¿Se puede integrar la función x^x?

La función debe ser continua, para ser integrable en el sentido de la integración de Riemann. Esto significa pocas palabras que “puedes dibujar la gráfica de la función en una hoja sin tener que levantar el lápiz”.

Podemos comprobar que la función es continua al ver su gráfica (también es posible hacer su expansión analítica y evaluar en 0).

Ya que la función es continua significa que es integrable según Riemman. Pero hay un problema, esta integral no es posible escribirla por medio de funciones elementales, aunque es posible expresar la integral definida para el intervalo de 0 a 1.

Empezamos haciendo la expansión en serie de potencias de la función xxxx

∫10xxdx=∫10eln(x⋅ln(x))=∫10∑∞n=0(x⋅ln(x))nn!∫01xxdx=∫01eln(x⋅ln(x))=∫01∑n=0∞(x⋅ln(x))nn!

Por convergencia uniforme podemos intercambiar el símbolo de suma con la integral entonces

∫10xxdx=∑∞n=0∫10(x⋅ln(x))nn!dx∫01xxdx=∑n=0∞∫01(x⋅ln(x))nn!dx

Hacemos el cambio de variable x=exp(un+1)x=exp(un+1)

y sustituimos en la integral ∫10(x⋅ln(x))nn!dx∫01(x⋅ln(x))nn!dx

obtenemos una integral igual a la función gamma[1]

1n!(−1)n(n+1)−(n+1)∫∞0e−uundu=(−1)n(n+1)−(n+1)1n!(−1)n(n+1)−(n+1)∫0∞e−uundu=(−1)n(n+1)−(n+1)

Sumamos todas las integrales y al final obtenemos el valor para la integral de xxxx

∫10xxdx=∑∞n=1(−1)n+1n−n=1−122+133−144....∫01xxdx=∑n=1∞(−1)n+1n−n=1−122+133−144....

Esta expresión es tan bella que casi parece sacada de un sueño, la forma cerrada de esta integral fue obtenida primero por Johann Bernoulli en 1697[2] .

Notas al pie