¿Cuál es el resultado de sumar todos los números del 1 al 100 consecutivamente?

Dicen que esta pregunta la hizo el profesor de Gauss en la escuela cuando era niño (se dice que con unos 8 años de edad)… Un ejercicio para tener a los niños entretenidos y practicando sumas.

Sin embargo, Gauss no tardó mucho en resolverlo. En poco tiempo dijo “Ligget se!” (‘¡ya está!’ en bajo alemán).
Siguió el procedimiento que dijo
Se dio cuenta de que podía agrupar los sumandos para que la suma fuese más fácil, obteniendo 50 parejas donde la suma de cada pareja es 101.
(1+100) + (2+99) + (3+98) + … + (50+51)
Por tanto, la suma es 50*101 = 5050.

Evidentemente, Gauss no era un niño cualquiera… más tarde llegó a ser uno de los matemáticos más importantes de la historia, apodándole el “Príncipe de las matemáticas”. Sus contribuciones son muy numerosas, siendo una de las más famosas la llamada “campana de Gauss”, la distribución estadística más usada, en todas las ciencias: física, medicina, sociología… Por si eso fuese poco, probó rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra para su Tesis Doctoral. También es conocida su Ley de Gauss o Teorema de Gauss, muy útil en electromagnetismo. Y su método de eliminación de Gauss-Jordan para resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples incógnitas.
Es mi matemático favorito. [1]

Volviendo a la pregunta…
En general, la suma de una sucesión aritmética es:
(Primero + Último)*Número_de_sumandos/2
(1+100)*100/2 = 101*50 = 5050

Eso se puede ver gráficamente en esta imagen de Vicmat:

La suma de cuadraditos es el tamaño (área) del rectángulo, que tiene altura 7 y anchura 8, y, por tanto son 7*8 = 56 cuadraditos o 56 unidades cuadradas de área.
Y ese área total se puede ver como la suma de lo verde y lo morado, que son iguales, así que es 2 veces el área de verde.
Y el área de verde es la siguiente suma: (1+2+3+4+5+6+7) = 8*7/2 = 28
Sea cual sea la altura podría hacerse eso: 1+2+3 + … + N

Nota:
los números que son suma de los primeros N números se llaman "números triangulares", y no creo que extrañe mucho ese nombre después de lo que acabo de contar, triángulos rectángulos de lados N y (N+1)

Y el área del rectángulo sería N*(N+1) siendo la suma la mitad:

1+2+3+…+N=N⋅(N+1)21+2+3+…+N=N⋅(N+1)2

En el caso de N=100:
100*101/2 = 50*101 = 1010*5 = 5050

Cuando el primer número no es 1, aunque no serían números triangulares, sin embargo, el rectángulo se podría formar igualmente con dos piezas iguales, incluso aunque la diferencia constante entre números consecutivos no fuese 1, siendo la anchura de este rectángulo la suma del primer número más el último y la altura es el número de sumandos.
De ahí la fórmula general:
(Primero+Último)*Número_de_sumandos/2

Notas al pie