¿Por qué la función exponencial con base e es la única derivada de sí misma?

En realidad hay infinitas…
Eso sí, todas son muy parecidas. Y es cierto que todas son de tipo exponencial.

Todas de la forma "una constante multiplicada por e elevado a x", es decir:

Yk=fK(x)=K⋅exYk=fK(x)=K⋅ex

¿Por qué? ¿No puede haber alguna otra que cumpla eso??

No.
Voy a demostrarlo.

La condición que se debe cumplir, expresada como ecuación sería:

f′(x)=f(x)f′(x)=f(x)

O también se puede escribir:

y′=yy′=y

Que lógicamente significa: "la derivada de la función es igual a la función".

Eso es lo que se llama una ecuación diferencial.
En concreto sería un tipo llamado EDO = Ecuación Diferencial Ordinaria, porque es una función de una variable.
Y dentro de estas, es de primer orden porque solo aparece la primera derivada.
Y además es lineal.

Pero no me enrollo más.

Volvamos a la ecuación:

y′=yy′=y

Esa forma de escribir la derivada se llama notación de Lagrange… todo un fenómeno el señor Lagrange.
Pero también existe la llamada notación de Leibniz:

dydx=ydydx=y

Y esta notación es más intuitiva para resolverlo, debido a que expresa la derivada como una fracción, una división de cantidades infinitesimales.
Así que ahora se haría esto:

dyy=dxdyy=dx

Y ahora se integra ambos lados:

∫dyy=∫dx∫dyy=∫dx

La parte de la izquierda es una integral muy conocida:

∫1ydy=Ln(y)+Cy∫1ydy=Ln(y)+Cy

Y la parte de la derecha, más sencilla si cabe:

∫1dx=x+Cx∫1dx=x+Cx

Así que:

Ln(y)+Cy=x+CxLn(y)+Cy=x+Cx

Como buscamos la yy, la despejamos:

Para ello primero resto CyCy en ambos lados:

Ln(y)=x+Cx−CyLn(y)=x+Cx−Cy

Y, bueno, una resta de constantes la puedo simplificar como una constante solamente.

Ln(y)=x+CLn(y)=x+C

Y ahora despejo la y haciendo "e elevado a" en ambos lados:

eLn(y)=ex+CeLn(y)=ex+C

Pero por la definición de logaritmo natural, ee elevado al logaritmo de algo es ese algo, es lo que se llama la función inversa… Por eso lo hice, claro, se aplica la inversa para despejar. Que, dicho sea de paso, es similar a cuando resté CyCy en ambos lados, apliqué la operación inversa de sumar CyCy o sumar el elemento inverso de la operación suma.

Así que:

y=ex+Cy=ex+C

¿Se observa cómo ha aparecido que las soluciones son de forma exponencial con base "e"?

Y ese conjunto de infinitas soluciones también se pueden escribir:

y=eC⋅exy=eC⋅ex

Y, bueno, si sustituimos eCeC simplemente por una constante K, entonces tendríamos:

y=K⋅exy=K⋅ex

Bueno, hay algunos detalles que no he dicho y que seguramente os he colado como golazos, porque seguramente no os habéis dado ni cuenta.

Sí, digamos que con las prisas o por no embrollar demasiado he sido poco riguroso.
Antes de seguir os animo a encontrar los golazos…
Creo que es importante aprender a descubrir las trampas por nosotros mismos. Sirva como un acertijo, como si fueseis detectives que tenéis que averiguar los crímenes que he cometido.
Como primera pista: por lo menos he cometido dos crímenes.
También sirve para repasar o asentar algunos conceptos que me parecen bastante básicos y que quizá están algo flojos.

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Empezaré por dar otra pista y revelando una de las trampas que hice.

Llegué a esto:

y=eC⋅exy=eC⋅ex

Y luego pasé a esto:

y=K⋅exy=K⋅ex

Pero lo hice muy a la ligera como diciendo que es absolutamente igual… cuando ¡no lo es!

En la segunda solución la K puede tener valores negativos o incluso ser 0.
Pero en la primera eso no puede ser… El conjunto imagen de la exponencial son reales estrictamente positivos, nunca el cero.
Lo riguroso sería haber dicho algo de este estilo:
"con una K perteneciente a los reales positivos".

Sin embargo, se da la aparente paradoja de que con valores de K negativos o incluso con K = 0 también son soluciones de la ecuación diferencial.

Para f(x) = 0 también es una solución, porque la derivada de 0 es 0, es decir, igual a la función original.
Eso viene a ser la solución que dijo

Entonces, llegué a una solución, como diciendo que no hay más, diciendo que esas serían las únicas soluciones, y realmente las que obtuve deduciendo fueron cuando K sea positivo. Pero lo cierto es que hay más, cuando K es 0 o negativo… así que parece obvio que cometí algunos crímenes, que son los que habría que seguir investigando, como buen detective.

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Bueno, os diré los crímenes y cómo habría sido el procedimiento riguroso.

Como os di la pista de que uno de los que he asesinado es la solución f(x) = 0
conociendo cuál es uno de los cadáveres que tenía escondidos, puede servir como pista para averiguar qué hice mal.

Si tenéis una ligera "culturilla" matemática os sonará que no se puede dividir por cero…
Cuando pasé de esta expresión:

dydx=ydydx=y

A esta otra:

dyy=dxdyy=dx

Una de las cosas que hice fue dividir por "y".
Pero acabo de decir que ¡no se puede dividir por cero!!!
Entonces, cuando se hace una cosa así lo riguroso es preguntarse primero:
¿Acaso puede ser "y" igual a cero????
Si supiésemos con seguridad que "y" no puede ser nunca cero entonces no habríamos cometido ningún delito… pero en esta ocasión no es el caso.
Y ahí es donde asesiné de mala manera la solución f(x)=0.

Lo riguroso habría sido decir:
"una de dos: o bien y = 0, o bien puedo dividir por y"
Y a partir de ese momento tener en cuenta que puede haber más soluciones cuando y=0.
Y de esa manera sería todo legal y no habría asesinado a nadie.

El siguiente hilito del que podríamos tirar sería que una vez solucionado el misterio del cero nos queda una gran colección de infinitos cadáveres negativos.
Y quizá nos suene lo mal que se llevan los logaritmos con los números negativos.

Cuando dije:

∫1ydy=Ln(y)+Cy∫1ydy=Ln(y)+Cy

es como si diese por hecho que la y es positiva… porque los logaritmos de negativos o del cero no existen…

En realidad, la integral no era esa… fui un tramposo.
Sino que sería esta otra:

∫1ydy=Ln|y|+Cy∫1ydy=Ln|y|+Cy

Y eso continuaría como:

eLn|y|=ex+CeLn|y|=ex+C

¿Y cómo se hace la parte de la izquierda?

Cuando y es mayor que 0:

eLn|y|=eLn(y)=y=ex+CeLn|y|=eLn(y)=y=ex+C

y ahí están las soluciones del tipo

y=K⋅exy=K⋅ex ,, con K > 0

Cuando y < 0 :

eLn|y|=eLn(−y)=−y=ex+CeLn|y|=eLn(−y)=−y=ex+C

y ahí están las soluciones del tipo

y=K⋅exy=K⋅ex ,, con K < 0

Y ahora sí creo que estaría demostrado con bastante rigor que esas son las únicas soluciones posibles.

Por último un par de detalles.
La ecuación diferencial es de tipo lineal… y eso significa que si hay una solución como
y=exy=ex

también será solución otra función que sea igual que esa multiplicada por una constante. Y el conjunto de soluciones forma un espacio vectorial… En este caso, de dimensión 1, y sería parecido a una recta en el plano o en el espacio.

Otro detalle medio tramposo, aunque bastante más sutil, es la parte donde dije:

dydx=ydydx=y

Pasé de una notación de derivada a luego tratarlo como una fracción.
Pero, en fin, justificar que eso sí se puede hacer creo que sería más largo, así que lo dejo aquí.

Por último, os dejo con otro acertijo:

Si la derivada del seno hiperbólico es el coseno hiperbólico y
la derivada del coseno hiperbólico es el seno hiperbólico…
¿Cuál es la derivada de esta función?
f(x) = cosh (x) + sinh (x)

Sí, la derivada de esa función es la mismísima f(x).
¿Cómo es posible si dije antes que no había más soluciones?