¿Diferencia entre varianza y desviación típica?

Primero hay que entender qué son ambas cosas.

En un conjunto, la varianza es un cálculo que te dice qué tan alejados están los datos con respecto a su media. También podría decirse que es el promedio de las diferencias (elevadas al cuadrado) entre cada dato y el promedio simple de todos los datos.

Por ejemplo, tenemos los precios de 3 gomas de mascar diferentes: $5, $6 y $7.

Su promedio simple sería: 5+6+7/3 = 18/3 = 6

Ahora tomamos las diferencias entre cada dato y el promedio simple, y luego las elevamos al cuadrado:

(5–6)^2=1

(6–6)^2=0

(7–6)^2=1

Y sumamos los resultados: 1+0+1=2

Entonces dividimos este 2 entre el número de gomas de mascar que teníamos inicialmente (3): 2/3=0.66

Nuestra varianza es 0.66 dólares/pesos/euros al cuadrado (sí, suena raro, pero es al cuadrado).

¿Por qué elevamos las diferencias al cuadrado para tener unidades al cuadrado?

Porque si no lo hiciéramos, el resultado sería 0 y ese valor no nos sirve para nada, pues sería como decir que todos los datos son iguales o que no se alejan de 6, lo cual es falso. Así es la estadística.

Mientras tanto, la desviación estándar (o típica) simplemente es la raíz cuadrada de la varianza.

Entonces, la desviación típica sería √0.66 = 0.81 dólares/pesos/euros aproximadamente.

¿Cuál es además la diferencia entre una y otra?

Sirven para casi lo mismo, pero la desviación típica es útil para tener simples dólares/pesos/euros, nada de eso elevado al cuadrado.

Depende de lo que estemos haciendo, será más rápido encontrar alguna u otra cosa con cada medida.

¿Y entonces qué cosas puedo encontrar con la varianza, si la desviación típica ya me indica algo más concreto en sí?

Pues para encontrar medidas como la misma desviación típica, la covarianza, la correlación lineal y modelos como la recta de regresión y los de efectos fijos o aleatorios, los cuales forman parte de un panomara más amplio de la estadística.