sea inyectiva?

Sí.

La afirmación de que se pueda podría partir de saber que tienen el mismo cardinal, es decir, que existe una biyección entre ambos conjuntos. Y, por supuesto, si existe una biyección existe una aplicación inyectiva. Es más, si en lugar de R×R=R2R×R=R2 fuese R3R3 o RnRn con cualquier n natural también se podría.

Pero, claro, para llegar a esa conclusión básicamente he partido de saber que se puede, he partido de una afirmación casi equivalente. Digamos que no he ayudado mucho a convencer a cualquiera de que es posible… se tendrían que fiar de mi o buscar ellos mismos una demostración. Por eso, creo que resulta más claro dar un ejemplo concreto ¿Hay algún ejemplo más o menos sencillo? Creo que sí. Vamos allá.

Sabemos que cualquier número real admite una representación decimal, aunque tenga infinitos decimales. Por ejemplo, π=3,14159…π=3,14159… y las cifras decimales continuarían sin terminar nunca en este caso del número PI. Como primera idea propongo pensar en una función que tome dos representaciones decimales y las entremezcle para formar un único número real formado a partir de las dos. El entremezclado se haría tomando alternativamente los decimales de cada uno de los números reales de entrada, teniendo en cuenta los infinitos ceros a la izquierda (y posiblemente a la derecha). Veamos un ejemplo: el par (π,π)(π,π) daría lugar al número 33.1144115599… ¿Se ve la idea? He marcado en negrita las cifras de uno de los números y sin negrita las cifras del otro.

Un pequeño problema podría ser que algunos números admiten dos representaciones decimales de ese tipo. Por ejemplo, el número 1.0 también se puede escribir como 0.99999… con infinitas cifras de valor 9. Si "deshacemos" la función tal como la definido en el caso 1.0 tendríamos que la pareja de números originales sería (1.0, 0.0). Y si deshacemos el caso 0.99999… tendríamos que la pareja de números originales sería (0.999…, 0.999…) y tendríamos un problema porque (1.0, 0.0) y (0.999…, 0.999…) NO son el mismo vector de R2R2. Lo cual significaría que no sería inyectiva porque dos vectores diferentes devuelven el mismo resultado, algo que es justo lo que no puede pasar en aplicaciones inyectivas. Esto se podría solucionar si no admitimos cualquier representación decimal. Como algunos números tienen dos representaciones decimales exigiremos que siempre se opte por una de ellas, la más sencilla, la que no tiene infinitos 9 a la derecha, la que tendría infinitos ceros. De esta forma nunca podremos llegar a x.y999… y en lugar de eso sería x.z000… que solamente puede venir de (x.000… , 0.z)

Pero hay otro problema, los signos. Los números reales no solamente tienen cifras decimales sino también un signo. Esto parece un problema mayor que el anterior. Si tenemos v= (1.0, 1.0) daría f(v) = 11.0 pero ¿y si tenemos (-1.0, 1.0) ? ¿y qué pasa con (1.0, -1.0) y con (-1.0, -1.0) ?

¿Qué hacer para evitar ese problema? Pensadlo un poco.

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Bueno, los números reales admiten infinitas cifras, ¿estamos de acuerdo? Pues, como en el Hotel de Hilbert, esas infinitas cifras son como infinitas habitaciones de un hotel. Usemos una o dos de esas cifras para alojar a nuestros nuevos inquilinos, los signos, y arreglado.

Las cifras extra se usarán para codificar los signos haciendo que las otras cifras se desplacen, que era la forma en que se alojaban nuevos inquilinos en el Hotel infinito de Hilbert. Y arreglado. Quien no conozca qué es eso del Hotel infinito de Hilbert, le aconsejo que lo busque porque es una historia muy simpática.

Podemos usar cifras a la izquierda de la coma, para que las parejas de enteros nos den un resultado entero también. Por ejemplo, veamos un caso usando dos cifras para los signos. Podemos usar el convenio de que un 1 significa signo positivo (o cero) y que un 2 signifique signo negativo. Y estas cifras se colocan a la izquierda del punto decimal: en las unidades el signo de la primera componente y en las decenas el signo de la segunda. Veamos cómo se operaría con los 4 casos de antes:

(+1.0, +1.0) signos + y + se codifica como 11 → resultado: 1111.00 (en negrita los signos)

(-1.0, +1.0) signos - y + se codifica como 12 → resultado: 1112.00 (en negrita los signos)

(+1.0, -1.0) signos + y - se codifica como 21 → resultado: 1121.00 (en negrita los signos)

(-1.0, -1.0) signos — y — se codifica como 22 → resultado: 1122.00 (en negrita los signos)

Por supuesto, esta función no es biyectiva, pero es inyectiva. No es biyectiva porque los números reales negativos nunca son cubiertos y al haber elementos imagen sin elemento origen no es suprayectiva.

A no ser que se me haya escapado algún detallito, creo que la función más o menos sencilla que he definido es un ejemplo concreto de función inyectiva para las condiciones que pedía la pregunta.