¿Por qué las matemáticas son fáciles para algunas personas y difíciles para otras?

Como ex campeón de los Juegos Olímpicos de Matemáticas de China (mi profesor de matemáticas es el matemático más famoso de China), estoy calificado para responder esta pregunta.

Mi ex novia es pobre en matemáticas, pero su física es buena. ¿Por qué?

Sus hábitos de pensamiento son diferentes a los míos. Está acostumbrada / buena a "la forma de pensar en física" (puede imaginar el movimiento de entidades físicas discretas en su mente), pero ella está totalmente confundida con las matemáticas, y a menudo se enreda en el origen de algunos teoremas de fórmulas, como "reducción de fracciones a un denominador común". Ella a menudo me preguntaba:

• ¿Quién define "reducción de fracción"?
• ¿Tienes que hacer eso?
• ¿Por qué hacemos una "reducción de fracciones" de esa manera?

En su opinión, "la lógica de las matemáticas es demasiado abstracta para comprenderla, incluso absurda".

Le dije a ella:

Porque no tienes buenos hábitos de pensamiento matemático. La matemática es más abstracta que la física, requiere más entrenamiento para dominar el pensamiento matemático.

Para ella, la física es más fácil de aprender que las matemáticas, porque la física es concreta. Todas las leyes de la física corresponden a algunos fenómenos físicos en la realidad. Mientras preste atención a la observación y la experimentación, puede comprender las leyes de la física. Cuando muchas personas piensan en problemas físicos, pueden obtener resultados con la ayuda de la imaginación y la deducción del cerebro, pero no necesitan usar un bolígrafo para calcular.

¿Por qué las matemáticas son más difíciles para ella? Porque para la mayoría de las personas, las matemáticas son extremadamente abstractas. Para ellos, las matemáticas son números, fórmulas y teoremas mucho más difíciles de recordar. Al pensar en problemas matemáticos, debemos confiar en el papel y el lápiz para calcular e inferir resultados. Para familiarizarse con las leyes de matemáticas, debe hacer ejercicios matemáticos repetidamente ", porque no podemos" ver "sus resultados intuitivamente por la imaginación de nuestro cerebro.

Las ventajas de las "preguntas del examen del mar de matemáticas (gran cantidad de ejercicios de tarea para estudiantes de K12)" son fáciles de aplicar, que todos pueden practicar mediante la enseñanza y el aprendizaje, pero las desventajas son la baja eficiencia de pensamiento, y el alto costo de aprendizaje y pensamiento. ¡Esto ha destruido el interés y la confianza de innumerables personas en las matemáticas! Para que muchas personas duden de su coeficiente intelectual.

Por supuesto, el coeficiente intelectual es nada más que el resultado / síntoma, y no la medida de la capacidad de pensar de manera diferente. Los hábitos de pensamiento de diferentes personas son buenos o malos. Los buenos hábitos de pensamiento mejorarán su precisión y velocidad de reacción. Por lo tanto, esas personas tienen puntajes de coeficiente intelectual en el lado alto. Los "buenos hábitos de pensamiento" son la causa principal, pero un alto coeficiente intelectual es solo un resultado "superficial".

¡Para mejorar la eficiencia del pensamiento matemático, lo más importante es usar "hábitos de pensamiento matemático correctos para reducir el costo del pensamiento" y finalmente lograr "pensar en problemas matemáticos sin calcular con papel y lápiz"!

¿Realmente podemos lograr "pensar en matemáticas sin lápiz y papel"?

¿Qué es la visión interna?

Permítanme tomar una frase como ejemplo y prestar atención a las siguientes cuatro palabras:

la suerte está echada

Cuando lees esta oración, ¿cuál es la primera reacción en tu mente?

Como adulto en el oeste, su primera reacción puede surgir con una escena visual de César cruzando el Rubicón, porque ha visto suficientes películas relevantes y las notas claves de sus maestros de historia.

Como un niño occidental, su primera reacción puede ser recitarlo de inmediato. Pero si le preguntas "qué significa esto", él podría decir "No sé".

Para un extranjero que ha aprendido la idioma, puede pronunciar estas cuatro palabras correctamente, pero no conoce el contenido específico.

Para los extranjeros que no han aprendido la idioma, pensarán "esto es una serie de letras", de todos modos, no pueden entenderlo en absoluto.

Porque estás familiarizado con la idioma, puedes condensar este historial en una frase. Cuando escuches esta frase, podrías evocar la concepción artística que corresponde a esta oración, es decir, el pensamiento visual intuitivo.

Luego trata de leer la siguiente oración:

静夜思

Es chino que no puedes entender, ¿verdad? Pero a los chinos se nos ocurrirán imágenes como esta:

Del mismo modo, después de un largo período de cálculo matemático extenso, verá "visión visual matemática" en su cerebro.

A los ojos de la gente común, las fórmulas matemáticas representan un tipo de operación, y solo después de un cálculo podemos saber qué está sucediendo.

A los ojos de los matemáticos, están muy familiarizados con las fórmulas matemáticas y varios resultados posibles. Las matemáticas se han convertido en un "módulo visual" en su mente.

Es decir, después de mucho entrenamiento matemático, los elementos matemáticos nos podemos visualizar en nuestro subconsciente (Nota: la geometrización es solo uno de ellos). Este tipo de proceso de pensamiento es intuitivo, no lógico.

Darboux, un matemático, afirma que es un intuitivo, argumentando que esto se puede ver en "su trabajo a menudo con representación visual". No le importa ser estricto y no le gusta la lógica. Él cree que la lógica no es una forma de invención, sino una forma de estructurar ideas, y que la lógica limita las ideas.

Esta es la característica del pensamiento intuicionista: el pensamiento a menudo salta en un amplio rango, no limitado por la lógica. Esta también es la razón por la que siempre puede estar bien versado en todos los campos y convertirse en un generalista.

Ramanujan fue uno de los matemáticos más famosos de la historia india. No tenía mucha educación formal superior en matemáticas y era adicto a la teoría de números. Especialmente le encantaba la fórmula de suma que involucra π, números primos y otras constantes matemáticas, así como la división de enteros. Estaba acostumbrado a usar su intuición (o pasando de salto) para derivar las fórmulas, no estaba dispuesto a probarlas (a menudo se demostraron más después que él tenía razón). Dejó atrás "demostraciones sin demostración", las que desencadenarían muchas investigaciones más tarde.

Los matemáticos pueden pensar en problemas matemáticos sin la ayuda del papel y la pluma. Esto en realidad proviene de su cálculo matemático de alta intensidad. Gauss es el líder en este campo. ¿Qué tan grande es la potencia informática de Gauss?

En 1818, Gauss empezó trabajar como geodésico en Dinamarca. Todo el trabajo duró ocho años. Gauss encuestó y cartografió durante el día y calculó por la noche. Actualmente se estima que dibujó más de mil mapas durante este tiempo. Después de que se recopilaron los datos de campo, Gauss fue responsable de todo el trabajo de cálculo. Se obtuvieron dos puntos por el método de mínimos cuadrados mediante un largo cálculo. En general, esto habría llevado a una persona con capacidad moderada de 2 a 3 días. Había más de 3000 puntos de coordenadas en total para cada mapa. ¡Esto le hizo calcular sin cesar durante más de 10 años!

Geometría observada por el trabajador geodésico

Geometría en plano, esfera e hiperboloide.

Pero tal cálculo de alta intensidad también trae ricas ganancias. El trabajo de Gauss en Geodesia encontró y verificó una gran cantidad de leyes en geometría de superficie, y él escribió más de 20 artículos. Especialmente en 1827, Gauss publicó Investigaciones generales de superficies curvados, marcando el nacimiento de la geometría diferencial y sentando una base sólida para la geometría no euclidiana, mientras que la geometría no euclidiana proporcionó el apoyo para herramientas matemáticas como la relatividad general 100 años después.

En la industria del software, si pasa mucho tiempo escribiendo programas, el código en sus ojos es "el módulo pulsante en el sistema, se mueven hacia arriba y hacia abajo", mientras que todo el sistema de software es un "ecosistema complejo". De hecho, los profesionales de todos los ámbitos de la vida tienen una "visión interna" como esta.

Con todo, estas ideas de visión interna se adquieren en la práctica repetida, siempre que tenga el gen humano normal.