Según Einstein, ¿el tiempo pasa más lento cuanto más rápido te mueves? ¿Se detendría el tiempo a la velocidad de la luz?

Si, se detendría por completo.
Pero no creas que puedes viajar a esa velocidad, ni siquiera podrás acercarte al 80% de esa velocidad, de hecho nada que tenga masa puede viajar a la velocidad de la luz, sólo algunas partículas sin masa pueden hacerlo y es precisamente porque no tienen masa. En la fórmula E=MC2 se relacionan la masa y la velocidad de la luz para obtener un cálculo de energía, y si la usas para saber cuánta energía necesitas para alcanzar la velocidad de la luz te darás cuenta que el resultado es infinito, osea que necesitas energía infinita para mover cualquier cantidad de masa a la velocidad de la luz, eso siempre y cuando exista una cantidad para la masa.

La relatividad del tiempo es un concepto difícil de entender pero es real, no tiene nada que ver con el electromagnetismo sino con el espacio y su expansión dentro del universo.
La gravedad de un cuerpo deforma el espacio-tiempo, lo estira, por eso vemos que las galaxias se alejan cada vez más rápido de nosotros, porque el espacio crece, eso provoca que si viajas de un punto a otro te tardes más tiempo en llegar, por lo menos eso es lo que vería un observador que esté fuera del campo de influencia de esa gravedad, para ti, dentro de ese campo, sería lo mismo. Osea si estas en el planeta Júpiter (con mucha más gravedad que la tierra) y recorres una distancia de 1km a una velocidad de 1km/hr, te vas a tardar 1 hora, para ti pasó una hora realmente, pero una persona que está en otro lugar del espacio con menor gravedad como la tierra, notará que te tardaste menos de una hora, para esa persona, tu tiempo ha pasado más rápido. Y si lo ves desde el punto de vista contrario, una persona que está en Júpiter notará que tu tiempo para recorrer un 1km en la Tierra ha pasado más lento y tardaste más de 1hr en recorrer la distancia, aun cuando tú en la Tierra te mueves a 1km/hr y para ti el tiempo de recorrido si fue de 1hr.

El estiramiento del espacio puedes verlo como correr en una caminadora estática, tu avanzas sobre ella pero el que está por fuera ve que no es así, en este caso la banda que recorres sería el espacio que se estira, es necesario correr más rápido que la banda para poder avanzar. Así entonces, si te mueves a la velocidad de la luz o si te metes a un agujero negro (alta gravedad), tu tiempo relativo pasará a velocidad 0 porque lo que verías es que nada se mueve, aunque para tí, el tiempo es normal, entonces si te mueves a la velocidad de la luz y el tiempo no te afecta, en teoría podrías viajar y llegar a cualquier lugar del universo inmediatamente, podrías estar en otra galaxia instantáneamente porque no hay tiempo que medir para ti, tendrías que disminuir tu velocidad para empezar a ver movimiento en los objetos a tu alrededor y disminuir aún más hasta llegar a moverte igual que el entorno para que puedas ver pasar el tiempo igual que los demás objetos.

También puede pasar lo contrario, si encuentras un lugar en espacio que no esté en movimiento y donde no haya gravedad, podrás estar absolutamente estático, y tu tiempo debería pasar muy rápido, sería un paso de tiempo absoluto, es decir sin depender de nada, sin embargo no parece que exista un lugar así en el universo ya que todo está conectado por la gravedad e influenciado por la expansión del universo y además la velocidad y el tiempo SIEMPRE se miden en relación a un observador, excepto la luz, este es el concepto principal de la relatividad, por lo que si no hay un punto de referencia, no hay tiempo ni velocidad que medir.

Estos efectos son relativistas, sin embargo a mi me gusta hacer una analogía con el cuerpo humano: si haces ejercicio, osea que te mueves, envejecerás lentamente, es como si pasara más lento el tiempo, pero si no haces ejercicio y no te mueves, envejecerás más pronto, como si pasara más rápido el tiempo.