Si la diagonal de un cuadrado es 10 cm mayor que su lado, ¿cuál es el área del cuadrado?

Sea LL el lado del cuadrado. Por el teorema de Pitágoras, la diagonal (dd) será d=2L2−−−√d=2L2.

Por otro lado dices que la diagonal es 1010 cm mayor que el lado, esto es: d=L+10d=L+10.

Lo resolveré de 3 maneras:

1.- Ecuación Cuadrática.

Igualando: L+10=2L2−−−√L+10=2L2

Elevando al cuadrado ambos lados: (L+10)2=2L2(L+10)2=2L2

Reordenando: L2–20L−100=0L2–20L−100=0

Cuya solución positiva es: L=10(1+2–√)≃24.142L=10(1+2)≃24.142

2.- Factorización

Nótese que de la expresión cuando se iguala, se puede escribir como: L+10=2–√LL+10=2L

Reordenando: (2–√−1)L=10(2−1)L=10.

Por estética, multiplicaré ambos lados por (2–√+1)(2+1), para llegar a L=10(2–√+1)≃24.142L=10(2+1)≃24.142 (el mismo resultado anterior y sin al parte de resolver una ecuación cuadrática). P.S Demuéstralo.

3.- Simetría y Ángulo

Dada la simetría del problema, puedes demostrar que el ángulo (θθ) que forma la diagonal con un lado del cuadrado es 45∘45∘. Usando la relación trigonométrica:

cosθ=\textupcatetoadyacente\textuphipotenusa=Ldcos⁡θ=\textupcatetoadyacente\textuphipotenusa=Ld

Despejando L=dcosθL=dcos⁡θ

Ahora cos45∘=12√=2√2cos⁡45∘=12=22 (Demuéstralo)

Sustituyendo dd y el ángulo: L=(L+10)12√L=(L+10)12

Despejando se llega a: L=102√−1≃24.142L=102−1≃24.142

Al final el área (AA) será simplemente A=L2=(10(2–√+1))2=100(3+22–√)≃582.842A=L2=(10(2+1))2=100(3+22)≃582.842 [cm2cm2]