¿Si el sol está en el espacio, ¿por qué el espacio es oscuro, pero el sol brilla en la Tierra?

La mejor forma de visualizar el por qué es pensar en la atmósfera terrestre como una niebla, porque aunque tenue, eso es lo que es.

Si remueves la atmósfera, el Sol es simplemente un bombillo gigante en un espacio oscuro. No veríamos un cielo azul sino un cielo negro con un bombillo del tamaño (aparente) de la Luna.

Así se ve el Sol desde la estación espacial, fuera de los efectos atmosféricos:

Los “rayos” de sol en la foto se deben al lente de la cámara.

La atmósfera dispersa la luz del Sol de la misma forma que la neblina dispersa la luz de una lámpara:

La diferencia que el Sol irradia mucha mas luz y cubre mucha más área. Ese efecto de dispersión es lo que le da a la atmósfera el tono azulado y la razón por la cual vemos un cielo azul. Pero el azul no solo es en el cielo, los objetos en la distancia también adquieren ese tono azulado. A mayor distancia hay mayor cantidad de atmósfera entre tus ojos y el objeto, y se tiñen más de azul.