 
pequeñas variantes de orden, enunciado y notación; sólo las investigaciones modernas las han 
completado decisivamente.
La geometría que se estudia en la secundaria es ¿a geometría euclidiana, y el concienzudo 
estudio de ella nos dará una visión clara de su desarrollo lógico, de su importancia como modelo 
del desenvolvimiento deductivo, y como base fundamental para el estudio de otras geometrías;
TRASCENDENCIA DE LOS ELEMENTOS: Escrito sólo con el fin de dar un conoci­
miento completo y sintético de la geometría, como base para los que quisieran estudiar la 
Filosofía, ha tenido tanta importancia en el desarrollo cultural de la humanidad, que de él se han 
hecho más de 1500 ediciones, siendo después de la Biblia la obra que mayor difusión ha 
alcanzado.
Entre otros destacados sabios de la época de entonces, podemos mencionar a denón,
Hipócrates de Chíos, Arquitas, Hiplas de Elis, etc.
El Autor
i
6
índice
Prólogo del Autor 7
* Introducción................................................................................................................................8
* Capítulo 1
- Términos Matemáticos..........................................................................................................11
* Capítulo 2
- Intersección de Figuras Piernas.............................................................................................19
- Ejercicios y Problemas Resueltos........................................................................................ 24
Capítulo 3&
- Segmentos...............................................................................................................................43
- Problemas Resueltos - Nivel 1..................................................................................... 47
-N ive l I I ..................................................................................... 55
- Nivel m ....................................................................................69
* Capítulo 4
^
- Angulos.................................................................................................................................... 85
- Problemas Resueltos............................................................................................................. 91
* Capítulo 5
*
- Triángulos.............................................................................................................................. 127
- Problemas Resueltos — Nivel 1....................................................................................130
-N iv e l I I ................................................................................... 142
- Nivel I I I ................................................................................ 153
- 'W
Capítulo 6
Congruencia de Triángulos................................................................................................. 167
Problemas Resueltos — Nivel I ................................................................. .................172
- Nivel II...,...............................................................................182
-N iv e l I I I ........................................................................... 195
Capítulo 7
Wmrn W & . mi.IK.
- Polígonos............................................... 221
- Problemas Resueltos...........................................................................................................224
♦ Capítulo 8
- Cuadriláteros........................................................... 245
- Problemas Resueltos...........................................................................................................247
' ' • • . ✓ ‘v i f l W
* ^ Capítulo 9 - |
- Circunferencia........................................................................................................................271
— P roblemas Resueltos........................................................................................................... 280
♦ i Capítulo 10
- Puntos Notables del Triángulo............................................................................................325
- Problemas Resueltos........................................................................................................... 329
* Capítulo 11
- Líneas Proporcionales........................................................................................................ 347
- Problemas Resueltos...........................................................................................................350
* ^Capítulo 12
- Semejanza de Triángulos................................................................................................... 365
- Problemas Resueltos...........................................................................................................371
* Capítulo 13
- Relaciones Métricas en Triángulos Rectángulos........................................................... 395
- Problemas Resueltos........................................................................................................... 398
* Capítulo 14
- Relaciones Métricas en Triángulos Oblicuángulos..........................................................413
- Problemas Resueltos........................................................................................................... 420
* Capítulo 15
- Relaciones Métricas en la Circunferencia y Potencia.................................................... 441
- Problemas Resueltos........................................................................................................... 450
* Capítulo 16^
- Polígonos Regulares y Longitud de la Circunferencia.......................... 471
- Problemas Resueltos........................................................................................................... 477
* Capítulo 17
- Areas de las Regiones Planas............................................................................................503
* Capítulo 18
- Rectas y Planos 659
*|i Capítulo 19|
- Rectas y Planos, Perpendiculares..................................................................................... 665
8
^Capítulo 2 0 j
Rectas y Planos Paralelos..................................................................................................675
Problemas Resueltos ( Capítulo 18, 19 y 20 ) ............................................................ 684
Problemas Propuestos........................................................................................................ 699
Capítulo 21
Angulos Diedros....................................................................................................................701
Capítulo 22
Proyecciones en el Espacio............................................................................................... 705
Capitulo 23
Simetría..................................................................................................................................719
Capítulo 24ie
Angulos Poliedros.................................. 723
Problemas Resueltos ( Capítulos 21, 22, 23, 24 ) ........................................................ 732
Capítulo 25
Poliedros................................................................................................................................753
Problemas Resueltos...........................................................................................................755
Problemas Propuestos........................................................................................................ 767
Capítulo 26
Prisma y Tronco de Prisma.................................................................................................771
Problemas............................................................................................................................. 776
Capítulo 27
Pirámide y Tronco de Pirámide..........................................................................................795
Problemas Resueltos...........................................................................................................798
Capítulo 28
Cilindros y Troncos de Cilindros........................................................................................815
Problemas..............................................................................................................................819
Capítulo 29
Cono y Tronco de Cono...................................................................................................... 831
Problemas Resueltos...........................................................................................................834
I
Capítulo 30
Esfera y Teoremas de Pappus-Guldim 845
9
Problemas 854
Capítulo 31
Isometrías..............................................................................................................................873
Capítulo 32
Introducción a la Geometría Analítica.
Problemas..............................................................................................................................902
Capítulo 33
Vectores.................................................................................................................................911
Problemas Resueltos...........................................................................................................916
Capítulo 34
Máximos y Mínimos en Geometría................................................................................... 959
Problemas Resueltos...........................................................................................................982
Capítulo 35
Temas Selectos: Demostración de teoremas y Propiedades en Poliedros............... 997-
Capítulo 36
I. Trazado de Paralelas y/o Perpendiculares con Escuadras...............................
1009
II. Construcciones Geométricas, con reglas y compás............................................1010
III. Los Tres Problemas Famosos de Construcción.................................................. 1023
Capítulo 37
Transformación de coordenadas.................................................................................. 1024-A
Problemas Propuestos.................................................................................................... 1024-K
Miscelánea de Problemas Propuestos...................................... „............................... 1025
Bibliografía........................................................................................................................ 1091
CAPITULO 1
TERMINOS MATEMATICOS
a) Proposición.- Enuncia una verdad demostrada o por demostrar.
b) Axioma.- Es una proposición evidente que no necesita demostrarse. Por ejemplo: “ El todo, 
es igual a la suma de sus partes
c) Postulado.- Es la proposición, que sin tener la evidencia del Axioma, se admite sin 
demostración, Por ejemplo “ Por dos puntos distintos pasa una, y sólo una recta"
d) Teorema.- Es una proposición que, para su aceptación, necesita demostrarse . Consta de: 
Hipótesis y Tesis. La primera, indica los datos y se supone como cierta; la segunda indica 
lo que se va a demostrar. Luego, viene el proceso de la demostración.
Ejemplo: La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo, es 180.
e) Lema.- Es un teorema previo, que sin/e de base para la demostración de otras proposiciones.
f) Corolario.- Es una consecuencia deducida de un teorema demostrado.
g) Escolio.- Llamada de atención hecha a un teorema con objeto de aclaración o restricción.
h) Problema -Enunciado en el cual se plantea hallar una cantidad o construir alguna figura 
según las condiciones dadas.
Objetivo y División.- La Geometría tiene por objeto el estudio de las figuras geométricas, 
atendiendo a su forma, tamaño y relación entre ellas.
Para un mejor tratamiento se divide en : Geometría Plana y Geometría del Espacio.
(a) Geometría Plana ( Planimetría). - Estudia las figuras planas, por ejemplo: el triángulo, círculo, 
etc.
(b) Geometría del Espacio (Estereométria).- Estudia a las figuras cuyos puntos no están en un 
mismo plano; están en el espacio. Por ejemplo : La Pirámide, el Prisma, la Esfera, etc.
11
Figuras Geométricas. Clasificación.- Se llama figura geométrica a la representación de 
líneas, superficies y sólidos, adoptando cierta forma y teniendo una determinada extensión. 
A excepción del punto, el cual representa al conjunto unitario, toda figura se distingue de otra 
por su tamaño y forma. Un punto queda perfectamente determinado por su posición en el 
espacio.
Las figuras geométricas se distinguen en: Líneas, superficies y sólidos.
LINEAS:
L. Recta - Todos sus puntos siguen una 
misma dirección.
L. Quebrada.- Formada por un conjunto de dos o
más líneas rectas consecutivas, en 
diferente dirección.
L. Curva.-
L. Mixta
Si no tiene tres puntos que sigan la 
misma dirección.
4
Es la combinación de alguna línea recta 
y alguna curva, consecutivas.
SUPERFICIES :
S. Plana o plano
SOLIDOS :
S. Curva
Mediciones
La medida de una línea limitada, es un número positivo único, llamada longitud. ( Son 
unidades de longitud : m; cm; . . . e tc .).
El área, es un número positivo único que indica la medida de una superficie. ( Son unidades 
de área : m2 , cm2 , . . . e tc .).
La medida del espacio que encierra un sólido, se expresa por un número llamado volumen. 
( Unidades de volumen : m3, cm3; etc.).
CLASIFICACION.* Dos figuras, de la misma naturaleza, pueden ser :
(a) Congruentes.- Si tienen igual forma y tamaño. Por ejemplo, dos cuadrados con igual longi­
tud de lado.
(b) Semejantes.- Cuando tienen igual forma y tamaños diferentes. Por ejemplo, un cuadrado
cuyo lado mide 10 unidades y otro cuyo lado mide 7 unidades.
(c) Equivalentes.-AI tener igual área o volumen, sin importar su forma. Dos superficies
equivalentes tienen igual área y dos sólidos equivalentes, igual volumen.
Congruentes
o
(Igual área)
(Igual volumen)
Equivalentes
= , se lee : “es congruente, con . .
, se lee : “es semejante, con...” 
< > , se lee : “ es equivalente a . . . “
Conceptos Primarios y Nomenclatura.- El punto, la recta y el plano, son entes geo­
métricos no definidos, sobre los cuales se apoyan las definiciones de otras representaciones
A
punto A r : recta r
Plano P
El punto es la mínima representación en Geometría. Una recta está conformada por un 
conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección e ilimitada en ambos sentidos. 
Se puede concebir al plano, como una superficie llana, perfectamente lisa, sin espesor e 
ilimitada en todo sentido.
Rayo y Semirrecta.- La siguiente figura, muestra un rayo 
extremo y forma parte de la figura. Se denota, como : O P .
El punto o , se llama origen o
O P
A diferencia d«l rayo una semirrecta no considera el origen. Así, para la siguiente figura; la 
semirrecta OP se denotará como : C P . o------------------------------------- ►
O P
13
Ejemplo 7.- El perímetro de un triángulo equilátero, es 18 El lado del cuadrado,
equivalente a dicho triángulo, tiene longitud :
A) 6 ^3 cm B) 6 cm C)4 / 3 cm D) 3 cm E) 3 / 3 cm
Solución
El perímetro del triángulo es la suma de 
longitudes de los tres lados. Entonces :
L + L + L = 1 8 ^ 3
/. L = 6 f3
Como deben ser equivalentes, según enunciado :
área del □ = área del A
fórmula de área de un 
cuadrado. — i
4
t
< >
J L
"1 r
-------- x ---------1
fórmula de área de un 
A equilátero.
Entonces: x2 = ( 6 ^ 3 ) . 2^ .
Es decir: x2 = 27 -> x = 3yf~3 Rpta : ( E )
Ejemplo 2,~ Hallar la longitud x, del radio de la esfera equivalente al cono de revolución
adjunto,cuyo radio mide r = 6 ^ 2 cm y altura h = 12 cm.
A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm
D) 9 cm E) 12 cm
Solución
Por ser equivalentes : Volumen de la Esfera
Según fórmula: 4 3— Tí X3
Volumen del cono
ji
7i r2 h
Es decir: 4x3 = ( 6 ^ 2 )2 12 x = 6 R p t a : ( B )
14
Ejemplo 3,-lndicar verdadero ( V ) o falso ( F ):
I.-
II.-
IV.-
V.-
VI.-
Solución
I.
Un cuadrado, puede ser congruente a un triángulo.
Dos figuras congruentes, son siempre equivalentes.
Dos figuras equivalentes, son siempre congruentes.
Un cubo y un cuadrado, pueden ser equivalentes.
Si un cuadrado y un triángulo, tienen igual perímetro, se llaman equivalentes 
Dos rectángulos, son siempre semejantes.
(F). Las figuras congruentes deben tener igual forma y tamaño.
(V). Por definición.
(F). No siempre. Dos figuras equivalentes sólo requieren tener tamaños iguales, mas 
no la forma. Por ejemplo, un cuadrado y un triángulo, pueden ser equivalentes.
IV. (F). La comparación debe ser entre figuras de la misma natualeza: figuras planas entre 
sí o sólidos entre sí.
V. (F) Serán equivalentes, si sus áreas son iguales.
VI. (F) Por ejemplo:
no tienen la misma forma; sólo sus ángulos sor/congruen­
tes. ( Angulos congruentes, tienen igual medida.)
Ejemplo 4.-Con una cuerda de longitud L cm, ¿Cuál de las dos figuras dadas a continuación debe
formarse, para tener mayor área ?:
a) Un cuadrado b) Una circunferencia
Solución
Si se forma un cuadrado, cada lado deberá tener longitud : —
V, el área:
Si se forma una circunferencia de radio r : 2rcr = L
r =
2 n
Y, el área del círculo: nt2 = — ... ( I I ).
4rc
Como te = 3,1416 _» 4 tc = 12,5664. Entonces,la expresión ( I I ) es mayor que ia 
( I ). Se debe elegir la circunferencia.
15
Conjuntos convexos y no convexos
Cualquier figura geométrica, es un conjunto de puntos. Por ejemplo, un triángulo, es el conjunto 
de puntos correspondiente a la reunión de los tres segmentos que determinan tres puntos no
colineales.
Nótese, en el gráfico adjunto, que el punto P, pertenece al triángulo. Q, no es un punto del triángulo.
Definición.* Una región triangular, es el conjunto de puntos que comprende a un triángulo y su 
interior.
Definición.- Un polígono, es la reunión de tres o más segmentos consecutivos trazados en
Análogamente al caso del triángulo, una región poligonal se define como el conjunto de puntos 
correspondiente a un polígono y su interior. Para los dos últimos gráficos :
ABCDE, es un PENTÁGONO ( Polígono de 5 lados) y define una región pentagonal. 
PQRSTUV, es un HEPTÁGONO ( Polígono de 7 lados ) y determina una región heptagonal.
Definición.- Un conjunto de puntos, se llama convexo, si el segmento determinado por dos puntos 
cualesquiera del conjunto, está contenido en él.
Son ejemplos de conjuntos convexos :
B
Así: AABC = AB U BC U AC
Q está en la región interior al triángulo. R es punto de la región exterior al triángulo.
diferentes direcciones, tales como las figuras adjuntas. /
Una región tnanguiar Un conoUn círculo Un cilindro (sólido) (sólido)
En el caso de la región triángular: A
V A,B e A,( A *B AB c A
16
Análogamente, para los otros ejemplos.
Definición.- Un conjunto de puntos se llama no convexo, si existen al menos dos puntos distintos 
de dicho conjunto, qe determinan un segmento con algunos puntos no comunes al conjunto.
Son ejemplos de conjuntos no convexos :
Ejemplo.- Indicar verdadero ( V ) o falso ( F ):
a) Una recta es un conjunto convexo ( )
b) Un plano es un conjunto convexo. ( )
c) Un triángulo es un conjunto convexo ( )
d) El exterior de un ángulo es un conjunto de puntos no convexo (. )
e) Un segmento es un conjunto convexo ( )
Solución
superficie
cilindrica
superficie
esférica
a) ( V )
r V A,B € r ,( A * B ) => AB c r
A B
b) ( V )
V P,G e H, (P * Q ) =* PQ c H
c) ( F ) B
A
3 M.N e A ABC / MN <z A ABC = AB U BC U AC
C
17
d) ( V )
e) ( V )
Existen puntos de PQ, que no pertenece al 
conjunto de puntos exterior al Z AOB
V P^Pa e AB^P, * P2 )=>P1P2 c AB ,
A P¡ B
18
r
v
INTERSECCION DE FIGURAS PLANAS
dos puntos y para (c), la intersección de V y la figura L, es de tres puntos. En todos los casos 
anteriores diremos que la figuras son secantesise cortan en 1, 2 ó 3 puntos respectivamente.
LINEAS CONVEXAS.- Son aquellas que se intersecan con alguna recta, en un máximo de dos 
puntos.
Ejemplos:
LINEAS NO CONVEXAS.- Si alguna recta secante determina sobre ellas, más de dos puntos de 
corte.
La Geometría Clásica, menciona estas figuras como cóncavas.
Ejemplos:
Una figura plana, tiene todos sus puntos sobre un mismo plano.
L
s
En la figura (a), las rectas m y n~se intercedan en un punto. En ^b ), r intersecta a la figura f en
19
Observaciones:
1) Dos rectas contenidas en un mismo 
plano y que no se intersecan, reciben el
nombre de paralelas. Por ejemplo, m y 
q . En este caso, escribiremos : m // cf 
(“ m es paralela a q “).
A veces, suele decirse que las rectas se intersecan, para este caso, en el infinito.
2) Una recta y una circunferencia, pueden s e r :
Recta y circunferencia, 
tangentes entre sí.
( 1 punto de intersec - 
ción ).
Recta y circunferencia, 
secantes entre sí.
( 2 puntos de intersec - 
ción ).
No se intersecan, 
(cero puntos de inter­
sección ).
3) Veamos algunos gráficos de intersección entre un triángulo y una circunferencia:
1 punto 4 puntos 5 puntos 6 puntos
Por supuesto que, podrían hacerse otros gráficos para encontrar un número determi 
nado de puntos: 1,2,3,4,5 ó 6.
Notamos que, el mínimo número de puntos de intersección (diferente de cero), entre 
estas figuras, es uno y el máximo : 6.
4) Las fórmulas que damos a continuación, permiten encontrar el máximo número de 
puntos de intersección entre figuras del mismo tipo, así como entre dos grupos 
diferentes.
20
MAXIMO NUMERO DE PUNTOS DE CORTE
1) Para “n" rectas secantes:
Así, por ejemplo, 4 rectas se cortan como máximo, en:
4 (3 )
= 6 puntos
2) Para “n” circunferencias secantes:
3 circunferencias secantes, se cortan, 
como máximo, en 3(2) = 6 puntos.
3) Para “n" triángulos:
Si se tienen 10 circunferencias, en 
contraremos como m áxim o:
3 x 10(9) = 270 puntos de corte.
4) Para “n” cuadriláteros convexos:
5) “n” pentágonos convexos se cortan, como máximo, en:
6) En general, “n“ polígonos convexos de “L" lados cada uno, se cortan como máximo, en:
21
Por ejemplo, “n' polígonos de 11 lados cada uno (convexos) tienen como fórmula para el 
máximo número de puntos de corte: 11 n ( n - 1 ) . De modo que, 5 de estas figuras se 
cortarán en un máximo de: 11 x 5 ( 4 ) = 220 puntos.
Ejemplo:¿ En cuántos puntos se cortan, como máximo, 10 icoságonos convexos ? 
Solución
Un icoságono es el polígono de 20 lados. Luego, en la fórmula del 6), debemos reemplazar:
L = 20 =s> número de lados, 
n = 10 => número de polígonos.
número de puntos = Ln ( n - 1 ) = 2 0 x 1 0 ( 9 ) = 1800.
Ejemplo : ¿ En cuántos puntos se intersecan, como máximo, 5 octógonos convexos ? 
Solución
El octógono es un polígono de 8 lados. Entonces:
L = 8 y n = 5. En la fórmula del 6):
Ln ( n - 1 ) = 8 x 5 ( 4 ) = 160 puntos.
7) Dos polígonos convexos, de diferente número de lados, se intersecan, como máximo,
en un número de puntos equivalente al doble del número de lados menor.
Así, por ejemplo:
* 1 Decágono (10 lados) y un octógono ( 8 lados), convexos, se cortan como máximo en : 
2 x 8 = 16 puntos.
* 1 triángulo y 1 cuadrilátero:
V
* 1 cuadrilátero y 1 pentágono:
* Un cuadrilátero y una circunferencia:
( La circunferencia se considera como un polígono de infinitos lados ).
22
Completar:
Como máximo, el número de puntos de corte entre:
a) Un triángulo y un pentágono convexo, es:
b) Un dodecágono convexo (12 lados) y un ¡coságono convexo (20 lados), es
c) Un polígono convexo de 50 lados y una circunferencia, e s : ............. .
8) Para “n" figuras cualesquiera (convexas ó no convexas), del mismo tipo, el máximo número
de puntos de corte, es:
Siendo K, el número máximo de puntos en que se cortan 2 de dichas figuras.
Por ejemplo, encontremos la fórmula para calcular el máximo número de puntos de corte 
entre “n” elipses.
Una elipse, es de la forma:
Hallamos el valor de K, graficando dos elipses de 
modo que se tenga el número máximo de puntos 
de intersección entre ellas.
K = 4 puntos 
Como máximo
Entonces, para “n" elipses, la fórmula se obtiene al reemplazar este valor de K en la expresión 
anterior:
4 n (n - i)
Ejemplo.- Hallar una formula para calcular el máximo numero de puntos de corte entre “n 
figuras de la forma:
Solución
Graficamos dos de dichas figuras a fin de obtener el valor de K
• • Para un” de estas figuras Juego
de reemplazar el valor de K en la fórmula del 8).
23
Ejercicios y Problemas resueltos
* Nota.- Vamos a reemplazar el enunciado:" Máximo número de puntos de corte”, p o r: MN PC.
1) Hallar el MNPC entre 10 rectas y 5 circunferencias, al cortarse todas estas figuras entre sí.
A) 65 B) 120 C) 145 D) 165 E) N.A
Solución
\\ 10 rectas.5 circunferencias.
El método de solución consiste en contar por separado los puntos de corte: rectas 
solas,circunferencias solas y al final la combinación.
El resultado se obtiene sumando los parciales. Asi:
a) Las 10 rectas solas, se cortan como máximo, en:
10(9)
= 45 puntos ( 1 )
b) Las 5 circunferencias: 5 ( 4 ) = 20 puntos ( 2 ).
c) Para el número de puntos entre rectas y circunferencias:
Como cada recta corta a una circunferencia en 2 puntos y son 5 circunferencias; entonces 
una recta corta a las 5 circunferencias en: 2 x 5 = 10 puntos. Pero, son 10 rectas; entonces 
tendremos a q u í: 10 x 10 = 100 puntos. Esto mismo, es:
Numero
de puntos 
entre una recta y 
una circunferencia.
2 x 10 x 5 = 100 puntos ( 3 )
Número 
de rectas.
Número de
circunferencias
Finalmente, sumando los resultados parciales (1), (2) y (3); 
45 + 20+ 100 = 165 puntos.
Rpta: ( D ).
2) Hallar el MNPC entre 11 rectas secantes y 5 triángulos, al cortarse todas estas figuras entre 
sí.
A) 225 B) 125 C) 115 D) 175 E) 205
24
Solución
11 <
5 A
Veamos:
11(10) cc
a) Las 11 rectas, por sí solas: — - --------^ puntos (1 )
b) Los 5 triángulos entre sí: 3 x 5 ( 4 ) = 60 puntos........ ( 2 ).
c) Las 1 1 $ a los 5 a :
Número de puntos 
entre 1$ y 1 A.
2 x 11 x 5
A A A
= 110 puntos............( 3 ).
Número de A
Número de $
Luego, sumando los resultados (1), (2) y (3 ): 55 + 60 + 110 = 225 puntos. Rpta: (A )
3) Hallar el MNPC entre 11 circunferencias y 8 triángulos al intersecarse todas estas figuras
entre sí.
A) 726 B) 706 C) 806 D) 906 E) 278
Solución
11 0
8 A
a) Las 11 circunferencias entre sí, se cortan como máximo, en: 11(10) = 110 puntos ... (1 )
b) Los 8 triángulos: 3 x 8 x 7 = 168 puntos ... ( 2 ).
c) Las 1 1 0 a los 8 A:
6 x 11 x 8
♦ « t
= 528 puntos ( 3 ).
6 puntos 
( m áxim o).
©
25
Finalmente, sumando (1), (2) y (3), se obtienen 
806 puntos.
Rpta: ( C ).
4) Hallar el MNPC entre 21 rectas secantes, 15 circunferencias y 1 % triángulos, al intersectarse 
todas estas figuras entre sí.
A) 4110
Solución
B )4100 C) 4001 D) 4020 ,e jN .A
El método es sim ilar: Evaluamos el máximo número de puntos de corte entre las rectas solas, 
las circunferencias entre sí, los triángulos por si solos y luego hacemos las combinacio­
nes en grupos de dos. Asi:
a)
21(20)
Las 2 1 ^ : ■ = 2 1 0 pun tos .............. ......(1 )■
b) Las 1 5 © : 1 5 ( 1 4 ) = 210 puntos........... ..... ( 2 ) .
c) Los 12 a : 3 x 12 ( 11 ) = 396 puntos ..... ( 3 ) .
d) 21 X a 15 0 :
f)
2 ptos.
e) Las 21 / a los 12 A :
2 ptos.
6 ptos
2 x 21 
▲ ▲
x 15
A
= 630 puntos..................... ( 4 ).
vT 0
2 x 21 x 12
A A A
= 504 puntos................... ( 5 ).
A
6 x 15 x 12
A A A
= 1080 ( 6 )
0
26
El MNPC total lo obtenemos sumando los resultados parciales del (1) al (6) 
210 + 210 + 396 + 630 + 504 + 1080 = 3030 ptos.
Rpta: ( E ).
5) Hallar el MNPC entre 21 triángulos y 10 cuadriláeros convexos, todos secantes entre sí
A )2080 B )2888 C ) 1880 D )2780 E )2880
Solución
: \ 21 a 
L . 10 □
Procedemos como antes:
a) Los 21 triángulos se cortan como máximo, 
en : 3 x 21(20) = 1260 puntos.............. ( U
b) Los 10 cuadriláteros convexos: 4 x 10(9) = 360 p u n to s ................... ( 2 ).
c) Los 21A a los 10 a :
6▲
2 x 3 = 6 ptos
x 21 ▲
x 10 
*
= 1260 (3 ).
□
Número de lados menor.
( Ver el N9 7 ) de ésta teoría.
Sumando lo obtenido en a), b) y c ) : 
MNPC = 1260 + 360+ 1260 = 2880 puntos
Rpta: ( E ).
6) Hallar el MNPC entre 6 cuadriláteros convexos; 11 pentágonos convexos y 21 octógonos 
convexos, al intersecarse todas estas figuras entre si.
A )7414 B) 7604 C )6704 D) 4706 E) N.A
27
Solución
En este caso, para figuras de la misma naturaleza usaremos : Ln ( n - 1 ) 
fórmula vista en el número 6) de teoría.
\ 6 □.
> 11 pentágonos. ( 5 lados ) 
✓ 21 octógonos. ( 8 lados ).
Se tienen:
Los 6 cuadriláteros convexos:
4 x 6 ( 5 ) = 120 puntos............... (1 )
Los 11 pentágonos convexos:
5 x 1 1 ( 1 0 ) = 550 puntos ( 2 )
Los 21 octógonos convexos:
8 x 2 1 ( 2 0 ) = 3360 puntos 
Ahora, en grupos de dos:
( 3 )
Los 6 □ y 11 pentágonos:
8 x 6 x 11 = 528 puntos
A A A
2 x 4 = 8 ptos
□ pentágonos.
menor numero 
de lados.
6 □ y 21 octógonos.
8 x 6 x 21 = 1008 puntos
A A A
2 x 4 = 8 ptos.
í
a octógonos.
menor numero 
de lados.
f) 11 pentágonos y 21 octógonos:
8 x 11 x 21 = 1848 puntos............( 6 ) .
▲ A
í
2 x 4 = 8 ptos.
octógonos
A pentágonos
número de 
lados menor.
Finalmente, sumamos los resultados parciales del (1) al (6):
MNPC = 120 + 550 + 3360 + 528 + 1008 + 1848 
MNPC = 7414 puntos.
Rpta: ( A ).
7) Hallar el MNPC entre 10 rectas paralelas, 5 rectas secantes y 6 triángulos, al intersecarse 
todas estas figuras entre sí
A) 360 B) 340 C) 350 D) 370 E) 330
Solución
10 / paralelas
5 ¿ secantes
6 A
4
Tenemos:
a) Las 10 paralelas entre s í : cero puntos de corte
5(4)
= 10 puntos 2 ).
c) Los 6 A : 3 x 6 ( 5 ) = 90 puntos
Ahora, en grupos de 2 :
3 ).
d) 10 paralelas y 5 secantes:
1 x 10 x 5 = 50 puntos.. . (4 ) .
paralela y una secante.
número de puntos entre una
▲ A A
|____ número de
secantes
J número de 
paralelas.
29
Las 10 paralelas a los 6 triángulos ;
2 x 10 x 6 ▲ ▲ ▲ = 120 puntos ......... (5 )
2 puntos
paralelas.
5 rectas secantes y 6 triángulos :
2 x 5 x 6 
▲ ▲
= 60 puntos .........(6 )
2 puntos.
7 secantes
Sumando ahora, todos los resultados parciales :
MNPC = 0 + 10 + 90 + 50 + 120 + 60 => MNPC = 330 puntos
Rpta : ( E ).
Si a un grupo de rectas de un plano, se le agrega una, el máximo número de puntos de corte 
se duplicaría. Hallar el número de rectas original.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Solución
Si, inicialmente, hubieran “n” rectas, el número máximo de puntos de corte sería
puntos.
2
Al agregar una al grupo anterior: (n + 1) rectas ; estas se cortan, en :
( n + 1) (n + 1- 1 ) (n+1)n puntos
Según enunciado, el segundo resultado debe ser el doble del primero. Luego :
(n + 1)n 2 , , n ( n ~ 1)
Resolviendo esta sencilla ecuación : n = 3 rectas
Rpta: ( A ).
Si a un grupo de “n” rectas secantes se agrega una recta, el máximo número de puntos de 
corte aumentaría en 12. Hallar el valor de “n”.
A) 12 B) 11 C) 13 D) 6 E) 24
Solución
Como, al agregar una recta, al grupo existente de un” rectas, la nueva debe cortar a cada 
una de las anteriores en un punto, entonces el MNPC se incrementará en “n”.
Por lo tanto: n = 12
Rpta: ( A ).
Si a un grupo de un” rectas secantes se agregan dos rectas, el máximo número de puntos 
de corte aumentaría en 15. Hallar “n”
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) N.A.
Solución
Cada una de las rectas nuevas determina en el grupo existente de “n” rectas, un total de “n” 
puntos más. Entonces:
- Número de puntos en que las 2 nuevas rectas cortan a las ya existentes : 2n
- Número de puntos entre las 2 nuevas rectas : 1
Luego: 2n +1 = 15
De donde: n = 7.
Rpta:C
Si a un grupo de “n” triángulos se le quita uno, el máximo número de puntos de corte dismi­
nuye en 18. Hallar “n"
A) 3 B) 4 C) 6 D) 5 E) 9
Solución
Un triángulo corta a otro en 6 puntos , como máximo.
Al extraer un triángulo al grupo de “n”, éste cortará a cada uno de los (n - 1) restantes, en
6 puntos.
Luego; 6(n-1) = 18 n=4
Rpta: ( B ).
Al duplicarse el número de rectas secantes, el máximo número de puntos de corte se 
quintuplica. Hallar el número inicial de rectas
A) 3 B) 6 C) 15 D) 10 E) N.A.
31
Solución
n( n - 1 )
Sea “n” el número inicial de rectas. Ellas determinan — - — puntos.
Si se duplica el número de rectas, ahora tendremos 2n rectas que se cortan en
2n( 2 n - 1 )
 ------- puntos.
Según enunciado éste último resultado debe ser cinco veces el anterior.
. 2 n (2 n -1 ) n ( n - 1 )
Resolviendo : n = 3
Rpta: ( A ).
Si a un grupo de “n” polígonos convexos, de “L” lados cada uno, se agrega otro de la misma 
naturaleza y cantidad de lados, el máximo número de puntos de corte se duplica. Hallar “n”.
A) Falta B) 6 C) 2 D) 3 E) 4
conocer “L”
Solución
Es fácil deducir que dos polígonos convexos de “L” lados cada uno se cortan como máximo 
en 2L puntos. Luego,el nuevo polígono corta al grupo de “n”, en 2Ln puntos.
Como los “n^polígonos de WL” lados se cortan en Ln (n -1) puntos
según fórmula y al colocar 
el nuevo polígono ésta cantidad se duplica; entonces:
2Ln = Ln (n-1)
/. 2 = (n-1)
De donde: n = 3 
Rpta: ( D ).
Hallar el número máximo de puntos de corte,entre 5 octógonos y 10 icoságonos, todos 
convexos.
A )2670 B )2770 C )2760 D )2870 E )7260
Solución
( octógono : 8 lados; Icoságono: 20 lados ).
Los 5 octógonos: 8 x 5 (4) = 160 puntos.
* Los 10 icoságonos: 20 x 10(9) = 1800 puntos
* 5 octógonos y 10 icoságonos:
(2 x 8 ) x 5 x 10 = 800 puntos
N9 de puntos entre 1 ^e
octógono y 1 icoságono. octógonos. icoságonos.
Sumando los resultados parciales :
160 + 1800 + 800 = 2760 puntos
Rpta: ( C ).
15) Hallar el máximo número de puntos de corte entre 10 rectas secantes, 6 triángulos y 11
cuadriláteros convexos.
A ) 1311 B ) 1312 C ) 1213 D ) 1321 E) N.A
Solución
* Las 10 rectas: 10( 9 )— - — = 45 puntos.
* Los 6 triángulos: 3 x 6 ( 5 ) = 90 puntos.
* Los 11 cuadriláteros: 4 x 11 ( 10) = 440 puntos.
* 10 rectas y 6 triángulos:
■¿x
* 10 rectas y 11 cuadriláteros:
2 x 6 x 10 = 120 puntos
- a *
2 x 10 x 11 = 220 puntos
* 6 triángulos y 11 cuadriláteros:
6 x 6 x 11 = 396 puntos.
En total, la suma: 1311 puntos
Rpta: ( A ).
33
16) Calcular el máximo número de puntos de intersección de 10 rectas paralelas, 12 rectas 
secantes y 16 circunferencias secantes.
A) 1130 B) 306
Solución
19) Las 10 paralelas:
*---------------*
* ----- 5--------►
»
<----- ►
2®) Las 12 secantes:
33) Las 16 O secantes : n ( n - 1 ) = 16( 15) = 240 puntos.
4®) Las 10 paralelas a las 12 secantes:
1 x 10 x 12 = 120 puntos.
... (1 paralela y 1 secante : 1 pun to ).
5®) Las 10 paralelas a las 16 circunferencias:
2 x 10 x 16 = 320 puntos.
6a) Las 1 2 / secantes y 16 circunferencias:
2 x 12 x 16 = 384 puntos.
Sumando los resultados parciales:
C) 316 D )746 E ) 1098
1 0 / paralelas 
12 / secantes 
16 O secantes
Cero puntos.
n ( n - 1 ) 12(11)
= 66 puntos.
0 + 66 + 240 + 120 + 320 + 384 = 1130 puntos
Rpta: ( A ).
34
Encontrar la cantidad de decágonos que se intersecan, sabiendo que al hacerlo determinan 
como máximo 6250 puntos, en los cuales están también considerados los vértices.
A) 20 B) 50 C) 25 D) 60 E) 30
Solución
Sea “n" el número de decágonos. Luego:
Número total de vértices : 10n
Número máximo de puntos de intersección : lOn ( n -1 ) 
pordato: 10n + i0n (n -1 ) = 6250
n2 = 625 => n = 25 
Rpta: ( C ).
Si a un conjunto de rectas secantes, se le agregase una cantidad igual de rectas, su número 
máximo de puntos de corte aumentaría en 330 . Calcular cuántas rectas tiene el conjunto.
A) 10 B) 25 C) 15 D) 12 E) 18
Solución
Si, inicialmente, hubieran “n” rectas, éstas se cortarían, en:
n (n -1 )
— - — puntos.
Al agregar otras “n" rectas al grupo anterior, habrán “2n” rectas que se cortarían en:
2 n (2n -1 )
puntos.
Usando el dato numérico:
2 n (2 n -1 ) = n (n -1 )
Efectuando:
3n2 - n - 660 = 0 
( 3n + 4 4 ) ( n - 1 5 ) = 0
De donde: n = 15
Rpta: ( C ).
Se tienen n circunferencias secantes. Si se quitan dos circunferencias, el número máximo 
de puntos de corte disminuye en 30. Hallar n.
A) 9 B) 8 C) 6 D) 10 El 12
35
Solución
* Las “n” circunferencias secantes: n ( n - 1 ) puntos.
* Al quitar 2, las (n-2) circunferencias restantes, se cortan en: ( n - 2 )[ ( n - 2 ) -1 ] puntos
* Con el dato : n ( n - 1 ) - 30 = ( n - 2 ) [ ( n - 2 ) - 1 ] .
Resolviendo, hallamos: n = 9
Rpta: ( A ).
20) Encontrar el número máximo de puntos de corte que hay entre “P decágonos convexos y 
“F” cuadriláteros convexos.
A) 7F (F-1) 
Solución
B) 7F (2F-3)
J F decágonos convexos
F cuadriláteros convexos
C) 4F (3F-2) D) 2F (11F-7) E) 3F (15F-8)
18) Los
28) Los
38) Los
Los F decágonos (10 lados cada u n o ): 10 F (F-1)
Los F cuadriláteros: 4F (F-1)
Los F decágonos con los F cuadriláteros:
í \
N8 de puntos 
de corte entre 
1 decágono y 1 cuadrilátero.
v
N8 de decágonos
/
Así:
/
( 2 x 4 ) x ( F ) ( F ) = 8F
doble número de 
--------------- lados menor
N8 de cuadriláteros
Finalmente, sumando los resultados parciales:
10F (F-1) + 4F (F-1) + 8F: 
Rpta: ( D ).
2F (11 F-7) puntos
21) “n” polígonos convexos de" f ia d o s cada uno se intersecan en 6240 puntos, como máximo 
Si quitamos un polígono, el número de puntos de intersección disminuye en 312.
Hallar ( i + n ).
A) 33 B) 40 C) 42 D) 46 E) 44
36
Los “n" polígonos convexos, de Y lados : ¿n (n-1) = 6240 ... ( 1 ).
Al quitar un polígono, el # de puntos disminuye en 312, siendo éste el número de puntos que 
dicho polígono determina en los otros :
2£(n-1) = 312
Solución
¿(n-1) = 156 ( 2 )
( 2 ) en (1 ) : n = 6240
156
n = 40 ( luego : i = 4.
Es decir ( i + n ) = 44
Rpta: ( E ).
Hallar el máximo número de puntos de intersección de 10 cuadriláteros no convexos
A) 540 B) 720 C) 820 D) 400 E) 360
Solución
Debemos usar la fórmula vista en el número 8) de la teoría, para encontrar el MNPC entre 
“n” cuadriláteros no convexos y aquí reemplazar el valor de n:
. « i0 r , K n (n -1 )MNPC = ----- puntos.
K es el número máximo de puntos en que se cortan 2 cuadriláteros no convexos. Para ello, 
tenemos el siguiente gráfico:
K = 16 puntos.
Entonces, para “n” de estas figuras, la fórmula es: MNPC _ 16 n (n -1 ) 
2
Y si n=10 : MNPC = 8 x 1 0 ( 9 ) =720 puntos
Rpta: ( B ).
37
23) Hallar el MNPC entre 5 elipses y 11 cuadriláteros no convexos
A ) 1360 B ) 1260 C ) 1460 
Solución
D ) 1560 E) 960
MNPC = ?
( 5 e lipses).
( 11 cuadriláteros 
no convexos)
a) Para las 5 elipses: Usamos la fórmula vista en el número 8) de teoría en que hallamos para 
un” elipses la expresión: 2n (n-1) puntos.
como n = 5, tendremos: 2 x 5 (4) =40 puntos ...(1 ).
b) Para los 11 cuadriláteros no convexos, según la fórmula vista en el problema anterior: 
8n (n-1) puntos. Reemplazando n = 11
obtenemos: 8 x 11 (10) = 880 pun tos.................. ( 2 ).
c) Las 5 elipses a los 11 cuadriláteros no convexos:
8 x 5 x 1 1 ▲ ▲
8 puntos.
Finalmente, sumando (1), (2) y (3):
MNPC = 40 + 880 + 440 = 1360 puntos
Rpta: ( A ).
elipses
= 440 puntos ............( 3 )
cuadriláteros
no convexos.
24) Encontrar el número máximo de puntos de corte que hay entre 3 polígonos convexos de 2K 
lados y 6 polígonos convexos de 3K lados cada uno.
A ) 102 K B) 112 K C ) 122 K D ) 164 K E ) 174 K
Solución
MNPC = ?
3 polígonos de 2K lados c/u 
6 polígonos de 3K lados c/u
Usaremos la fórmula : L . n (n-1) ptos, 
vista en el número 6) de teoría.
38
a) Para los 3 polígonos de 2K lados c/u:
( n = 3 y L = 2K ).
Se tienen: 2K x 3 ( 2 ) = 12K pun tos ( 1 )
b) Para los 6 polígonos de 3 K lados c/u:
( n = 6 y L = 3K ).
habrán: 3 K x 6(5) = 90 K puntos............... ( 2 )
c) Los 3 polígonos de 2 K lados y 6 polígonos de 3 k lados, se cortan como máximo en
( 2 x 2K ) x 3 x 6 = 72K puntos............( 3 )
A A A
MNPC entre 1 polígono de 2 K 
lados y otro de 3 k lados.
( doble menor número de lados.)
número de polígonos 
de 3K lados c/u.
número de polígonos 
de 2 K lados c/u.
Sumando ahora los resultados (1), (2) y (3), tenemos :
MNPC = 12K + 90K + 72K MNPC = 174K puntos
Rpta: ( E ) .
25) Deducir una fórmula para encontrar el número total de puntos en que se cortan “ n " circun
ferencias dispuestas como se indica :
A) n(n-1) B) 2n (n-1) C )3n(n-1) D ) n ( n + 1 ) E) 2n (n+1)
Solución
El análisis lo hacemos incrementando cada vez en uno el número de circunferencias. 
Debemos relacionar el número de puntos con el número de circunferencias.
Así:
número de circunferencias numero de puntos
CD 2 puntos ---------2(2-1)
GQD 4 puntos ------- ► 2(3-1)
GOQO 6 puntos ------- ► 2(4-1)
39
“n” circunferencias
8 puntos 
10 puntos
- 2(5-1)
- 2(6-1)
( fórm ula)
26) Luego de disponer 50 circunferencias y 20 rectas paralelas, como indica la figura siguiente, 
hallar el máximo número de puntos de corte.
A )2098
Solución
a) Las 50 circunferencias determinan entre sí, 
según la fórmula deducida en el problema anterior 
2 (50 - 1) = 98 puntos ( 1 ).
b) Las rectas entre sí: 0 pun tos ( 2 ).
c) Cada recta corta a una circunferencia en 2 puntos. Una recta corta a las 50 circunferencias 
en 2 x 50 = 100 ptos y las 20 rectas, en : 20 x 100 = 2000 puntos ( 3 ) .
Luego, el MNPC se obtiene sumando los resultados (1), (2) y (3):
MNPC = 98 + 0 + 2000 = 2098 puntos.
Rpta: ( A ).
27) En la figura, las rectas L ^ y L2 son paralelas ente sí.
Sobre L1 se toman “m" puntos y sobre L2 , “n” puntos. <__________ ► M
* l 2
Hallar el máximo número de puntos de corte en que las rectas determinadas por los “m"
puntos de L1 y “n“ puntos de L2 , cortan a la circunferencia.
A)mn B) 2mn C)mn(mn-1) D)2mn(mn-1) E) Ninguna.
40
Solución
Cada recta intersecta a la circunferencia, como máximo, en 2 puntos. El número de rectas 
determinadas, lo obtenemos a s í:
H H
- Un punto de L1( con los un” puntos de L2 determinan “n" rectas. Luego, los “m” puntos de
H
L-i con los “n" puntos de L2 , determinan: mn rectas.
Entonces, el número de puntos en que esta cantidad (mn) de rectas corta a la circunferencia, 
es: 2mn, como máximo.
“m" puntos
Rpta: ( B ). <— M
5-^u2
n puntos
28) Hallar MNPC entre “n” circunferencias, “2n” rectas secantes y '“n” triángulos, al cortarse 
todas estas figuras entre sí. v
A) 5n (4n-1) B)4n(5n-1) C )5n(4n+1) D )4n(5n+1) E) Ninguna anterior
Solución
MNPC = ?
n O 
2n X 
n A
a) Las “n” circunferencias: n ( n - 1 ) puntos.
b) Las 2n rectas secantes
2 n ( 2 n - 1 ) . .
• i---------}- = n( 2 n - 1 )
2 V ;
c) Los Mn” triángulos: 3 n ( n - 1 ) puntos.
d) un" circunferencias a “2n” rectas: 2 x n x 2n = 4n puntos.
e) wn” circunferencias a “n” triángulos: 6 x n x n = 6n2 puntos
f) u2n” rectas a “n” triángulos: 2 x 2n x n = 4n puntos
Sumamos los resultados parciales:
efectuando: MNPC = 5n(4n-1)ptos
Rpta: ( A ) .
29) Se muestran “n” circunferencias concéntricas
y otras un’ circunferencias menores formando una argolla.
El máximo número de puntos de corte, es:
A) 2n B) 4n' C) 4n D) 2n(n-1) E) 2n(n+t)
41
Solución
El número de puntos entre las circunferencias que forman la argolla se determina así:
" A La argolla se obtiene al intersecar las 
) circunferencias extremas ( 2 puntos más ).
"n" circunferencias en esta 
posición : 2 ( n -1 ) puntos.
Entonces, el número de puntos en la argolla será: 2 ( n -1 ) + 2 = 2n puntos (1 ).
Cada circunferencia de la argolla corta a una de las concéntricas, en 2 puntos. Así que, las 
“n* circunferencias de la argolla cortan a las “n" concéntricas, en:
2 x n x n = 2n2 .......... ( 2 ).
El número total de puntos de corte se obtiene sumando los resultados (1) y (2):
MNPC =2n + 2n2 = 2 n ( n + 1)
Rpta: ( E ).
Al número máximo de puntos de corte entre “n” polígonos convexos, de “L” lados cada uno, 
se le suma el máximo número de puntos de corte entre “n" polígonos de “2L" lados cada uno, 
obteniéndose en total 630 puntos. Hallar: L + n.
A) Faltan datos B) 13 C) 12 D) 11 E) 14
Solución
MNPC entre “n” polígonos de “L” lados : Ln ( n - 1 ).
MNPC entre “n” polígonos de H2L” lados : 2L x n ( n -1 ).
Según enunciado:
Ln ( n - 1 ) + 2 Ln ( n - t ) = 630 
3 L n ( n -1 ) = 630 
Ln ( n - 1 ) =210
En factores primos, 210 es : 2 x 3 x 5 x 7
Escrito este producto en forma que contenga dos factores consecutivos, para luego 
comparar con el primer miembro, tenemos:
L n ( n - 1 ) = 7 x 6 x 5 
De donde: L = 7 y n = 6.-. L + n = 13 
Rpta: ( B ).
r
CAPITULO 3
V
SEGMENTOS
SEGMENTO.- Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos
El segmento AB de la figura adjunta,
x s
se denota: AB ó B A . Los puntos A y B son los extremos.
Si la longitud o medida del segmento AB es 10 unidades, podemos escrib ir: AB = 10 ó 
m AB = 10. En este último caso, la m se lee: medida.
SEGMENTOS CONGRUENTES.- Son aquellos que tienen igual longitud.
4
D
Así, si AB y CD son congruentes, escribi­
remos: AB = CD , 
o simplemente: AB = CD
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.- Es aquel que lo divide en dos congruentes.Se diceque 
dicho punto biseca al segmento.
M
M es punto medio-de AB
ABAM = MB o AM = MB =
PUNTOS COLINEALES.- Son los que pertenecen a una misma recta. Por ejemplo, los 
puntos A, B, C, D, contenidos en la recta r.
Además , si se marcan sobre la recta en
el orden en que se mencionan, diremos 4 -------■--------- ■---------- ►
que A,B,C,D, son consecutivos. A B C D
43
Ejemplo.- ¿Cuántos segmentos se pueden contar en la figura adjunté?
B D
Se observan: AB, AC, AD, AE ; BC, BD, BE ; CD, CE y DE
En to ta l: 1.0 segmentos.
Nota.- En general, “n” puntos colineales y consecutivos, determinan
n (n 1) segmentos. 
2
Así, para el ejemplo anterior: n = 5 puntos.
5 / 4 )
El número de segmentos que se obtiene =* ' = 10
OPERACIONES CON LOS SEGMENTOS:
Basados en el Postulado: “ El total es igual a la suma de sus partes”, tenemos
B
AB + BC = AC
Q R
B D
PQ + QR + RS = PS
AB+ BC + CD + DE + EF = AF.
AB + BE = AE ; AC + CD + DE = AE 
BD + DF = BF ; etc
También, podemos efectuar diferencias entre las longitudes de dos segmentos para 
representar un tercero; por ejemplo:
M N T
MN = M T - N T ; NT = MT - MN.
* DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.- Es la longitud del segmento que los une. Así, la '
distancia entre los puntos A y B, es AB. .___________________ .
A B
OBSERVACIONES:
En algunos gráficos, vamos a representar las longitudes de los seg 
mentos con letras, usualmente, minúsculas. Por ejemplo:
k
A B > El segmento AB , mide “x unida des de longitud” AB = x .
Q R ► Para la longitud de PR como:PR = PQ + QR PR = a + b
n
> FG = E G -E F FG = n - x
En este caso:
K—2a
B
►
En aquellos casos de segmentos congruentes:
M * N R
MN = NR 
o MN = NR
K
JK s KL
Si se enunciara como dato: 
AB = 2BC ( La longitud de AB, 
el doble de la longitud de BC ); 
entonces, haciendo: BC = a; ten­
dremos: AB = 2a.
R
RS = ST
POLIGONAL.- Se dá este nombre al conjunto de dos o más segmentos consecutivos
trazados en diferentes direcciones, sin intersecarse dos no consecutivos.
P. convexa 
ABCDE
A
R no conve­
xa PQRST
Cada segmento es un lado y cada punto es un vértice de la poligonal.
Una poligonal se llama convexa, si alguna recta la interseca, como máximo, en dos puntos. 
La poligonal es no convexa, si la recta determina sobre ella más de dos puntos. Esta última 
poligonal se menciona en algunos textos como cóncava.
POSTULADO DE LA MINIMA DISTANCIA.- “La mínima distancia entre dos puntos, es la 
longitud del segmento que los une”.
De modo que, en la figura adjunta, 
el menor camino para ir de A hacia B,
es A B . Entonces:
AB < AC + CB
«£ -
A B
E j e m p l o En el gráfico anterior: AC = 12 y CB = 8. Hallar el máximo valor entero de AB
Solución.- Tenemos :
AB < AC + CB 
AB < 12 + 8 
AB < 20
Entonces, el máximo valor entero de AB: 19.
45
POLIGONALES ENVUELTA Y ENVOLVENTE.- Se determinan al trazar dos poligonales 
cuyos extremos coinciden, hacia un mismo lado 
y sin intersecarse en algún otro punto.
Para el gráfico adjunto:
D
ACDEB
AMNB
Envolvente
Envuelta
( A y B, son los extremos comunes y las poligonales están a un mismo lado de AB)
TEOREMA DE POLIGONALES.- Toda poligonal envolvente es mayor que su respectiva 
envuelta, de la misma naturaleza. Así, para el anterior gráfico:
AC + CD + DE + EB > AM + MN + NB. C
Vamos a demostrar este teorema para poligonales
de dos lados, como en la siguiente figura:
Demostración
Prolongamos AM hasta su intersección en H,
con BC. Luego, por el postulado de la mínima 
distancia:
A ACH 
A MHB
AC + CH > AM + MH 
MH + HB > MB B
Sumando miembro a miembro:
AC + MH + CH + HB > AM + MB + MH 
AC + CB > AM + MB.
Ejemplo.- En la figura adjunta:
AB = 10 ; BC = 12 ; CD = 11 y 
AE = EF = FD = x
Hallar el máximo valor entero de x
A) 10 
Solución
Observamos, que:
B) 12 C) 11
AC + CH + HB > AM + MB
ABCD
AEFD
envolvente
envuelta.
D) 9
Entonces, por el Teorema de poligonales:
AE + EF + FD < AB + BC + CD 
x + x + x < 10 + 12 +11
3x < 33
De donde: x < 11
Es decir, el máximo valor entero de V , es: 10 
Rpta: ( A ) .
PROBLEMAS RESUELTOS
NIVEL I r
1) Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, 
Son tales que: AD = 18, BD = 13 y AC = 12
UMIr,r D r
B) 7
Hallar BC. 
A) 6
Solución
BC = ?
Del gráfico:
AB = 18- 13 
Luego: BC = AC - AB
BC = 1 2 - 5
Rpta : ( B ).
C) 8
AB = 5
BC =7
D) 9
12
B
\*
18
13
E) 5
D
2 ) P,Q Y R son tres puntos consecutivos de una recta. 
PQ = 2QR + 1 y PR = 31. Hallar QR.
A) 9
Solución
B) 10 C) 11 D) 12 E) 8
Consideremos el gráfico adjunto. Incógnita: QR -= x. 
Entonces:
PQ = 2QR + 1 
PQ = 2X + 1
Luego, en el gráfico:
PQ + QR = 
2x + 1 + x = 
3x =
• • x =
PR
31
30
10
31
2x + 1 +
Q R
Rpta: QR = 10 ...( B ).
47
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A,B, C,D tales que
AB AD
AD = 24 , AC = 16 y BC CD
Hallar: BC
A) 3 B) 4 C) 6 D) 3,6 E) 5
Solución
Consideremos el gráfico adjunto. 
Incógnita : BC = x
Se observa:
AB = 16 - x 
y CD = 2 4 - 16 = 8
•—
%
24
I f i
16 -x
IT
8
D
Reemplazando en la expresión dada:
AB AD 1 6 - x 24
BC CD 8
Entonces:
1 6 - x = 3 => 1 6 - x = 3x
16 = 4x => — = x = > 4 = x
Rpta: BC = 4 ...( B ).
A, C, D y E, son puntos colineales y consecutivos tal que D sea punto medio de CE y 
AC + AE = 50. Hallar AD
A) 25 B) 12,5 C) 50 D) 20 E) N.A
Solución
Incógnita: AD = x.
Sean: CD = DE = a (... D, es punto medio de CE ).
Con el dato:
AC + AE = 50
( x-a ) + ( x+a ) = 50
2x = 50 
x = 25
•-
A
H
k i
Rpta: AD = 25 . . . (A) .
•LU
5) A, B y C, son puntos colineales y consecutivos, tales que 7AB = 8BC y AC = 45. 
Hallar BC.
A) 25 B) 19 C) 23 D) 21 E) N.A
Solución
Incógnita: BC = x 
El dato :
7AB = 8BC 
7 (45-x) = 8x = 
315 = 15x 
x = 21
, ( 45 -x ) t
á-------------------- J
X
*
315- 7x = 8x
B
Rpta: { D ).
6) Los puntos consecutivos A, M, B y C pertenecen a la misma recta. M, es el punto medio de 
AC .
Hallar MB, si: AB - BC = 32.
A) 8 B) 32 C) 18 D) 16 E) 24
Solución
Con el gráfico adjunto:
MB = x Incógnita.
Si BC = a,
entonces: MC = x + a y AM = x + a, 
ya que AM = MB, por ser M punto
medio de AC.
Reemplazando en el dato :
A B * BC *
( x + a + x ) - a =
= 32 
32 
2x =32 
x = 16
----f i---- * -------- 1— — i-------- ►
A
f e ---- y x a
M
— — v— ■
Rpta: MB = 16 ...( D ).
7) En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, cumpliendo la relación 
4AB- BD - 2CD = 4.
Hallar AD, si AB = 3 y AC = 5.
A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E)7
49
Solución
Como : AB = 3 y AC = 5 BC = 2
Sea CD = x. Luego, reemplazando 
en el dato :
4AB - BD - 2CD = 4 :
4 ( 3 ) - ( 2 + x ) - 2 x = 4 x = 2
Entonces: AD = 3 + 2 + x = 7.
*\
B D
Rpta: (E).
Sean los puntos colineales y consecutivos E, F, G y H 
Si: EF = 8, GH = 9 y EG.GH + EF.FH = FG.EH,
Hallar FG.
A) 10 B) 12 C) 14 D) 17 E) N.A
Solución 
Incógnita : FG = x
Con el dato: EG.GH + EF.FH = FG.EH 
y el gráfico :
(8 + x )9 + 8 (x + 9 )
x >|< 9 »l
De donde:
x( 8 + x + 9 )
72 + 9x + 8x + 72 = 8x + x2 + 9x
144 = x2
/ Í 4 4 = x 
12 = x
H
Rpta: FG = 12 ... ( B ).
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, siendo C punto medio de 
AE, además AB = CD. Calcular la longitud de BD. si AE = 18.
A) 6
Solución
BD = ?
AB = CD = a 
AE = 18
B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
9r1 - ■ \ 9
a
B D
AC = CE = 9 (ya que C es punto medio de AE ).
Del grá fico :
BD = BC + CD 
BD = ( 9-a ) + a BD = 9
Rpta: ( D ).
10) M, Nt R, son puntos colineales y consecutivos, tales que 2MN + 3NR = 81 
Hallar NR, si MR = 36
A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 9
Solución
NR = x = ?
Reemplazando, según el gráfico, 
en el d a to :
2MN + 3NR =81 
2 (36 - x ) + 3x =81 
72 - 2x + 3x = 81 
• x = 9
M
(36 - x)
20
N
•4
R
Rpta : ( E ).
11) Los puntos A, B, C y D son colineales y consecutivos
Demostrar, que:
Solución
Comenzando del lado izquierdo de la expresión propuesta :
B
1
i i
AC + BD = AC + BC + CD
AC + BD = AD + BC .......... L.q.q.d.
12) A, B, P, C y D, son puntos colineales y consecutivos. CD = 2AB, BP = PC y 
Hallar BD.
+
D
AP = 12.
B) 16 C ) 18 D) 20 E) 24
51
Solución
Incógnita: BD 
Del gráfico
BD = 2b + 2a =* BD = 2 ( b + a ) ( 1 )
El dato: AP = 12 =* a + b=12
Reemplazando, en ( 1 ): BD = 2 ( 12 )
• BD = 24
Rpta: ( E ).
13) Sean los puntos colineales y consecutivos L,M, N, P, Q, siendo : 2LM = MN y
LN 1
H allar:
NQ
LM
MQ
A) 12 B) 1/12 C) 13 D)1/13 E) Ninguna
Solución
Se tienen :
* MN = 2LM Si LM = a,
entonces: MN = 2a
* También,de :
LN 1
MQ MQ = 5 ( LN ) = 5 ( 3a )
••• M Q= 15a NQ = 13a
NQ 13a
Entonces: t t 7 = -------=LM a
Rpta: ( C ).
14) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R. Entre los puntos Q y R se
toma un punto H, tal que : PH = 
Hallar QH.
HR
y QR - 4PQ = 28
A) 7 B) 5,6 C) 4,8 D) 4,5 E) N.A
52
Solución
Incógnita: QH = x
Del dato : PH =
HR
HR = 4PH
Si PH = a HR = 4a
a .1. 4a* - ' y 
fc» ■- É
Q H R
Reemplazando en el otro dato :
QR - 4PQ = 28 
( x + 4a ) - 4 ( a-x ) = 28 
x + 4a - 4a + 4x = 28 
5x = 28 
x = 5,6
Rpta: ( B ).
15) Sean los puntos colineales y consecuivos A, E, B, P y C ; E, es punto medio de AB y P
lo es de EC.
Hallar PC, Si: AB + 2BC = 36.
A) 8 B) 16 C) 18 D) 9 E) 12
Solución
Considerando el gráfico, 
donde la incógnita es PC = x
Según dato : AB + 2BC = 36
r*
X B
Reemplazando:
2a + 2 ( 2x - a ) = 36
2a + 4x - 2a = 36 
x =9
4x = 36
Rpta: PC'= 9 ... ( D )
16) En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C siendo
AC + AB = - BC.
ü
H allar:
AB
BC
A) 3
1
B>6 C) 2
1
° > 3
53
Solución
AB* ---- = 9
BC A B
* Del dato:
Luego:
AC + AB = - BC
( AB + BC ) + AB = - BCó
2 AB = - BC
ü
AB
BC
Rpta: ( D ).
17) Sean los puntos colineales y consecutivos P, Q, R y S, tales que
PQ _ QR RS 
3 " 4 " 5
y : 2PQ + 5QR + 8 RS =132 
Hallar PQ.
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 4
Solución
S e a :
PQ QR RS = X
3x
Q
4x
R
5x
Luego :
PQ = x => PQ = 3x QR = x =» QR = 4x
RS = x => RS = 5x
Reemplazando en el otro dato :
2PQ + 5 QR + 8 RS = 132 
2 ( 3x ) + 5 ( 4x ) + 8 ( 5x ) = 132 
6x + 20x + 40x = 132 
66x= 132
x = 2
Entonces : PQ = 3x = 3 ( 2 ) = 6 
Rpta: ( B ).
n 4
(/)
*
18) Los puntos A, C, D y B, son colineales y consecutivos. CD =
AB = 24 cm.
Hallar: B D - C D
1
2 AC AD = —DB y
1
A) 12 cm B) 14 cm C) 16 cm D) 18 cm E) 20 cm
Solución
Como:
1
CD = - AC
1
AD = - DB
O
AC = 2 CD
DB = 3 AD
24
2x
D
9x
B
Luego, si CD = x , entonces :
AC = 2x , AD = 3x
En el gráfico
DB = 3 ( 3x )
AB = 24 => 12x = 24 
• x = 2
DB = 9x
Se p ide :
B D - C D => 9x - x = 8x = 8 ( 2 ) = 16
Rpta: ( C ).
NIVEL n
, 1 /
19) Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E, de modo que : AE 
BD = 9, AC = 23 y AB - DE = 5.
Hallar CD.
= 36,
A) 1
Solución
B) 1,2 C) 1,5
Considerando el gráfico, 
donde la incógnita es CD = x:
CE = A E - A C
CE = 3 6 - 2 3 CE = 13
D) 2,5
36
,E>2
Ü
B D
23
v * r * - l
13
Luego, en el dato :
2 3 -
AB
(9-x)
DE = 5O
( 13-x) =
2 3 - 9 + x - 1 3 + x = 5
x =2
De donde:
Rpta: CD = 2 ... ( E ).
Dados los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D.E y F : AB = EF, BC = DE, AD = 18 
y AF = 28.
Hallar CD
A) 7 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8
Solución
Incógnita: CD = x.
Sean las longitudes:
AB = a y BC = b. Luego,
por dato :
28
18
B D
*t*
Del gráfico
EF = AB => EF = a 
y DE = BC => DE = b
DF = 28 - 18 => DF = 10 
a + b = 10
Entonces, como : AD = 18
+
a +13 + x = 18
O
10 + x = 1 8 
■ x = 8.
Rpta : CD = 8 ... ( E ).
En una recta se toman los puntos consecutivos C, R y Z ; además se toma HU” entre UR" 
y *‘ZM cumpliéndose: 4CU = UZ y RZ - 4CR = 20.
Hallar RU.
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10
Solución
Considerando el gráfico adjunto, 
donde RU = x, es la incógnita:
Si CU = a . UZ = 4CU = 4a 
Además: RZ - 4CR = 20
a
h
R U
4a
Luego:
( x + 4a ) - 4 (a - x ) = 20 
x + 4a - 4a + 4x = 20 
5x= 20 
* x = 4
Rpta: RU = 4 ... ( B ) .
22) Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, tal que AB =
AC = 12. 
H allar: AB
A) 8
Solución
B) 9 C) 7 D) 6
2 AB -B C
AC
E)4
Incógnita: AB = x
En el gráfico: BC = 12 - x
Reemplazando en el dato
De donde:
Rpta : AB = 8 ... ( A ).
AB =
AB -B C /
AC
x =
2 ( x 2 - ( 1 2 - x ) 2 )
12
1Z
i
B
6x = x - ( 144-24X+ x¿ )
23) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos M, N, O y R, tales que NO = 
Calcular MO en función de MN y MR.
OR
A) MO = MN + MR
B) MO = MR + 3MN
57
C) MO =
D) MO =
MR + 3MN 
2
MR + MN
E) Ninguna anterior
Solución
D ato : NO = OR
M N O R
Del gráfico:
MO = MN + NO
Luego : MO = MN + OR , usando el dato.
o mejor • MO = MN + — — ^ 2 , ya que OR = M R - M O
Despejando ahora MO
MO = MR+3MN
Rpta: ( B ).
24) A, B, C, D y E, son puntos colineales y consecutivos tales que
2AB = 3BC = 4CD = 5DE y AE + BD = 56.
Hallar: AB 
A) 15 B) 28/3 C) 14 D) 16 E) 17
Solución
Sean : 2AB = 3BC = 4CD = 5DE = x 
Luego:
2AB = x -> AB = - ; 3BC = x -» BC =¿L O
4CD = x -» CD = 4 y 5DE = x -4 DE = 44 1 5
Reemplazando en el dato :
AE + BD = 56
« -¿ 4 - 3
x_
4
B D t
con el gráfico:
( X X X X ' / \ ( X X ^—+ —+ — h •+*Í 2 3 4 5 , 1 l 3 4 ¡
58
Efectuando la sum a:
28
15
x = 56 —> x = 30
x 30 ADLuego ; AB = — = —------> AB = 15
Rpta: ( A ).
25) Sean los puntos M, N y R , consecutivos y colineales. Hallar MN, si: MN - NR = 6 y
MN NR MR + + = 18
A) 12 B) 10 C) 14 D) 15 E) 18
Solución
* Incógnita: MN
* Como: MN - NR = 6 
Entonces : MN = 6 + NR
- S i: NR = a -> MN = 6 + a
6 + a +
M N
Colocamos esto en el gráfico. Luego : MR = 6 + 2a.
Reemplazamos ahora en el otro dato :
MN NR MR+ + = 18 -> 6+ a a 6+2a 1 — + — + ■■ - -
2 3 6
R
= 18
A fin de cancelar los denominadores en el primer miembro, multiplicamos toda la expresión 
por 6. ( m.c.m. de 2,3 y 6 ); obteniéndose:
6x ( 6 + a >+ 6 x —+ 6 x f 6 + 2ai 2 j 3 . 6 = 6x18
18 + 3a + 2a + 6 + 2a — 108
7a = 84 a = 12
Rpta: MN = 6 + 1 2 = 18 ... ( E )
:6) A, M, B, C, N y D, son puntos colineales y consecutivos. M y N, bisecan AB y BD.res 
pectivamente. Hallar BC, sabiendo además que :
NC = 4 , CD = MB y AD = 36
A) 1,2 B) 2,5 C) 1,8 D) 3 E) 2,8
59
Consideremos el gráfico adjunto
t
Incógnita: BC = x
Solución
Como: BN = x + 4 ND = x + 4
Luego : CD = x + 8 -» MB = AM = x + 8
Entonces, usando el dato AD = 36 :
4x + 24 = 36
De donde:
x = 3
x + 8 M x + 8 B
36
Rpta: BC = 3 ... ( D ).
27) Para el gráfico adjunto, hallar el máximo
valor entero de y \ cuando “x” toma su
máximo valor entero.
A) 29 B) 27 C) 28 D) 26 E) 25
*
Solución
Primero encontraremos el máximo valor entero de “x".
Por el teorema de Poligonales: AE + ED < AB + BC + CD 
Es decir: x + x + 1 < 10 + 9 + 1 1
2x + 1 < 30 
2x < 29 —» x < 14,5 El máximo valor entero de x, es : x = 14
Para hallar y , usamos el postulado de la mínima distancia
AD < AE + ED
y < 14 + 15 , (con x = 14).
y < 29 Máximo valor entero : y = 28
Rpta: ( C ).
28) A, B, C y D, son puntos colineales y consecutivos tales que : AC + BD = 24.
Hallar la distancia entre los puntos medios de AB y C D .
A) 24 B) 48 C) 6 D) 12 E) 18
Solución
Sea M y N, puntos medios de AB y C D , 
respectivamente. Incógnita: MN.
60
Según el gráfico : MN = x + y + z . 
Por dato : AC + BD = 24 
Luego : ( 2x + y ) + ( y + 2z ) = 24
2x + 2y + 2z = 24 
x + y + z = 12
Reemplazando en (1) : MN = 12 
Rpta: ( D ).
(1)
M B N D
A, B, C y D, son puntos colineales y consecutivos. M es punto medio de AB y N es punto
medio de C D .
Demostrar, que: MN =
AC + BD
Solución
Considerando el gráfico adjunto, A M B C N D
observamos que :
Es decir:
MN = MB + BC + CN
n ú AB o/™* CD MN = — + BC + -----
Dando común denominador en el 2fi miembro :
AB + 2BC + CD MN = ---------------------
o, m ejor:
MN =
AB+BC +BC+CD
Pero: AB + BC = AC y BC + CD = BD
Por lo tanto:
„ K1 AC + BD
MN = ...... I.q.q.d
Sean los puntos colineales y consecutivos : A, B, C y D. S i :
entonces :
AB = AC 
CD BD
A) AB = BC B) BC = CD C) AB = 2CD D) AB = CD E) Ninguna anterior.
61
Solución
Del Dato:
\
AB _ AC 
CD " BD B D
Según el gráfico : AC = AB + BC y BD = BC + CD.
Reemplazando en lo anterior:
AB AB + BC
CD BC + CD
Efectuando el producto de medios y extremos :
Luego:
Q ueda:
AB ( BC + CD ) = CD ( AB + BC ) 
AB.BC + £&CD = A & C ÍÍ+ BC.CD
AB.BC = BC.CD
Simplificando : AB = CD
Rpta: ( D ).
31) En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que BC = 1 ,
AC CD 
1
A > 2
1
B>3 D)1 E > 2
Solución
AB = x = ?
Con el gráfico y el dato
Luego :
De donde :
B
2 x
AC CD
1 + — = 1
x + 1 2 x
2 x + ( x + 1 ) 
2 x.( x + 1 )
= 1
i
D
3x + 1 = 2 x + 2x
2 x2 - x -1 = 0 
( 2 x + 1 ) ( x - 1 ) = 0
2 X + 1 :0 - » X = — -
2
x - 1 0 -> x = 1
62
CD = 2AB
Luego:
x = 1 - * AB = 1 
Rpta: ( D ).
32) U, N, I, son puntos colineales y consecutivos UN - NI = 32.
M, biseca UN ; R, biseca NI y Q biseca MR. H a lla r: QN.
A) 32 B) 16 C) 18 D) 4 E) 8
Solución
tIncógnita: QN= x y 2x+¡j M x+a
_ u sv»
Sea : NR = a
Rl = a , QR = x + a,
MQ = x + a y UM = MN = 2x + a
Usando el gráfico, para reemplazar en el dato : UN - NI = 32
( 4x + 2a) - 2a = 32 4x = 32
x = 8
Rpta: QN = 8 ... ( E ).
33) Sobre una recta, se marcan los puntos consecutivos P, Q, R, S y T, siendo :
PS.ST = PQ.QT. Entonces, es cierto que:
A) PQ = ST B) QR = RS C) PR = RT D) PQ = RS E) QR = ST
Solución
Reemplazando en el dato: ^ a t | ( b c d ^
PS.ST = PQ.QT, las longitudes •--------♦ ---
representadas en el gráfico:
(a + b + c )d = a ( b + c +
Efectuando:
ad + bd + cd = ab + ac + ad
De donde:
bd + cd = ab + ac 
o, mejor aún : d ( b + c ) = a ( b + c )
cancelando (b + c): d = a -» ST = PQ 
Rpta: ( A ).
R S T
d)
63
MA + MB = - A B
2
Si además:OM = x . OA + y . OB 
Hallar: x.y.
a » ^ b> - 4 c » ^ e> ’
Solución 
Se tienen :
MA + MB = - A B ( | ) •------- ------
2 K h O A B M
OM = x . OA + y . OB ... ( II ).
Vamos a partir de la expresión ( I ) para llegar a una expresión idéntica a la ( II ), y por 
comparación deducimos los valores de “x” e “y”*
Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos O, A, B y M, de tal manera que :
Así, de ( I ):
MA + MB = - A B
2
En términos de OM, OA y OB :
( O M - OA ) + ( O M - O B ) = | ( OB - OA )
Efectuando:
2 (O M ) = | ( O B ) + O B - | ( O A ) + OA 2( OM ) = | ( OB ) - 1 ( OA)
De donde :
( OM ) = -. - i • OA + | - O B ( l l i ) .
Luego, comparando ( I I ) y ( I I I ), se observa, que :
1 5x = — ; y = —
4 4
5
Se pide : x.y = - —
Rpta : ( B ).
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C de tal manera que BC es mayor 
que AB. Se toman los puntos UP" medio de AB; HQ" medio de BC y "M" medio de AC. 
Entonces la expresión QC - AP es igual a :
A)BM B )4 ? C)2 BM D ) ^ E) —
Q C - AP = ?
Sólución
Sean: BM = a
MQ = b
Luego : BQ = a + b = QC 
y: MC = a + 2b = AM
Entonces : AB = AM - BM
AB = a + 2b - b AB = 2b y AP = PB = b
m — H
B a M b
i 3-
a + 2b
a + b 
^ 3 -
Ahora, reemplazando en la pregunta del problema:
Q C - AP = ( a + b ) - b
QC -AP = a
Es dec ir: Q C - AP = BM
Rpta: ( A ).
En una línea se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E; siendo : 
AC.AD = BE.CE ; BC.DE = 9 y AB.CD = 7.
Hallar: AC2 - CE2-
A) 16 B) 4 C) 2 D) 1 E) 8
Solución
Incógnita :
 2 2
AC - CE
D atos: A B C D E
AC.AD = BE .C E.... ( 1 )
BC.DE = 9 .............( 2 )
AB.CD = 7 .............( 3 )
DE ( 1 ) : AC.AD = BE.CE 
Con el gráfico:
AC.(AC + CD) = (BC + CE). CE
Efectuando :
Á c 2 + AC.CD = BC-CE + CE2
De donde :
ÁC2 -C É 2 = BC.CE - AC.CD
Ahora, tratamos de acomodar el segundo miembro de ésta última expresión para usar los 
datos ( 2 ) y ( 3 ):
AC - CE = BC ( CD + DE ) - ( AB + BC ) CD
AC - CE = BC.CD + BC.DE - AB.CD - BC.CD
Es dec ir: AC - CE = BC.DE-AB.CD
Con ( 2 ) y ( 3 ) : AC - CE = 9 - 7 = 2 
Rpta: ( C ).
Otra forma :
Usando variable para las longitudes. 
Incógnita:
AC - CE = ( m + n )2 - ( r+q )2
Los datos
BC.DE = 9 nq = 9 
AB.CD = 7 -> mr = 7
n I
B D
y de : AC.AD = BE.CE (m + n ) ( m + n + r ) = ( n + r + q ) ( r + q )
De ésto último, se obtiene:
(m + n )2 + (m + n )r = n (r + q ) + ( r + q )2
Es dec ir:
o también :
( m + n )2 - ( r + q )2 = nq -mr
i
AC CE = 9 - 7
Rpta: AC -C E = 2 ... ( C ) .
Los puntos A, B, C, D, E son colineales y consecutivos AC = 3BD, AB = DE y 
AE - 5 BC = 28. Hallar CD.
A) 1
Solución
B) 2
Incógnita : CD = x
Sea BD = a
Según d a to :
AC = 3BD
AC = 3a
C) 3 D) 4
3a
B C D
E) 5
4 2 a+x — ►^ 4a-x 2 a+x *
a
Luego : BC = a -x y AB = 3a - ( a-x ) -» AB = 2a + x = DE
Por otro lado : AE - 5BC = 2 8 ............( dato ).
Con el gráfico : 5a + 2x - 5 ( a - x ) = 28
Efectuando:
7 x = 28 
x = 4
Rpta : CD = 4 ... ( D ).
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, E y
5
AC + BD + CE + DE = 26 m y BE = ( - ) AF.O
Calcular AF.
A)6 m B)13 m C)16m D)18m
Solución
AF = ?
B E = § A F
♦
A B C D
* Del dato: AC + BD + CE + DF = 26
Agrupando en forma conveniente :
AE + BF = 26
Luego, desdoblamos B F :
Ahora:
AE + ( BE + EF) = 26 
AF + BE = 26
con el d a to :
AF + f AF = 26 
8
Esto es :
13
— AF = 26
AF = 16
F, tal que
E)20
Rpta: ( C )
AB . BC = a AC 2 y — + — = 0
BC AB
Luego:
A) a = — B) a = C) 0 = —! - D) 0 = — E) 0
1 + 0 2 + 0 1+ a 7 2 +a
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C, cumpliéndose
Solución
Datos:
A B
AB . BC = « A C 2 ..........( 1 )•
A B ^ e ............... ( 2) .
BC AB ' '
D e (1 ) :
A B . BC = a ( AB + B C f
De donde :
Es dec ir:
AB . BC = a ( A B 2 + B C 2 ) + 2 a AB . BC 
AB . BC( 1 - 2 a ) = a ( AB 2 + B C 2 )
o, m e jo r:
1 - 2 a A B 2 + B C 2
a A B . BC
desdoblando el 2 - miembro :
1 - 2 a A B 2 B C 2+
a A B . BC AB . BC
Esto e s :
1 - 2 a AB BC
= -----+ ......... 3 .
a BC AB ' 7
Ahora, reemplazando ( 2J en ( 3 ) :
1 - 2 a = 0
a
De donde, fácilmente obtenemos que :
1a =
2 + 0
Rpta: ( B )
40) Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, si : CD = 12m. Calcular la longitud del
segmento que une los puntos medios de AC y A D .
A) 3 m 
Solución
B) 8 m C) 4 m
Consideremos el gráfico adjunto. Sean
D) 9 m E) 6 m
M
N
punto medio de AC 
punto medio de AD
* Incógnita : MN = x
* Si NC = a MC = x + a = AM
x + a 12
A B M x n a C 
b*---- VVMM— — yvivwr
*
Luego, com o:
De donde :
AN = ND
Con el gráfico:
x + a + x = a + 1 2
2 x = 12 x = 6
Rpta: ( E ) .
( NIVEL in
41) Sean los puntos colineales y consecutivos M, N, R y T, tales que 
Ñ R = R T y MR.NR = 10.
Hallar: M T 2 - M Ñ 2
A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40
Solución
Sea el gráfico adjunto, donde se indica el
dato NR = R T , haciendo NR = RT = a 
y MN = b
Se dá :
M
MR.NR = 10 ( b + a ) a = 10 (D -
R
i
T
Nos piden : MT - MN
MT2 - MN2 = ( b + 2a )2 - b2 = b2 + 4ab + 4a2 - b2
= 4ab + 4a2 = 4 ( b + a ) a
89
Es dec ir: MT2 - MN2 = 4 ( b + a ) a
Usando la expresión ( I ) : MT2 - MN2 = 4 x 10 = 40
Rpta: ( E ).
A, B y C, son puntos consecutivos de una recta. M es punto medio de AC y N es
medio de BC.
Demostrar, q u e :
MN = AB
Solución
Sea el gráfico:
Tenemos: MN = MB + BN 
Siendo:
b
M B N C
MB = AB - AM y BN =
BC
Reemplazando en lo anterior:
MN = A B - A M + BC
Pero: AM =
AC
Luego:
K A K I A DMN = AB + -----
2 2
o, m ejor:
MN = A B - ' A C -B C '
y
y, como AC * BC = AB, entonces :
MN = A B -
ABDe donde, efectivamente : MN = — .......... I.q.q.d.
Sobre una recta se marcan los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, tal que 
AB = CD.
1 1 
Luego, la expresión : + ^ 5 -
Es equivalente, a:
A) AB.BC b ) A B 2 + B C 2 C ) ( A B + B D )2 D) AB.BC E) AB.BC
Solución
Considerando el gráfico adjunto, 
tenemos :
1 1 +
AB. AC BC.BD = ?
1 1+
a ( a + b ) b ( a + b )
B D
Es d e c ir:
b + a
ab( a + b )
1 1+ a + b
AB. AC BC.BD a b ( a + b )
Entonces
1 1+ 1
AB. AC BC.BD ab
1 1+ 1
AB. AC BC.BD AB.BC
Rpta : ( D ).
44) Sean los puntos colineales y consecutivos A, B y C. Hallar la longitud de A B , s i : 
AB + BC2 = 11 y AC = 9.
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
Solución
Incógnita : AB = x
Del gráfico :
BC = 9 - x
En el d a to :
A B + BC2 = 1 1 
x + ( 9 - x) 2 = 11
A
A
B
De donde:
x2 - 17x + 70 = 0 
( x-10 ) ( x-7 ) = 0
Resolviendo: x = 1 0 ó x = 7
Pero, como x < 9 , entonces : x = 7 
Rpta : AB = 7 ... ( D ).
45) Los puntos A, B y C son cotíneales y consecutivos. AC = 56. M, N, R y S, son puntos 
dios de AB , BC , AN y MC respectivamente.
Hallar: RS
A) 28 B) 14 C) 7 D) 18 E) N.A
Sotución
Sea el gráfico:
Incógnita : RS = x.
Llamando SB = a, BN = b = NC y MR = d,
A ***** M d R x SB b Ñ *
entonces:
MB = a ♦ x + d = AM
según, dato : AC = 56
Luego:
2x + 2a + 2b + 2d = 56 => x + a + b + d = 2 8 ............(1).
* [ Debemos hallar a + b + d, para reemplazar en ( 1 ) ]. 
Por otro lado:
SC = MS —> a + 2b = d + x ( 2 ).
AR = RN -> a + x + 2d = x + a + b ( 3 ).
Sumando, miembro a miembro, las expresiones ( 2 ) y ( 3 ) :
2 a + 2 b + 2 d + x = a + b + d + 2 x
Luego : a + b + d = x
Reemplazando ésto último, en ( 1 ) :
x + x = 2 8
x = 14
Rpta: RS = 14 ...( B ).
46) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo AB = 4 y CD ■
HaHar MN, si M biseca AC y N biseca BD .
A) 7 B) 8 C) 14 D) 9 E) 10
Solución
Considerando el gráfico apunto, sean :
MB = x, BC = y, CN = z. Luego, la incógnita, es : r
MN = x + y + z . ( I ) .
Se observan
M * B yC 2 y+2
x+y 10
AM = MC 
ND = BN
AM = x + y 
ND = y + z
•p
Entonces :
AB = 4
CD = 10
2x + y = 4 
2 z + y = 10
( I I ) .
( I I I ) .
Efectuando la suma de las expresiones ( I I ) y ( I I I ), miembro a miembro :
2x +2y + 2z = 14 
x + y + z = 7
Reemplazando esto en ( I ) : MN = 7 
Rpta: ( A ).
47) En una recta se