¿Qué pasa si solicito la última habitación en el Hotel de Hilbert?

“¡Bienvenido al Hotel de Hilbert, atendiendo sus necesidades desde 1883! ¿Cómo podemos ayudarle?"

"Sí, me gustaría tener una habitación, por favor".

"Muy bien señor. ¿Qué habitación preferiría? Nuestras habitaciones están numeradas 1, 2, 3, etc. ¡De hecho, tenemos una habitación para cada número natural! Nuestras habitaciones prime son, bueno, prime, y también tenemos una noche especial para las habitaciones 1.729 y 196.884, si le interesa... "

“Entonces, ¿todas las habitaciones están disponibles? ¿El lugar está... vacío?"

“¡Oh no, señor, qué divertido que lo preguntes! De hecho, Es todo lo contrario. ¡Todas nuestras habitaciones están ocupadas actualmente! Pero nos enorgullecemos de nuestra eficiencia, por lo que si elige quedarse en la habitación 1,729, por ejemplo - para la cual, como mencioné, tenemos un especial verdaderamente único para esta noche, señor, sugiero calurosamente que lo considere - simplemente trasladamos a todos nuestros huéspedes en las habitaciones 1.729, 1.730, 1.731, etc., los trasladamos a todos una habitación hacia arriba, desocupando la habitación 1.729. No es ninguna molestia en absoluto."

"Entonces ... ¿puedes ponerme en cualquier habitación que desee?"

"Absolutamente señor, y recomiendo especialmente la habitación 1.729, y también mencioné la habitación 196..."

"Sí Sí. Entonces, me gustaría la última habitación, por favor."

"¿Perdóneme?"

"Me gustaría quedarme en la última habitación".

"¿La última habitación?"

"Si."

"¿Se refiere a la habitación 1?"

“No, esa es la primera habitación. Quiero la última, por favor."

"Pero ... señor, como he explicado, tenemos una habitación para cada número natural. No conozco un último número natural y, hm, no creo que haya uno. ¿Le gustaría saber acerca de nuestros especiales ...?"

“Mira, no tengo tiempo para esto. Prefiero no tener a nadie en una habitación con un número mayor que el mío, y si no puede acomodarme, llevaré mi negocio al Sheraton Interuniversal más abajo. Gracias."

"¡Espere! Señor, por favor, solo soy un estudiante aquí. Por favor, déjeme buscar a mi gerente, estoy seguro de que podrá ayudarnos".

“Hola, me llamo Julia. ¿Entiendo que necesita la última habitación, señor...?"

“Zzyzzek. Zwawoy Zzyzzek."

“Bueno, eso explica algunas cosas. Muy bien, Sr. Zzyzzek, nos enorgullecemos de nuestro servicio transfinito, y puedo atender su solicitud, no será un problema. Residirá en la última habitación del Hotel Hilbert. Solo denos unos minutos para configurarlo ”

"Excelente. ¿Cuál sería el número de mi habitación?"

“Ah, por supuesto. Estarás en la habitación ωω. Pido disculpas porque nuestra recepcionista de pregrado no pudiera ayudarlo; solo están capacitados para comprender los aspectos cardinales de nuestro hotel, por lo que saben cómo manejar, por ejemplo, una carga de autobús de infinitos turistas que llegan de Xanadu, al trasladar a todos nuestros huéspedes actuales de su habitación a la habitación con dos veces el número, liberando todas las habitaciones impares.

Pero no son conscientes de que los números naturales no son solo un conjunto: son un conjunto ordenado , con orden 1<2<3<...1<2<3<..., y ese orden claramente no tiene un último elemento. Sin embargo, está perfectamente bien establecer otro número, ωω, y declararlo mayor que todos los números naturales 1<2<3<...<ω1<2<3<...<ω.

Su solicitud no era simplemente acomodar una habitación para usted, sino más bien considerar los aspectos de orden de esa habitación, pidiéndole que fuera la última. Entonces, ahora, nuestro personal ha tenido tiempo de asignar la habitación ωω y está lista para usted. ¿Necesitaría WiFi?"

El Sr. Zzyzzek resultó no ser tan fácil de aplacar.

"¿Y si quiero a mi esposa en la habitación de al lado? El número de su habitación debe ser aún mayor que el mío."

"Sin problema. Ella estará en la habitación ω+1ω+1 "

"Y mis hijos también deben estar a nuestro lado, pero en una habitación con un número inferior".

"De acuerdo, puedo moverlos a ω+1ω+1 y ω+2ω+2 y ponerlos en ωω. "

"¿Qué pasa si tengo infinitos amigos, todos pidiendo una habitación más alta que la nuestra?"

"Se quedarán en ω+3ω+3, ω+4,ω+4, y así. Tendremos una habitación ω+nω+n por cada amigo numerado nn. "

"De hecho, tengo infinitas cohortes de amigos, cada una con infinitas personas".

"Hasta ahora solo hemos subido aω+ω=ω⋅2ω+ω=ω⋅2. Podemos introducir ω⋅2,ω⋅3,ω⋅4ω⋅2,ω⋅3,ω⋅4y así sucesivamente y colocar a sus amigos en la habitación ω⋅C+iω⋅C+i, para la persona número ii en la cohorte CC. "

“Ok, ahora creo que voy a dejarte perplejo. También tenemos infinitos parientes , y todos necesitan permanecer en habitaciones entre mi esposa y yo ”.

"Por supuesto. Ellos pueden alojarse en habitaciones ω+1//2,ω+1//3,ω+1//4ω+1//2,ω+1//3,ω+1//4 y así sucesivamente, lo que significa que no habrá primero entre ellos, pero habrá uno más grande ".

"¿Y si no quieren eso? Lucharán sin cesar por quién tiene la habitación más grande."

"Fácil. Podemos añadirω+2/3,ω+3/4,ω+4/5ω+2/3,ω+3/4,ω+4/5 y así. Todavía hay infinitas habitaciones entre ωω y ω+1ω+1, y esas infinitas habitaciones no tienen ni la más pequeña ni la más grande ".

Hubo un momento de silencio.

"¿Puedes manejar cualquier cosa ?"

“Sí y no. Puedo manejar cualquier combinación de órdenes relativas locas, con infinitos infinitos entrelazados de la forma que quieras. Puedo hacerlo para que haya una habitación entre cada par de habitaciones. Puedo hacer infinitos conjuntos de infinitas habitaciones entre cada par de habitaciones. Puedo colocar ω3+ω+7ω3+ω+7de tus amigos entre las habitaciones 2222 y 2323. En resumen, puedo manejar cualquier orden lineal de un número contable de personas ".

“Sin embargo, la cantidad de habitaciones en nuestro hotel solo es contable. Si tiene todos los números reales como sus socios comerciales, por ejemplo, no podré ajustarlos incluso si no tienen ningún requisito de pedido. Para eso, tendrá que consultar con el nuevo Hyatt Incontable que se está construyendo al otro lado de la ciudad. Pero escuché que hacer reservas allí es una pesadilla. ¡Se necesita una cantidad infinita de tiempo solo para describir la lista de invitados! ”

Las órdenes contables que pueden ser manejadas por el Hotel Hilbert y su gerente, Julia Robinson, son simplemente todas las órdenes que caben dentro de los números racionales. Los números racionales forman un orden lineal denso, y cualquier orden en cualquier conjunto contable se puede colocar dentro de los racionales.

De hecho, ni siquiera era necesario introducir los ordinales contables ω,ω⋅2ω,ω⋅2 etc .: La Sra. Robinson podría haber renombrado las mismas habitaciones que ya tiene con números racionales en lugar de números naturales. Presumiblemente, esto habría incomodado de alguna manera a sus invitados, por lo que es comprensible que eligiera darle al Sr. Zzyzzek una habitación completamente nueva, pero podría simplemente haber movido a todos los invitados una habitación arriba, desocupando la habitación 11, y luego renombrar las habitaciones...2,3,4,...2,3,4,... a 12,13,14...,12,13,14..., Esto habría hecho la habitación

11 disponible para el Sr. Zzyzzek como la habitación con el mayor número.

Cualquier ordinal contable puede caber dentro de los números racionales. De hecho, cualquier orden total contable puede encajar de esta manera, y no son necesariamente ordinales (es decir, bien ordenados). Los racionales pueden acomodar fácilmente conjuntos sin ningún primer elemento, como las habitaciones re-enumeradas que acabamos de considerar.

Además, es posible ajustar incluso conjuntos ordenados incontables en estructuras más grandes que los racionales, más bellamente, los números surrealistas. Pero esa es una historia para otro viaje.