¿Por qué las rectas paralelas se cortan en una superficie esférica?

A ver, extendiendo los axiomas de Euclides a la superficie de una esfera (hasta donde se puede, es decir, los cuatro primeros axiomas) tenemos la geometría elíptica o geometría de Riemann.

En esta geometría encuentran acomodo, antes que los axiomas, los objetos matemáticos definidos por Euclides, particularmente el punto y la recta. Ahora una recta es un círculo máximo sobre la esfera. Y la definición de paralelismo de Euclides (circunscrito a la geometría del plano) es:

• Dos rectas [coplanarias] son paralelas cuando prolongadas indefinidamente no se cortan.

Así pues, manteniendo la definición, resulta que en el caso esférico no podemos mantener el quinto axioma de Euclides. Recordemos los cinco:

A1: Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.

A2: Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

A3: Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

A4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

A5: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela a la misma.

Como ahora una "recta" es un círculo máximo, es imposible dibujar dos que no se corten, por lo que en la geometría esférica dada una recta no es posible dibujar una paralela suya. Dos círculos máximos siempre se cortan (de hecho, en dos puntos opuestos):

Para encontrar algo parecido al caso de paralelismo tendríamos que tener esto:

Pero en este caso los paralelos no son círculos máximos, y por lo tanto no corresponden a lo que en el caso del plano Euclides llamaba "rectas".

Así pues, no es, como dice la pregunta, que las rectas paralelas se cortan en una superficie esférica, sino que sobre la superficie de una esfera no se pueden trazar dos paralelas.