¿Cuál es una historia o concepto matemático interesante, para enseñar a personas totalmente ajenas a la matemática? Algo que despierte su interés....

Hay muchas cosas maravillosas que podrían despertar interés en muchas personas sensibles a la estética del pensamiento abstracto: muchas.

El problema está en que a menudo se parte de prejuicios sobre la matemática, que todos hemos oído una y mil veces: que es incomprensible, que es aburrida, que emplea un lenguaje que disuade de intentar aproximarse a ella, que es fría, que solo es para genios…

Probablemente el lector haya escuchado o leído, en los grandes medios de comunicación, alguna entrevista a un matemático investigador, apasionado por la belleza de las matemáticas, y si analiza bien la entrevista constatará que el (o "la") periodista (no siempre, pero sí el 99% de las veces) desperdicia la oportunidad de escuchar alguna de esas historias fascinantes de labios de un experto, para acaparar el escaso tiempo dedicado a entrevistarlo, y lo ocupa hablando el propio periodista o locutor sobre cómo se aburría, en el colegio o instituto, en las clases de matemáticas, o como las temía, o cómo se alegró al librarse por fin de esa asignatura y dedicarse a su actual profesión; y pregunta porqué tantos niños y niñas suspenden matemáticas…el caso es no permitir que hable el matemático...

De modo que la primera condición para entusiasmarse es dejar los oídos libres para escuchar sin prejuicios, y como esas reacciones, en uno u otro sentido, son algo profundamente subjetivo, nunca se puede asegurar que tal o cual tema va a tener éxito en un ámbito de legos en la materia, por muy bien dispuestos que estén, y por mucha elocuencia que imprima a sus palabras quien lo relata, con el mejor ánimo divulgador.

Pero por complacer a Fède Olut, que demuestra un gran interés y respeto por la matemática, citaré un ejemplo, empleando el menor número posible de tecnicismos, para que se lo pueda proponer a cualquier persona sin conocimientos previos; entiendo, no obstante, que el auditorio al menos sí debería poseer algunos rudimentos de la matemática más elemental que se estudia en la enseñanza primaria o mejor, en los dos primeros cursos de secundaria.

EL MISTERIOSO TRIÁNGULO ARITMÉTICO

Vamos a jugar un poco con los números enteros (si alguien está más avanzado, diremos los enteros no negativos , o los números naturales, para que no nos corrija y nos deje en evidencia…En toda charla informal se cuela algún "espía"). Quien desee mucho rigor expositivo, consulte un libro de texto sobre el asunto, pero no siga leyendo esta "divulgación" para principiantes, y menos aún si ya conoce el tema.

Yo puedo escribir en un folio o en la pizarra el número 1:

1 ; poco se puede hacer con esto, así que empiezo otra fila, esta vez con dos enteros : 1 * 1. Los separo con un asterisco para que no parezca "once".

****************** * 1

****************** 1 * 1.

Ahora empiezo otra fila, igual, empezando y terminando con 1, pero esta vez con tres números: ¿cuá elijo en el centro? lo más fácil parece elegir la suma de los números que están encima de él; es como si cada número fuera un ladrillo que soporta el peso de los dos que están justo encima de él:

****************** *********1

****************** 1 ****************1

*************** 1 ********** 2 ************ 1 ; la siguiente será:

************* 1 ****** 3 ********* 3 *********** 1 (pues 3=1+2)

********** 1 ***** 4 ******** 6 ********* 4 ******* 1

Así aparece el triángulo aritmético, que debido a que Pascal lo estudió a fondo y con gran perseverancia, se llama también triángulo de Pascal, y otros lo llaman triángulo de Tartaglia…y como los chinos lo conocían aún antes…en la Edad Media…

pero bueno, no nos desviemos del juguete que tenemos ante nuestra vista.

Alguien preguntará, casi seguro: ¿ y eso para qué sirve?

Hay que expulsarlo de la sala: ¿para qué sirve jugar? Pues para pasarlo bien, para ver cosas curiosas, para detenernos un momento y dejar de hacer tan solo cosas útiles…para averiguar qué relaciones entrelazan los elementos del "juego"…y tal vez alguna persona "seria" y "responsable" le encuentre a esto aplicaciones "serias" y "responsables"…

Si ponemos un espejo delante, o bien, nos situamos detrás del triángulo y lo miramos desde el otro lado simétrico a la pantalla, veremos que el triángulo no varía: (1) los números equidistantes de los extremos son iguales.

(2) en cada fila van creciendo los números hasta la mitad, y luego van decreciendo simétricamente hasta llegar a 1. En las filas impares se repite el elemento central, en las pares el valor máximo -central- es único.

(3) El segundo número de cada fila nos indica el número de fila, por ejemplo, la fila 1,4,6,4,1 es la fila 4, así como la fila compuesta por solo el 1 es la fila 0; la fila 1, 1 es la fila 1, la 1,2,1 es la fila 2…etc.

(4) Si en cada fila sumamos todos los números obtenemos:

1 = 1 → 1+1 = 2 → 1+2+1 = 4 → 1+3+3+1= 8 → 1+4+6+4+1=16, siempre sale el doble que la suma anterior. En la fila n la suma total es 2 ⁿ.

Una sola propiedad es curiosa, dos ya es una coincidencia casual, tres ya es algo raro, cuatro es misterioso, 5 es preocupante, 6 es asombroso…y siguen las propiedades increíbles:

(5) Si sumo los de lugar para en cada fila y los de lugar impar, ambas sumas son iguales y además iguales a la suma de todos los números de la fila anterior; por ejemplo: en la fila 8, sumándolos salteados, (uno sí - uno no) : 1+28+70+28+1 = 8+56+56+8 =128 ; mientras que 1+7+21+35+35+21+7+1=128, ¡y eso pasa en todas las infinitas filas!

(6) Si tengo 12 jerseys y quiero elegir 5, lo puedo hacer de un número de maneras → Fila 12, y desde el 12 cuento 5: 792 maneras posibles de elegir 5 elementos distintos entre 12 diferentes. ¡Y eso vale para todas las filas!

(7) Si quiero saber si un número es triangular solo tengo que buscarlo en la tercera diagonal inclinada a la derecha, o a la izquierda, da igual. Se llaman triangulares los números que se pueden colocar como los bolos: 1 delante + 2 detrás+ 3 detrás+4 detrás…y así tantas filas como se quiera; el primer triangular es el 1; luego el 3=1+2, luego el 6=1+2+3; luego el 10=1+2+3+4…

Si quiero saber si 105 es triangular lo busco en su diagonal, la tercera, y me dice que sí, no solo es triangular, sino que en la fila trasera habrá 15 bolos:

105=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15.

(8) Todos los números triangulares están en el tercer lugar de cualquier fila.

(9) Si quiero calcular la suma de los cuadrados de todos los números de una fila, por ejemplo, de la fila 7: → 1²+7²+21²+35²+35²+21²+7²+1² = 3432, podría ahorrarme el cálculo mirando el máximo entero (el central) en la fila doble, la 14, lugar 7 empezando desde el 14, o sea, 3432. ¡Y eso vale para todas las filas!

(10) Cuando una fila es del orden de una potencia de 2, menos 1, todos sus términos son impares, y recíprocamente; por ejemplo, en la fila 0=2⁰-1, en la fila 1=2¹-1, en la fila 3=2²-1, en la fila 7=2³-1, en la 15 = 2⁴-1…todos sus números son impares…¡Y eso vale para todas las potencias de 2 !

Bueno, llegados aquí, el auditorio de inexpertos "despreciadores" de las matemáticas puede pedirnos…¡De acuerdo! No nos tengas en vilo, ¡ya dinos de una vez todas las propiedades!

Respuesta (con tono intrigante…) : No se puede y no solo porque sean infinitas, sino porque la inmensa mayoría las desconocemos aún hoy en día.

(11) El binomio de Newton: si alguien ama los polinomios, seguro que no estaría en este grupo de personas alérgicas a las matemáticas, pero por si acaso se cuela alguno, ponemos

(a+b) ᵐ = Coef. * a ᵐ + Coef. * a ᵐ⁻¹ b + Coef. * a ᵐ⁻² b² + …+ Coef. * b ᵐ

Y los coeficientes, que sería lo más difícil de calcular, son los números de la fila m; por ejemplo,

(a+b)⁸=a⁸+8a⁷b+28a⁶b²+56a⁵b³+70a⁴b⁴+56a³b⁵+28a²b⁶+8ab⁷+b⁸.

AUTO PLAGIO (!!)

(Sé que está mal copiar el texto de una respuesta de Quora sin avisar, o incluso avisando, pero como copio a continuación el siguiente párrafo, que es un fragmento de una respuesta mía anterior, y yo soy el autor de ella, me perdono a mí mismo y prometo no protestar como ofendido). Las imágenes se pueden encontrar con libre acceso en Internet. Mi respuesta completa está en:

Pero, sin extenderme más, por citar alguna propiedad verdaderamente asombrosa y misteriosa en grado máximo (corríjanme si exagero) vean los lectores que no conozcan la siguiente propiedad (bueno, y los que la conozcan también vuelvan a verla, a mí no me cansa contemplarla continuamente): fíjense en lo que pasa en el triángulo de Pascal cuando se "apagan" todos los números pares como si fueran bombillas, y se dejan "encendidos" solo los impares.

Aparece una versión aritmética del triángulo de Sierpinski, joya geométrica fractal, que se produce iterando hasta el infinito la operación de suprimir el triángulo equilátero central, determinado por los puntos medios de los lados y dispuesto en posición inversa, en cada triángulo equilátero componente. Sus primeras aproximaciones pueden verse en la figura adjunta:

Triángulo de Sierpinski: los puntos negros son los pertenecientes al triángulo de Sierpinski, y los blancos representan el vacío. Se supone o imagina que en cada intersticio hay infinitos triángulos blancos, cada vez más pequeños, de modo que la figura fractal es infinitamente autosemejante: cada pequeño triángulo negro es una copia a escala reducida del triángulo completo, y así hasta el infinito.

En el triángulo de Pascal, a medida que vamos avanzando al considerar más y más filas, al apartar los números pares y dejar señalados solo los impares, se va obteniendo sucesivamente lo siguiente:

Vemos que es así, pero la razón profunda de porqué ocurre esto, incluso "apagando" los múltiplos de otros números (pues no solo ocurre con los múltiplos del 2), ni siquiera hoy en día la conocemos.

Es un hecho absolutamente incontestable que el triángulo de Pascal encierra todos los secretos de los números enteros, que es tanto como decir de todos los números reales y complejos. Contiene a la sucesión de Fibonacci, los números poligonales, los números primos, que están representados en su fila correspondiente, la fila p, para cada valor del primo p ; filas de enteros positivos en las que, salvo los dos unos del principio y el final, son todos múltiplos de p.

Algunas de las profundísimas relaciones en el triángulo de Pascal solo se han podido expresar o demostrar mediante trigonometría o cálculo infinitesimal, intervención no trivial de los números complejos o funciones avanzadas de la teoría de números…

Y suceden muchísimas más cosas, la inmensa mayoría de las cuales aún ignoramos; arcanos que yacen en el triángulo aritmético desde la noche de los tiempos.

BIBLIOGRAFÍA:

DES DÉCOUVERTES DANS LE TRIANGLE DE PASCAL (Gregor Berg).

Triangulando: Pascal versus Sierpinski (Marta Macho Stadler).

Pascal's Triangle (Uspenskii) (1974 by University of Chicago).

Pascal's Triangle and Fibonacci numbers (James Varnadore) (www.jstore.org)

¿De cuántas formas? (COMBINATORIA) - Vilenkin - Editorial MIR (traducción española de la propia editorial MIR).