SADIKU CAP 10 EXERCICIOS RESOLVIDOS

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CAPÍTULO 10 
ANÁLISIS DE ESTADO ESTACIONARIO SINUSOIDAL. 
SECCIÓN 10.2 ANÁLISIS NODAL 
10.1 Determine i en el circuito de la figura 10.50 
2 cos(10 ) ! " =2#0° 
$ = 10 
1% ! &' = 1*$+ =
1
*10 = ,*0.1[-] 
1/ ! &3 = *$/ = *10[-] 
&4 = 1[-] 
&56' = &4 7 &3&4 7 &3 
&56' = 1 7 *101 8 *10 = 9
100
101 8 *
10
101: [-] 
&563 =
&56' 7 &'
&56' 7 &' 
&563 =
&56' 7 ,*0.1
&56' , *0.1 = 9
100
;;01 , *
;;0
;;01: [-] 
&56 = &563 8 1 
&56 = 100;;01 , *
;;0
;;01 8 1 
&56 = 910001;;01 , *
;;0
;;01: [-] = 1.01<# , <.><°[-] 
? = "&56 
? = 2#0°1.01<# , <.><° = @. AB#C. DC°[E] 
? = 1.;F cos(10 8 <.><°) [G] 
 
 
 
10.2 Determine ! en la figura 10.51 aplicando análisis nodal.
"# + "$ + "% = 0 
&' ( 4)0°
2
+
&'
(*5
+
&'
*4
= 0 
&' ( 4)0°
2
+
*&'
5
(
*&'
4
= 0 
10 ! " 40#0° + $4 ! " $5 ! = 0 
 !(10 " $) = 40#0°
 ! =
40#0°
(10 " $)
 ! = 3.98#5.71°
10.3 Determine %& en el circuito de la figura. 
16 sen(4') * =16# " 90° = "$16
2 cos(4') * , =2#0°
- = 4
1
12
/ * :; =
1
$-<
=
1
$ > 4 >
1
12
= "$3[?]
2@ * :A = $-@ = $ > 2 > 4 = $8[?]
B; + BA + BC = , 
 ! + $16
4 " $3
+ ! +
 !
6 + $8
= 2#0° 
 !
4 " $3
+
$16
4 " $3
+ ! +
 !
6 + $8
= 2#0° 
 !
4 " #3 + ! +
 !
6 + #8 =
98
25 " #
64
25 
 ! $ 14 " #3 + 1 +
1
6 + #8% =
98
25 " #
64
25 
 ! $6150 +
#
25% =
98
25 " #
64
25 
 ! = 468149 " #
328
149
 ! = 3.83& " 35.02°
 ! = 3.83'()*4, " 35.02°-[ ]
10.4 Calcule /7 en el circuito de la figura 10.53. 
16 sen*4, " 10°- : =16& " 10°
; = 4
1
4< : >? =
1
#;@ =
1
# A 4 A 14
= "#[B]
1C : >D = #;C = # A 4 A 1 = #4[B]
EF + 0.5EF = E? 
*16& " 10°- " F
#4 +
*16& " 10°- " F
#8 =
 F
1 " # 
*16& " 10°- " F
#4 +
*16& " 10°- " F
#8 "
 F
1 " # = 0 
*16& " 10°-
#4 "
 F
#4 +
*16& " 10°-
#8 "
 F
#8 "
 F
1 " # = 0 
 F
#8 +
 F
1 " # +
 F
#4 =
*16& " 10°-
#4 +
*16& " 10°-
#8
 F
#8 +
 F
1 " # +
 F
#4 =
*16& " 10°-
#4 +
*16& " 10°-
#8
 F $ 1#8 +
1
1 " # +
1
#4% = "1.04 " #5.91
 !12 + "
1
8# = $1.04 $ "5.91
% = $4.74 $ "10.63
&' = % 1 $ "
&' = $4.74 $ "10.631 $ "
&' = 2.94 $ "7.69
%( = 1 ) &'
%( = 1 ) *2.94 $ "7.69,
%( = 2.94 $ "7.69
%( = 8.23- $ 69.04°
10.5 Encontrar /: en el circuito de la Fig. 10.54. 
25 cos*4 ) 10;<, > % =25-0°
? = 4 ) 10;
2@A > B' = 1"?C =
1
" ) 2 ) 10DE ) 4 ) 10; = $"125[F]
1
4G > BH = "?G = " ) 4 ) 10
; ) 14 = "1000[F]
&' + &H = &( 
&( = 25-0° $ %(2I 
%(
"1000 +
%( $ 10&(
$"125 =
25-0° $ %(
2I 
$*0.5 + "7,%( + "0.04*25 $ %(, = $12.5
$*0.5 + "7.04,%( = $12.5 $ "
%( = 0.2668 $ "1.7566
&( = 25-0° $ %(2I =
25 $ 0.2668 + "1.7566
2I 
&( = 0.012 + "8.78 ) 10DJ
&( = 0.012-4.1°
%( 
 ! = 12"#$(4000% + 4.1°)[&']
10.6 Determine *, en la figura 10.55. 
 - + / = 350° 
 ! " 4 #20 + !20 + $10 = 3%0° !20 " 4 #20 + !20 + $10 = 3%0° 
 # = 2020 + $10 1 !20 " 4 !20 + $10 + !20 + $10 = 3%0° 
("2 + $0.5) 1 = 60 + $30 ! = 32.53% " 139.40° # = 2020 + $10 (32.53% " 139.40°)
 # = 29.10% " 165.96°
10.7 Utilice análisis nodal para encontrar V en el circuito de la Fig. 10.56 
&! + &' + &* + 6%30° = 0 " 120% " 15°40 + $20 + 6%30° + "$30 + 50 = 0 
 40 + $20 + "$30 + 50 = 120% " 15°40 + $20 " 6%30° 
 , 125 + $ 7300- = "3.19 " $4.78 / = "111.49 " $54.47
 = 124.08! " 153.96°
10.8. Use el análisis nodal para encontrar la corriente #$ en el circuito de la fig. 10.57. 
Si #% = &'(%)*$$+ , -/7 [:]
;< = 6 cos)200> , 157 =6!15°
? = 200
50@A B CD = 1E?F =
1
E G 50 G 10HI G 200 = "E100[J]
100KL B CM = E?L = E G 100 G 10HN G 200 = E20[J]
;O , ;D , ;M = 6!15° , 0.1 O 
 O " D
40 ,
 O
"E100 ,
 O
20 = 6!15° ,
 O
10 
5 O , E O , 2.5 O " 2.5 D = 600!15° , 10 O 
)"2.5 , E7 O " 2.5 D = 600!15° B PQRSQ;óT1
;N , 0.1 O = ;O 
 D
20E ,
 O
10 =
 O " D
40 
"2E D , 4 O = O " D 
)1 " 2E7 D , 3 O = 0
3 O , )1 " 2E7 D = 0 B PQRSQ;óT2
U"2.5 , E "2.53 1 " 2EV U
 O
 DV = W
600!15°
0 X
 O = 145.52! " 89.03°
 D = 195.23!154.39°
;O = O " D40
;O = 145.52! " 89.03° " 195.23!154.39°40
;O = Y.2Y! " 52.16°
10.9. Use análisis nodal para encontrar ! en el circuito de la figura.
10 "#$(10%&) ' * =10+0° 
, = 10% 
50-. ' /2 = 13,4 =
1
3 6 50 6 1078 6 10% = 93:0[;] 
10<> ' /? = 3,> = 3 6 10 6 107% 6 10% = 310[;] 
 
Nodo a: 
*@ = 10+0A 
Nodo b: 
B2 = BC D B? 
*@ 9 *E
:0 =
*E 9 0
:0 9
*E 9 *F
:3 A 
1
:+0 = *E G
1
:0 9
1
:3 D
1
:0H D *F G
1
:3H 
5+0 = (1 D 53)*E 9 53*F AAAAA(1) 
Nodo c: 
B? = IBC D B% 
9*E 9 *F:3 =
*F 9 *J
1003 D I G
*E
:0H 
503*E 9 503*F = 3*J 9 3*F D :0*E 
0 = (:0 9 503)*E D IK3*F 9 3*JAAAAAA(:) 
Nodo d: 
B% = BL 
 
*F 9 *J
1003 =
*J
M0 
0 = 3*F D G10M 9 3H*JAAAAAA(M) 
El sistema nos queda: 
 5!0 = (1 + 5")#$ % 5"#&0 = (25 % 50")#$ + 49"#& % "#'0 = "#& + *103 % ",#' 
Donde: #' = 6.15!70.15 #' = #- #- = 6.15!70.15 #- = 6.15 /8:(10; + 70.15) 
S 
10.10. Aplique el análisis nodal para hallar ! en el circuito dela figura 10.59. Sea 
" = #$%&'(/).
36 cos*2000+, - 1 =3640°
5 = 2000
278 =
9
:;<
=
9
:2000 > 2?90@A
= B:2C0
 
C0DE = :;F = :2000 > C0?90@G = :900
HIJI$9$
KL M KN M KG = 3640°
1L
2O
M
1L
:900
M
1L B 1N
B:2C0
= 3640°
0.92C1L B :2.C1L M :1L B :1N = P00040°
*0.92C B :2.C,1L B :1N = P00040° - Q<RS<KóT9
HIJI$2
0.91L M KU = KG
1L
90
M
1N
V000
=
1L B 1N
B:2C0
25 ! + 0.0625 " = # ! $ # "
(25 $ #) ! $ (0.0625 + #) " = 0 % &'*,'-ó/2
10.325 $ 3.5# $#25 $ # 0.0625 + #4 1
 !
 "4 = 7
900080°
0 :
 ! = ;5<.>582.3>°
 " = <953.3>89;.>;°
 " = ?
 ? = <953.3>89;.>;°
10.11. Usando análisis nodal encuentre @A(t), en el circuito de la figura
3BC#DE = #2C 
 
2 !"#$ = "4! 
!0.5% =
1
"#&
= '" 
0.25% =
1
"#&
= '"2 
Nodo 1 
 
!!!!!!!!!!!
(80) ' 60* ' +,
2
=
+,
'"
-
+, ' +/
"2
 
(1 - "*+, - "+/ = 8) ' 60 
 
 
Nodo 2 
 
1 -
+, ' +/
"2
-
(8) ' 60* ' +/
"4 ' "2
= 0 
 ! = 4" # 60 + $ + 0.5 % 
 
 % =
1 + 8" # 60 # 4"30
1.5 # $
 
&'()* = 5.02,'-(2) # 46.55*[/] 
10.12. Mediante análisis nodal determinar io al circuito de la figura 10.62. 
Pasamos al dominio fasorial 
7 = 1000 
209-&:910009)9 = 9209 < 9#;00 
209> = 209> 
109>9 = 9109> 
2&099 = 2?0 
50[@A] 9= 9#$20 
10[BC] 9= 9$10 
Nodo 1) 
#20$ =
 1
20
+
 1 # 2
10
+ 29? 
? =
 2
$910
 
#20$ =
 1
20
+
 1 # 2
10
+ 2
 2
$910
9 
#D400 = 1 + 2 1 # 2 2 # D4 29 
#D400 = 2 1 + 2(#2 # D4* 
E'F'92*9 
 1 # 2
10
+ 2
 2
$910
9=
 2
#$20
+
 2
$10
 
 1 ! 2
10
+
 2
!"10
=
 2
#!20
" 
2 1 # 2 2 # !2 2 = ! 2" 
0 = 2 1 + 2(#2 # !3) 
Resolviendo el Sistema 
 2" = "
400
1" + "!0.5
" 
"$" = "
 2"
10
 
"$ = 34.74 < "#166.6 
10.13. Determine %& en el circuito de la figura aplicando el método de su elección.
Realizamos una transformación de fuente en la malla 3 
 ' = $' * , = (5)(10) = 50[ ] 
 
 
 - # 40/30°
#!2
+
 -
3
+
 - # 50
18 + !6
= 0 
9 - = 2:.26/62.88°[;] 
 
 
 
 
 
10.14. Calcule el voltaje de los nodos 1 y 2 en el circuito. Usando análisis nodal 
En el nodo 1 
0 !1
 "2
+
0 !1
10
+
!2 !1
"4
= 20#$° 
 (1 + "2.5)!1 "2.5!2 = %173.2% + %"100 
En el nodo 2 
!2
"2
+
!2
 "5
+
!2 !1
"4
= 20#$° 
 "5.5!2 + "2.5!1 = %173.2% + %"100 
1 en 2 
&1 = %28.93'135.38°
10.15. Resolver por la corriente I en el circuito de Fig.10.64 utilizando análisis nodal. 
Nodo 1: 
 ! = " + # + $ 
%&20 % '!
2
= 5 +
'!
%&2
+
'! % '"
&1
 
%&20 % '!
2
= 5 +
&'!
2
% &('! % '") 
%&20 % '! = 10 + &'! % &2'! + &2'" 
%10 % &20 = (1 % &)'! + &2'" (1) 
 
Nodo 2: 
 
 =
'!
%&2
 
 " + 2 + $ = * 
5 + 2
'!
%&2
+
'! % '"
&1
=
'"
4
 
5 +
'!
%&
+
'! % '"
&1
=
'"
4
 
5 + &'! % &('! % '") =
'"
4
 
20 + &4'! % &4'! + 4&'" = '" 
'" =
20
1 % &4
,(2) 
Sustituyo (2) en (1) 
%10, % ,&20, = , (1, % ,&)'1, + ,&2'2 
,%10, % ,&20, = , (1, % ,&)'1, + ,&2,(,
20
1, % ,&4
,), 
%10, % ,&20, %,
&40
1, % ,&4
,= , (1, % ,&)'1 
,%10, % ,&20, +
160
17
,,%
&40
17
,,= , (1, % ,&)'1, 
%0.59, % ,&22.35, = , (-22 ,% ,45°)'1 
'1, =
22.36/358.49°
(,-22 ,% ,45°)
, 
,'1, = ,15:81/313:5° 
 
Entonces: 
 =
!1
"#2
 
! = 15,81"313,5°#$2 
! = (0,5"90°)(15,81"313,5°) 
! = 7,91"43,49° 
10.16. Aplique el análisis nodal para hallar Vx en el siguientecircuito
Nodo 1 
%1 = %2 + %3 
2 = &1 # &24$ +
 &1
5 
 2 = # ' &1 # &24 $ * +
&1
5 
40 = (#5)(&1 # &2)$ + 4&1 
40 = #5&1$ + 5&2$ + 4&1$ 
(40)/20 = ((4 # 5$)&1 + 5$&2)/20 
(1) 2 = (0. 2 # 0. 25$)&1 + 0. 25$&2 
Nodo 2 
3|450 = 2.121 + 2.121$ 
%2 + %5 = %4 
 
!1 " !2
4#
 + 2.121 + 2.121# =
!2
"3# 
 
!1 " !2
4# 
 "
!2
"3# 
 = "2.121 " 2.121# 
 "
 !1 " !2
4
 # +
!2
"3
 # = "2.121 " 2.121# 
12( 
!2 " !1
4
 # +
!2
"3
 #) = ("2.121 " 2.121#)12 
"3!1 # + (3 " 4)!2# = "25.452 " 25.452# 
 ("3!1 # " !2#)/"12 = ("25.452 " 25.452#)/"12 
 (2) 0. 25#!1 + 0. 08333!2 = 2. 121 + 2. 121# 
Sistema de ecuaciones dos variables dos incógnitas: 
!1 = 5.2793 " 5.4190# 
!2 = 9.6145 " 9.1955# 
!$ = !1 " !2 
!$ = (5.2793 " 5.4190#) " (9.6145 " 9.1955#) 
!$ = "4.33 + 3.776# [! ] 
!$ = 5.748%138.950° 
10.17. Mediante análisis nodal obtener I0
Nodo 1. 
100 20° ! "#
$4 =
"#
3 +
"# ! "%
2 
100 20° = "#3 (3 + $10) ! $2"%&&&(1) 
Nodo 2. 
100 20° ! "%
1 +
"# ! "%
2 =
"%
!$2 + 
100 20° = !"#2 + '
3
2 + $
1
2*"%&&&(2) 
 
Resolviendo las ecuaciones: 
 ! = 64,74" # 13,08° 
 $ = 81,17" # 6,35° 
Para I0: 
I% = V! # V$
2
= 9,25" # 162,12°&[A] 
10.18. Aplique análisis nodal para determinar ! en el circuito de la figura 10.67. 
"# = "$ 
Para el nodo 1 
4%45° =
"$
2
+
"$&"'
8 + (6
 
200%45° = )29 * (3,"$ * )4 * (3,"' 
Para el nodo 2 
"$&"'
8 + (6
+ 2"# =
"'
*(
+
"'
4 + (5 * (2
 
"$ =
12 + (41
104 * (3
"' 
Reemplazando 
200%45° = )29 * (3,
12 + (41
104 * (3
"' * )4 * (3,"' 
"' =
200%45°
14.21%89.17°
 
"- =
*(2
4 + (5 * (2
"' 
"- = 5.63%189°["] 
10.19. Obtener V0 en el circuito de la figura usando análisis por nodos. 
Súper-nodo: 
 ! "# = 12$$$$$$$(1) 
" ! "%
&2
+
" 
2
+
"#
!&4
=
"% ! "#
4
 
!2(" ! "%)& + 2" + "#& = "% ! "# 
(!2& + 2)" + (& + 1)"# + (2& ! 1)"% = 0$$$$$$$$$$$$$$$$$$(2) 
Nodo V2 
" ! "%
'2
+ 0.2" =
"% ! "#
4
 
(!2' + 0.8)" + "# + (2' ! 1)"% = 0$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$(3) 
Sustituyendo 3 en 2 
0 = 1.2" + &"# 
Reemplazamos 1 en 3 
0 = 1.2" + &(" ! 12) 
0 = 1.2" + &" ! 12& 
12&
(1.2 + &)
= " 
" = 4,9180 + 5,9016& 
" = 7.6822*50,19° 
10.20. Remítase a la figura 10.69. Si vs (t)=Vm senωt y v0 (t)=A sen (ωt+φ), derive 
las expresiones de A y φ
Primero convertimos los elementos al dominio fasorial. 
 = !" 
 =
1
!" 
#$(%) = #&'*+("%) 
#,(%) = -'*+("% . /%) 
Observamos que dos elementos están es paralelo 
023 =
!45 6 1!4 7
!45 . 1!4 
= 5 
!8485 . 1
!4 
= !459485 . 1 
Realizamos un divisor de tensión 
#, = 0: . 023 ; #& =
!45
9485 . 1
: . !459485 . 1
; #& = !459:(1 9 485 ) . !45 ; #& 
#, = 45#&<:8(1 9 485 )8 .4858 >?@° 9 %A+
BC 45
:(1 9 485 ) 
#, = ->/ 
- = 45#&<:8(1 9 485 )8 . 4858 
/ = ?@° 9 %A+BC 45:(1 9 485 )
21. En relación con cada uno de los circuitos de la figura 10.70, halle Vo/Vi para: 
D = EFD G HFDI = JKL
(a) 
 = 0!!!
"#
"$
= 1 
 % &!!
"#
"$
= 0 
!!!! =
1
'()
!!!!!!!!!
"#
"$
=
1
1 *
()
() +
,-)
'()
= *
,
-')
 
(b) 
 = 0!!!
"#
"$
= 0 
 % &!!
"#
"$
= 1!!./2#34 
!!!! =
1
'()
!!!!!!!!!
"#
"$
=
*
()
()
-, 5
1
'()
+ 1 *
()
()
=
,
-')
 
10.22. En referencia al circuito de la figura 10.71 determine 
 !
 "
# $ % = # 
& $ % =
1
'(&
 
) $ % = '() 
%*+, = #- . '() 
 !" =
 !"# $
1
%&'
 !"# +
1
%&'
 
 !" =
1
%&'
()* + %&,-
)* + %&, +
1
%&'
 
 !" =
)* + %&,
%&'
%&)*' . &
*,' + 1
%&'
 
 !" =
)* + %&,
%&)*' . &
*,' + 1
 
Aplicando divisor de tensión: 
/0 =
 !"
 !" + )#
/2 
/0
/2
=
)* + %&,
%&)*' . &
*,' + 1
)* + %&,
%&)*' . &
*,' + 1
+ )#
 
/0
/2
=
)* + %&,
%&)*' . &
*,' + 1
)* + %&, + %&)#)*' . &
*)#,' + )#
%&)*' . &
*,' + 1
10.23. Aplicando el análisis nodal obtenga V en el circuito de la figura. 
/3 . /4
)
=
/5 . /1
%&,
+
/4
1
%&'
666789:8;4<61 
/4 . /1
%&,
=
/1
1
%&'
6789:8;4<6>6 
 
Despejando 
/3
)
.
/4
)
=
/4
%&,
.
/1
%&,
+ %&'/4666789:8;4<6? 
 
 !
"#$
 
!1
"#$
= "#%!1&&&&'()*(+,-&4 
 
!.
/ 0 !, 2 
1
/ 
1
"#$ "#%3 0
51
"#6 = 7&&&'()*(+,-&8 
 
!,
"#$ 0 !1 2 
1
"#$ "#%3 = 7&&&&'()*(+,-&9 
 
Despejamos y Reemplazamos 6 en 5. 
 
!, = !.:1 #
;$%<
1 #;$% 0 "#/%:> #;$%< 
 
 
 
 
SECCIÓN 10.3 ANÁLISIS POR MALLAS 
10.24. Designar un problema para ayudar a otro estudiante a entender el análisis 
de malla. 
Determinar Vo en la figura 10.72 aplicando el análisis de malla.
 
:> "8<?@ 0 "8?; = 4A7°& B :1< 
"8?@ "?; = 7& B :>< 
?; = CDCE17F; "7DCC 
!G = HDC9 0 "7DHC9 
!G = HDCIA 8DJ1°[!] 
10.25. Para resolver KL& en la Fig. 10.73 empleando análisis de malla. 
:4 "><?@ 0 ">?; = 17&&&&&&&&&&& B :1<">?@ 0 ">?; = "9&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B :><?@ = > 0 "7D8
 ! = 1 " #0.5
$% = & " !
$% = (2 + #0.5) " (1 " #0.5)
$' = 1 " #
$% = 1.41* " 45°
$% = 1.41 ,-/(23 + 45°)
10.26. Usando análisis de mallas encontrar la corriente ! en el circuito de la figura 
w = 10" 
Z# =
1
$ % 10" % 10&'
= ($1000[)] 
Z* = j % 0.4 % 10
" = $400[)] 
10+cos,10"-/ = 1020° 
30+sen,10"-/ = 302 ( 90° 
Análisis de mallas: 
,35 6 $400/I7 ( j400I8 = 1020°(: ,1/ 
(j400I7 ( j;00I8 = (302 ( 90°(: ,3/ 
I7 = 0.003< ( $0.00>< 
I8 = (0.0?< 6 $0.00< 
i@ = I7 ( A8 = 0.0?>< ( $0.013< 
i@ = ?9.<32 ( 1B.4?°[CD] 
10.27. Usando análisis de malla, encuentre I1 e I2 en el circuito de la Fig.10.75. 
 !10"# + !20"$ = 40%30°&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ' (1)
!20"# + (40 !20)"$ = 50&&&&&&&&&&&&&&&&&& ' (2)
"# = 0.4288 + !4.6784 = 4,69% 84.76°[*]
"$ = 0.7856 + !0.6072 = 0,99%37,7°[*]
10.28. En el circuito de la figura 10.76, determine la corriente de malla -/ y -: .
Si ;/ = /<>?@(AB) [C] y ;: = :<>?@(AB D<) [C]
Figura 10.76. Circuito para el ejercicio número 10.28 
Transformación de las fuentes: 
 = 4 
!" = 10 cos(4#) = 10$0°%[!] 
&' = 20 *+,(4# - 30) = 20$ - 30° [!] 
Transformación a impedancias: 
1[.] = /4[5] 
1[6] = -/0728[9] 
 
Figura 10.76.1. Circuito para el ejercicio número 10.28 
Análisis de malla: 
(2 + 3.75)!" # (1 # 0.25)!$ = 10%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%#& (1) 
(#1 + 0.25)!" + (2 + 3.75)!$ = #20' # 30%%%%%%%%%%%%%%#& (2) 
!" = *" = 2.07 # 1.8 = 2.74' # 41.009°[A] 
!$ = *$ = #0.14 + 4.11 = 4.11' # 88.05°[,] 
10.29. Usando la figura, diseñe un problema que ayude a los demás estudiantes. 
Figura 10.77. Circuito para el ejercicio número 10.29.
Sea: 
-/" = 2[6] , :" = 5[6] , -/$ = 10[6], -/; = 5[6], :$ = 10[6] , :; = 10[6] ,%<> =
20'0°[6]. 
Encontrar !" y !$ reemplazando los valores dados en el circuito. 
 
Figura 10.77.1. Circuito para el ejercicio número 10.29. 
Análisis de malla: 
(15 + 6)!" # (10 + 4)!$ = 20%0&&&&&&&&#' &&&& (1) 
(20 + 7)!$ # (10 + 4)!" = 0&&&&&&&&&&&&&&&#&' &&& (2) 
 
!" = &1.75 # 0.656 = 1.87% # 20.5 
!$ = 0.9 # 0.294 = 0.95% # 18[*] 
 
 
 
 
 
 
10.30. Aplique el análisis de lazos para hallar en el circuito de la figura 10.78. Sean 
,-/ = /3:&;<-(/::> + ?:&@)&A, ,-3 = B:&;<-&/::>&A.
Figura 10.78. Circuito para el ejercicio número 10.30.
Transformación a impedancias: 
C00DE = C0 
200DE = 20 
400 ! = "40 
50 ! = "#200 
 
Análisis de mallas: 
(20 + #30)$% " #30$& = 120'90°**", (1) 
"3$% " 13$& + 20$- = 0*******************", (2) 
#20$& + (1 " #18)$- = "8**************", (3) 
 
$% = 2.06 + #3.57 
$& = 0.43 + 2.19 
$- = 0.59 + #1.96 
 
/: = "#200($& " $-) 
 
/: = 46.68 + #31.4 = 56.26'33.93*[;] 
10.31. Use corrientes de malla y determine la corriente Io en el circuito de la figura. 
Figura 10.79. Circuito para el 
ejercicio número 10.31. 
Análisis de malla: 
(80 " #40)$% + #40$& = 100'120°***************", (1) 
#40$% " #20$& + #40$- = 0******************************", (2) 
#40$& + (20 " #40)$- = "(60' " 30°)******", (3) 
$: = $& = 1.04 + #1.91 = 2.175'61.43°[<] 
10.32. Determinar Vo y Io en el circuito de la figura 10.80 aplicando análisis de 
mallas 
Figura 10.80. Circuito para el problema 10.32.
Análisis de malla: 
 = 4! " 30°[#]$$$$$$$$$$$$$$$$"% (1) 
(2 + &4)'* " 2' + 3,- = 0"% (2) 
,- = 2(' " '*), .= 2(4! " 30° " '*)$$$"% (3) 
(3)$/5$(1) 
(2 + &4)'* " 2(4!"30
.) + 6(4! " 30 " '*) = 0 
'* = 2783!19
: 
 
'- =
3,-
"&2
=
6(4! " 30 " '*)
"&2
 
'- = 87489!19
: $[#] 
 
, .=
"&2$'-
3
= 9766!";9:[,] 
 
 
10.33. Calcule < en el circuito siguiente aplicando el análisis de lazos. 
Figura 10.81. Circuito para el problema 10.33.
Análisis de malla 
 ! = 5["] (2 # $2) % + $2 & = 20' # 90°****#, (1) $2 % # $ & + 4 - = $(5)*******************#, (2) 
Nodo para Supermalla: 
# & + - + 0.1/3 = 0**********************#, (6) /3 = $100( % # &)*************************#, (4) (4)*78*(6) 
$10 % # (1 + $10) & + - = 0****#, (5) 
Sistema de ecuaciones: (1). (2)*:*(5): 
 ; = - = #2<26 # $0<16 = 2<26'6<64°["]
10.34. Usar analisis de malla para encontrar Io en l Fig. 10.28. 
Analisis de malla: 
 !40 + (18 + !2)"# (8 !2)"$ (10 + !4)"% = 0&&&& ' (1) 
Supermalla 
&("% & !2)"$ + (30 + !19)"% (8 + !2)"# = 0&&&&&&&&&&&&&&&& ' (2) 
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&"$ = "% 3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ' & (3) 
 
 !40 + 5("% 3) + (20 + !15)"% = 0 
"% = 3 + !8
5 + !3
= 1.47*38.48°& 
", = "% = 1.47*38.48°&& 
10.35. Calcular Io en la Fig. 10.30 utilizando analisis de malla. 
Figura 10.30. Circuito para el problema 10.35. 
Análisis de malla: 
 8! ! (1 ! "3)#$ + (13 ! ")#% = 0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&!' (1) 
 
Supermalla: 
 
8# + (11 ! "8)#$ ! (9 ! "3)#% = 0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&!' (2) 
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&# ! #$ = 4* ! 90°&&&&&&&&&&&&&&!' (3) 
#, = #$ = 1.9* ! 2.1°[-] 
10.36. Calcule Vo en el circuito de la figura aplicando mallas 
Malla1 
/ = "4&[-] 
Malla3 
/% = !2 [-] 
Malla 2 
(4 ! 3")/$ ! 2/ + 12 ! 2/% = 0 
(4 ! 3")/$ ! 2(4") + 12 ! 2(!2) = 0 
(4 ! 3")/$ ! 8" + 16 = 0 
/$ =
!16 + 8"
4 ! 3"
 
/$ = !3.56 ! 0.64"&[-] 
I1 I2 
I3 
 ! = 2("# $ "%) 
 ! = 2"#4 $ ($3.56 $ #. 64)% 
 ! = 7.12 + #9.28&[ ] 
 ! = 11.69'52.50 [ ] 
10.37. Usando análisis de mallas encontrar I1, I2, I3:
Malla 1. 
*,- $ *,/ = $#120&&&&(1)
Malla 2. 
*,: $ *,/ = $120'30°&&&&(2)
Malla 3. 
$*,- $ *,:+3*,/ = 0&&&(3)
Resolviendo el sistema de ecuaciones: 
,- =&$0;264 $ #2;37&[<]
,: =&$2;181 $ #0;954&[<]
,/ =&$0;815 $ #1.017&[<]
Ahora relacionamos con las corrientes del gráfico: 
,> = ,- =&$0;264 $ #2;37&[<]
,? = ,: $ ,- =&$1;916 $ #1;411&[<]
,@ = $,: = &0;815 + #1.017&[<]
10.38. Aplicando el análisis de lazos obtenga AB en el circuito de la figura 10.83. 
 ! = 2 ["](2 # $4) % # 2 ! + $4 & + 10'90° = 0
(1 # $2) % + $2 & = 2 # $5$4 % + (1 + $2) * + (1 # $4) & = $4
 * = & # 4$2 % + (1 # $) & = 2(1 + $3)
 , = 3.35'174.3°-["]
10.39. Encontrar /68 /:8 /;-<-/>-
Malla 1: 
(2? # @15) ! # ? % + @15 * = 12'A4°
Malla 2: 
#? ! + (? # $9) % # $1A * = 0
Malla 3: 
$15 ! # $1A % + (10 + $) * = 0
B(2? # $15) #? $15#? (? # 9$) #1A$15$ #1A$ (10 + $)CD
 !
 %
 *
E = D12'A4°00 E
 ! = #0812? + $083593 = 0.3?14'1098A°-["] % = #08194A + $082?41 = 0.3443'12484°-["]
 = 0,0718 ! "0.1265 = 0.1455# ! 60,42°$[%]
&' = &( ! &) = 0,0666 + "0,0752 = 0.1005#48,5°$[%]
SECCIÓN 10.4 TEOREMA SUPERPOSICIÓN 
10.40. Encuentre io en el circuito mostrado en la figura, usando el teorema de 
superposición 
Transformamos los elementos a dominio fasorial 
* = 1- = "/* = 4" 
10 39:;4<> = 10#0° 
Apagamos la fuente de tensión 10#0° 
?@( = AB =
8
2 = 4[%] 
 
Apagamos la fuente de tensión de 8 [v] 
Aplicamos análisis nodal 
10 ! CD
4 =
CD
4" +
CD
2 
10 ! CD = CD" + 2CD 
CD E1" + FG = 10 
CD = 10;">1 + F" $[A] 
?@) = CD4" =
10"
4;1 + F"> = 0.7H05# ! 71.5650°$[%] 
?@ = ?@( + ?@) 
?@ = 4 + 0.7H05# ! 71.505° = 4 + 0.7H05$I9:;4< ! 71.565°>[%] 
10.41. Halle Vo en el circuito de la figura 10.86 suponiendo que Vs=6cos(2t)+4sen(4t) 
[V] 
Cuando 
 = 6 cos(2!) = 6"0°#[$] 
0.25[%] =
1
&0.5
 
Aplico método de mallas: 
'6"0* +
,1
&0-5
+ 2,1 = 0 
,1 = 2-12"45*#[$] 
/31 = ,1(2[7]) 
/31 = (2"0*)(2-12"45*)[/] 
/31 = 4-25"45*#[/] 
Cuando 
/ = 4cos(4!) = 4"0°#[/] 
0.25[%] =
1
&0
[8] 
Aplicando mallas 
'4"0* +
,1
&
+ 2,1 = 0 
,1 = 1-9:"26-59*#[$] 
/32 = ,1(2[7]) 
/32 = (2"0*)(1-9:"26-59*) 
/32 = ;-56"26-59*#[/] 
En el dominio del tiempo: 
/3 = 4-25 <3>(2! + 45*) + ;-56>?@(4! + 26-59*)#[/] 
10.42. Determine ! utilizando el teorema de superposición en el circuito de la 
figura 
"# = $%$# + $% (&'2) 
"# = 9.81*78.69°33.28* & 56.31° + 9.81*78.69° (&'2) 
"# = &'2 , (0.36*120.25°) 
"# = 0.72*30.25°-[/] 
Apagamos la fuente de 20*0° 
 
Aplicando transformación de fuente: 
"4 = :4$4 
"4 = 30*;5°60 =
*;5°
2 [/] 
Calculo de las impedancias equivalentes: 
$# = 60 , &';060 & ';0 
$# = 33.28* & 56.31° 
 
$% = 50 , '1050 + '10 
$% = 9.81*78.69° 
Aplicando divisor de corriente: 
"# = &$#$# + $% <
*;5°
2 > [/] 
10.43. Aplicando el principio de superposición, halle en el circuito de la figura 
Cambiamos de dominio. 
 
Apagando la fuente de corriente. 
 
8 !1 " 4 !1 + 3!1 + 5 " 8.66 = 0 
 
!1 =
"5 + 8.66 
4 + 3
= "0.7856 " 1.8392 
!#1 = "0.7856 " 1.8392 [$] 
 
Apagando la fuente de voltaje 
 
!1 = "0.7856 " 1.8392 
 
"4 !2 + 3!2 + 8 (!2 " !1) = 0 
Reemplazando 
!2 = 5.472 + 5.824 
 
!#2 = "5.472 " 5.824 [$] 
 
!# = !#1 + !#2 
Pasando al dominio del tiempo 
 
!#(%) = 9.89 &'*(2% " 129.22)[$] 
10.44 Usando el principio de superposición obtener v en el circuito de la figura, 
V=50sin(2t) e Ix=12cos(6t+10°). 
Cambiando al dominio fasorial 
,- = 50 sen(2%) = 50/0°:[,] 
;- = 12 cos(6% + 10°) = 12/10°:[$] 
Apagando la fuente de voltaje se tiene que. 
 ! = "60 
 # = 20 + "60 
$%& =
20 + "60
36 + "60
12'10°( 
$%& = 11.04 + "4.39 
()%& = *11.04 + "4.39,16 = 166.72 + 70.33" 
Apagando la fuente de corriente 
 ! = "250 
aplicando un divisor de tensión 
)- =
16
36 + "250
/ 50 = 0.451 8 3.13" 
Sumando los voltajes. 
): = *0.451 8 3.13", + *166.72 + 70.33", = 167.17 + 67.2"([)] 
10.45. Usar superposición para encontrar (!) en el circuito de la Fig. 10.90. 
 
16"#$(10% + 30)[&] = 16'30°[&] = (13.86 + *8)[&] 
 
6$,-(4%) = 6' / 90° = 2/*6 
 
Se apaga la fuente de 16"#$(10% + 30)[&] 
 
57 = 300:10
;<:*:4 = *1.>[?] 
 
(*1.> + >0)@A =j6 
 
@A = 0.018 + *0.3[B] 
 
Se apaga la fuente de 6$,-(4%) 
 
57 = 300:10
;<:10:* = *3 
 
(>0 + *3)@C = 13.86 + *8 
 
 ! = 0.74 + "0.29#[$] 
Calculo de total 
 
 = % + ! 
 
 = 0.758 + "0.59 
 
 = 960.6&37.9° 
 
10.46 Resolver Vo en el circuito de la figura, usando superposición 
 
 
Dejamos encendida solo la fuente de 10 V. por lo tanto 
 
 ! = 10[ ] 
 
Luego dejamos encendida la fuente de amperaje 
"! = #$% = #4 
 
"& =
1
#$'
= (#6 
Aplicamos análisis nodal. 
 
 
4 =
 &
6
+
 &
(#6
+
 &
#4
 
 
 & =
24
1 ( #0.5
= 21.45)*,-2/ + 26.56°3[ ] 
 
Finalmente dejamos encendida la última fuente de voltaje y realizando un análisis nodal se 
tiene que 
 
12 ( 7
6
=
 7
(#4
+
 7
#6
 
 
 7 =
12
1 + #0.5
= 10.89: ( 26.56 = 10.89';)<-9/ ( 26.563 
 
Sumando los voltajes 1, 2 y 3 obtendremos la respuesta que se busca. 
 
 > = 10 + 21.45)*,-2/ + 26.563 + 10.89 ';)-9/ ( 26.563 [ ] 
10.47. Determine Io en el circuito de la Fig. 10.92, usando el principio de 
superposición. 
 
Se deja encendida la fuente de 24 V para luego realizar el análisis del circuito. 
 
Por lo que la impedancia total seria 6[!] 
Entonces "#$ =
%&
'
= 4[(] 
Se deja encendida la fuente de voltaje de la izquierda y se realiza el análisis. 
 
10 )*+,- . 30°/ = 10 < .30° = 8266 . 57 
9 = 1 
1
6
: =
1
1
6
59
= .56 
;> = 59; = 5; 
La impedancia total 
?@A = [,5; B 4/║2] !6 + 1 
"#$ =
!4 + 8
!2 + 6
 !6 + 1 
"#$ =
!4 + 8 + 12 !36 + !2 + 6
!2 + 6
 
"#$ =
26 !30
6 + !2
 
 ! = 8,66 " #5
(6 + #2)
26 " #30 
 ! = 51,96 " #30 + 10 + #17,3226 " #30 
 ! = 61,96 " #12,6826 " #30 
Divisor de corriente: 
 $% = 4 + #26 + 2# ×
61,96 " #12,68
26 " #30 
 $% = 0,504 < 19,1°[&] 
 $% = 0,504'*-(. + 19,1°)[&] 
 
Por último se deja encendida la fuente de corriente y la analizamos 
2 /:'(3.) = 2 < 0° = 2 
; = 3 
1
6> =
1
1
6 #;
= "#2 
2? =#;2 = #6 
Divisor de corriente: 
 $@ =
A2(1 " #2)3 " #2 B
4 + #6 + A2(1 " #2)3 " #2 B
× 2 
 $@ = 2
(1 " #2)
4 + #6(3 " #2) + 2(1 " #2)
3 " #2
× 2 
 $@ = 2 " #412 " #8 + 18# + 12 + 2 " #4 × 2 
 $@ = 2 " #426 + 6# × 2 
 $@ = 4 " #826 + 6# 
 $@ = 0,3352 < "76,43°[&] 
 $@ = 0,3352/:'(3. " 76,43°)[&] 
 $ = 4 + 0,504'*-(. + 19,1°) + 0,3352/:'(3. " 76,43°)[&] 
10.48 Encuentre io en el circuito de le Fig. 10.93 usando superposición. 
 = 2000 
 =
1
!"# = $25![%] 
& = !"' = 80![%] 
50 cos 2000( = 50 < 0° = 50[)] 
Para este caso usaremos análisis de malla 
Malla 1: 
*55! + 80,-. $ 80-/ = 50 
Malla 2: 
240-/ $ 80-. = 0 
3*55! + 80,-. $ 80-/ = 50240-/ $ 80-. = 0 
Resolviendo el sistema de ecuaciones 
-/ = 0615 $ 06157! 
-9. = $-/ = $0615 + 06157! = 06218 < 1:4611°[;] 
>?. = 06218 #?@*2000( + 1:4611°, [;]
 = 4000 
! = 1" # = $12,5"[%] 
& = " ' = 160"[%] 
50 #() 2000* = 2 < 0° = 2[+] 
Para este caso usaremos análisis de malla 
-. = 2[+] 
Malla 1: 
/147,5" 3 809-: $ 80-; = >20" 
Malla 3: 
240-; $ 80-: = 120 
?/147,5" 3 809-: $ 80-; = >20"240-; $ 80-: = 120 
Resolviendo el sistema de ecuaciones 
-; = 1,17 3 0,15" 
-@. = $-; = $1,17 $ 0,15" = $1A17 < 7,>8°[+] 
 
B(. = $1,17 )CD/4000* 3 7,>8°9 [+] 
EFG = 240[%]
B@; = HE =
24
240 = 0,1[+]
B@ = B(: = 0,218 #()/2000* 3 1>4,11°9 B(. $ 1,17 )CD/4000* 3 7,>8°9 3 0,1[+]
SECCIÓN 10.5 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES 
10.49 Use transformación de fuente para encontrar i en el circuito. 
 = 200
! = 1" # = 5 [!]
" = #$ = [!]
8 sen(200% + 30°) = 8 < 30° = 6,93 + 4 [&]
'* = (6,93 + 4 ) × 5 = 34,64 + 20 [']
-./ = 8 1 4 
7 =
'*
-./
= 2,464 + 3,: = 4,4: < 56,5:°[&]
; = 4,4:>?@(200% + 56,5:°)[&]
10.50 Diseñe un problema para que los estudiantes comprendan mejor la 
transformación de fuentes. 
7A = 2,5[&]
-A = 2B = 0,4 + 0,8 [!]
1'A + (-A + 2 + 5)'C = 0
'C =
D + 2 
5,4 + 2,8 
= 0,29: + 0,2D6 = 0,36: < 36,02:°[']
10.51 Use transformación de Fuentes para encontrar Io en el problema 10.42. 
7A = 12,5 [&]
7E = 3[&]
 ! = 5"2# = 0,689 + 1,724#[$]
 % = 2" & # = 0,4 & 0,8#[$]
 ' = &#" % = 0,12 & 0,45#[$] 
(' = )! × ! = &1,72# + 4,31[(]
(* = )% × ' = &1,35# + 0,36[(]
)- =
(' + (*.
 ! + '
= 0,94 & 0,51# = 1,06 < &28,40°[/]
10.52 Use el método de transformación de fuentes y encuentre Ix en el circuito. 
)! =
6
2 + #4
= 6 & #12[/]
 ! = 2 + 4#[$]
 % = : !"6; & #2 =
12 + 24#
8 + 4#
= 2,4 & 0,2#[$]
(! = % × )! = 36 & 18#[(]
 ! = 4 " #3[$]
5 < 90°[%] = 5#[%]
&' =
()
 '
= 15,52 " 6,21#[%]
Por divisor de corriente 
 ! = "#
"$ + "#
× (5% + #) = 5 + 1.56& = 5,24 < 17,34°['] 
10.53 Use el concepto de transformación de fuente para encontrar VO en el circuito 
de la Fig. 10.97. 
 * = 5-[']
"* =
8&
4 + 2&
= 0,8 + 1,6&[/]
 ! = "! × #! = 4 + 8$
#% = #! & 3$ = 0,8 & 1,4$
"% =
 !
#%
= &3,08 + 4,62$
#' = (#%)2* = 0,86 & 0,57$ 
 
 
 
 
 ' = "% × #' = &0,0154 + 5,73$
#- = #' + 4$ = 0,86 + 3,43$
 . =
&2$
#- & 2$
× ' = 3,56 & 5,89$[ ]
10.54 Resuelva el problema 10.7 usando transformacion de fuente. 
#! = 40 + 20$ 
 ! = ("#30$50) = 13,24 " 22,06# 
%& = 6 < 30° × ! = 134,95 " 749,15# 
Ley de tensiones de Kirchoff 
"(120 < 15°) + ( & + !)' " %1 = 0 
 = !" + 115,91 # 31,06$
%" + %&
= #4,78 + 181$ 
#(120 < 15°)+ (%"× ) + ! = 0 
! = 124,06 < #154° 
SECCIÓN 10.6 CIRCUITOS EQUIVALENTES, THEVENIN Y NORTON 
10.55 Encuentre los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en los terminales 
a-b para cada uno de los circuitos en laFig.10.98. 
%'* = %-. = 10 + ($20/ # $10) 
%-. = 10 +
$20 × #$10
10$
= 10 # 20$ = 22,36 < #63,43°[:] 
Divisor de tensión 
!-.
#10$
#$10 + $20
× (43,3 + 25$) 
!-. = #43,3 # 25$ = 50 < #150°[!] 
 ; =
!-.
%-.
=
50 < #150°
22,36 < #63,43° = 2,236 < #86,57°[>]
%'* = %-. = $10/(8 # 5$) 
%-. =
(80$ + 50)
8 + 5$
= 8,99 + 4,38$ = 10 < 25,99°[:] 
Divisor de corriente 
 ? = 8
8 + 5$
× 4 =
32
8 + 5$
= 2,88 # 1,8$ = 3,39 < #32°[>] 
!-. = ? × $10 = 17,98 + 28,76$ = 33,92 < 57,99°[!] 
 = !"#
$"#
=
33,92 < 57,99°
10 < 25,99°
= 3,392 < 32°[%]
10.56 Para cada uno de los circuitos de la Fig. 10.99, obtenga los circuitos 
equivalentes de Thevenin y Norton en los terminales a-b.
$&' = $"# = ()4* + )2- . 6 =
8
2)
. 6 = 6 + 4)[/] 
En este caso es mas fácil iniciar calculando el equivalente de Norton por encontrarse una 
fuente de corriente, por lo que hacemos cortocircuito en los terminales. 
: = 2 = 2 < 0°[%] 
!"# = : × $"# = 12 + 8) = 14,42 < +33,69°[!] 
 
 
 
 
 
$&' = $"# = [(60*30- . )10]* + )5 
$"# =
(20 . )10- × +)5
20 . )5
=
+100) . 50
20 . )5
= 1;18 + 5,29) = 5,42 < +77,47°[/] 
 
:> = 120 < 45° × 20 = 4,24 . 4,24) = 6 < 45°[%] 
Aplicamos divisor de corriente 
:? =
20
20 . )10 + )5
× :> 
:? = 5,82 < 30,96°[%] 
!"# = (5 . 3)- × +5) = 15 + 25) = 29,15 < +59,04°[!] 
 ! = 29,15 < "59,04°5,42 < "77,47° = 5,38 < 18,43°[#] 
10.57 Usando la Fig. 10.101, diseñe un problema para ayudar a los estudiantes a 
entender mejor los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton. 
 !" = #$ = [(1 % &)'&] + 2 
 #$ =
*(1 % &) × &,
1 % & + &
+ 2 = & + 3 = 3-16 < 18-43°[.] 
Usamos analisis de malla para encontrar el Equivalente de Norton 
/0 % &/5 = 7 
(2 + &)/5 % &/0 = 9 
/5(3 + &) = 7& 
/5 =
7&
3 + &
= 9-7 + 1-7& 
/: = %/5 = %9-7 % 1-7& = 1-78 < ;1-7;°[>] 
?#$ = /: × #$ = 4-@7 < @9°[?] 
10.58 Para el circuito en la Fig. 10.101, encuentre el circuito equivalente de 
Thevenin. 
 #$ = !" = (8 % &6)'&19 
 #$ =
(8 % &6) × &19
8 + &4
= 11 + 2& = 11-18 < 19-39°[.] 
Divisor de corriente 
/A =
(8 % &6)
8 + &4
× 7 < 47° 
/A = (9-7 % &)(7 < 47°) = (1-12 < %63-43°)(7 < 47°) = 76 < ;1-7;°[.] 
?#$ = /B × &19 
?#$ = (7-6 < %18-43°)(19 < @9°) = 76 < ;1-7;°[?] 
10.59 Calcule la impedancia disipada por el circuito en la figura. 
 !" = 10 + #38[$] 
10.60 Encuentre el equivalente de Thévenin del circuito de la figura en las 
terminales: 
a) Terminales a-b b) Terminales c-d 
a) Terminales a-b 
 
Obtenemos ZTH, apagando todas las fuentes de energía 
 !"# =
50$
5$ + 10
% $ & 4 = 10$$ + 2 % 4 & $ =
10$ + 4 % 8$
$ + 2 =
2$ + 4
$ + 2 = 2 
 
 !"' = 2
(4)
6 = 1.33[*] = ,- 
Para calcular la tensión en las terminales aplicamos, análisis nodal 
Nodo A 
20/0° % 79
10 =
79
$5 +
79 % 7_:
%$4 
 
40/0° % 279 = 479$ +
579 % 57;
$ 
40/0° = 79 <2 + 4$ %
5
$> +
57;
$ 
Nodo B 79 % 7;
%$4 + 4/0° =
7;
4 
4/0° = 79$4 + 7; <
1
4 %
1
$4?> 
Aplicamos 
 2 +
4
!
" 5
!
5
!
1
!4
1
4
" 1
!4
 = 1.677#26.5650° 
Para encontrar $% 
$% = 2 +
4! " 5! 40#0°1!4 4#0° = 9.615#33.69011° $% = $& = '9.615#33.69011°[V] 
b) Terminales c-d 
 
Encontramos ()* (,- = 50!10 + 5! + 4 = 10! + 8 + 4!2 + ! = 14! + 82 + ! 
 (,- = 56 " 32!6! + 12 = 28 " 16!3! + 6 = 1/8074# " 56.30 = ()* 
Para encontrar la tensión en c-d 
 
$: = 40#0°
5!4#0° 14 " 1!4 = 18.856#45° ;)* = $< " $> ;)* = 18.856#56° " 9.615#33.69011° 
 ;)* = 9.6151#56.3097°[v] 
10.61. Halle el equivalente de Thévenin en las terminales a-b del circuito de la figura 
10.104. 
Para determinar Zth, coloco una fuente de tensión en las terminales a-b de 1#0? y apago 
todas las fuentes independientes. 
Aplico método de mallas: "!3@1 + 4@1 + 1#0? = 0 @1 = 0/2#"143/13? = "0/16 " !0/12 AB = "@1 = 0/16 + !0/12 
1,5 ! = 0,24 + 0,18" = 0,3#36,87 
!1 + 1,5"# = !2 
$0,16 $ %0,12 + 0,24 + 0,18% = !2 
!2 = 0,08 + 0,06% 
" = $!2 = $0,08 $ %0,06 = 0,1&$143,13 
'() =
1&0 
0,1&$143,13 
= 10&143,13 *[-] = *$8 + %6*[-] 
Determino "., para esto las terminales a-b están en cortocircuito. 
Aplico método de mallas: 
!1 = 2&0 = 2 
$%3/!2 $ !17 + 4!2 = 0 
!2 = 1,2&$53,13 = 0,92 $ %0,:6 
 
"# = !1 $ !2 
"# = 2 $ /0,92 $ %0,:67 = 1,28 + %0,:6 
1,5"# = 1,:2 + %1,44 
 
0,92 $ %0,:6 + 1,:2 + %1,44 = ". 
". = 2,64 + 0,48% = 2,68&10,3
 
 
Determino ;<> 
;<> = ". ? *'() 
;<> = 26,8&153,43
 = $24 + %12*[;]* 
10.62. Aplicando el teorema de Thévenin halle @A en el circuito de la figura 10.105. 
V = 12 cos/t7 B V = 12&0° 
w = 1 
2H B Z = jwL = j2 
1
4 F Z =
1
jwC
= !j4 
1
8
F Z =
1
jwC
= !j8Encontramos Z"#: 
$% + $& + 3'( = '( 
)*
!,4
+
)* ! 1
,2
!
3)*
4
= !
)*
4
 
,)*
4
+
)* ! 1
,2
!
)*
2
= 0 
)* = 0.4 + ,0.8 
)* = 0.4 + ,0.8 
)* = 0.89-63.43° 
 
'* + $& + 3'( = $/ 
'* +
)* ! 1
,2
!
3)*
4
= !
1
,8
 
'* = !
1
,8
!
)* ! 1
,2
+
3)*
4
 
'* = !
1
,8
!
!0.6 + ,0.8
,2
+
1.2 + ,2.4
4
 
'* = !0.1 + ,0.425 
'* = 0.44-103.24° 
7;< =
1
'*
=
1
0.44-103.24°
= 2.29- ! 103.24° 
Encontramos V"#: 
 + !" + 3#$ = #$ % &'4 + % & %"'2 + 36(0° & 3% 4 = 12(0° & % 4 
)2 + '*% & '2%" = 24 , -./5.!ó781 
!" + 3#$ = !9 
% & %"
'2 +
36(0° & 3% 
4 =
%"
&': 
)6 + '4*% & '3%" = ;2 , -./5.!ó782 
< 2 + ' &'26 + '4 &'3> <
% 
%"> = ?
24
;2@ 
% = AB21( & 3AB:1° 
%" = 3B0;(140B1A° 
%" = %CD = 3B0;(140B1A° 
%$ = 22 + ECD F %CD 
%$ = 22 + 2B2A( & 103B24° F 3B0;(140B1A° 
%$ = 2B3( & 163B3° 
%$ = 2B3 cos)G & 163B3°* [%] 
10.63. Obtenga el equivalente de Norton del circuito que se presenta en la figura 
10.106 en las terminales a-b. 
Cambiamos de dominio 
Apagamos la fuente de corriente para calcular RN. 
 ! = 1"# 
Calculo de IN: 
 1 = 3.46 + !2 
2000!( 2 " 1) + 2000( 2 " 3) = 0 
2000! 2 " 2000!(3.46 + !2) + 2000 2 " 2000 3 = 0 
Despejando las ecuaciones obtenemos. 
#$% = #& = 0.022732 " 0.000729! 
Cambiando de dominio fasorial a temporal: 
#$% = #& == "69.45'[*] = '5.657%,$(200- + 75.01°) 
10.64. Para el circuito de la figura, encuentre el equivalente de Norton entre los 
terminales a y b: 
Apagando la fuente y encontrando /8: 
/8: =
100 ; 50!
100 + 50!
= 20 + 40! 
Para encontrar la corriente de Norton, cortocircuito entre los terminales y por mallas: 
Para la malla 1: 
100 ! " 60 # 3$60 = 0 
 ! = 1.8$60%[&] 
Para la malla 2: 
'50 ( " '80 # 3$60 = 0 
 ( = 4.8$60 
De donde ) =% ( " ! = %4.8$60 " 1.8$60 = 3$60%%[&] 
Y el circuito equivalente queda de la siguiente forma: 
10.65. Usar la Fig. 10.108., designar un problema para ayudar a otros estudiantes a 
entender sobre el Teorema de Norton. 
Calcular ! aplicando el teorema de Norton sabiendo que: 
"# = 5$%&(2')[*] = 5
+, = - = 2[.]
+/0 = 132[.]
+/4 = 13[.]
+6 = 38[.]
1) Calculamos +79: 
+79 = +: =
(2 1 32) ; 13
(2 1 32) < 13
= >?@5 1 3>?AA 
 
2) Calculamos B:: 
B: =
5
> 1 3
= 35 
3) Calculo de ! 
 ! =
+:C
+: < 38
B: =
(>?@5 1 3>?AA)
(>?@5 1 3>?AA) < 38
(35) 
 
 ! = >?@@DA 1 3>?5E 
 
 ! = 542.27 "#$(2% & 77.78°) ['*] 
10.66. Obtener el equivalente de Norton para el circuito de la figura, tomar w=10 
rad/s. 
Cambiando al dominio fasorial: 
Para encontrar la impedancia de Norton unimos una fuente de corriente entre los 
terminales a y b, en este caso una de 1 [A]. 
Entonces: 
 
1 + 2,- =
,/0
35
+
,/0
16 & 163
99999:9999,- =
,/0
16 & 163
 
 
,/0 =9
163 & 16
21 + 23
9= 14.14;1<5 
De donde: 
>? =
,/0
@
= 6.A7;12B.5A9[C] 
 
Para hallar la corriente de Norton, encontramos el voltaje entre a y b para hacer una 
transformación después: 
Donde: 
(16 & 35)@ + 326 + 316,- & 12 = 69 
 
,- = (16)(&32 & @) 
 
Después: 
(16 & 3165)@ = 9&188 & 326 
 
,/0 = 35(@ + 2,-) = 35(&1B@ & 346) = 9&3B5@ + 266 
 ! = 29.73 + "1.8723 
# ! = 29.79$3.6 
Y la corriente de Norton es: 
%& =
# !
'&
=
29.79$3.6
0.67$129.56
= 44.46$ ( 125.96)))[*] 
 
Y el circuito equivalente sería: 
 
10.67. Encuentre el equivalente de Thévenin y Norton en el circuito de la 
Fig.10.110. 
Apagamos la fuente de tensión y encontramos la impedancia equivalente ZTh. 
,-/ = [10║:13 ( "5;] + [12║:8 + "6;] 
,-/ =
130 ( "50
23 ( "5
+
96 + "72
20 + "6
 
,-/ =
2600 ( 100" + 780" + 300 + 2208 ( "480 + "1656 + 360
460 + "138 ( "100 + 30
 
,-/ =
5468 + "1856
490 + "38
 
,-/ = 11<24 + "1<08 
,-/ = 11<24 > 5<48° 
Divisor de tensión: 
60 > 45° = 42<42 + "42<42 
#-/ = # ( #! 
# =
10
23 + "5
× 42<42 + "42<42 
# = ))13<78 + "21<44 
 ! =
8 + "6
20 + "6
× 42,42 + "42,42 
 ! = ""12,07 + #26,08" 
 $% = 1,71 & #4,64 
 $% = 4,49 < &69,76° 
'( =
 $%)$% 
'( =
4,49 < &69,76°
11,24 < 5,48°
 
'( = 0,44 < &75,24° 
10.68. Encuentre el equivalente de Thévenin en los terminales a-b en el circuito de 
la Fig.10.111 
Primero transformamos los elementos del circuito al dominio frecuencial. 
Como: 
*- = 6 ./3:10;> [ ] 
Entonces ?- = 10[@ABC ] 
 - = 6D0°"[ ] 
Y 
/- = 2 ./3:4000;> [E] 
Entonces ?F = 4000[
@AB
C
] 
'- = 2D0°[E] 
 
 
Como 
1"[G] = #?H = #:10>:1> = #10[I] 
 
1
20 [ ] =
1
!"# =
1
$!(10)(1)20 %
= &!2 
Realizamos una impedancia en paralelo 
!10'(&!2)
!10 & !2 = &!2.5 
*+ = 4,+'(&!2.5) = &!10,+---------/31 
&6 7 4,+ 7 18*+ = 0-----------------/32 
Encontrando en las ecuaciones 
,+ = 64 & !108
 
Entonces nuestro *9: = *+ 
*9: = &!10,; = & !604 & !108
= 11.52< & 50.1>° 
Ahora encontramos la ?9: agregando una fuente de corriente. 
4,; 7 18*; = 0 
,; = & *;12 
1 7 4,; = *;&!2 7
*;
!10 
Resolviendo las ecuaciones 
 ! =
"
!.##$%!.&
= 1.2293 ' (1.4766 
)*+ =
 !
1
= 1.2293 ' 1.477[,]
SECCIÓN 10.7 AMPLIFICADORES OPERACIONALES EN CIRCUITOS CA
10.69. Para el diferenciador mostrado en la figura, obtenga Vo/Vs. Encuentre vo 
cuando vs=Vm sen(wt) y w=1/RC. 
Solución: 
 -
 /
= '(058 
Y para :! = ;<>?@0AB 
:- = ' ;CD<E@0AB 
10.70. El circuito de la figura 10.113 es un integrador con un resistor de 
retroalimentación. Calcule FG@HB si FI = JEKGIELMNO
LHEP.
2 cos 4Q1R&A = 2SR 
1R?T = '(2.UVW
 -
 /
=
')*
)X
 
E)X = URVWE 
 ! = 100" # ($%2.5") = $%10040 $ % "& 
'*
'+
=
%2
40 $ %
 
'* =
%4
40 $ %
= 0.1,91.43-/ 
10.71 Halle en el circuito del amplificador operacional de la figura 10.114.
 =
1
! " 2 " 0.5 " 10 # 6
= #1! " 10$ 
%&' =
#!10$ " 10(
#10$ + 10(
= 9999 # 99.99! 
2)
2) + 9999 # 99.99!
" *, = 5.929 + 4! 
*, = -6.928 + 4!/ " -11999 # 99.99/! 
*, = 41.7645 + 23.6516 
*, = 48 < 29.52 
:,-;/ = 48 cos-2; + 29.52/ [:]
 
10.72. Calcular >? en el circuito del amplificador operacional en la figura 10.115 si 
@A= 4 cos10B t V. 
4 cos(10 t)!"!4!#!0°,!$!=!10 
 
l!nF!"!
%
&'(
 = 
%
&*+-.)*+-/2)
 = -j!100k3 
 
Considerar el circuito como se muestra a continuación: 
 
 
En el nodo no inversora 
 
 
5678
9-
 = 
78
6&+--
 "!V8!=!
5
+:&-;9
 
 
I8!=!
78
+--<
 = 
5
*+--)*+:&-;9)
 mA = >?;@A!#! B CD;?D°!EG 
 
Por lo tanto 
 
H8*J) != !>?;@A!KLM*10 !J!� !CD;?D°)!EG 
10.73. Si la impedancia de entrada se define como !" = #$/%$, halle la impedancia 
de entrada del circuito del amplificador operacional de la figura cuando &' =
'([)*], &++(,[)*],,-' = '([".], -+ = +([".] y 0 = 1(((,[234/$].
56 = 57
89 = :;[<>] ?
:
@A8
= B@C;[DE]
 ! = 20["#] $
1
%& = '%10[()]
*+,+-1
./ ' .3
10 =
.3 ' .4
'%20 5
.3 ' .4
20
617-2./ = 68 5 %7.3 ' 61 5 %7.4
*+,+-2
.3 ' .4
20 =
.4 ' 0
'%10
627-.3 = 61 5 %27.4
627-9"-617-2./ = %:.4
.4 = '% 18./
.3 = 61 5 %27.4 = ;28 ' %
1
8<./
>/ = ./ ' .310( =
1
8 ? 61 5 %7
10( ./
>/
./ =
1 5 %
80(
@AB = ./>/ =
80(
1 5 % = 1C61 ' %7(
@AB = 21D21 'EC° -[()]
10.74. Evalue el voltaje de Av=V0/Vs, en el amplificador operacional del circuito 
en w=0, wF G, w=1/R1C1 y w=1/R2C2 
@H = -I1 5 1%J 1 ----------------------@K = -I2 5
1
%J 2 
LM = .+.N -= -
'@K
@1 = -'
-I2 5 1%J 2
-I1 5 1%J 1
-= -' ; 1 2< ;
1 5 %JI2 2
1 5 %I1 1 <
 = 0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"# = $%1/%2 
 ! "#######################$% = &'2/'1 
 = #1/'1(1############ & )(1(2* )
1 + , '2(2/'1(1
1 + , * 
 = #1/'2(2############# & )(1(2* )
1 + ,
1 + , '1(1/'2(2* 
10.75 En el circuito del amplificador operacional de la figura 10.118, halle la 
ganancia en lazo cerrado y el desplazamiento de fase de la tensión de salida 
respecto a latensión de entrada si -. = -0 = .3456. = 60 = .778Ω5 69 =078Ω5 6: = :78Ω#;#< = 0777>?@/A
(B = &,CDDEF
GHIH#1 
JK & JB
&,CDD =
JL & JB
1DD +
JB & JM
&,CDD #N1O 
JK = N2 + ,COJB & ,CJL&JM 
GHIH#2 
JB & JM
&,CDD =
JM
1DD 
JB = N1 & ,COJM#N2O 
JM = 'P'P + 'Q JL =
JL
2 ###NRO 
 ! = 12 (1 " #5) $%%%%%(4) 
3 ! 4 "# 1 
 $% =
1
2
(26 & '25)$* 
 
 $%
$*
=
2
26 & '25
 
 
 $%
$*
= 0.055+43.88 ,
10.76 Determinar Vo e Io en el circuito del amplificador operacional 
-/7/1 
9: = 9; < 9> 
2|30?&4'
=
$: & $?
20
<
$: & $?
10
 
(1) 2|30? = (1 & 0.6@)$: < 0.6@$? 
-/7/2 
$: & $?
10
=
$?
&2'
 
(2) $: & (1 < 5')$? 
Dos ecuaciones dos incógnitas: 
$: = 0.85A3 < 1.3410' 
$? = 0.2A0A & 0.113B' = 0.3124|&21.34
? 
9; = 9? =
$: & $?
20
 
9? = 1.1502 < 1.22B3' 
 
 
10.77 Encontrar la relación V0/Vs para el circuito: 
 !"!#$ 
 ! " #
$# = %&' # 
 ! = (1 + %&$#'#) #***(1) 
,-.-*/ 
0 " #$2 = # " 3$4 + %&'4( # " 3) 
 # = ( # " 3)($2$4 + %&$2'4) 
 3 = 51 + 1$2$4 + %&$2'4)6 #*******(7) 
Resolviendo las ecuaciones: 
 3 = !1 + %&$#'# 81 + $4%&'4$4$29 
:;:< = >/ + >? + @AB/>/>?(C + @A>CBC)(>? + @A>/>?B/) 
10.78 Determine !(") en el circuito del amplificador operacional de la figura 
10.121, abajo.
2 sin(400#) = 2$0%& 
0.5'* = +,5-/ 
0.25 ! = "#10$%
&'(')1 
2 " *+
10 =
*+
"#10 ,
*+ " *-
"#5 ,
*+ " */
20 
4 = 36 , #78*+ " #4*- " */ 
&'('2 
*+ " *-
"#5 =
*-
10 
*+ = 31 " #0.58*- 
*- = 2020 , 40*/ =
1
6*/ 
*+ = 16 31 " #0.58*/ 
4 = 36 , #78 16 31 " #0.58*/ " #
4
6*/ " */ = 91 " #
1
7: */ 
*/ = 247 " # = 6.;45<;.47)> 
*/3?8 = 6.;45sin)3400? , ;.47)>8* 
10.79 En referencia al circuito del amplificador operacional de la figura 10.122, 
obtenga vo(t).
5cos (1000t)= 5 0°, = 1000 
0.1!" # 1$ % =
1
&(1000)(0,1 × 10'*) = +&10-/ 
0.2!" # 1$ % =
1
&(1000)(0,2 × 10'*) = +&5-/ 
34 = +60+&5 37 
37 = +208II88(+J10)10 39 
34 = :+&;10 < :
+(20)(+&10)
20 + &10 <5>0° 
34 = :+&;10 < :
+(20)(+&10)
20 + &10 <5>0° 
34 = 1?(2 @ &) = A5,B;>2?,5?° 
34(C) = A5,B;DEF(1000C @ 25,5?°)3 
10.80 Obtenga GH(K) para el circuito del amplificador operacional de la siguiente 
figura 10.123 si GL = MNOP(QRRRK + SR°) [T]
UV = 6DEF(1000C + ?0°) = 6> + ?0° 
% = 0.1W = 1$X% = +10000$ 
 = 0.2! = 1"# = $5000" 
%&'()*)+,-/341 
67 = 68 = 0 
9: $ ;0° $ 0
$10000" =
0 $ 6<
20000 >
0 $ 6?
50000 
20: $ ;0°
$" = $
56<
2 $ 6? 
6< = $26?5 >
90: $ ;0°
5" 
%&'()*)+,-/3424 
6@ = 6A = 0 
6< $ 0
10000 =
0 $ 6?
$5000" 
6< = 26?" 
Reemplazamos en la ecuación anterior 
26?
" = $
26?
5 >
90: $ ;0°
5" 
6? B2" >
2
5C =
90: $ ;0
5" 
6? = 90: $ ;05"D2.0EF: $ GH.;F°I 
6? = E.F22: $ G1.E0FF[6]