¿Cómo calcular los valores de x que cumplen 13x+27= N, siendo N un cuadrado perfecto?

Representemos el cuadrado perfecto N por y², suponiendo que tanto x como y son enteros (aunque podrían buscarse también x, y ambos racionales, problema diofántico más sencillo, casi trivial, pues bastaría despejar x atribuyendo cualquier valor racional, arbitrario, a y).

13x+27=y². Se trata de calcular los puntos de red (ambas coordenadas enteras) sobre una parábola, dada por la ecuación propuesta.

Despejando x:

x=(y²-27)/13. Dividiendo y entre 13 (división euclídea): y = 13z+r, con 0≤r<13.

Sustituyendo este valor de y en la ecuación última:

x= [(13z+r)²-27]/13 → x=(169 z²+26zr+r²-27)/13 →

x=13z²+2zr + (r²-27)/13. Será x entero si, y solo si, lo es (r²-27)/13.

Se prueban todos los enteros r tales que 0≤r<13. Se puede abreviar, puesto que solo entra r elevado al cuadrado, de modo que vale considerar r=0, ±1, ±2, ±3,±4, ±5, ±6.

Y es así puesto que los restos de la división euclídea pueden tomarse también por exceso y no solo por defecto, es decir, los restos de una división euclídea pueden tomarse positivos o negativos, siempre que en valor absoluto sean inferiores al valor absoluto del divisor.

Si ninguno hace entero a (r²-27)/13, la ecuación diofántica dada no tiene ninguna solución.

Con r=0, no sale r²-27 divisible por 13, pero con r=±1 sí, sale (r²-27)/13 = -2 € Z.

Los demás valores de r no sirven, como se comprueba incluso mentalmente.

De modo que hay dos "ramas" infinitas de soluciones enteras, expresadas en forma paramétrica, es decir, en función del parámetro z:

Con r=1 →

RAMA 1:

x=13z²+2z-2, y=13z+1, donde z es un entero arbitrario, positivo, negativo o cero.

Tomaremos z ≥ 1, si queremos que tanto x como y sean enteras y positivas.

Con r=-1 [ serviría análogamente tomar r=-1+13=12 pues 12 ≡ -1 (mód 13) ] →

RAMA 2:

x=13z²-2z-2, y=13z-1, donde z es un entero arbitrario, positivo, negativo o cero.

Tomaremos z ≥ 1, si queremos que tanto x como y sean enteras y positivas.

Según la rama 1, por ejemplo, con z=4 (recordemos que z es arbitrario) sale la solución:

x=214, y=53, o bien, N=y²=2809. En efecto, se comprueba que:

13x+27=13*214+27=2809=53².

Empleando la segunda rama de soluciones, análogamente con el mismo valor (libremente asignado) z=4→

x=198, y=51, o bien, N=y²=2601. En efecto, se comprueba que:

13x+27=13*198+27=2601=51².

El problema queda completamente resuelto.