¿Qué aplicaciones prácticas tienen los polinomios?

Una de ellas es la detección y corrección de errores.

Internet no funcionaría sin polinomios.
Ni la telefonía celular / móvil.
Ni el USB, ni el Bluetooth.
Ni tu disco duro u otro dispositivo SATA.
Ni las tarjetas de memoria SD.
Ni las comunicaciones de aviación o trenes.
Ni los ficheros ZIP.
Los ficheros de tu ordenador y tu teléfono tampoco funcionarían, o serían mucho más caros.

En resumen, ningún sistema digital funcionaría: ni sistema de comunicaciones, ni dispositivo medianamente complejo.

Cuando se envía información por Internet se mete en unos “paquetes” de datos, y se incluye en ese mensaje un código que permite sobre todo detectar si hubo un error. Lo más simple sería un “checksum” (suma de comprobación) pero esta suma es demasiado rudimentaria y es mejor un código hecho con polinomios.

Cuando se guardan ficheros en un ordenador o teléfono, también se añaden códigos de comprobación… para verificar si los datos no se han dañado.

Para ello se usan los polinomios de redundancia cíclica, o “códigos cíclicos”.
¿Te suena la expresión CRC? Significa Cyclic Redundancy Check = Comprobación de Redundancia Cíclica.
Verificación de redundancia cíclica - Wikipedia, la enciclopedia libre

Lo curioso del caso es que también permiten corregir errores, cuando son pocos… por ejemplo un solo bit incorrecto. Esto es como magia matemática, matemagia, digna de magos poderosos.
Sin repetir el mensaje 3 veces y decidir por mayoría cual es la versión sin error, con un sencillo código breve puedes no solamente detectar sino ¡corregir! un error de un bit.
Yo estudié Teleco y cuando me contaron eso en clase no podía creerlo. Parecía una tomadura de pelo… pero, no, resulta que tiene una base matemática bastante sólida.
Sin embargo, esta modalidad de corrección de errores creo que no se usa mucho, al menos para Internet: es más simple detectar si hubo error y pedir que vuelvan a transmitir. Para poder corregir habría que enviar unos pocos más de datos en cada mensaje y cuando los errores son poco frecuentes volver a transmitir no es tanto problema pero meter más carga en cada mensaje complica las cosas.

Pero eso es solamente una anécdota de la que me acordé y quise contar hoy.

Realmente las aplicaciones de los polinomios son muchíiiiiiiiiiiiisimas y asombrosas. No entiendo como el panadero de mi barrio o el camarero no está estudiando polinomios.

Bromas aparte, voy a esbozar algunas ideas sencillas.

Un polinomio consta de operaciones sencillas: multiplicaciones y sumas. Todos sabemos multiplicar y sumar…. pero, más importante que eso, los ordenadores también “saben”. Y, más aún, los ordenadores casi no saben hacer otra cosa que sumar y multiplicar… bueno, saben dividir… y, por lo general, poco más.
Nota: me refiero a las matemáticas que vienen integradas en el microprocesador, o más concretamente en la Unidad Aritmético-Lógica de este… lo que es la máquina solamente sabe hacer esas matemáticas… el resto viene por software, por programas / algoritmos construidos usando esas matemáticas como “ladrillo básico”.

Pero, oh, magia matemática, yo te invoco:
Cualquier función, por complicada que sea, si es derivable, puede ser aproximada por una serie polinómica…
Uno de esos conjuros mágicos se llama “Serie de Taylor”.

De repente, un seno, un coseno, una tangente, un logaritmo, una exponencial… o combinaciones raras de funciones como esas, se transforman de sapo en príncipe, en un polinomio, algo que puedes calcular.

Imagina que no tienes calculadora, ni ordenador ni smartphone… ¿cuál es el seno de 0.07 radianes? ¿cómo lo calcularías con papel y lápiz? Complicado ¿verdad? Es un sapo. De repente te sacas de la manga el hechizo de Taylor, o en este caso, de MacLaurin, y así transformas el seno de x en:

sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−x33!+x55!−x77!...,∀xsin⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−x33!+x55!−x77!...,∀x

Observo que al ser 0.07 pequeño y, además, dividido por un factorial las potencias muy grandes quedan muy pequeñas… así que no necesito un polinomio de grado muy alto, me conformo con dos monomios, con eso tendré una aproximación S muy decente.

S(x)=x−16x3S(x)=x−16x3

Y eso lo podemos calcular sin calculadora:

S(0.07)=0.07−16(0.07)3S(0.07)=0.07−16(0.07)3

7 al cubo es 49*7 = 50*7 - 7 = 350 - 7 = 343

Y eso dividido por 6 sería 57.16666

Por tanto:
S(0.07)=0.07−0.00005716666=0.06994283333S(0.07)=0.07−0.00005716666=0.06994283333

Ese número es el que da el polinomio aproximador S(x) cuando x = 0.07
Y la calculadora dice:

seno(0.07) = 0.06994284733…

¡¡Coincide hasta 7 cifras decimales!!
Y está hecho casi de cabeza, o “con lápiz y papel”: multiplicando, dividiendo y restando.

Más todavía: si tienes cualquier sucesión de puntos… puedes aproximar eso como una combinación de polinomios. Antes hablé de funciones derivables… aquí no sabes ni qué función es… tienes puntos sueltos y de repente sale un polinomio que se aproxima a esos puntos. Y cuanto más grado más se aproxima, puedes hacer que pase por todos esos puntos. ¡Magia!!!

[Nota: cuando buscas un polinomio que pase exactamente por unos puntos, suele ser porque quieres tener una fórmula que te de valores para otros puntos y sería lo que se llaman problemas de "interpolación" [1] y de "extrapolación" … pero si partes del supuesto de que los datos de partida tienen 'ruido' o 'errores' entonces no buscas que pase exactamente por todos los puntos, sino un polinomio que se aproxime, y entonces se trata de un problema de "regresión" [2] o de "mejor aproximación", como el método de "mínimos cuadrados" [3] ]

Como buen mago, querrás predecir el futuro ¿no?
¡Polinomios!
Así hizo el mago Gauss el Gris, perdón, Gauss “el príncipe”,
[ hablo de él en otra respuesta:
]
para profetizar las posiciones de los cuerpos celestes, como planetas, o más concretamente, el planeta enano Ceres, que se acababa de descubrir en la época de Gauss (finales del siglo XVIII y principios del XIX).
Básicamente con las medidas que tenía hizo un polinomio que se aproximase y le preguntó al polinomio la posición en el futuro, a lo cual el polinomio respondió muy obediente. En su época no había ordenadores… pero recordemos que los polinomios son multiplicaciones y sumas, un “juego de niños”.

¿Por qué el panadero del barrio no predice las barras de pan que va a vender y así ganar más dinero? Seguramente porque no sabe mucho de polinomios.
Posiblemente lo más cercano a las matemáticas superiores con lo que trate ese humilde hombre será el pan integral.

¿Quieres hacer un videojuego?
¡Polinomios!!
Pintas los personajes con puntos en 3D y aproximas con polinomios a curvas suaves y fácilmente tratables por ordenadores.

¿Una película como Toy Story?
Lo mismo: polinomios.

Y así…

Notas al pie