¿Qué es 'infinito' multiplicado '0'?

Intentaré responder sin hacer uso del concepto de límite matemático, de manera trivial e intuitiva.

Lo primero que hay que decir es que "cero" es un número concreto y claro, pero "infinito" no lo es; y por lo tanto, la pregunta no tiene sentido.

Otra cosa muy diferente es preguntarse cuánto vale el producto ϵ⋅Nϵ·N, donde ϵϵ es un número que tiende a cero, y NN es un número que tiende a infinito (pero no lo es).

Dado que cuanto más pequeño sea ϵϵ , menor será el producto, y cuanto mayor sea NN, mayor será el producto, la respuesta obvia es que depende de cómo tiendan uno a cero y el otro a infinito, el resultado será de una manera o de otra. Así pues, se trata de una indeterminación.

A modo de ejemplo: si N=10xN=10x y ϵ=10−xϵ=10−x, según vaya creciendo xx, uno tenderá a cero y el otro a infinito; y el producto ϵ⋅Nϵ·N valdrá siempre 10x10−x=110x10−x=1

Pero si N=102xN=102x y ϵ=10−xϵ=10−x, a pesar de que también se cumple que uno tiende a infinito y el otro a cero al crecer xx , el producto ϵ⋅N=102x10−x=10xϵ·N=102x10−x=10x tiende a infinito.

Por todo ello, no tiene sentido preguntarse cuánto vale exactamente cero por exactamente infinito: porque

1. Exactamente infinito no es ningún valor
2. El resultado del producto cuando son números que tienden a cero y a infinito respectivamente depende del modo en el que cada uno tienda a cero y a infinito. Es por tanto una cantidad indeterminada que puede tomar cualquier valor, y tomará uno u otro en cada caso.